Plano de aula. ECG com ruído: o que fazer? Motivação / Importância. Importância. Aplicações. Sinais aleatórios: aplicações em sinais biomédicos

(1)

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ro

ce

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es

to

cá

sti

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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie

Sinais aleatórios: aplicações em sinais

biomédicos

Sérgio S Furuie

Ref. específicas: Cap. 2-Semmlow

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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 2

Plano de aula

•  Motivação: o que é e para que serve?

•  Tipos de sinais e representação de sinais

•  Ruídos

•  Processos estocásticos e ergódicos

–  pdf

–  Operador E( )

–  independentes

•  Correlação/correlação cruzada

–  Relação entre espectro e correlação

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ECG com ruído: o que fazer?

3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 0 5 EC G 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 0 5 p. bai x a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 0 2 4 p. al ta 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 0 2 4 not c h

< 70 Hz

> 0.05 Hz

exclusão

60, 180,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 0 5 EC G 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 0 5 p. bai x a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 0 2 4 p. al ta 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 0 2 4 not c h 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 0 5 EC G 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 0 5 p. bai x a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 0 2 4 p. al ta 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 0 2 4 not c h 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 0 5 EC G 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 0 5 p. bai x a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 0 2 4 p. al ta 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 0 2 4 not c h

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Motivação / Importância

•  Muitos fenômenos físicos de interesse da

engenharia são representados por sinais

temporais

– determinísticos: velocidade, aceleração (em

condições ideais), ...

– E aqueles que não podem ser preditos com

precisão=> dados e fenômenos randômicos

•  Ex.: intervalo RR do ritmo cardíaco

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Importância

•  Lidar com a indeterminação na medição

– valor esperado

– variabilidade

– intervalo de confiança

– Ex.: T=37 ± 0,5

•  Caracterização do ruído

– otimização da estimativa das variáveis

– otimização de processos estocásticos

– Ex.: filtro de Wiener, Maximum likelihood

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es

to

cá

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co

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Aplicações

•  Filtragem de eventos de interesse

•  Atenuação do ruído

•  Análise de componentes

•  Deteção de eventos

•  Determinação de causa e efeito

•  Modelagem

•  Relação e correlação com outros eventos

•  ...

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to

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co

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Sinais

•  Sinais determinísticos: conteúdo no tempo e freq.

•  Sinais aleatórios: valores “ao acaso”. São

caracterizados:

–  pela probabilidade (caso discreto)

–  pela função densidade de probabilidade (caso contínuo)

7 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x3(t) 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x1(t) 0 50 100 150 200 250 300 70 80 90 100 110 120 130 140 t x4(t)

t

1

t

2

x

1

(t)

x

2

(t)

x

n

(t)

t

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0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x3(t) 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x1(t) 0 50 100 150 200 250 300 70 80 90 100 110 120 130 140 t x4(t)

t

1

t

2

x

1

(t)

x

2

(t)

x

n

(t)

t

Temos vários sinais temporais de um fenômeno

Ruidoso com SNR baixo: o que fazer?

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Processos estocásticos

•  Manifestação de fenômenos aleatórios

•  Caracterizado pela distribuição de probabilidade

•  Variável aleatória com dependência temporal ou

espacial (contínua ou discreta)

–  X(t)

–  Ex.: ruído em ECG

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Ruídos

•  Ruídos inerentes ao fenômeno físico

–  efeito da respiração em ECG;

–  sinal da Mãe em ECG fetal

•  Ruído ambiente, incluindo interferências

–  Acoplamento/indução de 60 Hz em sinais

•  Ruído do transdutor

–  Detector de fótons (processo Poisson)

•  Ruído eletrônico (DC a ~10

12 _{Hz): branco}

–  Ruído térmico (Johnson): fontes resistivas

–  Ruído de disparo (shot noise):semicondutores

10

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Exemplo em Matlab

=>

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Exemplo

•  Melhorar o estimador (variabilidade) com a

raiz quadrada do número de amostras

– potencial evocado

– gated blood pool

– gated SPECT

– gated MRI

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Sinais ruidosos. Como medir similaridade ou relação?

