OTIMIZAÇÃO EM PROBLEMAS DE ENGENHARIA CIVIL

O

TIMIZAÇÃO EM

P

ROBLEMAS DE

E

NGENHARIA

C

IVIL

E

C

M

V

Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ESTRUTURAS DE ENGENHARIA CIVIL

Orientador: Professor Doutor Álvaro Ferreira Marques Azevedo

Tel. +351-22-508 1901 Fax +351-22-508 1440  mestec@fe.up.pt

Editado por

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua Dr. Roberto Frias

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Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja mencionado o Autor e feita referência a Mestrado em Estruturas de Engenharia Civil - 2019/2020 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2020.

As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto de vista do respetivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir.

Este documento foi produzido a partir de versão eletrónica fornecida pelo respetivo Autor.

Aos meus pais

Que a gente entenda que para tudo há um propósito. Que não deixemos de sonhar, de acreditar, de amar, de fazer o bem. Aline Duarte

AGRADECIMENTOS

Expresso primeiramente a minha gratidão à Deus, por guiar todos os meus caminhos.

À minha família, sobretudo aos meus pais, por todo amor e confiança dados a mim, por sempre darem o melhor de si em prol da minha educação. Que apesar da distância fizeram-se presentes encorajando-me diante das minhas inseguranças.

Ao professor e orientador Álvaro Azevedo, pela atenção e orientação apresentada, por toda paciência para solucionar as dúvidas e dificuldades que surgiram ao longo do desenvolvimento deste trabalho. Ao meu namorado, pelo amor e paciência durante essa jornada.

Aos amigos que fiz durante o mestrado e aos amigos do Brasil, pelo apoio e carinho nos momentos difíceis, por todo companheirismo demonstrado.

Aos professores da FEUP, por todo conhecimento transmitido, por toda atenção e dedicação para conosco.

RESUMO

O principal objetivo de um projetista de estruturas é a procura da melhor solução que respeita simultaneamente os diversos requisitos de segurança e desempenho. Porém, na prática, não se pode afirmar que a solução encontrada pelo projetista é a solução mais económica para o projeto, visto que é baseada apenas na sua intuição e experiência. Para ultrapassar este inconveniente é possível recorrer à otimização de estruturas, que na generalidade dos casos procura determinar a solução que torna mínimo o custo, sem que a estrutura perca a sua utilidade, respeitando assim as exigências relativas à sua segurança e desempenho.

Do conjunto de parâmetros que definem a solução estrutural, seleciona-se previamente as grandezas que se pretende modificar e que constituem o principal critério de classificação de problemas de otimização de estruturas. Secções transversais de estruturas reticuladas, espessuras de meios laminares e coordenadas de nós são alguns exemplos que condicionam a classificação dos problemas.

No presente trabalho é efetuada uma abordagem genérica dos problemas de otimização na engenharia civil, através da formulação de programas matemáticos correspondentes a minimizações de custos ou volumes que são possíveis funções objetivo do problema. As exigências relativas à segurança e desempenho correspondem às restrições igualdade e desigualdade, e diversas grandezas figuram como variáveis de projeto.

Para a resolução dos programas matemáticos correspondentes aos problemas de otimização abordados neste trabalho recorre-se ao uso dos softwares EXCEL, com a utilização da ferramenta Solver, e MATLAB, através da função Fmincon. Estes softwares utilizam diversos métodos numéricos no âmbito do seu funcionamento. Através da comparação dos resultados obtidos com os dois softwares utilizados é possível observar o seu bom desempenho na resolução dos problemas de otimização abordados.

ABSTRACT

The main objective of a structural engineer is the search for the best solution that simultaneously takes into account all the requirements of safety and performance. However, in practice, there is no guarantee that the solution adopted by the engineer is the most economical, since it is only based on his intuition and experience. This solution can be improved using a structural optimization tool that, in most cases, finds for the solution that minimizes the cost, without compromising the safety and performance of the structure.

In the set of parameters that define the structural solution, the quantities that can be modified constitute the main criterion for the classification of structural optimization problems. Cross sections of frame structures, thickness of plate elements and nodal coordinates are some examples of parameters that can be used to provide a classification of optimization problems.

This dissertation presents a generic approach to optimization problems in civil engineering, through the formulation of mathematical programs where the minimization of the cost or volume is the main goal, being these the most common objective functions. The requirements related to safety and performance correspond to a set equality and inequality constraints, and the quantities that define the solution are the design variables.

To solve the mathematical programs that correspond to the optimization problems considered in this dissertation, the EXCEL software is used, with the associated Solver tool, and also the Fmincon function available in MATLAB. These tools utilize several numerical methods in their operation. By comparing the results obtained with these software packages, it is possible to observe their good performance in the solution of the proposed optimization problems.

ÍNDICE GERAL AGRADECIMENTOS... i RESUMO ... iii ABSTRACT ... v

1. INTRODUÇÃO

2. OTIMIZAÇÃO

2.1.1.FORMULAÇÃO DO PROGRAMA MATEMÁTICO ... 3

2.1.2.COMPONENTES DO PROGRAMA MATEMÁTICO ... 7

2.1.2.1. Variáveis de projeto ... 7

2.1.2.2. Função objetivo ... 8

2.1.2.3. Restrições igualdade e desigualdade... 8

2.2.INTERESSES E LIMITAÇÕES ... 9

2.3.PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO APLICADOS À ENGENHARIA CIVIL ...10

2.4.1.OTIMIZAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS ...10

2.4.2.OTIMIZAÇÃO DE ESPESSURAS...10

2.4.3.OTIMIZAÇÃO DE FORMAS ...10

2.4.4.OTIMIZAÇÃO DE APOIO À DECISÃO ...11

2.4.5.OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS ...11

2.4.6.OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA ...11

3. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO...13

3.1.A FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL ...15

3.1.1.MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO UTILIZADOS PELA FERRAMENTA SOLVER ...15

3.1.1.1. Método LP Simplex ...16

3.1.1.2. Método GRG (Gradiente Reduzido Generalizado) Não linear ...17

3.1.1.3. Método Evolucionário ...19

3.2.A FUNÇÃO FMINCON DO MATLAB ...19

3.2.1.MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO UTILIZADOS PELA FUNÇÃO FMINCON ...21

3.2.1.2. Método Trust-Region-Reflective ... 23

3.2.1.3. Método SQP e SQP-Legacy ... 24

3.2.1.4. Método Active-Set ... 24

4. APLICAÇÃO A PROBLEMAS SIMPLES DE ENGENHARIA

E PROBLEMAS DE TESTE

4.1.BARRAGEM GRAVIDADE COM TRÊS VARIÁVEIS ... 27

4.1.1.APLICAÇÃO DO PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO AO MATLAB... 33

4.1.2.APLICAÇÃO DO PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO AO EXCEL ... 35

4.1.3.SOLUÇÕES ENCONTRADAS PELOS SOFTWARES ... 37

4.2.POSTO DISTRIBUIDOR DE ENERGIA ELÉTRICA ... 39

4.3.TANQUE CILÍNDRICO ... 46

4.4.PROBLEMAS DE TESTE ... 48

4.4.1.FUNÇÃO COM RESTRIÇÕES LINEARES DE IGUALDADE E DESIGUALDADE ... 48

4.4.2.FUNÇÃO COM RESTRIÇÕES NÃO LINEARES E LINEARES DE DESIGUALDADE ... 51

4.4.3.FUNÇÃO DE ROSENBROCK ... 53

5. APLICAÇÃO A PROBLEMAS DE ENGENHARIA CIVIL ... 57

5.1.COBERTURA PARA HIPERMERCADO ... 57

5.2.BARRAGEM GRAVIDADE COM OITO VARIÁVEIS ... 82

5.3.TRELIÇA COM TRÊS BARRAS ... 114

6. CONCLUSÃO

6.1. OBSERVAÇÕES FINAIS... 131

6.2.SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS... 132

ÍNDICE DE FIGURAS

Fig. 2.1 – Região admissível das restrições 𝑥1+ 𝑥2= 0 e 𝑥12+ 𝑥22≤ 1. ... 4

Fig. 2.2 – Representação gráfica de problemas de maximização e minimização. ... 5

