5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27

Texto

(1)MATEMÁTICA 5). CADERNO 2 – CURSO E. [log5(25 log232)]3 = [log5(52 · log225)]3 = = [log5(52 · 5)]3 = [log553]3 = 33 = 27. FRENTE 1 – ÁLGEBRA n Módulo 7 – Logaritmos: Definição e Existência 1). 6). I). log216 = log224 = 4 x. II) log432 = x ⇔ 4x = 32 ⇔ (22) = 25 ⇔ 5 ⇔ 22x = 25 ⇔ 2x = 5 ⇔ x = –– 2. a) log28 = ⇔ 2 = 8 ⇔ 2 = 23 ⇔ = 3. 5 8–5 3 III) log216 – log432 = 4 – –– = ––––– = –– 2 2 2. b) log381 = ⇔ 3 = 81 ⇔ 3 = 34 ⇔ = 4 . c) log464 = ⇔ 4 = 64 ⇔ (22) = 26 ⇔. Resposta: B. ⇔ 22 = 26 ⇔ 2 = 6 ⇔ = 3 . d) log832 = ⇔ 8 = 32 ⇔ (23) = 25 ⇔ 23 = 25 ⇔ 5 ⇔ 3 = 5 ⇔ = –– 3. 7). I). 3. . e) log927 = ⇔ 9 = 27 ⇔ (32) = 33 ⇔ ⇔. 32. =. 33. ⇔ 3–x = 3 · 3. 3 ⇔ 2 = 3 ⇔ = –– 2. II) log f) log8(4

(2). 2) = ⇔. ⇔. (23). = 22 · 2. 8. 1 –– 2. = 4

(3). 2⇔. ⇔ 23 = 2. 5 –– 2. . ⇔ 33 = 3. 2). . . ⇔ 3– x = 3. ––4 = y ⇔ 2. y. 3 –– 2. 3 ⇔ x = – –– 2. 1 = –– ⇔ 2y = 2–2 ⇔ y = – 2 4. 1 –– 2. . 1 3 IV) M = log 1 (3

(4). 3) – log2 –– – log55 = – –– + 2 – 1 = 4 2 –– 3. ⇔ 3 –3+2 1 = – –– + 1 = ––––––– = – –– 2 2 2. 5 5 ⇔ 3 = –– ⇔ = –– 2 6. 1 log 32 = ⇔ –– 1 4 ––. = 3

(5). 3⇔. III) log55 = 1 5 5 ⇔ 3 = –– ⇔ = –– 2 6. g) log27(9

(6). 3) = ⇔ 27 = 9

(7). 3 ⇔ (33) = 32 · 3 5 –– 2. 1 –– 2. 1. 2. x. . 1 log 1 (3

(8). 3) = x ⇔ –– 3 ––. 8). = 32 ⇔ 4– = 25 ⇔. I). log82x = y + 1 ⇔ 2x = 8y + 1 ⇔ 2x = (23)y + 1 ⇔ ⇔ 2x = 23y + 3 ⇔ x = 3y + 3 ⇔ x – 3y = 3. 4. II) log39y = x – 9 ⇔ 9y = 3x – 9 ⇔ (32)y = 3x – 9 ⇔. 5 ⇔ (22)– = 25 ⇔ 2–2 = 25 ⇔ – 2 = 5 ⇔ = – –– 2. ⇔ 32y = 3x – 9 ⇔ 2y = x – 9 ⇔ – x + 2y = – 9. Resposta: E. III). – x + 2y = – 9 ⇔ – y = – 6 x – 3y = 3. ⇔ 3). log67776 = ⇔ 6 = 7776 ⇔ 6 = 25 · 35 ⇔. y = 6. x = 21. x – 3y = 3. ⇔. ⇒ x – y = 21 – 6 = 15. Resposta: E. ⇔ 6 = (2 · 3)5 ⇔ 6 = 65 ⇔ = 5 Resposta: B 9). Se a e b são as raízes da equação x2 – 7x + 10 = 0, então a . b = 10 1 1 Assim, log ––– = log ––– = log 10– 1 = – 1 ab 10. . 4). Sendo b a base procurada, onde b 0 e b ≠ 1, temos: 81 81 34 3 logb ––– = – 4 ⇔ b– 4 = ––– ⇔ b– 4 = ––4 ⇔ b– 4 = –– 16 16 2 2. . ⇔. –4. . 2 ⇔ b– 4 = –– 3. 2 ⇔ b = –– 3. Resposta: B. 4. 10) Fazendo logab = x ⇔ ax = b, temos: log b. a a = ax = b Resposta: A. –1.

(9) n Módulo 8 – Propriedades dos Logaritmos. 7). 1 x = log y2 + –– · log y + log y– 3 ⇔ log

(10). 2 1 ––. 1). ⇔ log

(11). x = log y2 + log y 2 + log y – 3 ⇔. 2 –– · logb27 + 2 · logb2 – logb3 = – 1 ⇔ 3 ⇔ logb(27) ⇔. 2 –– 3. 2 –– logb(33) 3. 1 ––. 1 – –– 2. + logb22 – logb3 = – 1 ⇔. ⇔

(12). x =y. + logb4 – logb3 = – 1 ⇔ logb32 + logb4 – logb3 = – 1 ⇔. ⇔ logb(32 · 4) – logb3 = – 1 ⇔ logb ⇔ logb12 = – 1 ⇔. b– 1. . . 8). 1 1 = 12 ⇔ –– = 12 ⇔ b = ––– b 12. . 24,96 log4(24,96) – log4(3,12) = log –––––– = log48 3,12. . . a3 ·

(13). b · c2 ––––––––––– b . c4. – = logca3 + logcb. . = logc(a3

(14). b . c2 . b– 1 . c– 4) =. 1 –– 2. 1 –– 2. . c– 3) =. + logcc– 3 =. 1 = 3 · logca – –– · logcb – 3 · logcc = 2 1 = 3 . 3 – –– . 4 – 3 . 1 = 9 – 2 – 3 = 4 2. 3 ⇔ (22)x = 23 ⇔ 22x = 23 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = –– 2 3 Portanto, log4(24,96) – log4(3,12) = –– 2 Resposta: B. . 1 ⇔ x = y – 1 ⇔ x = –– y. – = logc(a3 .

