O período do pêndulo: Porque Galileu estava ao mesmo tempo certo e errado

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS – UFMG DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – ICEx

MONOGRAFIA PARA OBTENÇÃO DE TÍTULO DE ESPECIALISTA EM MATEMÁTICA COM ÊNFASE EM CÁLCULO

O período do pêndulo: Porque Galileu estava ao mesmo tempo

certo e errado

Atacílio Alves Cavalcante Filho

Belo Horizonte, 20 de Janeiro de 2005.

Apresentação

Durante o curso de especialização meu interesse foi despertado por um tipo de aplicação: o uso do cálculo para provar os acertos e os erros de muitos resultados de experiências realizadas por antigos astrônomos, físicos e matemáticos. Antes do cálculo era praticamente impossível comprovar a veracidade de algumas destas afirmações.

Desse interesse em especial busquei estudar a observação de Galileu Galilei, de que o período do pêndulo em pequenas oscilações era independente da amplitude. Estritamente falando, Galileu estava errado, como irei provar. No entanto, sua observação possibilitou a construção dos primeiros relógios, pois em uma determinada aproximação o período de um pêndulo não depende de sua amplitude.

Nesta monografia irei explorar quantitativamente o cálculo do período do pêndulo, mostrando que apesar de errado, Galileu também estava certo. De um ponto de vista matemático, irei mostrar como extrair certas informações quantitativas de uma equação diferencial que não sei resolver, usando para isto a conservação da energia. Mais concretamente, iremos exibir uma fórmula exata para o cálculo do período de oscilação do pêndulo, mesmo a grandes amplitudes.

Na seção 1 tratarei num contexto histórico o pêndulo. Na seção 2 falarei a respeito do oscilador harmônico. Na seção 3 irei deduzir a equação do pêndulo, mostrando que um pêndulo simples em pequenas oscilações é aproximadamente um oscilador harmônico. Na seção 4 introduziremos o formalismo da conservação da energia para sistemas mecânicos unidimensionais [4]. Na seção 5, tal formalismo será aplicado ao pêndulo. Na seção 6 exprimiremos o período do pêndulo como uma integral elíptica e na seção 7, mostraremos como desenvolver esta integral em série de potências [2]. Finalmente, na seção 8 faremos a estimativa do erro no período do pêndulo ao somar um número finito de termos da série da seção anterior.

1. Pêndulos

As tentativas da humanidade para medir o tempo ajudaram a desenvolver a ciência e a tecnologia ao longo da história. A necessidade de marcar as divisões do dia e da noite fez antigos egípcios, gregos e romanos criarem relógios de sol, de água e outros instrumentos cronométricos. Os europeus ocidentais adotaram essas tecnologias. Mas por volta do século XIII, o interesse em um instrumento confiável de medição de tempo levou os artesãos medievais à criação de um relógio mecânico. O aparelho atendia as exigências dos mosteiros e comunidades urbanas. Mas não teve precisão necessária para aplicações cientificas até o advento do pêndulo. O pêndulo foi a resposta para aumentar a precisão e a confiabilidade dos relógios. Os dispositivos desenvolvidos a partir de então acabaram por levar à solução do crítico problema de como obter a longitude de um navio no oceano e tiveram papéis muito importantes na revolução industrial e no progresso da civilização ocidental.

No final do século XVI o físico e astrônomo italiano Galileu Galilei, supostamente observando o lustre da catedral de Pisa, concluiu que o período do pêndulo parece independer da amplitude. Percebeu assim que o pêndulo poderia ser um instrumento importante para medir o tempo.

Mas foi um jovem astrônomo e matemático holandês, Christian Huygens, quem projetou o primeiro relógio de pêndulo em 1656. Huygens percebeu melhor que Galileu que o pêndulo, quando atravessa um arco circular, completa as oscilações de menor amplitude mais depressa do que as de amplitudes maiores. Concluiu assim que qualquer variação na amplitude do movimento do pêndulo faria um relógio adiantar ou atrasar. Mas manter uma amplitude constante de oscilação para oscilação seria impossível, por causa do atrito. Huygens então projetou uma suspensão que permite à ponta do pêndulo movimentar-se formando um arco ciclóide. Pode-se provar que assim a oscilação passa a se completar sempre no mesmo período de tempo, de forma independente da amplitude. Para que a ponta do pêndulo siga uma trajetória cicloidal, Huygens usou uma propriedade notável da ciclóide: a involuta de uma ciclóide relativa a um ponto especial é uma outra ciclóide. Instalando então “bochechas ciclóides” no ponto de suspensão é possível fazer com que o pêndulo mantenha um curso ciclóide e não circular. O ritmo do pêndulo passa a regular a

ação da haste e a rotação das rodas, as quais, por sua vez, transmitem de forma mais confiável e precisa a ação do mecanismo aos ponteiros do contador.