Fig. 2.3 – Representação gráfica dos pontos ótimos... 6

Fig. 2.4 – Representação gráfica sujeita a restrições igualdade e desigualdade. Adaptado de Arora (1989). ... 9

Fig. 3.1 – Representação gráfica parábola 𝑓(𝑥) = a𝑥2_{+ b𝑥 + c. ...13}

Fig. 3.2 – Fluxograma comum aos métodos de otimização. Adaptado de Arora (1989) e Azevedo (1994). ...14

Fig. 4.1 – Barragem gravidade com três variáveis. ...27

Fig. 4.2 – Diagrama de tensões. ...28

Fig. 4.3 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de otimização. ...36

Fig. 4.4 – Definição dos parâmetros do Solver. ...37

Fig. 4.5 – Esquema ilustrativo de ligação dos cabos ao posto distribuidor P. ...40

Fig. 4.6 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema do posto distribuidor. ...43

Fig. 4.7 – a) e b) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do comprimento do cabo. 45 Fig. 4.8 – Representação do comprimento do cabo otimizado. ...46

Fig. 4.9 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do volume do tanque. ..47

Fig. 4.10 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do volume do tanque. ...48

Fig. 4.11 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização da função quadrática sujeita às restrições lineares. ...50

Fig. 4.12 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização da função quadrática sujeita às restrições lineares. ...50

Fig. 4.13 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização da função quadrática sujeita às restrições não lineares...52

Fig. 4.14 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização da função quadrática sujeita às restrições não lineares. ...53

Fig. 4.15 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização da função de Rosenbrock. ...55

Fig. 4.16 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização da função de Rosenbrock. ...55

Fig. 4.17 – Representação das curvas de nível da função de Rosenbrock com o ponto mínimo. ...56

Fig. 5.1 – Esquema ilustrativo da cobertura. ...58

Fig. 5.2 – Chapa trapezoidal. ...59

Fig. 5.3 – Linha de tendência Ac (tc) na chapa. ...60

Fig. 5.5 – Linha de tendência Ycg,sup (tc) na chapa... 61

Fig. 5.6 – Tabela com os valores das cargas resistentes em kN/m² [24]. ... 62

Fig. 5.7 – Perfil Superomega utilizado nas madres M. ... 63

Fig. 5.8 – Linha de tendência AM (HM) na madre. ... 63

Fig. 5.9 – Linha de tendência IM (HM) na madre. ... 64

Fig. 5.10 – Linha de tendência Zcg (HM) na madre. ... 65

Fig. 5.11 – Perfil IPE utilizado nas vigas V. ... 67

Fig. 5.12 – Linha de tendência HV (AV) na viga. ... 68

Fig. 5.13 – Linha de tendência HV (IV) na viga. ... 69

Fig. 5.14 – Setor que se repete em ambas as direções (𝑥1e 𝑥2). ... 72

Fig. 5.15 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do custo da cobertura. ... 78

Fig. 5.16 – a), b) e c) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do custo da cobertura. ... 80

Fig. 5.17 – Valor da carga resistente em kN/m² para o vão de 1.5 m [24]. ... 81

Fig. 5.18 – Barragem gravidade com oito variáveis. ... 82

Fig. 5.19 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do volume da barragem de oito variáveis. ... 110

Fig. 5.20 – a), b), c) e d) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do volume da barragem de oito variáveis. ... 113

Fig. 5.21 – Treliça com três barras e dois casos de carga. ... 114

Fig. 5.22 – Perfil tubular de secção circular. ... 117

Fig. 5.23 – Linha de tendência 𝜒 ∙ 𝑓𝑦(A) para as barras 1 e 3. ... 118

Fig. 5.24 – Linha de tendência 𝜒 ∙ 𝑓𝑦(A) para barra 2. ... 120

Fig. 5.25 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do custo da treliça. .. 128

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 2.1 – Particularidade das variáveis, função objetivo e restrições. ... 6

Quadro 3.1 – Sintaxe da função Fmincon. ...20

Quadro 4.1 – Comparação entre os resultados obtidos com os softwares MATLAB, EXCEL e NEWTOP. ...39

Quadro 4.2 – Comparação entre os resultados obtidos para a minimização do comprimento do cabo. ...45

Quadro 4.3 – Comparação entre os resultados obtidos para a minimização do custo do tanque. ...48

Quadro 4.4 – Comparação entre os resultados obtidos para a função com restrições lineares ...51

Quadro 4.5 – Comparação entre os resultados obtidos para a função com restrições polinomial e linear. ...53

Quadro 4.6 – Comparação entre os resultados obtidos para a função de Rosenbrock. ...56

Quadro 5.1 – Chapas utilizadas para a cobertura Ac (tc). ...59

Quadro 5.2 – Chapas utilizadas para a cobertura Ycg (tc). ...60

Quadro 5.3 – Chapas utilizadas para a cobertura Ycg,sup (tc). ...61

Quadro 5.4 – Gama de perfis utilizada na madre AM (HM). ...63

Quadro 5.5 – Gama de perfis utilizada na madre IM (HM) ...64

Quadro 5.6 – Gama de perfis utilizada na madre Zcg (HM). ...64

Quadro 5.7 – Gama de perfis utilizada na viga AV (HV). ...67

Quadro 5.8 – Gama de perfis utilizada na viga IV (HV)...68

Quadro 5.9 – Comparação entre os resultados obtidos para o problema da cobertura. ...80

Quadro 5.10 – Resultados obtidos para o problema da cobertura utilizando aproximações. ...81

Quadro 5.11 – Porcentagem de redução do custo da solução sem e com otimização. ...82

Quadro 5.12 – Resultados obtidos na minimização do volume da barragem com oito variáveis. ...113

Quadro 5.13 – Gama de perfis utilizada na treliça e respectivos valores de 𝜒 ∙ 𝑓𝑦 para a barra 1 e 3 ...118

Quadro 5.14 – Gama de perfis utilizada na treliça e respectivos valores de 𝜒 ∙ 𝑓𝑦 para a barra 2. ....120

Quadro 5.15 – Comparação entre os resultados obtidos para o problema da treliça. ...130

ÍNDICE DE SCRIPTS

Script 4.1 – Programa matemático da barragem de três variáveis correspondente às restrições não lineares. ...34 Script 4.2 – Programa matemático da barragem de três variáveis correspondente ao programa principal. ...34 Script 4.3 – Programa matemático relativo ao software NEWTOP para o problema da barragem. ...37 Script 4.4 – Programa matemático do posto distribuidor correspondente às restrições não lineares...41 Script 4.5 – Programa matemático do posto distribuidor correspondente ao programa principal ...41 Script 4.6 – Programa matemático correspondente à minimização do custo do tanque. ...47 Script 4.7 – Programa matemático correspondente à minimização de uma função com restrições lineares. ...49 Script 4.8 – Programa matemático correspondente à restrição polinomial de uma função...51 Script 4.9 – Programa matemático correspondente à minimização de uma função com restrições polinomial e linear. ...51 Script 4.10 – Programa matemático correspondente à minimização da função de Rosenbrock utilizando FMINCON. ...54 Script 4.11 – Programa matemático correspondente à minimização da função de Rosenbrock utilizando FMINUNC. ...54 Script 5.1 – Programa matemático correspondente às restrições não lineares da cobertura. ...75 Script 5.2 – Programa matemático correspondente ao programa principal da cobertura. ...76 Script 5.3 – Programa matemático da barragem de oito variáveis correspondente às restrições não lineares. ...106 Script 5.4 – Programa matemático da barragem de oito variáveis correspondente ao programa principal. ...108 Script 5.5 – Programa matemático da treliça correspondente às restrições não lineares. ...126 Script 5.6 – Programa matemático da treliça correspondente ao programa principal. ...127

SÍMBOLOS,ACRÔNIMOS E ABREVIATURAS 𝑔𝑚 – restrições desigualdade ℎ𝑝 – restrições igualdade 𝑓(𝑥) – função objetivo 𝑥* – solução ótima 𝛻𝑓 – gradiente da função

𝛻ℎ𝑖 – gradiente da restrição igualdade

𝐴 – matriz dos coeficientes das restrições desigualdade 𝐴𝑒𝑞 – matriz dos coeficientes das restrições igualdade

