Capítulo Diferenciabilidade de uma função

(1)

Cap´ıtulo 2.6 - Diferenciabilidade de uma fun¸

c˜

ao

2.6.1 - Introdu¸c˜ao 2.6.4 - Diferenciabilidade e continuidade

2.6.2 - Diferenciabilidade 2.6.5 - Generaliza¸c˜ao para n vari´aveis 2.6.3 - Diferenciabilidade e derivadas parciais

Este cap´ıtulo trata do aprofundamento do que significa uma fun¸c˜ao ter derivadas parciais em um determi-nado ponto de seu dom´ınio e necessita das leituras complementares do cap´ıtulo 2.3.

2.6.1 - Introdu¸

c˜

ao

Uma pergunta bastante frequente por parte de alunos de Cálculo 2 quando se inicia o estudo de derivadas parciais é o que acontece quando se varia mais de uma variável independente de uma fun¸cão, já que na defini¸cão de derivada parcial apenas uma das variáveis livres é variada, sendo as outras mantidas constantes. Um exemplo foi o que fizemos com a fun¸cão de produ¸cão de Cobb-Douglas, P (K, L) = AKα_L1−α_{, onde calculamos as taxas}

de varia¸c˜ao ∆P ∆K = P_{(K + ∆K, L) − P (K, L)} ∆K e ∆P ∆L = P_{(K, L + ∆L) − P (K, L)} ∆L .

As derivadas parciais com rela¸cão a K e com rela¸cão a L s˜_{ao, respectivamente, os limites para ∆K → 0 e} ∆L → 0 dessas duas taxas de varia¸cão.

No entanto, o que acontece se variarmos K em ∆K e L em ∆L simultaneamente? Teremos, então, uma varia¸c˜_{ao ∆P = P (K + ∆K, L + ∆L) − P (K, L). Fica mais dif´ıcil, agora, definir uma taxa de varia¸cão para} uma mudan¸ca tanto em K quanto em L. Podemos chegar a um maior entendimento de como fazê-lo se nos lembrarmos que a derivada é um limite quando (∆K, ∆L) → (0, 0) e que tal derivada existirá somente se esse limite for o mesmo, independentemente do caminho que é percorrido para chegar até ele.

Podemos simplificar um pouco esse processo se considerarmos uma bola aberta em torno do limite (0, 0) cujo raio seja uma constante real e positiva δ. Como aqui (∆K, ∆L) ´e o elemento de R2que tende a (0, 0), essa bola aberta ser´a dada pelo c´ırculo (∆K)2_{+ (∆L)}2 _{< δ}2_{. Como tanto o lado direito quanto o lado esquerdo s˜}_ao

positivos, podemos escrever

(∆K)2+ (∆L)2 < δ2 _⇔p(∆K)2_{+ (∆L)}2 _{< δ .}

Lembrando agora a defini¸c˜ao de norma de um elemento de R2, podemos escrever essa bola aberta como ||(∆K, ∆L)|| < δ .

Apesar dessa linha de racioc´ınio indicar como podemos definir uma taxa de varia¸cão envolvendo um limite de elementos do R2, ainda não fica muito claro como definir rigorosamente uma taxa de varia¸cão envolvendo os limites de duas ou mais varia¸cões simultâneas. Isto será feito na se¸cão seguinte, baseado na defini¸cão para uma fun¸cão de uma variável real.

2.6.2 - Diferenciabilidade

O que significa dizer que uma fun¸cão f é diferenciável (ou derivável) em um determinado ponto? Para uma fun¸cão de uma variável, f = f (x), ser diferenciável em x = x0 significa que f′(x0) existe, o que implica em

lim ∆x→0 f(x0+ ∆x) − f(x0) ∆x = f ′_(x 0) ,

(2)

onde f′_(x

0) ´e um n´umero real.

Podemos escrever essa equa¸c˜ao da seguinte forma: lim ∆x→0 f(x0+ ∆x) − f(x0) ∆x = f ′_{(x) ⇔ lim} ∆x→0 f(x0+ ∆x) − f(x0) ∆x − f ′_{(x) = 0 ⇔} ⇔ lim ∆x→0 f(x0+ ∆x) − f(x0) − f′(x0)∆x ∆x = 0 ⇔ lim∆x→0 G(∆x) ∆x = 0 , onde G(∆x) = f (x0+ ∆x) − f(x0) − f′(x0)∆x.

