2013
2013
Ro
Rottac
ac¸¸ ˜˜ao
ao de
de Cor
Corpos
pos R´
R´ıgi
ıgidos
dos
E9.1
E9.1 a) Caa) Calculcule le oo ˆˆangulo em radianos subentendido porangulo em radianos subentendido por um arco de
um arco de 11,,50 50 mm de comprimento ao longo de de comprimento ao longo de uma
uma circcircunferˆunferˆencia de raio igual aencia de raio igual a 2 2,,50 50 mm. Qual ´. Qual ´ee esse ˆ
esse ˆangulo em graus?angulo em graus? b)
b) Um Um arco arco de de comprimento comprimento igual igual aa 14 14,,0 0 cmcm suben- suben-tende um
tende um ˆ ˆangulo deangulo de 128 128◦◦
em um c
em um c´´ırculo. Qualırculo. Qual ´ ´e oe o raio da circunfer
raio da circunfer ˆˆencia desse cencia desse c´´ırculo?ırculo? c) O ˆ
c) O ˆangulangulo o entrentre e dois raios dois raios de de um um c´c´ırcuırculo lo de de raioraio igual a
igual a 11,,50 50 mm e de´´e de 0 0,,700 rad700 rad. . QuQualal ´´e o compri-e o compri-mento do arco sobre a circunfer
mento do arco sobre a circunfer ˆˆencia desse cencia desse c´´ırculoırculo compreendido entre esses dois raios?
compreendido entre esses dois raios?
E9.2
E9.2 A hA h ´´elice de um avi˜elice de um avi˜ao gira aao gira a 1900 rev 1900 rev//minmin.. a)
a) CalculCalcule a velocide a velocidade angade angular da h´ular da h´elice emelice em rad rad//ss.. b)
b) Quantos segundos a Quantos segundos a h´h´elice leva para girar aelice leva para girar a 35 35◦◦ ??
E9.15
E9.15 Um volante de alta velocidade em um motor est´ Um volante de alta velocidade em um motor est´a gi-a gi-rando a
rando a 500 rpm 500 rpm quando subitamente ocorre uma falha quando subitamente ocorre uma falha no fornec
no fornecimentimento de energiao de energia. . O volante possO volante possui massaui massa de
de 4040,,0 0 kgkg e diˆ e diˆametro deametro de 75,,0 750 cmcm. . A enA enerergigia el´a el´etricaetrica fica desligada por
fica desligada por 30 30,,0 0 ss e nesse per e nesse per´´ıodo o volante di-ıodo o volante di-minui
minui a a velocidade velocidade em em funcfunc¸¸ ˜˜ao do atrito nos seus man-ao do atrito nos seus man-cais.
cais. EnquaEnquanto a enernto a energia estgia est´´a desligada, o volante faza desligada, o volante faz
200
200 re revovolulucc¸¸ ˜˜oes completas.oes completas. a)
a) QuQual ´al ´e a te a taxa de axa de rotacrotac¸¸ ˜˜ao do volante quando a ener-ao do volante quando a ener-gia retorna?
gia retorna? b)
b) Quanto tempo Quanto tempo apap ´´os o os o in´in´ıcio da ıcio da falta de falta de energia te-energia te-ria levado para o volante parar, caso a energia n˜ ria levado para o volante parar, caso a energia n˜aoao tivesse retornado,
tivesse retornado, e quantas e quantas revolucrevoluc¸¸˜˜oes o volanteoes o volante teria
teria feito feito nesse pnesse per´er´ıodo?ıodo?