𝑏 – vetor dos termos independentes das restrições desigualdade 𝑏𝑒𝑞 – vetor dos termos independentes das restrições igualdade

𝑙𝑏 – limites inferiores 𝑢𝑏 – limites superiores

𝐽g – Jacobiano da função restrição g

𝐽h – Jacobiano da função restrição h

𝐿 – Langrageano 𝑠 – variável de desvio H – matriz Hessiana

‖𝐷𝑠‖ – matriz diagonal na norma Euclidiana λ𝑖 – multiplicadores de Lagrange

LP Simplex – Linear Programming Simplex

GRG – Generalized Reduced Gradient (Gradiente Reduzido Generalizado) KKT – Karush, Kuhn e Tucker

NaN – Not a Number Inf – Infinity

SQP – Sequential Quadratic Programming (Programação Quadrática Sequencial) GC – Gradiente Conjugado

CAPÍTULO 4

𝛾𝑤 – peso específico da água [kN/m3]

𝐹𝑆 – fator de segurança global ao derrube Iw – impulso da água [kN/m]

H – altura total da barragem de três variáveis [m] B – base maior da barragem de três variáveis [m] b – base menor da barragem de três variáveis [m] P – posto distribuidor de energia elétrica

L – comprimento total do cabo [m] D – diâmetro do tanque [m] L – comprimento do tanque [m] CAPÍTULO 5 𝑞𝐶 – sobrecarga na chapa [kN/m2] 𝑞𝑛𝑒𝑣𝑒 – sobrecarga da neve [kN/m2] 𝐵𝑖 – largura do pilar [m] 𝐿𝑃 – Comprimento do pilar [m]

𝐸𝑠 – Módulo de Young do aço [kPa]

𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠 – tensão admissível do aço [kPa]

𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑐 – tensão admissível do betão [kPa]

𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠𝑜𝑙𝑜 – tensão admissível do solo [kPa]

𝛾𝑠 – peso específico do aço [kN/m3]

𝐶𝑠 – custo específico do aço [€/m3]

𝐶𝑐 – custo específico do betão [€/m3]

𝐿𝑖 – comprimento do elemento [m] 𝐻𝑖 – altura da secção [m] 𝑡𝐶 – espessura da chapa [m] 𝐷𝑖 – largura da sapata [m] 𝐻𝑆 – altura da sapata [m] 𝑝𝑝𝑖 – peso próprio [kN/m] Ai – área da secção [m2] Ii – momento de inércia [m4] 𝑌𝑐𝑔 – centro de gravidade [m]

Ycg,sup – distância do centro de gravidade até a fibra superior [m]

𝜎𝑖 – tensão normal [kPa]

𝛿𝑚𝑎𝑥 – flecha máxima [m]

𝑅𝑖 – reação no apoio [kN]

𝑁𝑖 – esforço axial [kN]

𝑓𝑦 – tensão de cedência do aço [kN/cm2]

𝛾𝑀𝑖 – coeficiente parcial de segurança

𝜒 – coeficiente de redução para a curva de dimensionamento (de colunas à encurvadura) relevante 𝛷 – valor para determinar o coeficiente de redução

𝜆̅ – esbelteza normalizada 𝛼 – fator de imperfeição

𝑁𝑐𝑟 – valor crítico do esforço normal para o modo de encurvadura elástica considerado, determinado

com base nas propriedades da secção transversal bruta [kN] 𝜀 – deformação normal

𝛥𝑖 – deslocamento do nó segundo a direção [cm]

𝐾 – matriz de rigidez 𝛥 – matriz de deslocamento 𝐹 – matriz de força

1

INTRODUÇÃO

A otimização pode ser descrita como o ato de obter o melhor resultado para determinadas circunstâncias, assim como a otimização aplicada em problemas de engenharia civil que busca a obtenção da solução mais vantajosa. Essa tarefa cabe ao projetista e implica uma pesquisa exaustiva que o obrigaria levar em consideração todas as soluções possíveis. Para isso é necessário que as soluções possíveis sejam finitas e que sua análise possa ser efetuada em um intervalo de tempo razoável. Porém, este cenário é apenas aplicado em problemas simples com um número reduzido de parâmetros. Em casos complexos é fundamental abordar o problema de modo relativamente simplificado para que seja possível sua solução. Neste caso, o projetista irá avaliar se a solução do problema simplificado se aproxima adequadamente do problema inicial.

Antes mesmo da intervenção do projetista é habitual identificar o conjunto de parâmetros gerais na formulação de um problema. Em seguida ocorre a seleção do tipo de estrutura, visto que para cada situação estudada existirá um reduzido número de opções passíveis de serem concretizadas, sendo tais escolhas fundamentadas na comparação entre estudos preliminares. E finalmente é possível formular o problema matemático que na quase totalidade das aplicações de otimização na engenharia civil busca minimizar o custo. Esta é, assim, a fase que é abordada no presente trabalho.

Os problemas de otimização aplicados na engenharia civil em sua maioria buscam minimizar o custo, garantindo as exigências relativas à segurança e ao desempenho da estrutura. Esta minimização é feita através de uma função escalar intitulada de função objetivo, e as exigências aparecem na otimização como restrições igualdade e/ou desigualdade. Em alguns casos a otimização pode não apresentar aspectos similares aos referidos anteriormente. A função objetivo pode ser para maximizar a segurança e o desempenho da estrutura considerando um custo fixo. Também pode ocorrer problemas em que o objetivo não seja único, considerando assim uma única função objetivo que resulta da combinação ponderada dos diversos objetivos iniciais.

A quantificação do custo é feita através da quantidade e na diversidade dos materiais utilizados. Quando for utilizado apenas um único material na estrutura considera-se seu custo dependente do seu volume ou do seu peso. Por outro lado, se na estrutura estiverem presentes diversos materiais, a função do custo será calculada através dos custos unitários de cada material. Além do custo associado à quantidade de material utilizado na própria estrutura, também deve ser considerado o custo associado às estruturas que auxiliam o processo construtivo como as cofragens, por exemplo.

Para auxiliar o projetista no processo de busca da melhor solução, ou seja, da solução mais econômica para a estrutura e que atenda às condições de segurança, são aplicados os métodos de otimização através da utilização de softwares existentes no mercado, que vão desde os mais comuns aos mais complexos.

Refere-se como exemplo, o editor de planilhas mais utilizado, o Microsoft EXCEL e, o software de alta performance voltado para cálculos numéricos, o MATLAB.

A utilização dos softwares faz com que a tarefa de busca do projeto ótimo se torne atraente, de forma que os projetistas possam economizar tempo com as sucessivas verificações de segurança para decidir qual solução será mais econômica. Levando em conta as quantidades de variáveis relacionadas ao processo de otimização, dificilmente a melhor solução para o projeto será encontrada sem que seja feito um estudo detalhado e bem formulado do problema.

No projeto de estruturas, a otimização pode assumir variados aspectos, sendo caracterizada essencialmente pela seleção das grandezas que são consideradas fixas e das que são consideradas variáveis. As variáveis de projeto dependem da função objetivo que se pretende minimizar e a elas são impostas restrições. Elas estão associadas ao tipo de otimização que será aplicado ao problema. No âmbito de estruturas, é comum otimizar as secções transversais (treliça ou pórtico 3D), espessuras (membrana, laje e cascas), forma em meios contínuos (sólido 3D), forma em meios laminares (membrana, laje e cascas), forma em treliças ou pórticos, topologia (treliça), materiais e localização de ações [1].

O conceito de otimização na engenharia civil torna-se imprescindível no cenário de escassez de recursos naturais. Aplicar a otimização em projetos estruturais significa utilizar a quantidade de material suficiente para cumprir com a segurança da estrutura, sem que haja sobredimensionamento e utilização desnecessária de material. Desta forma, contribui para que haja menor consumo de energia para a fabricação do material que será utilizado na construção. Concluindo, pode-se dizer que a otimização aplicada neste contexto pode contribuir de forma positiva com a questão ambiental vivenciada no mundo.

