Modelo para análise de tensões principais biaxiais e triaxiais em materiais ortotrópicos através de medidas de difração de raios-x.

PROGRAMA DE P ´OS-GRADUAC¸ ˜AO EM F´ISICA

EDSON MASCARENHAS SANTOS

MODELO PARA AN ´ALISE DE TENS ˜OES

PRINCIPAIS BIAXIAL E TRIAXIAL EM

MATERIAIS ORTOTR ´OPICOS ATRAV ´ES DE

MEDIDAS DE DIFRAC¸ ˜AO DE RAIOS X

VIT ´ORIA 2010

MODELO PARA AN ´ALISE DE TENS ˜OES

PRINCIPAIS BIAXIAL E TRIAXIAL EM

MATERIAIS ORTOTR ´OPICOS ATRAV ´ES DE

MEDIDAS DE DIFRAC¸ ˜AO DE RAIOS X

Tese apresentada ao Programa de P´os-graduac¸˜ao em F´sica do Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Federal do Esp´rito Santo, como requisito par-cial para obtenc¸˜ao do Grau de Doutor em F´sica.

Orientador: Prof. Dr. Marcos Tadeu D'Azeredo Orlando.

VIT ´ORIA 2010

Dedico este trabalho a minha esposa Nilma, meus lhos, Thiago e Rebeca, aos meus pais, Delcio e Mariolinda, aos meus irm˜aos, Raimundo, Idelce, Robson, L´ucia, Cinho, Tatiane e aos meus familiares que de muitas formas me incentivaram e ajudaram para que fosse poss´vel a concretizac¸˜ao deste tra-balho.

Quero agradecer a todas as pessoas e instituic¸˜oes que proporcionaram os meios para que este trabalho pudesse ser realizado e de modo especial:

Ao Dr. Marcos Tadeu D'Azeredo Orlando pela orientac¸˜ao, incentivo, conanc¸a e amizade.

Aos amigos Alvaro e Milt˜ao pelas tardes de discuss˜oes sobre o tema. Ao amigo Junior pelo apoio e companheirismo.

Aos colegas do Departamento de F´sica da Universidade Estadual de Feira de Santana pela oportunidade dada para a realizac¸˜ao desse trabalho.

Ao CNPq Grant 504578/2004-9 e ao Laborat´orio Nacional de Luz S´ncrotron-LNLS - linha DRX1 pelo apoio t´ecnico.

Aos meus irm˜aos pela compreenss˜ao nas faltas que cometi ao trato com minha m˜ae. A minha amada Nilma que sempre est´a concordando comigo ou n˜ao, mas do meu lado.

principais biaxial e triaxial em materiais policristalinos anisotr´opicos. Com as equac¸˜oes proposta foi poss´vel determinar constantes el´asticas usando a Teoria da Elasticidade dos Meios Cont´nuos para pequenas deformac¸˜oes. A relac¸˜ao constitutiva

entre deformac¸˜ao e tens˜ao foi considerada ortotr´opica, obedecendo a lei de Hooke generalizada. Uma das t´ecnicas que podem ser aplicada na obtenc¸˜ao das tens˜oes e das constantes el´asticas ´e a difrac¸˜ao de raios X, pois as condic¸˜oes experimentais s˜ao

an´alogas as hip´oteses do modelo, ou seja, medem pequenas deformac¸˜oes em comparac¸˜ao as dimens˜oes da amostra e a ordem de grandeza das tens˜oes envolvidas est´a no regime el´astico. Sendo assim, baseado nas equac¸˜oes obtidas, foi poss´vel usar

a t´ecnica de sin2_{ψde difrac¸˜ao de raios X para materiais com textura e anisotr´opicos,}

fazendo, em primeiro lugar, uma caracterizac¸˜ao da textura atrav´es das guras de p´olos para denir os poss´veis ˆangulos ψ que podem ser usados na equac¸˜ao. Em seguida, determinou-se a deformac¸˜ao para cada pico de difrac¸˜ao com os ˆangulos ψ

obtidos com as guras de p´olo. Conhecendo as constantes el´asticas do material, pode-se usar a equac¸˜ao no c´alculo da tens˜ao residual em um material. ´E apresentado um teste da coerˆencia das equac¸˜oes obtidas comparando com as equac¸˜oes existentes na literatura para materiais isotr´opicos e aplicando o modelo para

tens˜ao principal biaxial junto com os dados experimentais do trabalho de D. Faurie e colaboradores possibilitou encontrar e comparar as constantes el´asticas do nosso

modelo com o trabalho citado.

principals stresses in polycrystalline anisotropic materials. Taken into account these mathematic expressions was possible to determine the elastic constants using the Theory of Elasticity Continuum for small deformations. The constitutive relation between strain and stress must be considered orthotropic, obeying the generalized

Hooke's law. One technique that can be applied to obtain the stresses and elastic constants was the X-ray diffraction, because the experimental conditions are similar

to the assumptions of the model, ie, measure small deformations compared the sample sizes and magnitude of stress is involved in the elastic range. Therefore, based on the equations obtained, here it is possible to use the technique of x-ray diffraction sin2_{ψfor materials with texture or anisotropic, determining, rst, a}

characterization of the texture through the pole gures in order to determine possible angles ψ, which can be used in our equation. Next, it was determined the deformation for each diffraction peak with the angles ψ obtained from the pole gures. As considering the elastic constants of the material knowledge, our can use

equation to calculate the residual stress in a material. We presented a test of the consistency of our equations by comparing with the equations in the literature for isotropic materials, moreover we applied the model to biaxial principal stress, using experimental data from the work of D. Faurie et al, in order to be possible to compare

the elastic constants obtained with the study reported.

1.1 Radiac¸˜oes Caracter´sticas dos Principais Materiais Utilizados em Tu-bos de raios X . . . 10

4.1 Comparac¸˜ao dos resultados do trabalho de Faurie et al ([19]) com os resultados do nosso modelo. . . 68

1.1 Raios X espalhados por um ´unico eletron ref.[23] . . . 13 1.2 Deformac¸˜ao por expans˜ao ou contrac¸˜ao dos valores de d . . . 28

2.1 Diagrama do ensaio de trac¸˜ao: (a) Material d´uctil; (b) Material fr´agil . 32 2.2 Conceito de tens˜ao no ponto de um s´olido [30]. . . 36 2.3 Decomposic¸˜ao da tens˜ao total nas suas componentes no plano [30]. . . 37 2.4 Representac¸˜ao das tens˜oes e respectiva notac¸˜ao num elemento

tridi-mensional [30]. . . 39 2.5 Deformac¸˜ao e deslocamento de um elemento de volume de um corpo

sujeito a um sistema de forc¸as [30]. . . 40

3.1 Sistema de coordenadas do laborat´orio (Li) e o sistema de

coorde-nadas da amostra (Pi). . . 53

4.1 Evoluc¸˜ao da deformac¸˜ao, ε0,ψ, em func¸˜ao da carga aplicada no comp´osito

lme/substrato para cada fam´lia de planos[19]. . . 62 4.2 Dados experimentais para a direc¸˜ao de medida longitudinal (ε0,ψ) para

os estados de carga T1− T5[19]. . . 63

4.3 Curva experimental,(ε0,ψ+ε90,ψ

2 )X sin

2_{ψpara carga aplicada [19]. . . 64}

4.4 Inclinac¸˜ao P das retas dos gr´acos (ε0,ψ+ε90,ψ

2 )X sin

2_{ψ em func¸˜ao de}

(σxx+ σyy). . . 66

4.5 Gr´aco de deformac¸˜ao versus sin2_{ψ com fator de correlac¸˜ao R. . . . 67}

Dedicat´oria . . . ii Agradecimentos . . . iii Resumo . . . iv Abstract . . . v Lista de tabelas . . . vi Lista de guras . . . vi ´Indice . . . 1 Introduc¸˜ao 3 1 Difrac¸˜ao de Raios X 9 1.1 Teoria de Difrac¸˜ao de Raios X . . . 9

1.1.1 Produc¸˜ao de Raios X . . . 9

1.1.2 Lei de Bragg . . . 11

1.2 Teoria de espalhamento . . . 12

1.2.1 Espalhamento por um el´etron . . . 12

1.2.2 Espalhamento el´astico por duas part´culas . . . 15

1.2.3 Espalhamento el´astico por um conjunto de part´culas . . . 18

1.2.4 Espalhamento por uma distribuic¸˜ao cont´nua de mat´eria . . . 19

1.2.5 Fator de espalhamento atˆomico dos raios X . . . 20

1.2.6 An´alise de Fourier . . . 21 1

1.2.7 Equac¸˜ao b´asica . . . 22

1.2.8 Part´culas pontuais . . . 23

1.2.9 Teorema da convoluc¸˜ao . . . 24

1.2.10 Transformadas de estruturas cristalinas . . . 24

1.3 M´etodo do P´o . . . 25

1.3.1 Introduc¸˜ao . . . 25

1.3.2 Uso do m´etodo do p´o . . . 26

1.3.3 Distorc¸˜oes Anisotr´opicas em picos padr˜oes . . . 26

1.3.4 Orientac¸˜ao Preferencial . . . 27

1.3.5 Tens˜ao Residual e Deformac¸˜ao . . . 28

2 A teoria da elasticidade linear 29 2.1 Introduc¸˜ao . . . 29

2.2 Diagrama Tens˜ao-Deformac¸˜ao . . . 30

2.3 Deformac¸˜ao Volum´etrica . . . 33

2.4 A Lei de Hooke Generalizada . . . 34

2.4.1 Introduc¸˜ao . . . 34

2.4.2 Tensor das tens˜oes . . . 35

2.4.3 Tensor deformac¸˜ao . . . 40

2.4.4 Tensor de elasticidade . . . 42

3 Tens˜oes principais biaxial e triaxial 49 3.1 Introduc¸˜ao . . . 49

3.2 Deformac¸˜ao, Tens˜ao e Sistema de Coordenada . . . 52

3.3 Estado de Tens˜ao Principal Triaxial . . . 55

4 An´alise de Coerˆencia da Equac¸˜ao Ortotr´opica 57 4.1 Introduc¸˜ao . . . 57 4.2 Estado de Tens˜ao Principal Triaxial . . . 58 4.3 Estado de Tens˜ao Principal Biaxial . . . 59 4.4 Coerˆencia experimental para o estado principal biaxial de tens˜ao . . . 60

Segundo a denic¸˜ao padr˜ao, as tens˜oes residuais s˜ao tens˜oes que existem internamente no material em equil´brio provocado por forc¸as ou tens˜oes externas depois de apli-cado no material na temperatura constante[1]. Nas ciˆencias de materiais, o estudo de tens˜oes residuais ´e de bastante interesse para diferentes aplicac¸˜oes tecnol´ogicas, por exemplo, barreiras t´ermicas e resistˆencia a corros˜ao na estrutura met´alica [2], tens˜ao mecˆanico de magnetos supercondutores [3], a tens˜ao residual no lme no [4], fadiga a corros˜ao em ligas amplamente utilizada para componentes estruturais de avi˜oes [5], e assim por diante.

