Um modelo reforçado e heurísticas relax-and-fix e VNS para o Problema da Árvore Geradora Mínima Capacitada em Níveis.

(1)

Um modelo refor¸

cado e heur´ısticas

relax-and-fix e VNS para o Problema

da ´

Arvore Geradora M´ınima

Capacitada em N´ıveis

Jean Carlos Tib´

urcio Campos

Universidade Federal de Ouro Preto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

Orientador: Marcone Jamilson Freitas Souza

Coorientador: Alexandre Xavier Martins

Disserta¸c˜

ao de Mestrado submetida ao

Pro-grama de P´

os-Gradua¸c˜

ao em Ciˆ

encia da

Com-puta¸c˜

ao da Universidade Federal de Ouro

Preto, como parte dos requisitos exigidos para

a obten¸c˜

ao do t´ıtulo de Mestre em Ciˆ

encia da

Computa¸c˜

ao.

(2)

(3)

Um modelo refor¸

cado e heur´ısticas

relax-and-fix e VNS para o Problema

da ´

Arvore Geradora M´ınima

Capacitada em N´ıveis

Jean Carlos Tib´

urcio Campos

Universidade Federal de Ouro Preto

Orientador: Marcone Jamilson Freitas Souza

(4)

(5)

Catalogação: www.sisbin.ufop.br

C157m

Campos, Jean Carlos Tiburcio.

Um modelo reforçado e heurísticas relax-and-fix e VNS para o problema da

árvore geradora mínima capacitada em níveis [manuscrito] / Jean Carlos

Tiburcio Campos. - 2018.

xxii, 112f.: il.: color; tabs; Algoritmos.

Orientador: Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza.

Coorientador: Prof. Dr. Alexandre Xavier Martins.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de

Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Computação. Programa de

Pós-Graduação em Ciência da Computação.

Área de Concentração: Ciência da Computação.

1. Algoritmos de computador. 2. Otimização combinatória. 3. Design de redes.

I. Souza, Marcone Jamilson Freitas. II. Martins, Alexandre Xavier. III.

Universidade Federal de Ouro Preto. IV. Titulo.

(6)

(7)

(8)

(9)

Dedico este trabalho `

a minha m˜

ae Jeanete Aparecida, e aos meus queridos padrinhos

Joaquim Barcelos e Geracina Barcelos.

(10)

(11)

Resumo

Este trabalho tem seu foco no Problema da ´

Arvore Geradora M´ınima Capacitada em

N´ıveis (PAGMCN). Ele consiste em encontrar uma ´

arvore geradora de custo m´ınimo, tal

que o fluxo a ser transferido de um n´

o central aos demais n´

os seja limitado pela

capaci-dade das arestas. Para resolvˆ

e-lo, propomos neste trabalho uma formula¸c˜

ao refor¸cada de

programa¸c˜

ao matem´

atica e um algoritmo h´ıbrido, combinando as heur´ısticas

relax-and-fix e Variable Neighborhood Search (VNS), juntamente com um modelo matem´

atico. A

formula¸c˜

ao matem´

atica proposta, chamada “Modelo Baseado na Capacidade das

Facili-dades 2” (MBC2), consiste em adicionar dois novos conjuntos de restri¸c˜

oes `

a formula¸c˜

ao

considerada a mais eficiente da literatura. A motiva¸c˜

ao para a utiliza¸c˜

ao do modelo

MBC2 est´

a em ele fornecer um limite inferior de qualidade, esperando assim

conver-gir mais rapidamente `

a solu¸c˜

ao ´

otima. Experimentos computacionais mostraram que a

formula¸c˜

ao refor¸cada proposta, quando comparada ao modelo da literatura, melhora a

qualidade da relaxa¸c˜

ao linear, fornecendo um limite inferior melhor e justificando a sua

utiliza¸c˜

ao. Para o desenvolvimento do algoritmo h´ıbrido, foi utilizado o modelo MBC2

proposto neste trabalho, em raz˜

ao de ele ser capaz de proporcionar um limite inferior

de qualidade. Essa formula¸c˜

ao refor¸cada ´

e usada com a heur´ıstica relax-and-fix para

fornecer uma solu¸c˜

ao inicial para o VNS. Resultados mostram que o VNS melhora a

solu¸c˜

ao inicial e gera solu¸c˜

oes com gaps relativamente pequenos nas instˆ

ancias usadas

para teste.

Palavras-chave: Problema da ´

Arvore Geradora M´ınima Capacitada em N´ıveis, Design

de redes, Otimiza¸c˜

ao Combinat´

oria, Formula¸c˜

ao Matem´

atica, Meta-Heur´ıstica,

Relax-and-Fix, Variable Neighborhood Search.

(12)

(13)

Abstract

This work addresses the multi-level capacitated minimum spanning tree (MLCMST)

problem. It consists of finding a minimum cost spanning tree such that the flow to

be transferred from a central node to the other nodes is bounded by the edge

capa-cities. To solve it, we propose in this work a reinforced mathematical programming

formulation and a hybrid algorithm, combining the heuristics Relax-and-Fix and

Vari-able Neighborhood Search (VNS), together with a mathematical model. The proposed

mathematical formulation, called “Modelo Baseado na Capacidade das Facilidades 2”

(MBC2), consists in adding two new set of constraints in the most efficient formulation

in the literature. The motivation for using the MBC2 model is to provide a quality

lower limit, hoping to converge more quickly to the optimum solution. Computational

experiments showed that the proposed reinforced formulation, when compared to the

literature model, improves the quality of linear relaxation, thus providing a better lower

bound and justifying its use. For the development of the hybrid algorithm, the MBC2

model proposed in this work was used, because it is able to provide a quality lower

limit. The reinforced formulation is used with the relax-and-fix heuristic to provide an

initial solution for the VNS algorithm. Results show that the VNS improves the

ini-tial solutions and obtains solutions with relatively small gaps for all instances used for

testing.

Keywords: Multi-level capacitated minimum spanning tree, Network design,

Com-binatorial Optimization, Mathematical Programming, Metaheuristics, Relax-and-Fix,

Variable Neighborhood Search.

(14)

(15)

Declara¸

c˜

ao

Esta disserta¸c˜

ao ´

e resultado de meu pr´

oprio trabalho, exceto onde referˆ

encia

explici-tat´

oria ´

e feita ao trabalho de outros, e n˜

ao foi submetida para outra defesa nesta nem

em outra universidade.

Jean Carlos Tiburcio Campos

(16)

(17)

Agradecimentos

Primeiramente `

a Deus, que iluminou o meu caminho durante esta caminhada, me

dando sa´

ude e for¸ca para superar as dificuldades.

`

A minha m˜

ae Jeanete Aparecida, que sempre me apoiou e nunca mediu esfor¸cos para

que eu chegasse at´

e aqui.

Aos meus padrinhos Joaquim Barcelos (Tio Quinca) e Geracina Barcelos (Tia Gˆ

era),

sempre t˜

ao importantes em minha vida.

Aos grandes amigos Isabela Aparecida, D´

ebora Antonieta, Matheus Matos, Pl´ınio

Roque e Jo˜

ao Pedro, por todo o apoio e paciˆ

encia.

`

A Ana Paula, por todo o incentivo, apoio e companheirismo.

`

A todos os demais familiares e amigos pela confian¸ca.

Ao Programa de P´

os-Gradua¸c˜

ao em Ciˆ

encia da Computa¸c˜

ao da UFOP, pelo apoio e

colabora¸c˜

ao em minha forma¸c˜

ao.

Aos meus orientadores Marcone e Alexandre, pelo conv´ıvio, incentivo, compreens˜

ao,

amizade e apoio durante toda essa jornada, contribuindo enormemente para o meu

desenvolvimento.

