Introdu¸c˜ ao ao C´ alculo de Probabilidades - Ver˜ ao 2012 Lista 2
Oexerc´ıcio 5 dever´a ser entregue em grupos deat´e 3 pessoasno dia 19/01/2012no hor´ario da aula.
1. H´a dez pares de sapatos num arm´ario e quatro p´es de sapato s˜ao escolhidos ao acaso.
Qual ´e a probabilidade de que formem pelo menos um par?
2. Qual ´e a probabilidade de que em cinco lan¸camentos de uma moeda haja uma sequˆencia (consecutiva) de pelo menos 3 caras?
3. Uma moeda ´e lan¸cada at´e que pela primeira vez o mesmo resultado apare¸ca por duas vezes seguidas. A cada poss´ıvel resultado de n lan¸camentos atribua probabilidade 2−n. Qual ´e a probabilidade de que o experimento termine antes do sexto lan¸camento? Qual
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e a probabilidade de que seja necess´ario um n´umero par de lan¸camentos para terminar o experimento?
4. n chaves s˜ao dadas a um homem, das quais apenas uma serve a sua porta. Ele as experimenta sucessivamente e ao acaso, sem repeti¸c˜oes, at´e que consiga abrir a porta. Seja X a vari´avel aleat´oria que conta o n´umero de tentativas. Mostre que P(X =i) = 1n, para i= 1, ..., n.
5. A urna I cont´em 2 bolas brancas e 4 bolas vermelhas, e a urna II cont´em 1 bola branca e 1 bola vermelha. Uma bola ´e selecionada ao acaso da urna I e posta na urna II, e da´ı uma uma bola ´e selecionada ao acaso da urna II.
a) Qual ´e a probabilidade de que a bola selecionada da urna II seja branca?
b) Qual ´e a probabilidade condicional de que a bola transferida seja branca dado que a bola escolhida da urna II ´e branca?
6. Suponha que 5% dos homens e 0,25% das mulheres s˜ao daltˆonicos. Uma pessoa daltˆonica ´e escolhida aleatoriamente. Qual ´e a probabilidade de que seja homem? Assuma que exista um n´umero igual de homens e mulheres.
7. Se a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada de uma vari´avel aleat´oria X ´e dada por
F(x) =
0, se x <0, 1/2, se 0≤x <1, 3/5, se 1≤x <2, 4/5, se 2≤x <3, 9/10, se 3≤x <3,5,
1, se x≥3,5.
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Encontre a fun¸c˜ao de probabilidade.
8. Dois dados justos s˜ao lan¸cados. Seja X igual ao produto dos dois resultados. Calcule P(X =i), i= 1,2, . . ..
9. Conhecemos que disquetes feitos por uma f´abrica apresentam defeitos com probabi- lidade independentemente de cada outro. A f´abrica vende pacotes contendo 10 disquetes e oferece uma garantia (devolve o dinheiro) de que no m´aximo um entre os 10 seja defeituoso.
Se compramos 3 pacotes qual ´e a probabilidade de que um dentre eles seja devolvido?
10. Para condenar um acusado s˜ao necess´arios ao menos 9 votos de um j´uri composto por 12 pessoas. Suponha que a probabilidade de que um jurado vote que um culpado seja inocente ´e 0,2 e a probabilidade de que um jurado vote que um inocente seja culpado ´e 0,1.
Se cada jurado age de modo independente e se 65% dos acusados s˜ao culpados, encontre a probabilidade de que o j´uri tome a decis˜ao correta. Que percentagem de culpados s˜ao condenados?
11. O n´umero de vezes que um indiv´ıduo tem gripe em determinado ano ´e uma v.a. de Poisson comλ= 5. Suponha que um novo medicamento reduz o parˆametro paraλ= 3 para 75% da popula¸c˜ao. Para os 25% restantes a droga n˜ao tem um efeito apreci´avel. Se um indiv´ıduo toma o medicamento durante um ano e tem duas gripes, qual ´e a probabilidade de que o medicamento seja ben´efico para ele?
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