Mestrado em Engenharia Física Tecnológica

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15

a

Aula - M´

etodos Num´

ericos e Optimiza¸

c˜

ao

Programa¸

c˜

ao

Mestrado em Engenharia F´ısica Tecnol´

ogica

Samuel M. Eleut´erio sme@tecnico.ulisboa.pt

Departamento de F´ısica Instituto Superior T´ecnico

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M´

etodos Num´

ericos - Introdu¸

c˜

ao

A questão central do estudo de qualquer sistemaé (ou tende a ser) a previsão do seu comportamento em instantes

posteriores (ou anteriores) `aqueles para os quais dispomos de

informa¸cão – condi¸cões iniciais (oucondi¸cões fronteiras). Essa descri¸cão pode fazer-se por:

1 Equa¸cões Diferenciais: equa¸cões que relacionam asfun¸cões

com as suas derivadas, tendo portanto umcar´acter local. S˜aoclassificadaspela derivada demaior grau que incluem.

2 Equa¸cões Integrais: equa¸cões que relacionam asfun¸cõescom

os seus integrais, tendo portanto um car´acter n˜ao local(ou

global).

Essas duas formula¸cões são basicamente equivalentes e a op¸cão por uma ou outra tem essencialmente a ver com o modo como se adaptam ao problema em causa.

Aqui vamos limitarmo-nos `as equa¸c˜oes diferenciais.

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Introdu¸

c˜

ao

Porque experimentalmente se verifica que a for¸ca está directamente relacionada com a acelera¸cão, isto é, com a segunda derivada do espa¸co em ordem ao tempo, uma quantidade muito significativa das equa¸cões diferenciais em F´ısica são de 2a _ordem_.

Do ponto de vista prático, para cada problema, temos de responder às seguintes questões:

1 Que equa¸c˜ao(em geral, diferencial) deveremos usar para

descrever o problema em causa;

2 Que m´etodospodemos usar pararesolvertotal ou parcialmente

essa equa¸c˜aoe... aplic´a-los.

Uma parte muito substancial dos trabalhos em F´ısica destina-se a responder uma destas quest˜oes.

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Introdu¸

c˜

ao

No nosso caso vamos estar mais interessados na segunda tarefa, isto é, uma vez conhecida uma certa equa¸cão diferencial, como podemos obter a sua solu¸cão numérica a partir das condi¸cões iniciais espec´ıficas doproblema.

E, qual o compromisso que devemos fazer entre a precisão dos cálculos, otempo de desenvolvimento, otempo de cálculo

e, de um modo geral, com os recursos dispon´ıveis.

Na obten¸cão desolu¸cões existe ainda um outro problema: o estabelecimento das condi¸cões fronteiras (condi¸cões iniciais). ´

E, em muitos casos, uma questão bastante dif´ıcil de resolver e depende, essencialmente, dotipo de equa¸cão em causa. Não iremos estudá-la aqui.

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Equa¸

c˜

oes Diferenciais

Seja a equa¸c˜ao diferencial de 1a _ordem_:

dx

dt = f (x , t)

em que ’f(x,t)’ ´e uma fun¸c˜ao de ’x’ e de ’t’.

Um caso simples e conhecido de todos ´e (com ’c’ constante):

dx

dt = c ⇒ dx = c dt ⇒ x = R c dt + c1

em que c1 é umaconstante de integra¸cão e com solu¸cão:

x (t) = c t + c1

A solu¸cão aqui obtida chama-se solu¸cão geralda equa¸cão diferencial e descreve os processos f´ısicos por ela regidos. Ao particularizar, adaptam-se asconstantes de integra¸cão a um problema espec´ıfico, obtendo-se umasolu¸cão particular. Designa-se por fixa¸cão das condi¸cões iniciais (oucondi¸cões fronteiras), o processo de obten¸cão dos valores dasconstantes de integra¸cão, que satisfazem um determinado problema.

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Decl´ınio Radioactivo

Um exemplo simples de uma equa¸c˜ao diferencial´e o problema do decl´ınio radioactivo:

Numa dada amostra, é constante a fraçcão de núcleos que se desintegram por unidade de tempo.

Ou seja, N(t+δt)−N(t) δt = − λ N(t) ⇒ dN dt = − λ N Resolvendo: dN N = − λ dt ⇒ ln(N) − ln(No) = ln( N No) = − λ (t − to)

Aplicando a fun¸c˜ao exponencial e fazendo to= 0, tem-se:

N = Noe−λ t

Define-se vida média (τ) de uma substância radioactiva como o intervalo de tempo necessário para que uma dada quantidade de núcleos dessa substância se reduza a metade:

No

2 = Noe

−λ t_1/2 _⇒

τ = t1/2 = ln 2_λ

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Decl´ınio Radioactivo - Resolu¸

c˜

ao Num´

erica

(’Prog30 01.c’)

Para se fazer a resolu¸cão numérica dodecl´ınio radioactivo vamos recorrer à expressão inicial que vimos anteriormente:

N(t+δt)−N(t)

δt = −λN(t)

e explicitemos o número de núcleos no instante ’t + δt’ em fun¸cão dos valores no instante ’t’:

N(t + δt) = N(t) − λ N(t) δt

Ou seja, o número de núcleos no instante ’t + δt’ é igual ao número de núcleos no instante ’t’ menos ’λ N(t) δt’.

Assim, a expressão da lei do decl´ınio fornece-nos a forma expl´ıcita para fazer a suaimplementa¸cão numérica.

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Equa¸

c˜

ao Diferencial de 1

a

Ordem -

M´

etodo de Euler

Generalizando os resultados anteriormente exemplificados para o

decl´ınio radioactivo:

Seja uma equa¸c˜ao diferencial de 1a _ordem_:

dx

dt = f (x , t)

podemos discretiz´a-la:

x (t+δt)−x (t)

δt = f (x (t), t)

Explicitando o valor de ’x’ no instante ’t + δt’: x (t + δt) = x (t) + f (x (t), t) δt

A expressão anterior fornece um método para resolver iterativamente a equa¸cão diferencial.

A este algoritmo chama-se m´etodo de Euler.

Como já vimos, para outros cálculos, a escala do acréscimo

’δt’ éessencial para se terem bons resultados. Há que obter um equil´ıbrio entre a precisão dos cálculos e a sua eficiência.

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Precis˜

ao

(’Prog32 01.c’)

Para além dos errosinerentes aos métodos temos também os erros inerentes às máquinas que usamos.

Como se sabe os computadores têm uma precisão limitada e a sua correcta utiliza¸cão exige que conhe¸camos as

caracter´ısticas espec´ıficas dos sistemas que usamos.

A precisão máxima, que podemos ter num cálculo, pode ser obtida usando um programa que adiciona uma quantidade cada vez menor a uma variável. Quando a variável não é alterada atingimos o limite.

No tocante à velocidade de cálculo, é bom ter em conta que muitos compiladoresfazem internamente o cálculo em ’double’. Nestas situa¸cões, fazer os cálculos em ’float’ poderá conduzir a cálculos mais lentos devido aos ’castings’ da´ı resultantes.

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Eficiˆ

encia de C´

alculo

Em programascom um elevado número de opera¸cõesé essencial garantir uma elevada eficiência das tarefas a executar.

Em mais do que uma ocasião, já verificámos que a op¸cão, por uma ou por outra solu¸cão (algoritmo), nos conduz a tempos de cálculos significativamente diferentes.

Também já se encontraram situa¸cões, em que a memória requerida pelo programa é superiorà que lhe pode ser atribu´ıda.

Os compiladores, em geral, dispõem de op¸cões de optimiza¸cão que permitem:

1 Diminuir o espa¸co de mem´oriautilizado; 2 Diminuir o tempo de c´alculo.

No entanto, devemos estar bem cientes de que a melhor optimiza¸c˜ao ´e a que fazemos ao desenvolver um programa.

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Eficiˆ

encia de C´

alculo

Algumas regras básicas são essenciais na escrita do código de um programa:

Antes de come¸car a escrever um programadevemos

planificá-lo cuidadosamente para garantir o menor número de opera¸cões;

Eliminar opera¸c˜oes entre constantes nos ciclos;

Usar macrospara implementar pequenas fun¸cões de uso muito frequente. Isto aumenta o tamanho do código mas reduz o tempo de acesso às fun¸cões;

Reduzir ao m´ınimo o acesso de leitura e de escrita no ecran ou no disco;

Utilizar o qualificativo ’register’ em vari´aveis de utiliza¸c˜aomuito frequente (nem sempre funciona);

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Eficiˆ

encia de C´

alculo

(’Prog32 02.c’ a ’Prog32 06.c’)

Os programasque se seguem (Prog32 02a6’) ilustram as consequências dediferentes implementa¸cões do código do mesmo programa básico. São apresentados ostempos de

CPU e os tempos de Rel´ogio em segundos:

Programa Op¸cão de Código CPU Relógio

Prog32 02 C´odigo base sem escrita 0.24 0

Prog32 03 Escrita no ecran 31.61 68

Prog32 04 Escrita num ficheiro 5.55 6

Prog32 05 8./3. → 2.6666 0.13 0

Prog32 06 8./3. → 2.6666 e ’register’ 0.13 0

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Eficiˆ

encia de C´

alculo

(’Prog32 07.c’ a ’Prog32 10.c’)

Os programas Prog32 07a10 mostrou as diferen¸cas de tempos de cálculo que se obtêm ao usar ’strlen’ na condi¸cão de um ciclo:

1 (Prog32 07): usa ’strlen’ na condi¸c˜ao de um ciclo;

2 (Prog32 08): usa como condi¸c˜ao do ciclo ’str[k] != 0’;

3 (Prog32 09): usa com condi¸c˜ao do ciclo ’k < len’, em que

’len’ ´e o comprimento da string.

4 (Prog32 10): use uma macro e uma fun¸c˜ao para calcular o

quadrado

Programa Op¸cão de Código CPU Relógio

Prog32 07 ’while (k < strlen(str))’ 5.99 6 Prog32 08 ’while (str[k] != 0)’ 1.92 2 Prog32 09 ’while (k < len)’ 1.92 2

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Queda dos Corpos `

a Superf´ıcie da Terra

Como se disse, um número muito significativo das equa¸cões diferenciais, em F´ısica, são de 2a _ordem_.

O movimento, a uma dimensão (1-dim), sem atrito,de um corpo, à superf´ıcie da Terra, é descrito pelalei de Newton:

F = −m g ⇔ md_dt2x2 = −m g ⇔ d2_x

dt2 = −g

Usando as defini¸c˜oes develocidade e acelera¸c˜ao, obtemos

dv dt = −g

dx

dt = v (t)

ou seja, transform´amos uma equa¸c˜ao diferencial de 2a _ordem

num sistema deduas equa¸c˜oes diferenciais de1a ordem, que se podem resolver, como vimos anteriormente.

Assim, a partir da primeira (com to = 0):

dv = −g dt ⇔ Rv

vodv = −g

Rt

to=0dt ⇔ v (t) = −g t + vo

Substituindo este resultado nasegunda e integrando: dx = v dt ⇔ Rx xodx = Rt 0 v dt ⇔ x(t) = − 1 2g t 2_{+ v} ot + xo a

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Queda dos Corpos `

a Superf´ıcie da Terra com Atrito

Infelizmente, a maioria das equa¸cões não são assim tão

simples de resolver como o caso anterior.

Se considerarmos agora uma for¸ca de atritoproporcional ao

quadrado da velocidade a 3-dim e a 1-dim: ~

Fa = −k v (t)2 ~_|~v_{v |} ; Fa = −k v (t)2sgn(v )

em que sgn(v )´e a fun¸c˜ao sinal.

Equa¸c˜ao do movimento da queda dos corpos com atrito: md_dt2x2 = −m g − k v (t)2sgn(v )

Fazendo a sua decomposi¸c˜ao numsistema de duas equa¸c˜oes de 1a _ordem_e_{discretizando}_{com vista `}_a _resolu¸_c˜_{ao num´}_erica_:

δv δt = −g − k mv 2_{sgn(v )} _{v =} δx δt

ou seja, usando o m´etodo de Euler:

v (t + δt) = v (t) − g δt − _mk v (t)2_{sgn(v (t)) δt}

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M´

etodo de Euler e M´

etodo de Euler-Cromer

(’Prog31 01.c’)

Como se viu, a discretiza¸c˜ao do problema anterior conduziu a: v (t + δt) = v (t) − g δt − _mk v (t)2_{sgn(v (t)) δt}

x (t + δt) = x (t) +vδt

Uma vez obtido o valor de v(t + δt), a partir da primeira equa¸c˜ao, temos dois valores poss´ıveis da velocidade para substituir na segunda equa¸c˜ao:

M´etodo de Euler: ovalor da velocidadecalculado no instante

’t’: ’v(t)’.

M´etodo de Euler-Cromer: o valor da velocidadecalculado

no instante ’t + δt’: ’v(t + δt)’.

Assim, o sistema anterior, usando o M´etodo de Euler-Cromer, toma a forma:

v (t + δt) = v (t) − g δt − _mk v (t)2sgn(v (t)) δt x (t + δt) = x (t) +v(t + δt)δt

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M´

etodo de Euler e M´

etodo de Euler-Cromer

Podemos sistematizar os dois m´etodos aqui descritos e analisar as suas diferen¸cas. Seja pois a equa¸c˜ao diferencial:

d2_x

dt2 = f (x (t), t)

O m´etodo de Euler conduz ao sistema: v (t + δt) = v (t) + f (x (t), t) δt x (t + δt) = x (t) + v (t) δt

Enquanto o m´etodo de Euler-Cromer conduz a: v (t + δt) = v (t) + f (x (t), t) δt

x (t + δt) = x (t) + v (t + δt) δt

Se substituirmos v(t + δt) na equa¸c˜ao de x(x + δt), obtemos: x (t + δt) = x (t) + v (t) δt + f (x (t), t) δt2

Como se pode ver, esta expressão é igual à dométodo de Euler

mais o termo δt2_{, ou seja, o} _m´_{etodo de Euler-Cromer}

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M´

etodo Euler, Erros e Problemas

(’Prog33 01.c’)

Os m´etodos deEuler ou de Euler-Cromer baseam-se na hip´otese da derivada seraproximadamente constante no intervalo δt.

No entanto, em muitas situa¸cões, tal aproxima¸cão não é razoavelmente satisfeita e há desvios em rela¸cão à solu¸cão. E os erros vão-seacumulando...

Para evidenciar as diferen¸cas que surgem entre assolu¸c˜oes exactas e aproximadas, podemos analisar a equa¸c˜ao:

dx

dt = x ⇒ x (t) = C e t

Pode ver-se no programa (’Prog33 01.c’) a diferen¸ca entre a solu¸cão exacta e a solu¸cão aproximada. Odesvio torna-se bastante evidente à medida que se aumenta o passo ’dt’.

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M´

etodo de Runge-Kutta de 2

a

Ordem

Já vimos que paramelhorar a convergência das solu¸cões numéricas é conveniente procurar solu¸cões não lineares. Seja a equa¸cão diferenciale o termo n do método de Euler:

dx

dt = f (x , t) xn+1= xn+ f (xn, tn) δt

Procuremos ent˜ao obter informa¸c˜ao sobre a derivada no

interior do intervalo para melhorar a estimativa do valor da fun¸cão. Seja ’h’ o acréscimo da variável.

Designemos por k1 otermo de Euler:

k1 = h f (xn, tn)

Vamos agora fazer uma estimativa no meio do intervalo: k2 = h f (xn+ 1₂k1, tn+1₂ h)

Podemos ent˜ao calcular ovalor da fun¸c˜ao no final do intervalo: xn+1 = xn+ k2

Estas trˆesultimas express˜´ oes (k1, k2 exn+1) definem o m´etodo

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M´

etodo de Runge-Kutta de 2

a

Ordem

Decl´ınio Radioactivo

(’Prog30 02.c’ e ’33 02.c’)

A aplica¸cão do método de Runge-Kutta de 2a _ordem_ao decl´ınio radioactivo dá: dx dt = −λ x em que f (xn, tn) = −λ xn Para k1 e k2 tem-se k1 = h f (xn, tn) k2 = h f (xn+1₂k1, tn+1₂h) k1 = −h λ xn k2 = h (− λ (xn+ 1₂k1))

Substituindo k1 em k2, obt´em-se

k2 = −λ h xn+ 1₂λ2h2xn

E finalmente, tem-se o termo geral: xn+1 = xn+ k2

xn+1 = xn− λ h xn+1₂λ2h2xn

que ´e uma express˜ao de segunda ordem em ’h’ (δt).

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M´

etodo de Runge-Kutta de 4

a

Ordem

O m´etodo de Runge-Kutta de 4a ordem´e provavelmente o

método de resolu¸cão de equa¸cões diferenciaismais utilizado, e generaliza o caso anterior (Ver ’Prog33 03.c’).

Nesta ordem, o m´etodo utiliza quatro termos: k1 = h f (xn, tn)

k2 = h f (xn+ 1₂k1, tn+1₂ h)

k3 = h f (xn+ 1₂k2, tn+1₂ h)

k4 = h f (xn+ k3, tn+ h)

O valor da fun¸cão no final do intervalo é então dado por: yn+1 = yn+1₆k1+1₃ k2+ 1₃k3+ 1₆k4

que é uma expressão com potênciasde ’h’ até à 4a _ordem_.

Outras variantes deste m´etodo podem ser encontradas na

bibliografia da cadeira, bem como programas exemplificativos das suas implementa¸c˜oes.