(18)

(19)

Sum´

ario

Lista de Figuras

xix

Lista de Tabelas

xxi

Lista de Algoritmos

xxv

Nomenclatura

1

1 Introdu¸

c˜

ao

3

1.1 Objetivos

. . . .

6

1.1.1 Objetivo Geral

. . . .

6

1.1.2 Objetivos Espec´ıficos . . . .

6

1.2 Motiva¸c˜

ao . . . .

7

1.3 Estrutura do Trabalho . . . .

7

2 Caracteriza¸

c˜

ao do Problema

9

2.1 Defini¸c˜

ao do Problema . . . .

11

2.2 Representa¸c˜

ao da Solu¸c˜

ao . . . .

12

2.3 Avalia¸c˜

ao de uma Solu¸c˜

ao . . . .

12

3 Revis˜

ao Bibliogr´

afica

15

(20)

3.1 Formula¸c˜

oes de Programa¸c˜

ao Matem´

atica

. . . .

15

3.1.1 Modelo Matem´

atico Proposto por Gamvros et al. . . .

15

3.1.2 Modelo Baseado em Fluxo – MBF . . . .

17

3.1.3 Modelo Baseado na Capacidade das Facilidades – MBC . . . .

18

3.2 Abordagens Heur´ısticas . . . .

19

3.2.1 Abordagem desenvolvida por Gamvros et al. . . .

19

3.2.2 Abordagem desenvolvida por Martins et al. . . .

20

3.2.3 Abordagem desenvolvida por Uchoa et al.

. . . .

21

4 Metodologia

23

4.1 Modelo Matem´

atico Proposto . . . .

23

4.1.1 Modelo Baseado na Capacidade das Facilidades 2 – MBC2 . . . .

23

4.2 Meta-Heur´ısticas . . . .

25

4.2.1 Relax-and-Fix . . . .

25

4.2.2 Variable Neighborhood Search . . . .

27

5 Experimentos e Resultados Computacionais

43

5.1 Instˆ

ancias . . . .

43

5.2 Resultados Obtidos . . . .

44

5.2.1 Resultados Num´

ericos dos Modelos Matem´

aticos . . . .

44

5.2.2 Resultados Num´

ericos para a gera¸c˜

ao de uma Solu¸c˜

ao Inicial . . .

47

5.2.3 Resultados Num´

ericos para a Meta-Heur´ıstica VNS . . . .

50

6 Conclus˜

oes e Trabalhos Futuros

57

6.1 Trabalhos Futuros . . . .

59 A Publica¸

c˜

oes

61

(21)

B Resultados - Modelos Matem´

aticos

63 C Resultados - M´

etodos de gera¸

c˜

ao de Solu¸

c˜

ao Inicial

79 D Resultados - Algoritmos VNS

95 Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

111

(22)

(23)

Lista de Figuras

1.1 Exemplo de uma rede de computadores.

. . . .

4

2.1 Exemplo de aplica¸c˜

ao do PAGMC sobre uma rede.

. . . .

10

2.2 Exemplo de aplica¸c˜

ao do PAGMCN sobre uma rede. . . .

11

3.1 Representa¸c˜

ao de uma solu¸c˜

ao da abordagem de Gamvros et al. (Gamvros

et al., 2003).

. . . .

20

4.1 Representa¸c˜

ao do funcionamento da heur´ıstica Relax-and-Fix.

. . . .

27

4.2 Exemplo de funcionamento do M´

etodo Guloso. . . .

30

4.3 Exemplo de funcionamento da heur´ıstica RF1. . . .

33

4.4 Exemplo de funcionamento da heur´ıstica RF2. . . .

35

4.5 Grafo `

a esquerda: Solu¸c˜

ao s; Grafo `

a direita: Solu¸c˜

ao s

0

ap´

os o movimento

N

1

. . . .

36

4.6 Grafo `

a esquerda: Solu¸c˜

ao s; Grafo `

a direita: Solu¸c˜

ao s

0

ap´

os o movimento

N

2

. . . .

37

4.7 Grafo `

a esquerda: Solu¸c˜

ao s; Grafo `

a direita: Solu¸c˜

ao s

0

ap´

os o movimento

N

3

. . . .

37

4.8 Grafo `

a esquerda: Solu¸c˜

ao s; Grafo `

a direita: Solu¸c˜

ao s

0

ap´

os o movimento

N

4

. . . .

38

4.9 Grafo `

a esquerda: Solu¸c˜

ao s; Grafo `

a direita: Solu¸c˜

ao s

0

ap´

os o movimento

N

5

. . . .

39

(24)

4.10 Grafo `

a esquerda: Solu¸c˜

ao s; Grafo `

a direita: Solu¸c˜

ao s

0

ap´

os o movimento

N

6

. . . .

39 4.11 Grafo `

a esquerda: Solu¸c˜

ao s; Grafo `

a direita: Solu¸c˜

ao s

0

ap´

os o movimento

N

7

. . . .

40

(25)

Lista de Tabelas

2.1 Matriz de distˆ

ancias para os v´

ertices da rede representada na Figura 2.2.

13

5.1 Resultados m´

edios da aplica¸c˜

ao dos modelos MBC e MBC2 aos conjuntos

de instˆ

ancias. . . .

45

5.2 Compara¸c˜

ao das relaxa¸c˜

oes lineares das formula¸c˜

oes MBC e MBC2.

. .

46

5.3 Resultados m´

edios dos m´

etodos de solu¸c˜

ao inicial.

. . . .

48

5.4 Compara¸c˜

ao do ganho percentual dos m´

etodos de solu¸c˜

ao inicial.

. . . .

49

5.5 M´

edia das solu¸c˜

oes e compara¸c˜

oes do gap para o algoritmo VNS1.

. . .

51

5.6 M´

edia das solu¸c˜

oes e compara¸c˜

oes do gap para o algoritmo VNS2.

. . .

52

5.7 M´

edia das solu¸c˜

oes e compara¸c˜

oes do gap para o algoritmo VNS3.

. . .

53

5.8 Compara¸c˜

ao do VNS com os m´

etodos de solu¸c˜

ao inicial.

. . . .

54

5.9 Compara¸c˜

ao do VNS3 com resultados ´

otimos da literatura.

. . . .

56 5.10 Compara¸c˜

ao do VNS3 com resultados da literatura para instˆ

ancias n˜

ao

resolvidas de maneira ´

otima.

. . . .

56 B.1 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 21 v´

ertices

e n´

o raiz localizado ao centro

. . . .

64 B.2 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 21 v´

ertices

e n´

o raiz localizado aleatoriamente

. . . .

65 B.3 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 21 v´

ertices

e n´

o raiz localizado nas extremidades . . . .

66

(26)

B.4 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 31 v´

ertices

e n´

o raiz localizado ao centro

. . . .

67 B.5 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 31 v´

ertices

e n´

o raiz localizado aleatoriamente

. . . .

68 B.6 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 31 v´

ertices

e n´

o raiz localizado nas extremidades . . . .

69 B.7 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 51 v´

ertices

e n´

o raiz localizado ao centro

. . . .

70 B.8 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 51 v´

ertices

e n´

o raiz localizado aleatoriamente

. . . .

71 B.9 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 51 v´

ertices

e n´

o raiz localizado nas extremidades . . . .

72 B.10 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 101 v´

ertices

e n´

o raiz localizado ao centro

. . . .

73 B.11 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 101 v´

ertices

e n´

o raiz localizado aleatoriamente

. . . .

74 B.12 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 101 v´

ertices

e n´

o raiz localizado nas extremidades . . . .

75 B.13 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 151 v´

ertices

e n´

o raiz localizado ao centro

. . . .

76 B.14 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 151 v´

ertices

e n´

o raiz localizado aleatoriamente

. . . .