Os relógios de pêndulo eram cerca cem vezes mais precisos que seus antecessores [1].

2. Oscilador Harmônico

O oscilador harmônico é o modelo matemático para o movimento retilíneo de uma partícula sujeita a uma força atratora proporcional à distância até a origem.

Designando por m a massa da partícula, a segunda lei de Newton nos dá kx

mx"=− , onde k >0 é uma constante de proporcionalidade. Dividindo por m e rearranjando, chegamos à forma padrão da equação de movimento do oscilador harmônico,

x"+ω2x=0, (2.1)

onde o parâmetro ω é dado por

m k

=

ω . A solução geral desta equação diferencial é

x(t)=C₁cos(ωt)+C₂sen(ωt), (2.2) que também pode ser rescrita como

) cos(

)

(t = A ωt−φ

x . (2.3) Esta representa um movimento oscilatório senoidal em torno da posição centralx=0. O afastamento máximo da posição central A, chama-se amplitude. O período fundamental do oscilador é

ω π

2

=

T , o qual significa o tempo necessário para uma oscilação completa. Observe que no oscilador harmônico, o período é independente da amplitude, depende somente da massa m e da constante de proporcionalidade k na expressão da força. O inverso do período é a freqüência

π ω

2

=

f que significa o número de oscilações por segundo. O ângulo φ é chamado ângulo de fase.

O oscilador harmônico é uma ótima aproximação para diversos movimentos oscilatórios reais. Por exemplo, para pequenos deslocamentos de uma mola com relação à sua posição de equilíbrio, a força exercida pela mola é proporcional ao deslocamento ( Lei de Hooke). As pequenas oscilações de uma massa presa a uma mola são portanto

harmônicas. Veremos adiante que o pêndulo também é aproximadamente um oscilador harmônico.

3. Pêndulo Simples

x

y

l

q

m

Figura 1: O pêndulo simples.

Caracteriza-se um pêndulo simples como um corpo pontual de massa m fixo em uma das extremidades de uma haste de massa nula e comprimento l . A outra extremidade da haste supõe-se fixa. A massa m move-se sob ação da força peso e da tensão T na haste. O atrito é desprezado.

Escolhemos a extremidade fixa da haste, ou seja, o ponto de suspensão do pêndulo, como origem de um sistema cartesiano, com eixo y apontando verticalmente para cima. As coordenadas

( )

x,y da massa estão relacionadas uma à outra pela relação 2 2 2

l y

x + = . É portanto conveniente estudar seu movimento em termos de ângulo θ que o fio faz com a direção vertical. Por convenção, θ >0quando a massa se encontra à direita do eixo y e

0

<

θ quando a massa se encontra à esquerda. Portanto, x=lsenθ e y=−lcosθ , ver figura 1.

Derivando estas equações com relação ao tempo t , teremos sucessivamente:

' cos ' l θθ

(

θ"cosθ θ' senθ

)

"=l − 2 x (3.2) e ' sen ' l θθ y = (3.3)

(

θ"senθ θ' cosθ

)

"=l + 2 y (3.4) Podemos decompor em componentes nas direções dos eixos coordenados as força peso

P e tração T agindo sobre a massa:

0 = x P mg Py=− θ sen T T_x =− θ cos T Ty =

Pela segunda lei de Newton F =ma =m

(

x"i +y"j

)

, temos, separando os vetores em sua componentes, θ sen " T mx =− e my"=−mg+Tcosθ Daí θ sen " mx T =− e θ cos " mg my T = +

Comparando e eliminando T chega-se amx"cosθ =−m

(

y"+g

)

senθ . Substituindo aqui as expressões (3.2) e (3.4) obtemos

(

θ θ θ θ

)

θ

(

θ θ θ θ

)

θ

θ "cos ' sen sen "sen ' cos sen

cos 2 l 2 g

l − =− + −

Após simplificações, chega-se finalmente a uma equação diferencial para a incógnita θ

( )

t : 0 sen "+ θ= θ l g (3.5) Esta equação é conhecida como a equação do pêndulo.

