Aula 00 Curso: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento

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Aula 00

Curso: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento

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Prof. Custódio Nascimento 2 de 62

www.exponencialconcursos.com.br Caros alunos e alunas,

Bem vindos ao curso online preparatório para o cargo de Agente Fiscal de Rendas do Estado de São Paulo.

Primeiramente, segue uma breve apresentação. Meu nome é Custódio

Nascimento, sou Engenheiro de Fortificação e Construção pelo Instituto

Militar de Engenharia, com Mestrado em Engenharia de Transportes pela mesma escola. Fui militar por mais de 15 anos no Exército Brasileiro, antes de resolver estudar para um concurso público no meio civil.

No mundo dos concursos, minhas principais conquistas até o momento foram:

• Em 2013, fui aprovado na prova escrita do concurso para Perito da Polícia Federal, na área de Engenharia Civil, com menos de 3 meses de estudo, e convocado para as demais etapas do concurso, das quais optei por não participar, por motivos de cunho pessoal;

• Também em 2013, fui aprovado em 2º lugar no concurso para Especialista em Regulação da Agência Nacional de Transportes

Terrestres, na área de Engenharia Civil, com cerca de 4 meses de

estudo;

• Fui aprovado, ainda, nos concursos para Analista do Ministério

Público da União, na área de Perícia/Engenharia Civil, e para

Engenheiro Civil do Ministério da Saúde.

Vale ressaltar que consegui tais conquistas em tão pouco tempo, mesmo tendo que conciliar o trabalho (40 horas semanais), a família (esposa e 2 filhos) e o lazer sempre necessário.

Para quem se interessar, meu depoimento está disponível no site do Exponencial Concursos.

No meu entendimento, isso serve de estímulo para todos. Se você trabalha, tem família e (ou) pouco tempo para estudar, saiba que há maneiras de você aproveitar sua experiência de vida e, com uma preparação objetiva, baseada em um material de qualidade, conseguir a sua aprovação no tão sonhado concurso público.

Por outro lado, se você é jovem, recém-formado e (ou) conta com o apoio dos seus pais para poder estudar muitas horas por dia, aproveite bem o seu tempo com uma preparação de excelência, para não se perder no excesso de conteúdo que qualquer edital é capaz de ter. Caso não saiba por onde começar, ou qual caminho trilhar, nós estamos aqui para ajudar.

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www.exponencialconcursos.com.br

E é justamente por isso que a equipe do Exponencial Concursos está aqui, para fornecer o “atalho” que todo concurseiro deseja para atingir seus objetivos.

Este curso será de Teoria e Exercícios de Matemática Financeira. Ele terá como base o edital do último concurso (2013), mas garantimos a atualização e inserção de qualquer novo conteúdo que a banca venha trazer, quando da divulgação do edital.

Tradicionalmente, o concurso para Agente Fiscal de Rendas do Estado de São Paulo tem a FCC como banca organizadora. Essa continuidade nos fornece um ótimo referencial do que podemos esperar das provas para o fisco paulista.

No concurso de 2013 para o ICMS-SP, os assuntos deste curso foram cobrados na prova 1 (P1), de Conhecimentos Gerais, com peso 1. O edital previa 10 questões para Matemática Financeira / Estatística, e a prova trouxe 5 questões de Matemática Financeira. O candidato precisava atingir a nota de corte em cada prova, com um mínimo de acerto de 50%, e ainda conseguir um mínimo de 60% no total ponderado das três provas (P1 + P2 + P3).

Matemática Financeira é uma matéria muito cobrada nos concursos da FCC. O nosso objetivo será abordar todo o conteúdo do edital, procurando fazer um paralelo entre teoria e questões de provas. A parte teórica será abordada de forma objetiva, concisa e esquematizada.

Além disso, teremos mais de 200 questões comentadas, com prioridade para as questões da FCC cobradas em certames recentes. Sempre que for necessário complementar o entendimento do assunto tratado, serão utilizadas outras bancas, tais como CESPE, ESAF, FGV e CESGRANRIO.

Daremos prioridade, também, para as questões de prova de nível superior, já que este é o nível exigido na prova para a qual estamos nos preparando.

Antes de começarmos efetivamente a nossa primeira aula, vamos fazer uma breve análise da nossa disciplina nos concursos mais recentes para o Fisco de SP.

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Para facilitar o planejamento e a execução dos estudos, segue um

raio-X das questões da disciplina Matemática Financeira, nos concursos mais recentes do ICMS-SP:

Provas ICMS SP

Assunto Ano

1

Total

2006 2009 2013

Juros simples. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes.

- 1 1 2

Juros compostos. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua.

3 2 1 6

Descontos: simples, composto. Desconto

racional e desconto comercial. - 2 1 3

Equivalência de capitais. Rendas uniformes e

variáveis. Valor atual e valor futuro. 2 1 1 - 2

Amortizações. Sistema francês. Sistema de

amortização constante. Sistema misto. - 1 1 2

Fluxo de caixa. Valor atual. Taxa interna de

retorno. 1 1 1 3

Total 5 8 5 18

Algumas observações acerca dessa tabela são importantes:

(1) as provas de 2006 e 2013 tinham 10 questões de Matemática Financeira e Estatística, enquanto que a prova de 2009 tinha 15 questões dessas disciplinas;

(2) tal assunto não foi cobrado no edital de 2013, mas será tratado nesta versão pré-edital do nosso curso, pelo fato de ele ser usualmente listado nos editais da FCC.

Ao olharmos o total de questões de cada assunto, vemos que "juros compostos" é o tema preferido da banca, razão pela qual daremos atenção especial à nossa aula sobre o assunto.

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No entanto, é fácil perceber que todos os itens do edital são abordados nas provas! Sendo assim, temos que estudar todos os assuntos, pois todos são importantes.

Vejamos, agora, como o nosso curso está estruturado:

Aula Assunto

00 Porcentagem

01 Juros simples 02 Juros compostos

03 Descontos

04 Equivalência de capitais. Anuidades 05 Sistemas de amortização

06 Métodos de análise de investimentos 07 Questões complementares

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Assunto Página

1. Preciso estudar esta aula? 7

2. Porcentagem 8

3. Questões comentadas 16

4. Resumo da aula 48

5. Questões apresentadas na aula 50

6. Gabarito 62

Nesse primeiro encontro, abordaremos um assunto bem básico, mas que causa alguns problemas a alguns alunos: Porcentagem! Preste bastante atenção, pois o entendimento desse conceito será fundamental no decorrer da nossa disciplina.

Para facilitar sua referência, estão listadas abaixo as esquematizações disponíveis nesta aula:

Esquema 1 – Fatores de multiplicação ... 11

Esquema 2 – Valor final com fator de multiplicação ... 11

Esquema 3 – Valor final com taxas sucessivas ... 13

Esquema 4 – Fator de aumento (ou redução) resultante ... 14

Então, ajeite-se na cadeira, esqueça seu celular e concentre-se, para que seu rendimento seja o mais favorável possível.

Ah, e lembre-se, você já está na frente, pois já está se

preparando!

Bons estudos!

Um forte abraço,

Custódio Nascimento

"O livro é um mestre que fala mas que não responde."

Platão

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1.Preciso estudar esta aula?

Você precisará estudar essa aula se você não souber responder

mentalmente as duas perguntas que colocaremos a seguir ou se você

souber, porém demorando mais de 10 segundos para responder a cada uma delas.

