i sist num

(1)

Sistemas Num´ericos

Prof. Daniel Barros J´

unior, Prof. Eduardo Augusto Bezerra

16 de agosto de 2004

P´agina: www.ee.pucrs.br/∼dbarros E-mail: [email protected]

Vers˜ao: 1.15

1 Introdu¸

c˜

ao

1.1 Hist´

orico

O conceito de um computador digital pode ser tra¸cado retornando para Charles Bab-bage, que desenvolveu, em torno de 1830, um dispositivo computacional mecˆanico. O primeiro computador digital, eletromecˆanico, foi constru´ıdo em 1944 na Univer-sidade de Harvard.

A eletrˆonica digital moderna iniciou em 1946 com um computador chamado ENIAC.

A tecnologia digital evoluiu da válvula para transistores e posteriormente para circuitos integrados complexos, alguns dos quais contém milhões de transistores.

1.2 Grandezas Digitais e Anal´

ogicas

Circuitos eletrˆonicos podem ser divididos em duas categorias principais: Digital e Anal´ogica.

Eletrˆonica Anal´ogica envolve valores cont´ınuos.

Figura 1: Valores cont´ınuos

Eletrˆonica Digital envolve valores discretos.

Figura 2: Valores Discretos

(2)

Dados digitais podem ser processados e transmitidos mais eficientemente e con-fiavelmente do que dados anal´ogicos;

Dados digitais tem uma grande vantagem quando o armazenamento é necessário. Um sistema que usa tanto métodos analógicos como digitais é o compact disk (CD).

Figura 3: CD player

Levando em conta estas e outras vantagens dos sistemas digitais sirgiu a neces-sidade de representar as informa¸c˜oes de forma num´erica.

Um sistema na base B, possui um conjunto de B s´ımbolos, tamb´em chamado alfabeto.

Na Tabela 1 na página 2 estão representadas as bases utilizadas freqüentemente. Base 2: 0 1

Base 8: 0 1 2 3 4 5 6 7

Base 10: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Base 16: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Tabela 1: Base num´ericas

2 Sistema Bin´

ario

O sistema binário é o mais elementar pois possui apenas dois s´ımbolos. Na seqüência binária, cada digito é chamado de BIT (Binary Digit).

Na Figura 4 tem-se um n´umero bin´ario com seu BIT mais significativo (MSB) e o bit menos significativo (LSB) sendo enfatizados.

1 0 1 0 0 1

MSB (Most Significant Bit) (Bit Mais Significativo)

LSB (Least Significant Bit) (Bit Menos Significativo)

Figura 4: MSB e LSB

Visando facilitar a leitura, os bits s˜ao agrupados conforme mostra a Tabela 2, estes grupos recebem nomes espec´ıficos. A principal finalidade de agrupar os bits est´a em facilitar o controle dos digitos.

4 bits Nibble 8 bits Byte 16 bits Word

(3)

3 Tabela dos N´

umeros Inteiros

A Tabela 3 mostra os números decimais de 0 até 16 e seus respectivos valores em binário, octal e haxadecimal.

Decimal (10) Bin´ario (2) Octal (8) Hexadecimal (16)

0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10

Tabela 3: Convers˜oes

Conforme pode ser observado na Tabela 3 para cada digito de um número binário dobram-se as linhas da tabela, sendo o número de possibilidades dado por 2n, onde n é o número de digitos do número binário.

4 Convers˜

ao de um n´

umero decimal inteiro para

um base B

Exemplo 1: Converter 246810 para a base 16 (hexa).

Solu¸c˜ao: 2468 2464 4 16 154 144 10 16 9 0 9 16 0 Sentido de Leitura 246810= 9A416

Exemplo 2: Converter 21710 para a base 8 (octal).

(4)

217 216 1 8 27 24 3 8 3 0 3 8 0 Sentido de Leitura 21710= 3318

Exemplo 3: Converter 4510para a base 2 (bin´ario).

