SOLUÇÃO SÉRIE PARA O CAMPO ELÉTRICO INDUZIDO POR ESTIMULADORES MAGNÉTICOS NA GEOMETRIA SLINKY GENERALIZADA

SOLUÇÃOSÉRIEPARAOCAMPOELÉTRICOINDUZIDOPORESTIMULADORES MAGNÉTICOSNAGEOMETRIASLINKYGENERALIZADA

MARCÍLIO FEITOSA, EDUARDO FONTANA

Grupo de Fotônica, Dep. de Eletrônica e Sistemas, Centro de Tecnologia e Geociências, Universidade Federal de Pernambuco. Av. Acadêmico Hélio Ramos, Cidade Universitária, Recife, PE, Brasil.

E-mails: marciliofeitosa@uol.com.br,fontana@ufpe.br

Abstract Magnetic stimulation is a technique to excite biological tissues by means of a time-varying magnetic field. This in-duced electric field can depolarize the cell membrane so as to evoke an action potential that propagates along neurons, eventually being transmitted to other neurons or to a muscular cell. Design of a magnetic stimulator requires modeling of the impulse propa-gation along the nerve cell, as well as numerical simulations for coil design optimization to determine adequate excitation levels as well as the degree of focalization on a given target cell. In this paper we report on a new methodology to calculate the stimula-tion field for the case of the tradistimula-tional slinky coil geometry, that greatly reduces computastimula-tion time, thus facilitating simulastimula-tion studies of the dynamics of electric impulse propagation along a nerve cell.

Keywords Biomagnetics, Biomedical applications of electromagnetic radiation, Biomedical engineering, Neuromuscular stimulation.

Resumo A estimulação magnética consiste na excitação de tecidos orgânicos por um campo magnético variável no tempo. No desenvolvimento dessa técnica, interesse crescente tem sido devotado na literatura ao emprego de estimuladores magnéticos na configuração slinky (mola flexível de brinquedo), devido à possibilidade de melhor focalização magnética, relativamente a outras configurações. Neste trabalho é desenvolvida uma solução série para o cálculo do campo elétrico induzido em uma configuração Slinky generalizada válida para um número arbitrário de espiras do estimulador, computacionalmente eficiente para o projeto e estudo da dinâmica do sistema.

Palavras-chave Efeitos biológicos da radiação eletromagnética, Bioeletromagnetismo, Cálculo de campos eletromagnéticos.

1 Introdução

A estimulação magnética de tecidos nervosos é uma técnica que vem ganhando importância elevada para médicos e demais profissionais de saúde, principal-mente para aqueles que atuam na área fisioterápica ou de reabilitação neuromuscular. É uma ferramenta que, da mesma forma que a estimulação elétrica, auxilia no diagnóstico e no tratamento de algumas doenças que afetam o sistema nervoso [1] mas, devi-do a características particulares, tem se sobressaídevi-do sobre esta técnica tradicional. Seu princípio consiste em estimular tecidos através de um campo elétrico induzido por um campo magnético externo, variável no tempo. O campo elétrico induzido pode despola-rizar a membrana celular e iniciar a propagação de um potencial de ação, que pode atingir outra célula nervosa ou uma célula muscular, causando uma con-tração da mesma. A característica que torna a estimu-lação magnética mais atrativa é o fato de o campo magnético penetrar regiões eletricamente isoladas, como as camadas de gordura e ossos, praticamente sem sofrer atenuação [1]-[2]. Devido à alta impedân-cia elétrica dessas regiões, a densidade de corrente exigida para se conseguir uma excitação efetiva, a-través da estimulação com contato elétrico direto, é elevada e capaz de produzir irritações na pele e queimaduras.

O projeto de um estimulador magnético envolve a modelagem da dinâmica de propagação do impulso

elétrico ao longo da fibra nervosa, necessária para se estabelecer o nível mínimo de estímulo, mas também envolve o estudo de como a geometria das bobinas afeta a focalização do campo. É nesse contexto que o presente trabalho se torna relevante, pois, através de uma nova formulação matemática, diminui o esforço computacional necessário à simulação do campo gerado para cada geometria de bobina proposta. 2 Modelo Dinâmico da Membrana de uma

