Simulação e Otimização

SIMO/MQDEE Simulação e Otimização

MARIACÂNDIDAMOURÃO

([email protected])

1

SIMO/MQDEE Ø Mestrado

Ø QUESTÕES?

Ø Seminário de Ética !

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

Ø Criação,

Ø Transmissão e

Ø Valorização Social e Económica

do conhecimento e da cultura

nos domínios das ciências económicas, financeiras e empresariais

ISEG - MISSÃO

3

Ø Diversidade e pluralidade

Ø Garantia de liberdade intelectual e científica Ø Respeito pela ética e responsabilidade social Ø Avaliação interna e externa e melhoria contínua

ISEG - VALORES

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

Ø Afirma-se como uma das melhores escolas de economia e gestão em Portugal

Ø Com elevada reputação internacional

Ø Reconhecido

Ø pela qualidade dos seus graduados, pela Ø pela investigação realizada

Ø pelo impacto das suas atividades na comunidade envolvente

ISEG – VISÃO

5

SIMO/MQDEE Ø Aulas

Grupos – trabalhos!

Ø Avaliação

Ø AC - Trabalhos & Aula – 60%

Ø Teste escrito – 40%

Ø Consulta – 1 folha A4

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

Cap. 1 -Técnicas de Resolução em Otimização Combinatória Relaxações

Resolução exata de problemas Algoritmo de branch-and-bound Algoritmo de planos de corte Utilização de software

Cap. 2 -Problemas de Otimização Combinatória - Roteamento Problemas de roteamento nos nodos

Problemas de roteamento nos arcos Utilização de Software

Cap. 3 -Modelos de Investigação Operacional em Simulação Simulação e otimização

Geração de instâncias de problemas de otimização Utilização de software de simulação – SIMUL8

Programa

7

7

• Corberán, Á. & G. Laporte(2014); Arc Routing Problems, Methods, and Application; MOS-SIAM Series on Optimization, Philadelphia.

• Drexl, M. (2012); Rich Vehicle Routing in Theory and Practice, Logistics Research, Volume 5, pp.

47-63 (DOI: 10.1007/s12159-012-0080-2)

• Hillier, F.S. & G.J. Lieberman(2015), Introduction to Operations Research, 10^thed., McGraw-Hill, New York.

• Mourão, M.C. & L.S. Pinto (2017); An updated annotated bibliography on arc routing problems, Networks, accepted

• Shalliker, J. & A. Suleman(2012); Guia de Simulação Discreta por Computador usando SIMUL8.

Heybrook Associates & ISCTE – IUL Instituto Universitário de Lisboa.

• Toth, P. & D. Vigo (2014); Vehicle Routing Problems, Methods, and Application; 2^nded., MOS- SIAM Series on Optimization, Philadelphia.

• Wolsey, L. (1998), Integer Programming, John Wiley & Sons, New York.

Bibliografia

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

Cap. 1 Técnicas de Resolução em Otimização Combinatória

Cap. 1 -Técnicas de Resolução em Otimização Combinatória 1.1 Introdução

1.2 Relaxações

1.3 Resolução exata de problemas Algoritmo de branch-and-bound Algoritmo de planos de corte 1.4Utilização de software

Bibliografia

ØF.S. Hillier; G.J. Lieberman, Introduction to Operations Research, 10^thed., McGraw-Hill, 2015.

ØL. Wolsey, Integer Programming, John Wiley & Sons, 1998.

9

9

Cap. 1 Técnicas de Resolução em Otimização Combinatória

F. Hillier

https://www.informs.org/Explore/History-of-O.R.- Excellence/Biographical-Profiles/Hillier-Frederick-S

https://www.informs.org/Explore/History-of-O.R.- Excellence/Biographical-Profiles/Wolsey-Laurence-A L. Wolsey

Gerald J. Lieberman 1925 - 1999 https://www.informs.org/Explore/History-of-O.R.-

Excellence/Biographical-Profiles/Lieberman-Gerald-J

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

Cap. 1 Técnicas de Resolução em Otimização Combinatória

Divisibilidade

quantidades discretas MODELOS DISCRETOS

Aditividade e Proporcionalidade

descontinuidades MODELOS DISCRETOS não-linearidades PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR

Certeza

estimativas de ANÁLISE DE SENSIBILIDADE (WHAT-IF)

parâmetros PARAMETRIZAÇÃO

PROGRAMAÇÃO ESTOCÁSTICA

Objetivo Único

múltiplos objetivos PROGRAMAÇÃO MULTI-OBJETIVO

11

Hipóteses de PL

11

Cap. 1 Técnicas de Resolução em Otimização Combinatória

Divisibilidade

quantidades discretas MODELOS DISCRETOS

Aditividade e Proporcionalidade

descontinuidades MODELOS DISCRETOS não-linearidades PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR

Certeza

estimativas de ANÁLISE DE SENSIBILIDADE (WHAT-IF)

parâmetros PARAMETRIZAÇÃO

PROGRAMAÇÃO ESTOCÁSTICA

Objetivo Único

múltiplos objetivos PROGRAMAÇÃO MULTI-OBJETIVO

Hipóteses de PL

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

Cap. 1 Técnicas de Resolução em Otimização Combinatória

Programação Linear Inteira (PLI)

UmProblema de Programação Linear Inteira (PLI)é um PL em que todas (PLI puro) ou parte (PLI misto) das variáveis só podem assumir valores inteiros.

Variáveis inteiras– para representar quantidades indivisíveis Variáveis binárias– para decisões Sim/Não –Programação Binária

Problemas de Otimização Combinatória

Problemas que poderiam ser resolvidos por enumeração! Crescimento exponencial!

Ø Exemplos

13

13

Cap. 1 Técnicas de Resolução em Otimização Combinatória

Ø Enumeração -> só se conseguem resolver instâncias de pequenas dimensões !

Ø Formulações; Minorantes; Majorantes

n ln n n^0.5 n² 2ⁿ n!

10 2.30 3.16 10² 1.02´10³ 3.60´10⁶

100 4.60 10.00 10⁴ 1.27´10³⁰ 9.33´10¹⁵⁷ 1000 6.91 31.62 10⁶ 1.07´10³⁰¹ 4.02´10²⁵⁶⁷

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

Cap. 1 Técnicas de Resolução em Otimização Combinatória

ü Análise de investimentos

ü Seleção de projetos

ü Localização de equipamentos (fábricas, hangares, carros de apoio) ou de equipas de emergência e de apoio técnico

ü Distribuição; Rotas;Carregamento

ü Desenho de redes (comunicações)

ü Escalonamento de pessoal, de veículos e de equipamentos

Exemplos de Aplicações

15

15

Algoritmos Exatos:

branch-and-bound (Land, Doig, 1960) (Little, Murty, Sweeney, Karel, 1963) planos de corte (Gomory, 1960)

Métodos Não Exatos:

Técnicas de arredondamento Heurísticas

básicas; construtivas; pesquisa local; metaheurísticas;

inspiração social: pesquisa tabu; ant colonies inspiração física: simulated annealing inspiração biológica: genéticos; redes neuronais Relaxações; Métodos de Subgradiente Software:

Excel/Solver & OpenSolver Visual Basic

CPLEX; LINGO; LINDO

O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Resolução

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

Ø PLI de Minimização: 𝑍^∗= 𝑀𝑖𝑛 𝐜𝐱: 𝐱 ∈ 𝑃 ∩ 𝑌, 𝑌 ⊆ ℤ^"

ü Majorantes - Heurísticas

𝑍 ≤ 𝑍^∗≤ 𝑍 ü Minorantes !

Ø Como avaliar a qualidade de uma SA

?

Ø Minorantes (limites duais) Ø Relaxação

ü Ideia: substituir um problema difícil de resolver por um mais simples e cujo valor ótimo não exceda 𝑍^∗

ü “Aumentar”a RA; Substituir a FO por outra função que nunca exceda a FO inicial

17

O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Resolução

17

Def.:Um problema (PR): 𝑧#= 𝑀𝑖𝑛 𝑓 𝐱 :𝐱 ∈ 𝑃 ⊆ ℝ^" (PLR) é uma Relaxaçãode um (PI)de minimização:

𝑧 = 𝑀𝑖𝑛 𝐜 𝐱 :𝐱 ∈ 𝑋 ⊆ ℝ^" (PLI) se: 𝑃 ⊇ 𝑋 ∧ 𝑓 𝐱 ≤ 𝑐 𝐱 , ∀𝐱 ∈ 𝑋

Teor.: Se (PR) é relaxação de (PI), então: 𝑧#≤ 𝑧

Ø Como construir relaxações “interessantes” ?

O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Relaxações

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

ØA relaxação linearde um PLIé o problema de PL que resulta do PLIpor omissão das restrições de integralidade.

ØDado um PLIde minimização: 𝑧 = Min 𝐜 𝐱:𝐱 ∈ 𝑋 ∩ ℤ^"

a Relaxação Linear (PLR) é: 𝑧#$ = Min 𝐜 𝐱:𝐱 ∈ 𝑋 ü É relaxação pois: 𝑋 ∩ ℤ^"⊆ 𝑋 e a FO não se altera!

