dy dx dy dx Obs.: a forma canônica pode ser obtida da forma geral dividindo-se a equação geral por a 0 , desde que a ( x) 0 no intervalo x ( a,b)

3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES 3.1. Teoria Geral

Estas equações são muito importantes, pois são aplicadas à Engenharia para resolver problemas de vibrações mecânicas, circuitos elétricos, etc. Especial atenção será dada às equações de segunda ordem por serem importantes do ponto de vista prático.

A forma geral de uma equação diferencial ordinária linear é:

( )

( )

( )

a

( )

x y f

( )

x dx dy x a ... dx y d x a dx y d x a _{n n n} n n n = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ −₋1 ₋1 1 1 0

ou em sua forma canônica:

( )

( )

a

( )

x y f

( )

x dx dy x a ... dx y d x a dx y d n n n n n n = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + −₋1 ₋1 1 1 onde a0

( )

x =1

Obs.: a forma canônica pode ser obtida da forma geral dividindo-se a equação geral por a₀

( )

x , desde que a₀

( )

x ≠0 no intervalo x∈

( )

a,b considerado.

Como já foi visto anteriormente, se f(x) = 0, a equação é dita homogênea, caso contrário, não-homogênea.

Outra forma de se escrever esta equação é através de um operador diferencial L que é aplicado à função y

( )

x .

( )

x f Ly= , onde

( )

( )

a

( )

x dx d x a ... dx d x a dx d L n n n n n n + ⋅ + + ⋅ + = −₋1 ₋1 1 1 ou

∑

( )

= − − ⋅ = n k k n k n k dx d x a L 0 com

( )

1 0 x = a .

Com relação à equação Ly= f

( )

x pode-se dizer que significa determinar a mais geral função y

( )

x

que operada por L conduz a f

( )

x .

Obs.: pode-se fazer uma analogia de uma equação diferencial de ordem n com uma equação algébrica de grau n, onde as funções ak(x) são substituídas por constantes ak e a função f(x) é nula.

Se resolver a equação algébrica 1 0

1 1 0⋅ + ⋅ + + − ⋅ + = − n n n n a y a ... y a y

a significa determinar todos os

valores de y que a satisfazem, resolver a equação diferencial significa, como já foi dito, determinar a função y(x) que seja a mais geral e satisfaça esta equação diferencial.

Considere uma equação diferencial de segunda ordem homogênea na sua forma canônica:

( )

₂

( )

0 1 ⋅ ′+ ⋅ = + ′′ a x y a x y y . Teorema fundamental

Este teorema também é chamado de Princípio da Superposição. Demonstração

Sejam

φ

₁

( )

x e

φ

₂

( )

x soluções da equação diferencial de segunda ordem homogênea

( )

₂

( )

0

1 ⋅ ′+ ⋅ =

+

′′ a x y a x y

y .

Para demonstrar o teorema é necessário provar que

φ

( )

x =C₁

φ

₁

( )

x +C₂

φ

₂

( )

x .

Se

φ

( )

x é solução da equação y′′+a₁

( )

x ⋅y′+a₂

( )

x ⋅y=0 deve satisfazê-la, ou seja:

( )

2

( )

0 1 ⋅ ′+ ⋅ = + ′′

φ

φ

φ

a x a x . Substituindo:

(

C₁φ₁+C₂φ₂

)

″+a₁

( ) (

x ⋅ C₁φ₁+C₂φ₂

)

′+a₂

( ) (

x ⋅ C₁φ₁+C₂φ₂

)

=0

( )

_{1 1 1}

( )

_{2 2 2}

( )

_{1 1 2}

( )

_{2 2} 0 1 2 2 1 1

φ

′′+C

φ

′′+a x ⋅C

φ

′+a x ⋅C

φ

′ +a x ⋅C

φ

+a x ⋅C

φ

= C

( )

( )

[

_{1 1 1 2 1}

]

₂

[

_{2 1}

( )

_{2 2}

( )

₂

]

0 1

φ

′′+a x ⋅

φ

′+a x ⋅

φ

+C

φ

′′+a x ⋅

φ

′+a x ⋅

φ

= C

Como

φ

1

( )

x e

φ

2

( )

x são soluções da equação diferencial, então:

( )

1 2

( )

1 0

1

1′′+ ⋅

φ

′+ ⋅

φ

=

φ

a x a x e

φ

2′′+a1

( )

x ⋅

φ

2′ +a2

( )

x ⋅

φ

2 =0 Então: C₁

[ ]

0 +C₂

[ ]

0 =0 ∴ 0 = 0.

