previsibilidade e imprevisibilidade estabilidade e instabilidade ordem e desordem

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CONCEITOS SOBRE

SISTEMAS DINÂMICOS CAÓTICOS previsibilidade e imprevisibilidade

estabilidade e instabilidade ordem e desordem

E1ore Bresciani Filho CLE-‐UNICAMP / 2014

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ObjeFvo

O objeFvo deste trabalho que é ‘contribuir para o aprofundamento do conhecimento dos conceitos de caos no âmbito da análise dos sistemas dinâmicos complexos destacando os aspectos de previsibilidade e imprevisibilidade, estabilidade e instabilidade, e ordem e desordem presentes nos sistemas dinâmicos caóFcos’.

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Previsibilidade e Estabilidade

^“Apesar dos sistemas dinâmicos caóFcos poderem ser expressos por sistemas de equações matemáFcas e, nesse senFdo, serem expressos por equações que são determinísFcas, os fenômenos representados por essas equações podem não ser determinados e previsíveis. É sob esse ponto de vista que se pode considerar que os sistemas dinâmicos caó5cos podem conter processos que comportam as emergências (transformações e criações) com auto-‐organização.” (ver Bresciani & D’O1aviano (2004);

Bresciani (2014)).

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“O sistema complexo dinâmico referido, apesar de seu comportamento muitas vezes imprevisível, pode apresentar um certo conjunto de comportamentos que se idenFﬁca como sendo decorrente de processo de auto-‐organização. Esse comportamento é visualizado pelo percurso da trajetória no espaço de estados que converge para uma região denominada atrator estranho, que é de aparência fractal. O processo de auto-‐organização é dinâmico e pode explorar diferentes trajetórias no espaço de estados; e uma das maneiras de aumentar a variação é submeter o sistema a uma perturbação (ruído, ﬂutuação.)” (ver Heylinghen (2008); Bresciani (2014))

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“Os sistemas determinísFcos comuns obedecendo leis simples podem dar origem espontaneamente a comportamentos considerados complexos associados com transições abruptas, múlFplos estados ou uma evolução aparentemente aleatória para a qual se refere como um caos determinísFco. Isso sugere que a riqueza da estrutura observada na natureza pode ser analisada a parFr da aplicação repeFda de uma lei muito simples. Em outras palavras, a ação de leis elementares sobre um grande número de unidades consFtuindo um sistema e sobre um longo período de tempo pode resultar em auto-‐organização na forma de estruturas inesperadas e eventos ausentes no nível dos elementos consFtuintes.” (ver Biebricher et al.(1995); Bresciani (2014)).

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“O despertar das potencialidades do sistema nem sempre acontece gradualmente; pelo contrário pode surgir por meio de eventos súbitos na forma de ‘instabilidades’; e isso significa que quando as restrições impostas pelo meio-‐ambiente aFngem um limite, pequenas perturbações com origem no meio-‐ambiente, ou pequena flutuações espontâneas que surgem no próprio sistema, tornam-‐se amplificadas e fora de proporção levando o sistema para fora do seu estado original e em direção a um novo regime. Essa transição lembra a bifurcação; somente o acaso, na forma de uma variação criFca que venha a prevalecer no momento propício, decidirá o percurso a ser seguido. Por essa perda de previsibilidade, o primeiro passo em direção a complexidade e auto-‐

organização é aFngido.” (Biebricher et al.(1995); Bresciani, 2014)

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“Muitos exemplos concretos de auto-‐organização que emerge por meio da bifurcação e da dinâmica caóFca (parFcularmente na gsica e na química), podem ser descritos e a caracterização da auto-‐organização pelo conceito de espaço de estados e de atratores, permite adotar a perspec5va geométrica da auto-‐organização, que é parFcularmente úFl para classiﬁcar e comparar diferentes Fpos de comportamento dinâmico que surgem em um sistema complexo quando variam as condições de restrição.” (Biebricher et al. (1995); Bresciani (2014)).