1ª pergunta

Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

(A) R$ 100,00 (B) R$ 110,00 (C) R$ 99,00 (D) R$ 101,00

2ª Pergunta

Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe um desconto

de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%. Quanto

ele passará a receber após esses dois meses? (A) R$ 100,00

(B) R$ 110,00 (C) R$ 99,00 (D) R$ 101,00

A resposta para as duas perguntas é a alternativa C, ou seja, ele passará a receber R$ 99,00.

Se você não conseguiu resolver essas perguntas mentalmente de forma rápida ou achou que a reposta era a alternativa letra A, você deve ler esta

aula. No entanto, caso você tenha acertado dentro dos 10 segundos para

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2.Porcentagem

2.1 – Conceito

A expressão por cento, muito utilizada na linguagem comum e indicada pelo símbolo %, quer dizer dividido por cem, ou seja, 20% é igual a 20

100. Há três maneiras de se representar esse número:

Forma percentual Forma fracionária Forma unitária (ou decimal) 20% 20 100 0,2 1% 1 100 0,01 0,5% 0,5 100 0,005

Geralmente, a taxa percentual, que indicaremos por i, é aplicada em relação a alguma quantidade, como, por exemplo, um valor aplicado em um banco ou o número de pessoas em um local. A essa quantidade se dá o nome de principal e a representamos pela letra C. Sendo P o valor da porcentagem que queremos descobrir, temos a relação entre as variáveis:

=

∙

Exemplo: Existem 120 pessoas em uma sala, sendo que 30% são mulheres. Quantas mulheres existem na sala?

Solução

C = 120 i = 30%

Para calcularmos o valor do número de mulheres utilizamos a seguinte fórmula:

= ∙

onde P é o valor da porcentagem que queremos descobrir. Temos duas maneiras de realizar o cálculo:

1ª maneira: utilizando a forma centesimal: = : = 120 ∙ 30

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www.exponencialconcursos.com.br 2ª maneira: utilizando a forma unitária: = 0,30:

= 120 ∙ 0,30 = 36

Obviamente, as duas maneiras levam ao mesmo resultado, que nos diz que temos 36 mulheres na sala. Você verá que utilizaremos com mais frequência a segunda maneira (forma unitária), e eu recomendo que você se exercite para utilizá-la também.

Vamos ver como esse assunto já foi cobrado em prova de concurso:

(VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Fazenda – SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um

reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente: (A) 28% (B) 25% (C) 22% (D) 20% (E) 18% Resolução:

Primeiramente, vamos determinar a magnitude do aumento da passagem, ou seja, quanto ela aumentou, em R$:

= 1,40 − 1,15 = 0,25

Depois determinamos o percentual que esse aumento representa do preço inicial da passagem:

= ∙ ⇒ =

=0,25

1,15≈ 0,22 = 22% Logo, a alternativa C é a resposta.

Resolveremos novamente essa questão ainda nesta aula, utilizando uma forma de solução mais rápida, após estudarmos o conceito de fator de multiplicação.

2.2 – Fator de Multiplicação

O fator de multiplicação nos ajuda muito a resolver problemas de matemática financeira e é o item mais importante desta aula.

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Vamos explicar este conceito dando um exemplo. Imagine uma pessoa que recebe um salário de R$ 800,00 e recebe um aumento de 20%. Quanto ela receberá após o aumento?

Solução

Vamos calcular o valor do aumento: = ∙ = 800 ∙ 20

100= 160

Depois, calculamos o salário final (CF) somando o aumento (P) com o

salário anterior (C):

= + = 800 + 160 = 960

Podemos obter esse mesmo resultado de uma forma mais rápida, multiplicando o salário anterior (C) pelo fator de multiplicação (f) que, por definição, vale:

=

+

Se alguma grandeza aumenta de uma taxa i, para sabermos seu valor final após o aumento, basta multiplicarmos seu valor inicial pelo fator de multiplicação f, logo:

=

∙

+

Assim, = ∙ 1 + = 800 ∙ 1 + 0,2 = 800 ∙ 1,2 = 960

E se a grandeza sofrer uma redução? Considere que a pessoa do exemplo acima tenha seu salário de R$ 800,00 reduzido em 20%. Qual será o valor do seu novo salário após a redução?

Neste caso, temos duas maneiras de enxergar o problema. Na primeira maneira, consideramos um fator de multiplicação calculado especificamente para a redução (ou seja, uma nova fórmula), como se segue:

! = 1 −

Neste caso, colocaríamos o valor absoluto do desconto na fórmula (em outras palavras, colocamos o valor sem considerar um sinal positivo ou negativo), e teríamos que o fator de redução é igual a:

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A segunda maneira de se enxergar o problema é considerar a mesma

fórmula para o fator de aumento ou de redução, e considerarmos um valor

positivo ou negativo para a taxa. Em outras palavras, é dizer que um desconto de 20% equivale a um aumento de (-20%). Com isso, podemos utilizar a seguinte fórmula:

! = 1

Nesta fórmula, inserimos o valor do desconto que foi dado (-20%), como se segue:

! 1 1 0,2 1 0,2 0,8

Como era de se esperar, obtivemos o mesmo valor. Cabe a você definir qual a maneira que você acha mais simples e mais fácil, e adotá-la em seus estudos. Neste curso, utilizaremos a segunda maneira, pois acreditamos que, quanto menor o número de fórmulas a serem decoradas, maior é a chance de um resultado positivo no concurso. Sendo assim, consideraremos positivas as

taxas para aumento (ou lucro) e negativas as taxas para redução (ou desconto, prejuízo).

Voltando ao problema que foi proposto (redução de 20% no salário), já tendo calculado o fator de multiplicação, basta multiplicarmos tal fator pelo salário anterior (C), logo:

∙ ! 800 ∙ 0,8 640

Desta forma, temos os seguintes esquemas:

Esquema 1 – Fatores de multiplicação

Esquema 2 – Valor final com fator de multiplicação

Fator de multiplicação 1+i de aumento ipositivo de redução inegativo Valor final da grandeza CF= C . (1 + i)

para aumento ipositivo

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www.exponencialconcursos.com.br Vejamos como isso já foi cobrado em prova:

(VUNESP – Auditor Fiscal da Receita Estadual –

Secretaria de Fazenda – SP/ 2002) A passagem de ônibus teve um

reajuste, passando de R$ 1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente: (A) 28% (B) 25% (C) 22% (D) 20% (E) 18% Resolução:

Vamos resolver novamente este problema utilizando o conceito de fator de multiplicação que acabamos de aprender.

Quando temos um aumento, a fórmula a ser utilizada é a seguinte: ∙ 1 +

Substituindo os valores, temos:

1,40 = 1,15 ∙ 1 + ⇒ 1 + =1,40

1,15⇒ 1 + ≈ 1,22 ⇒ ≈ 0,22 = 22%

A alternativa C é a resposta correta.

2.3 – Aumentos e/ou descontos sucessivos

Para finalizar a parte teórica, vamos tratar do embasamento teórico para resolvermos as perguntas do início da aula. Para recordarmos, eis novamente as perguntas:

1ª pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

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2ª Pergunta

Um homem recebe um salário hipotético de R$ 100,00. Ele recebe um desconto de 10% num determinado mês e no seguinte um aumento de 10%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses?

Taxas sucessivas

Quando temos aumentos ou descontos sucessivos basta multiplicarmos o valor da grandeza inicial por cada fator de multiplicação obtidos a partir de cada taxa de aumento ou redução, assim:

∙ 1 ∙ 1 _" ∙ 1 …

Onde o valor de i deve ser positivo (+) quando temos uma taxa de

aumento e deve ser negativo (-) quando temos uma taxa de desconto.