3.2. Resolução de EDO Linear com Coeficientes Constantes

Como toda função constante real é contínua, então, dentre as equações diferenciais lineares, existe um grupo de equações muito importante que é formado pelas equações cujas funções coeficientes de y, y′ e y′′, respectivamente, a0

( )

x , a1

( )

x e a2

( )

x são constantes e, neste caso, escreve-se simplesmente:

( )

x f cy y b y a ′′+ ′+ = .

Para resolver este tipo de equação linear não homogênea, deve-se:

a) obter a solução geral yh(x) da equação linear homogênea associada ay′′+by′+cy=0;

b) por algum processo matemático, obter uma solução particular yp(x) para a equação original,

o que significa que ay_p′′+by′_p +cy_p = f

( )

x .

c) a solução geral y(x) para a EDO dada será, a soma da solução geral da equação homogênea

associada, obtida em (a) com a solução particular obtida em (b), isto é: y= y_h +y_p

3.2.1. Solução da equação homogênea

Voltando à equação linear de primeira ordem homogênea y′+ py=0, sabe-se que y

( )

x =Ce−px é solução desta equação. Portanto, é natural supor que eλx seja uma solução da equação

0 = + ′ + ′′ by cy y a . Substituindo y=eλx, y′=

λ

eλx e y′′=

λ

2eλx na equação ay′′+by′+cy=0: 0 2 x+ x+ x = ce e b e aλ λ λ λ λ ou

(

aλ2 +bλ+c

)

⋅eλx =0.

Como a função eλx não é nula para qualquer x, ela será solução da equação ay′′+by′+cy=0 se λ for uma solução da equação do segundo grau:

0 2 + + =

c b

aλ λ .

Esta equação é chamada de equação característica (ou auxiliar) da equação diferencial

0 = + ′ + ′′ by cy y a .

Suas raízes são:

a ac b b 2 4 2 1 − + − =

λ

e a ac b b 2 4 2 2 − − − =

λ

.

Em vista desta dedução, segue que as funções y e 1x 1 λ = e y e 2x 2 λ = são soluções de 0 = + ′ + ′′ by cy y a .

Utilizando o Princípio da Superposição (Teorema Fundamental), a solução geral da equação linear de segunda ordem homogênea será:

( )

x x h x Ce C e y 1 2 2 1 λ λ ₊ = .

Uma solução de uma equação diferencial de segunda ordem (linear ou não) é chamada de solução geral se ela contém duas constantes arbitrárias independentes. Independência significa que esta solução não pode ser reduzida a uma forma contendo apenas uma constante arbitrária ou nenhuma (como já foi visto, quando se atribuem valores definidos para as constantes arbitrárias, a solução obtida é chamada de solução particular).

Em que condições tal redução será possível? Quando as funções y1(x) e y2(x) forem linearmente

dependentes em um intervalo (a,b) onde ambas são definidas, ou seja, se elas forem proporcionais

neste intervalo. Matematicamente falando, se y1 = k.y2 ou y2 = l.y1 vale para qualquer x∈

( )

a,b ,

onde k e l são números que podem ser iguais a zero ou não. Se as funções não são proporcionais em

(a,b) elas são ditas linearmente independentes em (a,b). Note que os conceitos de dependência e

independência sempre se referem a um intervalo e não a um simples ponto. Resumindo:

- se ao menos uma das funções y1(x) e y2(x) for identicamente nula no intervalo (a,b), então as

funções são linearmente dependentes neste intervalo;

- se y1/y2 for constante no intervalo (a,b), então y1(x) e y2(x) são linearmente dependentes

- se y1/y2 depende de x no intervalo (a,b), então y1(x) e y2(x) são linearmente independentes.

Como a, b e c são reais na equação aλ2 +bλ+c=0, da álgebra elementar, a partir de um exame do discriminante ∆ = b2 – 4ac da equação, decorre que a equação característica pode possuir:

ii. duas raízes reais idênticas (∆ = 0);

iii. duas raízes complexas e conjugadas (∆ < 0). Caso i – duas raízes reais e distintas (∆∆∆∆ > 0)

Como as duas raízes

λ

1 e

λ

2 são reais e distintas _x ( )x

x e e e y y _{2 1} 1 2 1 2 λ λ λ λ − = = depende de x e, portanto, y1 e y2

são funções linearmente independentes. Conseqüentemente, a solução geral da equação será:

( )

x x e C e C x y 1 2 2 1 λ λ ₊ = .