Célu-la Nervosa

A dinâmica da propagação de um distúrbio elétrico ao longo de um neurônio ou de uma fibra nervosa pode ser descrita com o auxílio do modelo desenvol-vido por Hodgkin-Huxley [3], indicado na Fig.1, no qual o axônio, isto é, a fibra nervosa ao longo da

gL ri I x( ) gK gNa cm I x+ x( ∆ ) V x( ) x V x+ x( ∆ ) ∆x EL EK ENa

Fig1. Modelo de parâmetros distribuídos para a membrana de um axônio.

qual o estímulo se propaga, é modelado como uma linha de transmissão de parâmetros distribuídos. Nes-se modelo os canais iônicos para o sódio, o potássio e os demais íons envolvidos no processo são repre-sentados por condutâncias (gNa, gK e gL

respectiva-mente) que são funções não-lineares da tensão entre as faces da membrana [3]. As paredes da membrana são modeladas eletricamente como as placas de um capacitor cuja capacitância por unidade de compri-mento é dada por cm e a solução iônica presente no

interior do axônio é representada por um resistor cuja resistência por unidade de comprimento é ri. As

dife-rentes concentrações iônicas nas soluções interna e externa da célula produzem tensões de equilíbrio para cada íon. Estas são representadas por fontes de tensão contínuas ENa, EK, e EL, associadas aos

gradi-entes iônicos produzidos pelos íons Na, K e demais íons envolvidos.

Para o caso de uma fibra nervosa localizada ao longo do eixo x, sob a ação de um campo elétrico Ex

induzido magneticamente, o potencial elétrico atra-vés da membrana V satisfaz a equação diferencial

x E t V V x V x ∂ ∂ Λ + ∂ ∂ = − ∂ ∂ Λ 2 2 2 2 _{τ , (1)}

onde as constantes de espaço e tempo são dadas res-pectivamente por 2 1       = Λ i m r r , (2) m mc r = τ , (3)

com rm representando a resistência

transmem-brana equivalente para o modelo. Essa resistência é uma função não linear do potencial de membrana. Podemos observar que (1) tem, a princípio, a estrutu-ra de uma equação de difusão devido a sua segunda derivada no espaço e primeira derivada no tempo. De fato, se a intensidade do estímulo (representado pelo gradiente longitudinal da componente na direção x do campo elétrico induzido) for inferior a determina-do valor, o distúrbio de tensão produzidetermina-do em um ponto da membrana vai se difundir longitudinalmen-te, mas sem se propagar. Esse distúrbio causará ape-nas um pequeno desvio na tensão de equilíbrio da membrana a qual se re-estabelece logo em seguida. Existe, no entanto, um valor limiar para a tensão de membrana que, se for superado devido à intensidade do estímulo, um potencial de ação irá se propagar como uma onda não amortecida cuja velocidade de-pende de parâmetros intrínsecos ao nervo [1].

3 Estudo da Geometria Slinky Generalizada Como pode ser observado em (1), o termo responsá-vel pela estimulação é a derivada em x da componen-te x do campo elétrico excomponen-terno. Esse componen-termo, que re-presenta a função de ativação, depende da configura-ção geométrica da bobina de estimulaconfigura-ção, além da distribuição temporal do pulso de corrente produzido pela descarga de um banco de capacitores e contro-lado por um dispositivo semicondutor de alta potên-cia. Faz-se necessário então um estudo detalhado sobre qual configuração possibilita alcançar estímu-los mais efetivos e mais focalizados, utilizando-se um mínimo de energia. Em algumas pesquisas o uso da bobina circular clássica [4]-[5] é bastante difundi-do (Fig.2), mas outros resultadifundi-dos da literatura a res-peito do tema indicam que as bobinas do tipo slinky apresentam melhor rendimento [2]. Nessa geometria, as espiras são todas de mesmo raio e têm um ponto em comum. A geometria estudada no presente traba-lho, mostrada na Fig.3 é uma generalização da confi-guração slinky, em que os raios, correntes e inclina-ções relativas das espiras são arbitrários. O nome slinky foi adotado por Richard James em 1943 para designar um conhecido brinquedo por ele criado, que tem a forma de uma mola flexível. A configuração Slinky traz como benefício a diminuição do espa-lhamento lateral do campo usado para estimulação, além de minimizar a possibilidade de estímulo de outros nervos que se encontrem próximo ao nervo alvo [2].

Em estudos anteriores [6] mostramos que, para a geometria slinky de duas espiras, se mantivermos o ápice da bobina a uma distância fixa do nervo, obte-mos uma distribuição do gradiente longitudinal do campo elétrico com uma largura rms mínima para um ângulo de aproximadamente 47º entre o plano das espiras e a superfície de trabalho (Fig.4). Nesses mesmos estudos, observamos que essa bobina, para esse mesmo ângulo, concentra o gradiente do campo em uma região aproximadamente 35% menor que a região excitada por uma bobina circular convencio-nal [6]-[7].

