Fundamentos de topologia e teoremas de ponto fixo

Fundamentos de topologia e teoremas de ponto fixo

Aluno: Daniel Teixeira Soares Tolomei Orientador: Prof. Ricardo de Sá Earp

Introdução

A Teoria do Ponto Fixo é um ramo da matemática que vem recebendo cada vez mais reconhecimento. Esta área de pesquisa consiste em determinar condições suficientes para que uma função de um conjunto em si mesmo possua um ponto fixo. Isto é, ela procura definir que condições impostas sobre o conjunto E e uma função f: A ⊂ E → E que garantem a existência de um ponto x ∈ E satisfazendo f(x) = x.

A primeira vista essa propriedade pode aparentar artificial, não é claro que tipo de benefício se pode obter a partir da compreensão deste tipo de relação. Contudo, a Teria do Ponto Fixo é a ferramenta ideal para a resolução de problemas de existência em ambientes mais gerais.

De fato, um dos teoremas mais básicos estudados durante o projeto, o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que por sua vez leva ao Teorema de Existência e Unicidade de EDOs, um dos resultados basais do estudo das Equações Diferenciais Ordinárias.

Nesse contexto, é notável a aplicabilidade da Teoria do Ponto Fixo aos problemas de existência de soluções para as Equações Diferenciais, tanto parciais quanto ordinárias, sendo este outro ramo um dos principais motores do desenvolvimento da área. Levando em conta o quanto a pesquisa aplicada depende da compreensão deste tipo de problema, afinal tanto a Engenharia quanto a Física usam constantemente o recurso das equações diferenciais, é de primeira importância o conhecimento dos teoremas de ponto fixo.

Sendo assim, o objetivo principal do projeto é obter a derivação de alguns dos principais teoremas de ponto fixo, discutindo suas aplicações e obtendo equivalências entre estes e outros resultados amplamente disseminados no meio matemático. Para tanto foi necessária uma incursão na Topologia Geral, cobrindo os requisitos necessários para o bom entendimento do material.

A Topologia Geral é uma área da matemática independente, trabalhando com a noção de vizinhança e proximidade de elementos de um conjunto em contextos mais gerais. Apesar de possuir uma linha de pesquisa própria a Topologia contribui em diversas outras áreas de maneira estrutural, tornando-se um pré-requisito obrigatório para seu estudo.

Por fim, o projeto foi conduzido em duas fases: primeiro trabalhou-se com a Topologia,

cobrindo os todos os resultados necessários para dar sequência ao estudo e trazendo aplicações nos

mais diversos contextos; depois tratou-se da Teoria do Ponto Fixo, fazendo a dedução de alguns

dos resultados mais importantes da área e aplicando-os a problemas correlacionados. No intuito de

manter uma ordenação coerente dos tópicos optou-se por subdividir o texto nessas duas vertentes

principais, deixando um trecho dedicado à Topologia e outro à Teoria do Ponto Fixo.

Topologia Geral

O principal objeto de estudo da topologia geral são os espaços topológicos.

Espaço topológico: Um espaço topológico consiste em um conjunto arbitrário A equipado com uma topologia T, que nada mais é do que uma família de subconjuntos de A satisfazendo as seguintes propriedades: (i) dada subfamília arbitrária (U

) ⊂ 𝑇, tem-se ⋃ U

∈ T, (ii) dado uma subfamília finita U

, U

, … , U

∈ 𝑇, tem-se ⋂

U

∈ T, (iii) A, ∅ ∈ T.

Os subconjuntos de A pertencentes a T são chamados abertos do espaço topológico, os subconjuntos de A que são complemento de um aberto são ditos fechados e dado x ∈ A e U ⊂ A, diz-se que U é uma vizinhança do ponto 𝑥 quando x ∈ U, U ∈ T. A ideia por trás das definições é caracterizar abstratamente uma noção de vizinha e proximidade, permitindo definir o conceito de continuidade de uma função. No caso do espaço euclidiano R

essa noção é muito mais simples pois existe o conceito natural de distância entre dois pontos, logo é possível considerar uma vizinhança de um ponto como o conjunto dos pontos que distam dele menos do que um determinado raio, mas nem todo conjunto possui essa estrutura de distância, por isso esse método não é geral o suficiente.