Considerando o par´agrafo acima, podemos ressaltar a importˆancia de desenvolver-mos estudos na tem´atica das tens˜oes residuais e classicar como intr´nsecas e extr´nsecas, a saber:

Tens˜oes intr´nsecas - S˜ao aquelas que surgem durante o crescimento de um mate-rial e geralmente advˆem de defeitos incorporados a estrutura do matemate-rial;

Tens˜oes extr´nsecas - S˜ao aquelas que surgem depois do crescimento do material e geralmente tem como causa os efeitos t´ermicos e mecˆanicos sobre o material.

Do ponto de vista experimental, a avaliac¸˜ao das tens˜oes residuais nos materiais pode ser feita por diferentes m´etodos ou t´ecnicas:

• M´etodos Mecˆanicos - S˜ao lineares e utilizam m´etodos de dissecc¸˜ao e m´etodo secc¸˜ao, sobre a amostra. Como exemplos de dissecc¸˜ao tˆem: o m´etodo do n´ucleo toroidal (”ring core method”) e o m´etodo de perfurac¸˜ao (”hole-drilling

method”); e como exemplo de secc¸˜ao tem o m´etodo da remoc¸˜ao de materiais [6]. Conseguentemente os m´etodos mecˆanicos s˜ao destrutivos.

• M´etodos El´asticos n˜ao lineares - Utilizam m´etodos que modicam inelastica-mente a estrutura da amostra. Como exemplos tˆem: T´ecnicas ultrasˆonicas e magn´eticas [7].

• T´ecnicas de Difrac¸˜ao - S˜ao lineares e utilizam o fenˆomeno da difrac¸˜ao devido a incidˆencia de uma onda sobre amostra, por meio de um espalhamento el´astico. Como exemplos tˆem difrac¸˜ao de raios X [2, 4] e difrac¸˜ao de neutrons [8, 9]. Consequentemente n˜ao ´e um m´etodo destrutivo.

A medida da tens˜ao residual n˜ao pode ser determinada diretamente. Para obter a tens˜ao residual medimos algumas propriedades do material como a deformac¸˜ao [2, 8, 10]. Os m´etodos citados acima nos fornecem, portanto as deformac¸˜oes.

As tens˜oes residuais em um material surgem de v´arias fontes e, em geral, eles podem ser divididos em trˆes categorias [11], de acordo com a sua escala de compri-mento:

• Tens˜ao tipo I, que varia em uma escala de comprimento de muitos gr˜aos (por exemplo, mil´metros); ´e, por denic¸˜ao, independente da orientac¸˜ao dos gr˜aos individuais, conhecido como macros-tens˜ao [11]. ´E considerada homogˆenea ao longo de um grande n´umero de dom´nios de cristal do material [12];

• Tipo II (tens˜ao inter-granular), que varia de gr˜ao a gr˜ao. ´E considerado ho-mogˆenea dentro dos dom´nios pequenos do cristal do material (um ´unico gr˜ao ou fase) [12];

homogeneidade nos pequenos dom´nios dos cristais (aproximadamente, distˆancias interatˆomicas)[12].

No caso geral, quando o material apresenta o estado de tens˜ao residual em um ponto, existem as superposic¸˜oes das tens˜oes do tipo I, II e III.

Um cristal ´e caracterizado por um arranjo peri´odico de pontos aos quais associ-amos elementos f´sicos ao espac¸o. Por esta raz˜ao, em geral, ´e gerada uma dependˆencia das propriedades cristalinas sobre direc¸˜oes escolhidas, denominada como anisotropia. A maioria dos s´olidos naturais e articiais cont´em muitos cristalitos os quais po-dem ter diferentes tamanhos formas e orientac¸˜oes. Os cristalitos s˜ao as unidades de monocristais microsc´opicos do material.

As orientac¸˜oes preferenciais dos cristalitos em um material ´e denominada tex-tura [13]. A textex-tura ´e uma caracter´stica intr´nseca de metais, cerˆamicas, pol´meros e rochas e tem uma inuˆencia determinante sobre a anisotropia de suas propriedades f´sicas.

A inuˆencia da textura sobre a tens˜ao residual ´e um problema bastante difundido na literatura atual [14] e, do ponto de vista te´orico e experimental, ainda est´a em aberto.

Alguns trabalhos foram desenvolvidos nesta tem´atica. Por exemplo:

• _{A determinac¸˜ao da raz˜ao de Poisson de materiais ortotr´opicos investigada por}

Lempriere [15],

• A aplicabilidade da t´ecnica destrutiva de perfurac¸˜ao para a determinac¸˜ao expe-rimental de tens˜oes residuais em materiais lmes nos retangulares ortotr´opico que foi investigada por Lake et al [16] e Schajer & Yang [17],

X, que foi investigada por Clemens [18],

• A determinac¸˜ao de constantes el´asticas de um lme no de ouro texturizado, combinando difrac¸˜ao de raios X de luz s´ncrotron e testes de trac¸˜ao em ”situ” investigada por Faurie et al [19],

• A an´alise sobre o modelo ortotr´opico aplicado a madeira e suas propriedades el´asticas investigada por Mascia [20].

Nesse trabalho, investigamos a inuˆencia da textura sobre a tens˜ao residual do tipo I ou macro-tens˜ao em um material. A nossa proposta foi desenvolver um modelo que leve em considerac¸˜ao a anisotropia do material supondo ser ortotr´opico para pequenas deformac¸˜oes. Um material ´e dito ser ortotr´opico quando h´a trˆes eixos ortogonais de simetria com propriedades el´asticas diferentes. Neste sentido nossa proposta difere das anteriores at´e agora estudados, pois consideramos a anisotropia ortotr´opica para a t´ecnica de difrac¸˜ao.

A hip´otese usada no desenvolvimento do nosso modelo foi a de pequenas defor-mac¸˜oes. Tal hip´otese implica que consideramos as deformac¸˜oes principais, que s˜ao respons´aveis pela mudanc¸a do volume da amostra, sem considerar as deformac¸˜oes re-spons´aveis pela mudanc¸a da forma, ou seja, as deformac¸˜oes tangenciais, portanto isso nos permitiu utilizar a teoria da elasticidade dos meios cont´nuos, no regime el´astico, sendo a relac¸˜ao constitutiva entre deformac¸˜ao e tens˜ao dada pela lei de Hooke Gene-ralizada.

Considerando do ponto de vista experimental, a tens˜ao residual pode ser medida atrav´es da t´ecnica da difrac¸˜ao. Nosso modelo se aplica as t´ecnicas de difrac¸˜ao (raios X, neutrons), pois, as condic¸˜oes experimentais s˜ao an´alogas a hip´otese do modelo, ou seja, medem pequenas deformac¸˜oes em comparac¸˜ao as dimens˜oes da amostra e a ordem de grandeza das tens˜oes envolvidas est´a no regime el´astico.

Na t´ecnica de sin2_{ψ por difrac¸˜ao, a presenc¸a de textura em um material provoca}

uma relac¸˜ao n˜ao linear (”snake-like” curves) no gr´aco εhkl

φψXsin2ψ [14]. Apesar de

que, na literatura, n˜ao ´e mostrada a utilizac¸˜ao desta t´ecnica para materiais texturados, vale frisar que os trabalhos existentes tentam corrigir os efeitos da n˜ao linearidade [21, 22] por procedimentos semiemp´ricos, a exemplo da t´ecnica de Marion-Cohen [5].

No nosso modelo demonstramos que, sob considerac¸˜oes apropriadas, podemos continuar usando a t´ecnica de sin2_{ψ, mesmo para materiais com textura.}

Este trabalho est´a dividido da seguinte maneira: No primeiro cap´tulo, fazemos uma revis˜ao da t´ecnica de difrac¸˜ao de raios X existente na literatura. No segundo cap´tulo, fazemos uma revis˜ao da hip´otese do modelo e da relac¸˜ao constitutiva entre a deformac¸˜ao e a tens˜ao para materiais ortotr´opicos usando a lei de Hooke Generalizada. No terceiro cap´tulo, desenvolvemos uma express˜ao para a tens˜ao principal triaxial e biaxial. No quarto cap´tulo, fazemos um teste da coerˆencia das equac¸˜oes obtidas comparando com as equac¸˜oes existentes na literatura para materiais isotr´opicos e apli-camos o modelo para tens˜ao biaxial, utilizando os dados experimentais do trabalho de D. Faurie e colaboradores [19], o que possibilitou observar as ordens de grandeza das constantes el´asticas. No quinto cap´tulo, apresentamos as nossas conclus˜oes.