E9.21
E9.21 UsaUsandondo daddadosos dede astastronronomiomiaa dodo ApˆApˆendiendicece FF,, juntamjuntamenteente com o fato de que a Terra gira em torno do seu eixo uma com o fato de que a Terra gira em torno do seu eixo uma vez por dia, calcule
vez por dia, calcule a)
a) a velocidade escala velocidade escalar angular orbital da Tear angular orbital da Terra (emrra (em
rad
rad//ss) em ) em funcfunc¸¸ ˜˜ao do seu movimento em torno doao do seu movimento em torno do Sol,
Sol, b)
b) sua sua velocidade velocidade escalar escalar angular angular (em(em radrad//ss) ) emem ffuunncc¸¸˜˜ao do seu giro axial,ao do seu giro axial,
c)
c) a velocidada velocidade escalar tangene escalar tangencial da Tercial da Terra em ra em tornotorno do Sol (supondo-se uma ´
do Sol (supondo-se uma ´orbita circular),orbita circular), d)
d) a velocidada velocidade escalar tangee escalar tangencial de um ponto na li-ncial de um ponto na li-nha do
nha do Equador na Equador na TTerra em erra em funcfunc¸¸˜˜ao do giro axialao do giro axial do planeta e
do planeta e e)
e) os componentes radial e os componentes radial e tangencial da aceleractangencial da acelerac¸¸ ˜˜aoao do ponto no item (d).
do ponto no item (d).
E9.31
E9.31 Os ciclOs ciclos de rotacos de rotac¸¸ ˜˜ao de uma m´ao de uma m´aquina de lavar possuemaquina de lavar possuem duas velocidades angulares,
duas velocidades angulares, 423 rev 423 rev//minmin e e 640 rev 640 rev//minmin.. O diˆ
O diˆametro interno do tambor ´ametro interno do tambor ´e igual ae igual a 0 0,,470 m470 m.. a)
a) QuaQuall ´´e a e a rarazz˜˜ao entre ao entre a a forcforc¸a ¸a radial mradial m ´´axima sobreaxima sobre a roupa quando a velocidade angular
a roupa quando a velocidade angular ´´e e mm´´aximaaxima e
e a a forcforc¸a ¸a radiaradial l quandquando o a a velocivelocidade angular dade angular ´´ee m´
m´ıniınimama??
b)
b) Qual Qual ´´e a raz˜e a raz˜ao da velocidade tangencial m´ao da velocidade tangencial m´aximaaxima da roupa quando a velocidade angular ´
da roupa quando a velocidade angular ´e me m´´axima eaxima e quando a velocidade angular ´
quando a velocidade angular ´e m´e m´ıniınima?ma? c)
c) CalculCalcule a velocidae a velocidade tangede tangencial m´ncial m´axima da roupaaxima da roupa e a ac
e a acelereleracac¸¸ ˜˜ao radial m´ao radial m´axima axima em fuem funcnc¸¸˜˜ao deao de g g..
E9.37
E9.37 Uma barra uniforme possui duas pequenas bolas cola- Uma barra uniforme possui duas pequenas bolas cola-das
das ` `as suas extremidades. A barra possui comprimentoas suas extremidades. A barra possui comprimento
L
L = = 22,,0 0 mm e massa e massa M M = = 44,,0 kg0 kg, enquanto as bolas pos-, enquanto as bolas pos-suem massa
suem massa m m = = 00,,500 kg500 kg cada uma e podem ser trata- cada uma e podem ser trata-das como pontos de massas. Ache o momento de in´ das como pontos de massas. Ache o momento de in´erciaercia desse si
desse sistema stema em relacem relac¸¸ ˜˜ao a cada um dos seguintes eixos:ao a cada um dos seguintes eixos: a)
a) um um eixo eixo perpendicular `perpendicular `a barra barra e quea e que passa passa pelopelo seuseu centro;
centro; b)
b) um um eixo eixo perpendicularperpendicular ``a barra e que passa pora barra e que passa por uma das bolas;
uma das bolas; c)
c) um eium eixo paxo paralelralelo `o `a barra e que passa por ambas asa barra e que passa por ambas as bolas;
bolas; d)
d) um eixo parum eixo paralalelelo o ``a barra e a uma distˆa barra e a uma distˆancia deancia de
0
0,,500 m500 m dela. dela.
E9.39
E9.39 Uma Uma roda de roda de carroccarroc¸a ¸a ´´e feita como indicado na Figurae feita como indicado na Figura E9.