Esse limite tem que valer tanto para valores cada vez menores de ∆x > 0 quanto para valores cada vez maiores de ∆x < 0, isto ´e, devemos ter lim

∆x→0−

G(∆x)

∆x = 0 e lim∆x→0+

G(∆x)

∆x = 0, ou seja, os limites pela esquerda e pela direita existem e s˜ao nulos. Podemos escrever isto como

lim ∆x→0 G(∆x) |∆x| = 0 , pois para ∆x < 0, lim ∆x→0 G(∆x) |∆x| = 0 ⇔ lim∆x→0 G(∆x) −∆x = 0 ⇔ lim∆x→0 G(∆x) ∆x = 0 e para ∆x > 0, lim ∆x→0 G(∆x) |∆x| = 0 ⇔ lim∆x→0 G(∆x) ∆x = 0 . Portanto, f (x) ´e diferenci´avel em x = x0 se e somente se

lim ∆x→0 G(∆x) |∆x| = 0 ⇔ lim∆x→0 f(x0+ ∆x) − f(x0) − f′(x0)∆x |∆x| = 0 ,

isto é, f (x) é diferenciável em x = x0 se e somente se existir um número f′(x0) tal que o limite acima seja

verdadeiro.

Vamos agora encontrar uma defini¸cão para a diferenciabilidade de uma fun¸cão de duas variáveis reais, f = f (x, y), em um ponto (x0, y0) de seu dom´ınio. Tal defini¸cão tem que ser à prova de contra-exemplos e é

dada a seguir.

Defini¸c˜ao 1 - Dada uma fun¸c˜_{ao f : D(f ) ⊂ R}2 _{→ R e um ponto (x}

0, y0) ∈ D(f), dizemos que f ´e

diferenci´avel em (x0, y0) se existirem n´umeros reais a e b tais que

lim

(∆x,∆y)→(0,0)

f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) − a∆x − b∆y

||(∆x, ∆y)|| = 0 .

Esta defini¸cão é obtida em analogia com a expressão para a diferenciabilidade de uma fun¸cão de uma vari´_{avel real, lembrando que ||(∆x, ∆y)|| =}p(∆x)2_{+ (∆y)}2_{. Veremos mais adiante que os n´}_{umeros a e b s˜}_ao,

respectivamente, as derivadas parciais ∂f

∂x(x0, y0) e ∂f

∂y(x0, y0).

Exemplo 1: escreva a condi¸c˜ao de diferenciabilidade para a fun¸c˜ao f (x, y) = xy2_{+ 2x em (x, y) = (0, 0).}

Solu¸cão: a fun¸cão f (x, y) = xy2_{+ 2x é diferenci´}_{avel em (x, y) = (0, 0) se existirem n´}_{umeros reais a a b tais que}

lim

(∆x,∆y)→(0,0)

f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) − a∆x − b∆y

||(∆x, ∆y)|| = 0 ⇔ ⇔ lim

(∆x,∆y)→(0,0)

f_{(0 + ∆x, 0 + ∆y) − f(0, 0) − a∆x − b∆y} ||(∆x, ∆y)|| = 0 ⇔ ⇔ lim

(∆x,∆y)→(0,0)

∆x(∆y)2_{+ 2∆x − 0 − a∆x − b∆y}

(3)

Para provarmos que a fun¸cão do exemplo 1 é diferenciável no ponto pedido, é necessário encontrar as constantes a e b tais que o limite seja verdadeiro. A busca dessas duas constantes é feita na se¸cão seguinte.

2.6.2 - Diferenciabilidade e derivadas parciais

Provaremos agora que a defini¸cão de fun¸cão diferenciável em um ponto garante a existência de suas derivadas parciais nesse mesmo ponto. Esse teorema é enunciado e provado a seguir.

Teorema 1 - Se uma fun¸c˜_{ao f : D(f ) ⊂ R}2_{→ R ´e diferenci´avel em um (x}

0, y0) ∈ D(f), ent˜ao existem

as derivadas parciais ∂f

∂x(x0, y0) e ∂f

∂y(x0, y0).

Demonstra¸cão: se f (x, y) é diferenciável em um ponto (x0, y0) ∈ D(f), então existem números reais a e b tais

que

lim

(∆x,∆y)→(0,0)

f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) − a∆x − b∆y

||(∆x, ∆y)|| = 0 .

Quando um limite existe, então isto significa que, não importa por qual caminho se chegue a ele, o resultado tem que ser o mesmo. Consideremos dois caminhos distintos, dados pelas equa¸cões paramétricas (∆x(t), ∆y(t)) = (t, 0) (um caminho ao longo do eixo x) e pelas equa¸cões paramétricas (∆x(t), ∆y(t)) = (0, t) (um caminho ao longo do eixo y). No primeiro caso, temos

lim

(∆x,∆y)→(0,0)

f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) − a∆x − b∆y

||(∆x, ∆y)|| = 0 ⇔ ⇔ lim (t,0)→(0,0) f(x0+ t, y0) − f(x0, y0) − at ||(t, 0)|| = 0 ⇔ limt→0 f(x0+ t, y0) − f(x0, y0) − at √ t2 = 0 ⇔ ⇔ lim t→0 f(x0+ t, y0) − f(x0, y0) − at |t| = 0 ⇔ limt→0 f(x0+ t, y0) − f(x0, y0) − at t = 0 ⇔ ⇔ lim t→0 f(x0+ t, y0) − f(x0, y0) t − a = 0 ⇔ limt→0 f(x0+ t, y0) − f(x0, y0) t = a .

