Computer Control Problems

Problems - Computer Control Page 1

Computer Control – Problems

2013

J. Miranda Lemos and A. Bernardino

1 – Models in Computer Control

P1 – Determine os primeiros 6 termos da solução da equação de diferenças

 , 3 , 2 ) 2 ( ) 1 ( ) (k  y k y k k  y partindo das condições iniciais

1 ) 1 ( ) 0 (  y  y

(Estes números denominam-se números de Fibonacci).

P2 – Considere o sistema com entrada

u

e saída y descrito pela equação de diferenças linear

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 (k a₁y k a₂y k b₀u k b₁u k y       

em que k 0,1,2, é o tempo discreto, os

a

i, bisão parâmetros constantes e as condições

iniciais são nulas. Por aplicação do Princípio de Sobreposição, mostre que se trata de um sistema linear.

P3 – Considere o sistema discreto descrito pela equação de diferenças:

) 11 ( ) 10 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 5 . 0 ) (k  y k  y k  u k u k y

a) Determine a função de transferência no operador atraso; b) Determine a função de transferência no operador avanço;

c) Determine os pólos e os zeros (e a respectiva multuplicidade) e o atraso puro do sistema.

P4 – Considere o sistema linear e invariante descrito pela equação de diferenças

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 (k a1y k a2y k b0u k b1u k y       

Problems - Computer Control Page 2 b) Determine a função de transferência, em potências de z e de

z

1.

c) Diga qual o atraso puro do sistema.

d) Obtain an equivalent state-space model of the system.

P5 - Considere o sistema da figura seguinte.

O A/D e o D/A operam sincronamente, com um intervalo de amostragem de 1 segundo. Admita que o D/A se comporta como um retentor de amostras de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Suponha que as condições iniciais do processo são nulas. Suponha ainda que no ponto A é aplicado um escalão digital unitário. Nestas condições, responda às perguntas seguintes:

a)

Represente graficamente os sinais nos pontos A, B, C, D, E.

b)

Escreva expressões para o sinal nos pontos C e E.

c)

Obtenha o modelo discreto equivalente entre os pontos A e E, na forma de uma função de transferência digital

P6.Considere o sistema cujo diagrama de blocos se mostra na figura seguinte.

Admita que o D/A se comporta como um retentor de amostras de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Ambos os conversores operam sincronamente. As condições iniciais do processo são nulas.

a) Calcule os polos do sistema contínuo e indique a regra pela qual se podem obter os polos do sistema discretizado entre os pontos A e D.

b) Estabeleça uma frequência de amostragem adequada à discretização do sistema. Justifique.

D/A

1

_A/D

s

e

-2s

A

_B

C

D

_E

Processo D/A 1/(s2+3s+2) C A/D D A B Processo

Problems - Computer Control Page 3 c) Para essa frequência obtenha o modelo discreto equivalente entre os pontos A e D, na

forma de uma função de transferência digital.

P7. Considere o sistema contínuo cujo modelo é dado da seguinte forma:

) 1 ( ) ( 5 . 0 ) ( 2 2    u t dt t dx dt t y d

O sinal {u} representa a entrada do sistema e {y} a sua saída. Note que a variável independente do sinal de entrada está atrasada relativamente à do sinal de saída. Pretencde-se:

Determine um modelo discreto equivalente, na forma de uma função de transferência

discreta, quando este sistema é amostrado com um retentor de amostras de ordem zero e um intervalo de amostragem de 1 segundo.

P8. Um sistema contínuo com função de transferência

G s se

s

( )1 

é amostrado com um intervalo de amostragem

h



1

, com um retentor de amostras de ordem zero. Determine o seu equivalente discreto.

Note que a transformada Z do escalão unitário é z z1

P9. Considere o sistema descrito na figura seguinte.