O objetivo desta construção é generalizar ao máximo o contexto de proximidade entre pontos, contudo, nem sempre deseja-se trabalhar com esses espaços tão abstratos. Muitos contextos exigem especificações para restringir as possibilidades de espaços a serem trabalhados, por isso é preciso determinar algumas características de regularidade desejadas em um espaço topológico, levando aos Axiomas de Separação, de Enumerabilidade e outros conceitos citados a seguir.

É importante lembrar que a Topologia é um ramo muito denso, com diversos teoremas e implicações não triviais, portanto é necessário simplificar ou omitir alguns dos resultados trabalhados.

A. Axiomas de Separação

Os Axiomas de Separação para espaços topológicos ditam algumas das propriedades mais básicas procuradas em um espaço topológicos, caracterizando a “separabilidade” das regiões do espaço. Os axiomas determinam uma ordem crescente de regularidade, a cada passo fornecendo ao espaço propriedades mais semelhantes às esperadas em um espaço com noção de distância, como o espaço euclidiano.

T1: Um espaço topológico A é T1 se dados dois pontos x, y ∈ A, existe aberto U ⊂ A tal que x ∈ U. Isso é equivalente a dizer que todo conjunto com um único ponto é fechado na topologia.

T2 ou de Hausdorff: Um espaço topológico A é T2 (de Hausdorff) se dados dois pontos x, y ∈ A, existem abertos U, V ⊂ A disjuntos tais que x ∈ U, y ∈ V . Claramente, T2 implica T1.

T3 ou regular: Um espaço topológico A é T3 (regular) se dado um ponto x ∈ A e um

conjunto fechado F ⊂ A; x ∉ F, existem abertos U, V ⊂ A disjuntos tais que x ∈ U, F ⊂ V . Todo

espaço T0 que é T3 também é T2.

T4 ou normal: Um espaço topológico A é T4 (normal) se dados dois fechados F, G ⊂ A disjuntos, existem abertos U, V ⊂ A disjuntos tais que F ⊂ U, G ⊂ V . Todo espaço T0 que é T4 é também T3 e T2.

B. Axiomas de Enumerabilidade

Os axiomas de enumerabilidade dizem respeito a outro aspecto da regularidade de espaços topológicos, referente à existência de bases com boas propriedades. O conceito de base em um espaço topológico será apresentado paralelamente aos enunciados dos axiomas.

1º axioma de enumerabilidade: Um espaço topológico A satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade (é primeiro contável) se para cada ponto x ∈ A, existe uma base enumerável de vizinhanças de x. Isto é, existe família de abertos (U

)

; 𝑥 ∈ 𝑈

, ∀𝑖 ≥ 1 tais que dada uma vizinhança V de x qualquer, ∃k ≥ 1; x ∈ U

⊂ V.

2º axioma de enumerabilidade: Um espaço topológico A satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade (é segundo contável) se possui uma base enumerável, isto é, se existe uma família de abertos (U

)

tal que dado aberto qualquer V e x ∈ V , ∃k ≥ 1; x ∈ U

⊂ V . Note que claramente todo espaço segundo contável é primeiro contável.

C. O Lema de Urysohn e o Teorema de Extensão de Tietze

Esses dois resultados ilustram algumas das boas propriedades que decorrem da regularidade de espaço garantida por pelos axiomas de separabilidade. Eles relacionam a estrutura topológica de um espaço com a existência de funções contínuas com propriedades especiais nesse contexto.

Lema de Urysohn: Seja 𝐴 um espaço topológico normal, segue que dados dois fechados F, G ⊂ A disjuntos existe uma função contínua h: A → [0,1] tal que h(F) = 0, h(G) = 1.

Teorema de Extensão de Tietze: Seja A um espaço topológico normal e f: F ⊂ A → R uma função contínua definida no subconjunto fechado F ⊂ A , segue que f admite extensão contínua g: A → R . Se f for limitada segue que existe extensão contínua com mesma limitação que f.

Uma observação importante é que os enunciados do Lema de Urysohn e do Teorema de Extensão de Tietze em um espaço topoõgico são equivalentes entre si e equivalem à normalidade do espaço.