Esquema 3 – Valor final com taxas sucessivas

Solução da 1ª pergunta

O aumento de 10% será aplicado com um fator de aumento

(1+0,10), enquanto que o desconto de 10% será aplicado com um fator de

desconto (1-0,10). Podemos aplicar os fatores sucessivamente, multiplicando o valor inicial do salário (R$ 100,00) por ambos os fatores, utilizando a equação mostrada anteriormente:

100 ∙ 1 0,10 ∙ 1 0,10 100 ∙ 1,1 ∙ 0,9 99 Logo, o salário final será de R$ 99,00

Solução da 2ª pergunta

Nessa pergunta, o desconto ocorreu primeiro. Será que isso fará diferença? Vejamos:

100 ∙ 1 0,10 ∙ 1 0,10 100 ∙ 0,9 ∙ 1,1 99

Note que agora multiplicamos o valor 100 primeiro por 0,9 e depois por 1,1, mas, como sabemos, a ordem dos fatores não altera o produto, assim,

não faz diferença se ganhamos primeiro um aumento ou um desconto de

salário! Valor final em taxas sucessivas CF = C . (1 + i1) . (1 + i2)... aumento ipositivo redução i negativo

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Aumento (ou desconto) resultante:

Em uma situação envolvendo aumentos ou descontos sucessivos, podemos calcular o aumento (ou desconto) resultante (iR), da seguinte

forma:

1 $ 1 % ∙ 1 % " ∙ 1 % …

Se o resultado de iR for positivo, teremos um aumento. Por outro lado,

se o resultado der um número negativo, trata-se de um desconto. Assim, podemos substituir na equação vista anteriormente:

∙ 1 % ∙ 1 % _" ∙ 1 % … ∙ 1 _$

Desta forma, temos o seguinte esquema:

Esquema 4 – Fator de aumento (ou redução) resultante

Vejamos uma cobrança feita em concurso:

(FGV / Auditor do Estado – Área Controlador – Controladoria Geral do Estado-MA / 2014) O prefeito de certo município

exerceu seu mandato nos anos de 2009 a 2012. Em cada um dos anos de 2010, 2011 e 2012 as despesas de custeio da administração municipal aumentaram em 20% em relação ao ano anterior. Então, as despesas em 2012 superaram as de 2009 em, aproximadamente,

A) 60%. B) 68%. C) 73%. D) 80%. E) 107%. Resolução:

Pelo enunciado, vemos que houve 3 aumentos (em 2010, 2011 e 2012), sendo cada um deles de 20% em relação ao ano anterior. Trata-se, portanto, de um caso de aumentos sucessivos, em que queremos saber qual foi o

Aumento ou redução

resultante (1+iR) = (1 + i1) . (1 + i2)...

aumento ipositivo

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aumento resultante, ou seja, o aumento do último ano (2012) em relação ao ano inicial (2009). Utilizando a fórmula vista anteriormente, temos:

1 + _$ = 1 + ∙ 1 + _" ∙ 1 + em que i1 = i2 = i3 = 0,2. Logo:

1 + $ = 1 + 0,2 ∙ 1 + 0,2 ∙ 1 + 0,2 = 1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2

Neste ponto, você deve ter percebido que terá que multiplicar os três números decimais, e já que a prova do concurso não permite o uso de calculadora, você terá que fazer isso “na mão”. Sendo assim, comece a treinar desde já. Se for preciso, volte à Matemática Fundamental, para relembrar como se resolve uma multiplicação (ou divisão) de números com vírgula. Resolvendo a multiplicação, ficamos com:

1 + _$ = 1,728 ≈ 1,73 ⟹ _$ = 0,73 = 73%

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3.Questões comentadas

Múltipla escolha

01. (FGV / Analista de Tecnologia da Informação-Segurança da

Informação - Tribunal de Contas do Estado - SE / 2015) Após executar

60 tiros, Billy obteve 55% de acertos. Com mais 15 tiros, ele aumentou sua porcentagem de acertos para 56%. Desses últimos 15 tiros, Billy acertou: a) 3; b) 6; c) 9; d) 12; e) 15. Resolução:

Inicialmente, Billy executou 60 tiros e obteve 55% de acertos. Logo, o número inicial de tiros certos foi:

60 ∙ 0,55 = 33

Posteriormente, Billy deu mais 15 tiros, totalizando 75 tiros, obteve 56% de acertos. Logo, o número final de tiros certeiros foi:

75 ∙ 0,56 = 42

Concluímos que, dos últimos 15 tiros, ele acertou 42 - 33 = 9.

02. (FGV / Técnico da Defensoria Publica - diversos cargos -

Defensoria Pública do Estado - RO / 2015) João recebeu seu salário,

gastou dele 40% nas despesas habituais e, do restante, 30% foram colocados na caderneta de poupança. A quantia que restou representa, do salário total, a porcentagem de: a) 18%; b) 30%; c) 36%; d) 40%; e) 42%. Resolução:

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A maneira mais fácil de resolvermos esta questão é estipularmos um valor para o salário de João. Vamos supor que o seu salário seja de 100. O enunciado afirma que ele gasta 40% em despesas habituais. Assim, temos:

Salário inicial 100

(-) despesas habituais (40% de 100) 40

(=) subtotal 1 60

Continuamos, temos que, do restante (subtotal 1), 30% vai para a poupança, o que dá:

Subtotal 1 60

(-) poupança (30% de 60) 18

(=) resto 42

Ou seja, sobram 42. Como o salário inicial era 100, podemos afirmar que sobra 42% do salário inicial de João.

A alternativa E é a resposta correta.

03. (IADES / Eletricista Motorista - Eletrobras / 2015) Determinado

produto de R$ 480,00 está sendo vendido a R$ 412,80. A porcentagem x de desconto oferecido satisfaz a condição

a) x < 12%. b) 12% ≤ x < 14%. c) 14% ≤ x < 16%. d) 16% ≤ x < 18%. e) 18% ≤ x. Resolução:

Se o produto custa 480 e está sendo vendido a 412,80, isso significa que o desconto oferecido é de 480 - 412,80 = 67,20.

Para calcularmos o percentual x de desconto, basta dividirmos o valor do desconto pelo valor original do produto:

( 67,20

480 = 0,14 = 14%

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04. (FCC / Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Área Economia

– Metrô-SP / 2014) A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de

determinado produto. A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de

A) 56%. B) 15%. C) 50%. D) 30%. E) 44%. Resolução:

1ª solução: utilizando a forma literal

Vamos dar nomes às variáveis que indicarão os preços inicial e final praticados nas lojas A e B:

)* = preço inicial da loja A +* = preço final da loja A ), = preço inicial da loja B +, = preço final da loja B

Sendo assim, vamos montar as equações, de acordo com o enunciado: A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. Logo:

+* 1 − 0,20 ∙ )* = 0,8 ∙ )* (I)

A loja B vende o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar o seu preço de tal forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço já reduzido a ser praticado pela loja A.