Difrac¸˜ao de Raios X

1.1 Teoria de Difrac¸˜ao de Raios X

1.1.1 Produc¸˜ao de Raios X

Os raios X podem ser produzidos em laborat´orio pela colis˜ao de um feixe de eletrons com um alvo met´alico. O espectro consiste de uma banda larga de radiac¸˜ao cont´nua (”bremsstrahlung” ou radiac¸˜ao branca). A radiac¸˜ao cont´nua ´e produzida pela de-sacelerac¸˜ao dos el´etrons no ´atomo do elemento alvo [23]. Este mecanismo produz uma distribuic¸˜ao larga de energias de raios X, proporcional as energias dos el´etrons incidentes, ou seja: λmin = hc V = 12, 398 V (1.1)

onde V ´e a voltagem aplicada. No espectro aparecem algumas linhas estreitas sobre-postas com o espectro cont´nuo. A intensidade dessas linhas ´e dependente da corrente do tubo de raios X e da voltagem, sendo que λmin correspondente ao comprimento de

onda m´nimo (energia m´axima) que um el´etron pode perder numa ´unica colis˜ao. A produc¸˜ao da radiac¸˜ao caracter´stica est´a baseada na interac¸˜ao entre os el´etrons do ´atomo e a part´cula incidente. O eletron do ´atomo alvo pode ser removido da sua posic¸˜ao atˆomica e deixar o ´atomo ionizado. O eletron livre ´e chamado f´oton-el´etron

que sair´a do ´atomo com energia cin´etica E − φ onde E ´e a energia do f´oton incidente e φe ´e a energia do eletron ligado. Quando um el´etron da camada L ´e transferido para

a camada K ocupando uma vacˆancia do n´vel, ocorre o efeito de produc¸˜ao de f´otons com energia igual a φk− φlque ´e chamado de f´oton de raios X Kα. A energia dessa

radiac¸˜ao ´e:

E = hν = hc

λ (1.2)

onde h ´e a constante de Planck e c ´e a velocidade da luz. A regi˜ao do espectro eletro-magn´etico que corresponde ao raios X est´a entre 0, 1 − 100A. Em energia ser´a no intervalo de 0,1 kev e 100 kev.

Como a energia para cada n´vel varia com o elemento atˆomico do alvo, cada tipo de alvo produz radiac¸˜oes caracter´sticas em diferentes comprimentos de onda. A tabela 1 mostra alguns detalhes sobre os comprimentos de onda para os materiais mais utiliza-dos em tubos de raios X [24].

Table 1.1: Radiac¸˜oes Caracter´sticas dos Principais Materiais Utilizados em Tubos de raios X

Elemento Kα1( A) Kα2( A) Kβ1( A) Filtro Beta

Cr 2,28970 2,29361 2,08487 V Fe 1,93604 1,93998 1,75661 Mn Co 1,78896 1,79285 1,62079 Fe Cu 1,54056 1,54439 1,39221 Ni Mo 0,70930 0,71359 0,63228 Zr

A limitac¸˜ao fundamental no uso de raios X ´e que a intensidade m´axima do feixe est´a limitada pela necessidade de se evitar o aquecimento demasiado do alvo. A produc¸˜ao de raios X atrav´es de tubos n˜ao ´e muito eciente, sendo que a maior parte da energia do feixe de el´etrons incidente ´e perdida na forma de calor. Isto pode ser resolvido em parte usando alvos girat´orios, de forma que o feixe de el´etrons n˜ao incida

em uma ´unica ´area do anodo. Al´em disso, o comprimento de onda dado por um tubo de raios X n˜ao ´e sintoniz´avel.

Estes problemas, de se obter um feixe sintoniz´avel e uma boa intensidade, podem ser resolvidos usando-se fontes de luz s´ncrotron. A luz de uma fonte s´ncrotron ´e produzida quando cargas el´etricas aceleradas a velocidades relativ´sticas s˜ao deetidas por campos magn´eticos [24]. Essas cargas, em geral el´etrons ou p´ositrons, percorrem uma ´orbita fechada dentro de um sistema em alto-v´acuo, o que d´a origem a express˜ao anel de armazenamento. As principais caracter´sticas que fazem as fontes s´ncrotron serem ´unicas s˜ao a alta intensidade, amplo espectro de energia e caracter´sticas de polarizac¸˜ao da luz emitida, entre outras. A luz ´e emitida na direc¸˜ao tangencial a tra-jet´oria das part´culas e praticamente com toda a intensidade colimada no plano da

´orbita, dessa maneira a luz emitida tem a forma de um leque.

Uma parte dessa luz ´e levada para fora do anel de armazenamento e aproveitada nas estac¸˜oes experimentais. Estas estac¸˜oes s˜ao chamadas de linhas de luz e podem existir v´arias delas operando independentemente em um mesmo anel de armazenamento.

Uma das vantagens da utilizac¸˜ao de radiac¸˜ao sincrotron em relac¸˜ao aos tubos de raios X padr˜ao ´e que o comprimento de onda ´e sintoniz´avel. Isso pode ser importante para tipos especiais de experiˆencias de difrac¸˜ao, quando a energia do f´oton de raios X est´a perto de uma energia de absorc¸˜ao ressonante de um dos ´atomos no cristal a ser estudado. A outra vantagem ´e a alta intensidade, que ´e importante principalmente em estudos de determinac¸˜ao da estrutura de um cristal.

1.1.2 Lei de Bragg

Se um feixe de raios X, com uma dada freq¨uˆencia, incidir sobre um ´atomo isolado sabe-se que os el´etrons desse ´atomo ser˜ao excitados e vibrar˜ao, emitindo raios X em todas as direc¸˜oes com a mesma freq¨uˆencia do feixe incidente [23]. Quando os ´atomos

est˜ao regularmente espac¸ados em um reticulado cristalino e a radiac¸˜ao incidente tem comprimento de onda da ordem deste espac¸amento, ocorrer´a interferˆencia construtiva em certas direc¸˜oes e interferˆencia destrututiva em outras. A difrac¸˜ao ´e um fenˆomeno que se relaciona na direc¸˜ao onde h´a interferˆencia construtiva e destrutiva.

Para que as ondas reetidas interram construtivamente ´e necess´ario que a dife-renc¸a de caminho entre os raios, incidentes e reetidos, seja um m´ultiplo inteiro do comprimento de onda λ da radiac¸˜ao monocrom´atica incidente, satisfazendo a condic¸˜ao de Bragg

2 dhklsin θ = nλ. (1.3)

onde n ´e inteiro. O ˆangulo θ que satisfaz essa condic¸˜ao ´e chamado de ˆangulo de Bragg e o n´umero inteiro n de ordem de difrac¸˜ao.

1.2 Teoria de espalhamento

1.2.1 Espalhamento por um el´etron

Considere um el´etron de carga −e e massa m mantido na origem por uma pequena forc¸a restauradora. Uma onda plana de raios X monocrom´atico pode ser representada pelo campo el´etrico incidente:

~

E0exp[iω0t − ik0.r] (1.4)

que atua sobre o el´etron, ~E0 ´e o vetor campo el´etrico incidente, k0 ´e o vetor de onda

da onda incidente, enquanto que ω0 = 2πν0, onde ν0 ´e a frequˆencia. Assumindo

por simplicidade que a frequˆencia natural do el´etron ´e pequena comparada com a frequˆencia do campo el´etrico incidente de raios X. A forc¸a externa atuante no el´etron ´e expressa por −eE0eiω0t. Desde que a forc¸a restauradora seja pequena ent˜ao, a forc¸a

imprimida no el´etron ser´a igual a:

md

2_x

dt2 = −eE0e

iω0t (1.5)

onde x ´e o deslocamento m´edio do el´etron. A soluc¸˜ao da equac¸˜ao diferencial do movimento ´e: ~x = e mω2 0 ~ E0eiω0t (1.6)

O momento dipolar do el´etron ´e −ex, ou seja:

−e~x = ~peeiω0t ~ pe = e2 mω2 0 ~ E0 (1.7)

A polarizabilidade αe, ´e por denic¸˜ao o momento de dipolo induzido por campo

unit´ario.

αe = −

e2

mω2

0 (1.8)

Figure 1.1: Raios X espalhados por um ´unico eletron ref.[23]

De acordo com a teoria eletromagn´etica, um oscilador ou dipolo oscilante peeiω0t

produz um campo eletromagn´etico. Os campos magn´eticos e el´etricos produzido por esse dipolo, de acordo com Jackson[25], para grandes distˆancias comparado com o comprimento de onda, s˜ao dados por:

eiω0t_H~ e= ~ux ~pe ω2 0 c2_Rexp[iω0t − 2πi~k. ~R] (1.9) eiω0t_E~ e = (~ux ~pe)x~u ω2 0 c2_Rexp[iω0t − 2πi~k. ~R] (1.10)

onde: ~R = R~u ´e o raio do vetor dipolo at´e o ponto de observac¸˜ao e ~k = 1

λ~u.