D. Paracompacidade e partições da unidade

O conceito de paracompacidade descrito a seguir auxiliado dos teoremas anteriores fornce uma propriedade muito útil em um determinado espaço topológico, a existência de partições da unidade. As partições da unidade são um recurso eficiente para generalizar propriedades locais para um espaço inteiro, com um papel fundamental em uma das posteriores discussões.

Paracompacidade: Um espaço topológico A é dito paracompacto sempre que dada uma

cobertura de A por abertos, uma família (U

) de abertos A tal que A = ⋃ 𝑈

, ela admite um

refinamento localmente finito, ou seja, existe outra cobertura (V

) de A por abertos tal que ∀β,

∃α; V

⊂ U

e ∀x ∈ A, ∃C uma vizinhança de x; {β; V

∩ C ≠ ∅} é um conjunto finito.

Este conceito é útil pois possibilita obter, a partir de uma cobertura de um espaço topológico com alguma propriedade desejada, uma outra cobertura com a mesma propriedade e com finitude local. Todo espaços topológico paracompacto é normal e nele sempre existem partições da unidade estritamente subordinadas a coberturas do espaço.

Partição da unidade estritamente subordinada a uma cobertura: Dada uma cobertura (U

) de um espaço topológico, uma partição da unidade subordinada à cobertura é família de funções contínuas {h

}; ℎ

: A → [0,1] tal que a família de conjuntos (supp h

) , onde supp h

= {x ∈ A; h

(x) ≠ 0} , é uma cobertura localmente finita de A tal que 𝑠𝑢𝑝𝑝 ℎ

⊂ U

, ∀α e vale

∑ h

= 1 em A.

As partições da unidade são especialmente importantes no contexto das variedades diferenciáveis, permitindo utilizar funções diferenciáveis definidas localmente para construir uma função diferenciável definida globalmente por um processo de “colagem”. Levando isso em consideração, utilizou-se a definição de uma variedade diferenciável para deduzir que toda cobertura de uma variedade por abertos admite uma partição da unidade estritamente subordinada.

Desse resultado seguem o Lema de Urysohn diferenciável e Teorema de Extensão de Tietze Diferenciável, que possuem enunciado semelhante aos resultados clássicos porém considerando as funções e suas extensões sendo de classe C

ou suave ao invés de somente contínuas.

E. Compacidade e conceitos associados

Compacidade: Um espaço topológico A é chamado compacto quando dada uma cobertura por abertos qualquer (U

) , existe subcobertura finita (U

)

i=1

n

, ou seja, existe uma quantidade finita dos U

que ainda cobre o espaço.

A imagem de todo compacto por uma função contínua é também um compacto, por isso toda função real contínua definida sobre um conjunto compacto é limitada e assume seu máximo e mínimo, sendo esta uma das motivações para o uso do conceito. Espaços compactos têm uma série de propriedades úteis que, no espaço euclidiano, se mostram equivalentes à definição de compacidade. De fato, todo compacto é fechado e limitado, qualquer sequência definida em um compacto admite uma subsequência convergente com limite no compacto (chamado compacidade sequencial), em um espaço compacto toda sequência de subconjuntos fechados encaixados, uma sequência (F

)

; F

⊂ F

⊂ F

⊂ ⋯ de fechados, tem intersecção não vazia.

Para todo espaço compacto em geral valem todas estas proposições, contudo não é verdade que valem suas recíprocas, elas não implicam na compacidade do espaço, por isso consideram-se noções alternativas à compacidade que servem como as recíprocas destas propriedades. Um exemplo é o caso dos espaços enumeravelmente compactos. Um exemplo é o seguinte.

Compacidade enumerável: Um espaço é enumeravelmente compacto se dada cobertura aberta enumerável existe uma subcobertura finita, sendo equivalente à compacidade sequencial em espaços topológicos primeiro contáveis gerais (caso o espaço não seja primeiro contável vale um enunciado parecido).

Outras duas noções de compacidade importantes dizem respeito à existência de compactos

distribuídos ao longo do espaço e à decomposição do espaço como compactos.

Compacidade local: Em um espaço localmente compacto todo ponto x ∈ A possui uma vizinhança com fecho compacto.

𝛔 − 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐚𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞: Um espaço é σ − compacto se ele se escreve como união enumerável de abertos cujo fecho é compacto.