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“Mas a bifurcação está longe de ser um evento único; na medida que as restrições agindo no sistema variam, o sistema em geral caminha não somente para uma simples transição, mas para um completa sequência de fenômenos de transições, cujas caracterísFcas dependem da natureza das não-‐linearidades que estão presentes. Em muitos casos, essas transições culminam em um regime que, a despeito de sua origem perfeitamente determinísFca (que é descrita por meio das mesmas leis de evolução), é caracterizado por uma evolução irregular das variáveis no espaço e no tempo parecendo, em muitos aspectos, ao jogo do acaso... [mas é de fato] ...caos determinísFco.” (Biebricher et al.(1995); Bresciani, 2014).

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“Detalhando para os sistemas gsicos e químicos : dois mecanismos fundamentais permitem que o sistema deixe uma condição de equilíbrio (homeostáFco): a abertura para o meio-‐ambiente e comportamento não-‐

linear; o meio-‐ambiente exercerá diferentes Fpos de restrições (gsicas e químicas) e a resposta a essas restrições tomará a forma de ﬂuxos de matéria, energia e informação; a não-‐linearidade é expressa pelas interações cooperaFvas [ou compeFFvas] nas quais a presença de um elemento ampliﬁca [ou reduz] sua própria aFvidade ou de um outro elemento de acordo com uma lei que não é de simples proporcionalidade;

tal ambiente pode propiciar a mudança e diversiﬁcação, graças à cooperação [e compeFção], e assim como a capacidade de apresentar novidades que podem aparecer espontaneamente no sistema uma vez que as restrições sejam removidas.” (Biebricher et al.(1995);

Bresciani(2014)).

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Previsibilidade e Estabilidade

Funções matemáBcas discretas com cálculo iteraBvo (ver Feldman (2012))

1. Uma função pode ser pensada como uma ação tripla, ou seja, desdobrada em três outras ações: tomar um elemento como entrada (A), promover a sua transformação, e fornecer como saída um novo elemento (B). A função iteraFva se caracteriza pela sua aplicação a um elemento de entrada (A), denominado de condição inicial, que resulta em um elemento de saída (B), e a seguir pela sua nova aplicação a um elemento de entrada igual ao elemento de saída da primeira aplicação (A=B) que resulta em um elemento de saída (C); a seguir a aplicação prossegue do mesmo modo indeﬁnidamente; esse procedimento é denominado

‘iteraFvidade’ ou também [de construção] de ‘órbita’.

2. Tomando como exemplo a função f(x)=xˆ2, com a condição inicial de x=2 verifica-‐se que os resultados (órbita) tendem para o infinito (2, 4, 16, ...). Tomando como exemplo a mesma função f(x)=xˆ2 , com a condição inicial de x=1/2 verifica-‐

se que os resultados (órbita) tendem para zero (1/2, 1/4, 1/16, ...). Para essa função as condições iniciais igual ao número 0 (zero) ou 1(um) são consideradas

‘pontos ﬁxos’, pois a iteração não conduz a outro resultado que não seja o número 0 (zero) ou o número 1(um).

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3. Com a condição inicial de x=1 o resultado da aplicação da função f(x)=xˆ2 é f(x)=1, ou seja, é um ponto fixo; mas uma pequena diferença no valor dessa condição inicial para mais do que 1(um) ou para menos do que 1(um) pode levar a órbita em direção a 0(zero) ou ao ∞ (infinito); nesse caso, o ponto fixo 1(um) é considerado como sendo um ‘ponto fixo instável’ ou como um ‘ponto fixo repulsor’. E o Fpo de equilíbrio inicial é considerado como equilíbrio instável (exemplo da pedra redonda no topo da montanha)

4. Com a condição inicial de x=0 o resultado da aplicação da função f(x)=xˆ2 é f(x)=0, ou seja, é um ponto fixo; mas uma pequena diferença (fracionária) no valor dessa condição inicial para mais do que 0(zero) ou para menos do que 0(zero) pode levar a órbita em direção a 0(zero); nesse caso, o ponto fixo 0 (zero) é considerado como sendo um ‘ponto fixo estável’ ou como um ‘ponto fixo atrator’. E o Fpo de equilíbrio inicial é considerado como equilíbrio estável (exemplo da pedra redonda no fundo do vale).

5. Existe também a possibilidade de se encontrar ‘pontos ﬁxos neutros’, que uma vez movido de sua posição inicial permanece na nova posição sem se afastar ou se aproximar da posição inicial original (exemplo da pedra redonda na planície).