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Correlação entre sinais amostrados

•  Média,Variância,

Desvio-padrão

•  Coeficiente de

correlação

–  Normalizado entre [0,1]

–  Extraídas as médias

–  Normalizado pelo d.

Padrão

•  Covariância

–  Variação sem

considerar a média

–  (sem normalização por

N-1)

–  Variância de x=cov(x,x)

–  Operador correlação

14

!

xy

=

(x(n) ! m

x

).(y(n) ! m

y

)

0 N !1

"

x(n) ! m

x

(

)

0 N !1

"

2

.

0

(

x(n) ! m

x

)

N !1

"

2

cov

xy

=

0

(x(n) ! m

x

).(y(n) ! m

y

)

N !1

"

!

xy

=

cov

xy

"

x

."

y

Matlab: corrcoef()

m

x

=

1 N

0

x(n)

N !1

"

!

2 x

=

1 N !1

₀

(x(n) ! m

x

)

2 N !1

"

cov

xy

=

0

(x(n) ! m

x

).(y(n) ! m

y

)

N !1

"

Escalares.Generalização: matriz de covariancias

co rr

xy

=

0

x(n).y(n)

N !1

"

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Como analisar mais de 2 sinais?

•  Matriz de

covariancias

•  Sinais x

₁

,x

₂

,…x

_N

15

cov

x1, x2,.., xN

= cov

x!

=

c

11

c

12

c

1N

c

21

c

22

c

2 N

c

N 1

c

N 2

c

NN

!

"

#

$

%

&

c

ij

= cov

xi, xj

=

_n=0

(x

i

(n) ' m

xi

).(x

j

(n) ' m

xj

)

N '1

(

corr

x!

=

_!

ij

!

"

#

$

%

&

!

ij

=

c

ij

c

ii

.c

jj

E se quisermos verificar um sinal ao longo do outro?

Matlab: cov(), corr()

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Correlação cruzada ou função correlação

•  Seja x(n), n=0,N-1

•  y(n), n=0,M-1

•  M<N

•  Obs.:

–  atentar para os limites

de k= [-(N-1),M-1]

–  Se necessário usar

normalização pelo

número de parcelas

16

co rr

xy

(k) =

_n=0

x(n).y(n + k)

M !1

"

1 2 3 4 5 6 7 -4000 -2000 0 2000 Tempo (s) EEG 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 20 40 60 80 100 1 2 3 4 5 6 7 -4000 -2000 0 2000 Tempo (s) EEG 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 20 40 60 80 100

E se for entre o sinal e ele mesmo? Autocorrelação

Matlab: xcov(), xcorr()

0 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 0 2 4 si n a l entropia= 0.876 freq.amost= 200 Hz -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1 0 1 aut oc or r 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 fft -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 hi s togr am a

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Função autocorrelação

•  Seja x(n), n=0,N-1

•  Obs.:

–  atentar para os limites

de k= [-(N-1),N-1]

–  Número de parcelas não

é constante!

–  Se necessário usar

normalização pelo

número de parcelas

17

co rr

xx

(k) =

_n=0

x(n).x(n + k)

N !1

"

k = !(N !1), (N !1)

Matlab: xcorr()

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Sinal ECG:quasi-periódico, quasi-estac.

(4)

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to

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s

observações

Definição mais geral (x(t), h(t): complexas, não-causais),

porém não são médias (consistencia com convolução)*:

19

∫

−∞∞

+

=

h

x

h

t

x

t

dt

corr

hx

(

τ

)



(

τ

)

*

(

).

(

τ

).

*Oppenheim (1989);Gonzalez(1993)

Se h(t) e x(t) forem reais:

)

(

).