E9.39. 39. O raio dO raio da roda ´a roda ´e igual ae igual a 0 0,,300 m300 m e o aro possui e o aro possui massa igual a
massa igual a 1 1,,40 kg40 kg. . Cada um dos seus oito raios, disCada um dos seus oito raios, dis--tribu´
tribu´ıdos ao ıdos ao longo de longo de didiˆˆametros, possuem comprimentoametros, possuem comprimento de
de 0 0,,300 m300 m e massa igual a e massa igual a 0 0,,280 kg280 kg. Qual ´. Qual ´e o momentoe o momento de in´
de in´ercia da ercia da roda em roda em relacrelac¸¸˜˜ao a um eixo perpendicularao a um eixo perpendicular ao plano da roda e passan
ao plano da roda e passando pelo seu centrdo pelo seu centro? o? (Use as(Use as ff´´ormulas indicadas na Tabela 9.2.)ormulas indicadas na Tabela 9.2.)
Figura E9.30 Figura E9.30
E9.45
E9.45 UmUm volvolantantee dede motmotoror aa gasgasoliolinana devdevee forfornecnecerer umauma eneener- r-gia cin
gia cin´´etica igual aetica igual a 500 J 500 J, quando sua velocidade angu-, quando sua velocidade angu-lar diminui de
lar diminui de 650 rev 650 rev//minmin para para 520 rev 520 rev//minmin. Qual. Qual ´ ´e oe o momento de in
momento de in ´´ercia necessercia necess ´´ario?ario?
E9.47
E9.47 Desejamos armazenar energiDesejamos armazenar energia em um volante dea em um volante de 70 70,,0 kg0 kg
que possui
que possui forma de forma de um um disco macicdisco macic¸o ¸o unifouniforme comrme com raio
raio RR = = 11,,20 20 mm. . ParPara impeda impedir danoir danos estrus estruturturaisais, , aa ace
aceleraleracc¸¸˜˜ao radial m´ao radial m´axima de um ponto na sua periferiaaxima de um ponto na sua periferia ´´e igual a
e igual a 3500 m 3500 m//ss22
. Qual ´
. Qual ´e a energia cin´e a energia cin´etietica mca m ´´aximaaxima que pode ser armazenada no volante?
que pode ser armazenada no volante?
E9.59
E9.59 Uma barra delgada e uniforme de massa Uma barra delgada e uniforme de massa M M e compri- e compri-mento
mento LL e encurvada no seu centro, de modo que os´´e encurvada no seu centro, de modo que os dois segmentos passam a ser perpendiculares um ao dois segmentos passam a ser perpendiculares um ao ou-tro
tro. . AchAche o e o mommomentento de ino de in ´´erciercia a em em relarelacc¸¸ ˜˜ao a um eixoao a um eixo perpendicular ao seu plano e que passe a) pelo ponto perpendicular ao seu plano e que passe a) pelo ponto onde os dois segmentos se encontram e b) pelo ponto na onde os dois segmentos se encontram e b) pelo ponto na metade da linha que conecta as duas extremidades. metade da linha que conecta as duas extremidades.
P9.71 A correia de uma m´aquina de lavar a v´acuo ´e enrolada ligando um eixo de raio igual a 0,45 cm com uma roda de raio igual a 2,0 cm. O arranjo envolvendo a correia, o eixo e a roda ´e semelhante ao descrito na Figura 9.14 envolvendo a corrente e as rodas dentadas de uma bici-cleta. O motor faz o eixo girar com 60,0 rev/s e a correia faz a roda girar, que por sua vez est ´a ligada a outro eixo que empurra a sujeira para fora do tapete que est ´a sendo lavado a v´acuo. Suponha que a correia n ˜ao deslize nem sobre o eixo nem sobre a roda. a) Qual ´e a velocidade de um ponto sobre a correia? b) Qual ´e a velocidade angu-lar da roda em rad/s?
P9.77 Foi aventado que as usinas hidrel´etricas devem aprovei-tar as horas fora do pico (como aprovei-tarde da noite) para ge-rar energia mecˆanica e armazen´a-la para atender `a de-manda em hor´arios de pico, como no meio do dia. Uma sugest˜ao ´e armazenar a energia em grandes volantes que giram sobre mancais praticamente livres de atrito. Con-sidere um volante feito de ferro (densidade 7800 kg/m3
) no formato de um disco uniforme de 10,0 cm de espes-sura.
a) Qual deve ser o diˆametro desse disco para armaze-nar 10,0 MJ de energia cin´etica ao girar a 90,0 rpm
em torno de um eixo perpendicular ao disco, no seu centro?
b) Qual ser´a a acelerac¸˜ao centr´ıpeta de um ponto na borda, quando o disco gira nessa taxa?