Caso ii – duas raízes reais idênticas (∆=∆=∆=∆= 0)

Como

λ

1 =

λ

2 =

λ

= a b 2 − ⇒ 1 1 2 = = x x e e y y λ λ

, ou seja, uma constante, portanto, y1 e y2 são funções

linearmente dependentes. Visto que a solução geral da equação diferencial de segunda ordem deverá conter 2 constantes arbitrárias, é necessário determinar uma outra solução que seja linearmente independente da única encontrada y₁ =eλx.

Esta outra solução pode ser obtida utilizando o Método de d’Alembert que consiste em construir uma segunda solução y2 a partir de uma primeira y1 já conhecida multiplicada por uma função

incógnita v(x):

( ) ( ) ( )

x v x y x

y₂ = ⋅ ₁ .

Como y2(x) é solução da equação diferencial ay2′′+by′2+cy2 =0.

Substituindo y2 =v⋅y1, y′2 =v ⋅′y1+v⋅y1′ e y2′′=v′⋅′y1+2⋅v ⋅′y1′+v⋅y1′′:

(

′⋅′ 1+2⋅ ⋅′ 1′+ ⋅ 1′′

)

+ ⋅

(

⋅′ 1+ ⋅ 1′

)

+ ⋅ ⋅ 1 =0 ⋅ v y v y v y b v y v y c v y a

(

2 _{1 1}

)

(

_{1 1 1}

)

0 1+ ⋅′ ⋅ ⋅ ′+ ⋅ + ⋅ ⋅ ′′+ ⋅ ′+ ⋅ = ⋅ ⋅′ ′ a y v a y b y v a y v y c y v .

Como y1 é solução da equação diferencial, ay1′′+by1′+cy1=0. Então a equação acima se reduz a:

(

2 _{1 1}

)

0 1+ ⋅′ ⋅ ⋅ ′+ ⋅ = ⋅ ⋅′ ′ a y v a y b y v . Separando as variáveis:       ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅′ − = ⋅ ⋅ ′ 1 1 1 2 b y dx dy a v y a dx v d bdx dy y a v d v a ′=− − ′ 1 1 1 2 1 . Integrando: C dx b dy y a v d v a ′=− − + ′

∫

∫

∫

1 1 1 2 1

( )

v a ln

( )

y bx C ln a⋅ ′ =−2 ⋅ 1 − +

( )

[ ]

v ln

[

( )

y

]

bx C ln ′ a = 1 −2a − +

( )

a ln

[

( )y a

]

bx C e v′ = 1−2 − +

( ) ( )

a a bx C e e y v′ = 1 −2 ⋅ − ⋅

( )

a C x a b e e y v′= ₁ −2⋅ − ⋅ . Como y₁ =eλx: x a b e C v       + − = ′ ₁ 2λ . Mas a b 2 − = λ , então: v′=C1 2 1 dx C C dv=

∫

+

∫

( )

x C1x C2 v = + .

Como se está procurando uma função simples (que pode ser particular), mas que não seja identicamente nula, pode-se adotar C1 = 1 e C2 = 0. Então:

( )

x x

v = ⇒ y₂

( )

x =x⋅eλx.

Esta função é linearmente independente da primeira, pois x e e x y y x x = ⋅ = _λλ 1 2 .

Substituindo y₂ =x⋅eλx, y₂′ =eλx+

λ

x⋅eλx e y₂′′ =2

λ

eλx+

λ

2x⋅eλx na equação diferencial 0 = + ′ + ′′ by cy y a e utilizando a b 2 − =

λ

, para verificar se y2 é solução desta equação:

(

2 x+ 2 ⋅ x

) (

+ x+ ⋅ x

)

+ ⋅ x =0 e cx e x e b e x e a

λ

λ

λ

λ λ

λ

λ λ

(

)

[

2a

λ

+b+ a

λ

2+b

λ

+c x

]

⋅eλx =0

( )

[

0+ 0 x

]

⋅eλx =0 ⇒ 0 = 0

Então, a solução da equação diferencial, quando as raízes forem idênticas, será:

( )

x x xe C e C x y = 1 λ + 2 λ .

Caso iii – duas raízes complexas e conjugadas (∆∆∆∆ < 0)

Sejam

λ

1 = p + qi e

λ

2 = p – qi as raízes da equação diferencial ay′′+by′+cy=0, então as soluções

desta equação são y1=e(p+qi)x e

(p qi)x

e

y2 = − que são linearmente independentes, pois

( ) (p qi)x qix x qi p e e e y y 2 1 2 − + − =

= não é uma constante.