Fig.2. Aplicação do pulso magnético no nervo mediano, utilizando-se uma bobina circular clássica.

4 Modelo Teórico

Em busca de uma configuração de bobinas que per-mita a geração de um campo de estimulação mais eficaz, foram realizados estudos sobre como a geo-metria das bobinas afeta esse campo. As variáveis envolvidas nesses estudos foram o número de espiras na bobina, o ângulo que cada espira faz com a super-fície de trabalho (plano paralelo àquele onde está posicionado o nervo alvo do estímulo), o raio de ca-da espira e a intensica-dade e a forma de onca-da ca-da cor-rente que percorre cada espira. Esses parâmetros estão detalhados na Tabela I. Cada nova espira adi-cionada à bobina é definida de forma uniformizada de acordo com os parâmetros citados com relação a um sistema de coordenadas rotacionado em torno do eixo x como indicado na Fig.5a. Essa uniformização permitiu uma redução no trabalho de se descrever cada bobina individualmente em função do plano cartesiano original.

Foi considerada a determinação do campo elétri-co induzido devido a uma elétri-configuração de N espiras circulares, onde a k-ésima espira possui um raio rk e

é percorrida por uma corrente ik. Todas as espiras

têm um ponto em comum na origem do sistema do laboratório xyz. O sistema xykzk representa o sistema

de coordenadas da k-ésima espira, desviada de um ângulo αk do plano xy.

A formulação convencional para o cálculo do campo elétrico em um determinado ponto do espaço devido a uma dada distribuição de corrente, que em-prega integrais elípticas, exige um grande esforço computacional o que introduz um longo atraso nas simulações numéricas da dinâmica do potencial de ação. Devido a isso, foi desenvolvida uma expressão analítica para o campo elétrico induzido bem como para sua derivada espacial usada como fonte de estí-mulo em (1).

Em uma aproximação quase estática, o campo elétrico induzido por uma espira percorrida por uma corrente é dado por [8]

t A E ∂ ∂ − = G G (4) onde AG representa o vetor potencial magnético, que

pode ser escrito da forma

(

)

∑

= = N k k k k k kF R u â i A 1 0 _, 4 φ µ G , (5) com

r

1

r

2

r

3

x

y

z

r

k

i

1

i

₂

i

₃

i

_k

Fig.3. Geometria da configuração Slinky generalizada.

Relative rms width 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Angle(degrees) Stationary apex Variable apex

Fig.4. Largura rms relativa do gradiente do campo elétrico induzi-do ao longo induzi-do nervo. (a)

x

x

y

z

rk

i

k

y

k

z

k

X

k Rk αk θk

X

X

X’

X’

(b)

â

zk

â

rk

â

φk

â

z

â

x

â

y

â

yk φk αk αk

Fig.5. (a) Geometria e parâmetros de definição de uma dada espira na configuração Slinky generalizada. (b) Vetores de definição de

∫

₋ = π _{φ φ} 2 0 ' cos X X d r F k k G G , (6) em que k r k Rk kâ r â R X XG− G'= − _' . (7) Assim,

(

)

∑

= − = N k k k k k k _{F R u â} dt di E 1 0 _, 4π φ µ G . (8) Os vetores unitários mostrados na Fig.5b obede-cem às relações yk k x k k â â âφ =−sinφ +cosφ , (9) yk k x k rk â â â =cosφ +sinφ , (10) com z k y k yk â â â =cosα +sinα . (11)

O vetor posição do ponto de observação no sis-tema xykzk pode ser obtido em função do sistema de

coordenadas xyz por

k k X X RG = G− G . (12) Utilizando a relação

(

k

) (

k

)

k X X X X R = G− G • G− G , (13)

e com base na Fig.5,

(

k y k z

)

k k r â â XG = cosα +sinα (14) e com z y x yâ zâ xâ XG = + + , (15) obtém-se R_k= x2₊y2₊z2₊r_k2₋2r_k

(

ycosα_k+zsinα_k

)

_{. (16)}

Substituindo-se (9) em (8), com o emprego de (11) e considerando-se apenas a componente de inte-resse no campo elétrico induzido, teremos

(

)

(

)