(15). b . c . b–1 . c – 4) = logc(a3 . b. Fazendo log48 = x ⇔ 4x = 8 ⇔. 3). . a3 ·

(16). b · c2 Se logca = 3, logcb = 4 e y = ––––––––––– , então: b · c4 logcy = logc. . 1 2 – –– 2. . ⇔ (

(17). x)2 = y. ⇔. Resposta: B. 32 · 4 ––––– = – 1 ⇔ 3. Resposta: B. 2). 1 – –– 2. ⇔ log

(18). x = log (y2 · y 2 · y – 3) ⇔ log

(19). x = log y. Resposta: C. . b b b log3b – log3a = 4 ⇔ log3 ––– = 4 ⇔ ––– = 34 ⇔ ––– = 81 a a a Resposta: C. 9). Se log 2 = x e log 3 = y, então: log 72 = log (23 · 32) = log 23 + log 32 = = 3 · log 2 + 2 · log 3 = 3x + 2y Resposta: B. 4). Se log10123 = 2,09, então:. . . 123 log101,23 = log10 –––– = log10123 – log10100 = 2,09 – 2 = 0,09 100 Resposta: B. 5). log m = 2 – log 4 ⇔ log m + log 4 = 2 ⇔ 100 ⇔ log (m · 4) = 2 ⇔ 4m = 102 ⇔ m = –––– ⇔ m = 25 4 Resposta: D. 6). 1 log x = log b + 2 log c – –– log a ⇔ 3 ⇔ log x = log b + log c2 – log. 1 –– a3. ⇔. 3. ⇔ log x = log (b · c2) – log

(20). a⇔ ⇔ log x = log Resposta: D. . bc2 ––––– 3

(21). a. . bc2 ⇔ x = ––––– 3

(22). a. 1 3 10) –– · log m5 – –– · log m = log

(23). 3⇔ 4 4 1 3 ⇔ –– · 5 · log m – –– · log m = log

(24). 3⇔ 4 4. . 1. . –– 5 3 1 1 2 ⇔ –– – –– · log m = log 3 ⇔ –– · log m = –– · log 3 ⇔ 4 4 2 2. ⇔ log m = log 3 ⇔ m = 3 Resposta: B. 11) I). 2 · log2 (1 +

(25). 2x) – log2 (

(26). 2x) = 3 ⇔ ⇔ log2 (1 +

(27). 2x)2 – log2 (

(28). 2x) = 3 ⇔ ⇔ log2. . (1 +

(29). 2x)2 –––––––––

(30). 2x. . (1 +

(31). 2x)2 = 3 ⇔ ––––––––– = 23 ⇔

(32). 2x. ⇔ (1 +

(33). 2x)2 = 8

(34). 2x ⇔ 1 + 2

(35). 2x + 2x2 = 8

(36). 2x ⇔ –(– 6

(37). 2) ±

(38). 64 6

(39). 2±8 ⇔ 2x2 – 6

(40). 2x + 1 = 0 ⇔ x = ––––––––––––––– = ––––––– 2·2 4 3

(41). 2–4 Como a é o menor valor de x, temos que: a = –––––––– 2. 2–.

(42) . 2a + 4 II) log2 –––––– 3. = log. 2. . 3

(43). 2–4+4 = log2 ––––––––––– 3. . . . 3

(44). 2–4 2 · –––––––– + 4 2 –––––––––––––––– 3 = log2

(45). 2 = log22. . 1 –– 2. 12 25 log103 = ––– ⇔ log310 = ––– 25 12. 16) I) =. II) Se a2 + b2 = 28ab, então:. . 1 1 = –– · log22 = –– 2 2. (a + b)2 log3 –––––––– ab. = log –––––––––––– = log ––––––––––– = ab ab a2 + 2ab + b2. . Resposta: B. 28ab + 2ab. 3. 3. 30ab = log3 ––––– ab. = log 30 = log (3 · 10) = log 3 + log 10 = 3. 3. 3. 3. 25 12 + 25 37 = 1 + ––– = ––––––– = –––– 12 12 12. 12) Se log23 = a e log35 = b, então: log32 + log325 · log52 = log32 + log352 · log52 =. Resposta: A. log32 = log32 + 2 · log35 · ––––––– = log35 log22 1 3 = log32 + 2 · log32 = 3 · log32 = 3 · ––––––– = 3 · ––– = ––– log23 a a. 17). . x·y=3 3 log3x + log9y = –– 2. Resposta: D ⇔. . ⇔. x·y=3. . x·y=3 log3y 3 ⇔ log3x + ––––––– = ––– log39 2. ⇔. 2 · log3x + log3y = 3. . x·y=3 log3x2 + log3y = 3. ⇔. 3. 3 log327 log3