Um contexto em que esses conceitos são úteis é o das variedades pois como elas são localmente euclidianas certamente são localmente compactas e σ − compactas.

Por fim, inclui-se nessa seção uma definição que, apesar de não dizer respeito a compacidade diretamente, fala sobre existência de subcorberturas.

Propriedade de Lindelöf: Um espaço é chamado de Lindelöf se toda sua cobertura por abertos admite uma subcobertura enumerável.

F. A topologia dos espaços produto e o Teorema de Tychonoff

Uma forma eficiente de criar novos espaços topológicos a partir de uma família dada de espaços topológicos é por meio do produto cartesiano. Considerando uma família (A

) de espaços topológicos, procura-se então atribuir ao conjunto ∏ A

uma topologia natural a ele.

Topologia do produto: Dada uma família de espaços topológicos (A

) define-se a topologia do produto em ∏ A

como a topologia gerada pelos conjuntos p

(U), onde U é um aberto de A

e p

: ∏ A

→ A

é a projeção do produto sobre o fator α.

A topologia do produto é assim definida para ter a propriedade de ser a topologia mais grossa, com menos abertos, definida no produto para garantir a continuidade das funções de projeção sobre os fatores. Nessa topologia os abertos são uniões arbitrárias de abertos da forma V = U

× U

× … × U

× ∏

A

, onde U

é aberto de A

, ∀i = 1, … , n.

A topologia produto é bem comportada, preservando regularidade dos fatores. De fato, o produto é de Hausdorff se, somente se, cada fator é de Hausdorff e o mesmo vale para espaços regulares. Além disso, espaços produto são conexos se, e só se, cada um dos fatores for conexo e funções definidas sobre um espaço produto são contínuas se, e só se, sua composição com qualquer uma das projeções é contínua.

Dentre estas propriedades a mais importante diz respeito à compacidade do espaço produto.

O resultado chama-se o Teorema de Tychonoff e, por sua dedução ser surpreendentemente não trivial, é considerado um dos teoremas mais importantes da topologia geral.

Teorema de Tychonoff: Dada uma família (A

) de espaços topológicos, o conjunto ∏ A

equipado com a topologia do produto é também um espaço compacto se, e somente se, cada fator for um espaço compacto.

É evidente que se o produto é compacto então todo fator tem de ser compacto, já que cada

projeção é uma função contínua sobrejetiva do produto no fator. Contudo, a recíproca depende do

uso do Lema de Zorn cujo utilização, apesar de ter se tornado padrão na análise e outras áreas,

exige conhecimentos de teoria de conjuntos e seus axiomas em um nível não comumente tratado

em cursos elementares. Para o desenvolvimento da teoria necessária a bibliografia foi

complementada com um livro de teoria de conjuntos onde foram apresentados os axiomas, depois

foram introduzidos conceitos básicos como os de função e relação para obter o princípio de

indução com os números naturais. Depois disso, trabalhou-se especialmente com a noção de

relação de ordem parcial em um conjunto para demonstrar o Lema de Zorn e sua equivalência com

o Axioma da Escolha. Posteriormente foram apresentados os conceitos de boa ordenação, ordinais

e cardinais, que não são pertinentes ao resto do estudo. O enunciado do lema é o seguinte.

Lema de Zorn: Seja X um conjunto parcialmente ordenado, ou seja, X possui uma relação binária que é reflexiva, transitiva e antissimétrica. Segue que se cadeia de X possui uma cota superior em X então existe um elemento maximal. Isto é, se para todo subconjunto Y de X satisfazendo ∀x, y ∈ Y, x ≤ y ou y ≤ x existe um elemento m ∈ X; z ≤ m, ∀z ∈ Y, então existe n ∈ X; (∃x ∈ X; n ≤ x) ⇒ (x = n).

A partir do Lema de Zorn é possível deduzir um teorema que serve como ponte para o resultado maior do Terema de Tychonoff. Existem outras formas de obter o resultado mas usam conceitos mais avançados, por isso optou-se por um caminho indireto porém mais elementar.

Teorema de Sub-base de Alexander: Dado um espaço topológico e uma sub-base deste espaço, uma família de conjuntos que gera a topologia a partir de intersecções finitas e uniões arbitrárias, se toda cobertura do espaço por abertos da sub-base admite subcobertura finita, então o espaço é compacto.

