Introdução à Computação Gráfica Geometria. Claudio Esperança Paulo Roma Cavalcanti

Introdução à Computação Gráfica

Geometria

Claudio Esperança

Paulo Roma Cavalcanti

Pontos e Vetores (2D)

•  Ponto: Denota posição no plano

•  Vetor: Denota deslocamento, isto é, inclui a noção de

direção e magnitude

•  Ambos são normalmente expressos por pares de coordenadas (em 2D) mas não são a “mesma coisa”

x y P v

)

,

(

)

,

(

v v P P

y

x

v

y

x

P

=

=

!

Operações com Pontos e Vetores (2D)

•  Soma de vetores

t = v + u

•  Multiplicação de vetor por escalar

u = 2 v

•  Subtração de pontos

v = Q – P

•  Soma de ponto com vetor

Q = P + v x y v u x y v x y _P v v Q

Transformações

•  Transformação é uma função que mapeia pontos de um espaço Euclidiano em outros (ou possivelmente os mesmos) pontos do mesmo espaço.

•  Se uma transformação é linear, então

w  Se um conjunto de pontos está contido em uma reta, depois de transformados eles também estarão

contidos sobre uma reta.

w  Se um ponto P guarda uma relação de distância com dois outros pontos Q e R, então essa relação de

distância é mantida pela transformação.

•  Transformação mapeia origem na origem?

w  Sim: Transformação Linear

w  Não: Transformação Linear Afim: Translações são permitidas

Transformações Lineares em 2D

•  Uma transformação linear

•  Uma transformação linear afim

⎩ ⎨ ⎧ + = + = dy cx y by ax x ' ' ⎩ ⎨ ⎧ + + = + + = f dy cx y e by ax x ' '

Forma Matricial

•  Mais conveniente para uso em um

computador. Sejam

•  Então uma transformação linear afim pode

ser escrita T (P ) = P

’

_onde

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = f e D d c b a A y x P y x P ' ' '

D

P

A

P

'

₌

_×

₊

Transformando Vetores

•  Um vetor não está atrelado a um ponto no espaço •  Uma transformação linear afim aplicada a um vetor

não inclui translação

•  Prova: Seja V um vetor e V’ _{sua imagem sob a}

transformação linear afim, então:

'

'

'

Q

P

V

P

Q

V

₌

₋

_⇔

₌

₋

V

A

P

Q

A

D

P

A

D

Q

A

P

Q

V

×

=

−

×

=

+

×

−

+

×

=

−

=

)

(

)

(

)

(

'

'

'

Coordenadas Homogêneas

•  A transformação de vetores é operacionalmente diferente da de pontos.

•  Coordenadas homogêneas permitem unificar o tratamento.

•  Problema é levado para uma dimensão superior:

w  w = 0 para vetores e w = 1 para pontos.

w  Termos independentes formam uma coluna extra na matriz de transformação.

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

×

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

1

1

0

0

1

'

'

y

x

f

d

c

e

b

a

y

x

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

×

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

0

1

0

0

0

'

'

y

x

f

d

c

e

b

a

y

x

Coordenadas Homogêneas - Interpretação

x

y

w

Plano w=1 Plano w=0

Modelando Transformações

•  Uma transformação linear afim em 2D pode ser definida a partir da imagem de 3 pontos:

P

P’

Q

Q’

R

R’

x

y

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

f

y

d

x

c

y

e

y

b

x

a

x

f

y

d

x

c

y

e

y

b

x

a

x

f

y

d

x

c

y

e

y

b

x

a

x

R R R R R R Q Q Q Q Q Q P P P P P P

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

' ' ' ' ' '

Sistemas de coordenadas

•  Um sistema de coordenadas para Rn _{é definido por}

um ponto (origem) e n vetores

•  Ex. Seja um sistema de coordenadas para R2 _definido

pelo ponto O e os vetores X e Y. Então,

w  Um ponto P é dado por coordenadas x_P e y_P tais que

w  Um vetor V é dado por coordenadas x_V e y_V tais que

O

Y

y

X

x

P

₌

_P

.

₊

_P

.

₊

Y

y

X

x

V

₌

_V

_{. +}

_V

.