(46). 2 13) x = log35 · log427 · log25

(47). 2 = log35 · ––––––– · –––––––– = log34 log325. 1 1 – –– · log32 log32 3 3 3 3 = log35 · ––––––– · ––––––– = log35 · –––––––– · ––––––––––– = 2 · log35 log352 2 · log32 log322. ⇔. . x·y=3 ⇔ log3(x2 · y) = 3. . x·y=3 ⇔ x2 · y = 33. ⇔. . x·y=3 x · x · y = 27. . x·y=3 ⇔ x · 3 = 27. ⇔. . x=9 1 fi y = –– 3. 1 27 + 1 28 fi x + y = 9 + –– = ––––––– = ––– 3 3 3. 1 –– 3 1 3 = 1 · –– · –––– = –– 2 2 4. Resposta: C. Resposta: C 18) I). . + log (21 ) = 0 ⇔. 7 14) x · log2(7x) + log2 –– 3. 2. 1 25 Observe que: 1 + ––– = ––– 24 24. x. ⇔ x · [x . log27 + log27 – log23] + x · log221 = 0 ⇔. II) população atual: P. ⇔ x · [x . log27 + log27 – log23 + log2(3 · 7)] = 0 ⇔. 25 população após 1 ano: P · –– 24. ⇔ x · (x · log27+ log27 – log23 + log23 + log27) = 0 ⇔. população após 2 anos: P ·. ⇔ x · (x . log27 + 2 · log27) = 0 ⇔ x · log27 · (x + 2) = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ou x + 2 = 0 ⇔ x = 0 ou x = – 2 Resposta: D. 5 loga

(48). 5 loga

(49). 5 5 5 + log 3

(50). 5 = –– ⇔ ––––––––– 15) log 2

(51). + ––––––––– = ––– ⇔ 2 3 a a 12 logaa logaa 12 loga

(52). 5 loga

(53). 5 loga

(54). 5 loga

(55). 5 5 5 ⇔ ––––––––– + ––––––––– = ––– ⇔ ––––––– + ––––––– = ––– ⇔ 2 · logaa 3 · logaa 2 3 12 12 6 loga

(56). 5 + 4 loga

(57). 5 5 ⇔ ––––––––––––––––––– = ––– ⇔ 10 · loga

(58). 5=5⇔ 12 12. . . 25 população após t anos: P . ––– 24 t. 2. 25 ––– 24. t. t. = 2 · P ⇔ ––– =2⇔ 24. 25 III) Devemos ter: P · ––– 24. . 25 ⇔ log ––– 24. . t. 25. . 25 = log 2 ⇔ t · log ––– = log 2 ⇔ 24. 100 ⇔ t · log –––– 96. = log 2 ⇔ t · (log 100 – log 96) = log 2 ⇔. ⇔ t · [2 – log(25 · 3)] = log 2 ⇔ t · (2 – 5 · log 2 – log 3) = log 2 ⇔ ⇔ t · (2 – 5 · 0,30 – 0,48) = 0,3 ⇔ t · (0,02) = 0,3 ⇔. 1 ⇔ loga

(59). 5 = ––– ⇔ a 2 Resposta: D. 1 –– 2. =

(60). 5⇔a=5. 0,3 ⇔ t = ––––– = 15 0,02 Resposta: t = 15 anos. –3.

(61) 19) Para log102 = m e log103 = n, temos: II) log

(62). 5x + 1 – log(1 – 5x) = 0 ⇔ log. log10(2 · 3) log102 + log103 m+n log106 log56 = ––––––– = ––––––––––––– = ––––––––––––––– = ––––––– log105 10 log1010 – log102 1–m log10 ––– 2. .

(63). 5x + 1 ⇔ –––––––– = 100 ⇔

(64). 5x + 1 = 1 – 5x ⇔ 1 – 5x. Resposta: D. 20) I). ⇔ (

(65). 5x + 1)2 = (1 – 5x)2 ⇔ ⇔ 5x + 1 = 1 – 10x + 5x2 ⇔ 5x2 – 15x = 0 ⇔. k log581 = k ⇔ log534 = k ⇔ 4 · log53 = k ⇔ log53 = –– 4. ⇔ x2 – 3x = 0 ⇔ x · (x – 3) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3.. 1 –– · log515

(66). 15 log5 2 log5 II) log3

(67). 15 = ––––––––– = ––––––––– = ––––––––––––– = k log53 log53 –– 4. III). 1 –– 15 2. 1 4 2 2 = –– · –– · log515 = –– · log5(3 · 5) = –– · [log53 + log55] 2 k k k 2 = –– · k. . . . . 4). 2 log5x = log5x + log58 ⇔ log5x2 = log5(x · 8) ⇔ ⇔ x2 = 8x ⇔ x2 – 8x = 0 ⇔ x · (x – 8) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 8. . k 2 k+4 k+4 –– + 1 = –– · ––––– = –––––– 4 k 4 2k. Pela condição de existência dos logaritmos, x 0. Assim, S = {8} Resposta: B. 21) I) 5p = 2 ⇔ log52 = p. 5) log5102. 2 · log510 log5100 log2100 = ––––––––– = –––––––– = –––––––––– = p p log52. 3 1 a) I) f(x) = 1 ⇔ log3(9x2) = 1 ⇔ 9x2 = 3 ⇔ x2 = –– ⇔ x2 = –– 9 3 Para x > 0, temos: x=. 2 · [log52 + log55] 2 [p + 1] 2p + 2 2 · log5(2 · 5) = ––––––––––––– = ––––––––––––––––– = –––––––– = –––––– p p p p. 1 ⇔ –– = 3 – 3 ⇔ x = 33 = 27 ⇒ Vg = {27} x. =. 1 b) 1 + f(x) + g(x) = 1 + log3(9x2) + log3 –– x = 1 + log39 + log3x2 + log3x– 1 =. log x + log (x – 5) = log 36 ⇔ log [x · (x – 5)] = log 36 ⇔ ⇔ x · (x – 5) = 36 ⇔ x2 – 5x – 36 = 0⇔ x = – 4 ou x = 9 Pela condição de existência dos logaritmos, devemos ter x 5, então a única solução é x = 9. Resposta: D log2(x + 2) + log2(x – 2) = xlogx5 Pela condição de existência dos logaritmos, devemos ter: a) (x + 2) 0 ⇔ x – 2 b) (x – 2) 0 ⇔ x 2 c) x 0 e x ≠ 1 Assim, (a)  (b)  (c) ⇒ x 2 Desta forma, log2[(x + 2) · (x – 2)] = xlogx5 ⇔ ⇔ log2(x2 – 4) = 5 ⇔ x2 – 4 = 25 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ± 6. = 1 + 2 + 2 . log3x – 1 . log3x = 3 + log3x. 6). . 2 . logyx + (logxy)– 1 = 6 ⇔ x – y = 12. ⇔. ⇔. Pela condição de existência dos logaritmos, temos S = {6} Resposta: E ⇒ I) Condições de existência:. 4–. 5x + 1 > 0 ⇔ 1 – 5x > 0.