Solu¸c˜ao: 45 44 1 2 22 22 0 2 11 10 1 2 5 4 1 2 2 2 0 2 1 0 1 2 0 Sentido de Leitura 4510= 1011012

Base B para decimal.

1011012= 1.25+ 0.24+ 1.23+ 1.22+ 0.21+ 1.20= 4510

5 Convers˜

ao de um n´

umero octal ou hexadecimal

para a base bin´

aria

Exemplo 1: 23578para bin´ario.

Solu¸c˜ao: 28−→ 0102 38−→ 0112 58−→ 1012 78−→ 1112 23578= 010 011 101 1112 23578= 0100111011112

Exemplo 2: 4A0516para bin´ario.

Solu¸c˜ao: 416−→ 01002 A16−→ 10102 016−→ 00002 516−→ 01012 4A0516= 0100 1010 0000 01012 4A0516= 01001010000001012

6 Convers˜

ao de um n´

umero octal em hexa e hexa

em octal

Exemplo 1: 1278 para hexadecimal.

(5)

1278= 001 010 1112=

1278= 0 0101 01112= 5716

1278= 0010101112= 5716

Exemplo 2: 328 para hexadecimal.

Solu¸c˜ao:

328= 011 0102=

328= 01 10102= 1A16

328= 0110102= 1A16

Exemplo 3: C316 para octal.

Solu¸c˜ao:

C316= 1100 00112=

C316= 11 000 0112= 3038

C316= 110000112= 3038

Exemplo 4: 2316 para octal.

Solu¸c˜ao:

2316= 0010 00112=

2316= 00 100 0112= 438

2316= 001000112= 438

7 Convers˜

ao de fra¸

c˜

oes decimais para base B

Regra da multiplica¸c˜ao refletida:

1. Multiplicar o n´umero decimal pela base B;

2. A parte inteira do resultado ´e utilizada como digito da base B; 3. A parte inteira ´e descartada;

4. Retornar ao passo 1 caso a parte fracion´aria seja diferente de 0 (zero).

Exemplo 1: 0, 37510para bin´ario.

Solu¸c˜ao:

0, 375 _× 2 = 0, 75_{−→ 0} 0, 75 _× 2 = 1, 50_{−→ 1} Descarta parte inteira 0, 50 × 2 = 1, 00−→ 1

Termina o processo quando a parte fracion´aria chega at´e 0 (zero). 0, 37510= 0, 0112

Obs.:

0, 0112= 0.20+ 0.2−1+ 1.2−2+ 1.2−3= 0, 25 + 0, 125 = 0, 37510

Solu¸c˜ao:

0, 2 _× 2 = 0, 4_{−→ 0} 0, 4 _× 2 = 0, 8_{−→ 0} 0, 8 × 2 = 1, 6−→ 1 Descarta parte inteira 0, 6 × 2 = 1, 2−→ 1

(6)

Descarta parte inteira 0, 2 _× 2 = 0, 4_{−→ 0}

0, 210= 0, 00110011 . . .2

Solu¸c˜ao:

Converter a parte inteira separadamente da parte fracion´aria. 0, 25 _× 2 = 0, 5_{−→ 0}

0, 5 _× 2 = 1, 0_{−→ 1} 3, 2510= 11, 012

Obs.:

11, 012= 1.21+ 1.20+ 0.2−1+ 1.2−2= 2 + 1 + 0, 25 = 3, 2510

8 Opera¸

c˜

oes Aritm´

eticas no Sistema Bin´

ario

8.1 Adi¸

c˜

ao

A Tabela 4 apresenta o resultado da soma de dois números de um bit para todas as situa¸cões poss´ıveis. Pode-se verificar que na última linha o resultado da soma não pode mais ser armazenado em apenas um bit, gerando um segundo bit o qual é chamado de Transporte (Carry).