), = -_./

" (II)

+, = 1 − 0,1 ∙ +* = 0,9 ∙ +* (III)

Queremos encontrar o aumento que a loja B deve realizar, ou seja, o valor de

+,− ), ),

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www.exponencialconcursos.com.br Substituindo I em III, temos:

+, 0,9 ∙ 0,8 ∙ )* = 0,72 ∙ )* (IV)

Substituindo II em IV, temos:

+, = 0,72 ∙ 2 ∙ ), ⟹ +,

),

= 1,44

Logo, o valor do aumento é:

+,− ), ),

= +,

),

− 1 = 1,44 − 1 = 0,44 = 44%

2ª solução: dando um valor para P, por exemplo, P=100 (mais prática e rápida) Loja A ) = = 100 + = 1 − 0,2 ∙ 100 = 0,8 ∙ 100 = 80 Loja B ) = ⁄ = 50 2 + = 1 − 0,1 ∙ 80 = 0,9 ∙ 80 = 72 Aumento = 72-50 = 22 22 50= 44%

05. (FCC / Técnico em Gestão de Informática – Companhia de

Saneamento Básico de São Paulo / 2014) Dois lojistas concorrem

vendendo o produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P em 10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo vender, resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o lojista R diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compram na loja de R. Isso se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do que na loja de Q em, aproximadamente,

A) 3%. B) 10%. C) 15%. D) 1%. E) 5%.

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Resolução:

Neste caso, o caminho mais rápido para resolvermos a questão é supormos que o preço P é igual a 100. Sendo assim, temos:

Loja Q:

Preço inicial = 100

Preço após o reajuste de 10% = 1 + 0,1 ∙ 100 = 1,1 ∙ 100 = 110 Preço após o desconto de 10% = 1 − 0,1 ∙ 110 = 0,9 ∙ 110 = 99

Loja R:

Preço inicial = 100

Preço após o reajuste de 20% = 1 + 0,2 ∙ 100 = 1,2 ∙ 100 = 120 Preço após o desconto de 20% = 1 − 0,2 ∙ 120 = 0,8 ∙ 120 = 96

Logo, a diferença de preços entre as lojas é de 99 - 96 = 3. Tal diferença, em relação ao preço da loja Q, é de

3

99≈ 3%

É importante ressaltar que, neste caso, você não precisa fazer a conta acima (

EE), pois 99 é muito próximo de 100 e a questão pede uma resposta

aproximada.

A alternativa A é a resposta correta.

06. (FCC / Técnico Administrativo - Câmara Municipal de São Paulo /

2014) O preço de uma mercadoria, na loja J, é de R$ 50,00. O dono da loja J

resolve reajustar o preço dessa mercadoria em 20%. A mesma mercadoria, na loja K, é vendida por R$ 40,00. O dono da loja K resolve reajustar o preço dessa mercadoria de maneira a igualar o preço praticado na loja J após o reajuste de 20%. Dessa maneira o dono da loja K deve reajustar o preço em A) 20%.

B) 50%. C) 10%. D) 15%.

(21)

www.exponencialconcursos.com.br E) 60%.

Resolução: Como os valores são simples, a maneira mais fácil de resolver a

questão é calculando o preço final da mercadoria na loja J (Pf,J). Como o

reajuste é para aumento, consideraremos uma taxa positivas (+20%):

+,F 50 ∙ 1 0,20 50 ∙ 1,2 60

Agora, basta calcularmos qual a taxa de aumento suficiente para fazer o preço na loja K sair do valor inicial (40) para o mesmo valor da loja J (60):

+ )∙ 1 ⟹ 60 40 ∙ 1 ⟹ 1

60

40 1,5 ⟹ 0,5 50%

A alternativa B é a resposta correta.

07. (FCC / Técnico Administrativo - Câmara Municipal de São Paulo /

2014) O preço de venda de um produto, descontado um imposto de 16% que

incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de venda é superior ao de compra?

A) 67%. B) 61%. C) 65%. D) 63%. E) 69%.

Resolução: Vamos montar um esquema, para facilitar a compreensão do

enunciado. No entanto, temos que perceber que o imposto incide sobre o preço de venda, enquanto que o lucro líquido é em relação ao preço de compra, logo temos:

•Preço de compra (P_C) + 40% •Preço de venda (sem impostos) (P_M) -16% •Preço de venda (com impostos) (PV)

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Assim, temos as seguintes relações entre os valores dos preços de compra (PC), sem impostos (PM) e com impostos (PV):

G H ∙ 1+ 0,40

G = I ∙ 1− 0,16

A questão quer o aumento total entre o preço de venda (com impostos) e o preço de compra, logo basta igualar as duas equações listadas acima:

I∙ 1− 0,16 = H∙ 1+ 0,40 I∙ 0,84 = H∙ 1,4 ⟹ I = H ∙ 1,4 0,84⟹ I = H∙ 1,4 0,84⟹ I ≅ H∙ 1,67

Comparando com a fórmula padrão do aumento = ∙ 1 + , temos que:

1 + = 1,67 ⟹ = 0,67 = 67%

08. (FCC / Assistente Administrativo Júnior - Companhia do

Metropolitano de São Paulo / 2014) Um comerciante comprou certa

mercadoria por R$ 133,00 e quer vender com 20% de lucro sobre o preço final de venda. Se ele tem que recolher 10% de impostos sobre o preço final de venda, para atingir sua meta de lucro ele terá que vender o produto por

A) R$ 190,00. B) R$ 189,90. C) R$ 172,80. D) R$ 205,20. E) R$ 185,00. Resolução:

Vamos começar montando um esquema com cada preço e seus descontos. Atentar que, como o lucro que o comerciante deseja é de 20% sobre o preço final de venda, isso equivale a um desconto de 20% sobre tal valor.

Você deve perceber que esta questão não trata de descontos sucessivos, pois o enunciado afirma que tanto o lucro como os impostos incidem sobre o preço final de venda, conforme o diagrama a seguir:

(23)

Sendo assim, temos um caso em que os descontos devem ser somados, conforme figura a seguir:

Logo, o cálculo é dado a seguir:

133 I∙ 1 K, LK

I

133

0,70 190

09. (CESGRANRIO / Técnico de Administração e Controle Júnior -

Petrobras / 2014) Os custos de transporte de uma empresa em 2011 foram

de 200 mil reais. Em 2012, tais custos aumentaram em 10% e, em 2013, registrou-se um aumento de 15% em relação a 2012. Dentro do plano de metas de redução de custos, a empresa fixou que os custos anuais com transporte não poderiam exceder a 270 mil reais em 2014. Para que a empresa atinja essa meta, o aumento percentual anual máximo nos custos com transporte, em 2014, na comparação com 2013, deverá ser de, aproximadamente, a) 17,0% b) 15,2% c) 10,0% d) 6,7% e) 5,3% Resolução:

A questão propõe os aumentos sucessivos listados no esquema a seguir: Preço de venda Preço de compra (133,00) Preço de venda Preço de compra (133,00) - 10 % (impostos) - 20 % (lucro) - 30 %

(24)

O aumento acumulado de 2011 até 2014 é dado pela razão entre os respectivos valores:

1 $

270000

200000 1,35

Por se tratar de aumentos sucessivos, queremos saber qual o valor x (aumento de 2013 para 2014), que faz com que se atinja o limite proposto nas metas da empresa. Para tanto, empregamos a fórmula dos aumentos sucessivos: 1 $ 1 ∙ 1 " ∙ 1 1,35 1 0,1 ∙ 1 0,15 ∙ 1 ( 1,35 1,1 ∙ 1,15 ∙ 1 ( 1,35 1,265 ∙ 1 ( 1 ( 1,35 1,265≅ 1,067 ( ≅ 0,067 6,7%

Logo, o aumento máximo que pode ocorrer entre 2013 e 2014 será de 6,7%, caso contrário as metas da empresa não serão cumpridas.

A alternativa D é a resposta correta.