Suponhamos agora que θ

( )

t permanece próximo a zero todo o tempo (aproximação de pequenas oscilações). Comolimsen 1

0 =

→ θ

θ

θ podemos escrever senθ ≅θ .Neste caso, a

0 "+ θ = θ l g , (3.6)

que é novamente a equação do oscilador harmônico com

l g

=

ω . O período T das 0

pequenas oscilações do pêndulo é portanto obtido a partir do resultado do oscilador harmônico, g l T π ω π 2 2 0 = = (3.7) O período do pêndulo em pequenas oscilações é portanto independente da amplitude, justiçando Galileu.

A fórmula (3.7) foi, obtida através da solução (2.1) da equação do oscilador harmônico. A equação do pêndulo (3.5) não pode ser exatamente resolvida, portanto, por enquanto nada sabemos sobre o período do pêndulo em grandes oscilações.

Na próxima seção desenvolveremos a técnica da conservação da energia, que será aplicada nas seções seguintes também ao pêndulo. Isto nos possibilitará obter uma fórmula exata para o período do pêndulo, inclusive para grandes oscilações, mesmo sem sabermos resolver a equação (3.5).

4. Conservação da energia e movimento unidimensional

Suponha que uma partícula de massa m mova-se sobre uma linha reta sob ação exclusiva de uma força F(x) na direção desta reta, dependente somente da posição x ∈ R. Suponha F função contínua. A energia potencial é definida como =−

∫

x x ds s F x U 0 ) ( ) ( , onde 0

x é uma posição de referência qualquer. Portanto

dx dU x

F( )=− .

A energia cinética é definida por 2 2 1 mv Ec = , onde dt dx v= é a velocidade. Da

segunda lei de Newton tem-se

dx dU dt

dv

)) ( ( 2 1 2 t x U dt d mv dt d dt dx dx dU dt dv mv − =       ∴ − =

Definindo a energia total E como

) ( 2 1 2 x U mv E= + , (4.1)

então o raciocínio acima prova que =0 dt dE

. Ou seja, na situação considerada a energia total é conservada.

A equação E= E_C +U(x), onde, como agora sabemos, E é uma constante, dá uma relação entre coordenada e velocidade quando a força depende apenas da posição. Para completar a solução do problema do movimento para forças unidimensionais dependentes apenas da posição, devemos eliminar a velocidade e determinar a posição em função do tempo.

Podemos fazê-lo de modo formal como segue. Escrevendo a velocidade em função da coordenada, teremos m x U E v=± 2( − ( )),

onde o sinal + ou – deverá ser determinado pela informação extra do sentido do movimento. Suponhamos por enquanto, para simplificar, que o sinal seja +.

Como dt dx v= , tem-se m x U E dt dx 2( − ( )) = .

A expressão acima é uma equação diferencial para a função incógnita x(t). Em particular, esta equação é separável e podemos resolvê-la por integração. Com a condição inicial x

( )

t₀ =x₀, a solução é

∫

₋ = − x x ds m s U E t t 0 2( ( )) 1 0 .

A expressão acima define implicitamente a função x(t). Em alguns casos, é também possível explicitar x(t).

Figura 2: Curva de energia potencial

Usando a conservação da energia é também possível obter informações qualitativas sobre o movimento unidimensional. Suponha por exemplo que o gráfico de U em função de x seja o da figura 2. A energia total mais baixa possível é E , o valor mínimo de U . ₀ Caso tivéssemos energia total menor que E0, a energia cinética seria negativa, o que é

impossível. Quando a energia total vale E =E0, a energia cinética só pode ser nula e a partícula deve estar em repouso no ponto x . ₀

Para o valor de energia E=E1, a partícula move-se apenas entre x1 e x2 e sua velocidade deve ser nula em x1 e em x2, pois nestes pontos a energia cinética se anula. Nestes pontos, a partícula pára e muda de sentido. Estes pontos são chamados de pontos de inversão do movimento.