Como a expressão da esquerda é a defini¸cão da derivada parcial de f com rela¸cão a x em (x0, y0), então a =

∂f

∂x(x0, y0). No segundo caso, temos

lim

(∆x,∆y)→(0,0)

f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) − a∆x − b∆y

||(∆x, ∆y)|| = 0 ⇔ ⇔ lim (0,t)→(0,0) f(x0, y0+ t) − f(x0, y0) − bt ||(0, t)|| = 0 ⇔ limt→0 f(x0, y0+ t) − f(x0, y0) − bt √ t2 = 0 ⇔ ⇔ lim t→0 f(x0, y0+ t) − f(x0, y0) − bt |t| = 0 ⇔ limt→0 f(x0, y0+ t) − f(x0, y0) − bt t = 0 ⇔ ⇔ lim t→0 f(x0, y0+ t) − f(x0, y0) t − b = 0 ⇔ limt→0 f(x0, y0+ t) − f(x0, y0) t = b .

Como a expressão da esquerda é a defini¸cão da derivada parcial de f com rela¸cão a y em (x0, y0), então b =

∂f

∂y(x0, y0). Com isto, provamos que se uma fun¸cão é diferenciável em um ponto (x0, y0) ∈ D(f), então os números a e b da

defini¸cão da diferenciabilidade de f nesse ponto são precisamente as derivadas parciais dessa fun¸cão nesse mesmo ponto.

(4)

2.6.3 - Diferenciabilidade e continuidade

O pr´oximo teorema relaciona os conceitos de diferenciabilidade e continuidade de uma fun¸c˜ao em um ponto de seu dom´ınio.

Teorema 2 - Se uma fun¸c˜_{ao f : D(f ) ⊂ R}2 _{→ R ´e diferenci´avel em um (x}

0, y0) ∈ D(f), ent˜ao ela ´e

cont´ınua nesse mesmo ponto.

Demonstra¸cão: se f (x, y) é diferenciável em um ponto (x0, y0) ∈ D(f), então

lim

(∆x,∆y)→(0,0)

f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) − a∆x − b∆y

||(∆x, ∆y)|| = 0 ⇔(∆x,∆y)→(0,0)lim

G(∆x, ∆y)

p(∆x)2_{+ (∆y)}2 = 0 ,

onde

G(∆x, ∆y) = f (x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) − a∆x − b∆y ⇔

⇔ f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) = G(∆x, ∆y) + f (x0, y0) + a∆x + b∆y .

Aplicando o limite (∆x, ∆y) → (0, 0) `a segunda express˜ao acima, temos lim

(∆x,∆y)→(0,0)f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) =(∆x,∆y)→(0,0)lim [G(∆x, ∆y) + f (x0, y0) + a∆x + b∆y] =

= lim

(∆x,∆y)→(0,0)G(∆x, ∆y) +(∆x,∆y)→(0,0)lim f(x0, y0) +(∆x,∆y)→(0,0)lim (a∆x + b∆y) .

A última passagem só foi poss´ıvel se considerarmos que todos os limites existem e são finitos. O primeiro limite do lado esquerdo fica

lim

(∆x,∆y)→(0,0)G(∆x, ∆y) =(∆x,∆y)→(0,0)lim p(∆x)

2_{+ (∆y)}2 G(∆x, ∆y) p(∆x)2_{+ (∆y)}2 = = lim (∆x,∆y)→(0,0)p(∆x) 2_{+ (∆y)}2_· _lim (∆x,∆y)→(0,0) G(∆x, ∆y) p(∆x)2_{+ (∆y)}2

se considerarmos que os dois limites existem e s˜ao finitos. Como lim

(∆x,∆y)→(0,0)p(∆x)

2_{+ (∆y)}2₌p₀2_{+ 0}2_{= 0 e}

lim

(∆x,∆y)→(0,0)

G(∆x, ∆y)

p(∆x)2_{+ (∆y)}2 = 0 (pela defini¸cão de fun¸cão diferenciável), então_{(∆x,∆y)→(0,0)}lim G(∆x, ∆y) = 0.

Para o segundo limite, temos lim

(∆x,∆y)→(0,0)f(x0, y0) = f (x0, y0).

Para o terceiro limite, temos lim

(∆x,∆y)→(0,0)(a∆x + b∆y) = a · 0 + b · 0 = 0. Portanto,

lim

(∆x,∆y)→(0,0)f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) = 0 + f (x0, y0) + 0 = f (x0, y0) .