ü Logo: 𝑧_#$≤ 𝑧 Teor.:

(i) Se a relaxação PLRé impossível, o problema inicial PLI é impossível;

(ii) Seja 𝐱^∗ uma SO de PLR. Se 𝐱^∗∈ ℤ^" então, 𝐱^∗é SO de PLI.

19

Relaxações

19

ØÁrvore geradora mínima (SST) com restrições de capacidade: SST

ØÁrvore geradora mínima com restrições de grau: SST ØRoteamento: Nodos; Arcos; Gerais

ØTSP orientado: Afetação

ØTSP não-orientado (simétrico): Árvore-1 ØARP orientado: PT (Problema de Transportes) ØARP não orientado: matching

O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Relaxações

Outras relaxações para problemas conhecidos:

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

ØÁrvore geradora mínima (SST) com restrições de capacidade: SST

ØÁrvore geradora mínima com restrições de grau: SST ØRoteamento: Nodos; Arcos; Gerais

ØTSP orientado: Afetação

ØTSP não-orientado (simétrico): Árvore-1 ØARP orientado: PT (Problema de Transportes) ØARP não orientado: matching

21

Relaxações

Outras relaxações para problemas conhecidos:

21

Ø Considere-se o (PLI)

O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Exemplo

SOLVER

𝑍^∗= 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑥%− 2𝑥&

s.a:

𝑥%− 𝑥& ≥ 0 (R1)

𝑥%+ 2𝑥& ≤ 5

𝑥% ≤ 3 𝑥_%, 𝑥_&∈ ℤ_'⁽

Ø Resolver o (PLI)

Ø Resolver a relaxação linear (PLR)

Ø Resolver o (PLI) sem uma das restrições funcionais (R1)

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

3

z_RL=-5 _x

1

x2

5 2

0 2

1 1

3

( )

RL

z

0 z

3

z = - 5 £ £ =

( ) 0, 0 x = Ø Graficamente - PLR

z = 1

( ) ^÷

ø ç ö è

= æ

= 3

; 5 3 x 5

; x

x

2 1 2x x z Min = -

ïï î ïï í ì

Î

£

£ +

³ -

+0 2 1 1

2 1

2 1

x , x

3 x

5 x 2 x

0 x x

Ζ

•SA dePLI:

³0

23

Exemplo

23

3

z_RL=-5 _x

1

x2

5 2

0 2

1 1

3

( )

RL

z

0 z

3

z = - 5 £ £ =

( ) ^{0, 0}

x = Ø Graficamente - PLR

z = 1

( ) ^÷

ø ç ö è

= æ

= 3

; 5 3 x 5

; x

x

2 1 2x x z Min = -

ïï î ïï í ì

Î

£

£ +

³ -

+0 2 1 1

2 1

2 1

x , x

3 x

5 x 2 x

0 x x

Ζ

•SA dePLI:

³0

O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Exemplo

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

x1

x2

5 2

0 2

1 1

3

( )0,0

RL z* 1 0 z

3

z =-5£ =- £ =

Ø Graficamente - PLI

z = 2

( )

1

*z 1

; 1

* -

=

= x

2 1 2x x z Min = -

ïï î ïï í ì

Î

£

£ +

³ -

0+ 2 1 1

2 1

2 1

x , x

3 x

5 x 2 x

0 x x

Ζ

25

E XEMPLO

25

x1

x2

5 2

0 2

1 1

3

( )0,0

RL z* 1 0 z

3

z =-5£ =- £ =

Ø Graficamente - PLI

z = 2

( )

1

*z 1

; 1

* -

=

= x

2 1 2x x z Min = -

ïï î ïï í ì

Î

£

£ +

³ -

0+ 2 1 1

2 1

2 1

x , x

3 x

5 x 2 x

0 x x

Ζ

O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Exemplo

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

x1

x2

5 2

0 2

1 1

3 z = 2

( )

4 z~

2

;

~ 0 -

=

= x

2 1 2x x z Min = -

ïï î ïï í ì

Î

£

£ +

³ -

0+ 2 1 1

2 1

2 1

x , x

3 x

5 x 2 x

0 x x

Ζ

27

Exemplo

Ø Graficamente – PLI sem 1ª restrição - Relaxação

27

x1

x2

5 2

0 2

1 1

3

• Graficamente – PLI sem 1ª restrição - Relaxação

z = 2

( )

4 z~

2

;

~ 0 -

=

= x

2 1 2x x z Min = -

ïï î ïï í ì

Î

£

£ +

³ -

0+ 2 1 1

2 1

2 1

x , x

3 x

5 x 2 x

0 x x

Ζ

O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Exemplo

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21 ØDualidade–obtenção de minorantes!