Entretanto, o que é interessa é buscar soluções reais a partir destas soluções complexas. Pelas fórmulas de Euler (ver capítulo 0):

( )

θ

( )

θ

θ sen i cos ei = + ⋅ e e−iθ =cos

( )

θ

−i⋅sen

( )

θ

. Então: ( ) _e

[

_cos

_{( )}

_{qx i sen}

_{( )}

_qx

]

e y = p+qix = px + ⋅ 1 e ( ) _e

[

_cos

_{( )}

_{qx i sen}

_{( )}

_qx

]

e y = p−qix = px − ⋅ 2 .

Destas duas expressões pode-se obter:

(

y₁+y₂

)

=epxcos

( )

qx 2 1 e

(

y y

)

e sen

( )

qx i px = − 2 1 2 1 .

Estas duas funções são reais e de acordo com o Princípio da Superposição (Teorema Fundamental) são soluções da equação diferencial ay′′+by′+cy=0.

Então, a solução geral da equação diferencial, quando as raízes forem complexas conjugadas, será:

( )

x e

[

C cos

( )

qx C sen

( )

qx

]

y px

2

1 +

= .

3.2.2. Solução da equação não-homogênea

Como já visto anteriormente, a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem linear e não-homogênea ay′′+by′+cy= f

( )

x é:

( )

x y

( )

x y

( )

x

y = h + p ,

onde yh(x) é a solução geral da homogênea e yp(x) é uma solução particular que satisfará a equação

não-homogênea.

Já se sabe como obter a solução da equação homogênea. Resta, portanto, encontrar um método para determinar a solução particular. Um método utilizado para tal denomina-se método dos coeficientes

a determinar. A sua vantagem é ser simples e prático e a desvantagem é que só é aplicável a certas equações lineares.

Como a função f(x) é conhecida, este método propõe encontrar uma solução particular yp(x) que seja

uma combinação linear de um conjunto linearmente independente de funções. O problema fica fácil de ser resolvido se f(x) tem uma das formas apresentadas a seguir.

a) f(x) é um polinômio de grau n

A solução procurada deverá estar na forma

( )

1 0

1 1x ... a x a a x a x y n n n n p = + + + + − −

b) f(x) é uma função exponencial

A solução procurada deverá estar na forma yp

( )

x = Aerx c) f(x) é uma função sen(qx) ou cos(qx)

A solução procurada deverá estar na forma y_p

( )

x = Acos

( )

qx +Bsen

( )

qx

d) f(x) é uma soma das funções anteriores

A solução procurada deverá ser a soma das soluções particulares apresentadas. Ex.: Se f

( )

x =aerx+bcos

( )

qx , então a solução particular tem a forma

( )

x Ae Bcos

( )

qx Csen

( )

qx

y_p = rx+ +

e) f(x) é um produto das funções anteriores

A solução procurada deverá ser o produto das soluções particulares apresentadas. Ex.: Se f

( )

x =

(

ax2+b

)

sen

( )

qx

, então a solução particular tem a forma

( )

x

(

Ax Bx C

)

cos

( )

qx

(

Dx Ex F

)

sen

( )

qx

y_p = 2+ + + 2 + +

Observação importante: se f(x) possui alguma solução da equação homogênea associada, então esta solução da homogênea deve ser multiplicada por x para se obter a solução particular da equação não-homogênea. Caso a função não sirva, deve ser multiplicada por x² e assim sucessivamente. Ex.: Se f

( )

x =ax+b, a solução particular tem a forma y_p

( )

x =Ax+B, mas se a solução constante (y=C) pertencer à solução da homogênea, então a solução particular deverá ser multiplicada pela variável independente (no caso, x). Portanto, a solução particular deverá ter a forma

( )

x Ax Bx

y_p = 2+ .

Observação final do capítulo: Embora, os métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes tenham sido apresentados para equações de segunda ordem, o raciocínio pode ser estendido para equações de ordem superior.

Exs.: 1) x e y y y′′−2 ′+ = − 2) x e y y y′′−2 ′+ = 3) y′′−2y′+y=cos

( )

x 4) y′′+y=cos

( )

x

3.3. Aplicações

1) Oscilações livres não-amortecidas

Considere um sistema massa-mola onde a massa do corpo é m e a constante elástica da mola é k.

De acordo com a segunda lei de Newton:

∑

F =ma ⇒ −kx=ma.

Mas x dt x d dt dx dt d dt dv a = =&&      = = 2₂ .

Então: m&x&+kx=0 é a equação do movimento não-amortecido do sistema massa-mola e a sua solução deverá ser encontrada.

Equação característica: mλ2+k=0.

Discriminante: ∆=−4km<0 ⇒ duas raízes complexas conjugadas.

Raízes da equação característica:

m k i = 1

λ

e m k i − = 2

λ

.

A solução da equação será:

( )

_

      ⋅ +         ⋅ = t m k sen B t m k cos A t x .