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Tabela 4: Adi¸c˜ao bin´aria

Na opera¸c˜ao de soma tem-se 1 + 1 = 0 e vai 1 formando assim o 10 apresentado na Tabela 4.

Ambos os números positivos: Exemplo 1: 101012+ 101112= Solu¸cão: 101012 + 101112 1011002 Exemplo 2: 111, 1012+ 11, 0012= Solu¸cão: 111, 1012 + 11, 0012 1010, 1102

Exemplo 3: Neste exemplo ser´a feita a opera¸c˜ao em octal. 325, 718+ 14, 58=

Solu¸c˜ao:

7 + 5 = 1210= 148

(7)

325, 718

+ 14, 508

342, 418

Número positivo grande e número negativo Exemplo: 000011112+ 111110102= Solu¸cão: 000011112= 1510 111110102=−610 000011112 + 111110102 1000010012

Retirando o bit mais significativo tem-se 000010012= 910.

Número negativo grande e número positivo Exemplo: 000100002+ 111010002= Solu¸cão: 000100002= 1610 111010002=−2410 000100002 + 111010002 111110002 Tem-se que 111110002=−810. Ambos negativos Exemplo: 111110112+ 111101112= Solu¸cão: 111110112=−510 111101112=−910 111110112 + 111101112 1111100102

Retirando o bit mais significativo tem-se 111100102=−1410.

Obs.: Em algumas referências representa-se a base com números porém em outras são utilizadas letras, a Tabela 5 apresenta um exemplo.

Base

2 b

8 o

10 d 16 h

Tabela 5: Nomenclatura das bases Exemplos: 11112= 1111b 178= 17o 1510= 15d F16= Fh

8.2 Subtra¸

c˜

ao

A Tabela 6 apresenta o resultado da subtra¸cão de dois números de um bit para todas as situa¸cões poss´ıveis. Pode-se verificar que na segunda linha o resultado

(8)

da subtra¸cão não pode mais ser armazenado em apenas um BIT, gerando uma informa¸cão de Empresta 1. 0_{− 0 = 0} 0_{− 1 = 1 e empresta 1} 1_{− 0 = 1} 1_{− 1 = 0}

Tabela 6: Subtra¸c˜ao bin´aria

A opera¸cão de subtra¸cão de números binários é equivalente a opera¸cão com os números em decimal sendo modificado apenas o número máximo 910 para 12.

Exemplo 1: 1112− 1002= Solu¸cão: 1112 − 1002 0112 710 − 410 310 Exemplo 2: 10002− 1112= Solu¸cão: 10002 − 1112 00012 Exemplo 3: 101002− 10112= Solu¸cão: 101002 − 10112 010012 2010 − 1110 910 Exemplo 4: 1101, 12− 1102= Solu¸cão: 1101, 12 − 110, 02 0111, 12

Exemplo 5: Neste exemplo será feita a opera¸cão em octal. 35218− 16748= Solu¸cão: 118− 48= 58 118− 78= 28 148− 68= 68 35218 − 16748 16258

Obs.: Outro método para fazer uma opera¸cão de subtra¸cão: Exemplo 1: 10100102− 10011112=

(9)

10100102 ⇒ A ⇒ 01011012 − 10011112 + 10011112 00000112 11111002 ⇒ R ⇒ 00000112 Exemplo 2: 110001102− 10111112= Solu¸c˜ao: 110001102 ⇒ A ⇒ 001110012 − 010111112 + 010111112 011001112 100110002 ⇒ R ⇒ 011001112

8.3 Multiplica¸

c˜

ao

A Tabela 7 apresenta o resultado da multiplica¸cão de dois números de um bit para todas as situa¸cões poss´ıveis.