Essas equac¸˜oes representam ondas esf´ericas originadas pelo dipolo. A intensidade m´edia no ponto de observac¸˜ao ~R ´e dada por:

Ie=

c

8π| ~Ee|

2 _(1.11)

enquanto que a intensidade da onda incidente ´e:

I0 =

c

8π| ~E0|

2 _(1.12)

Substituindo o vetor de onda incidente e espalhado pelo el´etron nas express˜oes da intensidade, teremos que evoluir a seguinte express˜ao:

¯ ¯ ¯(~ux ~pe)x~u ω2 0 c2_R exp[iω0t − 2πi~k. ~R] ¯ ¯ ¯2 = = ¯ ¯ ¯|~u|| ~pesin ϕ ω 2 0 c2_R exp[iω0t − 2πi~k. ~R] ¯ ¯ ¯2 = | ~pe|2sin2ϕ|³ ω 2 0 c2_R ´₂ Como, ~ pe = − e2 mω2 0 ~ E0 (1.13) logo: Ie= ³ e2 mc2_R sin ϕ ´₂ I0 (1.14)

Se a onda ´e n˜ao polarizada o ˆangulo ϕ, representado na gura 1.1, torna-se inde-terminado e o termo sin2_{ϕdeve ser trocado pelo seu valor m´edio, ou seja:}

sin2_{ϕ = 1 − cos}2_{ϕ = 1 − cos}2_{ψ cos}2³π 2 − 2θ ´ (1.15) = 1 − cos2_{ψ sin}2_(2θ) = 1 − 1 2 ¡ 1 − cos2_(2θ)¢ = 1 + cos2(2θ) 2

onde 2θ ´e o ˆangulo de espalhamento, ou seja, o ˆangulo entre a direc¸˜ao do feixe in-cidente e a direc¸˜ao do feixe espalhado. Portanto, a intensidade de espalhamento ca reduzida a seguinte express˜ao:

Ie= I0 µ e2 mc2_R ¶₂µ 1 + cos2_(2θ) 2 ¶ (1.16) onde 1+cos2_(2θ

2 ´e o fator de polarizac¸˜ao da onda espalhada por um el´etron. Essa

ex-press˜ao nos mostra que a intensidade de espalhamento por um ´unico el´etron ´e inde-pendente da frequˆencia de raios X.

1.2.2 Espalhamento el´astico por duas part´culas

Considere o espalhamento realizado por duas part´culas, separadas pelo vetor ~r, de um feixe de radiac¸˜ao com vetor de onda inicial ~kie vetor da onda espalhada ~ks. A direc¸˜ao

da onda muda, mas n˜ao o m´odulo de seu vetor de onda, ou seja, |~ki| = | ~kf| = 2π_λ.

Os raios antes de atingirem as duas part´culas est˜ao com a mesma fase, mas percor-rem caminhos ´opticos diferentes, portanto emergem com fases diferentes. A primeira mudanc¸a de fase dada pela diferenc¸a de caminho l1 = rcosα. A partir do produto

escalar de ~ki por ~r, ~ ki· ~r = |~ki| × r × cos α = 2π λ rcosα, (1.17) obt´em-se

l1 = rcosα =

λ

2π × ~ki· ~r (1.18) Esta diferenc¸a de caminho fornece uma diferenc¸a de fase de 2πl1

λ = ~ki · ~r. A

segunda mudanc¸a de fase ´e determinada pela diferenc¸a de caminho l2 = r cos β. A

partir do produto escalar de ~kspor ~r,

~ ks· r = | ~ks| × r × cos(180◦− β) = 2π λ r cos β , (1.19) obt´em-se l2 = r cos β = − λ 2π × ~ks· ~r , (1.20)

que fornece uma diferenc¸a de fase de 2πl2

λ = −k~s· r. A diferenc¸a de fase total ´e a

soma

2πl1

λ +

2πl2

λ = ( ~ki· r) − ( ~ks· r) = (~ki− ~ks) · ~r (1.21)

A mudanc¸a de fase n˜ao depende de ~kie ~ksseparadamente, mas apenas da mudanc¸a no

vetor de onda, dada por ~G = ~ki− ~ksque ´e chamado de vetor de espalhamento.

Se a onda espalhada pelo ´atomo que se encontra na origem tem equac¸˜ao

Ψ1(x) = exp(i ~ks· ~x) , (1.22)

a onda espalhada pelo segundo ´atomo, que estar´a fora da fase, tem equac¸˜ao

Ψ2(~x) = exp(i ~ks· ~x) × exp(iG · r) . (1.23)

Ψ1(x) + Ψ2(x) = exp(iks· x) × (1 + exp(iG · r)) . (1.24)

Assim, a amplitude do feixe espalhado ´e modicada pelo fator de fase

F (G) = 1 + exp(iG · r), (1.25)

onde o primeiro termo representa a contribuic¸˜ao do primeiro ´atomo e o segundo, a componente do segundo ´atomo.

Para relacionar G a conceitos mais familiares em difrac¸˜ao, nota-se que

|G|2 = |ki− ks|2 = ki2+ ks2− 2ki· ks (1.26)

O ˆangulo entre kie ks´e φ portanto teremos:

ki· ks= µ 2π λ ¶₂ cos φ e, consequentemente, |G|2 _{= 2(}2π λ ) 2_{− 2} µ 2π λ ¶₂ cos φ = 8π 2 λ2 (1 − cos φ) = 16π2 λ2 sin 2_{(φ/2). (1.27)}

O ˆangulo φ/2 ´e equivalente ao ˆangulo de Bragg θ. Assim,

|G| = 4π

λ sin θ (1.28)

Quando se aplica esta equac¸˜ao ao espalhamento de Bragg para uma rede plana de espac¸amento d = (λ = 2d sin θ), tem-se G = 2π/d

1.2.3 Espalhamento el´astico por um conjunto de part´culas

A teoria desenvolvida acima pode ser facilmente generalizada para um conjunto de part´culas espalhadoras, apenas somando-se as fases de cada part´cula, com as posic¸˜oes de cada ´atomo com respeito a uma origem denidas como Rj.

Assim,

F (G) =X

j

exp(iG · rj). (1.29)

A intensidade do feixe espalhado ´e dada por

I(G) ∝ |F (G)|2 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X j exp(iG · rj) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 =X i,j exp [iG · (rj − ri)] . (1.30)

Em uma experiˆencia, o conhecimento das direc¸˜oes dos feixes incidente e espalhado xa o valor de G. ´E importante ressaltar os seguintes pontos:

i- A intensidade cont´em informac¸˜ao sobre as separac¸˜oes de todos os pares de part´culas, rj − ri. A princ´pio esta informac¸˜ao pode ser extra´da das medidas

da intensidade sobre uma faixa extensa de valores de G.

ii- A intensidade ´e um valor real positivo, ao passo que a amplitude ´e um n´umero complexo. Medindo-se intensidade ao inv´es de amplitude perde-se toda a in-formac¸˜ao sobre a fase desta amplitude, portanto, n˜ao se pode reconstruir a am-plitude a partir das medidas da intensidade. A amam-plitude cont´em a informac¸˜ao sobre as posic¸˜oes das part´culas e estas informac¸˜oes n˜ao podem ser extra´das diretamente das medidas da intensidade.

Finalmente, ´e preciso levar em conta as situac¸˜oes onde h´a tipos diferentes de part´culas. Cada part´cula espalhar´a o feixe de radiac¸˜ao de um modo diferente. Isto ´e considerado atrav´es do peso das componentes da amplitude:

F (G) =X

j

fjexp(iG · rj) (1.31)

O fator fj ´e chamado por uma variedade de nomes como, fator de espalhamento

ou fator de forma. Em espalhamento de raios X, onde se considera o espalhamento pelos ´atomos, o fator fj ´e chamado “ fator de espalhamento atˆomico dos raios X”.

1.2.4 Espalhamento por uma distribuic¸˜ao cont´nua de mat´eria

Para desenvolver a teoria para uma distribuic¸˜ao cont´nua de mat´eria, tal como para a distribuic¸˜ao eletrˆonica ao redor de um ´atomo, ´e necess´ario considerar o espalhamento por um pequeno elemento de volume.

Denindo a origem como o centro do ´atomo, o espalhamento do feixe de radiac¸˜ao ser´a dado por um elemento de volume pequeno dV na posic¸˜ao r. A densidade de part´culas neste elemento de volume ´e ρ(r). Assim, a amplitude de espalhamento pelo elemento de volume ser´a

dF (G) = ρ(r) exp(iG · r)dV (1.32)

Para obter o espalhamento de toda distribuic¸˜ao, simplesmente integra-se sobre todo o volume. Denotando-se dV = dr,

F (G) =

Z

ρ(r) exp(iG · r)dr (1.33)

O resultado importante ´e que a amplitude de espalhamento fornece a informac¸˜ao sobre a dependˆencia espacial da mat´eria.

1.2.5 Fator de espalhamento atˆomico dos raios X

Os raios X s˜ao espalhados pelos el´etrons. Quando se considera o espalhamento dos raios X pelos ´atomos, pode-se pensar o espalhamento por uma distribuic¸˜ao cont´nua de el´etrons ao redor do ´atomo. Se a densidade eletrˆonica ´e escrita como ρel(r), o fator

de espalhamento atˆomico dos raios X ´e dado por

f (G) =

Z

ρel(r) exp(iG · r)dr (1.34)

No limite de G tendendo a zero, o que corresponde a raios X espalhados sem deex˜ao, pode-se obter como resultado

f (G = 0) =

Z

ρel(r)dr = Z,

onde Z ´e o n´umero total de el´etrons no ´atomo ou ´on. Para todos os ´atomos e ´ons de interesse, ρel(r)pode ser calculado usando-se a mecˆanica quˆantica. Na pr´atica n˜ao

haver´a uma func¸˜ao anal´tica para f(G). Sendo assim, para prop´ositos de uso pr´atico, os valores num´ericos de f(G) ser˜ao dados por uma forma funcional apropriada.

Considere, neste ponto, um exemplo alg´ebrico muito simples em uma dimens˜ao. Suponha que a densidade de carga seja uma func¸˜ao do tipo “fenda”, assim chamada porque representa uma abertura em difrac¸˜ao ´optica.

Isto ´e denido como Z _∞

−∞

ρ(x)dx = 1_.