Note que a dimensão de k é FL-1 ou MT-2 (já que F = MLT-2) e a dimensão de m é M. Portanto, a

dimensão das raízes da equação característica é T-1, que é dimensão de freqüência. O seu valor absoluto, km é conhecido como freqüência natural (

ω

n) do sistema massa-mola. Então, a solução

pode ser escrita como:

( )

t Acos

( )

t Bsen

( )

t

x =

ω

_n +

ω

_n .

2) Oscilações livres amortecidas

Considere um sistema massa-mola-amortecedor onde a massa do corpo é m e a constante elástica da

mola é k e o coeficiente de amortecimento do amortecedor é c. k m x m kx x

Diagrama de corpo livre

k

m x c

Diagrama de corpo livre m

kx

x

A força de amortecimento é contrária ao movimento e proporcional à velocidade v = x& do

movimento: F=cv=cx&.

De acordo com a segunda lei de Newton:

∑

F =m&x& ⇒ −cx&−kx=m&x&.

Então: m&x&+cx&+kx=0 é a equação do movimento amortecido do sistema massa-mola e a sua solução deverá ser encontrada.

Equação característica: mλ2+cλ+k =0. Discriminante: ∆=c2 −4km.

Como o discriminante é uma subtração de dois números reais positivos, existem 3 possibilidades: i. ∆=c2−4km > 0, as raízes são reais e distintas e o sistema é superamortecido;

ii. ∆=c2−4km = 0, as raízes são reais e idênticas e o amortecimento é crítico;

iii. ∆=c2−4km < 0, as raízes são complexas conjugadas e o sistema é subamortecido.

caso i – sistema superamortecido (∆∆∆∆ > 0)

Raízes da equação característica:

m km c c 2 4 2 1 − + − =

λ

e m km c c 2 4 2 2 − − − =

λ

.

Solução geral da equação diferencial: x

( )

t Ce 1t C e 2t 2 1

λ λ ₊

= .

A Figura 3.1 mostra o movimento do sistema massa-mola-amortecedor, onde m = 1 kg, c = 5 kg/s e

k = 2,25 N/m para o PVI: deslocamento inicial x

( )

0 =x₀ =1 (unidade de comprimento) e velocidade inicial x&

( )

0 =x&₀ =0. A solução do PVI é

( )

,t ,t

e , e , t x 05 45 125 0 125 1 − − − = .

Figura 3.1 – Sistema superamortecido

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t (s ) x (t ) (m)

caso ii – sistema com amortecimento crítico (∆∆∆∆ = 0)

Raiz da equação característica:

m c 2 − = λ .

Solução geral da equação diferencial: x

( )

t =C₁eλt+C₂teλt.

A Figura 3.2 mostra o movimento do sistema massa-mola-amortecedor, onde m = 1 kg, c = 3 kg/s e k = 2,25 N/m para o PVI: deslocamento inicial x

( )

0 =x₀ =1 (unidade de comprimento) e velocidade inicial x&

( )

0 =x&0 =0. A solução do PVI é

( )

t , t , e , e t x 15 15 5 1 − − ₊ = .

Figura 3.2 – Sistema com amortecimento crítico

caso iii – sistema subamortecido (∆∆∆∆ < 0)

Raízes da equação característica:

m c km i c 2 4 2 1 − + − =

λ

e m c km i c 2 4 2 2 − + − =

λ

.

Para facilitar a escrita, as seguintes quantidades serão renomeadas:

m c p 2 = e m c km q 2 4 − 2 = .

Solução geral da equação diferencial: x

( )

t =e pt

[

C1cos

( )

qt +C2sen

( )

qt

]

−

.

A Figura 3.3 mostra o movimento do sistema massa-mola-amortecedor, onde m = 1 kg, c = 1 kg/s e k = 2,25 N/m para o PVI: deslocamento inicial x

( )

0 =x0 =1 (unidade de comprimento) e velocidade inicial x&

( )

0 =x&₀ =0. A solução do PVI é

( )

( )

( )



     ⋅ + ⋅ =_e− _{cos t sen t} t x ,t 2 4 2 2 5 0 . A curva pontilhada mostra o decaimento do movimento e corresponde a e−0,5t.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t (s ) x (t ) (m)

Figura 3.3 – Sistema subamortecido

3) Oscilações forçadas

Considere um sistema massa-mola onde a massa do corpo é m e a constante elástica da mola é k e submetido à ação de uma força f(t), ou seja, uma função do tempo e dada por f

( )

t =Fcos

(

km⋅t

)

.

De acordo com a segunda lei de Newton:

∑

F =m&x& ⇒ f

( )

t −kx=m&x&.