2

OTIMIZAÇÃO

2.1.GENERALIDADES

2.1.1.FORMULAÇÃO DO PROGRAMA MATEMÁTICO

Os problemas de otimização de forma genérica, e de estruturas em particular, são designados programas matemáticos e têm a seguinte formulação:

Minimizar 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) sujeita a (2.1) 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ≤ 0 ⋮ ⋮ 𝑔𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ≤ 0 (2.2) ℎ1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0 ⋮ ⋮ ℎ𝑝(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0 (2.3)

Neste esquema, as variáveis de projeto são 𝑥𝑖(𝑖 = 1, 2, … , 𝑛), a função objetivo é 𝑓, as restrições desigualdade são 𝑔𝑗 ≤ 0 (𝑗 = 1, 2, … , 𝑚) e por fim as restrições igualdade ℎ𝑘 = 0 (𝑘 = 1, 2, … , 𝑝). O problema de um modo mais compacto pode ser escrito como:

Min 𝑓(𝑥) s.a

(2.4)

𝑔(𝑥) ≤ 0 (2.5)

As variáveis de projeto normalmente podem assumir qualquer valor real. A função objetivo, as restrições igualdade e desigualdade são funções escalares que assumem valores contínuos e reais.

A solução do problema de minimização descrito acima (2.4) é chamada de solução ótima, pois 𝑥* é o vetor que torna mínima a função objetivo 𝑓, satisfazendo as devidas restrições. Nos casos que existirem mais de uma solução ótima estes serão chamados de soluções ótimas alternativas. O conjunto de soluções (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) que estiverem definidas dentro da região admissível ou viável, ou seja, as que respeitam as restrições igualdade e desigualdade, são ditas de soluções admissíveis, viáveis ou factíveis e as que não respeitam a maioria das restrições são designadas soluções inadmissíveis ou inviáveis. Por exemplo, na Fig. 2.1 observa-se um problema com duas variáveis (bidimensional) e com uma única restrição 𝑥1+ 𝑥2= 0, a região admissível incluiria todos os pontos definidos na linha tracejada, porém se a restrição fosse 𝑥12+ 𝑥22≤ 1, a região admissível estaria definida no interior e no limite do círculo unitário [2].

Fig. 2.1 – Região admissível das restrições 𝑥1+ 𝑥2= 0 e 𝑥12+ 𝑥22≤ 1.

A solução do problema de maximização também é definida como solução ótima desde que o argumento de maximização seja −𝑓(𝑥). Neste trabalho são comtempladas apenas os problemas de minimização.

Fig. 2.2 – Representação gráfica de problemas de maximização e minimização.

Quando as restrições desigualdade que tiverem o formato 𝑔(𝑥) ≥ 0 forem multiplicadas por -1 em ambos os lados da inequação transformam-se em restrições do tipo −𝑔(𝑥) ≤ 0. Esse artifício é necessário para poder entrar com as restrições desigualdade no MATLAB.

𝑔(𝑥) ≥ 0 ⇒ −𝑔(𝑥) ≤ 0 (2.8)

A função 𝑓(𝑥) terá um mínimo local em 𝑥* se a função assumir um valor mínimo em uma determinada vizinhança dentro da região admissível. Quando o valor da função em 𝑥* assumir um valor menor ou igual da função em qualquer outro ponto 𝑥 dentro da região admissível 𝑥* não é um mínimo local e sim um mínimo global. Em alguns problemas de otimização é importante encontrar o ponto possível em que 𝑓(𝑥) assume seu menor valor. Na Fig. 2.2 é possível visualizar o mínimo local representado pelo ponto A e o mínimo global pelo ponto C [3].

Fig. 2.3 – Representação gráfica dos pontos ótimos.

O programa matemático pode ser do tipo linear ou não linear. O que vai definir sua natureza é a função objetivo e as restrições igualdade e desigualdade que podem ser funções lineares ou não lineares em relação às variáveis de projeto. Se pelo menos uma dessas funções for não linear, o problema de otimização será chamado de programação não linear, caso contrário será programação linear. Em problemas práticos de engenharia dificilmente terá funções descritas pelas variáveis de projeto de maneira linear [4].

No Quadro 2.1 apresentam-se as particularidades das variáveis, da função objetivo e das restrições igualdade e desigualdade que definem a natureza das funções do problema [5].

Quadro 2.1 – Particularidade das variáveis, função objetivo e restrições.

Sem restrições

Limites nos valores das variáveis Lineares

Polinomiais

Não linear com continuidade Não linear sem continuidade Restrições igualdade e desigualdade

Função de uma variável Binárias Inteiras Discretas Linear Quadrática Polinomial

Não linear com continuidade Variáveis

Função objetivo

Contínuas Particularidades

Existem, assim, diferentes métodos destinados à resolução de problema de otimização que dependem das variáveis de projeto, das características da função objetivo e do tipo de restrições. Os métodos probabilísticos (ou heurísticos) e os métodos determinísticos (ou programação matemática) são as duas vertentes dos processos de otimização conhecidos atualmente [6].

2.1.2.COMPONENTES DO PROGRAMA MATEMÁTICO

Como visto no Quadro 2.1, as variáveis, a função objetivo e as restrições possuem características que variam de acordo com o tipo de problema a que será aplicada a otimização, bem como a aplicação em problemas de engenharia civil.

2.1.2.1. Variáveis de projeto

As variáveis de projeto, como visto anteriormente, podem ser contínuas, discretas, inteiras e binárias. Quando assumirem qualquer valor real dentro de um domínio admissível são variáveis contínuas. Por sua vez, quando assumirem apenas alguns valores reais, ou seja, valores isolados de uma lista de valores permitidos, são variáveis discretas. Já as variáveis do tipo inteiras assumem apenas valores inteiros e as binárias só assumem os valores 0 e 1 [7].

No âmbito da engenharia civil, as variáveis dos problemas de otimização dependem de cada grandeza estudada. Na otimização de forma que podem ser em treliças, pórticos, em meios contínuos 3D ou meios laminares as variáveis de projeto são as coordenadas de alguns nós e terão caráter contínuo [8].

Na otimização da área da secção transversal de um perfil metálico a variável possui uma natureza discreta pois a área é predefinida em catálogos comerciais. Porém, a existência de variáveis discretas dificulta a resolução do problema de otimização, sendo necessário considerá-las variáveis contínuas. Em seguida, é possível passar para a solução discreta aplicando aproximações favoráveis. Na otimização de espessuras em meios laminares é habitual considerar variáveis contínuas.

A otimização pode ser aplicada também como apoio à decisão, como por exemplo, no tipo de barragem (gravidade, abóbada com ou sem contraforte), tipo de cobertura (treliça metálica, suspensa, betão pré-esforçado) e tipo de estrutura (pórtico, parede, mista). Para todos esses casos as variáveis podem ser consideradas contínuas.

Como os materiais não possuem uma variação contínua de propriedades e por ser comum considerar um número reduzido de classes de resistência, a otimização da seleção de materiais deve ser assumida com variáveis discretas. A orientação da direção mais resistente de um material ortotrópico, como por exemplo fibras em compósitos, também são considerados como otimização de materiais, assumindo-se neste caso que os ângulos que definem essas orientações possuem uma variação contínua. Porém, para facilitar a aplicação é necessário restringir o número de ângulos possíveis, passando a ter variáveis discretas [5].

Os problemas de otimização da topologia da estrutura possuem como variáveis de projeto o número de montantes numa asna, vãos de um pórtico, apoios de uma viga contínua, barras de uma treliça, nervuras de uma laje, etc. Esses problemas em certos casos são formulados com variáveis binárias, ou seja, cada elemento da estrutura deve ser multiplicado por uma variável binária, assim como as restrições relativas ao seu comportamento. Os elementos da solução ótima que estiverem associados a uma variável binária nula são eliminados e os restantes preservados [9].

2.1.2.2. Função objetivo

A função objetivo depende do tipo de problema de otimização e da grandeza que planeia minimizar. Na totalidade dos casos a função está escrita a partir das variáveis de projeto. Quando a estrutura é constituída por um único material é comum minimizar o volume e consequentemente o seu custo. Se houver mais de um material presente na estrutura a função objetivo representa o custo por unidade de volume de cada material. E nos casos que o objetivo for minimizar o peso da estrutura considera-se como custo por unidade de volume o peso específico de cada um dos materiais.