0_{× 0 = 0} 0_{× 1 = 0} 1_{× 0 = 0} 1_{× 1 = 1}

Tabela 7: Multiplica¸c˜ao bin´aria

Exemplo 1: 101012× 1112= Solu¸c˜ao: 101012 × 1112 101012 + 10101 2 + 10101 2 100100112 2110 × 710 14710

8.4 Divis˜

ao

A opera¸cão de divisão utiliza de forma conjunta as opera¸cões de multiplica¸cão e subtra¸cão. Exemplo 1: 10112÷ 11012= Solu¸cão: 10112÷ 11012= 0, 110112

9 Complemento de 1 e complemento de 2

9.1 Complemento de 1

Altera¸cão de todos os 1s por 0s e todos os 0s por 1s. 10110010_{⇒ número binário}

(10)

9.2 Complemento de 2

Complemento de 2 = (Complemento de 1) + 1 Exemplo 1: 101100102= Solu¸c˜ao: 10110010 ⇓ 01001101 + 1 01001110

N´umero Bin´ario ⇓

Complemento de 1 ⇓

Complemento de 2

10 Representa¸

c˜

ao de um n´

umero com sinal

Existem três maneiras de um número inteiro com sinal ser representado na forma binária: Sinal-Magnitude, Complemento de 1 e Complemento de 2. Os número não inteiros e muito pequenos ou muito grandes podem ser representados na forma de ponto flutuante.

10.1 Bit de Sinal

O bit mais a esquerda é o sinal do número binário, se for 1 o número é negativo e se for 0 o número é positivo.

10.2 Sinal-Magnitude

Quando um número está representado em Sinal-Magnitude o bit mais a esquerda é o Bit de Sinal e os outros bits representam a magnitude do número.

Exemplo:

+2510= 000110012

−2510= 100110012

Note que para reprentar os n´umeros +25 e−25 apenas o primeiro bit foi alterado.

10.3 Complemento de 1

Na representa¸cão de números negativos em complemento de 1 todos os bits do número devem ser negados individualmente.

Exemplo:

+2510= 000110012

−2510= 111001102

10.4 Complemento de 2

Na representa¸cão de números negativos em complemento de 2 deve-se fazer o com-plemento de 1 do número e somar 1.

Exemplo:

+2510= 000110012

−2510= 111001112

A Tabela 8 apresenta os números binários de 4 bits em complemento de 2. Para converter o número 2 para_{−2 realiza-se a opera¸cão abaixo:}

0010_{→ Complemento de 1 → 1101 + 1 = 1110} onde 1110 =−2.

(11)

1000 ₋₈ 1001 ₋₇ 1010 ₋₆ 1011 ₋₅ 1100 ₋₄ 1101 ₋₃ 1110 ₋₂ 1111 ₋₁ 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 Tabela 8: Complemento de 2

11 Valor em decimal de um n´

umero com sinal

Sinal-Magnitude: 100101012=−2110 00101012= 24+ 22+ 20= 16 + 4 + 1 = 2110 Complemento de 1: 000101112= +2310 24_{+ 2}2_{+ 2}1_{+ 2}0_{= 16 + 4 + 2 + 1 = +23} 10 111010002=−2310 −27_{+ 2}6_{+ 2}5_{+ 2}3₌ −128 + 64 + 32 + 8 = −2410 −24 + 1 = −2310 Complemento de 2: 010101102= +8610 26_{+ 2}4_{+ 2}2_{+ 2}1_{= 64 + 16 + 4 + 2 = +86} 10 101010102=−8610 −27_{+ 2}5_{+ 2}3_{+ 2}1₌ −128 + 32 + 8 + 2 = −8610

12 Exerc´ıcios e Bibliografia

12.1 Exerc´ıcios

Realize as convers˜oes abaixo: 0, 12510para bin´ario

0, 10112 para decimal

AF 2Ah para bin´ario

73218para hexadecimal

12.2 Bibliografia

Entre os livros recomendados temos:

Digital Fundamentals, Thomas L. Floyd, Prentice Hall Elementos de Eletrˆonica Digital, Idoeta e Capuano, ´Erica