(

).

(

)

(

)

(

τ

=

τ

=

_∫

∞

+

τ

=

−

τ

∞ − xh hx

h

x

h

t

x

t

dt

corr



h

! x(

!

) =

x(t).h(t !

!

). dt

!" "

#

=

x(t).h[!(

!

! t)]. dt

!" "

#

$(h! x)(

!

) = [h(!t) % x(t)](

!

)

Ou seja, a correlação entre um template h(t) e sinal x(t) em um ponto t

0

:

a)  Corresponde à ponderação de x(t) com h(t-t

0

);

b)  Corresponde também à convolução entre [x(t),h(-t)]

c)  É a saída de um filtro com resposta impulsiva h(-t)

conv

hx

(

!

) = h ! x(

!

) =

_"#

h(t).x(

!

" t). dt

#

$

=

$

_"##

x(t).h(

!

" t). dt

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Representação de sinais

1.  Sinal no tempo x(t)

–  Evolução temporal

–  Derivadas, duração, amplitudes, ...

2.  Qual o conteúdo em frequência do sinal? Tipos de

ruído? =>

Sinal no domínio da frequência [reversível]

3.  Qual a distribuição das amplitudes do sinal x(t)?

Variabilidade? Valores com maior ocorrência? =>

função densidade de probabilidade (pdf) [irreversível]

4.  Como se relaciona com os pontos vizinhos? =>

Autocorrelação [irreversível]

(obs.: relacionado com 2)

5.  Qual o padrão (assinatura) do sinal? Representação

multidimensional. Qual a correlação entre sinais?=>

scatterplot [reversível]

23

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co

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Sinal constante: determinístico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 2 si n a l entropia= 0.000 freq.amost= 1000 Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 2 aut oc or r 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 1000 2000 fft 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.5 1 hi s togr am a

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Sinal periódico: determinístico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -5 0 5 per iodi c o entropia= 1.314 freq.amost= 1000 Hz -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 aut oc or r 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 1000 2000 fft -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.05 0.1 hi s togr am a

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ce

ss

o

s

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to

cá

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co

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Sinal ECG:periódico,

quasi-estac.

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m

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s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

sinal estacionário

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -10000 -5000 0 5000 si n a l entropia= 1.355 freq.amost= 100 Hz -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -0.5 0 0.5 1 aut oc or r 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 5 10x 10 5 fft -60000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 0.05 0.1 hi s togr am a

(5)

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to

cá

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co

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Sinal branco gauss.:

aleat..estac.,não-corr.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -50 0 50 si n a l entropia= 1.126 freq.amost= 100 Hz -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -0.5 0 0.5 1 aut oc or r 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 fft -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 0.1 0.2 hi s togr am a

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to

cá

sti

co

s

sinais

0 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 0 2 4 si n a l entropia= 0.876 freq.amost= 200 Hz -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1 0 1 aut oc or r 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 fft -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 hi s togr am a 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 2 si n a l entropia= 0.000 freq.amost= 1000 Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 2 aut oc or r 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 1000 2000 fft 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.5 1 hi s togr am a 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -5 0 5 per iodi c o entropia= 1.314 freq.amost= 1000 Hz -2 -1.5-1-0.5 00.511.5 2 -1 0 1 aut oc or r 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 1000 2000 fft -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.05 0.1 hi s t ogr am a 0 123 45 678 -10000 -5000 0 5000 si n a l entropia= 1.355 freq.amost= 100 Hz -8-6 -4-2 02 468 -0.5 0 0.5 1 aut oc or r 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 5 10x 10 5 fft -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 30000 0.05 0.1 hi s t ogr am a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -50 0 50 si n a l entropia= 1.126 freq.amost= 100 Hz -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -0.5 0 0.5 1 aut oc or r 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 fft -30-20 -100 10 20 30 40 0 0.1 0.2 hi s t ogr am a

si

na

l

co

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PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Resumindo: Sinais

•  Sinais determinísticos: conteúdo no tempo e freq.