Em casos particulares podem haver otimização de estruturas em que a função objetivo não é um custo, como por exemplo, maximizar a rigidez considerando custo fixo ou maximizar a frequência própria fundamental considerando peso fixo, nestes casos a função objetivo representa a grandeza associada ao desempenho de uma estrutura.

2.1.2.3. Restrições igualdade e desigualdade

Em problemas de otimização aplicados à engenharia civil, nem todos os valores possíveis para as variáveis são admissíveis para o projeto, havendo a necessidade de impor restrições. Como visto anteriormente, essas restrições podem ser de igualdade ou desigualdade.

As restrições igualdade que figuram um programa matemático podem ser eliminadas desde que em cada uma delas seja possível explicitar uma variável de projeto distinta. Em seguida, essas variáveis podem ser substituídas nas outras expressões do programa matemático. Para os casos em que a quantidade de restrições igualdade excedem o número de variáveis de projeto a formulação é dada como inconsistente. O procedimento de substituição auxilia na resolução do problema de otimização, pois reduz a quantidade de variáveis e restrições presente na formulação. Porém, se houver um número elevado de restrições associadas com as variáveis do problema, não é aconselhável recorrer a essas substituições, pois as expressões passam a ter um caráter complexo, sendo necessário o uso de um programa de computador. Na otimização aplicada à engenharia civil aparecem restrições igualdade quando há a necessidade de impor valores fixos a deslocamentos, quando eles são variáveis de projeto ou em casos que se pretende fixar algumas variáveis, como por exemplo, altura ou base de uma viga, espessura de um perfil metálico ou altura de um pilar.

Quanto às restrições desigualdade, não há limitações para a sua quantidade na formulação do problema. Na otimização em problemas de engenharia civil elas estão presentes devido à necessidade de limitar tensões dos materiais, tensões de instabilidade, deslocamentos, frequências próprias de vibração, etc. Podem haver também limitações para valores mínimos e máximos das variáveis, como por exemplo, áreas mínimas e máximas de perfis metálicos que estão disponíveis em catálogos de um certo fabricante para barras de uma treliça, impedindo que o algoritmo busque soluções nulas ou negativas. Porém, em alguns softwares de otimização os limites são considerados à parte e não como restrições desigualdade. Assim, é importante formular adequadamente um problema de otimização para que permita que o software encontre boas soluções quanto sua formulação [2].

A representação gráfica de um problema de otimização contendo a função objetivo em função de duas variáveis sujeita a três restrições desigualdade e uma restrição igualdade e a limites mínimos e máximos impostos a variáveis, encontra-se exemplificado na Fig. 2.4. Nota-se que a região admissível é representada pelo troço de linha definida por ℎ(𝑥1, 𝑥2) que respeita as restrições 𝑔𝑗(𝑥1, 𝑥2); 𝑗 = 1, 2,3.

Fig. 2.4 – Representação gráfica sujeita a restrições igualdade e desigualdade. Adaptado de Arora (1989).

2.2.INTERESSES E LIMITAÇÕES

A otimização na engenharia civil tem aspecto importante quando a intenção do projetista é diminuir os custos da obra. A minimização desses custos não está interligada com a utilização de materiais mais baratos ou de má qualidade, e sim no conjunto de parâmetros que vão definir a solução estrutural dependendo do grau de complexidade que o projetista pretende incluir na otimização e o prazo disponível. É necessário que sejam satisfeitas algumas exigências em relação à segurança e ao desempenho da estrutura para que ela tenha utilidade.

A primeira etapa da formulação de um problema aplicado em estruturas consiste na identificação do conjunto de parâmetros gerais, na qual sua quantificação antecede a intervenção do projetista. A segunda etapa é caracterizada pela seleção do tipo de estrutura que irá ser adotada para o projeto. As decisões nesse aspecto são baseadas na comparação entre estudos preliminares e na experiência do projetista. Após a escolha do tipo de estrutura que será adotada e a definição do problema, finalmente segue-se para a fase que é matematicamente formulada pela minimização do custo.

Quando a estrutura é constituída por um único material, seu custo é relacionado com o volume ou o peso do material utilizado na construção. Porém, nos casos em que estiverem presentes materiais variados o custo total é calculado a partir do custo por unidade de volume de cada material utilizado na estrutura. Além do material utilizado na própria estrutura, há também os materiais que auxiliam as fases construtivas e seu custo deve ser adicionado à otimização. Entretanto, a consideração desses custos na função objetivo nem sempre será simples, como a quantificação da cofragem, que é feita através do custo por unidade de superfície, ou poderá ser mais complexa como a utilização de cimbres autolançáveis, nos quais o custo irá depender da solução adotada para a estrutura, sendo difícil de quantificar.

Existe ainda um custo cuja avaliação e inclusão na função objetivo é ainda mais complexo que o mencionado anteriormente. Se uma solução apresentar uma grande regularidade e repetitividade é mais

simples e economicamente executada do que uma solução muito heterogénea. Se não forem impostas restrições que limitem a heterogeneidade, a solução do problema pode ser tão complexa que a sua execução teria custos adicionais incompatíveis. Porém, a consideração de restrições adicionais que limitam a heterogeneidade da estrutura levará a obtenção de uma solução de custo mais elevado. Nota-se então que a consideração da simplicidade de execução e da heterogeneidade conduziria a uma dificuldade de quantificar e de incluir na função objetivo [5]. Assim, a decisão sobre a incorporação dessas restrições é fundamentada na experiência do projetista.

No contexto de projetos de pequeno porte a aplicação da otimização não é tão viável, pois é necessário um estudo elaborado que demanda tempo e atenção, e nesses tipos de projeto é mais interessante economicamente preocupar-se com a escolha e compra de materiais, com a negociação dos prazos, multas, etc. Apenas em obras de grande porte, que demandam estudos prévios e possuem prazos de entrega mais longos, serão feitas otimizações.

2.3.PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO APLICADOS À ENGENHARIA CIVIL

Para realizar a otimização é necessário considerar o comportamento da estrutura de modo simplificado através do uso do método dos elementos finitos. Assim, as estruturas que possuem comportamento linear passam a ter como variáveis os deslocamentos máximos dos nós e as tensões normais. Porém, existem outras classes de variáveis que dependem do tipo de problema de otimização.

Como visto na secção 2.1.2.1., quem define o principal critério de classificação dos problemas de otimização são as variáveis de projeto, pois elas são os parâmetros da solução que podem ser modificados. A seguir, serão descritos e exemplificados de modo sucinto diversos tipos de problemas de otimização [5].

2.4.1.OTIMIZAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS

É aplicada em estruturas reticuladas como treliças e pórticos tridimensionais. Enquanto que na primeira as variáveis de projeto são as áreas das secções transversais das barras biarticuladas, na outra é o conjunto de parâmetros que caracterizam a secção transversal de uma barra. As coordenadas dos nós e as propriedades dos materiais utilizados são consideradas fixas. As secções transversais podem ser definidas através da área, momento de inércia ou dimensões transversais.

2.4.2.OTIMIZAÇÃO DE ESPESSURAS

Está associada a meios laminares (duas dimensões muito maiores que a terceira dimensão), como membrana (paredes), lajes e cascas (lajes pré-esforçadas), onde as variáveis de projeto são a espessura em cada ponto nodal ou as espessuras dos elementos finitos. Assim como a otimização das secções transversais as coordenadas dos nós e os materiais utilizados são fixados.

2.4.3.OTIMIZAÇÃO DE FORMAS

Neste tipo de otimização as coordenados dos nós já passam a ser também as variáveis de projeto. Ela é aplicada em meios contínuos tridimensionais, como sólidos e as variáveis de projeto são apenas as coordenadas de alguns nós, pois na formulação não são consideradas secções nem dimensões transversais de elementos finitos e evita-se que a estrutura seja modificada totalmente. Também pode ser aplicada em meios laminares, tendo como variáveis as coordenadas dos nós e as espessuras. No caso

das treliças ou pórticos tridimensionais as variáveis continuam a ser as coordenadas dos nós e a as secções das barras.