P9.83 Uma r´egua de um metro e massa igual a 0,160 kg possui um piv ˆo em uma de suas extremidades de modo que ela pode girar sem atrito em torno de um eixo horizontal. A r´egua ´e mantida em uma posic¸˜ao horizontal e a seguir ´e libertada. Enquanto ela oscila passando pela vertical, calcule
a) a variac¸˜ao da energia potencial gravitacional ocor-rida;
b) a velocidade angular da r ´egua;
c) a velocidade linear na extremidade da r´egua oposta ao eixo.
d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade de um objeto caindo de uma altura de 1,0 m a par-tir do repouso.
P9.85 A polia indicada na Figura P9.85 possui raio R e mo-mento de in´ercia I . A corda n˜ao desliza sobre a polia e esta gira em um eixo sem atrito. O coeficiente de atrito cin´etico entre o bloco A e o topo da mesa ´e µc. O
sis-tema ´e libertado a partir do repouso, e o bloco B comec¸a a descer. O bloco A possui massa mA e o bloco B possui
massamB. Use m´etodos de conservac¸ ˜ao da energia para
calcular a velocidade do blocoB em func¸˜ao da distˆancia
d que ele desceu.
Figura P9.85
P9.89 Dois discos met´alicos, um com raio e massa M 1 = 0,80 kg e outro com raio R2 = 5,0 cm e
massa M 2 = 1,60 kg, s˜ao soldados juntos e montados
em um eixo sem atrito passando pelo centro comum (Fi-gura P9.89).
a) Qual ´e o momento de in´ercia dos dois discos? b) Um fio fino ´e enrolado na periferia do disco menor,
e um bloco de 1,50 kg ´e suspenso pela extremidade livre do fio. Se o bloco ´e libertado do repouso a uma distˆancia de 2,0 m acima do solo, qual ´e sua velocidade no momento em que atinge solo? c) Repita c´alculo do item (b), desta vez com o fio
en-rolado na borda do disco maior. Em qual caso a velocidade escalar final do bloco ´e maior? Expli-que por quˆe.
Figura P9.89
E10.9 A pec¸a de uma m´aquina tem o formato de uma esfera macic¸a e uniforme com massa de 225 g e diˆametro de
3,0 cm. Ela est ´a girando em torno de um eixo com atrito desprez´ıvel que passa pelo seu centro, mas em um ponto no seu equador ela est ´a roc¸ando contra uma parte met´alica, resultando em uma forc¸a de atrito de 0,0200 N
nesse ponto. a) Ache a acelerac¸ ˜ao angular. b) Quanto tempo levar´a para a velocidade escalar rotacional ser re-duzida em 22,5 rad/s?
E10.10 Uma corda ´e enrolada em torno da periferia de uma roda macic¸a e uniforme de raio igual a 0,250 m e massa de 9,20 kg. A corda ´e puxada por uma forc¸a constante horizontal de 40,0 N para a direita e tangencialmente `a roda. A roda est´a montada sobre mancais com atrito desprez´ıvel sobre um eixo horizontal que passa pelo seu centro.
a) Calcule a acelerac¸˜ao angular da roda e a acelerac¸ ˜ao da parte da corda que j´a foi puxada para fora da roda.
b) Ache o m´odulo, a direc¸˜ao e o sentido da forc¸a que o eixo exerce sobre a roda.
c) Qual das respostas nos itens (a) e (b) sofreria variac¸ ˜ao, caso a forc¸a de puxar fosse de baixo para cima em vez de horizontal?