Portanto, a fun¸c˜ao ´e cont´ınua em (x0, y0).

Pode ser conclu´ıdo dos teoremas 1 e 2 que se uma fun¸cão é diferenciável em um ponto (x0, y0), então ela

é cont´ınua e tem derivadas parciais nesse ponto. Da´ı, se ela não for cont´ınua em um ponto ou não admitir alguma das derivadas parciais nesse ponto, ela não pode ser diferenciável nesse mesmo ponto.

Al´em disso, mesmo que ambas as derivadas parciais existam em (x0, y0), mas

lim (∆x,∆y)→(0,0) f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) − ∂f ∂x(x0, y0)∆x − ∂f ∂y(x0, y0)∆y ||(∆x, ∆y)|| 6= 0 ,

então f (x, y) não é diferenciável em (x0, y0).

Isto é equivalente a dizer que G(∆x, ∆y) tende a valores distintos para diferentes caminhos que levem até (∆x, ∆y) = (0, 0), mesmo existindo caminhos que anulem essa fun¸cão, de modo que o limite é inexistente.

(5)

Os exemplos a seguir ilustram casos em que provamos que uma fun¸cão é diferenciável em um determinado ponto ou mesmo em todos os pontos do seu dom´ınio.

Exemplo 1: prove que f (x, y) = xy2+ 2x ´e diferenci´avel em (x, y) = (0, 0).

Solu¸cão: primeiro, essa fun¸cão admite derivadas parciais em (x, y) = (0, 0), pois ∂f ∂x(x, y) = y 2_{+ 2 ,} ∂f ∂y(x, y) = 2xy , de modo que ∂f ∂x(0, 0) = 0 2_{+ 2 = 2 ,} ∂f ∂y(0, 0) = 2 · 0 · 0 = 0 . Segundo, podemos montar a fun¸cão

G(∆x, ∆y) = f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) − ∂f ∂x(x0, y0)∆x − ∂f ∂y(x0, y0)∆y = = f(0 + ∆x, 0 + ∆y) − f(0, 0) − ∂f ∂x(0, 0)∆x − ∂f ∂y(0, 0)∆y = = ∆x(∆y)2+ 2∆x − 0 − 2∆x − 0 · ∆y = ∆x(∆y)2,

de modo que

lim

(∆x,∆y)→(0,0)

G(∆x, ∆y)

||(∆x, ∆y)|| =(∆x,∆y)→(0,0)lim

∆x(∆y)2

p(∆x)2_{+ (∆y)}2 =_{(∆x,∆y)→(0,0)}lim (∆y)

2 ∆x p(∆x)2_{+ (∆y)}2 . Como lim (∆x,∆y)→(0,0)(∆y) 2_{= 0 e} ∆x p(∆x)2_{+ (∆y)}2 <1, ent˜ao lim (∆x,∆y)→(0,0) G(∆x, ∆y)

||(∆x, ∆y)|| = 0. Sendo assim, a fun¸cão f (x, y) é diferenciável em (x, y) = (0, 0).

Exemplo 2: _{prove que f (x, y) = xy − x ´e diferenci´avel.}

Solu¸cão: precisamos provar que a fun¸cão é diferenciável em todos os elementos (x0, y0) ∈ D(f), sendo que esse

dom´ınio é o próprio R2_{. Come¸camos provando que essa fun¸c˜}_{ao admite derivadas parciais em (x, y) = (x} 0, y0): ∂f ∂x(x, y) = y − 1 , ∂f ∂y(x, y) = x , de modo que ∂f ∂x(x0, y0) = y0− 1 , ∂f ∂y(x0, y0) = x0 . Segundo, podemos montar a fun¸cão

G(∆x, ∆y) = f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) −

∂f

∂x(x0, y0)∆x − ∂f

∂y(x0, y0)∆y = = (x0+ ∆x)(y0+ ∆y) − (x0+ ∆x) − x0y0+ x0− (y0− 1)∆x − x0∆y =

= x0y0+ x0∆y + y0∆x + ∆x∆y − x0− ∆x − x0y0+ x0− y0∆x + ∆x − x0∆y = ∆x∆y ,

de modo que lim

(∆x,∆y)→(0,0)

G(∆x, ∆y)

||(∆x, ∆y)|| =(∆x,∆y)→(0,0)lim

∆x∆y

p(∆x)2_{+ (∆y)}2 =_{(∆x,∆y)→(0,0)}lim ∆x

∆y p(∆x)2_{+ (∆y)}2 . Como lim (∆x,∆y)→(0,0)∆x = 0 e ∆y p(∆x)2_{+ (∆y)}2 <1, ent˜ao lim (∆x,∆y)→(0,0) G(∆x, ∆y)

||(∆x, ∆y)|| = 0. Sendo assim, a fun¸cão f (x, y) é diferenciável em (x, y) = (x0, y0), qualquer que seja o elemento (x0, y0) ∈ R2, ou seja, ela é

simplesmente diferenci´avel.