10. (FGV / Merendeiro - Secretaria de Educação - AM / 2014) Os

trabalhadores que ganham até 5 salários mínimos têm direito ao vale cultura. Pelo benefício, que é de R$ 50,00 por mês, o trabalhador que ganha até 1 salário mínimo é descontado em R$ 1,00. Para um trabalhador que ganha até 1 salário mínimo, o desconto corresponde a que porcentagem do valor do benefício? a) 20%. b) 10%. c) 2%. d) 1%.

2011

• 200.000

2012

2013

2014

• 270.000 +10% +15% +x%

(25)

www.exponencialconcursos.com.br e) 0,5%.

Resolução:

Questão muito simples, de pura interpretação de texto. Queremos saber a relação percentual entre o desconto (R$ 1,00) e o benefício (R$ 50,00). Ora, basta aplicarmos a divisão entre os dois valores:

1

50= 0,02 = 2%

Logo, tal desconto corresponde a 2% do benefício recebido.

11. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013)

O preço de uma mercadoria é controlado pelo governo. Durante um mês esse preço só pode ser reajustado em 22%. Na primeira semana de um determinado mês, um comerciante reajustou o preço em 7%. Após cinco dias, o mesmo comerciante queria reajustar o preço novamente de forma a chegar ao limite permitido de reajuste no mês. O reajuste pretendido pelo comerciante é de aproximadamente A) 15%. B) 12%. C) 19%. D) 13%. E) 14%. Resolução:

Mostraremos duas formas de solução:

1ª Solução: estipulando valores

Considere que o preço inicial vale 100. Após o primeiro aumento de 7% o preço passa a ser igual a 100 ∙ 1 + 0,07 = 100 ∙ 1,07 = 107.

O aumento máximo permitido é de 22% (sobre o preço inicial), logo o preço máximo final é igual a 100 ∙ 1 + 0,22 = 100 ∙ 1,22 = 122

Logo, o segundo aumento deve levar o preço de 107 para 122, logo deve ser:

= ∙ 1 + ⟹ 122 = 107 ∙ 1 + ⟹ 1 + =122

(26)

Observe o esquema gráfico abaixo para facilitar o seu entendimento:

2ª Solução: utilizando a fórmula dos aumentos sucessivos

Lembrando que se tivermos variações sucessivas, basta multiplicarmos os fatores de multiplicação para obtermos a variação resultante, assim:

1 $ 1 ∙ 1 "

1 0,22 1 0,07 ∙ 1 " ⟹ 1 "

1,22

1,07 1,14 ⟹ " 0,14 14%

Esta última situação é mais simples, caso você tenha facilidade com fórmulas matemáticas.

12. (FCC / Analista Legislativo – Assembléia Legislativa - RN/ 2013)

O preço de um produto era R$ 15,00 ao final de um mês. No final do mês seguinte, o preço era R$ 18,75 e ao final do mês seguinte o preço do mesmo produto era R$ 22,50. A variação, em porcentagem, da porcentagem de aumento do preço nesses dois intervalos foi de:

A) mais 15%. B) menos 10%. C) menos 20%. D) mais 25%. E) mais 20%. Resolução: •Preço inicial (100) + 7% •Preço intermediário (107) i % •Preço final (122) +22 %

(27)

A questão pede o percentual de variação da porcentagem de aumento dos preços. Primeiramente, vamos decifrar essa solicitação:

Etapa 1: O preço aumentou inicialmente de R$ 15,00 para R$ 18,75 e sofreu um aumento percentual i1 – que calcularemos daqui a pouco.

Etapa 2: Depois, ele aumentou de R$ 18,75 para R$ 22,50, sofrendo um aumento percentual i2 – que calcularemos daqui a pouco.

Etapa 3: o percentual i1 mudou para i2, ou seja, sofreu uma variação

percentual i3. Esse valor i3 que é a resposta do problema!

Agora, vamos aplicar a fórmula do aumento percentual para cada etapa e encontraremos os valores de i1, i2 e, finalmente, i3.

Etapa 1: ∙ 1 + ⟹ 18,75 = 15 ∙ 1 + ⟹ 1 + =18,75 15 = 1,25 ⟹ = 0,25 Etapa 2: = ∙ 1 + " ⟹ 22,5 = 18,75 ∙ 1 + " ⟹ 1 + " = 22,5 18,75 = 1,2 ⟹ " = 0,2 Etapa 3: = ∙ 1 + ⟹ 0,2 = 0,25 ∙ 1 + ⟹ 1 + = 0,2 0,25= 0,8 = −0,2 = −20%

Ou seja, a taxa foi de menos 20%.

13. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade:

Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) A etiqueta de um

produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, porém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no máximo,

A) 5. B) 5. C) 19.

(28)

www.exponencialconcursos.com.br D) 500.

E) 600.

Resolução:

A questão quer saber o valor percentual máximo de variação do preço. Logo, temos que perceber que o máximo preço “errado” da etiqueta seria R$ 960. Assim, basta calcularmos a diferença percentual entre R$ 160 e R$ 960.

∙ 1 ⟹ 960 160 ∙ 1 ⟹ 1 960

160 6 ⟹ 5 500%

14. (FCC / Analista Judiciário – Área Judiciária - Especialidade:

Execução de Mandados – TRT-1ª Região / 2013) Um investidor comprou

um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um apartamento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Considerando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido na venda do apartamento X foi de

A) 10%. B) 12%. C) 15%. D) 18%. E) 21%. Resolução:

Vamos utilizar o diagrama a seguir, para facilitar a compreensão do problema: • Apartamento X + x% •Apartamento Y +40 % •Preço final +61 %

(29)

Este é um caso em que atribuir um valor inicial ao apartamento X não facilita a resolução da questão. Neste caso, a maneira mais simples de resolver a questão é com o uso da fórmula dos aumentos sucessivos:

1 + _$ = 1 + ∙ 1 + _"

A questão nos forneceu o valor do lucro da segunda venda ("= 40%),

bem como do lucro resultante ($ = 61%), e pede o valor do lucro da primeira

venda (i1).

1 + 0,61 = 1 + ∙ 1 + 0,4 ⟹ 1,61 = 1 + ∙ 1,4 ⟹ 1 + =1,61

1,4 = 1,15 = 0,15 = 15%

15. (FCC / Agente de Defensoria Pública – Área Administrador de

Banco de Dados – Defensoria Pública -SP / 2013) Um comerciante

comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a

A) R$ 620,00. B) R$ 580,00. C) R$ 600,00. D) R$ 590,00. E) R$ 610,00. Resolução:

Primeiramente, precisamos decifrar os dados da questão. O comerciante quer estabelecer um preço de venda (preço de etiqueta) tal que ele possa anunciar um desconto de 30%, gerando um preço intermediário, e ainda assim, garantir lucro de 20% em relação ao valor da compra. Logo, esse preço intermediário dá 20% de lucro sobre o preço inicial. Sendo assim, podemos usar o seguinte diagrama para nos auxiliar:

(30)

Vamos calcular o preço intermediário para, a partir dele, chegar ao preço de venda:

I. O preço intermediário (PM) dá um lucro de 20% sobre o preço inicial (350):

∙ 1 ⟹ _G 350 ∙ 1 0,2 ⟹ G 350 ∙ 1,2 420

II. Um desconto de 30% (i=-0,3) sobre o preço de venda (PV) nos leva ao

preço intermediário (420):

∙ 1 ⟹ 420 _I ∙ 1 0,3 I∙ 0,7 ⟹ I

420

0,7 600

16. (CETRO / Técnico em Regulação – ANVISA / 2013) Uma categoria

profissional entrou em greve devido ao reajuste salarial de 3%. O sindicato da categoria, após a negociação, conseguiu um aumento de 80% sobre o percentual anterior. Logo, o valor do reajuste percentual após a negociação foi de A) 2,4% B) 3,6% C) 4,5% D) 5,4% E) 6,0% Resolução:

O aumento de i = 80% foi sobre o valor C = 3%, logo:

∙ 1 ⟹ 3 ∙ 1 0,8 3 ∙ 1,8 5,4 ⟹ 5,4%

•Preço de compra (350) + 20% •Preço intermediário (P_M) -30% •Preço de venda (P_V)

(31)

17. (FCC / Técnico Judiciário - Área Administrativa – Tribunal

Regional do Trabalho - 15ª Região / 2013) Uma livraria entrou em

liquidação com o proprietário pedindo para que seus funcionários multiplicassem o preço de todos os livros por 0,75. Com isso, as vendas cresceram e o estoque de livros diminuiu muito, fazendo com que o proprietário da livraria determinasse que os funcionários multiplicassem os novos preços dos livros por 1,25. Comparando os preços dos livros antes da liquidação e depois da última modificação de preços na livraria, conclui-se que A) houve redução de 6,25%.

B) houve aumento de 6,25%. C) houve redução de 0,475%.

D) não houve aumento nem redução. E) houve redução de 4,75%.

Resolução:

Basta aplicarmos as multiplicações informadas no enunciado, para termos a relação entre os preços inicial e final:

+ )∙ 0,75 ∙ 1,25 ⟹ + = ) ∙ 0,9375

Comparando o resultado acima com a fórmula ₊ = ) ∙ 1 + , temos

que:

1 + = 0,9375 ⟹ = −0,0625 = −6,25% Logo, houve redução de 6,25%.

18. (FCC / Assistente Técnico Administrativo - Área Recursos

Humanos – Sergipe Gás S.A / 2013) Três lojas cobram preços distintos por

certo produto. O maior preço é 35% a mais que o preço intermediário. O menor preço é 25% a menos que o preço intermediário. Para se igualar ao maior preço, o menor preço deve ser aumentado, em porcentagem, em

A) 60. B) 65. C) 35. D) 80. E) 50. Resolução:

(32)

Assim, temos as seguintes relações entre os valores dos preços menor (P1), intermediário (P2) e maior (P3):

"∙ 1 0,35 "∙ 1 0,25

A questão quer a relação entre o preço menor e o maior, ou seja, a taxa de aumento que faz o valor menor atingir o valor maio.

Para tanto, isolamos o valor de P2 na segunda equação e substituímos

tal valor na primeira:

"

0,75

0,75∙ 1,35 ∙ 1,8

Comparando o resultado acima com a fórmula ∙ 1 , temos que:

1 1,8 ⟹ 0,8 80%

Logo, precisamos aumentar o preço menor em 80%, para que ele fique igual ao maior preço.

19. (FCC / Técnico Judiciário - Área Apoio Especializado -

Especialidade: Tecnologia da Informação – Tribunal Regional do

•Menor preço (P₁) - 25% •Preço intermediário (P₂) + 35% •Maior preço (P₃)

(33)

Trabalho - 12ª Região / 2013) Sabe-se que se o preço de um produto for

multiplicado por 1,42 esse preço aumenta em 42%. A porcentagem que aumenta um preço que for multiplicado sucessivamente por 1,25 e por 1,30 é igual a A) 28,5. B) 55. C) 62,5. D) 55,5. E) 12,5. Resolução:

Basta aplicarmos as multiplicações sucessivas apontadas no enunciado, para chegarmos à resposta:

+ ) ∙ 1,25 ∙ 1,30 ⟹ + = ) ∙ 1,625

Comparando o resultado acima com a fórmula ₊ = ₎ ∙ 1 + , temos que:

1 + = 1,625 ⟹ = 0,625 = 62,5%

20. (CESGRANRIO / Assistente Administrativo - LIQUIGAS / 2013)

O preço de uma televisão aumentou em 150% no último ano. Qual desconto deveria ser dado sobre o seu preço, após o aumento, para que ela voltasse a custar o mesmo que custava antes do aumento?

a) 150% b) 100% c) 60% d) 50% e) 40% Resolução:

A maneira mais simples de se resolver esta questão é com a atribuição de valores. Suponhamos que a televisão, antes do aumento, custasse 100.

Vamos começar calculando o seu preço P1, após o aumento de 150%.

(34)

100 ∙ 1 + = 100 ∙ 1 + 1,5 = 100 ∙ 2,5 = 250

Queremos, agora, saber o valor da taxa de desconto i2 que faz com que

o preço da TV volte a ser o valor inicial (P2=100). Assim, temos: " = 250 ∙ 1 + "

100 = 250 ∙ 1 + "

1 + " =

100

250= 0,4 ∴ " = 0,4 − 1 = −0,6 ∴ " = −60%

Assim, precisamos dar um desconto de 60% para que o valor da TV volte a ser o inicial.

21. (CESGRANRIO / Técnico de Administração e Controle Júnior -

Petrobras / 2012) Uma determinada sala comercial teve seu condomínio

corrigido no mês de março de 2012 em 10%. No mês de abril, em razão de uma ordem judicial resultante de ação que julgou abusiva a correção, a administradora do condomínio foi obrigada a cobrar o valor equivalente a fevereiro de 2012. Com base no mês de março, qual foi o percentual de redução necessário para que se chegasse ao valor do mês de fevereiro?

a) 9% b) 9,09% c) 10% d) 11% e) 11,11% Resolução:

Mais uma questão que pode ser resolvida com o uso de valores fictícios. Vamos supor que o condomínio seja 100. O valor P1, após o aumento, é:

= 100 ∙ 1 + = 100 ∙ 1 + 1,1 = 100 ∙ 1,1 = 110

Queremos, agora, saber o valor da taxa de redução i2 que faz com o

condomínio volte a ser 100 (P2=100). Assim, temos: " = 110 ∙ 1 + "

100 = 110 ∙ 1 + "

1 + _" =100

(35)

A alternativa B é a resposta correta.

22. (FCC / Técnico do Seguro Social – INSS / 2012) Em dezembro,

uma loja de carros aumentou o preço do veículo A em 10% e o do veículo B em 15%, o que fez com que ambos fossem colocados a venda pelo mesmo preço nesse mês. Em janeiro houve redução de 20% sobre o preço de A e de 10% sobre o preço de B, ambos de dezembro, o que fez com que o preço de B, em janeiro, superasse o de A em (A) 11,5%. (B) 12%. (C) 12,5%. (D) 13%. (E) 13,5%. Resolução:

Vamos começar traduzindo os dados da questão no seguinte esquema:

Aqui, é importante percebermos que, para resolvermos a questão, não há necessidade de sabermos o preço inicial dos veículos (antes do mês de dezembro). Basta partirmos do mesmo valor (em dezembro) e calcularmos os descontos em janeiro.