Mudança de Sistema de Coordenadas

•  Se estabelecemos um outro sistema (ex.: Q/T/U), como computar as novas coordenadas dadas as antigas? X Y O U T Q P

Y

y

X

x

_P

₊

_P

U

u

T

t

_P

₊

_P

Mudança de Sistema de Coordenadas

•  Como computar as coordenadas de um ponto P = (x_P, y_P) em O/X/Y dadas as coordenadas de P em Q/T/U, isto é,

(t_P, u_P) ? O Y y y u y t X x x u x t O Y y X x Y y X x u Y y X x t Q U u T t P Q U P T P Q U P T P Q Q U U P T T P P P + + + + + + = + + + + + + = + + = ). . . ( ). . . ( ) . . ( ) . . .( ) . . .( . . Q U P T P P t x u x x x ₌ . ₊ . ₊ Q U P T P P t y u y y y ₌ . ₊ . ₊ Logo,

Mudança de Sistema de Coordenadas

•  Matricialmente:

•  Usando coordenadas homogêneas:

•  Para resolver o problema inverso: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Q Q P P U T U T P P y x u t y y x x y x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 0 0 1 P P Q U T Q U T P P u t y y y x x x y x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 1 0 0 1 1 P P Q U T Q U T P P y x y y y x x x u t

Transformações em 3D

•  Vetores e pontos em 3D

•  Transformação linear afim

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 z y x V V V V! ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 z y x P P P P ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 l i h g k f e d j c b a T

Transformações Rígidas

•  Não modificam a forma (dimensões /ângulos) do objeto

•  São compostas de uma rotação e uma translação

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 l i h g k f e d j c b a T Submatriz de Rotação Vetor de Translação

Translação

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 t I t t t T z y x t P t P t P t P P P P t t t P T P z z y y x x z y x z y x + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = × = 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 '

•  Observe que translações são comutativas:

P + t + v = P + v + t

x y

Rotação em torno do eixo Z

•  Podemos ver que o vetor (1,0,0)T _{é mapeado em:}

(cos α, sen α, 0)T

•  e que o vetor (0,1,0)T _{é mapeado em:}

(- sen α, cos α, 0)T α x y cos α cos α sen α - sen α x’ y ’ x y z

Rotação em torno do eixo Z

•  Outra maneira de ver:

α

α

sin cos r P r P y x = = θ

α

P

P‘

x

y

r

r

•  Sabemos que

)

sin(

)

cos(

θ

α

θ

α

+

=

ʹ

+

=

ʹ

r

P

r

P

y x •  Então

θ

α

θ

α

θ

α

θ

α

cos sin sin cos sin sin cos cos r r P r r P y x + = ʹ − = ʹ θ θ θ θ cos sin sin cos y x y y x x P P P P P P + = ʹ − = ʹ •  Ou, finalmente,

Rotação em torno dos eixos coordenados

•  Similarmente, em torno dos eixos X e Y

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos θ θ θ θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 θ θ θ θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 0 0 0 0 cos 0 sin 0 0 1 0 0 sin 0 cos θ θ θ θ

Rotações em geral

•  Qualquer rotação pode ser definida por um

eixo de rotação dado pelo vetor unitário

u = (x, y, z)

T

_{e um ângulo de rotação}

_α

•  Seja S a matriz

•  Então a submatriz de Rotação M é dada por

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

0

0

0

S

x

y

x

z

y

z

S

sin

(

)

uu

I

)(

(cos

uu

M

₌

T

₊

_α

₋

T

₊

_α

₎

Inclinação (“shear”)

•  É uma transformação de deformação onde um eixo é “entortado” em relação aos demais

x y z x y z z´

•  Se o vetor unitário do eixo z é levado em [Sh_x Sh_y 1 0]T_{, então a}

matriz de transformação é dada

por _⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 y x inclinação Sh Sh T

Escala

•  Especificada por três fatores (S_x, S_y , S_z) que multiplicam os vetores unitários x, y, z.

•  Escala não é uma transformação rígida,

•  Escala uniforme (S_x = S_y = S_z) entretanto, é uma operação ortogonal ou homotética, isto é, preserva os ângulos.