O enunciado é não trivial pois deduz uma propriedade para qualquer cobertura do espaço a partir de uma classe específica de coberturas. Depois de obter este resultado, o Teorema de Tychonoff segue diretamente como corolário. Um outro fato surpreendente é de que o Teorema de Tychonoff não só depende da validade do Axioma da Escolha mas é na realidade equivalente ao axioma.

G. Topologias fracas na Análise Funcional

A Análise Funcional é uma área da matemática que trabalha essencialmente com espaços de Banach, espaços vetoriais normados completos, e com funcionais lineares definidos sobre eles. Dado um espaço vetorial normado E, sempre se pode considerar o conjunto E

, o seu espaço dual composto pelos funcionais lineares contínuos definidos sobre E, que é um espaço de Banach com a norma de operadores.

Uma dos recursos centrais da Análise Funcional é a interpretação de um espaço de Banach não a partir da sua norma, mas como um espaço topológico com uma topologia diferente da usual que o faz incorporar boas propriedades. Esse é o objetivo da construção das topologias fracas.

Topologia fraca: Seja E um espaço de Banach e E

seu espaço dual. A topologia fraca T = σ(E, E

) em E é a topologia gerada pelos conjuntos f

(U), U aberto de R, f ∈ E

.

Sendo assim, a topologia fraca em um espaço de Banach é a topologia mais grossa que ainda garante a continuidade dos funcionais lineares do espaço dual. O interesse por essa noção no projeto se dá pelo fato de que o processo de construção da topologia fraca ser análoga à construção da topologia do produto, o que indica um processo geral de construção de uma topologia a partir de uma família de mapas definidos neste conjunto. Ou seja, dado conjunto A qualquer e uma família (f

); f

: A → X onde X é um espaço topológico, é possível definir uma topologia em A usando os mapas como sendo a menor topologia que garante a continuidade dos mapas f

considerando a topologia gerada pelos conjuntos da forma f

(U), ∀α, U aberto de X.

H. Espaços métricos e espaços vetoriais normados

Após desenvolvidos todos os conceitos gerais da topologia é interessante aplica-los em

contextos mais familiares como os espaços métricos e espaços vetoriais normados, onde existem

estruturas que determinam a distância entre pontos, gerando uma topologia natural a esses espaços.

Espaço métrico: Um espaço métrico é um par (X, d) onde X é um conjunto qualquer e d: X × X → [0, ∞) é uma função satisfazendo: (i) d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (ii)d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) , ∀x, y, z ∈ X.

Existe uma topologia associada a espaços métricos que é natural no espaço ambiente, levando em conta a intuição de distância codificada pela função d. Basta considerar a topologia gerada pelos conjuntos da forma B(x, ϵ) = y ∈ X; d(x, y) < 𝜖}, 𝑥 ∈ 𝑋, 𝜖 > 0 , as bolas abertas centradas em pontos de X.

Espaço vetorial normado: Um espaço vetorial normado é um par (V, ‖ . ‖) onde V é um espaço vetorial e ‖ . ‖: V → [0, ∞) tal que: (i) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0 , (ii) ‖λx‖ = ∣ λ ∣ ‖x‖ , (iii)

‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ , ∀x, y ∈ V.

Note que definindo em um espaço vetorial normado a função d: V × V → [0, ∞); d(x, y) = ‖x − y‖, d satisfaz as condições para tornar o espaço em um espaço métrico, logo todo espaço vetorial normado é naturalmente um espaço métrico e portanto possui uma topologia natural gerada pelas bolas abertas.

A noção de distância nesses dois tipos de espaços impõe fortes regularidades sobre a topologia, todo espaço métrico é paracompacto, portanto também é normal. Utilizando a noção de distância é possível definir convergência de sequências e de conjuntos limitados, e consequentemente relacionar esses conceitos com resultados topológicos. Observa-se que um subconjunto de um espaço métrico é fechado se, e só se, toda sequência convergente neste conjunto tem limite ainda neste conjunto, e que um subconjunto é compacto se, e somente se, toda sequência neste conjunto possui uma subsequência convergente a um ponto do conjunto.