77 B.15 Resultados dos modelos MBC e MBC2 para as instˆ

ancias com 151 v´

ertices

e n´

o raiz localizado nas extremidades . . . .

78 C.1 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 21 v´

ertices e n´

o raiz localizado ao centro

. . . .

80 C.2 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 21 v´

ertices e n´

o raiz localizado aleatoriamente

. . . .

81

(27)

C.3 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 21 v´

ertices e n´

o raiz localizado nas extremidades . . . .

82 C.4 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 31 v´

ertices e n´

o raiz localizado ao centro

. . . .

83 C.5 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 31 v´

ertices e n´

o raiz localizado aleatoriamente

. . . .

84 C.6 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 31 v´

ertices e n´

o raiz localizado nas extremidades . . . .

85 C.7 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 51 v´

ertices e n´

o raiz localizado ao centro

. . . .

86 C.8 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 51 v´

ertices e n´

o raiz localizado aleatoriamente

. . . .

87 C.9 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 51 v´

ertices e n´

o raiz localizado nas extremidades . . . .

88 C.10 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 101 v´

ertices e n´

o raiz localizado ao centro

. . . .

89 C.11 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 101 v´

ertices e n´

o raiz localizado aleatoriamente

. . . .

90 C.12 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 101 v´

ertices e n´

o raiz localizado nas extremidades

. . . .

91 C.13 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 151 v´

ertices e n´

o raiz localizado ao centro

. . . .

92 C.14 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 151 v´

ertices e n´

o raiz localizado aleatoriamente

. . . .

93 C.15 Resultados dos m´

etodos de gera¸c˜

ao de solu¸c˜

ao inicial para as instˆ

ancias

com 151 v´

ertices e n´

o raiz localizado nas extremidades

. . . .

94 D.1 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 21 v´

ertices e n´

o

raiz localizado ao centro . . . .

96

(28)

D.2 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 21 v´

ertices e n´

o

raiz localizado aleatoriamente . . . .

97 D.3 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 21 v´

ertices e n´

o

raiz localizado nas extremidades

. . . .

98 D.4 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 31 v´

ertices e n´

o

raiz localizado ao centro . . . .

99 D.5 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 31 v´

ertices e n´

o

raiz localizado aleatoriamente . . . 100

D.6 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 31 v´

ertices e n´

o

raiz localizado nas extremidades

. . . 101

D.7 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 51 v´

ertices e n´

o

raiz localizado ao centro . . . 102

D.8 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 51 v´

ertices e n´

o

raiz localizado aleatoriamente . . . 103

D.9 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 51 v´

ertices e n´

o

raiz localizado nas extremidades

. . . 104

D.10 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 101 v´

ertices e n´

o

raiz localizado ao centro . . . 105

D.11 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 101 v´

ertices e n´

o

raiz localizado aleatoriamente . . . 106

D.12 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 101 v´

ertices e n´

o

raiz localizado nas extremidades

. . . 107

D.13 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 151 v´

ertices e n´

o

raiz localizado ao centro . . . 108

D.14 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 151 v´

ertices e n´

o

raiz localizado aleatoriamente . . . 109

D.15 Resultados dos algoritmos VNS para as instˆ

ancias com 151 v´

ertices e n´

o

raiz localizado nas extremidades

. . . 110

(29)

Lista de Algoritmos

4.1 _VNS

. . . .

28

4.2 Heur´ıstica Relax-and-fix

. . . .

32

4.3 Busca Local . . . .

41

(30)

(31)

Nomenclatura

B&C

Algoritmo Branch-and-Cut

GP

Ganho Percentual

GRASP

Greedy Randomized Adaptive Search Procedures

LB

Lower Bound

LRC

Lista Restrita de Candidatos

MBC

Modelo Baseado em Capacidades

MBC2

Modelo Baseado em Capacidades 2

MBF

Modelo Baseado em Fluxo

MIP

Mixed Integer Programming

PAGMC

Problema da ´

Arvore Geradora M´ınima Capacitada

PAGMCN

Problema da ´

Arvore Geradora M´ınima Capacitada em N´ıveis

RF1

Heur´ıstica relax-and-fix 1

RF2

Heur´ıstica relax-and-fix 2

RF3

Heur´ıstica relax-and-fix 3

VNS

Variable Neighborhood Search

VNS1

Algoritmo Variable Neighborhood Search 1

VNS2

Algoritmo Variable Neighborhood Search 2

VNS3

Algoritmo Variable Neighborhood Search 3

(32)

(33)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

O presente trabalho trata o problema de layout de terminais, que consiste em encontrar

a melhor maneira de se alocar uma determinada quantidade de clientes terminais a

um servidor central por meio de linhas de transmiss˜

ao, que podem ser compartilhadas

entre os clientes para o envio e recebimento de informa¸c˜

oes de maneira eficiente. Cada

cliente terminal possui uma demanda de fluxo proveniente do servidor central a ser

atendida. Esta demanda pode ser atendida diretamente, por meio da conex˜

ao de um

cliente terminal ao servidor central, ou indiretamente, por meio de outros clientes que

estejam recebendo fluxo do servidor central.

Para entender melhor a situa¸c˜

ao descrita anteriormente, a Figura 1.1 apresenta um

exemplo de uma rede de computadores. Na Figura, ´

e poss´ıvel observar um servidor

central, identificado como X; quatro computadores conectados diretamente ao servidor

central, identificados como computadores A, B, C e F; e quatro computadores

conec-tados indiretamente ao servidor central, i. e., ligados a outros computadores que est˜

ao

conectados ao servidor central, identificados como computadores D, E, G e H.

Problemas deste tipo podem ser aplicados em projetos de redes de telecomunica¸c˜

oes

(Gavish, 1991), sistemas log´ısticos (Brimberg et al., 2003), dentre outros. Na literatura,

situa¸c˜

oes deste tipo s˜

ao retratadas pelo Problema da ´

Arvore Geradora M´ınima

Capaci-tada (PAGMC), que busca encontrar solu¸c˜

oes e alternativas, de modo que o custo final

seja o menor poss´ıvel.

O PAGMC consiste em, dado um grafo composto por arcos associados a algum

peso, encontrar a ´

arvore de menor custo (menor soma dos pesos dos arcos

seleciona-dos) que possa cobrir todos os v´

ertices da rede. Geralmente, este problema ´

e tratado

(34)

4 Introdu¸

c˜

ao

Figura 1.1: Exemplo de uma rede de computadores.

considerando-se que todas as linhas de transmiss˜

ao tˆ

em uma capacidade fixa Q.

Con-sequentemente, esta limita¸c˜

ao acaba restringindo o fluxo m´

aximo de informa¸c˜

ao em

qualquer linha de transmiss˜

ao adjacente ao servidor central a uma quantidade fixa.

Neste trabalho, consideramos que todos os clientes terminais possuem uma demanda

homogˆ

enea, podendo ent˜

ao ser tratado como um problema de demanda unit´

aria.

Papadimitriou (1978) mostrou que, para 2 < Q < n/2, o problema ´

e classificado como

N P-dif´ıcil. Portanto, apesar de existirem modelos matem´

aticos para resolu¸c˜

ao inteira

do PAGMC, s˜

ao necess´

arias heur´ısticas para obter boas solu¸c˜

oes em tempo aceit´

avel

para instˆ

ancias de grande porte.

Vale observar que projetos reais, como por exemplo projetos de redes, s˜

ao sujeitos a

m´

ultiplos tipos de linhas de transmiss˜

ao, podendo estes possuir diferentes capacidades e

(35)

Introdu¸

c˜

ao

5 custos (Martins et al., 2005). Para estes casos, o PAGMC apresenta algumas limita¸c˜

oes,

n˜

ao sendo perfeitamente adequado para resolver tais tipos de problemas.