(68). 3 –––– 3 . 1 II) g(x) = – 3 ⇔ log3 –– x. n Módulo 9 – Resolução de Equações Logarítmicas. 3). 1 1

(69). 3 –– = –––– = –––– ⇒ V = f 3 3 3

(70). =–3⇔. Resposta: E. 2). 1 1 – ––– < x < ––– 5 5 fix=0 x = 0 ou x = 3. Resposta: C. Resposta: D. 1).

(71). 5x + 1 =0⇔ –––––––– 1 – 5x . . 1 x > – ––– 1 1 5 ⇔ – ––– < x < ––– 1 5 5 x < ––– 5. . 2 . logyx + logyx = 6 x – y = 12 x = y2. ⇔. x – y = 12 x = 16. . . 3 . logyx = 6. y2. – y – 12 = 0. , pois x 1 e y 1. Assim, x + y = 16 + 4 = 20. ⇔. x – y = 12. x = y2. y=4. Resposta: C. ⇔. . 1 2 . logyx + –––––– = 6 ⇔ logxy x – y = 12. ⇔. . . logyx = 2 x – y = 12. x = y2 y = 4 ou y = – 3. ⇒. ⇔.

(72) 7). log x – log y = – 1 € 2 . log x = 4 log2x + log2y = 5 2. €. log2x + log2y = 5. 2. n Módulo 10 – Função Logarítmica. €. 2. log x = 2. log2x + log2y = 5 2. €. x = 4. log2x + log2y = 5. 1). €. 1 5x2 – 26x + 5 0 ⇔ x –– ou x 5, pois o gráfico de 5 g(x) = 5x2 – 26x + 5 é do tipo:. ⇔. 8). ⇔. ⇔. x = 4. 2 + log2y = 5. ⇔. x = 4. log2y = 3. (

(73). 3)x –––––– = 3y 3. ⇔. x = 4 fi V = {(4; 8)} y=8. ⇔. log (x – 1) – log y ––––––––––––––––– = log

(74). 3 2. . 1 –– 32. . 1 Logo, D(f) = x 僆⺢ / x –– ou x 5 5. x. =. 3y. .3. Resposta: C. ⇔. log (x – 1) – log y = 2 . log

(75). 3 x ––. 3 2 = 3y + 1. . 2). ⇔. . x–1 log –––––– = log (

(76). 3 )2 y. ⇔. . ⇔. y = 1. x ––– = y + 1 2 ⇔ x–1 –––––– = 3 y x = 2y + 2. ⇔. x = 3y + 1 x = 2y + 2. y = 1 x=4. x2 + x + 7 0, x 僆⺢, pois o gráfico de g(x) = x2 + x + 7 é do tipo:. ⇔. 3y + 1 = 2y + 2 ⇔ x = 2y + 2. ⇒x+y=5 Assim, temos: D(f) = ⺢ Resposta: E. Resposta: A. 9). . log2x log2(x – 2) – log4x = 1 ⇔ log2(x – 2) – ––––––– = 1 ⇔ log24 log2x ⇔ log2(x – 2) – ––––––– = 1 ⇔ 2 · log2(x – 2) – log2x = 2 ⇔ 2 ⇔ log2(x –. 2)2. – log2x = 2 ⇔ log2. . (x – 2)2 –––––––– x. =2⇔. 3). O campo de definição de uma função é o conjunto para o qual a função está definida. Em outras palavras, o campo de definição é o mesmo que o domínio da função. Desta forma, pela condição de existência dos logaritmos,. (x – 2)2 ⇔ –––––––– = 4 ⇔ x2 – 4x + 4 = 4x ⇔ x2 – 8x + 4 = 0 ⇔ x. temos:. 8 ±

(77). 3 48 8 ± 4

(78). ⇔ x = ––––––––– = –––––––– ⇒ x = 4 + 2

(79). 3 , pois x > 2 2 2. Assim sendo:. Resposta: D. D(f) = {x 僆⺢ 2x2 – 5x + 2 0 e x + 1 0 e x + 1 ≠ 1}. 1 a) 2x2 – 5x + 2 0 ⇔ x –– ou x 2, pois o gráfico de 2 g(x) = 2x2 – 5x + 2 é do tipo:. 10) Sendo log 1,5 = 0,18, temos:. . x. =9⇔. 2x 2 log 2x – log 3x = 9 ⇔ log ––– = 9 ⇔ log ––– 3x 3. 2 3 –1 3 ⇔ x · log ––– = 9 ⇔ x · log ––– = 9 ⇔ – x · log ––– = 9 3 2 ⇔ 2. . . . –9 ⇔ – x . log 1,5 = 9 ⇔ – x . 0,18 = 9 ⇔ x = –––––– ⇔ x = – 50 0,18 Resposta: C. b) x + 1 0 ⇔ x – 1 c) x + 1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 0. –5.