2.4.4.OTIMIZAÇÃO DE APOIO À DECISÃO

Pode ser exemplificado como o tipo de barragem, tipo de cobertura e tipo de estrutura que irá ser adotada no projeto, por exemplo, a localização e quantificação do pré-esforço. As variáveis como dimensões de secções transversais, espessuras e coordenadas dos nós também podem estar presentes.

2.4.5.OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS

Sempre que na otimização as propriedades do material forem as variáveis de projeto é utilizada essa otimização, pois os materiais apresentam propriedades distintas e podem estar relacionados à variação de propriedades que ocorre entre as classes de resistência de um determinado material. A orientação da direção mais resistente de um material ortotrópico (fibra de compósitos) também pode ser uma variável de projeto.

2.4.6.OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA

Envolve a supressão ou o acréscimo de componentes da estrutura, escolhendo a melhor distribuição possível dentro da região admissível. Em estruturas treliçadas, por exemplo, define inicialmente todos os possíveis nós formando uma estrutura base e em seguida o processo de otimização irá alterar as conexões existentes podendo retirar ou adicionar barras. Em meios contínuos é importante a possibilidade de originar ou eliminar aberturas. Podem também ocorrer situações em que o número de ligações ao exterior e sua posição são variáveis.

3

MÉTODOS

DE

OTIMIZAÇÃO

Em alguns problemas de otimização encontrar a solução ótima pode ser algo elementar. Refere-se como exemplo uma parábola (Fig. 3.1) onde pretende-se escolher o valor de 𝑥 que torna o valor de 𝑓(𝑥) mínimo. Essa questão é facilmente resolvida obtendo a derivada da parábola e definindo-a igual a zero. Para problemas de maior complexidade é moroso achar onde a derivada da função é igual a zero, e adivinhar e verificar a solução ideal pode levar muito tempo. Nos problemas de otimização aplicados à engenharia civil para encontrar a solução ótima é indispensável utilizar um tipo especial de programa chamado algoritmo de otimização.

Fig. 3.1 – Representação gráfica parábola 𝑓(𝑥) = a𝑥2_{+ b𝑥 + c.}

Esses problemas são formulados como um programa matemático que em geral é resolvido com recurso a um método iterativo. Esses métodos necessitam de uma estimativa para a solução inicial, que vai sendo substituída sucessivamente até que seja satisfeito um determinado critério de convergência. O algoritmo pode ser exemplificado em um fluxograma (Fig. 3.2) contendo algumas das fases que são habituais a generalidade dos métodos de otimização.

No algoritmo apresentado na Fig. 3.2, é necessário dar como partida uma estimativa da solução inicial a qual é escolhida pelo próprio usuário. Contudo, é interessante que a estimativa esteja o mais próximo possível da solução ótima, para que a solução presente no decorrer das iterações também esteja mais próxima da solução ótima.

Para cada método de otimização existe um critério de convergência que é baseado na finalização do processo iterativo. Se não houver um critério que avalie a qualidade da solução presente, o processo iterativo deve ser suspenso assim que não houver variações significativas da solução. Esta interrupção também pode ser feita quando as iterações atingirem o limite pré-estabelecido, para que elas não progridam de forma imprecisa quando não há convergência para a solução ótima.

A fase que essencialmente define cada método de otimização é a correspondente ao cálculo do vetor (6), que em geral é calculado depois de serem realizadas modificações no programa matemático que simplificam o problema inicial em um problema aproximado. Isto explica o fato de obter uma solução presente mais próxima da solução ótima para que o erro relacionado com essa aproximação seja menor. Os métodos capazes de encontrar a solução ótima de um determinado problema destacam-se basicamente em duas vertentes dos processos de otimização conhecidos utilizados atualmente. Os métodos probabilísticos (ou heurísticos) são normalmente inspirados em fenômenos que ocorrem na natureza, pois consistem em técnicas probabilísticas de procura da solução ideal com base nos princípios da genética de sobrevivência dos indivíduos mais adaptados à situação desejada, isto é, usam somente a avaliação da função objetivo e introduzem no processo de otimização dados e parâmetros estocásticos. Enquanto os métodos determinísticos (ou programação matemática) geram uma sequência determinística de possíveis soluções requerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a primeira derivada da função objetivo com respeito às variáveis de projeto [6], [10].

Existem vários softwares que são capazes de resolver os problemas de otimização utilizando os variados métodos existentes na literatura, como por exemplo, OptiSLang, WOLFRAM Mathematica, Microsoft EXCEL, MATLAB, entre outros. No presente trabalho foram utilizados para a resolução dos problemas o EXCEL com o auxílio da ferramenta Solver e o MATLAB com a ferramenta Fmincon. O uso dessas ferramentas e os métodos por elas utilizados será apresentado posteriormente neste capítulo.

3.1.A FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL

O Solver é um suplemento disponível do EXCEL responsável por realizar análise de hipóteses. Ele pode ser utilizado para encontrar o valor máximo ou mínimo de uma determinada função objetivo descrita por uma fórmula em uma célula sujeita ou não às restrições e limites impostos descritos em outras células da folha de cálculo. O Solver funciona com um grupo de células, designadas células variáveis que são utilizadas no cálculo das fórmulas da função objetivo e das restrições. Conforme as iterações vão ocorrendo o Solver vai ajustando os valores nas células variáveis para satisfazer as restrições e entregar o resultado desejado para a célula que contém a função objetivo.

3.1.1.MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO UTILIZADOS PELA FERRAMENTA SOLVER

A ferramenta Solver possui disponível três métodos para a resolução de problemas de otimização. São eles o método LP Simplex que é usado quando pretende-se realizar otimização linear, ou seja, quando a função objetivo e as restrições são funções lineares das variáveis de projeto. O método GRG (Gradiente Reduzido Generalizado) Não Linear nos casos que a função objetivo e as restrições resultam de funções não lineares das variáveis de projeto, isto é, quando as células que contêm a função objetivo e as restrições possuem potências, cálculo exponencial ou trigonométrico sobre as variáveis. E o método

Evolucionário para os casos que a função objetivo e as restrições são determinadas a partir de funções cujos resultados variam de forma abrupta, como por exemplo, quando a função objetivo ou as restrições possuírem fórmulas do tipo condicional, valor absoluto, mínimo ou máximo para calcular o seu valor, fazendo com que o declive varie radicalmente a pequenas variações das variáveis de projeto, assim como o seu resultado [11].

3.1.1.1. Método LP Simplex

Como anteriormente mencionado, o Simplex é o método mais utilizado para solução de problemas de programação linear. Porém, em muitos casos é possível converter um problema de otimização não linear em um problema de otimização linear. A forma padrão de um problema de programação linear está exposto no programa matemático (3.1). O método é descrito pela forma padrão dada pela equação linear (3.2), onde A é uma matriz m Χ n (m < n), 𝑥 é um n-vetor, e b é um m-vetor. Para que o Simplex seja desenvolvido de modo padrão é desejável que as restrições estejam no tipo “≤”. Se as restrições estiverem do tipo “≥” é necessário utilizar artifícios para sua transformação em problema padrão.

Min 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 s.a

(3.1)

𝐴𝑥 = 𝑏, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0 (3.2)

As variáveis de folga são utilizadas para converter as restrições do tipo “≤” em “=” e as variáveis de excesso utilizadas para converter as restrições do tipo “≥” em “=”. O Simplex no espaço n-dimensional é uma casca convexa de quaisquer pontos que não se encontram em um hiperplano. Refere-se como exemplo, no espaço tridimensional que é formado por quatro pontos que não estão no mesmo plano, três pontos podem estar no mesmo plano, mas o quarto deve ficar do lado de fora. Uma casca convexa de n+1 pontos é o menor conjunto convexo que contém todos os pontos. Dessa forma, o Simplex representa um conjunto convexo.

A ideia básica do método Simplex é passar de uma solução básica admissível (x) para outra solução de maneira que diminua continuamente a função objetivo até que o mínimo seja alcançado. Uma solução básica contém um número de variáveis idêntico ao número de restrições do problema. O Simplex é iniciado com uma solução básica admissível, isto é, em um vértice do conjunto admissível convexo. Em seguida ele parte para um vértice adjacente, sem perder a admissibilidade da nova solução, e reduzindo o valor da função objetivo, através da substituição da variável básica por uma variável não básica na solução básica admissível atual [12].