∑

= − − + = N k k k k k k k k k x F u R r z y r dt di E 1 2 1/2 0 1 sin cos 4 α α π µ ₍₁₇₎ onde k k k k _R z y u = − sinα + cosα . (18)

A derivada de (17) pode ser posta na forma

(

)

( )

∑

= − − + − = ∂ ∂ N k k k k k k k k k x u R H r z y r dt di x x E 1 2 2 0 1 sin cos 4 α α µ _{, (19)} com

(

)

₍

₎

        − +     _{− −} = _1/2 2 2 1 2 / 1 2 1 1 1 k k k k k k k k k u R F F r F u R H , (20)

( )

∫

    _{+ − −} = π φ φ φ 2 0 2 / 3 2 / 1 2 2 2 1 d cos 1 2 cos k k k k k k u R r r R F , (21)

(

)

( )

∫

    _{+ − −} = π φ φ φ 2 0 2 / 3 2 / 1 2 2 2 2 2 d cos 1 2 cos k k k k k k u R r r R F (22) e k k u =cosθ . (23)

As equações (19)-(23) representam uma genera-lização da formulação integral para o cálculo do campo de estimulação gerado por uma bobina do tipo slinky. Essa formulação demanda um elevado esforço computacional no cálculo da distribuição do gradiente pois, para cada ponto no espaço, é necessá-rio o cálculo de três integrais numéricas.

A formulação integral pode ser evitada pelo uso de uma expansão em harmônicos esféricos [8] para o inverso do denominador de (7).

De acordo com o teorema da adição para har-mônicos esféricos [8],

∑∑

∞ = =− + > < _{Υ Υ} + = − 0 * 1 (₂, ') ( , ) 1 2 1 4 ' 1 l l l m k k lm k lm l l r r l X X φ θ φ π π G G , (24)

com Ylm representando o harmônico esférico de

índi-ces (l,m). Inserindo (24) em (6) e aplicando-se as propriedades de ortogonalidade dos harmônicos esfé-ricos [9], obtém-se

(

)

l l

( )

k l l l k k k k P u R R a r u R F _{2 2 2}1 ₁ 1 2 0 , ₊ + > + < ∞ =

∑

= (25) onde

(

)

( )

1! 2 ! ! 1 2 ) 1 ( + − − ≡ l l a _l l l , (26)

TABELA I. PARÂMETROS PARA A CONFIGURAÇÃO SLINKY GENERALIZADA.

Parâmetro Definição

k

XG Localização do centro da k-ésima espira. XG Vetor posição do ponto de observação.

αk Ângulo entre o plano da espira e o plano xy.

rk Raio da k-ésima espira.

ik Corrente que percorre a k-ésima espira.

xyz Sistema de coordenadas do laboratório. xykzk Sistema de coordenadas da k-ésima espira

Rk, θk, φk Coordenadas esféricas no sistema xykzk

z y xâ â

â , , Vetores unitários do sistema xyz.

zk yk x â â

â , , Vetores unitários do sistema xykzk

k rk â

â ,_φ Vetores unitários (radial e azimutal), no plano xyk.

com P1

2l+1 representando o polinômio associado de

Legendre de índices (2l+1,1).

Substituindo-se (25) em (5), obtemos a expres-são para o campo elétrico induzido de (4). O gradien-te longitudinal desse campo é obtido após algumas manipulações algébricas, podendo ser expresso no sistema xyz na forma

(

)

k N k k k k k k x _G R r z y x dt di dx dE

∑

= − + − = 1 4 0 cos sin 4 α α µ _{, (27)} onde temos         >       <       =

∑

∑

∞ = + ∞ = + k k l k l k k l k k l k l k k l k R r H r R a R r H R r a G , , 1 2 1 2 1 1 2 2 , (28)

(

)

2 1

(

)

2 1 1k =−2l+3RkP1l+ + ysin k−zcos k P2 l+ H α α , (29) e

(

)

2 1 1 2 2k =2lRkP1 l+ + ysin k −zcos k P2 l+ H α α . (30)

Para se evitar problemas computacionais no cál-culo das derivadas dos polinômios de Legendre, par-ticularmente para valores específicos de x e elevados valores do índice l, nas equações (29) e (30) as deri-vadas primeira e segunda dos polinômios foram ex-pressas como combinações dos polinômios de Le-gendre [9] da seguinte forma:

( )

[

k l

( )

k l

( )

k

]

k k l u P u P u u l u P _{2 1} 1 1 − ₋ − = (31) e

( )

( )

{

[

( )

k

( )

]

l

( )

k l

( )

k

}

k k l l u l P u xP u u l u P ₂ 2 1 2 ₁ 1 1 2 2 − − + + − − = . (32) 5 Discussão

Foram realizadas simulações computacionais no am-biente Mathcad 13 para calcular a distribuição espa-cial do campo elétrico induzido bem como do seu gradiente, tanto para a formulação integral como para a formulação série baseada nas expansões de Legen-dre. Nesses cálculos foram utilizadas as funções dis-poníveis no ambiente para o cálculo das integrais e das funções de Legendre.