(6)

Exemplo 3: verifique se a fun¸c˜ao f (x) = 1

x2_{+ y}2 ´e diferenci´avel em (x, y) = (0, 0).

Solu¸cão: essa fun¸cão não é cont´ınua em (x, y) = (0, 0), de modo que ela não pode ser diferenciável nesse ponto.

Exemplo 4: verifique se a fun¸c˜ao f (x) =p(x − 3)2_{+ (y + 1)}2 _{´e diferenci´}_{avel em (x, y) = (3, −1).}

Solu¸cão: as derivadas parciais dessa fun¸cão são dadas a seguir: ∂f ∂x(x, y) = 1 2(x − 3) 2_{+ (y + 1)}2−1/2 2(x − 3) = x− 3 p(x − 3)2_{+ (y + 1)}2 e ∂f ∂x(x, y) = 1 2(x − 3) 2_{+ (y + 1)}2−1/2_{2(y + 1) =} y+ 1 p(x − 3)2_{+ (y + 1)}2 .

Essas derivadas parciais não existem em (3, −1), pois levariam à divisão por zero. Portanto, a fun¸cão não pode ser diferenciável nesse ponto. O gráfico da fun¸cão na proximidade desse ponto é feito abaixo em dois ângulos distintos. Pode-se notar uma cúspide (uma “bico” ou “ponta”), que é uma caracter´ıstica de uma região cont´ınua, mas não diferenciável.

x y z 1.0 2.0 3.0 4.0 -1 .0 1.0 -1.0 -2.0 -3.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 b C´uspide x y z 1.0 2.0 3.0 4.0 -1.0.0 -1 1.0 -2.0 -3.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 b Exemplo 5: verifique se f (x) =    x3 x2_{+ y}2 se (x, y) 6= (0, 0) , 0 se (x, y) = (0, 0)

´e diferenci´avel em (x, y) = (0, 0).

Solu¸c˜ao: primeiro, verificamos se f (x, y) ´e cont´ınua em (x, y) = (0, 0), o que se faz calculando

lim (x,y)→(0,0) x3 x2_{+ y}2 = lim (x,y)→(0,0)x x2 x2_{+ y}2 . Como lim (x,y)→(0,0)x= 0 e x2 x2_{+ y}2 <1, ent˜ao lim (x,y)→(0,0) x3

x2_{+ y}2 = 0, de modo que a fun¸c˜ao ´e cont´ınua nesse

ponto.

Vamos agora verificar se essa fun¸c˜ao admite derivadas parciais nesse ponto. Para isto, teremos que usar a defini¸c˜ao de derivada parcial:

∂f ∂x(0, 0) = lim∆x→0 f_{(0 + ∆x, 0) − f(0, 0)} ∆x = lim∆x→0 (0 + ∆x)3 (0 + ∆x)2_{+ 0}2 ∆x = lim∆x→0 (∆x)3 (∆x)2 ∆x = lim∆x→0 ∆x ∆x = lim∆x→01 = 1 , ∂f

∂y(0, 0) = lim∆y→0

f_{(0, 0 + ∆y) − f(0, 0)}

∆y = lim∆y→0

03

02_{+ (0 + ∆y)}2

∆y ∆y→0lim

0

∆y = lim∆y→00 = 0 .

Portanto, a fun¸cão admite derivadas parciais no ponto (x, y) = (0, 0). Por último, montamos a fun¸cão

G(∆x, ∆y) = f (x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) −

∂f

∂x(x0, y0)∆x − ∂f

(7)

= f (0 + ∆x, 0 + ∆y) − f(0, 0) −∂f ∂x(0, 0)∆x − ∂f ∂y(0, 0)∆y = (∆x)3 (∆x)2_{+ (∆y)}2 − 0 − 1 · ∆x − 0 · ∆y = = (∆x) 3 (∆x)2_{+ (∆y)}2− ∆x = (∆x)3_{− (∆x)}3_{− (∆y)}2_∆x (∆x)2_{+ (∆y)}2 = −(∆y)2_∆x (∆x)2_{+ (∆y)}2, de modo que lim (∆x,∆y)→(0,0) G(∆x, ∆y)

||(∆x, ∆y)|| =(∆x,∆y)→(0,0)lim

−(∆y)2_∆x

(∆x)2_{+ (∆y)}2

p(∆x)2_{+ (∆y)}2 =_{(∆x,∆y)→(0,0)}lim

−(∆y)2_∆x

[(∆x)2_{+ (∆y)}2_]3/2 .