Uma generaliza¸c˜

ao para o PAGMC ´

e conhecido como Problema da ´

Arvore Geradora

M´ınima Capacitada em N´ıveis (PAGMCN), onde, diferentemente do PAGMC em que

todos os arcos possuem uma capacidade fixa Q, pode ocorrer a instala¸c˜

ao de

facilida-des com capacidafacilida-des de diferentes valores. Apesar de ser menos visado que o PAGMC,

acredita-se que o PAGMCN seja de uso mais pr´

atico em projetos de redes de

comu-nica¸c˜

ao.

O Problema da ´

Arvore Geradora M´ınima Capacitada em N´ıveis (PAGMCN) consiste

em encontrar uma ´

arvore geradora de custo m´ınimo, tal que o fluxo a ser transferido

de um n´

o central (raiz) aos demais v´

ertices ´

e limitado pela capacidade das liga¸c˜

oes. O

PAGMCN foi introduzido em (Gamvros et al., 2006, 2003), e ´

e uma extens˜

ao natural do

Problema da ´

Arvore Geradora M´ınima Capacitada (PAGMC) (Esau e Williams, 1966).

A possibilidade de ter diferentes capacidades e custos para cada aresta imita o

con-ceito de economia de escala, resultando em ganhos de eficiˆ

encia paralelamente `

a

dimi-nui¸c˜

ao de custos. Assim, amplia-se a aplicabilidade do PAGMCN para redes de

teleco-munica¸c˜

oes (Gavish, 1991) e sistemas log´ısticos (Brimberg et al., 2003).

O PAGMCN ´

e tratado na literatura por diferentes m´

etodos. Gamvros et al. (2003),

Martins et al. (2005) e Gamvros et al. (2006) compararam diferentes formula¸c˜

oes para

o PAGMCN. A formula¸c˜

ao referenciada como Modelo Baseado em Capacidades (MBC)

foi considerada a mais eficiente, dado que ´

e a ´

unica capaz de resolver instˆ

ancias com at´

e

30 v´

ertices em um tempo limite pr´

e-determinado de uma hora (Martins et al., 2005).

Martins et al. (2009) propuseram um GRASP com uma abordagem heur´ıstica h´ıbrida

de otimiza¸c˜

ao de subproblemas. Utilizando regras heur´ısticas tanto na fase de constru¸c˜

ao

quanto na fase de busca local, subproblemas menores s˜

ao definidos e resolvidos de

ma-neira exata usando um resolvedor comercial. Este esquema os permitiu melhorar v´

arios

limites superiores conhecidos para 250 exemplos de instˆ

ancias da literatura.

Uchoa et al. (2012) propuseram um algoritmo Branch-and-Cut que introduz dois

tipos de cortes: a separa¸c˜

ao exata de cortes correspondentes a alguns dos principais

poliedros iguais encontrados na formula¸c˜

ao e a separa¸c˜

ao de cortes Fenchel. Resultados

num´

ericos mostraram que os melhores limites superiores conhecidos foram melhorados

para quase todas as instˆ

ancias que n˜

ao foram poss´ıveis resolver de maneira ´

otima.

(36)

6 Objetivos

prop˜

oe a adi¸c˜

ao de dois novos conjuntos de restri¸c˜

oes ao MBC, gerando assim um modelo

refor¸cado e mais forte que o modelo da literatura. Esta nova formula¸c˜

ao, referenciada

como Modelo Baseado em Capacidades 2 (MBC2), tem como principal objetivo fornecer

um limite inferior melhor em rela¸c˜

ao ao modelo MBC, sem nenhum preju´ızo em rela¸c˜

ao

ao tempo da relaxa¸c˜

ao linear.

´

E tamb´

em desenvolvido um algoritmo h´ıbrido, combinando as heur´ısticas

relax-and-fix (Wolsey, 1998) e Variable Neighborhood Search – VNS (Mladenovi´

c e Hansen,

1997) com o modelo de programa¸c˜

ao matem´

atica refor¸cado proposto, para resolu¸c˜

ao

do PAGMCN. Para a gera¸c˜

ao de uma solu¸c˜

ao inicial para o VNS, foram desenvolvidos

quatro m´

etodos: um guloso e trˆ

es baseados na heur´ıstica relax-and-fix, chamados RF1,

RF2 e RF3. Os quatro m´

etodos consistem em gerar uma solu¸c˜

ao inteira a partir da

solu¸c˜

ao fracion´

aria calculada pela formula¸c˜

ao MBC2, i. e., a solu¸c˜

ao obtida pela

re-laxa¸c˜

ao linear. Sete estruturas de vizinhan¸ca s˜

ao utilizadas para explorar o espa¸co de

solu¸c˜

oes. Resultados mostram que os m´

etodos baseados na heur´ıstica relax-and-fix

con-seguem fornecer uma solu¸c˜

ao inicial de melhor qualidade para o VNS, que por sua vez

est´

a apto a melhorar a solu¸c˜

ao inicial e obter solu¸c˜

oes com gaps relativamente pequenos

para todos os conjuntos de instˆ

ancias.

1.1 Objetivos

Nesta Se¸c˜

ao s˜

ao apresentados os principais objetivos deste trabalho.

1.1.1 Objetivo Geral

O objetivo deste trabalho ´

e desenvolver algoritmos, baseados em t´

ecnicas heur´ısticas e/ou

de programa¸c˜

ao matem´

atica, que sejam capazes de produzir solu¸c˜

oes de boa qualidade

em um tempo restrito, para resolver o Problema da ´

Arvore Geradora M´ınima Capacitada

em N´ıveis (PAGMCN).

1.1.2 Objetivos Espec´ıficos

Para alcan¸car o objetivo geral se faz necess´

ario a obten¸c˜

ao dos seguintes objetivos

es-pec´ıficos:

(37)

Estrutura do Trabalho

7 • Analisar e estudar trabalhos da literatura que tratam o problema abordado e

relacionados;

• Analisar e estudar t´ecnicas de solu¸c˜

ao de problemas de otimiza¸c˜

ao combinat´

oria;

• Propor uma formula¸c˜

ao de programa¸c˜

ao matem´

atica refor¸cada, baseada na

for-mula¸c˜

ao referenciada como Modelo Baseado em Capacidades (MBC);

• Desenvolver um algoritmo h´ıbrido, que combine procedimentos heur´ısticos com um

m´

odulo de programa¸c˜

ao linear inteira;

• Realizar experimentos computacionais utilizando instˆ

ancias da literatura, de forma

a comprovar a eficiˆ

encia dos algoritmos desenvolvidos.

1.2 Motiva¸

c˜

ao

Com os recentes avan¸cos, tanto tecnol´

ogicos quanto econˆ

omicos, e tendˆ

encias de

cresci-mento presentes nas organiza¸c˜

oes contemporˆ

aneas, ´

e cada vez mais recorrente a busca

por economia, seja de produ¸c˜

ao ou operacional, de modo que o custo final para realiza¸c˜

ao

de algum processo seja o menor poss´ıvel, sem comprometer sua qualidade.

Problemas de planejamento de redes podem ser retratados pelo PAGMC, ou a sua

generaliza¸c˜

ao, o PAGMCN, que se aproxima mais do caso real. Problemas deste tipo

apa-recem em projetos de redes de telecomunica¸c˜

oes, redes de log´ıstica, redes de transmiss˜

ao

de energia, dentre outros. Por isso, este problema tem grande importˆ

ancia pr´

atica. A

resolu¸c˜

ao de forma eficiente deste problema pode gerar economia para as organiza¸c˜

oes,

atrav´

es de planejamentos que minimizam custos operacionais; da´ı a importˆ

ancia de

de-senvolver algoritmos que resolvam o problema da melhor forma poss´ıvel.

