Mecânica e Ondas
Ondas estacionárias em cordas vibrantes
Objectivo Estudo das ondas estacionárias em cordas vibrantes. Estudo da variação da frequência de ressonância da onda com a tensão e o comprimento da corda. Determinação da velocidade de propagação da onda. Excitação de harmónicas.
1. Introdução teórica
Para produzirmos uma onda mecânica precisamos de uma fonte de perturbação dum meio material. Uma onda mecânica consiste assim no transporte de energia de um ponto para outro do meio material, sem que haja transporte de matéria. O transporte de energia é realizado pela interacção das partículas do meio com as suas vizinhas.
Neste trabalho vamos estudar ondas estacionárias, unidimensionais, que se propagam numa corda elástica, esticada e fixa nas suas extremidades.
A função matemática que descreve a oscilação duma corda elástica, uniforme, de densidade linear 𝜌 e submetida a uma tensão 𝑇#, é da forma 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(/0 1 𝑥 − /0 3 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘 𝑥 − 𝜔 𝑡) (1) 𝑥 e 𝑡 são as variáveis associadas à posição e ao tempo, respectivamente, T é o período, 𝜆 o comprimento de onda (c.d.o), 𝑘 = 2𝜋 𝜆: é o número de onda e 𝜔 = 2𝜋 𝑇: é a frequência angular. Esta onda propaga-se com velocidade v =1 3= < = = > 3? @ (2)
Se uma onda harmónica for introduzida numa corda cujas extremidades distam de 𝐿, ficará confinada a propagar-se numa região limitada do espaço. Ao chegar a uma das extremidades a onda é reflectida e interfere com a porção da onda que viaja para aquela extremidade. Da sobreposição destas duas ondas que se propagam na mesma direcção, mas em sentidos opostos, surge em geral um padrão irregular, variável no espaço e no tempo. Contudo, se a corda vibrar com uma frequência adequada, é possível obter uma onda estacionária, i.e., uma onda em que cada um dos pontos da corda tem uma amplitude constante. Consideremos uma onda harmónica, que se propaga numa corda, para a direita, com a velocidade v. Descrita pela equação 𝑦B(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘 𝑥 − 𝜔 𝑡) (3)
Consideremos agora uma outra onda harmónica, idêntica, que se propaga na corda em sentido contrário, descrita por 𝑦/(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 + 𝜔 𝑡) (4) A onda resultante será, pelo princípio da sobreposição, a soma daquelas duas ondas, i.e., 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦B(𝑥, 𝑡) + 𝑦/(𝑥, 𝑡) (5) ou seja 𝑦(𝑥, 𝑡) = 2𝐴 sin(𝑘 𝑥)cos (𝜔 𝑡) (6)
A onda descrita pela equação (6) designa-se por onda estacionária e tem duas características interessantes:
1. Cada posição 𝑥F da corda oscila verticalmente, ao longo do tempo, de forma
sinusoidal, de acordo com a equação
𝑦(𝑥F, 𝑡) = 2𝐴 sin(𝑘 𝑥F) cos (𝜔 𝑡) (7)
2. Num determinado instante de tempo, 𝑡F, capturado, por exemplo, através de uma
fotografia instantânea da corda, esta apresenta a forma espacial de uma sinusoide descrita por 𝑦(𝑥, 𝑡F) = 2𝐴 cos(𝜔 𝑡F) sin(𝑘 𝑥) (8) Se tirarmos fotografias sucessivas das oscilações da corda e as sobrepusermos, obtemos uma figura com o aspecto semelhante ao representado na figura 1. Fig.1 Representação esquemática de um dos modos de vibração de uma corda com as
extremidades fixas. No momento inicial a corda tem o comprimento dado pelo afastamento entre as duas extremidades de suporte.
0, 1, 2, 3, . . . ), as amplitudes de oscilação são nulas, i.e., os pontos 𝑥G=1/𝑛 são os nodos da corda. Se a distância entre os dois extremos (fixos) da corda for 𝐿, então os c.d.o.’s 𝜆G, correspondentes a ondas estacionárias, devem verificar a condição 𝜆G =/MG (9)
Esta equação mostra que existem 𝑛 (= 1, 2, 3, … ) modos de vibração estacionária da corda compatíveis com a distância 𝐿, entre os pontos de fixação das extremidades da corda. A partir das equações (2) e (9) obtemos as frequências de oscilação 𝑓G=<P /0= 𝑛 Q /M (10) ou ainda 𝑓G= R /M> 3? @ = 𝑛 𝑓B (11)
Verifica-se assim que, dependendo da tensão 𝑇# aplicada à corda, da sua densidade linear 𝜌, e do seu comprimento em repouso, 𝐿, poderão ser observados modos de vibração de acordo com a expressão (11) para valores 𝑛 = 1, 2, 3, 4 … Estes modos de vibração podem ser excitados externamente e correspondem a situações em que a amplitude de oscilação é máxima. As frequências que lhes correspondem designam-se por frequências de ressonância. O modo de frequência mais baixo (n=1) designa-se por modo fundamental de ressonância. Os outros modos de vibração são múltiplos de 𝑓B e
designam-se por harmónicas de ordem n.