(80) Portanto, temos a seguinte figura:. De (a) 傽 (b) 傽 (c), temos:. (AC)2 = 42 + 82 AC =

(81). 16 + 64 AC =

(82). 80 = 4

(83). 5. Resposta: D 6). . 1 Portanto, D(f) = x 僆⺢ / – 1 x 0 ou 0 x –– ou x 2 2. . Resposta: D. 4). Se os pontos (1, 2) e (5, 10) pertencem ao gráfico de ACDE = 20% de AABDE ⇒. f(x) = a · blog2x, temos: I). f(1) = 2 ⇒ a · blog21 = 2 ⇒ a · b0 = 2 ⇒ a = 2. (4 – k) · (2 – log2k) 20 (log2k + 2) · (4 – k) ⇒ ––––––––––––––––– = –––– · ––––––––––––––––– ⇔ 2 100 2. II) f(5) = 10 ⇒ 2 · blog25 = 10 ⇒ ⇒ blog25 = 5 ⇒ logb5 = log25 ⇔ b = 2. 1 ⇔ 2 – log2k = –– · (log2k + 2) ⇔ 5 · (2 – log2k) = log2k + 2 ⇔ 5. Logo, a + b = 2 + 2 = 4 Resposta: B. 8 ⇔ 10 – 5 · log2k = log2k + 2 ⇔ 6 log2k = 8 ⇔ log2k = –– ⇔ 6 4 –– 3 3 4 3 4 ⇔ log2k = –– ⇔ k = 2 ⇔ k =

(84). 2 ⇔ k = 2

(85). 2 3. 5). Resposta: C 7). Fazendo x = 0 em (I), temos: y = 2 · 30 ⇔ y = 2 ⇒ OP = 2. Fazendo y = 0 em (II), temos: log3x = 0 ⇔ x = 30 ⇔ x = 1 ⇒ OQ = 1 Desta forma, A(1, 2) Fazendo x = 1 em (I), temos: y = 2 · 31 = 6 ⇒ D(1, 6) Fazendo y = 2 em (II), temos: log3x = 2 ⇔ x = 32 ⇔ x = 9 ⇒ B(9, 2) e C(9, 6). Para x = a, temos: y = log(a + b)(a – b) = 0 ⇔ (a – b) = (a + b)0 ⇔ ⇔a–b=1⇔b=a–1 Para x = 3a, temos: y = log(a + b)(3a – b) = 2 ⇔ log(a + a – 1)[3a – (a – 1)] = 2 ⇔ ⇔ log(2a – 1)(2a + 1) = 2 ⇔ 2a + 1 = (2a – 1)2 ⇔ ⇔ 2a + 1 = 4a2 – 4a + 1 ⇔ 4a2 – 6a = 0 ⇔ ⇔ 2a · (2a – 3) = 0 ⇔ 2a = 0 (não serve) ou 2a = 3 Resposta: B. 6–.

(86) 8). I). log10x + log10(x + 3) 1 ⇔ log10x + log10(x + 3) log1010 ⇔ ⇔ log10[x · (x + 3)] log1010 ⇔ x · (x + 3) 10 ⇔ ⇔ x2 + 3x 10 ⇔ x2 + 3x – 10 0 ⇔ – 5 x 2. 11) 1 log10(x – 1) 2 ⇔ log1010 log10(x – 1) log10102 ⇔ ⇔ 10 x – 1 102 ⇔ 11 x 101 ⇔ Resposta: C 12) log x = – 4,3751157 = – 4 – 0,3751157 = – = – 4 – 1 + 1 – 0,3751157 = – 5 + 0,6248843 = 5, 6248843 A característica é – 5 e a mantissa é 0,6248843. Resposta: C. Verificando as condições de existência dos logaritmos, tem-se: II) x 0 III) x + 3 0 ⇔ x – 3 Assim,. – 13) 2,4112 . 3 = (– 2 + 0,4112) . 3 = – 6 + 1,2336 = – = – 6 + 1 + 0,2336 = – 5 + 0,2336 = 5,2336 Resposta: A – – 14) 2,53112 + 1,43001 + 0,37002 = = – 2 + 0,53112 + (– 1 + 0,43001) + 0,37002 =. – = – 3 + 1,33115 = – 3 + 1 + 0,33115 = – 2 + 0,33115 = 2,33115 Resposta: C. Portanto, S = {x 僆⺢ 0 x 2}. . Resposta: C 9). log0,4[log2(0,5)x. – 5]. log0,4(x + 2) ⇔ log2(0,5)x – 5 x + 2 ⇔. ⇔ (x – 5) · log20,5 x + 2 ⇔ (x – 5) · log22– 1 x + 2 ⇔ ⇔ (x – 5) · (– 1) · log22 x + 2 ⇔ – x + 5 x + 2 ⇔ 3 ⇔ – 2x – 3 ⇔ 2x 3 ⇔ x –– 2 Pela condição de existência dos logaritmos, devemos ter: x+20⇔x–2 3 Portanto, S = x 僆⺢ – 2 x –– 2 Resposta: C. . 15) a) log 200 = log (2 · 102) = log 2 + log 102 = 0,301 + 2 = 2,301; b) log 0,002 = log (2 · 10– 3) = log 2 + log 10–3 = 0,301 – 3 = – = – 2,699 = 3,301; c) log 6 = log (2 · 3) = log 2 + log 3 = 0,301 + 0,477 = 0,778; d) log 60 = log (6 · 10) = log 6 + log 10 = 0,778 + 1 = 1,778; 15 e) log 1,5 = log ––– = log 15 – log 10 = log (3 · 5) – 1 = 10 10 = log 3 + log 5 – 1 = 0,477 + log ––– – 1 = 2 = 0,477 + log 10 – log 2 – 1 = 0,477 + 1 – 0,301 – 1 = 0,176; log 3 0,477 f) log281 = log234 = 4 · log23 = 4 · –––––– = 4 · ––––––– = log 2 0,301 = 4 · 1,5847 = 6,339. . . 2x + 5 10) I) log2(2x + 5) – log2(3x – 1) 1 ⇔ log2 ––––––– 3x – 1. . log22 ⇔. 2x + 5 2x + 5 ⇔ ––––––– 2 ⇔ ––––––– – 2 0 ⇔ 3x – 1 3x – 1. . . 10 16) log 25 = log 52 = 2 · log 5 = 2 · log ––– = 2 = 2 · [log 10 – log 2] 2 · [1 – 0,3] = 1,4 Resposta: A. 17) 2555 = x ⇔ log 2555 = log x ⇔ 555 · log 2 = log x ⇔ ⇔ 555 · 0,3 = log x ⇔ log x = 166,5 ⇔ x = 10166,5 ⇔ ⇔ x = 100,5 · 10166 ⇔ x =