Então: mx&&+kx= f

( )

t é a equação do movimento não-amortecido do sistema massa-mola e a sua solução deverá ser encontrada.

Primeiro, deve-se encontrar a solução da equação homogênea mx&&+kx=0 que já foi resolvida no ex. 1. A solução da equação homogênea é:

( )

t C cos

( )

t C sen

( )

t

xh = 1 km⋅ + 2 km⋅ .

Para encontrar a solução particular para a equação não-homogênea, é necessário utilizar o método dos coeficientes a determinar.

Como f

( )

t = F cos

(

km ⋅t

)

, a solução particular deve ser xp

( )

t =Acos

(

km⋅t

)

+Bsen

(

km⋅t

)

, onde

A e B são os coeficientes a determinar.

Entretanto, nota-se que a função f(t) faz parte da solução da equação homogênea. Então é necessário multiplicar as funções que podem ser solução da equação não-homogênea por t. Portanto:

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t (s ) x (t ) (m)

Diagrama de corpo livre k m x f(t) m kx x f(t)

( )

t Atcos

(

t

)

Btsen

(

t

)

xp = km⋅ + km⋅

( )

t Acos

(

t

)

A tsen

(

t

)

Bsen

(

t

)

B tcos

(

t

)

x&p = km⋅ − km⋅ km⋅ + km⋅ + km⋅ km⋅ ou

( )

t Acos

(

t

)

Bsen

(

t

)

A tsen

(

t

)

B tcos

(

t

)

x&p = km⋅ + km⋅ − km⋅ km⋅ + km⋅ km⋅

( )

t A sen

(

t

)

B cos

(

t

)

A tcos

(

t

)

B tsen

(

t

)

x&p =−2 km km⋅ +2 km km⋅ − km⋅ km⋅ − km⋅ km⋅

&

Substituindo na equação diferencial:

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

Atcos t Btsen t

]

Fcos

(

t

)

k t sen t B t cos t A t cos B t sen A m m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ −2 2

(

)

(

)

[

A sen t B cos t

]

Fcos

(

t

)

m−2 km km⋅ +2 km km⋅ = km⋅ . E retira-se: 0 = A e km F B 2 = .

A solução geral da equação é:

( )

( )

( )

( )

( )

tsen

(

t

)

km F t sen C t cos C t x t x t x = h + p = km⋅ + km⋅ + km⋅ 2 2 1

Note que a resposta possui uma função seno multiplicada pelo tempo t, ou seja, a resposta será crescente e tenderá ao infinito. Este fenômeno é conhecido como ressonância. A Figura 3.4 mostra a resposta do sistema.

Figura 3.4 – Oscilação forçada de um sistema não amortecido (ressonância)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t (s ) x (t ) (m)

4) Circuito RL

Considere um circuito elétrico resistor-indutor (RL) e se quer determinar a corrente elétrica em um dado instante de tempo. É necessário conhecer a equação diferencial que rege o comportamento da corrente elétrica com o tempo.

Onde:

- E é a diferença de potencial da fonte de energia elétrica e sua unidade é o Volt (V);

- R é a resistência elétrica do elemento resistor e sua unidade é o Ohm (Ω); - L é a indutância do elemento indutor e sua unidade é o Henry (H);

- I é a corrente elétrica que passa pelo circuito e sua unidade é o Ampère (A).

Através de experiências, as seguintes leis foram observadas:

a) a diferença de potencial entre as extremidades de um resistor é proporcional à corrente elétrica que passa por este resistor ⇒E_R =R⋅I (lei de Ohm);

b) a diferença de potencial entre as extremidades de um indutor é proporcional à taxa de variação da corrente elétrica que passa por este indutor ⇒

dt dI L

E_L = ⋅ (para haver coerência de unidades, o tempo é medido em segundos).

A equação diferencial da corrente elétrica que passa pelo circuito é obtida utilizando a segunda lei de Kirchhoff: “A soma algébrica de todas as variações de tensão instantâneas em torno de

qualquer circuito fechado é nula”. Para o circuito RL: 0 = − −ER EL E ⇒ LI&+RI =E

( )

t .

Se E(t) = E0 = constante, a solução da equação diferencial será:

( )

t L R Ke R E t I = 0 + − ⋅ _.

A Figura 3.5 mostra o comportamento da corrente elétrica com o tempo para o circuito RL com tensão constante.

L R

E I

Figura 3.5 – Corrente elétrica em um circuito RL com E constante

Se E

( )

t =E₀sen

( )

ω

⋅t , uma função seno (harmônica) de amplitude E0, a solução da equação

diferencial será:

( )

[

Rsen

( )

t L

( )

t

]

L R E Ke t I Lt R ⋅ − ⋅ + + = − ⋅

ω

ω

ω

ω

2 2 cos 2 0 .