Por outro lado, o PAGMCN tem grande importˆ

ancia te´

orica, por ser um problema da

classe N P-dif´ıcil. Desta forma, ´

e desafiador o desenvolvimento de algoritmos eficientes

para sua solu¸c˜

ao. Entre estes algoritmos, destacam-se atualmente os algoritmos h´ıbridos,

que combinam procedimentos heur´ısticos e formula¸c˜

oes exatas.

1.3 Estrutura do Trabalho

O restante deste trabalho est´

a estruturado como segue. O Cap´ıtulo 2 apresenta a

carac-teriza¸c˜

ao do problema tratado. A revis˜

ao bibliogr´

afica ´

e apresentada no Cap´ıtulo 3. O

(38)

8 Estrutura do Trabalho

Cap´ıtulo 4 apresenta a metodologia utilizada e os algoritmos desenvolvidos para resolver

o problema. J´

a no Cap´ıtulo 5 s˜

ao relatados os experimentos computacionais realizados.

O Cap´ıtulo 6 conclui esta disserta¸c˜

ao e apresenta perspectivas de trabalhos futuros.

(39)

Cap´ıtulo 2

Caracteriza¸

c˜

ao do Problema

O Problema da ´

Arvore Geradora M´ınima Capacitada consiste em determinar a melhor

maneira de se alocar uma determinada quantidade de clientes terminais a um servidor

central por meio de linhas de transmiss˜

ao, que podem ser compartilhadas entre os clientes

para o envio e recebimento de informa¸c˜

oes de maneira eficiente, de modo que o custo

total de utiliza¸c˜

ao das linhas selecionadas seja o menor poss´ıvel.

O PAGMC possui as seguintes caracter´ısticas:

(a) Cada cliente terminal possui uma demanda de fluxo que deve ser atendida por um

servidor central;

(b) A demanda de cada cliente pode ser atendida diretamente, por conex˜

ao direta com o

servidor central, ou indiretamente, por meio de outros clientes que estejam recebendo

fluxo;

(c) Todas as linhas de transmiss˜

ao possuem uma capacidade fixa Q;

(d) Todos os clientes terminais possuem demanda homogˆ

enea; desta forma, o PAGMC

pode ser tratado como um problema de demanda unit´

aria.

A Figura 2.1 ilustra uma solu¸c˜

ao do PAGMC para uma rede com oito clientes

termi-nais com demanda unit´

aria (B, C, D, E, F , G, H e I) e um n´

o central A. Nessa figura,

pode-se perceber que a capacidade Q das linhas de transmiss˜

ao ´

e igual a 3 unidades e

que, por exemplo, os clientes C e D se conectam ao n´

o central A pelo cliente B; enquanto

os clientes E e I se conectam diretamente ao n´

o central.

(40)

10 Caracteriza¸

c˜

ao do Problema

Figura 2.1: Exemplo de aplica¸c˜

ao do PAGMC sobre uma rede.

A capacidade fixada Q atua como um limitador do n´

umero de conex˜

oes indiretas ao

n´

o central. Al´

em disso, a limita¸c˜

ao das linhas de transmiss˜

ao restringe o fluxo m´

aximo

de informa¸c˜

ao em qualquer linha de transmiss˜

ao adjacente ao servidor central a uma

quantidade fixa. Projetos reais, como por exemplo projetos de redes, est˜

ao sujeitos a

m´

ultiplos tipos de linhas de transmiss˜

ao, com diferentes capacidades e custos (Martins

et al., 2005). Situa¸c˜

oes como essas n˜

ao se enquadram na defini¸c˜

ao do PAGMC. Para

tratar esses casos, considera-se uma generaliza¸c˜

ao do PAGMC, conhecida como Problema

da ´

Arvore Geradora M´ınima Capacitada em N´ıveis. Neste problema, diferentemente do

PAGMC, em que todas as liga¸c˜

oes possuem uma capacidade fixa Q, pode ocorrer a

instala¸c˜

ao de facilidades com capacidades de diferentes valores.

No PAGMCN existe a disponibilidade de instala¸c˜

ao de L tipos diferentes de

facili-dades junto `

as linhas de transmiss˜

ao, sendo cada facilidade associada a uma capacidade

Z

_l

e a um custo de instala¸c˜

ao CI

_l

.

O objetivo do PAGMCN, assim como o do PAGMC, ´

e encontrar uma rede de custo

m´ınimo, em que todos os clientes terminais tenham sua demanda atendida, e o fluxo que

passa por cada facilidade n˜

ao seja maior que sua capacidade.

Um exemplo de solu¸c˜

ao do PAGMCN ´

e ilustrado na Figura 2.2, que utiliza a mesma

rede da Figura 2.1. Nesta figura, h´

a um n´

o central A, oito n´

os representando os clientes

terminais com demanda unit´

aria e duas facilidades dispon´ıveis, sendo uma com

capaci-dade unit´

aria e outra com capacidade igual a 3 unidades, isto ´

e, Z

₁

= 1 e Z

₂

= 3. Pela

Figura 2.2 pode-se verificar, por exemplo, que os clientes B e F s˜

ao atendidos por

faci-lidades com capacidade de 3 unidades e estes, por sua vez, atendem a clientes terminais

por meio de facilidades com capacidade unit´

aria.

(41)

Defini¸

c˜

ao do Problema

11 Figura 2.2: Exemplo de aplica¸c˜

ao do PAGMCN sobre uma rede.

2.1 Defini¸

c˜

ao do Problema

Seja G(V, E) um grafo completo n˜

ao direcionado, em que V ´

e o conjunto de v´

ertices que

representam o servidor central (r) e os clientes terminais, E ´

e o conjunto de arestas que

representam as conex˜

oes existentes, e L ´

e o conjunto de ´ındices ordenados de tipos de

facilidades dispon´ıveis.

Para cada n´

o i ∈ V \ {r}, existe uma demanda n˜

ao negativa b

_i

; e para cada aresta

(i, j) ∈ E que usa uma facilidade do tipo l ∈ L, existe um custo de instala¸c˜

ao c

l_ij

> 0.

Cada tipo de conex˜

ao l ∈ L possui uma capacidade z

_l

associada a ela.

Neste trabalho, o problema ´

e aqui descrito em termos de um grafo direcionado, em

que cada aresta (i, j) ∈ E ´

e substitu´ıda por dois arcos (i, j) e (j, i), formando o conjunto

A de arcos. Entretanto, a mesma estrutura de custo ´

e utilizada. Note que a estrutura da

solu¸c˜

ao ´

e uma ´

arvore, n˜

ao existindo arcos de entrada para o n´

o raiz r, existindo apenas

arcos de sa´ıda a partir dele. Consequentemente, (i, r) /

∈ A.

Ao longo do texto, ser´

a de interesse o conjunto de componentes SA

_i

= (V

_i

, A

_i

), com

respectivos n´

os V

_i

⊆ V \ {r} e de arcos A

_i

⊆ A, em que cada SA

_i

´

e uma componente

conexa obtida ao se eliminar o n´

o raiz (r) e os arcos incidentes a ele no grafo. A estas

componentes daremos o nome de sub´

arvores.

(42)

12 Avalia¸

c˜

ao de uma Solu¸

c˜

ao

2.2 Representa¸

c˜

ao da Solu¸

c˜

ao

Uma solu¸c˜

ao s para o PAGMCN ´

e representada por um conjunto de arcos (i, j) ∈ A

com a facilidade l ∈ L que s˜

ao utilizados para a forma¸c˜

ao da ´

arvore de custo m´ınimo.