(87). 10 · 10166 Assim sendo, p =

(88). 10 e q = 166. 2x + 5 – (6x – 2) – 4x + 7 ⇔ ––––––––––––––– 0 ⇔ –––––––– 0 ⇔ 3x – 1 3x – 1 1 7 ⇔ (– 4x + 7) . (3x – 1) 0 ⇔ ––– x ––– 3 4 II) Analisando a condição de existência dos logaritmos, temos: 5 x – ––– 2 1 2x + 5 0 ⇔ ⇔ x ––– 1 3x – 1 0 3 x ––– 3. . Portanto, S = Resposta: D. . ––3 ; ––4 1. 7. Resposta: A. 18) Se N(t) = 105 · 24t, então: I) Para t = 0 ⇒ N(0) = 105 · 24 · 0 ⇒ N(0) = 105 é a quantidade inicial de bactérias II) Para N(t) = 100 · N(0), devemos ter: 105 · 24t = 100 · 105 ⇔ 24t = 102 ⇔ log 24t = log 102 ⇔ 1 10 ⇔ 4t · log 2 = 2 ⇔ 4t · 0,3 = 2 ⇔ t = –––– = ––– 0,6 6 10 5 3 2 2 III) ––– h = –– h = –– + –– h = 1h + –– h = 1h40min 6 3 3 3 3. . . Resposta: C. –7.

(89) 19) Como a calculadora possui 12 digitos, quando digitarmos o número 42 000 000 000 e apertarmos a tecla log, o resultado que irá aparecer será:. 2). + cossec 60° – tg 60° – sec 60° 1 2

(90)

(91) 3

(92) 3 3 3–2 f(60°) = –––– + ––– + –––– + –––––– –

(93) 2 2 3 3. Após apertar a 1.a vez: mantissa 1 log 42 000 000 000 = 10, ............................................... 0 1444442444443 com 10 casas decimais Após apertar a 2.a vez: mantissa 2 log (10, ....................) = 1, ............................................... 0 1444442444443 com 11 casas decimais. 3

(94) 3 + 3 + 2

(95) 3 + 4

(96) 3 – 6

(97) 3 – 12 f(60°) = –––––––––––––––––––––––––––––––– 6 3

(98) 3–9 f(60°) = –––––––––– 6.

(99) 3–3 f(60°) = –––––––– 2. Após apertar a 3.a vez: mantissa 3 log (1, .....................) = 0, ............................................... 0 1444442444443 com 11 casas decimais Após apertar a. 4.a. Resposta: B 3). vez:. sen a + cos a = m fi (sen a + cos a)2 = m2 fi fi sen2a + 2 sen a . cos a + cos2a = m2 fi. log (0,......................) 0 Pela definição de logaritmos, não existe logaritmo de número negativo. Assim, se apertarmos a tecla log pela 5.a vez a mensagem “erro” irá aparecer no visor. Resposta: D. f(60°) = sen 60° + cos 60° + cotg 60° +. m2 – 1 fi sen a . cos a = ––––––– 2 Resposta: B 4). y = (sec a – cos a) . (cossec a – sen a) . (tg a + cotg a)= =. . 1 –––––– – cos a . cos a. . =. . 1 – cos2a ––––––––––– cos a. . 1 –––––– – sen a . sen a. sen a cos a –––––– + –––––– cos a sen a. . =. 20) 36x = 24 ⇔ (22 · 32)x = 23 · 3 ⇔ (2 · 3)2x = 23 · 3 ⇔ ⇔ log (2 · 3)2x = log (23 · 3) ⇔ 2x · log (2 · 3) = log (23 · 3) ⇔ log (23 · 3) 3 · log 2 + log 3 ⇔ x = –––––––––––– = ––––––––––––––––– = 2 · log (2 · 3) 2 · (log 2 + log 3). .. 1 – sen2a ––––––––––– sen a. sen2a cos2a = ––––––––– . ––––––––– . cos a sen a. 3 · 0,30 + 0,48 0,90 + 0,48 1,38 138 69 = ––––––––––––––– = ––––––––––– = ––––– = –––– = ––– 2 · (0,30 + 0,48) 2 · 0,78 1,56 156 78 Resposta: B. = sen a . cos a .. . . .. sen2a + cos2a ––––––––––––––– sen a . cos a. 1 ––––––––––––––– sen a . cos a. 1 ––––––––––––––– sen a . cos a. . . . =. =. =1. FRENTE 2 – TRIGONOMETRIA n Módulo 7 – Funções Trigonométricas de um Ângulo Agudo (continuação) 1). 1 + sen x sen x = ––––––––––– . –––––––––––––––––– = cos x cos x . (1 + sen x) 1 sen x = ––––––– . ––––––– = (sec x) . (tg x) cos x cos x Resposta: D. sen a – sen b cos a + cos b y = –––––––––––––– + –––––––––––––– = cos a – cos b sen a + sen b (sen a – sen b).(sen a + sen b)+(cos a + cos b).(cos a – cos b) = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = (sen a + sen b).(cos a – cos b). 1 sen x –––––– + –––––– cos x cos x sec x + tg x ––––––––––––– = –––––––––––––––––– = cos x cos x + cotg x cos x + –––––– sen x 1 + sen x 1 + sen x ––––––––––– ––––––––––– cos x cos x = ––––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––––––– = sen x . cos x + cos x cos x . (1 + sen x) –––––––––––––––––––– ––––––––––––––––– sen x sen x. 8–. 5). (sen2a – sen2b) + (cos2a – cos2b) = –––––––––––––––––––––––––––––––––– = (sen a + sen b).(cos a – cos b) 1–1 = –––––––––––––––––––––––––––––– = 0 (sen a + sen b).(cos a – cos b). 6). Para tg x = t, temos: sen2x sen x . cos x ––––––– + ––––––––––––– 2x 2 cos cos2x sen x + sen x . cos x y = –––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––– = 2 2 sen x – cos x sen2x cos2x ––––––– – ––––––– 2 cos x cos2x t . (t + 1) t tg2x + tg x t2 + t = –––––––––––––– = –––––––– = ––––––––––––– = –––––– 2 2 (t + 1).(t – 1) t–1 tg x – 1 t –1.