E10.14 Um balde de 15,0 kg ´e suspenso por uma corda enrolada em torno de um sarilho, constitu´ıdo por um cilindro s´olido com diˆametro de 0,300 m e massa igual a 12,0 kg. O cilindro ´e pivotado sobre um eixo sem atrito passando em seu centro. O balde ´e libertado a partir do repouso no topo de um poc¸o e cai 10,0 m at ´e atingir a ´agua no fundo do poc¸o. Despreze o peso da corda. a) Qual ´e a tens˜ao na corda enquanto o balde est ´a caindo? b) Com que velocidade o balde atinge a ´agua? c) Qual ´e o tempo de queda? d) Enquanto o balde est´a caindo, qual ´e a
E10.19 Um aro de 2,20 kg e 1,20 m de diˆametro est´a rolando da esquerda para a direita sem deslizar, sobre um piso horizontal a constantes 3,0 rad/s.
a) Comque velocidade o seu centroest´a se movendo? b) Qual ´e a energia cin´etica total do aro?
c) Ache o vetor velocidade de cada um dos seguintes pontos, do ponto de vista de uma pessoa em re-pouso sobre o ch˜ao: i) o ponto mais alto do aro; ii) o ponto mais baixo do aro; iii) um ponto do lado di-reito do aro, a meio caminho entre o topo e a base. d) Ache o vetor velocidade para cada um dos pontos
no item (c), s ´o que do ponto de vista de algu ´em que se move com a mesma velocidade do aro.
E10.23 Uma bola macic¸a ´e liberada do repouso e desliza para baixo pela encosta de uma colina com inclinac¸˜ao de
65,0◦
com o plano horizontal.
a) Qual valor m´ınimo deve ter o coeficiente de atrito est´atico entre as superf ´ıcies da colina e da bola para que nenhum deslizamento ocorra?
b) O coeficiente de atrito calculado no item (a) ´e sufi-ciente para impedir que uma bola oca (como uma bola de futebol) deslize? Justifique sua resposta. c) No item (a), por que usamos o coeficiente de atrito
est´atico e n˜ao o coeficiente de atrito cin´etico?
E10.24 Uma bola de gude homog ˆenea rola para baixo a par-tir do topo da lateral esquerda de uma tigela sim´etrica, partindo do repouso. O topo de cada lateral est ´a a uma distˆancia h0 do fundo da tigela. A metade esquerda da
tigela ´e ´aspera o suficiente para fazer a bola de gude rolar sem deslizar, mas a metade direita n˜ao possui ne-nhum atrito porque est´a coberta de ´oleo.
a) A que altura da lateral lisa a bola de gude subir´a, se medida verticalmente a partir do fundo?
b) A que altura a bola de gude iria se ambos os lados fossem t˜ao ´asperos quanto o lado esquerdo? c) A que vocˆe atribui o fato de que a bola de gude
sobe mais com o atrito do lado direito do que sem atrito?
E10.31 As extremidades dos dentes de carboneto de uma serra circular est˜ao situadas a uma dist ˆancia de 8,6 cm do eixo de rotac¸˜ao.
a) Quando a serra n˜ao est´a cortando nenhum objeto, sua velocidade angular ´e de 4800 rev/min. Por que sua potˆencia ´e desprez´ıvel quando ela n ˜ao est´a cor-tando nenhum objeto?
b) Quando ela est´a cortando t ´abuas, sua velocidade angular se reduz para 2400 rev/min e a pot ˆencia de sa´ıda ´e igual a 1,9 HP. Qual ´e a forc¸a tangencial que a madeira exerce sobre as extremidades dos dentes de carboneto?
E10.39 Sob determinadas circunstˆancias, uma estrela pode so-frer um colapso e se transformar em um objeto extrema-mente denso, constitu´ıdo principalextrema-mente por n ˆeutrons e chamado estrela de nˆeutrons. A densidade de uma es-trela de nˆeutrons ´e aproximadamente 1014
vezes maior do que a da mat´eria comum. Suponha que a es-trela seja uma esfera macic¸a e homog ˆenea antes e de-pois do colapso. O raio inicial da estrela era de
7,0×105 km (compar´avel com o raio do Sol); seu raio
fi-nal ´e igual a 16 km. Supondo que a estrela original com-pletava um giro em 30 dias, ache a velocidade angular da estrela de n ˆeutrons.