Para o valor de energia E=E2, há quatro pontos de inversão. A partícula pode oscilar em um dos dois intervalos entre pontos de inversão em que a energia potencial é menor que a energia total.

Para o valor de energia E =E₃, o movimento terá apenas um ponto de inversão. Se a velocidade inicial for negativa, a particular irá parar em x3 passando então a mover-se no sentido positivo. Em módulo a velocidade será máxima quando U é mínima, ou seja, quando x = x0.

Para valores de energia superiores a E =E₄, não existem pontos de inversão e partícula não inverterá sentido de seu movimento, sua velocidade terá sinal constante e em módulo mudará de acordo com o valor do potencial em cada ponto.

Em um ponto onde U(x) tem valor mínimo, tal como em x = x0, a inclinação do gráfico é nula, logo ( ) 0

0 0 =− = x dx dU x

F . Neste ponto uma partícula poderá estar em

repouso, mas se for ligeiramente deslocada em qualquer sentido, oscilará em torno da posição de equilíbrio. O ponto x será então denominado uma posição de equilíbrio 0 estável.

Em um ponto onde U(x) tenha valor máximo como x = x4, a inclinação da curva também é nula, logo ( ) 0

4 4 =− = x dx dU x

F . Nesse ponto uma partícula poderá também ficar

em repouso, mas se afastada mesmo que ligeiramente deste ponto, irá afastar-se ainda mais da posição de equilíbrio, chamada por isso de equilíbrio instável.

Em um ponto contido num intervalo no qual U(x) seja constante, tal como em x=x5, 0

) (x₅ =

F . Um ponto como x é denominado ₅ equilíbrio indiferente. Neste ponto a partícula pode ser ligeiramente deslocada sem que haja nenhuma força, nem tendendo a restaura-la ao ponto de equilíbrio, nem tendendo a afastá-la deste.

Assim podemos concluir que se conhecermos a função energia potencial na região em que se move o corpo, conheceremos muita coisa sobre o movimento dele. Por conhecermos a energia potencial do pêndulo simples, podemos fornecer varias informações qualitativas sobre seu movimento, ver figura 3. A seguir iremos aplicar ao pêndulo o formalismo geral desenvolvido nesta seção.

5. Conservação da energia do pêndulo

Seja U =mgy =−mglcosθ a energia potencial gravitacional e

2 2 1 v m E_c = a

energia cinética. Como v =x'i +y'j , podemos usar (3.1) e (3.3) para obter a energia cinética em função da velocidade angular θ '. Após simplificações, obtemos

2 2 ' 2 1 _θ ml E_c = (5.1) A energia total é portanto

θ θ' cos 2 1 ) (x ml2 2 mgl U E E = c+ = − . (5.2)

Derivando a expressão acima em relação ao tempo teremos, 0 sen " ' ' sen " ' 2 2 1 2 2 =       + = + = θθ θθ θ θ θ l g ml mgl ml dt dE (5.3) por causa da equação do pêndulo (3.5).

Isto prova que a energia total do pêndulo acima definida é conservada. Podemos utilizar para o pêndulo o mesmo formalismo da seção 4 para o movimento unidimensional.

- p _- A A p q

- m g l E m g l

U

H

q

L

Figura 3: A energia potencial do pêndulo.

Observando a figura 3, vê-se que θ =0 é ponto de equilíbrio estável e θ =±π são pontos de equilíbrio instável.

Para E =−mgl o pêndulo estará em repouso. Se a energia E for tal que mgl

E mgl < <

− a partícula irá oscilar em torno da posição de equilíbrio estável. Neste

caso haverá dois pontos de inversão θ =±A, onde

mgl E A=arccos− .

Se E >mgl, o pêndulo, em vez de oscilar, executa rotações em torno do ponto de suspensão, pois não haverá pontos de inversão.

6. O período do pêndulo como integral elíptica

Seja E a energia total do pêndulo e suponhamos que −mgl <E<mgl.