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Exemplo com funções matemáBcas discretas iteraBvas logísBcas

(ver Feldman (2012))

Considerando a equação logísFca de evolução de população: f(x) = rx(x-‐1),

pode-‐se observar os resultados ao se adotar diferentes valores de r e de condições iniciais (início da órbita):

(1) a população cresce e decresce rapidamente e se aproxima um ponto ﬁxo (atrator) em zero; todas as condições iniciais se aproximam de zero;

(2) a população cresce rapidamente se aproxima de um ponto ﬁxo (atrator) maior do que zero;

(3) a população cresce mas ao invés de se aproximar de um ponto ﬁxo maior do que zero, oscila entre dois valores (período 2);

(4) a população cresce, oscila entre quatro valores (período 4);

(5) a população cresce, oscila entre oito valores (período 8);

(6) a população cresce, oscila com período 3, mas toma um certo tempo para se repeFr.

(7) a população cresce e pode apresentar um comportamento que passa a ser aperiódico ou caóFco.

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Esse úlFmo caso, que se caracteriza por ser um sistema dinâmico caóFco possui as seguintes propriedades:

(1) a regra dinâmica é determinísFca (a regra é a função com a qual se faz a iteração);

(2) as órbitas são aperiódicas (as órbitas nunca se repetem);

(3) as órbitas estão limitadas (as órbitas se mantém entre dois limites, ou seja, não escapam para o inﬁnito);

(4) o sistema é sensível às condições iniciais.

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Adotando os valores de r de 0,50 a 4,00, veriﬁca-‐se que no diagrama de estado ﬁnal o seguinte (posições aproximadas, na escala de 0 a 1):

0,50 *_________________________________________________

2,00 ________________________*_________________________

3,20 ________________________*______________*__________

3,50 ________________*_______*_______________*_*_______

3,56 ________________*_*_____*_*_____________**_**_____

3,84 ___*____________________*______________________*__

4,00 ***************************************************

O que se observa é que em 3,20 ocorre uma primeira bifurcação (com comportamento com dois períodos), em 3,50 duas bifurcações; em 3,56 quatro bifurcações; em 3,84 três bifurcações e em 4,00 muitas bifurcações caracterizando a aparência caóFca (comportamento aperiódico).

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Estabilidade estaOsBca do caos

Pode-‐se construir um histograma, tendo na abscissa os valores da variável x e na ordenada a frequência f de sua ocorrência no diagrama de série de tempo. Essa construção dá uma nova perspecFva para as órbitas caóFcas.

E órbitas diferentes da resultante da equação logísFca (para r=4), parFndo de sementes diferentes, apresentam o mesmo Fpo de histograma. Ou seja: orbitas para essa equação (para r=4) são caóFcas e de percurso imprevisível devido ao efeito borboleta; contudo elas parecem ser imprevisíveis do mesmo modo pois apresentam o mesmo Fpo de histograma e nesse senFdo a equação logísFca caóFca é estaFsFcamente previsível apesar das suas órbitas terem percurso imprevisível

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(Exemplo: a previsão de clima – previsão alem de uns poucos dias não é possível, mas o comportamento no prazo longo é muito estável e previsível – não se sabe se vai chover daqui poucos dias mas se sabe que em um determinado mês chove muito provavelmente).

Aumentando a observação de um intervalo qualquer do histograma da equação logísFca caóFca, não se veriﬁca nenhum hiato na curva e isso indica que a órbita está presente em todo o intervalo; e esse aumento pode prosseguir com o mesmo resultado. A órbita que apresenta essa caracterísFca é denominado de órbita ergódiga. E pode-‐se aﬁrmar que um o fenômeno do caos é estaFsFcamente estável desde que seja tenha uma órbita ergódiga, e apresenta um distribuição estavsFca invariante.

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Ordem e desordem na evolução da órbita

RepeFndo em resumo: um sistema dinâmico é caóFco se for determinísFco; se Fver limites, órbitas aperiódicas e dependência sensível das condições iniciais. Para esse sistema não é possível fazer previsões no longo prazo. Uma pequena imprecisão nas medidas das condições iniciais do sistema é rapidamente ampliﬁcada nas iterações, e assim sendo somente previsões no curto prazo são possíveis. As órbitas de um sistema dinâmico caóFco parecem ser aleatórias, mesmo quando são geradas por uma regra determinísFca.