Admita que o D/A se comporta como um retentor de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Ambos os conversores operam sincronamente à frequência de amostragem fs = 1Hz. As condições iniciais do processo são nulas, e no instante t = 0 é aplicado

um escalão unitário em x1.

d) Esboce os sinais x1, x2, x3, x4 e x5, ao longo do tempo, identificando claramente os que são

contínuos e os que são discretos. Não é necessário fazer um esboço rigoroso dos transitórios.

e) Obtenha o modelo discreto equivalente.

D/A A/D

x4 x5

Problems - Computer Control Page 4 f) Verifique se a frequência de amostragem dada é adequada à obtenção de um equivalente discreto que seja uma boa aproximação do sistema contínuo. Caso contrário, escolha uma frequência adequada.

g) Faça agora fs = 10Hz. Calcule os polos e zeros do equivalente discreto e indique o que lhes

acontece se aumentarmos ainda mais a frequência de amostragem. Nota: 3 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) ( 2 1          z z z h kh Z

P10. Considere um veículo submarino tipo torpedo com propulsão eléctrica que se mostra na figura seguinte.

Este veículo desloca-se em linha recta, sendo a força de propulsão devida à rotação da hélice accionada por um motor eléctrico. Os dois incrementos

u

(variável manipulada, correspondente à variação da velocidade da hélice em torno do equilíbrio) e

v

(saída do sistema, correspondente ao incremento da velocidade do torpedo em relação ao equilíbrio) estão aproximadamente relacionados, para valores pequenos, pelo modelo linear:

u v dt dv

_



   1 (2)

Por forma a realizar o controlo por computador da velocidade do torpedo por actuação em

u

, é utilizado o esquema que se mostra na figura seguinte.

O A/D e o D/A operam sincronamente, com um intervalo de amostragem

h

. Admita que o D/A se comporta como um retentor de amostras de ordem zero e que o A/D se comporta como um amostrador ideal. Suponha que as condições iniciais são nulas (isto é, quer a força de propulsão, quer a velocidade do torpedo se encontram inicialmente nos seus valores de equilíbrio). Nestas condições, responda às perguntas seguintes (considere apenas os incrementos em relação ao equilíbrio):

a)

Obtenha o modelo discreto equivalente entre os pontos A e D, na forma de uma função de transferência discreta. Considere

h

,  e



genéricos.

b)

Escreva a equação de diferenças equivalente à função de transferência que obteve em b).

v

Fp

u(kh)

D/A

_u(t)

_v(t)

A/D

_v(kh)

A

_B

C

D

Dinâmi ca i ncremental do torpedo

Problems - Computer Control Page 5

c)

Recorrendo ao método dos mínimos quadrados para estimar parâmetros no modelo discreto, diga como poderia estimar os parâmetros  e



a partir de registos de observações experimentais para o comando do motor

u

e a velocidade

v

.

Ajudas úteis:

 

a s e TL at    1

 

1 1   z z TZ (degrau)



kh T



_{h T} e z z e TZ  / _{ /}  

P11. Considere o sistema contínuo cujo modelo de estado é









x

x

x

u

y

x

1 2 2

1 0







Determine um modelo discreto equivalente, na forma de uma função de transferência discreta, quando este sistema é amostrado com um retentor de amostras de ordem zero e um intervalo de amostragem de 2 segundos.

Nota: Z kh h z z z 1 2 1 2 1 2 2 3 ( ) ( ) ( )      

P12 – Considere o sistema contínuo

cx y bu ax x     

Suponha que a entrada

u

é constante durante intervalos de tempo de duração

h

. Amostre o sistema em instantes síncronos com as variações em

u

e discuta como é que os pólos do sistema discreto variam com o intervalo de amostragem

h

.

P13 – As equações de diferenças seguintes são supostas descrever sistemas em tempo contínuo, amostrados com um retentor de amostras de ordem zero e um intervalo de amostragem

h

. Determine, se existirem, os correspondentes sistemas em tempo contínuo: a) y(kh)0.5y(khh)6u(khh)

Problems - Computer Control Page 6 b)

 

1 1 ( ) ) ( ) ( 7 . 0 5 . 0 ) ( 3 . 0 0 1 5 . 0 ) ( kh x kh y kh u kh x h kh x                   c) y(kh)0.5y(khh)6u(khh)

P14 – Determine a função de transferência discreta do sistema



1 0



( ) ) ( ) ( 1 2 ) ( 0 0 2 . 0 5 . 0 ) ( kh x kh y kh u kh x h kh x                 

P15 – Considere o sistema contínuo com função de transferência

 s e s s G( ) 1 

em que o atraso é





2

.