Que também pode ser escrita como:

( )

t =Ke− ⋅ +I sen

(

ω

⋅t+

φ

)

I Lt

R

0 ,

onde

φ

é o ângulo de fase entre a tensão e a corrente elétrica dado por       − = R L tan a ω φ e I0 é a

amplitude do termo harmônico da corrente elétrica e dada por

2 2 2 0 0 L R E I

ω

+ = .

Note que o primeiro termo da solução é uma exponencial que se aproxima de zero à medida que o tempo tende para o infinito, ou seja, após um certo tempo, a corrente elétrica oscilará de maneira harmônica como a tensão, com amplitude I₀. Entretanto, estará defasada de φ em relação à tensão, o que significa que no dado instante em que tensão estiver em seu valor máximo a corrente elétrica não estará em seu valor máximo e vice-versa.

Como o ângulo de fase φ será negativo, a corrente estará atrasada em relação à tensão, ou seja, o valor máximo da corrente elétrica ocorrerá depois que o valor máximo de tensão houver ocorrido. A Figura 3.6 mostra a representação da tensão e da corrente de um circuito RL em um plano complexo (ver cap. 0).

Figura 3.6 – Representação da tensão e da corrente elétrica no plano complexo

t (s ) I (t ) (A) E0/R ω.t φ I0 E0 Re Im

A Figura 3.7 mostra o comportamento da corrente elétrica com o tempo para o circuito RL com tensão harmônica.

Figura 3.7 – Corrente elétrica em um circuito RL com E harmônica

5) Circuito RC

Considere um circuito elétrico resistor-capacitor (RC) e se quer determinar a corrente elétrica em um dado instante de tempo. Do mesmo modo que o circuito RL, é necessário conhecer a equação diferencial que rege o comportamento da corrente elétrica com o tempo.

Onde:

- C é a capacitância do elemento capacitor e sua unidade é o Farad (F);

- os outros parâmetros são os mesmos definidos para o circuito RL.

Como foi dito no circuito RL, através de experiências, a seguinte lei foi observada:

a) a diferença de potencial entre as extremidades de um capacitor é proporcional ao valor da carga elétrica instantânea Q, cuja unidade é o Coulomb (C), armazenada no condensador

⇒

C Q E_C = .

Além disso, sabe-se que a intensidade da corrente que atravessa um capacitor é igual a variação da carga elétrica Q em relação ao tempo, ou seja,

dt dQ I = . C R E I t (s ) I (t ) (A) E0/R

Pela segunda lei de Kirchhoff, para o circuito RC: 0 = − −ER EC E ⇒ E

( )

t C Q RI+ = .

Mas: Q=

∫

Idt ⇒ Q& =I.

Derivando a equação E

( )

t C Q RI+ = em relação ao tempo: E

( )

t C Q I

R&+ & = & .

Então, a equação diferencial que rege a corrente que passa por um circuito elétrico RC é dada por:

( )

t E I C I R&+ 1 = & .

A solução geral desta equação é:

( )

_       + = − ⋅

_∫

⋅ dt K dt dE e R e t I RCt RCt 1 1 1 . Se E(t) = E0 = constante, =0 dt dE

e a solução da equação diferencial será:

( )

t RC Ke t I = − ⋅ 1 .

A Figura 3.8 mostra o comportamento da corrente elétrica com o tempo para o circuito RC com energia constante.

Figura 3.8 – Corrente elétrica em um circuito RC com E constante

6) Circuito RLC

Considere um circuito elétrico resistor-indutor-capacitor (RLC) e se quer determinar a corrente elétrica em um dado instante de tempo. Do mesmo modo que os circuitos anteriores, é necessário conhecer a equação diferencial que rege o comportamento da corrente elétrica com o tempo.

t (s ) I (t ) (A)

Pela segunda lei de Kirchhoff, para o circuito RLC: 0 = − − −ER EL EC E ⇒ E

( )

t C Q RI I L&+ + = .

Mas: Q=

∫

Idt ⇒ Q& =I.

Derivando a equação E

( )

t C

Q RI I

L&+ + = em relação ao tempo: E

( )

t

C Q I R I

L&&+ &+ & = & .

Então, a equação diferencial que rege a corrente que passa por um circuito elétrico RLC é dada por:

( )

t E I C I R I

L&&+ &+ 1 = & .