•  Sinais aleatórios: valores “ao acaso”. São

caracterizados:

–  pela probabilidade (caso discreto)

–  pela função densidade de probabilidade (caso contínuo)

30 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x3(t) 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x1(t) 0 50 100 150 200 250 300 70 80 90 100 110 120 130 140 t x4(t)

t

1

t

2

x

1

(t)

x

2

(t)

x

n

(t)

t

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

PROBABILIDADE

31

PT

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45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Teoria: definição de V.A

•  Dado um fenômeno aleatório com

observável X

•  Probabilidade: função Prob: A -> [0,1]

–  A é subconjunto do espaço amostral Ω

–  Prob(Ω)=1

–  Prob(U {A

j

})=Σ Prob(A

j

), A

j

disjuntos

PT

C

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45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Campos aleatórios

•  Extensão multi-variada de v.a

•  vetores de v.a

– X=[ X

1 X

2 ... X

n

]’

– Ex.: pixels vizinhos em imagens médicas,

EEG, ECG de múltiplos canais, ...

Ultra-som

(6)

PT

C

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45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Variável aleatória

•  Variável aleatória

– v.a discreta: assume valores num conjunto

enumerável com certa probabilidade [Prob

(X=a)=p]

•  número de enfartes

– v.a contínua: assume valores num intervalo de

números reais [ Prob( a≤X<b)=p]

•  temperatura, intervalo RR

•  Função

•  E(X)

•  Momentos

00 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

PT

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Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

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m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Teoria: função distr. Prob.

•  Função discreta de probabilidade

– X: v.a discreta com espaço amostral Ω

– f(x)=Prob(X=x)

•  Função densidade de probabilidade

– X: v.a contínua

– ∫

a

b

f(x)dx=Prob( a ≤ X ≤ b)

– f(x) >=0

•  Função de distribuição de probabilidade

– F(x)=Prob(X ≤ x)

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

/0 5/ 12 36

Exemplos: distribuição normal

2

1

2

1 )

,

(

)

(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

σ

µ

πσ

σ

µ

x

e

N

x

p

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x1(t)

PT

C

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45

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Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Distribuição Poisson

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

!

.

)

(

n

e

n

X

P

_λ

=

−

λ

n

0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Sequência de eventos (λ=3)

Ex. de fdp com λ=3

PT

C

2

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6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

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ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Olhando o sinal de 2 formas distintas

n

x(n)

1

20

2

10

3

20

4

20

5

10 N=5

m

x(n), n=1, N

k

x(k) Ocorrencias P(x)

1

10

2 2/5

2

20

3 3/5

K=2 E(x)

m =

1 N

n=1

x(n)

N

!

E(x) =

x

k

.P(x

k

)

k=1 K

!

PT

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Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

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m

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o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Valor esperado: E( )

∑

=

n

k

i

n

k

i

x

g

p

X

g

E

x

p

X

E

1

1 )

(

.

)]

(

[

.

)

(

∫

∞

−

∞

−

=

dx

x

p

x

g

X

g

E

dx

x

p

x

X

E

).

(

).

(

)]

(

[

).

(

.

)

(

v.a contínua

v.a discreta

(7)

PT

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Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

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o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Momentos de VA

∫

∞

−

=

x

p

x

dx

X

E

₍

k

₎

k

_.

₍

_).

∑

=

n

k

i

k

_p

_x

X

E

1 .

)

(

Valor médio (momento de ordem 1):

Momento de ordem 2:

)

( X

E

=

µ

)

(

2

2 =

E

X

µ

Momentos centrais de ordem k:

σ

k

=

E

[(

X

−

µ

)

k

]

PT

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Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

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o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Estimadores

Dada uma amostra da v.a X: {x

1

,x

2

, ..., x

n

}

∑

∞

→

=

n

i

n

x

n

X

E

1

1 )

(

_lim

µ

∑

−

=

−

=

∞

→

n

i

n

x

n

X

E

1

2

2 (

)

1 ]

)

[(

µ

_lim

µ

σ

Êrro de tendência (bias)

do estimador

=

φ

−

φ

=

∑

φ

−

φ

∞

→

n

i

n

E

1 ˆ

1 )

ˆ

(

_lim

Coef. Variação

do estimador

φ

ε

[(

ˆ

(

ˆ

))

]

2 E

E

r

−

=

PT

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2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Por que 1/(N-1)?

42 xi: amostras ! independentes ! de ! X

µ

= E(x)

!

2 = E[(x !

µ

)2_] estimadores ! de ! var iancias

ˆ

!

2 =1 N (xi!

µ

) 2 i=1 N

"

ˆs2₌1 K (xi! x ) 2 i=1 N

"

x =1 N xi i=1 N

"

E( ˆs2_{) =}N !1 K

!

2

Deduzir!

PT

C

2

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6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

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m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Variabilidade na estimativa da média

∑

=

n

i

x

n

1

1 ˆ

µ

∫

=

T

x

t

dt

T

0 (

).

1 ˆ

µ

Média em

ensemble

Média no

tempo

variabilidade

n

x

µ

σ

r

ε

BT

x

2 µ

σ

Estimador

PT

C

2

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6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Filtro de média síncrona

Tirando proveito da aleatoriedade do ruído

Ruído aditivo com média zero

Exemplo de redução da variância na média

–  Sejam X

1 ,X

2 ,...,X

N

: amostras independentes de uma

variável aleatória X com média 0 e variância σ

2 –  Y: a média de X

–  Qual a média e variância de Y?

44

∑

= =

=

N i i N i i

X

E

N

Y

E

X

N

Y

1 1

0 )

(

1 )

(

1 N

N

X

N

Y

X Y X X N i i

σ

=

∴

=

_∑

= 2 2 2 1 2

.

)

var(

1 )

var(

PT

C

2

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6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

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m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Exemplo

•  Melhorar o estimador (variabilidade) com a

raiz quadrada do número de amostras

– potencial evocado

– gated blood pool

– gated SPECT

– gated MRI

(8)

PT

C

2

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6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

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ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Vetor (campo) randômico

n n

x

X

P

n

x

p

x

X

P

X

∂

=

≤

=

..

.

)

(

2

1 n

2

1

2

1

2 1

)

,...

,

(

}

X

,...

X

,

Prob{X

)

(

]'

,...,

,

[



PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

FORMALIZANDO OS

CONCEITOS: PROC. ESTOC.

47

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Processo estocástico

•  Para um dado fenômeno aleatório, que

produz o registro x(t):

– Ensemble: conjunto de todos os registros que

poderiam ter sido produzidos: {x

i

(t)}

– processo aleatório: descrição do fenômeno

representado por {x

_i

(t)} i=1,2,...

PT

C

2

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6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x3(t) 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x1(t) 0 50 100 150 200 250 300 70 80 90 100 110 120 130 140 t x4(t)

t

1

t

2

x

1

(t)

x

2

(t)

x

n

(t)

t

Ensemble de processos estocásticos

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

ECGs adquiridos em instantes de tempo diferentes:50000ptos

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Processos estacionários

•  Dado ensemble {x(t)}, X(t) é:

•  fortemente estacionário se:

– momentos de qq ordem independem de t (em

geral 1 e 2)

•  fracamente estacionário se:

–  média e autocorrelação independem do

instante t

∫

∞

−

=

t

k

t

k

t

k

_E

_[

_X

_]

_x

_.

_f

₍

_x

_).

_dx

µ

]

.