Obtenha o modelo de estado do sistema amostrado com um intervalo de amostragem

h



1

.

P16 – Considere o sistema contínuo estável

a s b s s G    ) (

em que

a



b

. Determine a função de transferência discreta do sistema amostrado com um intervalo de amostragem

h

. Obtenha condições para que o sistema amostrado tenha um inverso estável (isto é, para que não tenha zeros fora do círculo unitário).

3 – Identification

P1 - Dadas duas grandezas físicas X e Y, pretende-se estimar o parâmetro

a

no modelo linear que as relaciona, e que é da forma

Y



aX





em que  é uma variável que traduz a existência de erros experimentais. Em 5 experiências em que se mediu o valor de X e o correspondente valor de Y, obtiveram-se os seguintes

Problems - Computer Control Page 7 i X Y 1 10 9 2 20 21 3 30 32 4 40 38 5 50 51

Na tabela acima, I representa o número da experiência realizada.

Determine uma estimativa do parâmetro

a

recorrendo aos método dos mínimos quadrados, indicando:

a)

A funcional de mínimos quadrados;

b)

A equação satisfeita pela estimativa;

c)

O valo da estimativa.

P2.Sabe-se que a grandeza Y tem uma variação polinomial no tempo, sendo modelada por um polinómio de segundo grau, da forma:

Y t( ) at2



( )t

Nesta equação, t é o tempo contado a partir do início da experiência, a é um parâmetro a estimar e (t) é um resíduo que traduz a existência de erros experimentais, o qual se assume pequeno. Por forma a estimar a constante a, efectua-se uma experiência ao longo da qual se regista o valor de Y, bem como os instantes de medida contados desde o início. Obtiveram-se os resultados que se mostram na tabela seguinte:

t (segundo) Y

5 0.49

10 1.01

15 1.45

Problems - Computer Control Page 8 Recorrendo ao método dos mínimos quadrados e aos dados indicados na tabela, determine uma estimativa do parâmetro a. Indique sucessivamente:

a)A funcional de mínimos quadrados; b)A equação satisfeita pela estimativa; c)O valor da estimativa;

P3. Pretende-se estimar por mínimos quadrados não recursivos o parâmetro

a

no modelo

) 1 ( ) 1 ( ) (t ay t u t y

para o que se observaram séries de observações das variáveis u(t) e y(t), com 1000 pontos cada. Designam-se estas observações experimentais por ui1 e

y

i, i1,,N 1000.

a) Determine uma fórmula para a estimativa não recursiva de mínimos quadrados do parâmetro

a

em função dos dados, indicando sucessivamente: i) O funcional de mínimos quadrados; ii) A equação satisfeita pela estimativa; iii) Uma fórmula para o cálculo da estimativa.

b) Para estimar o mesmo parâmetro, no mesmo modelo, recorreu-se ao método dos mínimos quadrados recursivos com esquecimento exponencial. Na experiência efectuada o parâmetro

a

tem inicialmente o valor de 0.95 e, depois de

t



500

, assume o valor -0.5. Fizeram-se duas experiências com factores de esquecimento com o valor





0

.

98

e





0

.

995

. Os resultados destas experiências mostram-se nas figuras P4-1 e P4-2.