Neste caso, a maneira mais fácil é adotarmos um valor para os carros no mês de dezembro. Adotaremos que cada veículo custa 100. Assim, basta calcularmos os preços dos veículos em janeiro:

•Veículo A + 10% •Dezembro -20% •Janeiro •Veículo B + 15% •Dezembro -10% •Janeiro Mesmo preço

(36)

www.exponencialconcursos.com.br Veículo A:

N 100 ∙ 1 − 0,20 = 100 ∙ 0,8 = 80

Veículo B:

O= 100 ∙ 1 − 0,10 = 100 ∙ 0,9 = 90

A questão quer saber em quanto o preço do veículo B supera o do veículo A. Ora, temos que a diferença entre os preços dos veículos é de 10. Basta calcularmos quanto isso significa em relação ao preço de A:

P ! = Q− R

R

=10

80= 0,125 = 12,5%

23. (FCC / Técnico Judiciário - Área Administrativa – Tribunal

Regional do Trabalho - 6ª Região / 2012) Três lojas concorrem vendendo

a mesma camiseta pelo mesmo preço a unidade. Uma promoção na loja Q-Preço oferece 4 dessas camisetas pelo preço de 3. A loja Melhor Compra, oferece 25% de desconto em cada uma das camisetas a partir da terceira camiseta comprada em uma mesma compra. A loja, Você Sempre Volta vende a primeira camiseta com o preço anunciado, a segunda camiseta igual é vendida com um desconto de 10%, a terceira camiseta igual é vendida com desconto de 20% e a quarta camiseta igual com desconto de 30%. Ordenando os valores pagos por três clientes que compraram 4 dessas camisetas, cada um deles em uma dessas três lojas, observa-se que o cliente que pagou menos, pagou X % a menos do que o segundo cliente nessa ordenação crescente, em relação ao valor pago por esse segundo cliente. Desta forma, o valor de X é aproximadamente A) 50. B) 33,3. C) 25. D) 22,5. E) 12. Resolução:

Para resolvermos esta questão, vamos calcular quanto cada cliente pagou em cada loja pela compra de 4 camisetas, seguindo as regras de cada promoção. Para tanto, vamos supor que o preço sem desconto da camiseta seja 100.

(37)

Loja Q-Preço Melhor Compra Você Sempre Volta

Promoção 4 camisetas pelo

preço de 3 Primeira: preço Segunda: preço Terceira: 25% Quarta: 25% Primeira: preço Segunda: 10% Terceira: 20% Quarta: 30% Cálculos 3 ∙ 100 Primeira: 100 Segunda: 100 Terceira: 75 Quarta: 75 Primeira: 100 Segunda: 90 Terceira: 80 Quarta: 70 Total 300 350 340

Queremos saber quanto o cliente que pagou menos (300) gastou em relação ao segundo que pagou menos (340). Para tanto, fazemos o seguinte cálculo:

S =340 − 300

340 =

40

340≅ 0,12 = 12%

24. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2011) Em dezembro de

2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:

A) 20% B) 18,4% C) 18% D) 15,2% E) 15% Resolução:

A questão nos fornece três taxas sucessivas, a saber: Valorização de 20% em 2008 => i1 = 20% = 0,2

(38)

www.exponencialconcursos.com.br Desvalorização de 20% em 2009 => i2 = – 20% = – 0,2

Valorização de 20% em 2010 => i3 = 20% = 0,2

A taxa percentual resultante será:

1 + _$ = 1 + ∙ 1 + _" ∙ 1 +

1 + $ = 1 + 0,2 ∙ 1 − 0,2 ∙ 1 + 0,2 = 1,2 ∙ 0,8 ∙ 1,2 = 1,152

$ = 0,152 = 15,2%

25. (FGV / Auditor da Receita do Estado – Secretaria de Estado da

Administração - AP / 2010) - O dono de uma loja aumenta os preços

durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do dia anterior é de:

A) 10% B) 12% C) 14% D) 16% E) 18% Resolução:

Esta questão também pode ser resolvida com o uso da fórmula das variações sucessivas:

1 + _$ = 1 + ∙ 1 + _"

Pelos dados da questão, i1=20%=0,20 e i2=-30%=-0,3. Atentar que,

como se trata de um desconto, o percentual entra na fórmula como um valor negativo.

Logo:

1 + $ = 1 + 0,2 ∙ 1 − 0,3 = 1,2 ∙ 0,7 = 0,84 ⟹ $ = −0,16 = −16%

Isso significa que o desconto real foi de 16%.

(39)

26. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da

Administração - AP / 2010) As ações de certa empresa em crise

desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A desvalorização total nesses três meses foi de:

A) 60% B) 56,6% C) 53,4% D) 51,2% E) 48,8% Resolução:

Foram três desvalorizações sucessivas de mesma taxa de 20%, portanto podemos utilizar a seguinte fórmula:

1 + $ = 1 + ∙ 1 + " ∙ 1 +

Neste caso, i1= i2=i3=-20%=-0,2

1 + _$ = 1 − 0,2 ∙ 1 − 0,2 ∙ 1 − 0,2 = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,512

$ = −0,488 = −48,8%

27. (FGV / Fiscal da Receita Estadual – Secretaria de Estado da

Administração - AP / 2010) Alberto investiu no início do ano de 2009 suas

economias em ações de uma empresa e, no final do primeiro semestre, verificou que suas ações tinham valorizado em 25%. No final do ano Alberto declarou: "Tenho hoje o dobro da quantia que investi no início do ano". Isto significa que, no segundo semestre de 2009, as ações valorizaram em:

A) 60% B) 66% C) 70% D) 75% E) 100% Resolução:

(40)

A questão nos forneceu a taxa resultante, que vale I = 100% - pois o investimento dobrou de valor – e nos forneceu a primeira taxa de aumento, de 25%, pedindo então a segunda taxa de aumento, logo:

1 + _$ = 1 + ∙ 1 + _" ⟹ 1 + 1 = 1 + 0,25 ∙ 1 + _" ⟹ 2 = 1,25 ∙ 1 + _"

1 + " =

2

1,25= 1,6 ⟹ " = 0,6 = 60%

28. (VUNESP - Escrevente Técnico Judiciário - Tribunal de Justiça –

SP / 2010) Em um concurso para escrevente, 40% dos candidatos inscritos

foram eliminados na prova de Língua Portuguesa, e a prova de Conhecimentos em Direito eliminou 40% dos candidatos restantes. Essas duas provas eliminaram, do total de candidatos inscritos,

a) 84% b) 80% c) 64% d) 46% e) 36% Resolução:

A maneira mais simples de resolvermos esta questão é supondo uma quantidade inicial de candidatos igual a 100. Assim, a primeira prova eliminou 40% deles, o que dá 40 candidatos. Logo, sobraram 60. A segunda prova eliminou 40% dos restantes, ou seja, 0,4 ∙ 60 = 24. Assim, houve um total de 64 candidatos eliminados, o que corresponde a 64% do total de candidatos.

29. (FCC / Analista Judiciário - Área Judiciária - Tribunal Regional do

Trabalho - 15ª Região / 2009) O dono de uma loja deseja promover a

liquidação de alguns produtos, anunciando um desconto de X% nos preços marcados com X inteiro. Entretanto, na semana anterior à liquidação, ele pretende aumentar os preços atuais em 12%, para que os produtos, com o desconto oferecido nos preços remarcados, sejam vendidos no mínimo pelos preços atuais. Para realizar seu intento, o valor de X deve ser no máximo igual a

(41)

www.exponencialconcursos.com.br b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 Resolução:

Esta questão pode ser resolvida por mais de um método. Um deles seria a adoção de um valor fictício (100, por exemplo) para um produto, a aí aplicar o aumento e desconto.

No entanto, vamos resolver de outra maneira, empregando os aumentos sucessivos. Afinal, queremos que uma taxa de aumento i1=12%=0,12, aplicada com uma taxa de desconto i2=-x%, forneça uma taxa

resultante iR=0 (afinal, o valor final deve ser igual ao valor inicial, ou seja,

sem aumentos nem reduções).