•  Para obter reflexão em torno do plano z = 0, usam-se fatores de escala (1, 1, -1). ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z y x escala S S S T x y z x y z

Composição de transformações em 3D

•  Em nossa notação, usamos pré-multiplicação:

w  P’ _{= T x P}

•  Para compor 2 transformações temos:

w  Se P’ _{= T1 x P e P}’’ _{= T2 x P}’ _{, então, P}’’ _{= T2 x T1 x P} 1

T

T

2 1 2

T

T ×

Geometria Afim

•  Composta dos elementos básicos

w 

_escalares

w 

_{pontos - denotam posição}

w 

_{vetores - denotam deslocamento (direção e}

magnitude)

•  Operações

w 

_{escalar · vetor = vetor}

w 

_{vetor + vetor ou vetor – vetor = vetor}

w 

_{ponto – ponto = vetor}

Combinações Afim

•  Maneira especial de combinar pontos

•  Para 2 pontos P e Q poderíamos ter uma combinação afim R = (1 – α)P +αQ = P +α(Q – P) 1 onde ... 1 2 2 1 1 = + + +

∑

= n i i n nP P P α α α α P Q R= P+α(P – Q) P Q 0 < α < 1 α < 0 α > 1

Combinações Convexas

•  Combinações afim onde se garante que todos

os coeficientes α

_i

são positivos (ou zero)

•  Usa-se esse nome porque qualquer ponto que

é uma combinação convexa de n outros

pontos pertence à envoltória convexa desses

pontos

P₁ P₂ P₃ P₄ P₅ Q

Geometria Euclidiana

•  Extensão da geometria afim pela adição de

um operador chamado produto interno

•  Produto interno é um operador que mapeia

um par de vetores em um escalar. Tem as

seguintes propriedades:

w 

_{Positividade : (u,u) ≥ 0 e (u,u) = 0 sse u=0}

w 

_{Simetria: (u,v) = (v,u)}

w 

_{Bilinearidade: (u,v+w)= (u,v)+ (u,w) e}

(u,αv)= α(u,v)

Geometria Euclidiana

•  Normalmente usamos o produto escalar como operador de produto interno:

•  Comprimento de um vetor é definido como:

•  Vetor unitário (normalizado):

∑

= = ⋅ d i i iv u v u 1 ! !

v

v

v

!

₌

!

_⋅

!

v v v _! ! = ˆ

Geometria Euclidiana

•  Distância entre dois pontos P e Q =|P – Q |

•  O ângulo entre dois vetores pode ser determinado por

•  Projeção ortogonal: dados dois vetores u e v, deseja-se decompor u na soma de dois vetores u₁ e u₂ tais que u₁ é paralelo a v e u₂ é perpendicular a v

) ˆ ˆ ( cos cos ) , ( 1 1 u v v u v u v u ângulo _{= ⋅} ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = − _{! !} − ! ! ! ! 1 2 1

v

u

u

u

v

v

v

u

u

_!

_!

!

!

!

!

!

!

!

−

=

⋅

⋅

=

_v u u₁ u₂

Produto Vetorial (3D)

•  Permite achar um vetor perpendicular a outros dois dados •  Útil na construção de sistemas de coordenadas

z y x z y x x y y x z x x z y z z y v v v u u u k j i v u v u v u v u v u v u v u ! ! ! ! ! = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ×

•  Propriedades (assume-se u, v linearmente independentes): w  Antisimetria: u × v = – v × u

w  Bilinearidade: u × (αv) = α (u × v) e u × (v + w) = (u × v) + (u × w) w  u × v é perpendicular tanto a u quanto a v

w  O comprimento de u × v é igual a área do paralelogramo definido por u e v, isto é, | u × v | = | u | | v | sin θ

u v

u×v

Orientação

•  Orientação de 2 pontos em 1D

w  P₁ < P₂ , P₁ = P₂ ou P₁ > P₂

•  Orientação de 3 pontos em 2D

w  O percurso P₁ , P₂ , P₃ é feito no sentido dos ponteiros do relógio, no sentido contrário ou são colineares

P₁ P₃ P₂ P₃ P₁ P₂ P₃ P₂ P₁ Or (P₁, P₂, P₃) = +1 Or (P₁, P₂, P₃) = -1 Or (P1, P2, P3) = 0

Orientação

•  Orientação de 4 pontos em 3D

w 

_{O percurso P}

₁

_{, P}

₂

_{, P}

₃

_{, P}

₄

_{define um parafuso}

segundo a regra da mão direita, mão esquerda

ou são coplanares

P₁

P₄ P₂

Or (P₁, P₂, P₃, P₄) = +1

P₃

•  O conceito pode ser

estendido a

qualquer número de

dimensões ...

Computando orientação

•  A orientação de n+1 pontos no Rn _{é dado pelo sinal} do determinante da matriz cujas colunas são as

coordenadas homogêneas dos pontos com o 1 vindo

primeiro ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 1 sign ) , , ( Or y y y x x x P P P ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 1 1 1 1 sign ) , , , ( Or z z z z y y y y x x x x P P P P