Como exemplo, ser´

a utilizada a rede representada na Figura 2.2, composta por nove

v´

ertices, sendo o v´

ertice A o n´

o central, e duas facilidades dispon´ıveis, com capacidades

Z

₁

= 1 e Z

₂

= 3. Podemos observar nessa rede a utiliza¸c˜

ao de oito arcos (i, j) ∈ A para

forma¸c˜

ao da solu¸c˜

ao: dois arcos com capacidade 1 ligando os v´

ertices E e I ao n´

o raiz,

dois arcos com capacidade 3 ligando os v´

ertices F e B ao n´

o raiz, e quatro arcos com

capacidade igual a 1, sendo dois ligando os v´

ertices C e D ao v´

ertice B, e os outros dois

ligando os v´

ertices G e H ao v´

ertice F .

2.3 Avalia¸

c˜

ao de uma Solu¸

c˜

ao

Uma solu¸c˜

ao s ´

e avaliada pela soma dos custos de instala¸c˜

ao c

l_ij

de todos os arcos

utilizados para a sua constru¸c˜

ao. Como dito na Se¸c˜

ao 2.1, para cada arco (i, j) ∈ A

usando uma facilidade do tipo l ∈ L, existe um custo de instala¸c˜

ao c

l_ij

> 0.

Como exemplo, ser´

a utilizada a rede representada na Figura 2.2, composta por nove

v´

ertices, sendo o v´

ertice A o n´

o central, e duas facilidades dispon´ıveis, com capacidades

Z

₁

= 1 e Z

₂

= 3. Para o c´

alculo do custo de instala¸c˜

ao c

l_ij

, utilizaremos a distˆ

ancia

euclidiana dos v´

ertices juntamente com fatores multiplicadores, CI

_l

, para cada uma das

facilidades dispon´ıveis, sendo CI

₁

= 1 e CI

₂

= 2.

A Tabela 2.1 apresenta a matriz de distˆ

ancia entre os v´

ertices da rede. Os valores

em destaque representam as liga¸c˜

oes utilizadas na solu¸c˜

ao apresentada. Aplicando os

fatores multiplicadores para estas liga¸c˜

oes, a rede representada na Figura 2.2 possui uma

solu¸c˜

ao com custo igual a 120 (101 + 101 + 102 + 151 + 151 + 102 + 15*1 +

15*1).

(43)

Avalia¸

c˜

ao de uma Solu¸

c˜

ao

13 Tabela 2.1: Matriz de distˆ

ancias para os v´

ertices da rede representada na

Figura 2.2.

V´

ertice

A

B

C

D

E

F

G

H

I

A

-

10

25

10

25

10 B

10 -

15

20

35

15 C

25

15 -

20

35

40

48

28 D

25

15

20 -

28

35

48

40

20 E

10

15

20

28 -

15

20

28

20 F

10

20

35

15 -

15

15 G

25

35

40

48

20

15 -

20

28 H

25

35

48

40

28

15

20 -

20 I

10

15

28

20

15

28

20

(44)

(45)

Cap´ıtulo 3

Revis˜

ao Bibliogr´

afica

Neste cap´ıtulo apresentamos os trabalhos relacionados ao tema. Apesar de se acreditar

que o PAGMCN seja de uso mais pr´

atico em projetos de redes reais que o PAGMC, ele

n˜

ao tem recebido muita aten¸c˜

ao dos pesquisadores, sendo a primeira pesquisa relacionada

ao tema realizada por Gamvros et al. (2003). Nas pr´

oximas Se¸c˜

oes, apresentaremos

algumas abordagens matem´

aticas e heur´ısticas para o PAGMCN.

3.1 Formula¸

c˜

oes de Programa¸

c˜

ao Matem´

atica

Nesta se¸c˜

ao s˜

ao apresentadas trˆ

es formula¸c˜

oes de programa¸c˜

ao matem´

atica presentes na

literatura para o problema em estudo. Estas formula¸c˜

oes utilizam vari´

aveis de topologia

e/ou vari´

aveis de fluxo.

Na Se¸c˜

ao 3.1.1, apresentamos uma formula¸c˜

ao proposta por Gamvros et al. (2003).

Nas Se¸c˜

oes 3.1.2 e 3.1.3, apresentamos dois modelos matem´

aticos, ambos propostos por

Martins et al. (2005).

3.1.1 Modelo Matem´

atico Proposto por Gamvros et al.

Este modelo, introduzido em Gamvros et al. (2003), corresponde ao primeiro trabalho

relacionado ao PAGMCN encontrado na literatura. Ele ´

e baseado em um grafo

direcio-nado.

Nesta formula¸c˜

ao foram utilizadas trˆ

es tipos de vari´

aveis: duas vari´

aveis de topologia

(46)

16 Formula¸

c˜

oes de Programa¸

c˜

ao Matem´

atica

e uma de fluxo. Seja x

ij

igual a 1 se uma facilidade ´

e instalada sobre o arco (i, j) e 0

caso contr´

ario. Seja y

ijl

igual a 1 se a facilidade do tipo l ´

e instalada sobre o arco (i, j)

e 0 caso contr´

ario.

Este modelo ´

e a ´

unica abordagem relacionada ao PAGMCN em que o fluxo parte dos

n´

os terminais em dire¸c˜

ao ao n´

o central. Neste caso, cada n´

o terminal transporta uma

unidade de produto ao n´

o central. Na nota¸c˜

ao adotada, a origem do produto k ´

e o n´

o

k, e o destino ´

e o n´

o 0. O fluxo do produto k sobre o arco (i, j) ´

e denotado por f

_ijk

. A

fun¸c˜

ao objetivo consiste em minimizar o custo total das liga¸c˜

oes utilizadas.

Sendo assim, o problema pode ser formulado como:

Minimize

P

(i,j)∈A

P

l∈L

c

l_ij

y

_ijl

(3.1a)

s.a.

P

j∈N

f

_jik

−

P

j∈N

f

_ijk

=











−1

i = 1, ..., n,

k = i,

1 i = 0,

k = 1, ..., n,

0 i = 1, ..., n,

k = 1, ..., n,

i 6= k.

(3.1b)

P

k∈N −{0}

f

_ijk

≤

P

l∈L

z

l

y

l_ij

∀ (i, j) ∈ A

(3.1c)

P

l∈L

y

_ijl

= x

_ij

∀ (i, j) ∈ A

(3.1d)

f

_ijk

≤ x

_ij

∀ (i, j) ∈ A; k ∈ N \ {0}

(3.1e)

P

j∈N

x

_0j

= 0

(3.1f)

P

j∈N

x

ij

= 1

∀ i ∈ N ; i 6= 0

(3.1g)

x

_ij

+ x

_ji

≤ 1

∀ (i, j) ∈ A

(3.1h)

x

_ij

∈ {0, 1}

∀ (i, j) ∈ A

(3.1i)

y

lij

∈ {0, 1}

∀ (i, j) ∈ A; l ∈ L

(3.1j)

f

_ijk

≥ 0

∀ (i, j) ∈ A; k ∈ N \ {0}.

(3.1k)

(3.1l)

As restri¸c˜

oes (3.1b), (3.1e), (3.1f), (3.1g) e (3.1h) combinadas garantem que a

topo-logia da rede ´

e uma ´

arvore. O conjunto de restri¸c˜

oes (3.1b) fazem com que o produto

proveniente de cada n´

o siga em dire¸c˜

ao ao n´

o central. O conjunto de restri¸c˜

oes (3.1c)

(47)

Formula¸

c˜

oes de Programa¸

c˜

ao Matem´

atica

17 garantem que o fluxo que passa sobre uma facilidade seja menor ou igual `

a capacidade

instalada sobre ele. O conjunto de restri¸c˜

oes (3.1d) garantem que somente um tipo de

facilidade ´

e instalada sobre um arco, e somente se o arco ´

e escolhido para estar na ´

arvore

(isto ´

e, somente se x

_i,j

= 1).