Aplicando a fórmula dos descontos sucessivos, temos: 1 + $ = 1 + ∙ 1 + "

1 + 0 = 1 + 0,12 ∙ 1 − ( 1 = 1,12 ∙ 1 − ( 1 − ( = 1

1,12≅ 0,893 ∴ ( ≅ 1 − 0,893 = 0,107 ∴ ( = 10,7%

Como o valor encontrado não é inteiro, temos que interpretar o resultado, para marcarmos a alternativa correta.

Os nossos cálculos mostraram que, com um desconto de 10,7%, o valor volta a ser o original. A questão pede o valor máximo de X que faça com que os produtos "sejam vendidos no mínimo pelos preços atuais". Um raciocínio simples mostra que, se o desconto for maior do que o valor calculado, o preço final será menor do que o preço atual do produto (e não é isso o que queremos!).

Assim, o desconto que queremos é de 10%, pois este é o maior valor inteiro que é menor do que o valor calculado.

30. (FCC / Técnico Judiciário - Programação de Sistemas - Tribunal

Regional Federal - 4ª Região / 2007) Em dezembro de 2006, um

comerciante aumentou em 40% o preço de venda de um microcomputador. No mês seguinte, o novo preço foi diminuído em 40% e, então, o micro

(42)

passou a ser vendido por R$ 1.411,20. Assim, antes do aumento de dezembro, tal micro era vendido por

a) R$ 1 411,20 b) R$ 1 590,00 c) R$ 1 680,00 d) R$ 1 694,40 e) R$ 1 721,10 Resolução:

Sejam Pi e Pf, respectivamente, os preços inicial e final do computador.

Vemos que tal produto sofreu um aumento (+40%) e um desconto (-40%), sucessivos. Assim, temos:

+ )∙ 1 + 0,4 ∙ 1 − 0,4 1411,2 = ₎ ∙ 1,4 ∙ 0,6 1411,2 = ) ∙ 0,84 ) = 1411,2 0,84 = 1680

31. (FGV / Auditor Fiscal da Receita Estadual Secretaria de Fazenda

- RJ / 2007) Em um país, o Produto Interno Bruto (PIB) aumentou 6,0% em

um ano, enquanto a população aumentou 2,0% no mesmo período. Então, pode-se dizer que a evolução do PIB per capita foi:

A) inferior a 2,0%. B) igual a 2,0%.

C) entre 2,0% e 3,0%, excluindo os extremos. D) igual a 3,0%.

E) superior a 3,0%,

Resolução:

Primeiramente, vale lembrar que PIB per capita é a razão entre o valor do PIB e o número de habitantes (N) de uma população, logo:

PIB PIB per capita

N =

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Dito isto, vamos mostrar duas soluções possíveis para a questão: 1ª Solução – usando fator de multiplicação

Lembre-se de que depois de um aumento, o valor final da grandeza é obtido pelo produto do seu valor inicial pelo fator de multiplicação, ou seja,

∙ 1 +

O PIB aumentou 6,0%, logo o fator de multiplicação vale 1 + 0,06 = 1,06 e o novo valor do PIB vale PIBF = 1,06.PIB.

A população aumentou 2,0%, logo o fator de multiplicação vale 1 + 0,02 = 1,02 e o novo valor do nº de habitante vale NF = 1,02.N.

O novo PIB per capita é obtido pela razão dos novos valores de PIB e nº de habitantes, assim: TQ UVW XYU ZY = TQ [ = 1,06 ∙ TQ 1,02 ∙ [ = 1,06 1,02∙ TQ [ = 1,039 ∙ TQ UVW XYU ZY)\)])*^

A conta nos mostra que o fator de multiplicação do PIB é igual a 1,039, logo:

! = 1 + = 1,039 ⟹ = 0,039 = 3,9%

2ª Solução – utilizando valores

Considerando que, no início, tenhamos um PIB de 100 e o nº de habitantes também igual a 100. Desta maneira, o PIB per capita inicial vale

= 1.

O PIB aumentou 6,0%, logo seu valor final vale 1,06.

A população aumentou 2,0%, logo seu valor final vale 1,02. O novo valor do PIB per capita vale:

TQ UVW XYU ZY =1,06

1,02= 1,039

Note que O PIB per capita aumentou de 1 para 1,039, ou seja, aumentou 3,9%.

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32. (ESAF / Técnico de Finanças e Controle – Controladoria Geral da

União / 2001) O nível geral de preços em determinada região sofreu um

aumento de 10% em 1999 e 8% em 2000. Qual foi o aumento total dos preços no biênio considerado?

A) 8% B) 8,8% C) 10,8% D) 18% E) 18,8% Resolução:

Esta questão pode ser facilmente resolvida com o uso da fórmula do aumento resultante de dois aumentos sucessivos, conforme vimos na aula:

1 + $ = 1 + ∙ 1 + "

Pelos dados da questão, i1=10%=0,10

i2=8%=0,08

Logo:

1 + $ = 1 + 0,1 ∙ 1 + 0,08 = 1,1 ∙ 1,08 = 1,188 ⟹ $ = 0,188 = 18,8%

Certo ou errado

33. (CESPE / Analista Administrativo - ANTAQ / 2014) Uma

concessionária ganhou a concessão para explorar economicamente uma rodovia federal pelo período de 20 anos. A concessionária realizará melhorias na via como a duplicação de trechos, manutenção do asfalto, da iluminação, reforço na sinalização. Considerando que a concessionária esteja autorizada a cobrar pedágios, julgue o item subsequente.

Suponha que o valor inicial do pedágio em um trecho da rodovia seja de R$ 3,50 para veículos de passeio e que sejam permitidos reajustes anuais desse valor. Nesse caso, se nos 2 primeiros anos, os reajustes foram de 5% e 4%, é correto afirmar que o valor do pedágio, ao final do segundo ano, era superior a R$ 3,85.

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Resolução:

Trata-se de aumentos sucessivos, pois que eles ocorreram em 2 anos sucessivos. Vamos calcular o valor final do pedágio, P2:

" 3,50 ∙ 1 + 0,05 ∙ 1 + 0,04 " = 3,50 ∙ 1,05 ∙ 1,04 = 3,822 Item errado.

34. (CESPE / Auditor Federal de Controle Externo - Tribunal de

Contas da União / 2013) Suponha que Fábio tenha decido depositar

mensalmente, sempre no dia 2 de cada mês, a quantia fixa de R$ 360,00 em uma conta que remunera o capital a uma taxa composta de 2% ao mês. Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue.

Suponha que, em determinado mês, a parcela depositada correspondeu a 16% do salário de Fábio, mas que, ao receber um aumento salarial, o valor da parcela tenha passado a corresponder a 12% do novo salário. Nessa situação, é correto afirmar que o aumento salarial de Fábio foi superior a 30%.

Resolução:

Há mais de uma maneira de resolvermos esta questão. Vamos fazê-lo da mais didática (apesar de mais demorada), que é quando calculamos o salário de Fábio.

A quantia depositada por Fábio foi R$ 360,00. Pelos dados da questão, vemos que, inicialmente, tal valor corresponde a 16% do salário dele. Vamos, então, calcular o seu salário S1:

360

_ = 16% = 0,16 ∴ _ = 360

0,16= 2250

Fábio, então, recebeu um aumento (que coisa boa!), e passou a receber o salário S2. A questão afirma que o depósito de R$ 360,00 corresponde, agora, a 12% do seu novo salário. Temos, então:

360 _"

= 12% = 0,12 ∴ _" =

360

0,12= 3000

Para sabermos o aumento i recebido por ele, basta aplicarmos a fórmula: