LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA PROPOSICIONAL

Proposições – frases AFIRMATIVAS que aceitam julgamento:

Verdadeiro - Falso -

Acontece Não acontece

Há frases que não aceitam valorações lógicas – Verdadeiro/Falso

Exemplos:

1) Interrogativas: Que dia é hoje? 2) Exclamativas: Viva!; Parabéns!

3) Ordens: Faça o relatório ainda hoje. 4) Com variável LIVRE:

Há frases que não aceitam valorações lógicas – Verdadeiro/Falso

Exemplos:

Qual a idade de Ana? Viva!; Parabéns! Legal!

Faça o relatório ainda hoje. X + Y é par

Esta frase não existe.

Não sei o que fazer nesta questão. 3 + 4

PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS

Exemplo:

A: João é um bom aluno B: Maria tem 30 anos

CONECTIVO NEGAÇÃO

Não é verdade que .... É falso que ....

Símbolos ~ A A Diagrama Lógico _A ~ A ~ C C

Negar alguma coisa duas vezes, obtemos a mesma coisa.

~ ~ V = V

ATENÇÃO: Dupla negação.

Exemplo: Na língua portuguesa

entendemos a expressão “não tenho nenhum dinheiro” como a ausência de dinheiro. Em lógica indica que possui algum dinheiro.

É uma tabela de possibilidades. Indica o que pode acontecer.

Exemplo: Dadas as proposições simples A: O cão late

B: O gato mia

TABELA-VERDADE

Uma tabela verdade para 3 proposições A: O cão late

B: O gato mia

A: O cão late B: O gato mia C: O pássaro canta

CONECTIVO CONJUNÇÃO

A B A B

CONECTIVO DISJUNÇÃO

INCLUSIVA

A B A B

CONECTIVO DISJUNÇÃO

EXCLUSIVA

A B A B

CONECTIVO IMPLICAÇÃO LÓGICA

- CONDICIONAL

Símbolo B S Em frases com... Se..., então.... Se..., ... ..., Se...

B S B S

CONECTIVO DUPLA-IMPLICAÇÃO /

BI-CONDICIONAL

B C B C

RESUMÃO

1) (Não) A negação é o AVESSO 2) (... e ...)

3) (...ou...)

4) (Ou... Ou ...) Valores contrários = 5) (Se..., então...)

6) (... se e só se...) Valores idênticos=

PROPRIEDADES DOS CONECTIVOS

Associativa:

Exercícios: Com base na valoração das proposições simples.

Val ( p ) = V / Val ( q ) = F / Val ( r ) = V Determine os valores das sentenças

Val ( p ) = V / Val ( q ) = F / Val ( r ) = V

)

(

~

)

~

(

p

q

r

p

)

(

)

~

(~

p

q

r

p

Para que valores de p, q, r, s e t,

respectivamente, a proposição acima é verdadeira? a) V, V, V, V, V b) V, F, V, F, F c) F, F, V, F, F d) F, V, F, V, F e) F, F, V, V, V

NEGAÇÕES DE PROPOSIÇÕES

COMPOSTAS

A negação de "2 é par e 3 é ímpar" é: a) 2 é par e 3 é par. b) 2 é par ou 3 é ímpar. c) 2 é ímpar e 3 é par. d) 2 é ímpar e 3 é ímpar. e) 2 é ímpar ou 3 é par.

A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é:

a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá.

b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá.

c) Hoje não é segunda feira, então, amanhã choverá.

d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá.

e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá.

A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é:

a) Milão não é a capital da Itália.

b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.

d) Paris não é a capital da Inglaterra.

e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

A negação de "Se A é par e B é ímpar, então A + B é ímpar" é:

a) Se A é ímpar e B é par, então A + B é par. b) Se A é par e B é ímpar, então A + B é par. c) Se A + B é par, então A é ímpar ou B é

par.

d) A é ímpar, B é par e A + B é par. e) A é par, B é ímpar e A + B é par.

A negação de “Se estudei bem, então serei aprovado” é:

a) Se estudei bem, então não serei aprovado. b) Se não for aprovado, então não estudei

bem.

c) Estudei bem e serei aprovado.

d) Estudei bem ou não serei aprovado. e) Estudei bem e não serei aprovado.

A negação da sentença "A Terra é chata e a Lua é um planeta." é:

a) Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta.

b) Se a Lua não é um planeta, então a Terra não é chata.

c) A Terra não é chata e a Lua não é um planeta. d) A Terra não é chata ou a Lua é um planeta.

Uma proposição logicamente equivalente à

negação da proposição "se o cão mia, então o gato não late" é a proposição

a) o cão mia e o gato late. b) o cão mia ou o gato late.

c) o cão não mia ou o gato late. d) o cão não mia e o gato late.

EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS

ATENÇÃO

Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,

a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

Uma sentença logicamente equivalente a “ Se Ana é bela, então Carina é feia” é:

a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia.

b) Ana é bela ou Carina não é feia. c) Se Carina é feia, Ana é bela.

d) Ana é bela ou Carina é feia.

e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros

aumenta”. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:

a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.

b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.

“A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”

c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.

d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.

e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.

(ESAF) A proposição p ∧ (p → q) é

logicamente equivalente à proposição:

a) p ∨ q b) ~p

c) p d) ~q

(ESAF) A proposição “Paulo é médico ou Ana não trabalha” é logicamente

equivalente a:

a) Se Ana trabalha, então Paulo é médico. b) Se Ana trabalha, então Paulo não é

médico.

c) Paulo é médico ou Ana trabalha.

d) Ana trabalha e Paulo não é médico.

NOMES ESPECIAIS PARA

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

TAUTOLOGIA: CONTRADIÇÃO: CONTINGÊNCIA:

Como identificar essas sentenças

especiais sem construir tabela-verdade? 1º - Pensando nas negações/equivalências e nas regras de conectivos

Como identificar essas sentenças

especiais sem construir tabela-verdade? 1º - Pensando nas negações/equivalências e nas regras de conectivos

Como identificar essas sentenças

especiais sem construir tabela-verdade? 1º - Pensando nas negações/equivalências e nas regras de conectivos

2º - Raciocinando sobre a sentença, uma vez que não se enquadra no 1º caso.

Chama-se tautologia à proposição composta que possui valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a compõem. Sejam p e q proposições

simples e ~p e ~q as suas respectivas

negações. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição composta,

formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? a) p ^ q b) p ^ ~q c) (p ^ q)  (~p ^ q) d) (p v q)  (p ^ q) e) (p ^ q)  (p ^ q)

Considerando que P e Q sejam proposições e que Λ, V, ¬ e → sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, "e", "ou", "negação" e o "conectivo condicional",

assinale a opção que apresenta uma tautologia.

a) P → (P V Q)

b) (P V Q) → (P Λ Q) c) (¬ P v ¬ Q) → (¬ P) d) (P Λ Q) → ¬ Q

ARGUMENTOS LÓGICOS

Um argumento é um encadeamento de proposições, que chamamos de premissas, juntamente com a conclusão das mesmas.

O argumento lógico pode ser válido ou inválido, conforme a conclusão possa ou não ser derivada COM CERTEZA das premissas .

As premissas sempre são tidas como verdadeiras SOMENTE para efeito de definir a validade ou não do argumento.

Observe o argumento:

P1: Todos os cães têm asas.

P2: Todos os animais de asas são aquáticos. P3: Há gatos que são cães

C: Logo, há gatos que são aquáticos.

Chamando o argumento de A, as premissas de P e a conclusão de C, é correto afirmar que:

a)A é válido, P é verdadeira e C é falsa.

b)A é inválido, P é verdadeira e C é falsa. c)A é válido, P e C são falsas

Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim,

a) não viajo e caso. b) viajo e caso.

c) não vou morar em Pasárgada e não viajo.

d) compro uma bicicleta e não viajo. e) compro uma bicicleta e viajo.

Antonio é baiano ou Catarina é

catarinense. Se Clotilde é capixaba, então Gisele não é gaúcha. Se Catarina é

catarinense, então Gisele é gaúcha. Ora, Clotilde é capixaba, logo:

Antonio é baiano

Catarina é catarinense Clotilde é capixaba

Gisele é gaúcha.

a) Catarina é catarinense ou Gisele é gaúcha.

b) Antonio é não-baiano e Catarina é catarinense.

c) Antonio é baiano e Catarina não é catarinense.

d) Gisele é gaúcha e Antônio é baiano. e) Clotilde é capixaba e Gisele é gaúcha.

Se Lucas foi de carro, Eliana não foi de ônibus. Se Eliana não foi de ônibus, Antônio foi de moto. Se Antônio foi de moto, Rafaela não foi de táxi. Como Rafaela foi de táxi, podemos concluir que

a) Lucas foi de carro e Eliana foi de ônibus.

b) Antônio não foi de moto e Lucas foi de carro. c) Eliana não foi de ônibus e Antônio não foi de moto.

d) Lucas não foi de carro e Eliana não foi de ônibus.

(ESAF) Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. Se Pedro não é professor, então Murilo trabalha. Se Murilo trabalha, então hoje não é

domingo. Ora, hoje é domingo. Logo,

a) Marta não é estudante e Murilo trabalha.

b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha. c) Marta é estudante ou Murilo trabalha.

d) Marta é estudante e Pedro é professor. e) Murilo trabalha e Pedro é professor.

Temos por quantificadores lógicos o seguinte:

Universal – “todo” . Símbolo -

Restrito – “existe algum”, “existe pelo menos um”, “algum”. Símbolo -

Sempre que temos questões com quantificadores, devemos resolver

preferencialmente por diagramas lógicos.

QUANTIFICADORES LÓGICOS

Todo biólogo é estudioso. Existem

esportistas que são estudiosos. Ana é

bióloga e Júlia é estudiosa. Pode-se, então, concluir que

a) Ana é estudiosa e Júlia é esportista. b) Ana é estudiosa e Júlia pode não ser bióloga nem esportista.

c) Ana é esportista e Júlia é bióloga.

d) Ana é também esportista e Júlia pode não ser bióloga nem esportista.

e) Ana pode ser também esportista e Júlia é bióloga.

Em uma cidade, todo pai de pai de família é cantor. Todo filósofo, se não for

marceneiro, ou é pai de família ou é

arquiteto. Ora, não há marceneiro e não há arquiteto que não seja cantor. Portanto,

a. todo cantor é filósofo. b. todo filósofo é cantor.

c. todo cantor é marceneiro ou arquiteto. d. algum marceneiro é arquiteto.

(ESAF) Em uma cidade as seguintes premissas são verdadeiras: Nenhum

professor é rico. Alguns políticos são ricos. Então, pode-se afirmar que:

a) Nenhum professor é político.

b) Alguns professores são políticos. c) Alguns políticos são professores.

d) Alguns políticos não são professores. e) Nenhum político é professor.

NEGAÇÃO DE QUANTIFICADORES

LÓGICOS

Há uma regra muito simples.

Quando negamos o TODO, vamos para o EXISTE ALGUM e vice-versa.

A negação de "todos os números inteiros são positivos" é:

a) nenhum número inteiro é positivo. b) nenhum número inteiro é negativo.

c) todos os números inteiros são negativos. d) alguns números positivos não são

inteiros.

e) alguns números inteiros não são positivos.

A negação da sentença "Todas as mulheres são elegantes" está na alternativa:

a) Nenhuma mulher é elegante.

b) Todas as mulheres são deselegantes. c) Algumas mulheres são deselegantes. d) Nenhuma mulher é deselegante.

Uma empresa cercou a lateral do seu terreno com uma grade de ferro, formada por barras paralelas e pintou cada barra de uma cor,

usando as cores amarela (A), rosa (R), branca (B), laranja (L) e vermelha (V), obedecendo a seguinte ordem:

A A A A A V V V B B B R R L L L L L..., conforme ilustra a figura.

Mantendo-se sempre essa mesma sequência de cores e suas respectivas quantidades e sabendo que a grade toda possui 403 barras, a última barra será da cor

(A) rosa. (B) laranja. (C) vermelha. (D) branca. (E) amarela.

Qual é o 70º termo da seqüência de números (an) definida acima? a) 2 b) 1 c) - 1 d) - 2 e) - 3

Observe as figuras a seguir.

A soma dos valores de X e Y é igual a a) 34

b) 38 c) 42 d) 45 e) 49

Verificando a sequência

8, 10 , 11, 14, 14, 18, 17, 22, ..., o valor do próximo termo é:

a) 18 b) 19 c) 16 d) 21 e) 20

8, 10 , 11, 14, 14, 18, 17, 22, ...,

Com frequência, operações que observam certos padrões conduzem a resultados curiosos:

Calculando 111111111 111111111 obtém-se um número cuja soma dos algarismos está

compreendida entre a) 115 e 130. b) 100 e 115 c) 85 e 100. d) 70 e 85. e) 55 e 70.

Seis pessoas, entre elas Marcos, irão se sentar ao redor de uma mesa circular, nas posições indicadas pelas letras do esquema abaixo. Nesse esquema, dizemos que a

posição A está à frente da posição D, a posição B está

entre as posições A e C e a posição E está à esquerda da posição F.

Sabe-se que:

- Pedro não se sentará à frente de Bruno. - Bruno ficará à esquerda de André e à

direita de Sérgio.

Nessas condições, é correto afirmar que a) Pedro ficará sentado à esquerda de Luís. b) Luís se sentará entre André e Marcos.

c) Bruno ficará à frente de Luís.

d) Pedro estará sentado à frente de Marcos. e) Marcos se sentará entre Pedro e Sérgio.

Em uma empresa, as funções de diretor, programador e gerente são ocupadas por Ciro, Dario e Éder, não necessariamente nesta ordem. O programador, que é filho

único, é o mais velho dos três. Éder, que se casou com a irmã de Dario, é mais novo

a) Éder é o programador. b) Dario é o gerente.

c) Éder é o diretor. d) Ciro é o diretor.

Alcides, Ferdinando e Reginaldo foram a

uma lanchonete e pediram lanches distintos entre si, cada qual constituído de um

sanduíche e uma bebida. Sabe-se também que:

− os tipos de sanduíches pedidos eram de presunto, misto quente e hambúrguer;

− Reginaldo pediu um misto quente;

− um deles pediu um hambúrguer e um suco de laranja;

− Alcides pediu um suco de uva; − um deles pediu suco de acerola.

− os tipos presunto, misto e hambúrguer; − Reginaldo - misto quente;

− um deles - hambúrguer e um suco laranja; − Alcides - suco de uva;

− um deles - acerola.

Nessas condições, é correto afirmar que

ALC FER REG

ham pre mis ace lar uva ham pre mis ham pre mis ace lar uva ace lar uva

(A) Alcides pediu o sanduíche de presunto. (B) Ferdinando pediu o sanduíche de

presunto.

(C) Reginaldo pediu suco de laranja. (D) Ferdinando pediu suco de acerola. (E) Alcides pediu o hambúrguer.

ALC FER REG

ham pre mis ace lar uva ham pre mis ham pre mis ace lar uva ace lar uva

Marcelo tem quatro filhos, sendo duas meninas e dois meninos: Fabiana, Carolina, Diogo e Antônio. Considere que dois de seus filhos aniversariam hoje e são gêmeos e que:

Carolina é um ano mais nova que Diogo e Antônio é quatro anos mais velho que Fabiana;

Diogo é quatro anos mais novo que Antônio e Carolina é um ano mais nova que Fabiana;

a soma das idades de Antônio e Carolina é igual a 19 anos.

Assim, é correto afirmar que a) Diogo é um dos gêmeos. b) Antônio é um dos gêmeos.

c) Fabiana não é um dos gêmeos.

Cinco colegas foram a um parque de

diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem

pagar, eles informaram:

– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.

– “Foi a Mara”, disse Manuel.

– “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.

Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi:

(V)

(F)

(V) (V) (V)

Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm

diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de

Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Ana  Bia é tia de Zilda (V) Bia  Cati é irmã de Zilda (F) Cati  Dida é irmã de Zilda (F).

Dida  Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda:

Bia (V) Elisa(F) Bia(F) Elisa(V) Elisa  Ana é tia de Zilda (V)

Assim, o número de irmãs de Zilda:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 (V) (V) (F) (V) (F) (F) (F) (V) (F) (F) (V) (F)

Três amigas: Tânia, Janete e Angélica estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia

sempre fala a verdade. Janete às vezes fala a verdade e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”.

Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está

sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:

Esquerda: “Tânia é quem está sentada no meio”.

Meio: “Eu sou Janete”.

Direita: “Angélica é quem está sentada no meio”.

Esquerda, meio e direita:

a) Janete, Tânia, Angélica b) Janete, Angélica, Tânia c) Angélica, Janete, Tânia d) Angélica, Tânia, Janete e) Tânia, Angélica, Janete

Chapeuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana.

A Raposa e o Lobo Mau eram duas

estranhas criaturas que freqüentavam a floresta A Raposa mentia às segundas,

terças e quartas-feiras , e falava a verdade nos outros dias da semana. O Lobo Mau mentia às quintas, sextas e sábado, mas

falava a verdade nos outros dias da semana. Um dia, Chapeuzinho Vermelho encontrou a Raposa e o Lobo Mau descansando à

Raposa: “Ontem foi um dos meus dias de mentir”

Lobo Mau: “Ontem foi um dos meus dias de mentir”.

A partir dessas afirmações, Chapeuzinho Vermelho descobriu qual era o dia da

semana. Qual era?

DOM SEG TER QUA QUI SEX SAB

RAPOSA V F F F V V V

DOM SEG TER QUA QUI SEX SAB

RAPOSA V F F F V V V

Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu

chamado X para servir-lhe de intérprete.

Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz – Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto

Y fala a verdade?

X intérprete  Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos.

Possibilidades X (V) X (F) Y (V) Y (F) Y (V) Y (F)

a) Y fala a verdade.

b) a resposta de Y foi NÃO. c) ambos falam a verdade. d) ambos mentem. e) X fala a verdade. X (V) X (F) Y (V) Y (F) Y (V) Y (F)

Num país há apenas dois tipos de habitantes: os verds, que sempre dizem a verdade e os falcs, que sempre mentem. Um professor de

Lógica, recém chegado a este país, é informado por um nativo que glup e plug, na língua local, significam sim e não mas o professor não sabe se o nativo que o informou é verd ou falc. Então ele se aproxima de três outros nativos que

estavam conversando juntos e faz a cada um deles duas perguntas:

1ª Os outros dois são verds? 2ª Os outros dois são falcs?

A primeira pergunta é respondida com glup pelos três mas à segunda pergunta os dois primeiros responderam glup e o terceiro

respondeu plug.

Assim, o professor pode concluir que: a) todos são verds;

b) todos são falcs;

c) somente um dos três é falc e glup significa não;

d) somente um dos três é verd e glup significa sim;

1ª Os outros dois são verds? 2ª Os outros dois são falcs?

1 2 3 V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F 1 2 3

1a _{glup glup glup}

a) todos são verds; b) todos são falcs;

c) somente um dos três é falc e glup significa não;

d) somente um dos três é verd e glup significa sim;

Uma propriedade recebida como herança foi dividida entre os membros da família do

seguinte modo:

- 1/2 da propriedade foi dividida entre três irmãos.

- 1/3 da propriedade foi dividida entre duas irmãs.

- A mãe recebeu 3/4 do restante da propriedade.

- Retiradas todas as partes dos membros da família, o restante foi doado para uma

A parte doada foi avaliada em R$ 60.000,00. Assinale a alternativa que indica a avaliação de toda a propriedade:

a) R$ 360.000,00. b) R$ 1.440.000,00. c) R$ 1.370.000,00. d) R$ 480.000,00. e) R$ 1.400.000,00.

- 1/2 da propriedade entre três irmãos. - 1/3 da propriedade entre duas irmãs. - A mãe recebeu 3/4 do restante

A parte doada foi avaliada em R$ 60.000,00. Assinale a alternativa que indica a avaliação de toda a propriedade:

a) R$ 360.000,00. b) R$ 1.440.000,00. c) R$ 1.370.000,00. d) R$ 480.000,00. e) R$ 1.400.000,00.

Deixo 1/3 da quantia que tenho no Banco à

minha única filha, Minerva, e o restante à criança que ela está esperando, caso seja do sexo

feminino; entretanto, se a criança que ela espera for do sexo masculino, tal quantia deverá ser

igualmente dividida entre os dois.”

Considerando que, 1 mês após o falecimento de Astolfo, Minerva teve um casal de gêmeos,

então, para que o testamento de Astolfo fosse atendido, as frações da quantia existente no Banco, recebidas por Minerva, seu filho e sua filha foram, respectivamente:

1/3 Minerva, e o restante à criança sexo feminino;

se sexo masculino, igualmente dividida Minerva teve casal de gêmeos, as frações recebidas por Minerva, seu filho e sua filha foram, respectivamente: a) 1/6; 1/6 e 1/3 b) 1/6; 2/3 e 1/6 c) 2/5; 1/5 e 2/5 d) 1/4; 1/4 e 1/2 e) 1/4; 1/2 e 1/4