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Desse modo: um sistema que é caóFco no senFdo matemáFco não é sem estrutura. Examinando o diagrama de bifurcação , pode-‐se observar regularidades no modo como [os resultados da aplicação da] a equação logísFca movimenta-‐se para trás e para diante entre órbitas periódicas e caóFcas. Existe um padrão no modo de comportamento da equação muda quando o parâmetro r aumenta. Notadamente alguns aspectos desse padrão são universais. Diversas propriedades da transição periódica dupla para o caos são os mesmos para diferentes equações e mesmo diferentes sistemas gsicos. Não existe somente ‘ordem no caos’ mas alguns aspectos dessa ordem são os mesmos para diferentes sistemas caóFcos. (ver Feldman, 2012)

Além disso: Os sistemas caóFcos também possuem regularidades estavsFcas. Duas órbitas com condições iniciais ligeiramente diferentes seguem órbitas muito diferentes. Entretanto, o histograma construído dessas duas trajetórias são muito similares, e então suas propriedades médias são também muito similares. Um sistema dinâmico caóFco então combina elementos de ordem e desordem, previsibilidade e imprevisibilidade, e estabilidade e instabilidade. (ver Feldman, 2012)

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Observações na relação com o mundo newtoniano e determinismo laplaciano: o caos não suplanta as leis newtonianas mas leva a repensar ao menos duas das assunções que são partes dessas leis:

(1) a dependência sensível das condições iniciais complica a noção laplaciana que medidas com precisão aumentada levam a previsões com precisão aumentada; isso é verdadeiro, ou seja melhores medidas levam a melhores previsões contudo um sistema com dependência sensível das condições iniciais nunca é previsível no longo prazo.

(2) nem sempre é o caso de uma equação simples apresentar um comportamento dinâmico simples; em parFcular um sistema determinísFco pode ser imprevisível e parecer aleatório; ordem e e desordem não são mutuamente exclusivas.

(ver Feldman, 2012)

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Ordem e desordem no atrator

“O atrator do sistema pode ser considerado como sendo a formação de uma região restrita (no espaço de estados) a parFr de uma região mais ampla (no espaço de estados) por meio de uma ação e um controle exercidos dominantemente pelo próprio sistema, com ou sem inﬂuência de elementos externos ou de fronteira; um sistema complexo pode ter muitos atratores, que podem mudar (ou sofrer mutação), em função de determinados parâmetros de controle funcionais e estruturais do sistema.” (ver Bresciani & D’O1aviano (2004); Bresciani (2014)).

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“O aspecto irregular do atrator [atrator estranho] resulta da dinâmica caóFca do sistema que é de natureza determinísFca não sendo causada [mas podendo ser influenciada] por perturbações, flutuações ou ruídos externos de natureza estocásFca. O aspecto fractal se revela através de uma figura cuja forma se repete em escalas dimensionais cada vez menores [ou maiores] (podendo ser infinitamente pequeno ou infinitamente grande], portanto mantendo um padrão de [auto]

semelhança. A trajetória decorrente de atrator estranho não é de fácil idenFﬁcação e pode apresentar oscilações irregulares decorrentes da dinâmica caóFca do sistema.” (ver Bresciani & D’O1aviano (2004);

Bresciani (2014))

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“A definição de fractal pode ser realizada a parFr de suas propriedades geométricas; a figura (geométrica) ou objeto (gsico) fractal refere-‐se a um conjunto de elementos com as seguintes propriedades: (a) os elementos apresentam formas regulares ou irregulares e detalhadamente finas para diferentes escalas de observação arbitrariamente definidas; (b) essas formas apresentam auto-‐semelhanças exatas ou aproximadas, eventualmente estavsFcas; (c) essas formas não podem ser descritas com uma linguagem geométrica tradicional, tanto local como globalmente;

assim sendo deﬁne-‐se um parâmetro caracterísFco denominado dimensão fractal que pode não ser um número inteiro; (d) essas formas podem ser obFdas, em alguns casos, matemaFcamente de modo recursivo.” (Alligood (1996); Mandelbrot (1998); Falconer (2009);

Bresciani (2014)).