Mostraremos que com esta condição o movimento do pêndulo é oscilatório. A amplitude A , definida pelos pontos de inversão, é dada por

mgl E

A=arccos− . Portanto, a energia em função da amplitude é A mgl E =− cos (6.1) Lembrando que dt dθ θ'= e substituindo (6.1) em (5.2) obtemos A l g dt d cos cos 2 − ± = θ θ , (6.2) que é uma equação diferencial separável. Podemos resolvê-la com a condição inicial

( )

0 =0

θ e supondo que a velocidade angular é positiva (sinal + em (6.2)). Caso o

movimento seja mesmo oscilatório, o tempo para que a variável θ, partindo de 0, se iguale ao máximo A será de um quarto do período. Chamemos então de

4 T

a este tempo. Temos então, resolvendo a equação (6.2),

∫

∫

= − 4 0 0 cos cos 2 T A dt A d g l θ θ (6.3) logo

∫

₋ = A A d g l T 0 cos cos 2 2 θ θ (6.4)

A integral na fórmula acima para T é imprópria e, conforme veremos, converge se mgl

E mgl < <

− .

Porém, se E=mgl, e portanto A=π , tal integral diverge. De fato, neste caso,

∫

₊ = π θ θ 0 cos 1 2 2 d g l T . (6.5)

Usando a identidade trigonométrica       = + 2 cos 2 cos 1 θ 2 θ teremos, +∞ =       + = =

_∫

2 0 0 2 tan 2 sec log 4 2 sec 2 π π _{θ θ} θ θ g l d g l T . (6.6)

Isto mostra que se E vale precisamente mgl , então o tempo para sair de θ =0 até θ =π é infinito. Portanto, o pêndulo não oscila se E =mgl.

Agora voltemos ao caso em que −mgl< E<mgl. Reescrevemos a integral em

(6.4) usando a identidade trigonométrica 

     − = − 2 sen 2 sen 2 cos cosθ A 2 A 2θ e introduzindo uma nova variável φ definida como

2 sen 2 sen

senφ A= θ . Portanto, para θ variando entre 0 e A, ter-se-á 2 0≤φ ≤π . φ φ π d k g l T

∫

− = 2 0 2 2 sen 1 1 4 , (6.7) onde 2 sen A k = . (6.8) Como 0 < k <1, a integral imprópria (6.4) foi transformada em integral explicitamente convergente em (6.5). Portanto T é finito e é o período do pêndulo.

Integrais da forma da de (6.5) não podem ser expressas em termos de funções elementares e são conhecidas como integrais elípticas, tendo este nome por terem aparecido primeiramente no cálculo do comprimento de uma elipse.

7. O período do pêndulo como série de potências

Podemos desenvolver em série de potências a integral (6.7) usada na seção anterior para o cálculo de T. Usando a fórmula do desenvolvimento binomial,

(

)

(

)

(

)(

)

, ! 3 2 1 ! 2 1 1 1+_x p = +_px+ p p− _x2 + p p− p− _x3+L _(7.1) convergente se x <1, com 2 1 sen2 2 =− − = k e p x φ , temos ... sen 6 4 2 5 3 1 sen 4 2 3 1 sen 2 1 1 sen 1 1 2 2 4 4 6 6 2 2 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + = −k φ k φ k φ k φ (7.2)

que deve ser substituída em (6.7).

Usando a teoria da convergência uniforme de seqüências de funções, ver por exemplo o capítulo 12 de [3], justifica-se que a série acima pode ser integrada termo a termo. Obtemos assim

    + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + = K 6 6 4 4 2 2 0 6 4 2 5 3 1 4 2 3 1 2 1 4 C k C k C k C g l T , (7.3) onde,

∫

= 2 0 sen π φ φd C_n n (7.4)

e k está relacionado à amplitude A por (6.6).

Os valores dos C aparecendo na fórmula (7.4) podem ser obtidos de forma n

recursiva através de integração por partes. De fato,

∫

∫

∫

∫

= = − = − = + + 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2

2 sen sen sen sen (1 cos ) (sen sen cos )

π π π π dx x x x dx x x dx x x dx x C_n n n n n n

(

)

∫

− = 2 0 cos cos sen π dx x x x Cn n . (7.5)

Vamos resolver por partes a integral remanescente na fórmula acima. Usando x

x

u=senn cos e dv=cosxdx e lembrando que

∫

= −

∫

b a b a b a vdu uv dv u teremos,

(

)

(

)

. sen cos sen 0 sen sen cos sen sen cos sen sen cos sen 2 0 2 0 2 2 0 2 1 2 0 2 0 2 2

∫

∫

∫

∫

+ − + − = = − − = π π π π π dx x dx x x n dx x x x x n x x x x dx x x n n n n n n

Usando cos2x=1−sen2x, obtemos finalmente que,

(

)

∫

=− + + + 2 0 2 2 1 cos sen π n n n C n nC dx x x .