Se quisermos provar que esse limite não existe, basta mostrar que ele não existe ao longo de algum caminho que seja a imagem de uma fun¸cão F (t) tal que F (t0) = (0, 0) para algum t0e F (t) 6= (0, 0) para qualquer outro t 6= t0.

Um caminho com essas caracter´ısticas ´e a imagem da fun¸c˜ao F (t) = (t, t), de modo que o limite fica

lim (∆x,∆y)→(0,0) G(∆x, ∆y) ||(∆x, ∆y)|| = limt→0 −t2_t (t2_{+ t}2₎3/2 = limt→0 −t3 (2t2₎3/2 = limt→0 −t3 2t2_(2t2₎1/2 = limt→0 −t 2√2t2 = lim_t→0 −t 2√2|t| . Para t < 0, temos lim (∆x,∆y)→(0,0) G(∆x, ∆y) ||(∆x, ∆y)|| = limt→0 −t 2√2(−t) = limt→0 1 2√2 = 1 2√2 e para t > 0 ficamos com

lim (∆x,∆y)→(0,0) G(∆x, ∆y) ||(∆x, ∆y)|| = limt→0 −t 2√2t = limt→0 −1 2√2 = −1 2√2 ,

de modo que esse limite não existe. Sendo assim, apesar dessa fun¸cão ser cont´ınua e ter derivadas parciais em (x, y) = (0, 0), ela não é diferenciável nesse ponto.

A fun¸cão é representada a seguir em dois ângulos distintos.

x y z 1.0 2.0 -1 .0 -2 .0 -3 .0 1.0 2.0 -1.0 -2.0 -3.0 1.0 2.0 x y z 1.0 2.0 .0 -1 .0 -2 .0 -3 1 .0 2 .0 -1 .0 -2 .0 -3 .0 1 .0 2 .0

2.6.5 - Generaliza¸

c˜

ao para n vari´

aveis

Nesta última se¸cão, generalizaremos o conceito de diferenciabilidade para fun¸cões de n variáveis reais: f A_{⊂ R}n _{→ R. Para isto, come¸camos escrevendo a defini¸cão da seguinte forma, que será depois escrita em} forma reduzida.

Dada uma fun¸c˜_{ao f : D(f ) ⊂ R}n_{→ R e um ponto (x}10,· · · , xn0) ∈ D(f), dizemos que f ´e diferenci´avel em

(x10,· · · , xn0) se existirem n´umeros reais a1,· · · , a2 tais que

lim

(∆x1,··· ,∆xn)→(0,··· ,0)

f(x10+ ∆x1,· · · , xn0+ ∆xn) − f(x10,· · · , xn0) − a1∆x1− · · · − an∆xn

||(∆x1,· · · , ∆xn)||

= 0 ,

onde entende-se que ||(∆x1,· · · , ∆xn)|| =p(∆x1)2+ · · · + (∆xn)2.

Os teoremas 1 e 2 são facilmente generalizáveis para essa defini¸cão e isso implica que a diferenciabilidade de f : D(f ) ⊂ Rn → R em um ponto (x10,· · · , xn0) ∈ D(f) significa que ela é cont´ınua nesse ponto e que

(8)

a₁,_{· · · , a}_n s˜ao as derivadas parciais ∂f ∂x1

(x10,· · · , xn0), · · · ,

∂f ∂xn

(x1,· · · , xn). Portanto, o limite da defini¸c˜ao

de diferenciabilidade pode ser escrito como lim (∆x1,··· ,∆xn)→(0,··· ,0) [f (x10+ ∆x1,· · · , xn0+ ∆xn) − f(x10,· · · , xn0)− −_∂x∂f 1 (x10,· · · , xn0)∆x1− · · · − ∂f ∂xn (x10,· · · , xn0)∆xn 1 ||(∆x1,· · · , ∆xn)|| = 0 . Podemos simplificar essa express˜ao usando a nota¸c˜ao de vetores. Come¸camos escrevendo

X= (x1,· · · , xn) , X0 = (x10,· · · , xn0) e ∆X = (∆x1,· · · , ∆xn) .

Agora, precisamos de uma nota¸cão para o vetor envolvendo as derivadas parciais. Isto é feito na defini¸cão a seguir.

Defini¸c˜ao 2 - Dada uma fun¸c˜_{ao f : D(f ) ⊂ R}n_{→ R diferenci´avel em D(f), definimos o seu gradiente} como sendo o vetor

∇f = ∂f_∂x 1 (x1,· · · , xn), · · · , ∂f ∂xn (x1,· · · , xn) .

O vetor gradiente tem grande importância no cálculo com fun¸cões de diversas variáveis e diversos aspectos dele serão estudados em cap´ıtulos vindouros.

Notemos agora que, utilizando a nota¸c˜ao de produto interno, podemos escrever ∂f

∂x₁(x10,· · · , xn0)∆x1+ · · · + ∂f

∂x_n(x10,· · · , xn0)∆xn= h∇f(X), ∆Xi .