Esta formula¸c˜

ao gera n

3

+ n

2

L + n

2

vari´

aveis, sendo L o n´

umero de facilidades

dispon´ıveis e n

3

+ 4n

2

+ 3n restri¸c˜

oes.

3.1.2 Modelo Baseado em Fluxo – MBF

Este modelo, denotado por MBF e introduzido em Martins et al. (2005), ´

e uma

especi-fica¸c˜

ao ao PAGMCN do modelo proposto por Gavish (1983) para o PAGMC.

Nesta formula¸c˜

ao foram utilizadas vari´

aveis de topologia e de fluxo. Seja x

l_ij

igual a

1 se a facilidade do tipo l ´

e usada para ligar o n´

o i ao n´

o j e igual a 0 caso contr´

ario;

z

_l

´

e a capacidade da facilidade do tipo l, l = 1, ..., L; y

_ij

´

e o fluxo que passa pelo arco

(i, j); c

lij

o custo de conectar os n´

os i e j utilizando a facilidade l; e r o n´

o central.

Sendo assim, o problema ´

e formulado como:

Minimize

P

l∈L

P

(i,j)∈A

c

l_ij

x

l_ij

(3.2a)

s.a.

P

l∈L

P

(i,j)∈A

x

lij

= 1

∀ j ∈ V \ {r}

(3.2b)

P

l∈L

P

(i,j)∈A

z

_l

x

l_ij

≥ y

_ij

∀ (i, j) ∈ A

(3.2c)

P

i∈V

y

_ij

−

P

i∈V \{r}

y

_ji

= 1

∀ j ∈ V \ {r}

(3.2d)

x

lij

∈ {0, 1}

∀ (i, j) ∈ A; ∀l ∈ L.

(3.2e)

Os conjuntos de restri¸c˜

oes (3.2b), (3.2c) e (3.2d) garantem a conserva¸c˜

ao do fluxo e

que a topologia da rede ser´

a uma ´

arvore, onde o fluxo vai do n´

o central em dire¸c˜

ao aos

n´

os terminais. O conjunto de restri¸c˜

oes (3.2c) garantem ainda que o fluxo sobre um arco

n˜

ao ir´

a ultrapassar a capacidade deste.

Esta formula¸c˜

ao gera n

2

L + n

2

vari´

aveis, en que L ´

e o n´

umero de facilidades

dis-pon´ıveis, e n

2

+ 2n restri¸c˜

oes.

(48)

18 Formula¸

c˜

oes de Programa¸

c˜

ao Matem´

atica

Se existe somente um tipo de facilidade, o problema passa a ser o PAGMC. Sendo

assim, este modelo pode ser aplicado tanto na resolu¸c˜

ao do PAGMC quanto na sua

extens˜

ao, o PAGMCN.

3.1.3 Modelo Baseado na Capacidade das Facilidades – MBC

Este modelo, denotado por MBC e introduzido tamb´

em em Martins et al. (2005), ´

e uma

especifica¸c˜

ao ao PAGMCN do modelo proposto por Gouveia (1995) para o PAGMC.

Nesta formula¸c˜

ao s˜

ao utilizadas as mesmas vari´

aveis do modelo anterior, com exce¸c˜

ao

da vari´

avel de fluxo y

ij

. Ou seja, o modelo utiliza apenas vari´

aveis de topologia.

Sendo assim, o problema ´

e descrito pelas equa¸c˜

oes a seguir:

Minimize

P

l∈L

P

(i,j)∈A

c

l_ij

x

l_ij

(3.3a)

s.a.

P

l∈L

P

(i,j)∈A

x

l_ij

= 1

∀ j ∈ V \ {r}

(3.3b)

P

l∈L

P

(i,j)∈A

z

_l

x

l_ij

−

P

l∈L

P

(j,i)∈A:i6=r

z

_l

x

l_ji

≥ 1

∀ j ∈ V \ {r}

(3.3c)

x

l_ij

∈ {0, 1}

∀ (i, j) ∈ A; ∀l ∈ L. (3.3d)

O conjunto de restri¸c˜

oes (3.3b) e (3.3c) garante que a topologia da rede ser´

a uma

´

arvore, que o fluxo ir´

a do n´

o central em dire¸c˜

ao aos n´

os terminais, e que a capacidade

das facilidades ser´

a preservada.

O problema deste modelo ´

e que se utilizada uma facilidade com capacidade z

_l

qual-quer, o modelo considera que esta facilidade utiliza toda a sua capacidade. Este

pro-blema pode ser solucionado atrav´

es da cria¸c˜

ao de facilidades artificiais, de modo que a

capacidade das facilidades variem de 1 em 1 at´

e a facilidade real de maior capacidade.

Al´

em disso, o custo da facilidade artificial deve ser igual ao custo da facilidade real com

capacidade imediatamente superior `

a sua.

Esta formula¸c˜

ao gera n

2

z

_L

vari´

aveis, sendo z

_L

a maior capacidade dentre todas as

facilidades, e 2n restri¸c˜

oes.

(49)

pro-Abordagens Heur´ısticas

19 blema passa a ser resolver o PAGMC. Sendo assim, este modelo tamb´

em pode ser

apli-cado tanto na resolu¸c˜

ao do PAGMC quanto no PAGMCN.

Em rela¸c˜

ao ao desempenho das trˆ

es formula¸c˜

oes apresentadas, a formula¸c˜

ao MBC ´

e

a que possui o melhor desempenho, muito devido `

a substancial redu¸c˜

ao no n´

umero de

vari´

aveis e restri¸c˜

oes utilizadas. Entretanto, vale mencionar que o modelo proposto por

Gamvros et al. (2003) apresentou melhores resultados em rela¸c˜

ao `

a solu¸c˜

ao obtida pela

relaxa¸c˜

ao linear.

3.2 Abordagens Heur´ısticas

Nesta se¸c˜

ao, s˜

ao apresentadas trˆ

es abordagens encontradas na literatura para o PAGMCN.

Essas abordagens se baseiam na utiliza¸c˜

ao de heur´ısticas para resolu¸c˜

ao do problema

tra-tado.

3.2.1 Abordagem desenvolvida por Gamvros et al.

Em Gamvros et al. (2003) os autores propuseram um algoritmo gen´

etico para resolu¸c˜

ao

do PAGMCN.

Nesse trabalho os autores dividiram o problema em dois subproblemas: um de

agru-pamento e outro de determinar as liga¸c˜

oes entre os n´

os. O problema de agrupamento

visa agrupar os n´

os em componentes, de forma que a soma dos pesos em cada

compo-nente n˜

ao exceda a capacidade da facilidade com maior capacidade. Para agrupar os

n´

os em componentes, os autores utilizaram um algoritmo gen´

etico.

Em uma solu¸c˜

ao do algoritmo gen´

etico proposto no trabalho, o cromossomo que

representa a solu¸c˜

ao ´

e composto por duas partes. A primeira indica a que

grupo/com-ponente cada n´

o pertence, organizados em ordem crescente, enquanto que a segunda

indica os grupos/componentes existentes. A representa¸c˜

ao de uma solu¸c˜

ao pode ser

observada na Figura 3.1. Aqui, a solu¸c˜

ao ´

e representada pelo seguinte cromossomo:

(ABAABBACCC : ABC). Sendo assim, a composi¸c˜

ao deste cromossomo indica que

os n´

os 1, 3, 4 e 7 est˜

ao no componente A, os n´

os 2, 5 e 6 est˜

ao no componente B, e os

n´

os 8, 9 e 10 est˜

ao no componente C. A lista de componentes que formam a solu¸c˜

ao ´

e

formada pelos grupos A, B e C.