Substituindo este resultado em (7.5), obtemos

(

)

(

)

2 2 1 1 + + = + n− + n n nC nC C Daí, n n C n n C + + = + 2 1 2 . (7.6) Como =

∫

= 2 0 0 2 π π dx C , usando (7.6) obtemos, 2 4 2 3 1 4 3 2 2 1 2 1 2 4 0 2 π π ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ = = C C C C

e assim por diante. Em geral, para n par,

(

)

2 6 4 2 1 5 3 1 _⋅π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = n n Cn L L

Substituindo em (7.3) os valores dos C , temos a fórmula final para o período do pêndulo _n em função da amplitude:

        +       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ ⋅ +       + = ... 6 4 2 5 3 1 4 2 3 1 2 1 1 6 2 4 2 2 2 0 k k k T T (7.7) onde 2 sen A

k = e T é o período das pequenas oscilações, dado por (3.7). ₀

A fórmula (7.7) mostra que o período do pêndulo depende da amplitude A . O primeiro termo da série representa a aproximação de pequenas amplitudes obtida anteriormente. Os demais termos são correções a esta aproximação.

Para obter uma aproximação para o período, devemos somar um número de termos suficiente na fórmula acima. Por exemplo, somando 2 ou 11 termos, obtemos respectivamente os gráficos da figura 4, dos quais podemos verificar a região em que a aproximação de pequenas oscilações é razoável.

p €€€€₃ €€€€€€€€2p 3 p A 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 T T0 11 termos 2 termos 1 termo

Figura 4: Aproximações para o período do pêndulo somando um número finito de termos na série em (7.7). A linha horizontal representa o período na aproximação de pequenas oscilações.

Na próxima seção, mostraremos como estimar o erro cometido ao somar somente um número finito de termos na série.

8. Estimativa do resto da série

O resto R é definido por _n

(

)

n n R k n n k T T +               ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +       + = 2 2 2 2 0 2 6 4 2 1 2 5 3 1 2 1 1 L L L Como

(

)

2 1 2 6 4 2 1 2 5 3 1 0 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ < n n L L , então

(

)

(

)

(

)

2 2 2 0 4 2 2 2 0 2 2 2 0 ) 1 ( 4 1 4 1 2 2 6 4 2 1 2 5 3 1 + + + − = + + + <         +       + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = n n n n k k T k k k T k n n T R L L L L ,

onde usamos que 0<k2 <1 e o resultado da soma da série geométrica convergente

q q q − = + + + 1 1 1 2 L _se −₁<_q<_{1. A estimativa para} n

R acima permite calcular o número de termos a serem somados na série (7.7) de forma a obter o período do pêndulo com a precisão necessária.

Exemplo:

Suponha que um pêndulo tenha T₀ =1 e que a amplitude seja 2

π

=

A . Queremos calcular T com erro menor do que 10−3. Até que valor de n devemos somar os termos de (7.7)? Sabemos que 2 1 4 sen = = π k , logo 2 1 ) 1 ( 4 2 0 = −k T

. Desejando que o erro seja

menor que 3 10− teremos que, 3 2 2 3 10 2 1 2 1 10 − + − _{ <}      ⇒ < n n R .

Calculando o logaritmo de cada membro da desigualdade teremos, 96 , 7 1 2 log 10 2 log ⋅ 3 _{− ≅} − > − n .

Portanto, somando até n= 8 (ou seja 9 termos na série), o erro no período será seguramente menor do que 3

Referências bibliográficas

[1] W. Andrewes, Uma Crônica do Registro do Tempo, Scientific American Brasil 5 , 88-97, 2002.

[2] D. G. Figueiredo e A. F. Neves, Equações Diferenciais Aplicadas, IMPA, Rio de Janeiro, 1997.

[3] E. L. Lima, Análise Real vol. 1, IMPA, Rio de Janeiro, 2002.

[4] R. Resnick e D. Halliday, Física 1, 3ª edição, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, São Paulo1983.