(100) 7). tg a + tg b tg a + tg b –––––––––––––––– = –––––––––––––––––– = cotg a + cotg b 1 1 –––––– + –––––– tg a tg b. n Módulo 8 – Arcos de Circunferência e Arco ou Ângulo Trigonométrico 1). tg a + tg b tg a . tg b = –––––––––––––––– = (tg a + tg b) . –––––––––––– = tg a . tg (tg a + tg b) b tg b + tg a –––––––––––– tg a . tg b 2) Resposta: A. C = 2 . π . R = 2 . π . 5 cm = 10 . π cm Resposta: 10 . π cm.  12 cm 12 cm comp (AB) a = ––––––––––– fi 1,2 = ––––––– € r = ––––––– = 10 cm r 1,2 r. Resposta: 10 cm. 8). 1 Para cos x = ––– , temos: 3. 3). 1 1 ––––––– – ––––––– sen x cos x cossec x – sec x y = ––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––– = cos x cotg x – 1 ––––––– – 1 sen x cos x – sen x –––––––––––––– sen x . cos x cos x – sen x sen x = –––––––––––––––––– = ––––––––––––––– . ––––––––––––––– = sen x . cos x cos x – sen x cos x – sen x ––––––––––––– sen x. π 30° . π rad I) a = 30° = ––––––––––– = ––– rad 180° 6   π comp (AB) comp (AB) II) a = ––––––––––– fi ––– = ––––––––––– € 6 r 3 cm. π . 3 cm 3,14 cm  € comp (AB) = ––––––––– = ––––––––– = 1,57 cm 6 2 Resposta: 1,57 cm. 4). 1 1 = –––––– = –––––– = 3 cos x 1 ––– 3. 9). 1 Para tg a = ––– , temos: 2. I) Se o perímetro do setor circular é igual ao perímetro do quadrado, então, x + R + R = 4R € x = 2R. 1 ––––––– – sen a sen a cossec a – sen a y = –––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 1 sec a – cos a ––––––– – cos a cos a 1 – sen2a cos2a ––––––––––– ––––––––– sen a sen a = –––––––––––––––– = ––––––––––––– = 2 1 – cos a sen2a ––––––––– ––––––––––– cos a cos a. II) Pela definição de medida de arco, em radianos, temos: x 2R a = ––– = ––––– = 2 R R Resposta: B. 5). cos a cos3a cos2a = ––––––––– . ––––––––– = ––––––––– = 2 sen a sen a sen3a 1 1 = cotg3a = –––––– = –––– = 8 3 1 tg a –– 8.  30 cm comp (AB) a = ––––––––––– = ––––––– = 3 10 cm r. Resposta: 3 rad. 1 10) Para sen x = ––– , temos: 3 cos4x – sen4x = (cos2x + sen2x).(cos2x – sen2x) = 1 1 7 = 1 . (1 – sen2x – sen2x) = 1 – ––– – ––– = ––– 9 9 9 Resposta: A. 6). π 3,14 12° . π rad 12° = ––––––––––– = –––– rad ––––– rad 0,209 rad 15 180° 15 Resposta: 0,209 rad. –9.

(101) 7). 10). I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min ––––––––––– 30° 15 min ––––––––––– x. I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 15 . 30°. = 7,5° = 7°30’ fi x = ––––––––– 60. 60 min ––––––––––– 30° 15 min ––––––––––– x. 15 . 30°. = 7,5° = 7°30’ fi x = ––––––––– 60. II) x + a = 30° fi a = 30° – x = 30° – 7°30’ = 22°30’. II) x + a = 90° fi a = 90° – x = 90° – 7°30’ = 82°30’. Resposta: 22°30’. Resposta: E. 11) I) Verdadeira, pois para o ponteiro das horas, temos:. 8). tempo. ângulo. 60 min ––––––––––– 30° t min ––––––––––– x. t . 30°. t. = ––– graus fi a = ––––––– 60 2. II) Verdadeira, pois para t = 12, temos: 12 a = ––– graus = 6° 2 III) Verdadeira, pois: I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min ––––––––––– 30° 15 min ––––––––––– x. 15 . 30°. = 7,5° = 7°30’ fi x = ––––––––– 60. II) x + a = 90° fi a = 90° – x = 90° – 7°30’ = 82°30’ Resposta: 82°30’. 9). Para o ponteiro pequeno, temos: tempo. ângulo. 60 min ––––––––––– 360° 2 min ––––––––––– x. 2 . 360°. = 12° fi x = ––––––––– 60. Portanto, x + a = 120° + 6° fi 12° + a = 126° € a = 114° IV) Verdadeira, pois em 12 minutos o ponteiro dos minutos. I) Para o ponteiro pequeno, temos: tempo ângulo 60 min ––––––––––– 30° 10 min ––––––––––– x. . 10 . 30° fi x = ––––––––– = 5° 60. 12 1 percorre ––– = ––– da volta, assim, a extremidade descreve 60 5 1 1 um arco de ––– . 2 . π . R = ––– . 2 . 3,14 . 10 cm = 12,56 cm, 5 5 pois R = 10 cm é a medida do ponteiro e corresponde ao raio da circunferência.. II) x + a = 150° fi a = 150° – x = 150° – 5° = 145° Resposta: 145°. 10 –. Resposta: E.