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“A relação entre a formação de fractais no espaço de estados e o processo de auto-‐organização pode ser assim estabelecida): a -‐ o sistema complexo dinâmico apresenta uma trajetória complicada no seu espaço de estados;

e assim o processo de auto-‐organização pode ser visto como um processo que faz com que o sistema percorra uma região no espaço de estados que uma vez aFngida não pode mais sair (atrator); b -‐ os sistemas complexos dinâmicos não lineares podem ter múlFplos atratores, inclusive de aparência fractal, cada um correspondendo a uma conﬁguração auto-‐

organizada e essa conﬁguração auto-‐organizada é mais estável do que a exisFa antes da auto-‐organização.” (Heylinghen (2008); Bresciani (2014)).

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Questão apresentada em trabalho anterior : “Pode-‐se ainda estabelecer uma disFnção entre os conceitos de fractais naturais e fractais matemá5cos; a matemáFca da geometria fractal pode ser aplicada para a interpretação de alguns fenômenos naturais, contudo as aplicações tendem a ser mais descriFvas do que prediFvas. Assim sendo seria razoável formular o conceito de processo de auto-‐organização natural existente em sistemas naturais, e que em alguns casos pode ser

‘veriﬁcado’ nos fractais naturais (objetos fractais), e de processo de auto-‐

organização ar5ficial decorrente da interpretação matemáFca dos fenômenos naturais e que em alguns casos pode ser verificado nos fractais matemáFcos (figuras fractais) ? (ver Bresciani (2014))

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Deve ser lembrado que se considera em geral o atrator estranho como tendo uma estrutura fractal e uma dinâmica caótica: Strange attactors are in interesting mix of order and disorder’ / ‘There is an intrinsic creativity associated with iteration’ (ver Feldman, 2012, p.283/354):

(1) ‘A dinâmica de um sistema com um atrator estranho é completamente caótica; possui a efeito borboleta e portanto a previsão no longo prazo é impossível; entretanto existe uma considerável ordem no atrator;

(2) a existência do atrator, para o qual quase todas as condições iniciais estão desenhadas, significa que o sistema é restrito apesar de ser caótico;

(3) no longo prazo a órbita nunca se repete, mas nunca se arranja fora do atrator;

(4) a estrutura do atrator frequentemente apresenta uma forma fractal intrincada e ordenada;

(5)  e o fato de que o fractal estranho atrai significa que essa forma é robusta no sentido de ser estável, e no longo prazo quase todas as condições iniciais levam ao mesmo atrator.’

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E assim sendo , os exemplos estudados de formação de fractais ilustram que a ordem e desordem não são completamente opostas mas são relacionadas. Sistemas determinísFcos podem produzir comportamento que são indisFnguíveis dos comportamento aleatórios, e sistemas aleatório podem produzir estruturas precisas e simétricas que parecem ser cuidadosa e deliberadamente construídas. A ﬁgura do atrator estranho de Lorentz e as ﬁguras decorrentes da equação logísFca são exemplos nos quais se observa imprevisibilidade e instabilidade local como previsibilidade e regularidade global. (ver Feldman, 2012)

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Considerações ﬁnais resumidas

1) Os sistemas dinâmicos caóFcos são sistemas dinâmicos determinísFcos que, mesmo no caso de obedecerem leis matemáFcas simples, podem dar origem espontaneamente a comportamentos com evolução na forma de órbitas aperiódicas e sensíveis às condições iniciais. Essas órbitas são consideradas complexas, imprevisíveis, instáveis e desordenadas e aparentemente aleatórias mas que se dirigem e se mantém entre limites do denominado atrator estranho que pode ser de aparência fractal. E ainda esses sistemas podem conter processos de auto-‐organização, e esses processos podem dar origem a emergências consideradas criaFvas.

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2) Os sistemas dinâmicos caóFcos apresentam um certo padrão (uma certa ordem) nos seus comportamento, pois pode-‐se observar regularidades (estruturas) no modo da evolução caracterizada pela transição entre órbitas periódicas e aperiódicas (caóFcas). E alguns aspectos desse padrão são universais, ou seja, esses modos de transição são os mesmos para diferentes equações matemáFcas e para diferentes sistemas gsicos.

3) Os sistemas caóFcos também possuem regularidades estavsFcas; com condições iniciais ligeiramente diferentes pode-‐se ter órbitas muito diferentes entretanto, o histograma construído dessas duas trajetórias são muito similares, e suas propriedades médias são também muito similares.