Neste caso, o fator de espalhamento correspondente ´e

f (G) = Z ρ(x) exp(iGx)dx = 1 2a Z _a −a cos(Gx)dx = sin(Ga) Ga (1.35)

Esta func¸˜ao ´e chamada “func¸˜ao sinc” e tem valor 1 quando Ga tende a zero, e cai ao valor 1/2 quando Ga se aproxima de 1,8955. Assim, 1/a ´e denido como a largura da func¸˜ao de espalhamento: quanto mais amplo o objeto inicial mais estreito, em G, ser´a a func¸˜ao de espalhamento.

As mesmas caracter´sticas ocorrem quando se considera uma func¸˜ao que varia continuamente, por exemplo:

ρ(x) = 1 aexp(−|x|/a), que fornece f (G) = 1 a Z ₀ −∞ exp(x/a) exp(iGx)dx+ 1 a Z _∞ 0 exp(−x/a) exp(iGx)dx = 1 1 + (Ga)2 (1.36)

Esta func¸˜ao cai ao valor 1/2 quando Ga = 1.

Aplicando estas id´eias para a func¸˜ao de espalhamento de raios X, sua largura ´e dada pelo inverso do raio atˆomico/iˆonico.

1.2.6 An´alise de Fourier

Uma transformada de Fourier ´e uma extens˜ao da s´erie de Fourier. Em uma s´erie de Fourier uma func¸˜ao peri´odica f(x) com per´odo a ´e analisada em termos de uma superposic¸˜ao de ondas, f (x) =X n Anexp · 2πi µ x λn + ϕn ¶¸ , (1.37)

onde cada onda tem amplitude An, fase relativa ϕn, comprimento de onda λn = a/n

e, conseq¨uentemente, vetor de onda kn = 2π/λn = 2πn/a. Numa transformac¸˜ao de

Fourier representa-se uma func¸˜ao em termos de uma superposic¸˜ao de ondas. Neste caso, sendo a func¸˜ao n˜ao peri´odica, todos os comprimentos de onda contribuem com termos na superposic¸˜ao. Pode-se pensar em uma transformada de Fourier como uma an´alise de Fourier de uma func¸˜ao peri´odica onde o per´odo ´e innito, signicando que h´a uma diferenc¸a innitesimalmente pequena entre qualquer kne kn+1. Assim, a soma

sobre todos os valores de n e conseq¨uentemente k pode ser substitu´da por uma integral sobre valores cont´nuos de k. Nesta sec¸˜ao, k ser´a usado como a forma unidimensional do vetor de espalhamento G.

1.2.7 Equac¸˜ao b´asica

A transformada de Fourier em uma dimens˜ao ´e denida como

g(k) =

Z

f (x) exp(ikx)dx (1.38)

e seu inverso como

f (x) = 1

2π Z

g(k) exp(−ikx)dx (1.39)

Aplicando esta denic¸˜ao na difrac¸˜ao de raios X, a amplitude do sinal espalhado passa a ser dada pela transformada de Fourier da densidade eletrˆonica. A partir de me-didas das intensidades de raios X sobre uma ampla faixa de vetores de espalhamento, pode-se reconstruir a densidade eletrˆonica atrav´es da transformada de Fourier inversa.

Segue das denic¸˜oes anteriores que g(0) = Z f (x)dx _{e f(0) =} 1 2π Z g(k)dk. _(1.40)

1.2.8 Part´culas pontuais

Um ponto pode ser descrito por uma func¸˜ao matem´atica especial que dene a densi-dade innitesimal de uma part´cula pontual. A func¸˜ao delta de Dirac ´e denida pelas seguintes propriedades δ (r − rj) = ½ 0, se r 6= rj, ∞, se r = rj, Z δ(r)d(r) = 1 _(1.41)

Neste caso, a part´cula s´o est´a denida em uma posic¸˜ao, de forma que a func¸˜ao deva ser zero em todos os outros pontos. Por´em, a integral da densidade fornece a probabilidade de se encontrar a part´cula em algum lugar e assim a integral deve ser igual a um. Se a densidade de part´culas na amostra de volume V ´e tal que h´a uma part´cula em cada ponto rj do volume, isto ´e

ρ(r) = 1 V X j δ(r − rj), (1.42) tem-se que F (G) = 1 V X j Z δ(r − rj) exp(iG · r)dr = X j exp(iG · rj) (1.43)

1.2.9 Teorema da convoluc¸˜ao

A vantagem da utilizac¸˜ao da transformada de Fourier est´a no uso da propriedade de convoluc¸˜ao. A partir de duas func¸˜oes g(x) e h(x), pode-se produzir uma terceira func¸˜ao denida como a convoluc¸˜ao destas duas func¸˜oes:

f (x) = g(x) ⊗ h(x) =

Z

g(x0)h(x − x0)dx0 (1.44)

A id´eia b´asica ´e que se inicia com uma func¸˜ao h(x) e a cada ponto x estabelece-se a func¸˜ao g(x0

)centrada em x com peso dado por h(x). Isto ´e repetido para todo x, e todas as operac¸˜oes s˜ao somadas. Considerando que as func¸˜oes s˜ao cont´nuas em x, a soma sobre todas estas operac¸˜oes ´e substitu´da por uma integral, como descrito acima. Se a transformada de Fourier das trˆes func¸˜oes s˜ao escritas como F(k), G(k) e H(k), tem-se a relac¸˜ao b´asica

F (k) =

Z

(g(x) ⊗ h(x)) exp(ikx)dx = G(k) × H(k). _(1.45)

1.2.10 Transformadas de estruturas cristalinas

Pode-se modelar uma estrutura cristalina em termos de quatro convoluc¸˜oes:

Estrutura cristalina=rede⊗ c´elula unit´aria⊗ el´etrons atˆomicos ⊗ agitac¸˜ao t´ermica

Quando se toma a transformada de Fourier da estrutura cristalina, as convoluc¸˜oes transformam-se em produtos das transformadas de Fourier individuais. Ent˜ao, para construir a transformada de Fourier da estrutura cristalina pode-se tratar cada transfor-mada de Fourier separadamente.

1.3 M´etodo do P´o

1.3.1 Introduc¸˜ao

Este m´etodo foi desenvolvido[26] pelo cientista holandˆes P. Debye e pelo suic¸o P. Sherrer, em 1916, e, independentemente, pelo norte-americano A. Hull em 1917. ´E utilizada uma amostra reduzida a p´o que se coloca no centro de uma cˆamara cil´ndrica, no trajeto de raios X monocrom´aticos. O p´o ´e, habitualmente, colocado dentro de um pequeno tubo de material amorfo e a montagem ´e, normalmente girat´orio. O tempo de exposic¸˜ao aos raios X depende de v´arios fatores, designadamente, das dimens˜oes da cˆamara e da abertura de entrada do feixe incidente e ainda da composic¸˜ao da amostra. Quando o feixe monocrom´atico de raios X incide no p´o cristalino, dada a distri-buic¸˜ao aleat´oria dos in´umeros pequenos gr˜aos, qualquer plano reticular assume todas as orientac¸˜oes poss´veis, relativamente ao feixe incidente. Desse modo, ocorre sempre uma incidˆencia segundo um ˆangulo tal que satisfac¸a a condic¸˜ao de Bragg. Com outras palavras, ´e poss´vel registrar todas as direc¸˜oes hkl estruturalmente poss´veis, desde que sucientemente intensas.

Em consequˆencia da distribuic¸˜ao estat´stica das diferentes orientac¸˜oes assumidas por um dado plano reticular, verica-se que h´a sempre um desses planos em condic¸˜oes de reetir a radiac¸˜ao incidente. Assim, em termos de rede rec´proca, a pulverizac¸˜ao do cristal corresponde a uma rotac¸˜ao dos n´os rec´procos em torno da origem, de modo que cada um deles dene uma superf´cie esf´erica: o espac¸o rec´proco deixa de ser uma simples distribuic¸˜ao triperi´odica de pontos para se transformar num conjunto de superf´cies esf´ericas concˆentricas. As intersec¸˜oes destas superf´cies pela esfera de Ewald s˜ao circunferˆencias, cujos centros se situam ao longo da direc¸˜ao do feixe de raios X incidentes. Essas circunferˆencias correspondem as observadas no diagrama de p´o, pois cada um dos seus pontos dene um centro da esfera de Ewald em uma direc¸˜ao

de m´aximo de difrac¸˜ao.

1.3.2 Uso do m´etodo do p´o

Listamos abaixo[27] alguns dos usos espec´cos do m´etodo:

a)- Identicac¸˜ao de fases em materiais minerais, qu´micos, cerˆamicos ou outros materiais de engenharia.

b)- Identicac¸˜ao de m´ultiplas fases em misturas cristalina. c)- Determinac¸˜ao da estrutura cristalina de materiais. d)- Identicac¸˜ao e an´alise estrutural de minerais.

e)- Reconhecimento de materiais amorfos em misturas cristalinas.

f)- An´alise da estrutura cristalogr´aca e c´alculo da c´elula unit´aria em materiais cristalinos.

g)- Determinac¸˜ao quantitativa da soma de diferentes fases em misturas pelo calculo das proporc¸˜oes dos picos.

h)- Determinac¸˜ao quantitativa de fases por renamento completo do difratograma, ”whole-pattern”.

i)- Determinac¸˜ao do tamanho do cristalito pela an´alise da largura dos picos. j)- Determinac¸˜ao da forma do cristalito pelo estudo da simetria dos picos.

k)- Estudo da expans˜ao t´ermica em estrutura cristalina usando equipamento ”in-situ heating”.

1.3.3 Distorc¸˜oes Anisotr´opicas em picos padr˜oes

Os materiais policristalinos[28] s˜ao constituidos de pequenos cristais, denominados gr˜aos ou cristalitos, os quais s˜ao separados uns dos outros por fronteiras denominadas contornos de gr˜ao.

dos seus vizinhos. Consideradas de modo global, as orientac¸˜oes de todos os gr˜aos po-dem tanto estarem distribuidas aleatoriamente com relac¸˜ao a um sistema de referˆencia como estarem concentradas, em maior ou menor grau, ao redor de alguma ou de algu-mas orientac¸˜oes particulares. Nesta ultima condic¸˜ao, o agregado policristalino apre-senta orientac¸˜ao preferencial ou textura.