E10.40 Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito possui massa de 0,0250 kg. Ele est´a preso a uma corda sem massa que passa atrav´es de um buraco na superf´ıcie (Figura E10.40). No in´ıcio, o bloco est ´a gi-rando a uma distˆancia de 0,300 m do buraco com uma velocidade angular de 1,75 rad/s. A seguir a corda e pu-xada por baixo, fazendo com que o raio do c´ırculo se en-curte para 0,150 m. O bloco pode ser considerado uma part´ıcula.
a) O momento angular ´e conservado? b) Qual ´e a nova velocidade angular?
c) Calcule a variac¸˜ao da energia cin´etica do bloco. d) Qual foi o trabalho realizado ao puxar a corda?
Figura E10.40
E10.43 Uma mesa girat ´oria grande possui forma de disco com raio de 2,0 m e massa igual a 120 kg. A mesa girat´oria est´a inicialmente a 3,0 rad/s em torno de um eixo ver-tical que passa em seu centro. Repentinamente, um p´ara-quedista de 70 kg pousa suavemente em um ponto pr´oximo da periferia da mesa.
a) Ache a velocidade angular da mesa girat ´oria depois do pouso do p ´araquedista. (Suponha que o p ´ara-quedista possa ser considerado uma part´ıcula.)
b) Calcule a energia cin´etica do sistema antes e depois do pouso do p ´ara-quedista. Por que essas energias cin´eticas s˜ao diferentes?
E10.47 Uma barra de metal delgada e uniforme que tem 2,0 m
de comprimento e pesa 90,0 N est´a suspensa vertical-mente do teto por um pivˆo com atrito desprez´ıvel. De repente, ela ´e atingida num ponto que est´a 1,50 m abaixo do teto por uma pequena bola de 3,0 kg, movendo-se inicialmente, no sentido horizontal a 10,0 m/s. A bola rebate na direc¸˜ao contr´aria com uma velocidade escalar de 6,0 m/s.
a) Calcule a velocidade escalar angular da barra logo ap´os a colis˜ao.
b) Durante a colis˜ao, por que o momento angular se conserva, mas o momento linear n˜ao?
E10.49 O rotor (volante) de um girosc´opio de brinquedo pos-sui massa M = 0,140 kg. Seu momento de in´ercia em relac¸˜ao ao seu eixo ´e I = 1,20×10−4 kg m2. A massa
do suporte ´e m = 0,0250 kg. O girosc ´opio ´e suportado em um ´unico piv ˆo (Figura E10.49) e seu centro de massa est´a situado a uma dist ˆancia h = 4,0 cm do piv ˆo. O gi-rosc´opio possui movimento de precess ˜ao em um plano horizontal, completando uma revoluc¸ ˜ao em tp = 2,20 s.
a) Ache a forc¸a de baixo para cima exercida pelo pivˆo. b) Ache a velocidade angular com a qual o rotor gira
em torno de seu eixo, expressa em rev/min. c) Fac¸a um diagrama, desenhando vetores para
mos-trar o momento angular do rotor e o torque que atua sobre ele.
Figura E10.49
P10.57 Uma barra delgada e uniforme de 3,80 kg e 80,0 cm
de comprimento possui uma bola muito pequena de
2,50 kg grudada em cada extremidade (Figura P10.57). Ela ´e sustenta da horizontalmente por um eixo fino, ho-rizontal e com atrito desprez´ıvel, que passa pelo seu cen-tro e ´e perpendicular `a barra. Subitamente, a bola do lado direito se descola e cai, mas a outra permanece gru-dada na barra.
a) Ache a acelerac¸˜ao angular da barra logo ap´os a bola cair.
b) A acelerac¸˜ao angular permanecer´a constante en-quanto a barra continua a oscilar? Em caso nega-tivo, ela vai aumentar ou diminuir?
c) Ache a velocidade angular da barra logo ap ´os ela oscilar pela sua posic¸ ˜ao vertical.
