d) |x+y|2 + |x−y|2 = 2|x|2 + 2|y|2 para todos x, y ∈ Rn

MAP0217

Lista de problemas 1

Exercício 1: Mostre que, em Rⁿ, vale:

a) Sex·y = 0 para todoy ∈Rⁿ, então x= 0.

b) Não vale uma ‘lei do cancelamento’ para o produto escalar.

Ou seja, x·y=x·z não necessariamente implica y =z.

c) |x+y|=|x|+|y| ⇔ x=λy ouy =λx, com λ≥0.

d) |x+y|² + |x−y|² = 2|x|² + 2|y|² para todos x, y ∈ Rⁿ. Conclua o seguinte teorema de geometria plana: ‘a soma dos quadrados dos comprimentos dos lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais’.

e) Se o ângulo entre dois vetores x e y é 0 ou π, então eles são paralelos. Além disso, no primeiro caso eles têm o mesmo sentido e, no segundo caso, sentidos opostos.

Exercício 2: Sejam x, y ∈ Rⁿ com |x−y| = d > 0 e r > 0.

Mostre que, se n ≥3:

a) Se2r > d existem infinitos z ∈Rⁿ tais que

|z−x|=|z−y|=r . b) Se2r =d existe exatamente um tal z.

c) Se2r < d não existe nenhum tal z.

Como se modificam essas sentenças quando n= 1,2?

Exercício 3: Sejam x, y ∈Rⁿ. O segmento de reta de extremos x, y é o conjunto

[x, y] ={(1−t)x+ty : 0≤t≤1} .

Um subconjunto X ⊆ Rⁿ é dito convexo se, para todos x, y ∈ X, [x, y]⊂X.

a) Mostre que a intersecção de uma família arbitrária de sub- conjuntos convexos é convexa. E a união?

b) Dado X ⊂ Rⁿ, sua envoltória convexa ConvX é o menor conjunto convexo contendo X. Prove que

ConvX = ( _k

X

j=1

λ_jx_j : x_j ∈X, λ_j ≥0 e

k

X

j=1

λ_j = 1 )

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Problemas 1

Exercício 4: Seja V um espaço vetorial real, de dimensão n, munido de um produto interno h·,·i, com norma induzida k·k.

a) Prove que para todos x, y ∈V valem:

A lei do paralelogramo: kx+yk² +kx−yk² = 2kxk²+ 2kyk² ; A identidade de polarização: hx, yi= 1

4 kx+yk²− kx−yk² . b) Se {e₁, . . . , e_n} é uma base ortonormal, isto é, he_i, e_ji = δ_ij,

então todo x∈V se escreve de maneira única como x=

n

X

i=1

hx, e_iie_i .

c) Se E ⊂ V é um subconjunto não-vazio, seu complemento ortogonal

E^⊥ ={y ∈V : hx, yi= 0∀x∈E}

é um subespaço vetorial de V.

d) (Teorema de Riesz) Mostre que, se φ : V → R é um fun- cional linear (ou seja, uma aplicação linear a valores reais), então existe um único v ∈V tal que φ(x) =hx, vi ∀x∈V. Exercício 5: (Teorema de Jordan-von Neumann) Seja V um espaço vetorial real munido de uma norma k·k. Mostre que a norma é induzida por um produto interno se, e somente se, satisfaz à regra do paralelogramo.

Sugestões:

1) Use a identidade de polarização para definir o candidato a produto interno;

2) Para mostrar que hx+y, zi = hx, zi+hy, zi, calcule kx+y+zk e kx+y−zk;

3) Conclua que hαx, yi=αhx, yi ∀α∈Npor indução. Em seguida, verifique que vale também paraα=−1 e, portanto, para α∈Z; 4) Usando quex=q(x/q), conclua que o resultado também vale para

α∈Q.

5) Verifique que h·,·isatisfaz à desigualdade de Cauchy-Schwarz.

6) Verifique que para todos α ∈ R e r ∈ Q, |αhx, yi − hαx, yi| ≤

|α−r| kxk kyk. Conclua.

2

MAP0217

Exercício6: Mostre que, qualquer que seja a normak·kadotada em Rⁿ, n > 1, a esfera unitária S = {x∈Rⁿ : kxk= 1} é um conjunto infinito.

Exercício 7: Para p > 0e x= (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ, definimos:

kxk_p =

n

X

i=1

|x_i|^p

!1/p

. Além disso, definimos também:

kxk_∞ = max

1≤i≤n|x_i| .

a) Mostre que, se 0< p <1, k·k_p não define uma norma em Rⁿ se n >1.

b) Verifique que, para cadax∈Rⁿ fixado, lim

p→∞kxk_p =kxk_∞. c) (Desigualdade de Young)Dizemos que dois númerosp >1

e q >1 são conjugados se 1/p+ 1/q= 1. Mostre que, se p, q são conjugados, então para todos a, b≥0vale:

ab≤ a^p p +b^q

q .

Sugestão: Mostre que a função fα : (0,+∞) → R definida por t 7→ t^α−αt tem um máximo absoluto em t = 1. Conclua que t^α≤αt+ (1−α)∀t >0e escolha t eα convenientemente.

d) (Desigualdade de Hölder) Mostre que, sepe q são conju- gados e x= (x₁, . . . , x_n),y = (y₁, . . . , y_n)∈Rⁿ, então

n

X

i=1

|x_iy_i| ≤ kxk_pkyk_q .

Verifique ainda que, se convencionamos que p = 1 e q = ∞ são conjugados, a desigualdade vale também neste caso.

Sugestão: Na desigualdade de Young, tome a = |x_i|/kxk_p, b =

|y_i|/kyk_q para cadai∈ {1, . . . , n} e some.

e) (Desigualdade de Minkowski) Mostre que se 1 ≤p≤ ∞ e x, y ∈Rⁿ, então

kx+yk_p ≤ kxk_p +kyk_p .

Conclua que, neste caso, k·k_p define uma norma emRⁿ.

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Problemas 1

Sugestão: Comece observando que |x_i+y_i|^p ≤ |x_i| |x_i+y_i|^p−1+

|y_i| |x_i+yi|^p−1 para cada i ∈ {1, . . . , n}. Em seguida aplique a desigualdade de Hölder e verifique que, se q é o conjugado de p, q(p−1) =p.

Exercício 8: SejaMat(m×n,R)o conjunto das matrizesm×n com entradas reais. Dada A ∈ Mat(m×n,R), identificamos um vetor x∈ Rⁿ com uma matriz coluna da maneira usual, de forma que Ax∈R^m. Definimos a norma de operador deA por:

kAk= sup

|x|=1

|Ax|

a) Mostre que k·k sempre assume valores finitos, isto é, fixada A∈Mat(m×n,R), o conjunto

{|Ax| : |x|= 1} ⊂R é limitado.

b) Mostre quek·kdefine uma norma no espaço vetorialMat(m×n,R).

c) Mostre que |Ax| ≤ kAk |x| ∀x∈Rⁿ.

d) Mostre que, seB ∈Mat(n×k,R),kABk ≤ kAk kBk.

e) Mostre que se |A| denota a norma euclidiana da matriz A pensada como vetor de R^mn, isto é,

|A|= s

X

i,j

a²_ij, onde A= (a_ij),

então kAk ≤ |A| ≤√ nkAk.

Sugestão: Para o lado esquerdo, note que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,





n

X

j=1

aijxj





2

≤





n

X

j=1

a²_ij









n

X

j=1

x²_j



.

Isso também deve ajudar no item a). Para o lado direito, note que

m

X

i=1

a²_ij =|Ae_j|² ≤ kAk² .

Última atualização: 2 de março de 2018

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