Um problema relevante nesse contexto diz respeito à possibilidade de dado um espaço topológico definir nele uma distância de forma que a topologia gerada pela métrica seja a topologia original, ao que chamamos de metrizar o espaço. É claro que nem toda topologia é metrizável, basta considerar qualquer espaço topológico que não seja paracompacto, porém existem condições que são suficientes para que um espaço seja metrizável.

Teorema de Metrização de Urysohn: Um espaço topológico normal e segundo contável é metrizável.

I. Homotopias e outros teoremas de caráter topológico

O último tópico tratado na seção de Topologia Geral foi o de homotopias e alguns teoremas clássicos que se mostrarão importantes posteriormente, principalmente durante a discussão do Teorema de Brouwer.

Homotopia: Uma homotopia entre duas funções contínuas f, g: X → Y , onde X, Y são espaços topológicos, é uma função contínua H: X × [0,1] → Y; H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x),

∀x ∈ X.

Quando existe homotopia entre duas funções dadas diz-se que estas funções são

homotópicas. A intuição por trás da definição é de que duas funções são homotópicas quando

podem ser continuamente deformadas uma na outra, interpretando o fator [0,1] no domínio como

um parâmetro temporal. Por exemplo, quaisquer mapas contínuos f, g: X → S

; f(x) ≠ −g(x), ∀x ∈

X, onde X é um espaço topológico, são homotópicos pela função H(x, t) =

‖(1−t)f(x)+tg(x)‖

, (x, t) ∈ X × [0,1].

Uma função definida de um espaço topológico em outro é dita homotopicamente trivial se for homotópica a uma função constante. Uma propriedade importante é que uma função f: S

→ X, X um espaço topológico, é homotopicamente trivial se, e somente se, f admite uma extensão contínua ao disco g: D

→ X. Além disso, um espaço X é dito contrátil se a função identidade Id: X → X é homotopicamente trivial.

Até então foram identificados exemplos de funções homotópicas, mas ainda não é evidente que existam funções não homotópicas. A resposta é afirmativa, porém mostrar que duas funções não são homotópicas é uma tarefa muito mais difícil que simplesmente explicitar uma homotopia entre duas funções.

Usaremos então um resultado cuja validade é conhecida para deduzir, por meio de equivalências, as seguintes proposições.

Teorema de Lusternik-Schnirelmann-Borsuk: Seja L

um espaço vetorial normado de dimensão n + 1, segue que toda cobertura de S

⊂ L

por n + 1 conjutnos fechados possui um par de pontos antipodais contido em um mesmo fechado.

Tomando ciência do teorema acima é possível validar uma série de resultados simplesmente deduzindo equivalências entre o teorema anterior e os seguintes enunciados.

Teorema Antipodal de Borsuk: Nenhuma função f: S

→ S

contínua ímpar é homotopicamente trivial.

Teorema de Borsuk-Ulam: ∀f: S

→ R

, ∃𝑥 ∈ 𝑆

; 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥).

Esses dois teoremas são equivalentes ao fato de que não existe função contínua de D

em S

que seja ímpar na fronteira do disco, que não existe função contínua ímpar f: S

→ S

e que toda função continua ímpar f: S

→ R

se anula em algum ponto.

A última consideração que deve ser feita diz respeito ao fato de que a esfera S

não é contrátil, já que a identidade é uma função ímpar e se pudesse ser extendida continuamente ao disco D

encontra-se uma contradição com uma das proposições anteriores.

Teoremas de Ponto Fixo

Tendo então todo o ferramental da topologia suficientemente desenvolvido, tornou-se possível demonstrar alguns dos principais Teoremas de Ponto Fixo e discutir suas consequências com o devido rigor matemático. Sendo assim, um a um foram trabalhados os resultados a seguir.

A. Teorema do Ponto Fixo de Banach

O primeiro resultado e provavelmente o mais conhecido se deve a Banach, possuindo diversas consequências interessantes.

Teorema do Ponto Fixo de Banach: Seja (X, d) um espaço métrico e f: A ⊂ X → X uma contração, ou seja, uma função satisfazendo ∃λ ∈ (0,1); d(f(x), f(y)) < λ d(x, y), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 . Segue que f admite um ponto fixo que é único.

Uma aplicação clássica do teorema de Banach é o resultado a seguir, que dá uma condição

suficiente para que uma equação diferencial ordinária possua uma solução e ela seja única.