ØO valor de qualquer SA dual é um minorante para o valor ótimo do PLI (de minimização)

29

* z

* w =

Teor.: Dualidade Fraca:

w ( u ) £ z ( ) x , " x Î X , " u Î U

Teor.: Dualidade Forte:

dado um par de problemas duais, se um tem SO, então o outro também tem e os valores óptimos dos dois problemas coincidem

Relaxações

29

ØRetome-se o PLI

Î X x

Ø Define-se a função Dual Lagrangeanacomo sendo:

2 1 2x x z Min = -

ïï î ïï í ì

Î

£

£ +

³ -

0+ 2 1 1

2 1

2 1

x , x

3 x

5 x 2 x

0 x x

Ζ X

PLI(u): 𝑧 𝑢 =Min

)∈+ 𝑥_%− 2𝑥_&+ 𝑢 0 − 𝑥_%+ 𝑥_& =

= Min

)∈+ 𝑥% 1 − 𝑢 + 𝑥& −2 + 𝑢

O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Exemplo

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21 ØRetome-se o PLI

Î X x

Ø Define-se a função Dual Lagrangeana como sendo:

2 1 2x x z Min = -

ïï î ïï í ì

Î

£

£ +

³ -

0+ 2 1 1

2 1

2 1

x , x

3 x

5 x 2 x

0 x x

Ζ X

PLI(u): 𝑧 𝑢 =Min

)∈+ 𝑥%− 2𝑥&+ 𝑢 0 − 𝑥%+ 𝑥& =

= Min

)∈+ 𝑥% 1 − 𝑢 + 𝑥& −2 + 𝑢

31

Exemplo

31

x1

x2

5 2

0 2

1 1

3

• Graficamente O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Exemplo

Min)∈+ 𝑥_% 1 − 𝑢 + 𝑥_& −2 + 𝑢

𝑋 = G

𝑥%+ 2𝑥&≤ 5

𝑥% ≤ 3 𝑥%, 𝑥&∈ ℤ'(

𝑢 ≤ 1

. . .

𝑢 ≥ 2

. . .

1 ≤ 𝑢 ≤ 2

. . .

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

x1

x2

5 2

0 2

1 1

3

• Graficamente

33

Exemplo

Min)∈+ 𝑥% 1 − 𝑢 + 𝑥& −2 + 𝑢

𝑋 = G

𝑥_%+ 2𝑥_&≤ 5

𝑥_% ≤ 3 𝑥_%, 𝑥_&∈ ℤ_'⁽

𝑢 ≤ 1

. . .

𝑢 ≥ 2

. . .

1 ≤ 𝑢 ≤ 2

. . .

33

x1

x2

5 2

0 2

1 1

3

• Graficamente O TIMIZAÇÃO I NTEIRA

Exemplo

Min)∈+ 𝑥_% 1 − 𝑢 + 𝑥_& −2 + 𝑢

𝑋 = G

𝑥%+ 2𝑥&≤ 5

𝑥% ≤ 3 𝑥%, 𝑥&∈ ℤ'(

𝑢 ≤ 1

. . .

= 0 1 − 𝑢 + 2 −2 + 𝑢 =

= 2𝑢 − 4 𝑢 ≥ 2

. . .

𝑧 𝑢 = 𝑥_% 1 − 𝑢 + 𝑥_& −2 + 𝑢 =

= 3 1 − 𝑢 + 0 −2 + 𝑢 =

= 3 − 3𝑢

1 ≤ 𝑢 ≤ 2

. . .

SIMULAÇÃO EOTIMIZAÇÃO(MQDEE) – 2020/21

x1

x2

5 2

0 2

1 1

3

• Graficamente

35

Exemplo

Min)∈+ 𝑥% 1 − 𝑢 + 𝑥& −2 + 𝑢

𝑋 = G

𝑥_%+ 2𝑥_&≤ 5

𝑥_% ≤ 3 𝑥_%, 𝑥_&∈ ℤ_'⁽

𝑢 ≤ 1

. . .

= 0 1 − 𝑢 + 2 −2 + 𝑢 =

= 2𝑢 − 4 𝑢 ≥ 2

. . .

𝑧 𝑢 = 𝑥% 1 − 𝑢 + 𝑥& −2 + 𝑢 =

= 3 1 − 𝑢 + 0 −2 + 𝑢 =

= 3 − 3𝑢

1 ≤ 𝑢 ≤ 2

. . .

35