As etapas básicas do algoritmo Simplex podem ser resumidas para problemas de programação linear da seguinte maneira:

 Formular o problema padrão: formular o problema de programação linear sob a forma padrão através da utilização das variáveis de folga e das variáveis de excesso;

 Identificar uma solução básica admissível inicial: se todas as restrições forem do tipo “≤” as variáveis de folga serão básicas e as variáveis reais não serão básicas. Quando houver restrições de igualdade o procedimento Simplex de duas fases deve ser usado. A introdução de variáveis artificiais para cada igualdade fornece uma solução básica inicial admissível;

 Verificar otimalidade: a função objetivo deve ser em termos apenas das variáveis não básicas, condição que ocorre quando há apenas restrições do tipo “≤”. Para restrições de igualdade a função objetivo artificial também pode ser facilmente transformada em termos das variáveis não básicas. Se todos os coeficientes do objetivo reduzido para variáveis não básicas forem não negativos (≥ 0), tem-se a solução ótima. Caso contrário, existe a possibilidade de melhorar a função objetivo artificial. Para isso necessita-se selecionar uma variável não básica que deve se tornar básica;

 Construção do quadro Simplex: passar todos os coeficientes e constantes do problema para um quadro Simplex. Quando o problema de otimização for de maximização, esses coeficientes devem ser passados para o quadro com o mesmo sinal e quando forem de minimização os coeficientes da função objetivo devem mudar de sinal quando entrarem no quadro Simplex;

 Selecionar uma variável não básica para tornar básica: verifica-se a linha do objetivo artificial e identifica-se uma coluna com o coeficiente do objetivo reduzido negativo porque a variável não básica associada a esta coluna deve se tornar básica para reduzir a função objetivo artificial de seu valor atual (coluna dinâmica);

 Selecionar uma variável básica para se tornar não básica: se todos os elementos da coluna dinâmica forem negativos, o problema é ilimitado. Se houver elementos positivos na coluna do pivô (coluna com o coeficiente mais positivo na linha da função objetivo), utiliza-se as proporções dos parâmetros do lado direito com os elementos positivos da coluna do pivô e identifica-se uma linha com a menor proporção positiva. Em caso de empate, qualquer linha entre as relações de empate pode ser selecionada. A variável básica associada a esta linha deve se tornar não básica, isto é, zero. A linha selecionada é chamada de linha dinâmica e sua interseção com a coluna dinâmica identifica o elemento dinâmico;

 Etapa pivô: aplica-se o procedimento de eliminação de Gauss-Jordan e a linha do pivô (linha com o menor valor não-negativo do coeficiente reduzido) identificada na etapa anterior. A eliminação também deve ser realizada na linha da função do objetivo artificial para que seja apenas em termos de variáveis não básicas no próximo quadro. Nesta etapa elimina-se a variável não básica de todas as linhas, exceto a linha dinâmica, tornando-se uma variável básica;

 Encontrar a solução ótima: o valor ótimo de cada variável básica corresponde ao valor da última coluna na linha respectiva a essa variável.

3.1.1.2. Método GRG (Gradiente Reduzido Generalizado) Não linear

Por ser utilizado para resolução de problemas não lineares o método de Gradiente Reduzido Generalizado (GRG) foi o método utilizado pela ferramenta Solver do software EXCEL para resolver os problemas de otimização no presente trabalho.

O método GRG é baseado em uma técnica de eliminação de variável simples para problemas sujeitos apenas a restrições igualdade. Esse método é uma extensão do método GR (Gradiente Reduzido) para acomodar restrições de desigualdade não lineares. No GRG uma direção de busca é encontrada de modo que para qualquer pequeno movimento, as restrições ativas atuais permanecem precisamente ativas. Se algumas restrições ativas não forem satisfeitas com precisão devido à não linearidade das funções de restrição, o método Newton-Raphson é usado para retornar ao limite da restrição. Um problema de programação não linear com restrição igualdade existe quando ocorre a utilização das variáveis de folga para a transformação das restrições de desigualdade em restrições igualdade. Cita-se também a estratégia de restrição potencial para tratar todas as restrições no subproblema como igualdades. O subproblema de localização de direção no método GRG pode ser definido distribuindo em dois grupos as variáveis

do problema, o grupo das variáveis independentes (y) e o grupo das variáveis dependentes (z). Mudanças de primeira ordem nas funções objetivo e de restrição, tratadas como igualdades, são descritas nas Equações (3.3) e (3.4) [13]. 𝛻𝑓 =𝜕𝑓 𝑇 𝜕𝑦 𝛥𝑦 + 𝜕𝑓𝑇 𝜕𝑧 𝛥𝑧 (3.3) 𝛻ℎ𝑖= 𝜕ℎ_𝑖𝑇 𝜕𝑦 𝛥𝑦 + 𝜕ℎ_𝑖𝑇 𝜕𝑧 𝛥𝑧 (3.4)

Quando o processo começa com uma estimativa de solução admissível, qualquer mudança na solução das variáveis deve manter as igualdades satisfeitas pelo menos na primeira ordem, ou seja, 𝛻ℎ𝑖 = 0. Logo, fazendo uso da Equação 3.4, este requisito é escrito em forma de matriz, onde as colunas das matrizes A e B contêm gradientes de restrições de igualdade com respeito a y e z, respectivamente. A Equação 3.5 pode ser escrita em função de Δz (mudança na variável dependente) quando Δy (mudança na variável independente) é especificada.

A𝑇_{𝛥𝑦 + 𝐵}𝑇_{𝛥𝑧 = 0 𝑜𝑢 𝛥𝑧 = −(𝐵}−𝑇_A𝑇_)𝛥𝑦

(3.5)

Realizando a substituição de 𝛥𝑧 da Equação 3.5 na Equação 3.3, é possível calcular 𝛻𝑓 (3.6) e identificar o gradiente reduzido 𝑑𝑓 𝑑𝑦 na Equação 3.7. 𝛻𝑓 = (𝜕𝑓 𝑇 𝜕𝑦 − 𝜕𝑓𝑇 𝜕𝑧 𝐵 −𝑇_A𝑇_{) 𝛥𝑦} (3.6) 𝑑𝑓 𝑑𝑦= 𝜕𝑓 𝜕𝑦− A 𝐵 −1𝜕𝑓 𝜕𝑧 (3.7)

A função objetivo é tratada como a função de descida. Para um valor de teste α, as variáveis de projeto são atualizadas usando a Equação 3.8 e Δz da Equação 3.5.

𝛥𝑦 = −𝛼𝑑𝑓

Se o projeto de teste não for admissível, as variáveis de projeto independentes são consideradas fixas e as variáveis dependentes são alteradas iterativamente pela aplicação do método de Newton-Raphson até obter um ponto com uma solução admissível. Se a solução satisfazer a condição de descida, é encerrada a busca de linha, senão, o tamanho da etapa de teste anterior é descartado e o procedimento é repetido com um tamanho de etapa reduzido. Nota-se que quando o gradiente reduzido é igual à zero na Equação 3.7, as condições de otimalidade de primeira ordem KKT (Karush, Kuhn e Tucker) são satisfeitas para o problema original de programação não linear.

A notável dificuldade computacional relacionada ao algoritmo GRG vem das iterações de Newton-Raphson durante a pesquisa de linha. De forma rigorosa, os gradientes das restrições precisam ser recalculados e a matriz Jacobiana B precisa ser invertida em cada iteração durante a pesquisa de linha. Para esse fim, muitos esquemas numéricos eficientes foram sugeridos. Refere-se o uso de uma fórmula quase-Newton para atualizar B−1 _{sem computar novamente os gradientes, mas requerendo apenas os} valores da função de restrição. Isso poderá causar problemas se o conjunto de variáveis independentes mudar durante as iterações. Outra dificuldade é selecionar uma estimativa inicial admissível. Procedimentos diferentes devem ser usados para lidar com estimativas iniciais arbitrárias, como no método de direções possíveis. Dependendo de como as restrições de desigualdade são tratadas o método GRG apresentará muitas semelhanças com o método do gradiente projetado. Se uma estratégia de restrição potencial é usada para tratar desigualdades o método GRG se assemelhará com o método do gradiente projetado. Porém, se as desigualdades forem convertidas em igualdades adicionando variáveis de folga, ele se comportará de maneira bem diferente do método do gradiente projetado [14].