Para cada c.d.o. 𝜆G, os pontos 𝑥T cuja amplitude de oscilação é máxima, designados por anti-nodos, estão situados a meio caminho entre dois nodos consecutivos ou seja
𝑥T = (2𝑙 + 1)1VP (𝑙 = 0, 1, … . , 𝑛 − 1). (12)
Isto mostra que a harmónica de ordem 𝑛 terá 𝑛 anti-nodos e (𝑛 + 1) nodos. Na Fig. 1 mostra-se uma onda estacionária de c.d.o. 𝜆 = 𝐿. 2 . Trabalho experimental A montagem a utilizar neste trabalho, ilustrada na Fig. 2, permite ajustar a tensão e o tipo de excitação a que se sujeitam as cordas metálicas, semelhantes às utilizadas em guitarras. As cordas são montadas num banco onde a tensão é controlada através do correcto posicionamento de uma massa numa das extremidades da corda. Na Fig. 2 pode ver-se uma massa suspensa no canto inferior direito.
A corda pode ser submetida a vários tipos de força excitadora, que pode ser uma força mecânica aplicada directamente na corda ou ainda uma força magnética, aplicada através de um dispositivo de excitação designado por DRIVER. A vibração da corda é
detectada com um sensor magnético, designado por DETECTOR, constituído por uma pequena bobine posicionada noutro ponto do banco da montagem. Como a corda se encontra fixa nas duas extremidades, podemos observar ondas estacionárias para certas frequências de excitação da mesma. Estas ondas permanecem enquanto durar a força excitadora. Fig. 2 Foto da montagem do trabalho da corda vibrante Fig. 3 Esquema da montagem de suporte e excitação da corda vibrante 2.1 Material para o trabalho experimental: 1. Base de fixação, incluindo uma escala graduada e um aparelho de força, constituído por um braço e um parafuso de ajuste da tensão na corda. 2. Dois suportes de fixação 3. Corda de guitarra com densidade linear nominal ρ = 1,84 g/m. 4. Duas bobinas:- “DRIVER” (dispositivo de excitação), que permite induzir oscilações na corda e excitar os seus modos de vibração;- “DETECTOR” (sensor), que permite detectar a amplitude dos modos de vibração.
5. Massa de valor 𝑚 = 1 𝑘𝑔. 6. Gerador de sinais.
7. Osciloscópio.
2.2 Montagem experimental
1) A corda deve ser instalada sobre a base da experiência, ficando presa num dos lados ao cilindro cuja posição é controlada pelo parafuso de ajuste (lado esquerdo da base, na fig. 4) e do outro lado ao braço onde se suspende a massa. 2) A corda fica apoiada em dois suportes colocados sobre a escala graduada da
base, os quais devem distar, 𝐿 = 60 𝑐𝑚, (suporte da esquerda na posição 𝑥 = 10 𝑐𝑚; suporte da direita na posição 𝑥 = 70 𝑐𝑚; ver fig. 4).
3) A massa 𝑚 deve ser colocada numa das posições 𝑝 = 1, 2, 3, 4, 5 do braço da base (Fig. 4), consoante a tensão 𝑇# = 𝑚𝑔𝑝 , ( 𝑔 = 9,8 𝑚𝑠a/) a que se pretende
sujeitar a corda (Fig. 5).
4) O sinal do gerador de sinais deve alimentar o “DRIVER” e ser introduzido no
canal 1 do osciloscópio (Fig. 4). O sinal do “DETECTOR” deve ser introduzido no canal 2 do osciloscópio. Fig. 4 Esquema da montagem experimental, incluindo ligações eléctricas Fig. 5 Aparelho de força para ajuste da tensão da corda. A tensão aplicada à corda 𝑇# = 𝑚𝑔𝑝 , é função da posição, 𝑝, da massa
2.1 Determinação da frequência do modo fundamental e da velocidade de propagação em função da tensão aplicada à corda
Para medir a frequência do modo fundamental de ressonância da corda, em função da tensão aplicada 𝑇#, e para um comprimento 𝐿 = 60 𝑐𝑚, proceda do seguinte modo:
1) Suspenda a massa na posição 𝑝 = 5, correspondente à maior tensão aplicada à corda. Ajuste o parafuso de forma que o braço da base onde suspendeu a massa esteja na horizontal.
2) Coloque as 2 bobinas sobre o suporte. Posicione o “DRIVER” a 5 𝑐𝑚 de um dos suportes e o “DETECTOR” no ponto médio da corda entre os apoios.