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4) As figuras do atrator estranho de aparência fractal de sistemas dinâmicos caóFcos são exemplos de padrões de auto-‐semelhança, com figuras intrincadas e ordenadas. E ainda as figuras do atrator estranho podem ser consideradas emergências criaFvas desses sistemas.

5) Em resumo: um sistema dinâmico caóFco combina elementos de ordem e desordem, previsibilidade e imprevisibilidade, e estabilidade e instabilidade.

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Referências

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•  BIEBRICHER, C.K. & NICOLIS, G. & SCHUSTER, P., Self-‐organizaBon in the physico-‐chemical and life sciences. Brussels: European Comission, Report Eur16546, 1995, 128p. (The theoreFcal basis of self-‐

organizaFon, p.2-‐12).

•  BRESCIANI F., E, Conceito de fractais e de processo de auto-‐organização, Seminários sobre auto-‐

organização, CLE-‐Unicamp, Campinas, S. P., 21.02.2014 [não publicado].

•  FALCONER, K., Fractal geometry – MathemaBcal foundaBons and applicaBons. Chichester (West Sussex):

J.Wiley, 2009 (2003), 367p.

•  FELDMAN, D.P. , Chaos and Fractals. Oxford: Oxford University Press, 2012, 408p.

•  HEYLIGHEN, F., Complexity and self-‐organizaBon In: BATES, M. & MAACK, M.N., Encyclopedia of Library and InformaFon Sciences, Taylor & Francis, 2008.

•  LLOYD, S. Measures of complexity: A non-‐exhausBve list. IEEE Control Systems Magazine, August, 2001, (Massachuse1s InsFtute of Technology, Laboratory for InformaFon Systems), Apud: MITCHEL, op.cit.

•  MITCHELL, M., Complexity-‐ A guided tour. N. York: Oxford University Press, 2009, 366p.

•  MANDELBROT, B. , Objetos fractais. Lisboa: GradaFva, 1998 (Tradução de Les Objects Fractals,

1989(1975)), 300p. [MANDELBROT, B., Fractal: form, chance, dimension. S.Francisco: Freeman, 1977;

MANDELBROT, B.,B., The fractal geometry of nature, N.York: Freeman, 1983].

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Trabalhos publicados

•  BRESCIANI F., E.; D’OTTAVIANO, I.M.L., Conceitos básicos de sistêmica. In:

D’OTTAVIANO, I.M.L., GONZALEZ, M.E.Q. (org.) Auto-‐organização: estudos interdisciplinares. Campinas: CLE/UNICAMP, 2000. p. 283-‐306. (Coleção CLE, v. 30)

•  BRESCIANI F., E.; D’OTTAVIANO, I.M.L., Sistema dinâmico caóFco e auto-‐

organização. In: SOUZA, G.M.; D’OTTAVIANO, I.M.L.; GONZALEZ, M.E.Q.

(org.). Auto-‐Organização: estudos interdisciplinares. Campinas: CLE/

UNICAMP, 2004. p. 239-‐256. (Coleção CLE, v. 38)

•  BRESCIANI F., E.; D'OTTAVIANO, I.M.L.; MILANEZ, L.F., Conceitos básicos de sistema térmico e dinâmico. In: BRESCIANI FILHO, E.; D’OTTAVIANO, I.M.L.;

GONZALES, M.E.Q. (org.). Auto-‐Organização: estudos interdisciplinares.

Campinas: CLE/UNICAMP, 2008. p. 19-‐32. (Coleção CLE, v.52)

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Trabalhos Apresentados

Seminários sobre Auto-‐Organização, CLE-‐UNICAMP BRESCIANI F., E

•  Conceitos para modelagem de sistemas dinâmicos e complexos, 13.03.2009 (Atualizado: Conceitos para a modelagem de sistema dinâmicos e complexos com auto-‐organização, 20.07.2010).

•  Modelagem gráﬁca e descriFva de processos, 12.03.2010.

•  Conceitos de sistemas dinâmicos e complexos, 27.04.2012.

•  Considerações sobre sistemas dinâmicos complexos, 19.04.2013.

•  Conceito de fractais e de processo de auto-‐organização, 21.02.2014.