3.1.1.3. Método Evolucionário

O método Evolucionário permite resolver problemas de otimização que possuem incertezas em sua modelação. O algoritmo utiliza procedimentos metaheurísticos em que o conjunto de soluções é analisado a cada iteração e adapta-se. É um método estocástico (envolve uso de parâmetros aleatórios durante o processo de otimização) e iterativo que não garante a convergência para a solução ótima, contudo, será capaz de encontrar uma boa solução para um problema bem formulado. O algoritmo funciona com um conjunto de soluções, em que cada solução representará uma solução ideal para o problema de otimização.

O processo é iniciado gerando de forma aleatória ou específica o primeiro conjunto de soluções, avaliando cada solução pertencente a esse conjunto através do uso de uma função de aptidão. Esta função é responsável por determinar a qualidade de uma solução como a solução ideal do problema e assim irá orientando na pesquisa de novas soluções caso não encontre a ideal. Para gerar um novo conjunto de soluções o processo necessita que primeiramente crie um conjunto provisório com algumas das soluções do conjunto principal (que pode ou não ser o conjunto que iniciou o processo). As soluções que forem mais aptas terão probabilidade maior de estarem presentes no conjunto provisório do que as soluções menos aptas. Em seguida é aplicado a estas soluções o operador genético cruzamento seguido de mutação para gerar um novo conjunto que substitui as soluções do conjunto principal ocasionando a remoção das soluções menos aptas. O processo termina quando for atingido um número de iterações predefinido pelo usuário, ou quando não for detectada uma melhoria significa das soluções nas últimas iterações [15].

3.2.A FUNÇÃO FMINCON DO MATLAB

A Fmincon é um solucionador de programação não linear pertencente ao software MATLAB que tem como objetivo encontrar o mínimo de uma função multivariável não linear sujeita às restrições igualdade

e desigualdade e limites inferiores e superiores, conforme especificado no programa matemático (3.9), e capaz de solucionar problemas determinísticos.

𝑚𝑖𝑛𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 { 𝑐(𝑥) ≤ 0 𝑐𝑒𝑞(𝑥) = 0 𝐴⋅ 𝑥≤ 𝑏 𝐴𝑒𝑞⋅ 𝑥 =𝑏𝑒𝑞 𝑙𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑢𝑏 (3.9)

No programa matemático (3.9), c(x) e 𝑐𝑒𝑞(𝑥) são funções que retornam vetores, e f(x) é uma função que retorna um escalar. A função objetivo f(x) e as restrições desigualdade c(x) e igualdade 𝑐𝑒𝑞(𝑥) podem ser funções não lineares. A variável de projeto x e os limites inferiores lb e superiores ub podem ser passados como vetores ou matrizes. b e 𝑏𝑒𝑞 são vetores que contêm os valores a serem satisfeitos da desigualdade e igualdade, respectivamente, e 𝐴 e 𝐴𝑒𝑞 são matrizes que contêm os coeficientes das restrições de desigualdade e igualdade, respectivamente. As restrições desigualdade devem ser do tipo “≤” [16].

A função Fmincon pode ser chamada no script do MATLAB com as sintaxes [16] descritas no Quadro 3.1:

Quadro 3.1 – Sintaxe da função Fmincon.

Sintaxe Descrição

Inicia em x 0 e tenta encontrar um minimizador x da x = fmincon(obj,x0,A,b) função descrita em obj sujeita às desigualdades

lineares A⋅x ≤ b. x 0 pode ser um escalar, vetor ou matriz. Minimiza obj sujeita às igualdades lineares

Aeq⋅x = beq e A⋅x ≤ b.

Define um conjunto de limites inferior e superior nas x = fmincon(obj,x 0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) variáveis ​​de projeto em x , de modo que a solução

esteja sempre no intervalo lb ≤ x ≤ ub. Sujeita a minimização às desigualdades c(x ) ou igualdades ceq(x ) não lineares definidas em nonlcon.

Fmincon otimiza c(x ) ≤ 0 e ceq(x ) = 0. Minimiza com as opções de otimização

especificadas em options .

Encontra o mínimo para problema, onde problema é uma estrutura descrita em Input Arguments . Para qualquer sintaxe, retorna o valor da função

objetivo obj na solução x .

Adicionalmente, retorna um valor exitflag que descreve [x ,fval,exitflag,output] = fmincon(___) a condição de saída do fmincon e uma estrutura output

com informações sobre o processo de otimização. Adicionalmente, retorna lambda (estrutura com

campos contendo os multiplicadores de Lagrange na solução x ), grad (gradiente de obj na solução x ) e hessian (hessian de obj na solução x ). [x ,fval] = fmincon(___) [x ,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(___) x = fmincon(obj,x 0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(obj,x 0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(obj,x 0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x = fmincon(problem)

3.2.1.MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO UTILIZADOS PELA FUNÇÃO FMINCON

A função Fmincon do MATLAB possui disponíveis cinco opções de algoritmos para resolução de problemas de otimização [17].

O primeiro é o método Interior-Point que é o algoritmo padrão da Fmincon. Recomenda-se seu uso antes de testar outros métodos. A razão para isso é que Interior-Point lida com problemas grandes e esparsos, bem como problemas pequenos e densos. O algoritmo satisfaz os limites em todas as iterações e pode se recuperar dos resultados NaN (Not a Number) ou Inf (Infinity). É um algoritmo de grande escala e pode usar técnicas especiais para problemas desse tipo.

O método Trust-Region-Reflective requer que o usuário forneça um gradiente e permite apenas limites ou restrições de igualdade linear, mas não ambos. Dentro dessas limitações, o algoritmo lida com eficiência com grandes problemas esparsos e pequenos problemas densos. É um algoritmo de grande escala. O algoritmo pode usar técnicas especiais para economizar o uso de memória, como uma função de multiplicação hessiana.

O terceiro método é o SQP (Sequential Quadratic Programming) que satisfaz os limites em todas as iterações. O algoritmo pode se recuperar dos resultados NaN ou Inf. Não é um algoritmo de grande escala. SQP-Legacy é o quarto método e é semelhante ao SQP, mas geralmente é mais lento e utiliza mais memória.

O quinto e último método é o Active-Set que pode dar grandes passos, o que aumenta a velocidade. O algoritmo é eficaz em alguns problemas com restrições não suaves. Não é um algoritmo de grande escala.

3.2.1.1. Método Interior-Point

Foi o método utilizado pela função Fmincon no presente trabalho. O algoritmo Interior-Point para minimização com restrições resolve uma sequência de problemas de minimização aproximada. O problema original está exposto na Equação 3.10. O problema aproximado descrito na Equação 3.11 é uma sequência de problemas com restrições igualdade para cada μ > 0, sendo mais fácil de resolver do que o problema original com restrições desigualdade.

𝑚𝑖𝑛 𝑓(𝑥), 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎 à ℎ(𝑥) = 0 𝑒 𝑔(𝑥) ≤ 0 (3.10)

𝑚𝑖𝑛 𝑓𝜇(𝑥, 𝑠) = 𝑚𝑖𝑛 𝑓(𝑥) − 𝜇 ∑ 𝑙𝑛( 𝑖

𝑠𝑖), 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎 à ℎ(𝑥) = 0 𝑒 𝑔(𝑥) + 𝑠 = 0 (3.11)

Existem tantas variáveis de folga 𝑠𝑖 quantas restrições desigualdade g. As variáveis de folga são restritas a serem positivos para manter ln(𝑠𝑖) limitado. À medida que μ diminui para zero, o mínimo de 𝑓𝜇 deve se aproximar do mínimo de 𝑓. O termo logarítmico adicionado é chamado de barrier function.

Para resolver o problema aproximado, o algoritmo usa um dos dois principais tipos de etapas em cada iteração. Uma é a etapa direta em (𝑥, 𝑠) e tenta resolver as equações KKT para o problema aproximado por meio de uma aproximação linear. Esta etapa pode ser chamada de etapa de Newton. E a outra etapa é a de gradiente conjugado (GC) que usa uma região de confiança.