Desse modo, a defini¸cão de fun¸cão diferenciável para n variáveis reais fica com a forma dada a seguir. Defini¸cão 3 - Dada uma fun¸c˜_{ao f : D(f ) ⊂ R}n _{→ R e um ponto X}

0 ∈ D(f), dizemos que f ´e

diferenci´avel em X0 se

lim

∆X→0

f(X0+ ∆X) − f(X0) − h∇f(X0), ∆Xi

||∆X|| = 0 .

Esta forma é mais compacta e mais elegante, e pode ser relacionada facilmente à defini¸cão de diferencia-bilidade para fun¸cões de uma variável real. Terminamos este cap´ıtulo por aqui. O próximo cap´ıtulo ainda trata do assunto de diferenciabilidade e apresenta um teorema que simplifica bastante provar que uma fun¸cão é diferenciável em determinado ponto de seu dom´ınio.

(9)

Resumo

• Diferenciabilidade de uma fun¸cão f : R2 → R. Dada uma fun¸cão f : D(f) ⊂ R2 → R e um ponto (x0, y0) ∈ D(f), dizemos que f é diferenciável em (x0, y0) se existirem números reais a e b tais

que

lim

(∆x,∆y)→(0,0)

f(x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f(x0, y0) − a∆x − b∆y

||(∆x, ∆y)|| = 0 .

• Teorema 1. Se uma fun¸cão f : D(f) ⊂ R2 _{→ R é diferenciável em um (x}

0, y0) ∈ D(f), ent˜ao

existem as derivadas parciais ∂f

∂x(x0, y0) e ∂f

∂y(x0, y0).

• Teorema 2. Se uma fun¸cão f : D(f) ⊂ R2 → R é diferenciável em um (x0, y0) ∈ D(f), então ela é

cont´ınua nesse mesmo ponto.

• Gradiente. Dada uma fun¸c˜ao f : D(f) ⊂ Rn → R e um ponto X0 ∈ D(f), dizemos que f ´e

diferenci´avel em X0 se

lim

∆X→0

f(X0+ ∆X) − f(X0) − h∇f(X0), ∆Xi

||∆X|| = 0 .

• Diferenciabilidade de uma fun¸cão f : Rn→ R. Dada uma fun¸cão f : D(f) ⊂ Rn → R e um ponto X0∈ D(f), dizemos que f é diferenciável em X0 se

lim

∆X→0

f(X0+ ∆X) − f(X0) − h∇f(X0), ∆Xi

(10)

Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2.6

N´ıvel 1

Derivadas parciais

Exemplo 1: calcule todas as derivadas parciais da fun¸c˜ao f (x, y, z) = x cos(yz).

Solu¸c˜ao: temos

∂f

∂x = 1 · cos(yz) = cos(yz) , ∂f

∂y = x · [− sen (yz) · z] = −xz sen (yz) , ∂f

∂z = x · [− sen (yz) · y] = −xy sen (yz) .

E1) Calcule todas as derivadas parciais das seguintes fun¸c˜oes:

a) f (x, y) = xy3_{, b) f (x, y) = 2x + cos y, c) f (x, y, z) = 4xz − 8y}2_{, d) f (x, y, z) = 8x√y − 2 e}z, e) f (x, y) = ln(x − y), f) f(x, y, z) =px2_{+ y}2_{− 8 ln z, g) f(x, y, z) = x}√_x2_{− z}2_{+ 2yz,}

h) f (x, y, z) = √ 1

x2_+y2_+z2.

N´ıvel 2

E1) Considere uma indústria cuja produ¸cão seja modelada pela fun¸cão P (K, L) = 20K0,4_L0,6_{, onde K é o}

capital investido e L s˜ao os gastos com a m˜ao-de-obra, ambos medidos em milhares de reais.

a) Calcule a produtividade marginal do capital e a produtividade marginal do trabalho para K = 300 e L = 200. b) A ind´ustria deveria considerar um aumento no capital investido ou na for¸ca de trabalho? Justifique a sua resposta.

E2) Considere que uma marca de manteiga (mercadoria 1) e uma marca de margarina (mercadoria 2) tenham as demandas dadas pelas fun¸c˜oes Qd1= 750 − 5P1+ 2P2 e Qd2= 890 + 2P1− 8P2. Calcule as derivadas parciais

de Qd1 e Qd2 com rela¸c˜ao a P1 e a P2 e explique os sinais dessas derivadas em termos econˆomicos.

E3) Considere que o consumo de café (mercadoria 1) e a¸cúcar (mercadoria 2) tenham as demandas dadas pelas fun¸cões Qd1= 1200 P1+ 0, 4P2 e Qd2 = 540 0, 3P1+ P2

. Calcule as derivadas parciais de Qd1 e Qd2 com rela¸c˜ao a P1

e a P2 e explique os sinais dessas derivadas em termos econˆomicos.