3) Ligue o gerador de sinais e o osciloscópio. Seleccione o gerador de sinais para ondas sinusoidais com uma frequência próxima da que seria esperada teoricamente para aquela tensão aplicada (consultar coluna 3 do Quadro 1). Ajuste a escala do osciloscópio entre 0,1– 0,5 𝑉/𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 no canal 1 e entre 10– 50 𝑚𝑉/𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 no canal 2. Coloque o osciloscópio em modo X-Y. Fig.6 Imagens do gerador e do osciloscópio utilizados no trabalho. Osciloscópio mostra uma figura de Lissajous, obtida em modo X-Y quando os sinais eléctricos dos canais 1 e 2 têm a mesma frequência.
4) Coloque a corda em vibração dedilhando-a suavemente no ponto médio, junto ao detector. Ajuste lentamente a frequência do gerador, aumentando-a ou diminuindo-a, até observar uma figura semelhante a uma elipse no osciloscópio (Fig. 6). Confirme que para frequências menores que essa não encontra outra situação semelhante. 5) Coloque o osciloscópio em modo TEMPO e confirme o aumento da amplitude do sinal do “DETECTOR” (canal 2), correspondente à situação de ressonância, i.e, determine qual a frequência que maximiza a amplitude de oscilação da corda. 6) Registe as frequências medidas no gerador na coluna 5 do Quadro 1.
7) Repita o procedimento 4) - 6) para as outras posições 𝑝 = 4, 3, 2, 1 da massa, no braço da base.
8) Use o computador que está junto da montagem para gerar, numa folha Excel, um gráfico da função 𝑓B(𝑇#) com o conjunto de pontos experimentais. Ajuste uma função do tipo “power” (potência) a esses pontos experimentais, e utilize os parâmetros de ajuste
para estimar a densidade linear da corda. 2.2 Determinação da frequência de vibração do modo fundamental de ressonância em função do comprimento da corda
Pretende medir-se a frequência do modo fundamental de ressonância da corda, em função da tensão aplicada mínima (𝑇# = 𝑚𝑔; massa na posição 1), para cinco valores do comprimento 𝐿 da corda.
1) Suspenda a massa na posição 𝑝 = 1, correspondente à menor tensão aplicada à corda. Ajuste o parafuso de forma que o braço da base onde suspendeu a massa esteja na horizontal. 2) Mova 5 𝑐𝑚 o suporte de fixação da direita, que se encontra junto do braço da base, da posição 𝑥 = 70 𝑐𝑚 para a posição 𝑥 = 65 𝑐𝑚. 3) Reposicione as 2 bobinas sobre o suporte. Mantenha o “DRIVER” a 5 cm de um dos suportes e coloque o “DETECTOR” no ponto médio da corda entre os apoios. 4) Siga o procedimento descrito nos pontos 4) - 5) da parte 2.1 do trabalho.
5) Repita as medições para diferentes posições do suporte da direita (movendo-o de 5 𝑐𝑚 em 5 𝑐𝑚, até à posição 𝑥 = 50 𝑐𝑚) e do “DETECTOR” (sempre colocado no ponto médio da corda entre os apoios). Registe as frequências obtidas na coluna 4 do Quadro
2.
6) Use o computador que está junto da montagem para gerar, numa folha Excel, um gráfico da função 𝑓B(𝐿), com o conjunto de pontos experimentais e ajuste uma função
do tipo “power” (potência) a esses pontos experimentais, e utilize os parâmetros de ajuste para estimar a densidade linear da corda.
2.3 Determinação das frequências de vibração de modos superiores (harmónicas)
Pretende-se medir as frequências dos modos superiores (harmónicas) de vibração da corda, com tensão aplicada mínima ( 𝑇# = 𝑚𝑔 ; massa na posição 1) para um
comprimento 𝐿 = 60 𝑐𝑚. 1) Calcule as frequências da 2ª, 3ª e 4ª harmónicas anotando o seu valor na coluna 1 do Quadro 3. Calcule os c.d.o.’s correspondentes e anote-os na coluna 2 do mesmo Quadro. 2) Coloque o suporte de fixação da direita na posição 𝑥 = 70 𝑐𝑚.
3) Coloque o “DRIVER” numa posição correspondente a (10+ 𝜆//4 )(cm) e o
“DETECTOR” numa posição correspondente a (10 + 𝐿 −1j
V)(𝑐𝑚).
4) Esboce a forma de onda correspondente à oscilação da corda entre os pontos de apoio, neste caso.
(10 + 𝐿 − 𝜆G/4 )(cm) e reajustando a frequência do gerador, de forma a excitar e detectar as harmónicas de ordem 3 e 4 de vibração da corda. Para cada harmónica esboce a forma de onda correspondente à oscilação da corda entre os pontos de apoio.