O m´etodo do p´o tem como princ´pio que a distribuic¸˜ao dos cristalitos ´e com-pletamente aleat´oria. Em geral, a situac¸˜ao mais desejada ´e quando uma amostra tenha orientac¸˜oes completamente aleat´orias de pequenos cristalitos. Alguns tipos de an´alise fazem uso da orientac¸˜ao preferencial desses cristalitos, e outros tipos de an´alise (identicac¸˜ao qualitativa de fases) a orientac¸˜ao preferencial pode ser calculado e tra-balhado para produzir um resultado ´util para a an´alise.

1.3.4 Orientac¸˜ao Preferencial

V´arios materiais exibem orientac¸˜oes preferenciais. Alguns tipos de cerˆamicas magn´e-ticas, o extrudado, p´o prensado e v´arios lmes e pol´meros requerem manipulac¸˜ao e medida da orientac¸˜ao preferencial. Frequentemente essas medidas envolvem o uso de um difratˆometro de gura de p´olo para medir um ˆangulo de difrac¸˜ao.

Em geral, nos dados da difrac¸˜ao do p´o, a orientac¸˜ao preferencial ´e a causa mais prov´avel da diferenc¸a dos dados experimentais com o padr˜ao de intensidade para a fase analizada. O estudo da orientac¸˜ao preferencial ´e ´util para determinar a anisotropia de uma amostra, mas ´e muito dif´cil obter resultado satisfat´orio, quando faz uma an´alise quantitativa ou um preciso c´alculo da c´elula unit´aria.

O caminho mais utilizado no estudo da orientac¸˜ao preferencial em um material de composic¸˜ao conhecida ´e comparar com as intensidades de uma amostra que tem orientac¸˜ao preferencial com o padr˜ao para o material. Alguns programas de an´alise de dados ajustam os dados corretos para o estudo da orientac¸˜ao preferencial, quando

o objetivo ´e fazer uma an´alise quantitativa.

1.3.5 Tens˜ao Residual e Deformac¸˜ao

Deformac¸˜ao em um material pode produzir dois tipos de efeito na difrac¸˜ao. Se a deformac¸˜ao ´e uniforme (expans˜ao ou contrac¸˜ao) ´e chamado de macrotens˜ao e h´a um deslocamento dos m´aximos de difrac¸˜ao em comparac¸˜ao com um padr˜ao. Macrodefor-mac¸˜ao causa variac¸˜ao no parˆametro de rede, resultando em um desvio do pico.

Microdeformac¸˜ao ´e produzida por uma distribuic¸˜ao de forc¸as de trac¸˜ao ou com-press˜ao resultando em um alargamento nos picos de difrac¸˜ao. Em alguns casos, al-guns picos assim´etricos podem ser resultado de microdeformac¸˜ao. Dislocac¸˜oes e vacˆancias podem ocasionar microtens˜ao em cristalitos e o efeito geralmente ser´a uma distribuic¸˜ao de picos em volta do pico sem tens˜ao e um alargamento do pico padr˜ao. Esses efeitos s˜ao demostrados, de uma maneira geral, na gura a seguir.

Figure 1.2: Deformac¸˜ao por expans˜ao ou contrac¸˜ao dos valores de d ref.[5]

A teoria da elasticidade linear

2.1 Introduc¸˜ao

Elasticidade linear ´e uma teoria da f´sica que estuda o comportamento de corpos mate-riais que se deformam ao serem submetidos a ac¸˜oes externas (forc¸as devidas ao contato com outros corpos, ac¸˜ao gravitacional agindo sobre sua massa, etc.), retornando a sua forma original quando a ac¸˜ao externa ´e removida, n˜ao alterando, portanto, o volume do material. At´e um certo limite, que depende do material e da temperatura, as tens˜oes aplicadas s˜ao aproximadamente proporcionais as deformac¸˜oes.

As equac¸˜oes da teoria linear da elasticidade [29] no sistema de coordenadas retan-gulares cartesianas (x1, x2, x3) incluem as seguintes equac¸˜oes:

σij,j − ρ

∂2_u

i

∂t2 + Fi = 0 , (2.1)

onde i, j = 1, 2, 3; que ´e a equac¸˜ao de movimento do sistema f´sico sob considerac¸˜ao;

σij = Λijklεkl , (2.2)

onde i, j, k, l = 1, 2, 3; que ´e a Lei de Hooke Generalizada;

2εkl= ul,k+ uk,l , (2.3)

que ´e a F´ormula de Cauchy que expressa a deformac¸˜ao atrav´es do deslocamento. Nas equac¸˜oes (2.1) a (2.3), σij = σji s˜ao as componentes do tensor sim´etrico

das tens˜oes, εij = εji s˜ao as componentes do tensor das deformac¸˜oes, Λijkl s˜ao as

componentes do tensor de ordem quatro do modulo da elasticidade, ui s˜ao as

com-ponentes do vetor deslocamento, Fi s˜ao as componentes da forc¸a volum´etrica, ρ ´e a

densidade constante do material, e t ´e o tempo. A v´rgula na frente de um sub-escrito indica diferenciac¸˜ao com respeito a coordenada espacial marcada pelo sub-escrito; letras repetidas no sub-escrito indicam soma sobre seus valores admiss´veis.

A teoria da elasticidade estuda de forma rigorosa a determinac¸˜ao das tens˜oes, deformac¸˜oes e da relac¸˜ao entre elas para um material. Neste trabalho estudamos a relac¸˜ao entre deformac¸˜ao e tens˜ao dada pela lei de Hooke Generalizada. Nosso ob-jetivo, portanto, foi o de determinar as constantes do tensor de elasticidade para um material com simetria ortotr´opica. A partir dessa determinac¸˜ao, obtemos um modelo para determinar as tens˜oes residuais em um material ortotr´opico.

2.2 Diagrama Tens˜ao-Deformac¸˜ao

Uma das mais importantes propriedades mecˆanicas dos materiais ´e obtida no ensaio de trac¸˜ao [30]. Neste ensaio submete-se uma amostra do material a uma forc¸a axial continuamente crescente at´e se dar a fratura. Registram-se durante o ensaio a forc¸a e o aumento do comprimento relacionado com a deformac¸˜ao da amostra e obtem-se o diagrama tens˜ao-deformac¸˜ao. Neste diagrama ´e relacionada a tens˜ao m´edia (σ) em func¸˜ao da deformac¸˜ao nominal( ε). A tens˜ao m´edia ´e denida como a forc¸a aplicada (F) dividida pela ´area inicial (A0) da sec¸˜ao transversal da amostra. A deformac¸˜ao

nominal (ε) representa a variac¸˜ao de comprimento sofrida pela amostra dividida pelo comprimento de deformac¸˜ao: σ = F A ε = l − l0 l0 = ∆l l0 (2.4)

em que l0 ´e o comprimento inicialmente denido na amostra e l o comprimento

in-stantˆaneo que vai aumentando continuamente durante o ensaio, sendo que a tens˜ao m´edia tem dimens˜oes de forc¸a por unidade de ´area e a deformac¸˜ao ´e uma grandeza adimensional. Seja um diagrama tens˜ao-deformac¸˜ao representado na Figura 2.1[30].

A regi˜ao OA ´e a regi˜ao el´astica. O ponto A ´e o limite el´astico que se dene como a maior tens˜ao que o material pode suportar sem sofrer uma deformac¸˜ao permanente quando a forc¸a for retirada. A determinac¸˜ao do limite el´astico ´e bastante dicil e de-morada, depende da sensibilidade do instrumento de leitura. Por esse motivo substitui-se muitas vezes esta quantidade pelo limite de proporcionalidade, denido pelo ponto

A0_{, que ´e a tens˜ao para a qual a curva tens˜ao-deformac¸˜ao se desvia da relac¸˜ao linear.}

Continuando a tensionar o material para al´em do ponto A0_{, no caso da gura, a curva}

se desvia acentuadamente da linearidade . Entra-se no dom´nio pl´astico do material e se for retirada a tens˜ao em qualquer ponto da curva nessa regi˜ao (por exemplo, no ponto B da Figura 2.1a sofre um aumento de comprimento permanente denido pela deformac¸˜ao OB0_{. Se a deformac¸˜ao OB}0 _{for igual a 0, 002 da tens˜ao correspondente}

ao ponto B denomina-se tens˜ao de cedˆencia, σc, que para efeitos pr´aticos caracteriza

o in´cio da deformac¸˜ao pl´astica segundo os crit´erios em vigor nas normas de ensaios de materiais. A tens˜ao de cedˆencia ´e a tens˜ao que produz uma pequena quantidade de deformac¸˜ao permanente. O limite el´astico ´e o valor mais elevado de tens˜ao que o material pode suportar sem obter uma deformac¸˜ao mensur´avel ap´os a retirada da carga. Na curva representada na Figura 2.1a a deformac¸˜ao pl´astica prossegue para al´em do ponto A0 _{a carga crescente, atingindo o ponto C em que a carga atinge um}

valor m´aximo. A tens˜ao correspondente a esse ponto ´e a resistˆencia a trac¸˜ao do ma-terial, σr, que ´e maior tens˜ao que o material pode suportar antes da ruptura. A partir

do ponto C a carga decresce dando-se nalmente a ruptura no ponto D.

Figure 2.1: Diagrama do ensaio de trac¸˜ao: (a) Material d´uctil; (b) Material fr´agil ref. [30].