[

)

,

(

)

(

τ

=

XX

τ

=

t

+

τ

XX

R

t

E

X

R

t

∀

t

∀

]

[

X

t

E

=

µ

(9)

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

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io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x3(t) 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x1(t) 0 50 100 150 200 250 300 70 80 90 100 110 120 130 140 t x4(t)

t

1

t

2

x

1

(t)

x

2

(t)

x

n

(t)

t

processos estocásticos estacionários

PT

C

2

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6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Processos estocásticos: exemplos

•  v.a contínua com tempo contínuo

– ECG

•  v.a discreta com tempo contínuo

– número de fótons em imagens de excreção

renal em Medicina Nuclear

•  v.a contínua com tempo discreto

– série de pressão sistólica, intervalo RR

•  v.a discreta com tempo discreto

– número de nascimentos por região por dia

PT

C

2

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6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

ECGs adquiridos em instantes de tempo diferentes:50000ptos

PT

C

2

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6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x3(t) 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x1(t) 0 50 100 150 200 250 300 70 80 90 100 110 120 130 140 t x4(t)

t

1

t

2

x

1

(t)

x

2

(t)

x

n

(t)

t

processos estocásticos estacionários

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Estatística sobre 25 segmentos de

2000 ptos

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -500 0 500 ec g

media max= 158 sqrt(x2Max)= 452

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -500 0 500 me d ia 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -500 0 500 sq rt (x2 )

media(t)

x

2

_(t)

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Estatística sobre 50 segmentos de 1000 ptos

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -500 0 500 ec g

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -500 0 500 me d ia 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -500 0 500 sq rt (x2 )

media(t)

x

2

_(t)

(10)

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x3(t) 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x1(t) 0 50 100 150 200 250 300 70 80 90 100 110 120 130 140 t x4(t)

t

1

t

2

x

1

(t)

x

2

(t)

x

n

(t)

t

Correlação em instantes de tempo

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Correlação (normalizado) entre V.A

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1 0 1 t= 1 ,2 ,3 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1 0 1 t= 1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1 0 1 t= 1 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -1 0 1 t= 3 0 0

50 blocos

de 500

xcorr(τ ;Δt)

{entre x(t)

e x(t+ Δt )}

Note o efeito do do xcorr devido ao preenchimento por zeros

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Processos ergódicos

•  Processos estacionários com momentos e

autocorrelações iguais aos obtidos nos

sinais temporais

∫

∞

−

=

t

k

t

k

t

x

f

x

dx

X

E

[

]

.

(

).

=

T

_→

_∞

_∫

T

x

k

t

dt

T

0 (

).

1 lim

∑

=

∞

→

+

=

n

i

n

_n

x

t

x

t

1 )

(

).

(

1 lim

τ

]

.

[

)

(

τ

=

t

+

τ

XX

E

X

R

∫

+

=

→

∞

T

i

T

x

t

x

t

dt

T

0 (

).

(

)

1 lim

τ

t

∀

i

∀

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x3(t) 0 50 100 150 200 250 300 60 70 80 90 100 110 120 130 t x1(t) 0 50 100 150 200 250 300 70 80 90 100 110 120 130 140 t x4(t)

t

1

t

2

x

1

(t)

x

2

(t)

x

n

(t)

t

processos estocásticos ergódicos

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Ergodicidade: amostras no instante

5 10 15 20 25 -500 0 500 am os tr as de ec g

estatistica no tempo: media max= 28 sqrt(x2Max)= 294

5 10 15 20 25 -500 0 500 me d ia 5 10 15 20 25 -500 0 500 sq rt (x2 )

k=1

25 sinais

PT

C

2

45

6 –

Pro

c.

Si

na

is

Bi

omé

di

co

s

Si

n

ai

s

b

io

m

éd

ic

o

s:

p

ro

ce

ss

o

s

es

to

cá

sti

co

s

Estatística sobre 25 segmentos de

2000 ptos

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -500 0 500 ec g

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -500 0 500 me d ia 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -500 0 500 sq rt (x2 )