Figura P10.57
P10.63 Um grande rolo de papel de 16,0 kg com raio R = 18,0 cm est´a em repouso contra uma parede e ´e man-tido no lugar por um suporte ligado a uma barra que passa em seu centro (Figura P10.63). A barra pode gi-rar sem atrito no suporte, e o momento de in´ercia do papel em torno do eixo do rolo ´e igual a 0,260 kg m2
. A outra extremidade da barra est´a presa `a parede por uma articulac¸ ˜ao sem atrito de modo que a barra faz um
ˆangulo de 30,0◦
com a parede. O peso da barra ´e des-prez´ıvel. O coeficiente de atrito cin´etico entre o papel e a parede ´e µc = 0,25. Uma forc¸a constante vertical
F = 40,0 N ´e aplicada ao papel, e o papel desenrola. a) Qual ´e m ´odulo da forc¸a que a barra exerce sobre o
papel enquanto ele desenrola?
Figura P10.63
P10.69 O Iˆ oiˆ o. Um ioiˆo ´e feito usando-se dois discos uniformes,
cada um com massame raioR ligados por um eixo leve de raio r. Um fio leve e fino ´e enrolado diversas ve-zes em torno do eixo e a seguir mantido fixo enquanto o ioiˆo ´e libertado do repouso, caindo verticalmente `a me-dida que o fio desenrola. Calcule a acelerac¸ ˜ao linear e a acelerac¸˜ao angular do ioi ˆo e a tens˜ao no fio.
P10.71 A Figura P10.71 mostra trˆes ioiˆos idˆenticos que est˜ao ini-cialmente em repouso sobre uma superf´ıcie horizontal. Para cada ioiˆo, o fio ´e puxado conforme indicado. Em cada caso existe atrito suficiente para cada ioiˆo rolar sem deslizar. Desenhe um diagrama do corpo livre para cada ioiˆo. Qual ´e o sentido da rotac¸ ˜ao de cada ioiˆo? (Tente fa-zer essa experiˆencia!) Explique suas respostas.
Figura P10.71
P10.83 Um cilindro homogˆeneo de massa M e raio 2R est´a em repouso sobre o topo de uma mesa. Um fio ´e ligado por meio de um suporte duplo preso `as extremidades de um eixo sem atrito passando atrav´es do centro do ci-lindro de modo que o cici-lindro pode girar em torno do eixo. O fio passa sobre uma polia em forma de disco de massa M e raio R montada em um eixo sem atrito que passa em seu centro. Um bloco de massa M ´e sus-penso na extremidade livre do fio (Figura P10.83). O fio n˜ao desliza sobre a superf ´ıcie da polia, e o cilindro rola sem deslizar sobre o topo da mesa. Calcule o m ´odulo da acelerac¸˜ao do bloco quando o sistema ´e libertado a partir do repouso.
P10.91 Um p´assaro de 500,0 g est´a voando a 2,25 m/s, quando inadvertidamente colide com uma barra vertical fixa, atingindo-a 25,0 cm abaixo do topo (Figura P10.91). A barra homogˆenea com 0,750 m de comprimento e massa de 1,50 kg est´a presa por uma dobradic¸a na sua base. A colis˜ao atordoa o p´assaro, que cai ao ch˜ao em seguida. Qual ´e a velocidade angular da barra a) logo ap ´os ser atingida pelo p ´assaro e b) assim que atinge o solo?
Figura P10.91
E13.35 Um rel´ogio d´a quatro tiques a cada segundo; cada tique corresponde `a metade do per´ıodo. A roda catarina do rel´ogio consiste em uma fina camada circular com raio de 0,55 cm conectada ao conjunto da roda por meio de raios com massas desprez´ıveis. A massa total da roda ´e igual a 0,90 g. a) Qual ´e o momento de in´ercia da roda em torno do eixo central? b) Qual ´e a constante de torc¸ ˜ao da mola capilar?
E13.50 Desejamos suspender um aro fino usando um prego e fazer o aro executar uma oscilac¸˜ao completa com ˆangulo pequeno a cada 2,0 s. Qual deve ser o valor do raio do aro?