2.3 Deformac¸˜ao Volum´etrica

Em geral, a deformac¸˜ao de um s´olido envolve a combinac¸˜ao da variac¸˜ao do volume e da variac¸˜ao da forma de uma amostra. Dessa maneira, para um estado dado de deformac¸˜ao, devemos conhecer as contribuic¸˜oes das variac¸˜oes do volume e da forma. No desenvolvimento desse trabalho, assumiremos o dom´nio das pequenas defor-mac¸˜oes, nas quais somente o volume da amostra ser´a modicado.

A deformac¸˜ao volum´etrica ´e a variac¸˜ao de volume por unidade de volume [31].

∆ = Vf − V0

V0

= ∆V

V0

, _(2.5)

onde Vf e V0 s˜ao o volume nal e inicial do elemento de volume.

Como ´e conhecido, a variac¸˜ao do volume ´e dada por:

∆V = l0

1(l02× l03) − l1(l2× l3) . (2.6)

Usando a interpretac¸˜ao geom´etrica da deformac¸˜ao normal, os novos comprimentos de um paralelep´pedo retangular podem ser escritos como:

dx0 1 = dx1(1 + εxx) , dx0 2 = dx2(1 + εyy) , (2.7) dx0 3 = dx3(1 + εzz) ,

onde εxx, εyy, εzz s˜ao as deformac¸˜oes nas direc¸˜oes x, y e z, respectivamente.

dx0

1dx02dx03− dx1dx2dx3 = dx1dx2dx3(1 + εxx).(1 + εyy).(1 + εzz) − dx1dx2dx3.

Os produtos das deformac¸˜oes s˜ao negligenciados, portanto, para pequenas defor-mac¸˜oes, teremos [32]:

(1 + εxx)(1 + εyy)(1 + εzz) ∼= 1 + (εxx+ εyy + εzz) (2.8)

Substituindo esses valores na equac¸˜ao (2.5, tem-se que:

dx0

1dx02dx03− dx1dx2dx3

dx1dx2dx3

= εxx+ εyy+ εzz. (2.9)

A variac¸˜ao de volume por unidade de volume em um ponto ´e a soma das deforma-c¸˜oes normais.

2.4 A Lei de Hooke Generalizada

2.4.1 Introduc¸˜ao

No desenvolvimento de um modelo te´orico fenomenol´ogico, a utilizac¸˜ao de relac¸˜oes constitutivas tem um papel fundamental. Elas permitem caracterizar o estado macros-c´opico do sistema f´sico a partir de procedimentos experimentais. Relac¸˜ao constitutiva ´e uma relac¸˜ao entre duas grandezas f´sicas que ´e espec´ca de um material [33, 34].

As relac¸˜oes constitutivas s˜ao particulares para cada material e servem para clas-sicar os diversos materiais conforme seu comportamento. As equac¸˜oes constituti-vas mecˆanicas, que classicam materiais da engenharia, por exemplo, relacionam as tens˜oes com alguma medida do movimento do corpo, normalmente a deformac¸˜ao ou a taxa de deformac¸˜ao. H´a muitas outras categorias de equac¸˜oes constitutivas, como as que relacionam tens˜oes com deformac¸˜oes e temperaturas, com campos el´etricos ou

magn´eticos, a lei de Ohm, a lei que rege a forc¸a de atrito e a lei que rege a elasticidade linear (lei de Hooke).

Uma relac¸˜ao linear mais geral entre os tensores deformac¸˜ao e tens˜ao ´e a lei de Hooke generalizada que estabelece a proporcionalidade entre as grandezas tens˜ao e deformac¸˜ao, representada na forma tensorial por:

σij = Λijklεkl. (2.10)

onde σij, εkle Λijkls˜ao representadas pelo tensor das tens˜oes, tensor da elasticidade e

o tensor das deformac¸˜oes, respectivamente.

2.4.2 Tensor das tens˜oes

Conceito de tens˜ao no ponto

Consideremos um s´olido el´astico cont´nuo sob a ac¸˜ao de forc¸as exteriores seguindo um modelo de contrac¸˜ao volum´etrica durante a deformac¸˜ao (pequenas deformac¸˜oes). Tem-se que o s´olido est´a em equil´brio est´atico [30], forc¸a e torque resultante iguais a zero, representado na gura 2.2, verica-se que em geral a forc¸a n˜ao estar´a uniformi-mente distribu´da ao longo da sec¸˜ao transversal ab apresentada na gura 2.2a e que pertence ao plano π. Se a parte 1 do s´olido ´e retirada, pelo princ´pio de ac¸˜ao e reac¸˜ao essa tens˜ao pode ser substitu´da pelo sistema de forc¸as externas em ab que mantenham cada ponto na parte 2 do s´olido na mesma posic¸˜ao anterior a remoc¸˜ao da parte 1 do s´olido representado na gura 2.2b. Sendo ∆A o elemento de ´area existente no ponto 0 e −−→∆F _{a forc¸a interna resultante do equil´brio de forc¸as criado nessa ´area, a tens˜ao} no elemento de ´area, considerado ser´a:

− → S = −−→ ∆F ∆A (2.11)

con-Figure 2.2: Conceito de tens˜ao no ponto de um s´olido [30].

siderado constante no elemento de ´area e que representa no elemento de ´area ∆A a intensidade da reac¸˜ao do material da parte esquerda do plano π sobre a sua parte dire-ita. Se a ´area ∆A for reduzida continuamente para zero, o valor limite da raz˜ao −−→∆F

∆A ´e

a tens˜ao no ponto 0 no s´olido 2, ou seja:

− → S = lim ∆A→0 −−→ ∆F ∆A (2.12)

A tens˜ao estar´a na direc¸˜ao da forc¸a resultante −→F que est´a geralmente inclinada em relac¸˜ao a ∆A. Obt´em-se a mesma tens˜ao no ponto 0 do plano π se o diagrama de corpo livre fosse constru´do retirando a parte 2 do s´olido. Contudo, a tens˜ao seria diferente para qualquer outro plano que passe pelo ponto 0, como ´e o caso do plano π0

da gura 2.2b. Para haver equil´brio de forc¸as em qualquer plano da pec¸a ´e necess´ario que as tens˜oes que se desenvolvem nesse plano na direc¸˜ao da forc¸a aplicada sejam tais

que se verique a equac¸˜ao seguinte: − → F = Z A − → S dA (2.13)

em que A ´e a area do plano considerado e −→S as tens˜oes em cada ponto do plano na direc¸˜ao da forc¸a −→F_{. A equac¸˜ao 2.13 representa que numa dada sec¸˜ao a forc¸a ser´a}

a integral da distribuic¸˜ao de tens˜oes nessa sec¸˜ao, desde que−→F e −→S coincidam em direc¸˜ao e sentido.

Tipos de tens˜ao e notac¸˜ao das tens˜oes num elemento tridimensional

A denic¸˜ao de tens˜ao dada na sec¸˜ao anterior implica que no elemento de ´area dA a tens˜ao esteja na direc¸˜ao da forc¸a resultante−→F que no caso mais geral estar´a inclinada em relac¸˜ao a dA. N˜ao se torna, no entanto, pr´atico utilizar uma tens˜ao que faz um determinado ˆangulo com a ´area em que atua. Neste caso, a tens˜ao total S pode ser de-composta em duas componentes: uma tens˜ao normal (σ) que atua perpendicularmente a dA e uma outra denominada tens˜ao de corte (τ) que existe no plano ab 2.3.

Figure 2.3: Decomposic¸˜ao da tens˜ao total nas suas componentes no plano [30].

Para se tornar este ponto mais claro considere-se a gura 2.3 em que a forc¸a−→F

que cont´em a normal e F intersecta o plano π segundo uma linha tracejada que faz um ˆangulo φ com o eixo y. (Linha OC na gura 2.3). A tens˜ao normal ´e dada por:

σ = F

Acos θ (2.14)

A tens˜ao de cisalhamento no plano atua segundo a linha OC e o seu valor ´e:

τ = F

Asin θ (2.15)

Esta tens˜ao de cisalhamento pode ser decomposta em componentes paralelas as direc¸˜oes x e y existentes no plano: direc¸˜ao x

τx = F Asin θ sin φ (2.16) direc¸˜ao y τy = F A sin θ cos φ (2.17)

Conclui-se, portanto, que num plano qualquer poder´a haver uma tens˜ao normal e duas tens˜oes de cisalhamento. No caso mais geral tridimensional, a tens˜ao resultante −→S

no ponto A pode ser decomposta nas tens˜oes que atuam nas faces do elemento de volume representado na gura 2.4 e que est´a orientado segundo um sistema de eixos ortogonais [Oxyz]. Estas tens˜oes est˜ao representadas por um conjunto de dois ´ndices em que o primeiro ´ndice indica a direc¸˜ao da normal ao plano em que atua a tens˜ao e o segundo a tens˜ao que exerce. Assim, por exemplo, a tens˜ao que atua perpendicu-larmente as faces DCGH e ABFE ser´a indicada por σx (tens˜ao segundo o eixo dos x

atuando numa face perpendicular ao mesmo eixo). Alem das tens˜oes diretas, atuam tamb´em tens˜oes de cisalhamento sobre os respectivos planos com duas componentes em cada plano, como j´a se vericou. Nesta notac¸˜ao a tens˜ao de corte τxy ´e a tens˜ao na

Figure 2.4: Representac¸˜ao das tens˜oes e respectiva notac¸˜ao num elemento tridimen-sional [30].