Pretende-se: Diga a qual das figuras corresponde qual dos valores do factor de esquecimento. Justifique. Fig. P4-1 Fig. P4-2 0 500 1000 1500 2000 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E st im a ti va

Tempo [número de amostras]

0 500 1000 1500 2000 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E st im a ti va

Problems - Computer Control Page 9 P4. Considere o sistema modelado por

) ( ) 1 ( ) 1 ( ) (t ay t bu t e t y     

em que

e

é um sinal branco, gaussiano, de média nula e variância unitária. É efectuada uma experiência no sistema para estimar os parâmetros

a

e

b

. Com os dados obtidos para

u

e y calcularam-se as seguintes quantidades:

30 ) ( 999 1 2 



 i i y ( ) 50 999 1 2 



 i i u ( 1) ( ) 1 999 1  



 i i y i y ( ) ( ) 20 999 1 



 i i u i y ( 1) ( ) 36 999 1  



 i i u i y

Determine a estimativa de mínimos quadrados dos parâmetros

a

e

b

.

P5 - Considere o sistema descrito pela seguinte equação às diferenças:

)

(

)

2

(

)

1

(

)

(

t

ay

t

bu

t

t

y













Nesta equação, a,b, são parâmetros a estimar, t é o número do ensaio realizado e (t) é um resíduo que traduz a existência de erros experimentais, o qual se assume pequeno. Por forma a estimar as constantes a,b, efectua-se uma experiência desde t=1 até t=1000, estando o sistema inicialmente em repouso, ao longo da qual se registam os seguintes valores:

4 . 1 ) 1 ( 1000 1 2  



 t t y , ( ) ( 1) 0.7 1000 1  



 t t y t y , ( ) ( 2) 0.4 1000 1  



 t t y t y 1 ) 2 ( 1000 1 2  



 t t u , ( 1) ( 2) 0 1000 1   



 t t u t u , ( ) ( 2) 0 1000 1  



 t t u t u 1 ) 2 ( ) ( 1000 1  



 t u t y t , ( 1) ( 2) 0 1000 1   



 t t u t y , ( 2) ( 2) 0 1000 1   



 t u t y t

a) Recorrendo ao método dos mínimos quadrados calcule a estimativa dos parâmetros do sistema (a, b).

b) Qual das estimativas (de a ou de b) tem maior precisão? Justifique.

c) Diga que condições deverá satisfazer a sequência de ruído para que a estimativa dos parâmetros seja centrada.

P6 – Show that, whenever the indicated inverses exist, the following identity is true:



_



1

_

1

_

1



1

_

1



1 1

DA

C

B

DA

B

A

A

BCD

A

Problems - Computer Control Page 10 P7 – Demonstre as seguintes equações que propagam no termpo a estimativa do método das variáveis instruimentais recursivas:

)

(

)

1

(

)

(

'

1

)

1

(

)

(

'

)

(

)

1

(

)

1

(

)

(

t

t

P

t

t

P

t

t

t

P

t

P

t

P

























(

)

ˆ

(

1

)

(

)



)

(

)

(

)

1

(

ˆ

)

(

ˆ

_t

_

_t

_P

_t

_

_t

_y

_t

_

_t

_

_t













P8 - Deduza as equações que permitem estimar recursivamente o vector de parâmetros  dadas N observações de y(t) e de (t-1), admitindo válido o modelo

y t( )



' (t1)



v t( )

em que v(t) é um resíduo pequeno (escalar para cada t). O estimador não pode implicar a inversa de uma matriz, e minimiza o critério de mínimos quadrados com factor de esquecimento, dado por

J N t y t t t N ( ) ( ( ) '( ) ) ^







 











1 2 1

sendo  um escalar positivo e menor do que 1.

Sugestão:



A



BCD



1



A

1



A

1

B



DA

1

B



C

1



1

DA

1.

Use the fact that the batch least squares estimate with forgetting factor can be computed using

̂( ) _{( ) ∑ ( ) ( )}

,

where the information matrix verifies the recursive equation ( ) ( ) ( ) ( ).

P9.Considere o processo estável descrito pela equação de diferenças y k( )ay k(  1) u k(  1) v k( )

em que v(k) é um resíduo não mensurável, modelado por

Problems - Computer Control Page 11 e as sequências u(k), e(k) são sequências brancas, independentes, de média nula e variância unitária. Supõe-se que apenas estão acessíveis para medida directa os sinais y, u, não sendo o sinal e acessível. Suponha válida a aproximação das médias estatísticas por médias na amostra. Exprima a estimativa de mínimos quadrados da constante a em função de a e de c.