Apesar de o algoritmo desenvolvido aceitar qualquer distribuição temporal para os pulsos de corrente aplicado às espiras, optamos por pulsos gaussianos para as simulações. Os parâmetros de definição de cada espira são informados ao algoritmo

como colunas em uma matriz, como indicado a se-guir.                     = N k N k N k N k N k N k Ang Ang Ang Raio Raio Raio t t t Sinal Sinal Sinal I I I LOOP " " " " " " " " " " " " 1 1 1 0 0 1 0 1 max max 1 max σ σ σ (33)

Onde, para cada uma das N espiras, temos: Imax - Amplitude máxima do pulso gaussiano de corrente;

Sinal - Sinal dependente do sentido da corrente; t0 - Centróide do pulso gaussiano de corrente;

σ - Desvio padrão do pulso de corrente; Raio - Raio da espira;

Ang - Ângulo de inclinação da espira com rela-ção ao plano xy.

O algoritmo inicialmente define as funções que serão utilizadas: os polinômios de Legendre e suas derivadas primeira e segunda, os polinômios associ-ados de Legendre e a derivada temporal do pulso gaussiano de corrente. Em seguida são definidas as coordenadas esféricas do sistema de coordenadas rotacionado em função do sistema cartesiano funda-mental. Só então o campo elétrico é calculado bem como a sua derivada longitudinal. Esta função é uti-lizada como entrada em (1) e então o potencial de membrana é calculado.

Para o caso da expansão polinomial, as expres-sões em série foram truncadas quando a precisão do resultado chegou a 0.1%. Essa foi a mesma tolerân-cia adotada no cálculo das integrais numéricas reali-zado pelo Mathcad. Observou-se que a solução série permitiu uma redução no tempo de computação de um fator de pelo menos 10 relativamente à formula-ção integral. Esta vantagem se torna ainda maior quando o número de espiras na bobina aumenta. De fato, para um elevado número de espiras de corrente (>10), a formulação integral torna-se praticamente inviável.

Foi observada uma desvantagem no uso da for-mulação por expansão de Legendre, na qual cada termo da expansão do campo elétrico, apesar de ser uma função contínua, possui derivada descontínua para a k-ésima espira quando a distância do centro da espira até um ponto no espaço é igual ao raio da espi-ra. Obviamente, se todos os termos da série fossem incluídos, este problema não ocorreria. No entanto, quando a série é truncada, a derivada do campo se torna descontínua nessa condição. Para o caso onde todas as espiras se encontram no hemisfério superior e o nervo alvo se encontra no hemisfério inferior, paralelo ao eixo x, no plano y = 0, esse problema não ocorre. O problema de descontinuidade pode ser re-solvido expandindo-se a derivada de (6) com respei-to à variável x. Esse procedimenrespei-to, no entanrespei-to,

re-quer o emprego dos polinômios ultra-esféricos de Gegenbauer [9], e ainda está em desenvolvimento.

6 Conclusões

Foi desenvolvido um método computacional eficien-te para o cálculo do gradieneficien-te espacial do campo elétrico induzido por estimuladores na configuração Slinky generalizada. O método consiste no cálculo do campo, e do seu gradiente, através de uma expan-são em série baseada nos polinômios de Legendre, ao invés do cálculo por integrais elípticas. Apesar de alguns problemas terem sido encontrados, como o aparecimento de algumas descontinuidades no cálcu-lo do gradiente em situações específicas, o procedi-mento se mostrou bem mais eficiente, reduzindo o tempo de simulação em até 10 vezes. Este método está sendo utilizado em estudos de otimização e pro-jeto de estimuladores magnéticos com boa focaliza-ção de campo para aplicações em nervos periféricos. O comportamento em tempo real da dinâmica das fibras nervosas sob influência do campo induzido está sendo estudado e novos resultados serão publi-cados em breve.

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