O elemento representado na gura tem lados com dimens˜oes innitesimais dx, dy, dz, encontrando-se o elemento em equil´brio de tens˜oes. Este elemento representa o estado de tens˜oes no ponto A, considerando que se despreza a variac¸˜ao das tens˜oes ao longo de suas faces. Aqui ´e assumido que somente o volume da amostra ´e modi-cado, deixando o elemento innitesimal invariante de forma. No entanto, para haver equil´brio n˜ao pode haver rotac¸˜ao e portanto os momentos de todas as forc¸as devem anular-se. Considerando assim a rotac¸˜ao do elemento em relac¸˜ao ao eixo dos z e calculando os momentos em relac¸˜ao a esse eixo, vem:

(σxxdydz dy 2 − σxxdydz dy 2 ) + (σyydxdz dx 2 − σyydxdz dx 2 ) + +(τxydydzdx − τyxdydzdx) + (τzydydx

dx 2 − τzydydx dx 2 ) + +(τzxdydz dy 2 − τzxdydx dy 2 ) = 0 (2.18) Resolvendo (2.18) teremos: τxy − τyx = 0 → τxy = τyx (2.19)

respecti-vamente, τxz = τzx e τyz = τzy. Portanto no caso tridimensional, suas componentes

podem ser representadas por uma matriz onde as diagonais σii s˜ao chamadas tens˜oes

normais e os componentes n˜ao diagonais s˜ao chamadas de tens˜oes de cisalhamento ou tangenciais. Ent˜ao: σij =   σ_τxyxx _στyx_yy τ_τzx_zy τxz τyz σzz   . (2.20)

2.4.3 Tensor deformac¸˜ao

A gura 2.5 representa de forma esquem´atica um corpo deform´avel sujeito a um sis-tema de forc¸as. Um elemento innitesimal de volume dxdydz desse corpo ap´os a aplicac¸˜ao das forc¸as Pi (i=1,2,3,4) sofre um deslocamento e uma deformac¸˜ao. Sejam

P (x, y, z)e Q(x+dx, y +dy, z +dz) dois pontos em v´ertices opostos do elemento em estudo e ainda outros v´ertices vizinhos de P,L(x+dx,y,z); M(x,y+dy,z) e N(x,y,z+dz) que ap´os a deformac¸˜ao passaram para as posic¸˜oes P´,Q´,L´,etc.

Figure 2.5: Deformac¸˜ao e deslocamento de um elemento de volume de um corpo sujeito a um sistema de forc¸as [30].

Seja ~d(u, v, w) o deslocamento de P(~d = P0 _{− P) e ~d‘(u}0_{, v}0_{, w}0_{)o deslocamento} de Q(~d‘ = Q0_{− Q). Vir´a ent˜ao:} d0_{(u + du, v + dv, w + dw) = (u +} ∂u ∂xdx + ∂u ∂ydy + ∂u ∂zdz; v + ∂v ∂xdx +∂v ∂ydy + ∂v ∂zdz; w + ∂w ∂xdx + ∂w ∂ydy + ∂w ∂zdz) (2.21)

Isto ´e P0_{(x+u, y+v, z+w)e Q}0_{[(x+dx+u+du), (y+dy+v+dv), (z+dz+w+dw)]}

Esta ´e a express˜ao geral das coordenadas de um ponto Q' qualquer proveniente da deformac¸˜ao de um segmento PQ. Em particular , um ponto L' que veio do segmento PL orientado segundo x:

L0_{[(x + dx + u + du), (y + v + dv), (z + w + dw)]ou seja:}

L0_{[(x + dx + u +} ∂u

∂xdx), (y + v + ∂x∂vdx), (z + w +∂w∂xdx)]

e de modo an´alogo para M' e N'. Por denic¸˜ao, a deformac¸˜ao linear na direc¸˜ao do eixo x ´e:

εxx =

[(L0_{− P}0_{) − (L − P )]} x

dx (2.22)

Segundo apenas a direc¸˜ao x.

εxx =

∂u

∂x (2.23)

De modo an´alogo, as outras deformac¸˜oes lineares segundo y e z s˜ao, respectivamente:

εyy = ∂v_∂y e εzz = ∂w_∂z

A deformac¸˜ao pura de um segmento ´e ent˜ao caracterizada por um alongamento ou en-curtamento linear entre os seus pontos extremos e por uma distorc¸˜ao angular. A gura 2.5 representa um segmento PQ no espac¸o cujo comprimento ´e ds e que sofreu um deslocamento para P'Q'. Se for ~d(u, v, w) o deslocamento do ponto P, o deslocamento do ponto Q ser´a ~d0_{(u + du, v + dv, w + dw).As componentes do vetor incremento de}

du = ∂u ∂xdx + ∂u ∂ydy + ∂u ∂zdz dv = ∂v ∂xdx + ∂v ∂ydy + ∂v ∂zdz (2.24) dw = ∂w ∂xdx + ∂w ∂ydy + ∂w ∂zdz

Na representac¸˜ao matricial da deformac¸˜ao [32]

εij=

 

∂u

∂x ∂u∂y ∂u∂z ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z   _(2.25)

Que ´e matriz sim´etrica, considerando uma deformac¸˜ao pura. Este ser´a denominado o tensor deformac¸˜ao.

2.4.4 Tensor de elasticidade

O tensor de elasticidade, Λijkl, ´e um tensor de ordem quatro e cont´em 34 = 81

elemen-tos. Fazendo uso das propriedades de simetria do tensor de tens˜ao para o caso de n˜ao existirem torques internos, ent˜ao Λijkl tamb´em ´e sim´etrico, conforme demonstrado a

seguir: σij = σji ⇒ Λjikl= Λijkl (2.26) Ent˜ao: σ21 = Λ21klεkl σ12= Λ12klεkl σ21= σ12 ⇒ Λ21klεkl = Λ12klεkl (Λ21kl− Λ12kl)εkl = 0 Λ21kl = Λ12kl Λjikl= Λijkl

O n´umero das constantes de material ´e reduzido de 81 para 54. De modo similar podemos utilizar a simetria do tensor de deformac¸˜ao.

εij = εji ⇒ Λijlk = Λijkl

Isto reduz ainda mais o n´umero de constantes do material para 36 [32].

Seguindo [29], podemos introduzir um espac¸o vetorial hexa-dimensional com mul-tiplicac¸˜ao escalar usual. Dessa forma, as equac¸˜oes anteriores se escrevem como:

σ = (σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6) , ε = (ε1, ε2, ε3, ε4, ε5, ε6) ; (2.27) σ1 = σ11, σ2 = σ22, σ3 = σ33, σ4 = √ 2σ23, σ5 = √ 2σ13, σ6 = √ 2σ12, ε1 = ε11, ε2 = ε22, ε3 = ε33, ε4 = √ 2ε23, ε5 = √ 2ε13, ε6 = √ 2ε12. (2.28)

A Lei de Hooke adquire a seguinte forma:

σi = Λijεj, (2.29)

com i, j = 1, ..., 6.

O tensor de elasticidade, nesse espac¸o vetorial adquire a seguinte forma:

Λij=            Λ1111 Λ1122 Λ1133 √ 2Λ1123 √ 2Λ1113 √ 2Λ1112 Λ2211 Λ2222 Λ2233 √ 2Λ2223 √ 2Λ2213 √ 2Λ2212 Λ3311 Λ3322 Λ3333 √ 2Λ3323 √ 2Λ3313 √ 2Λ3312 √ 2Λ2311 √ 2Λ2322 √ 2Λ2333 2Λ2323 2Λ2313 2Λ2312 √ 2Λ1311 √ 2Λ1322 √ 2Λ1333 2Λ1323 2Λ1313 2Λ1312 √ 2Λ1211 √ 2Λ1222 √ 2Λ1233 2Λ1223 2Λ1213 2Λ1212            . (2.30)

Sendo assim, podemos representar a Lei de Hooke, adotando a nomenclatura de Voigt, do seguinte modo:

σxx = λ11εxx+ λ12εyy+ λ13εzz+ λ14εxy+ λ15εyz+ λ16εxz (a) σyy = λ21εxx+ λ22εyy+ λ23εzz+ λ24εxy+ λ25εyz+ λ26εxz (b) σzz = λ31εxx+ λ32εyy+ λ33εzz+ λ34εxy+ λ35εyz+ λ36εxz (c) (2.31) σxy = λ41εxx+ λ42εyy+ λ43εzz+ λ44εxy+ λ45εyz+ λ46εxz (d) σyz = λ51εxx+ λ52εyy+ λ53εzz+ λ54εxy+ λ55εyz+ λ56εxz (e) σxz = λ61εxx+ λ62εyy+ λ63εzz+ λ64εxy+ λ65εyz+ λ66εxz (f )

Onde os termos λij s˜ao constantes cujo valores depende do material. Para reduzir

ainda mais o n´umero de constantes, utiliza-se a propriedade do tensor elasticidade ser sim´etrico, pois os tensores deformac¸˜ao e tens˜ao s˜ao sim´etricos reduzindo o n´umero de constantes el´asticas para apenas 21.

O material el´astico linear anisotr´opico mais generalizado possui, portanto, 21 constantes diferentes. Materiais caracterizados por tensores dessa forma s˜ao con-siderados tricl´nicos, por n˜ao apresentarem planos de simetria de suas propriedades materiais. Sendo a sua representac¸˜ao matricial, na notac¸˜ao de Voigt:

Λij=           λ11 λ12 λ13 λ14 λ15 λ16 λ22 λ23 λ24 λ25 λ26 λ33 λ34 λ35 λ36 Simet. λ44 λ45 λ46 λ55 λ56 λ66.           (2.32)

Quando o material permitir operac¸˜oes de simetrias (rotac¸˜oes, reex˜oes ou in-vers˜oes) em sua estrutura, o n´umero das constantes do material, representado pelo tensor de elasticidade, ´e tamb´em reduzido. Acontece que as simetrias do material imp˜oem restric¸˜oes sobre o tensor de elasticidade Λ, e isso proporciona uma maneira natural para classicar os meios el´asticos [35]. Nosso objetivo neste trabalho ´e