E13.53 Dois pˆendulos possuem as mesmas dimens˜oes (compri-mento L) e massa total (m). O pˆendulo A ´e uma esfera bem pequena oscilando na extremidade de uma barra uniforme de massa desprez´ıvel. No p ˆendulo B, me-tade da massa pertence `a bola e a outra meme-tade `a barra uniforme. Encontre o per´ıodo de cada p ˆendulo para oscilac¸˜oes pequenas. Qual dos dois p ˆendulos leva mais tempo para completar uma oscilac¸ ˜ao?
E13.55 Cada um dos dois pˆendulos mostrados na Figura E13.55 consiste em uma s´olida esfera uniforme de massaM sus-tentada por uma corda de massa desprez´ıvel, por ´em a esfera do pˆendulo A ´e muito pequena, enquanto a es-fera do pˆendulo B ´e bem maior. Calcule o per´ıodo de cada pˆendulo para deslocamentos pequenos. Qual das esferas leva mais tempo para completar uma oscilac¸ ˜ao?
Figura E13.55
P13.88 Dois cilindros homogˆeneos de raio R e massa total M
s˜ao conectados ao longo de seu eixo comum por uma barra leve e curta, e est˜ao em repouso sobre uma mesa horizontal. Uma mola cuja constante ´e k possui uma ex-tremidade presa na mesa por uma brac¸adeira e sua ou-tra extremidade ´e ligada a um anel sem atrito no cen-tro de massa dos cilindros (Figura P13.88). Os cilindros s˜ao puxados para a esquerda esticando a mola at ´e uma distˆancia x, e a seguir s ˜ao libertados. Existe entre o topo da mesa e os cilindros um atrito suficiente para fazer os cilindros rolarem sem deslizar `a medida que eles osci-lam na extremidade da mola. Mostre que o movimento do centro de massa dos cilindros ´e um MHS, e calcule o seu per´ıodo em termos de M e de k. (Sugest˜ao: O mo-vimento ´e harmˆonico simples quando a acelerac¸˜ao ax e
o deslocamento x s˜ao relacionados mediante a Equac¸ ˜ao (13.8) e o per´ıodo ´e ent˜ao dado por T = 2π/ω. Apli-que as relac¸ ˜oesτ z = I cmαz e F x = M acmx para os
cilindros a fim de obter uma relac¸ ˜ao entre acmx e o
des-locamento x dos cilindros de sua posic¸˜ao de equil´ıbrio.]
Figura P13.88
P13.91 Uma barra met´alica delgada e homogˆenea de massa M
possui um pivˆo em seu centro por onde passa um eixo perpendicular `a barra. Uma mola horizontal cuja cons-tante ´e k possui uma extremidade presa na parte infe-rior da barra e sua outra extremidade est´a rigidamente presa a um suporte. Quando a barra ´e deslocada for-mando um pequeno ˆangulo θ com a vertical (Figura P13.91) e libertada, mostre que a oscilac¸ ˜ao ´e um movi-mento harm ˆonico angular e calcule seu per´ıodo. (Su-gest˜ao: Suponha que o ˆanguloθ seja suficientemente pe-queno para que as relac¸ ˜oes sen θ ≈ θ e cos θ ≈ 1 sejam
aproximadamente v´alidas. O movimento ´e harmˆonico simples quando d2
θ/dt2
= −ω2θ e o per´ıodo ´e ent˜ao
dado por T = 2π/ω.)
P13.93 Duas hastes delgadas, cada uma delas com massa m e comprimento L, s ˜ao conectadas perpendicularmente de modo a formarem um objeto em forma de L. Esse ob- jeto ´e equilibrado no topo de uma aresta aguda (Figura P13.93). Quando o objeto em forma de L ´e deslocado ligeiramente, ele oscila. Ache a frequˆencia da oscilac¸ ˜ao.
Figura P13.93
P13.94 Vocˆe deseja construir um pˆendulo com um per´ıodo de
4,00 s em um local onde g = 9,80 m/s2
. a) Qual ´e o comprimento de um pˆendulo simples com esse per´ıodo? b) Suponha que o pˆendulo deve ser montado em uma caixa que n˜ao possui mais do que 0,50 m de altura. Vocˆe pode imaginar um pˆendulo que tenha um per´ıodo de