N´ıvel 3

E1) Considere a fun¸cão de CES (Constant Elasticity of Substitution - Elasticidade de Substitui¸cão Constante), P(K, L) = [αKρ_{+ (1 − α)L}ρ]1/ρ_{, onde 0 < α < 1 e ρ ≤ 1, em fun¸cão do capital K investido e do valor L da} mão-de-obra de uma determinada empresa ou pa´ıs.

(11)

b) Dê uma interpreta¸cão econômica para os sinais de ∂P ∂K e de

∂P ∂L.

c) Calcule as elasticidades (em termos das derivadas parciais) dessa fun¸cão com rela¸cão às variáveis K e L. d) Utilizando as derivadas parciais como aproxima¸cões, escreva uma expressão para ∆K

∆L, chamada taxa marginal de substitui¸cãoda variável K pela variável L.

Respostas

N´ıvel 1 E1) a) ∂f_∂x = y3_, ∂f ∂y = 3xy 2_{; b)} ∂f ∂x= 2, ∂f ∂y = − sen y; c) ∂f ∂x = 4z, ∂f ∂y == 16y, ∂f ∂z = 4x; d) ∂f ∂x = 8√y, ∂f ∂y = 4x √y, ∂f ∂z = −2 ez; e) ∂f ∂x = 1 x−y, ∂f ∂y =x−y−1 ; f) ∂f ∂x = x √ x2_+y2, ∂f ∂y = y √ x2_+y2, ∂f ∂z = − 8 z; g) ∂f ∂x = √ x2_{− z}2₊ x2 √ x2 −z2, ∂f ∂y = 2z, ∂f ∂z = √x−xz2 −z2 + 2y; h) ∂f ∂x =(x2_+y−x2_+z2₎3/2, ∂f ∂y =(x2_+y−y2_+z2₎3/2, ∂f ∂z = (x2_+y−z2_+z2₎3/2. N´ıvel 2 E1) a) ∂P(300, 200) ∂K ≈ 6, 27 e ∂P(300, 200) ∂L ≈ 14, 11.

b) A indústria deveria investir em mão-de-obra, pois esta é a que oferece a maior produtividade marginal. E2)∂Qd1 ∂P1 = −5, ∂Qd1 ∂P2 = 2, ∂Qd2 ∂P1 = 2 e∂Qd2 ∂P2 = −8. A derivada parcial de Qd1

com rela¸c˜ao a P1´e negativa, o que indica

que a demanda cai com o aumento do pre¸co da mercadoria; o fato da derivada parcial de Qd1com rela¸c˜ao a P2ser positiva

indica que quando o pre¸co da mercadoria concorrente sobe, as vendas da mercadoria 1 crescem. A derivada parcial de Qd2 com rela¸c˜ao a P2 ser negativa indica que a demanda cai com o aumento do pre¸co da mercadoria; o fato da derivada

parcial de Qd2 com rela¸c˜ao a P1 ser positiva indica que quando o pre¸co da mercadoria concorrente sobe, as vendas da

mercadoria 2 crescem. Isto indica que as mercadorias 1 e 2 s˜ao concorrentes ou substitutas (uma pode substituir a outra). E3) ∂Qd1 ∂P1 = −1200 (P1+ 0, 4P2)2 , ∂Qd1 ∂P2 = −480 (P1+ 0, 4P2)2 , ∂Qd2 ∂P1 = −112 (P1+ 0, 4P2)2 e ∂Qd2 ∂P2 = −540 (P1+ 0, 4P2)2 .

Todas as derivadas parciais s˜ao negativas, o que indica que as demandas dos dois produtos caem quando aumentam os pre¸cos destes. Isto indica que as duas mercadorias s˜ao complementares.

N´ıvel 3 E1) a) ∂P ∂K = αK ρ−1_[αKρ + (1 − α)Lρ]1/ρ−1 e ∂P ∂L = (1 − α)L ρ−1_[αKρ + (1 − α)Lρ]1/ρ−1. b) Os sinais de ∂P ∂K e de ∂P

∂L s˜ao positivos, o que indica que os ganhos com aumentos do capital ou do trabalho aumentam conforme se aumentam os valores investidos nesses dois setores.

c) ∂P ∂K K P = αKρ αKρ_{+ (1 − α)L}ρ e ∂P ∂L L P = (1 − α)Lρ αKρ_{+ (1 − α)L}ρ . d) ∆K ∆L = ∆K ∆P ∆P ∆L = ∆P ∆K −1_∆P ∆L ≈ ∂P ∂K −1 _∂P ∂L = 1 − α α L K ρ .