Sugestão: Dado o modelo linear

y t( )



' (t1)



_o



( )t a estimativa de mínimos quadrados do vector



o é dada por

 _{( ) ' ( ) ( ) ( )}















        



k k



y k k k N k N 1 1 1 1 1 1

Para obter a variância da saída y em regime estacionário, comece por obter uma equação de diferenças para ela.

P10. Pretende-se medir um parâmetro



, para o que se dispõe de dois sensores que produzem medidas

y

1 e

y

2 tal como se mostra na figura.

Pretende-se estudar o problema de fusão sensorial, isto é, de combinar as medidas dos dois sensores. Admite-se que o sensor

i

produz uma medida

y

i relacionada com o valor verdadeiro do parâmetro por

y

_i

 



e

_i tal que

p

_ei

( )

e

_i



exp







e

_i









1

2

1

2

2









e

e

y

y

1 2 1 2 sensor 1 sensor 2

Problems - Computer Control Page 12 sendo

e

1 e

e

2 mutuamente independentes e independentes de



.

a)Determine a estimativa de máxima verosimilhança do parâmetro



, designada por



calculada a partir de um par de medidas

y

1 e

y

2.

b)Pretende avaliar-se da vantagem da utilização dos dois sensores em relação a um único. Admita que o parâmetro



é uma variável aleatória gaussiana com uma certa média e uma certa variância. Determine a variância do erro:

i)Quando usa apenas um sensor, E





y₁



2



ii)Quando usa a estimativa de máxima verosimilhança baseada nos dois

sensores,

E





 



_MV



2



. O que conclui?

P11 - Para a instalação de uma antena num prédio elevado, pretende-se caracterizar a força exercida pelo vento na estrutura. Como a força exercida é proporcional à velocidade do vento, efectuam-se medições diárias do módulo da velocidade do vento (independentemente da orientação) através de um anemómetro: vi, i=1…N. Admite-se que o módulo da velocidade

segue uma distribuição de Rayleigh1 de parâmetro :

Admitindo que as medições em dias consecutivos são independentes, calcule a estimativa do valor do parâmetro







2

pelo método da máxima verosimilhança (considere um número arbitrário N de medições).

1

A distribuição de Rayleigh modela processos 2D cujas componentes ortogonais (neste caso vx e vy) têm distribuição Gaussiana de média nula e variância 

2 .

















₂ 2₂

2

exp

)

|

(







v

v

v

p

Problems - Computer Control Page 13 P12 – Antes de uma partida de futebol é necessário verificar se a moeda a utilizar na escolha de campo está ou não viciada. Para isso recorre-se a uma experiência em que se efectuam n lançamentos independentes e se regista o número de “faces” e “coroas” obtidas:

} ,..., ,

{y1 y2 yn ; yi = 1 se “face” e yi = 0 se “coroa”

Seja p a probabilidade de um lançamento da moeda em questão resultar em “face”. A moeda será não viciada se p for próximo de 0.5.

a) Mostre que a função de verosimilhança para a experiência referida é dada pela distribuição de Bernoulli:





n k k n

p

p

p

y

y

y

L

(

₁

,

₂

,...,

|

)



1



 sendo k o número de faces saídas (



  n i i y k 1 ).

b) Obtenha o estimador de máxima verosimilhança do parâmetro p.

P13. Pretende-se caracterizar o ruído de um sensor utilizando o método da máxima

verosimilhança. Para isso dimensiona-se uma experiência onde se obtêm N observações do sensor (yi, i=1…N), com entrada nula. Admita que o ruído do sensor é branco, gaussiano, de

média nula, e as observações são independentes.

Mostre que a estimativa de máxima verosimilhança da variância do ruído é:

N

y

N i i







1 2 2

ˆ



Notas: 2 2 2 1 2 2

2

1

)

,

0

(







y

e







;

x

x

dx

d

1

)

log(