Ou na sua forma canônica (dividindo por L):

( )

L t E I LC I L R

I& & &

& _{+ +} 1 _{= .}

As raízes da equação característica 2+ + 1 =0

LC L R_λ λ são: L C L R R ⋅ ⋅ ⋅ − + − = 2 1 4 2 1

λ

e L C L R R ⋅ ⋅ ⋅ − − − = 2 1 4 2 2

λ

.

A solução geral da equação homogênea associada é:

( )

t t h t Ce C e I 1 2 2 1 λ λ ₊ = .

Como já foi visto, haverá 3 casos distintos de resposta dependendo do valor de

C L

R2 −4⋅ . Se for maior que zero, haverá 2 raízes reais, ser for igual a zero, as raízes serão iguais e se for menor que zero haverá 2 raízes complexas. Neste último caso, a solução será harmônica.

L R

E I

Suponha que as raízes sejam complexas, ou seja,

C L

R2 < 4 . Neste caso, a solução da homogênea será:

( )

t e

[

C

( )

t C sen

( )

t

]

I Lt R h 1

β

2

β

2 _cos + = − , onde L R C L 2 4 − 2 =

β

.

A solução particular I_p

( )

t será obtida utilizando um método, como o dos coeficientes a determinar e a solução geral será I

( )

t =Ih

( )

t +Ip

( )

t , onde Ip(t) é conhecida como corrente estacionária.

Se E(t) for uma função harmônica do tipo E

( )

t =E0sen

( )

ω

t , E&

( )

t =E0ωcos

( )

ωt , obtém-se a solução particular da equação diferencial utilizando o método dos coeficientes a determinar e será do tipo I_p

( )

t = Asen

( )

ωt +Bcos

( )

ωt , onde as constantes serão determinadas através da substituição da solução e suas derivadas na equação diferencial.

As derivadas de Ip(t) são:

( )

t A cos

( )

t B sen

( )

t

I&_p =

ω

ω

−

ω

ω

e I&&_p

( )

t =−A

ω

2sen

( )

ω

t −B

ω

2cos

( )

ω

t . Substituindo na equação diferencial:

( )

( )

[

]

[

( )

( )

]

[

( )

( )

]

( )

t cos E t cos B t sen A C t sen B t cos A R t cos B t sen A L ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω 0 2 2 1 = = + + − + − −

( )

cos

( )

t E cos

( )

t C B AR L B t sen C A BR L A ω ω ω ω ω ω ω  = 0   _{− + +} +    _{− − +} , e tira-se que:        =       − + = −       − 0 1 0 1 E L C B AR BR L C A ω ω ω ω . E os valores de A e B serão: 2 2 0 1       − + = L C R R E A

ω

ω

e ₂ 2 0 1 1       − + − = L C R L C E B

ω

ω

ω

ω

( )

( )

cos

( )

t L C R L C E t sen L C R R E t I_p

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

2 2 0 2 2 0 1 1 1       ₋ + − +       ₋ + = . Ou I_p

( )

t =I₀sen

(

ωt+φ

)

, Onde Z E I 0 0 = ,             ₋ − = R L C tan a

ω

ω

φ

1 e 2 2 1 _      − + = L C R Z

ω

ω

é chamada de impedância.

A solução geral da equação será:

( )

t =e−

[

C

( )

β

t +C sen

( )

β

t

]

+I sen

(

ω

t+

φ

)

I Lt R 0 2 1 2 _{cos .} Notar que:

i. se

ω

=

β

, a solução particular estará contida na solução da homogênea e, portanto, a primeira será dependente da segunda. Neste caso, as funções seno e cosseno da solução particular deverão ser multiplicadas pelo tempo para se obter uma solução independente da solução da homogênea;

ii. na solução da homogênea, a função exponencial faz com que ela se aproxime de zero quando t→∞. Então, I(t), chamada de corrente transiente, tende para a estacionária Ip(t).

No PVI de um circuito RLC, as condições iniciais são a corrente elétrica e a carga elétrica no capacitor. Considerando o instante inicial como nulo, pode-se mostrar que a derivada da corrente elétrica em t = 0 será dada por:

( ) ( )

( ) ( )

LC Q I L R L E I&0 = 0 − 0 − 0 , onde LC ≠ 0.

Para encontrar esta expressão, basta utilizar a equação obtida com a segunda lei de Kirchhoff

( )

t E C Q RI I L&+ + = e fazer t = 0.

A Figura 3.9 mostra o comportamento da corrente elétrica com o tempo para o circuito RLC com tensão harmônica E

( )

t =E0sen

( )

ω

t , corrente inicial nula e carga inicial nula no capacitor.

Figura 3.9 – Corrente elétrica em um circuito RLC com E harmônica

t (s ) I (t ) (A)