(50)

20 Abordagens Heur´ısticas

Figura 3.1: Representa¸c˜

ao de uma solu¸c˜

ao da abordagem de Gamvros et al.

(Gamvros et al., 2003).

Estes conjuntos, compostos cada um por 50 instˆ

ancias, s˜

ao diferenciados de acordo com

a localiza¸c˜

ao do n´

o raiz: um com a raiz ao centro, um com a raiz nas extremidades,

e outro com a raiz localizada aleatoriamente. Cada instˆ

ancia ´

e composta por 50 n´

os

terminais, gerados aleatoriamente em um grid 20 × 20. Os autores geraram tamb´

em

um quarto conjunto com 50 instˆ

ancias, compostas por 100 n´

os terminais e com a raiz

localizada ao centro. Em todos os testes, os autores trabalharam com trˆ

es tipos de

facilidades, com capacidades z

1

= 1, z

2

= 3, z

3

= 10, e com os respectivos fatores 1, 2 e

6 que multiplicam a distˆ

ancia Euclidiana entre qualquer par de n´

os.

3.2.2 Abordagem desenvolvida por Martins et al.

Em Martins et al. (2009), os autores propuseram um GRASP com uma abordagem

heur´ıstica h´ıbrida de otimiza¸c˜

ao de subproblemas para resolu¸c˜

ao do PAGMCN.

Uma meta-heur´ıstica GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) ´

e

composta basicamente por uma fase de constru¸c˜

ao e uma fase de busca local. A fase de

constru¸c˜

ao tem a fun¸c˜

ao de criar uma solu¸c˜

ao inicial vi´

avel. A busca local come¸ca com a

solu¸c˜

ao constru´ıda na fase anterior e tenta, ao investigar vizinhan¸cas, alcan¸car melhorias

at´

e alcan¸car um ´

otimo local. O procedimento retorna a melhor solu¸c˜

ao encontrada ap´

os

um determinado n´

umero de itera¸c˜

oes.

Para a fase de constru¸c˜

ao, os autores inicialmente dividem os n´

os terminais em K

subconjuntos, de modo que a cardinalidade de cada subconjunto n˜

ao seja superior que

(51)

Abordagens Heur´ısticas

21 a capacidade da facilidade com maior capacidade. A forma¸c˜

ao de um subconjunto R

k

´

e

feita a partir de uma lista restrita de candidatos (LRC). A LRC cont´

em os n´

os que ainda

n˜

ao fazem parte de nenhum subconjunto, e que quando incorporados ao subconjunto R

k

,

resultam no menor incremento de custo de acordo com o algoritmo de Prim (Ahuja et al.,

1993). Seja S o conjunto de n´

os que ainda n˜

ao fazem parte de nenhum subconjunto; c

_ij

o

custo de uma liga¸c˜

ao entre os i e j; e d

_j

um r´

otulo definido como d

_j

= min{c

_ij

: i ∈ R

_k

},

para todo j ∈ S. Dado um parˆ

ametro α ∈ [0, 1], a LRC ´

e definida de acordo com a

Equa¸c˜

ao (3.4a). Ap´

os a forma¸c˜

ao dos K subconjuntos, eles s˜

ao resolvidos separadamente

de maneira ´

otima utilizando a formula¸c˜

ao MBC, apresentada na Se¸c˜

ao 3.1.3. Ao final

deste processo, se tem uma solu¸c˜

ao vi´

avel para o PAGMCN.

LRC = {j ∈ S : d

j

≤ d

min

+ α(d

max

− d

min

)}

(3.4a)

A fase de busca consiste em melhorar uma solu¸c˜

ao vi´

avel atrav´

es da reorganiza¸c˜

ao

dos n´

os de diferentes subconjuntos. A cada itera¸c˜

ao da busca local, ´

e constru´ıdo um

novo subconjunto P de n´

os, com cardinalidade aleatoriamente escolhida a partir da

capacidade das facilidades dispon´ıveis. Este subconjunto P ´

e formado pela combina¸c˜

ao

de n´

os localizados em um ou mais subconjuntos. Ap´

os a constru¸c˜

ao, o subconjunto P ´

e

resolvido de maneira ´

otima atrav´

es da formula¸c˜

ao MBC, assim como os conjuntos que

foram modificados. Para testar o m´

etodo desenvolvido, os autores utilizaram instˆ

ancias

da literatura, geradas por Gamvros et al. (2006).

O GRASP proposto por Martins et al. se mostrou bastante competitivo, permitindo

melhorar v´

arios limites superiores conhecidos para 250 exemplos de instˆ

ancias da

litera-tura.

3.2.3 Abordagem desenvolvida por Uchoa et al.

Em Uchoa et al. (2012), os autores propuseram um algoritmo Branch-and-Cut com o

objetivo de calcular limites inferiores justos e limites superiores de alta qualidade para

o PAGMCN.

Os autores utilizaram um GRASP semelhante ao proposto por Martins et al. (2009)

e apresentado na Se¸c˜

ao anterior. Entretanto, a utiliza¸c˜

ao da formula¸c˜

ao MBC foi

subs-titu´ıda pelo branch-and-cut.

(52)

22 Abordagens Heur´ısticas

Foram introduzidos dois tipos de cortes: a separa¸c˜

ao exata de cortes correspondentes

a alguns dos principais poliedros iguais encontrados na formula¸c˜

ao e a separa¸c˜

ao de cortes

Fenchel.

Para testar o m´

etodo desenvolvido, os autores, assim como Martins et al. (2009),

utilizaram instˆ

ancias da literatura geradas por Gamvros et al. (2006). Os resultados

num´

ericos mostraram que os melhores limites superiores conhecidos foram melhorados

para quase todas as instˆ

ancias que n˜

ao foram poss´ıveis resolver de maneira ´

otima.

(53)

Cap´ıtulo 4

Metodologia

Neste cap´ıtulo apresentamos na Se¸c˜

ao 4.1 uma formula¸c˜

ao matem´

atica refor¸cada,

base-ada no modelo MBC. J´

a Se¸c˜

ao 4.2, apresentamos duas heur´ısticas que foram

combina-das, juntamente com a formula¸c˜

ao matem´

atica MBC2, em um algoritmo h´ıbrido para

resolu¸c˜

ao do PAGMCN: Relax-and-Fix e Variable Neighborhood Search.

4.1 Modelo Matem´

atico Proposto

Neste trabalho, ´

e proposta a adi¸c˜

ao de dois novos conjuntos de restri¸c˜

oes ao MBC,

gerando, assim, um modelo refor¸cado e mais forte que o modelo da literatura. Esta

nova formula¸c˜

ao, referenciada como “Modelo Baseado na Capacidade das Facilidades 2

- MBC2”, ´

e apresentada a seguir.

4.1.1 Modelo Baseado na Capacidade das Facilidades 2 – MBC2

Este modelo refor¸cado, denotado por MBC2, ´

e complementar e mais forte que o

mo-delo MBC, proposto por Martins et al. (2005) e apresentado na Se¸c˜

ao 3.1.3. Assim

como na formula¸c˜

ao MBC, o modelo utiliza apenas vari´

aveis de topologia e cria

facili-dades artificiais. No modelo proposto, dois novos conjuntos de restri¸c˜

oes, dados pelas

Equa¸c˜

oes (4.1d) e (4.1e) a seguir, s˜

ao adicionados `

a formula¸c˜

ao MBC.

A motiva¸c˜

ao para a utiliza¸c˜

ao do modelo MBC2 est´

a em fornecer um limite inferior

melhor que o MBC, esperando, assim, que haja uma convergˆ

encia mais r´

apida `

a solu¸c˜

ao