Teorema de Existência e Unicidade de EDOs: Seja I = [0, r] ⊂ R, y

∈ R

, f: I × R

→ R

uma função contínua uniformemente Lipschitz em R

, ou seja, ∃M > 0; ‖f(t, x) − f(t, y) ‖ ≤ M ‖x − y ‖, ∀t ∈ I, ∀x ∈ R

. Segue que o problema de valor inicial abaixo sempre tem solução em todo o intervalo 𝐼 e ela é única.

y

(t) = f(t, y(t)) y(0) = y

B. Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

O teorema de Brouwer é o primeiro resultado que tem caráter estritamente topológico, apresentando uma característica que é invariante por homeomorfismos. Nesse sentido, o teorema é enunciado para bolas fechadas em 𝑅

, mas deve ser interpretado como um resultado para qualquer conjunto que seja homeomorfo a uma bola fechada.

Teorema do Ponto Fixo de Brouwer: Toda bola fechada de 𝑅

tem a propriedade do ponto fixo, ou seja, sendo 𝐵 uma bola fechada de 𝑅

toda função contínua 𝑓: 𝐵 → 𝐵 tem ponto fixo.

A dedução do teorema vem de uma série de equivalências, culminando no fato de o disco 𝐷

⊂ 𝑅

possuir a propriedade do ponto fixo, como toda bola fechada é homeomorfa ao disco o resultado vale. A primeira proposição desta equivalência foi verificada na parte do projeto referente a Homotopias, validando todos os resultados seguintes e consequentemente o teorema.

1. 𝑆

não é contrátil;

2. (Bohl) Para toda aplicação contínua 𝐹: 𝐷

→ 𝑆

vale uma das duas propriedades:

a. F tem ponto fixo

b. ∃𝑥 ∈ ∂𝐷

, ∃λ ∈ (0,1); 𝑥 = λ𝐹(𝑥);

3. (Borsuk) Não existe uma retração 𝑅: 𝐷

→ 𝑆

; 4. (Brouwer) 𝐷

tem a propriedade do ponto fixo.

C. Teorema do Ponto Fixo de Schauder

O teorema de Schauder e aquele que o procede são notórios por sua aplicação na área das Equações Diferenciais Parciais, sendo usados para demonstrar a existência de soluções para equações não lineares.

Teorema do Ponto Fixo de Schauder: Seja 𝐸 um espaço vetorial normado e 𝐶 ⊂ 𝐸 um subconjunto convexo não-vazio. Seja 𝑓: 𝐶 → 𝐶 compacta, segue que 𝑓 tem ponto fixo.

Também considerou-se a seguinte generalização do resultado.

Teorema do Ponto Fixo de Schauder-Tychonoff: Seja 𝐿 um espaço localmente convexo e 𝐶 ⊂ 𝐸 subconjunto convexo. Segue que toda aplicação compacta 𝑓: 𝐶 → 𝐶 tem ponto fixo.

D. Teorema do Ponto Fixo de Leray-Schauder

O último teorema trabalhado foi o teorema de Leray-Schauder, responsável pelo

desenvolvimento da teoria do grau de Leray-Schauder e com importantes aplicações na área das

EDPs quasilineares elípticas de 2ª odem.

Teorema do Ponto Fixo de Leray Schauder: Seja 𝐸 um espaço de Banach e 𝑇: 𝐸 → 𝐸 completamente contínua satisfazendo a condição de contorno de Leray-Schauder, isto é, tal que

∃𝑀 > 0; (‖𝑥‖ = 𝑀) ⇒ (𝑇(𝑥) ≠ λ𝑥, ∀λ > 1), então 𝑇 tem ponto fixo.

Referências

1 - DUGUNDJI, J. Topology. Prentice Hall Inc., 1975.

2 - LIMA, E. L. Elementos da Topologia Geral. IMPA, 1970.

3 - LIMA, E. L. Variedades Diferenciáveis. IMPA, 1970.

4 - BREZIS, H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.

Springer, 2011.

5 - HALMOS, P. R. Naive Set Theory. Stellar Classics, 1960.

6 - FERRARI, L. Aspectos da Topologia e da Teoria dos Pontos Fixos. Dissertação de

Mestrado, PUC-Rio, 2017.