(102) 12) a) 1000° – 720° ––––––– 280°. b) – 1210°. 360° 2. fi 1000° = 2 . 360° + 280°, portanto, a 1a. determinação positiva é 280°.. – 360°. + 1080° ––––––– – 130°. 16). fi – 1210° = 3 . (– 360°) – 130°, assim, a 1a. determinação negativa é – 130°,. 3. portanto, a 1a. determinação positiva é 360° – 130° = 230°. c). 8π ––– 3 6π – ––– 3 –––––– 2π ––– 3. 6π 2π = ––– 3 1. fi. Respostas: a) 280°;. 8π 2π ––– = 1 . 2π + ––– , portanto, a 1a. 3 3 2π determinação positiva é ––– 3. b) 230°;. 2π c) ––– 3. 13) Os arcos côngruos de – 60° são do tipo – 60° + n . 360°, com n Œ ⺪. Assim, os arcos positivos menores que 1500°, são: I) Para n = 1 fi – 60° + 1 . 360° = 300°. 17). II) Para n = 2 fi – 60° + 2 . 360° = 660° III) Para n = 3 fi – 60° + 3 . 360° = 1020° IV) Para n = 4 fi – 60° + 4 . 360° = 1380° Resposta: 300°, 660°, 1020° e 1380°. 14) a) n . 2π (n Œ ⺪). π b) –– + n . 2π (n Œ ⺪) 2. c) π + n . 2π (n Œ ⺪). 3π d) ––– + n . 2π (n Œ ⺪) 2. e) 150° + n . 360° (n Œ ⺪). f) 300° + n . 360° (n Œ ⺪).  10 cm comp ( AB) a = –––––––––––– = –––––––– = 2 5 cm r. Resposta: 2 rad. 18) π 15) a) –– + n . π (n Œ ⺪) 2. b) n . π (n Œ ⺪). π c) –– + n . π (n Œ ⺪) 4. 3π d) ––– + n . π (n Œ ⺪) 4. π e) n . –– (n Œ ⺪) 2. π π f) –– + n . –– (n Œ ⺪) 4 2. π g) ± –– + n . 2π (n Œ ⺪) 3. π h) ± –– + n . π (n Œ ⺪) 3. —. i) ± 120° + n . 360° (n Œ ⺪). I) Se a corda AB mede 10 cm, então, o triângulo OAB é ^ π equilátero, portanto, AOB = a = 60° = ––– rad 3   π comp ( AB) comp ( AB) II) a = –––––––––––– fi ––– = –––––––––––– € 3 r 10 cm. 10 π  € comp(AB) = –––––– cm 3 10 π Resposta: –––––– cm 3. – 11.

(103) n Módulo 9 – Estudo da Função Seno. Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = 0 ou x = π ou x = 2π Resposta: V = {0; π; 2π}. 1). 2). Para x variando de 0° a 360°, a expressão (6 – sen x) assume valor mínimo quando sen x é máximo, ou seja, quando sen x = 1. Assim, para sen x = 1, tem-se 6 – sen x = 6 – 1 = 5 Resposta: C. 6).

(104) 3 sen x = –––– 2. I) 1920° = 5 . 360° + 120° fi 120° é 1a. determinação positiva.

(105) 3 II) sen 1920° = sen 120° = sen 60° = –––– 2

(106) 3 Resposta: –––– 2. 3). 7 . 3,14 7π –––– –––––––– 5,5 4 4. I). π 2π Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = ––– ou x = –––– 3 3. II) 2π 2 . 3,14 = 6,28. Resposta: V =. 7). ; ––– 3 π. 2π –––– 3. . 1 sen x = – –– 2. 7π III) 5,5 < 6 < 6,28 fi –––– < 6 < 2π fi 4 7π

(107) 2 fi sen –––– < sen 6 < sen 2π fi – –––– < A < 0 4 2 Resposta: E. 4). 7π ou x = 11π Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = –––– –––– 6 6. π ; sen π ; sen π ; …; sen π ; … = ––– ––– ––– sen ––– 3 2 4 n =. .

(108) 3 ;

(109) 2 1; –––– –––– ; … 2 2. . Resposta: V =. 7π ; –––– 6. 11π –––– 6. . é uma sequência estritamente decres-. cente, de termos positivos e tende a zero. Resposta: B 8) 5). sen x = 0. sen2x = 1 – cos2x = 1 –.

(110) 15 ––––– 4. 2. 15 1 = 1 – –––– = –––– fi 16 16. 1 fi sen x = – –––– , pois x Œ 4o. quadrante 4 Resposta: D. 9). 2x – 1 – 1 ≤ sen q ≤ 1 fi – 1 ≤ ––––––– ≤ 1 € – 3 ≤ 2x – 1 ≤ 3 € 3 € – 2 ≤ 2x ≤ 4 € – 1 ≤ x ≤ 2 Resposta: – 1 ≤ x ≤ 2. 12 –.

(111) π 3π cos –– + sen π – sen ––– 2 2 0 + 0 – (– 1) 1 = –––––––––––––––––––––––– = –––––––––––– = ––– π 1+1 2 cos 2π + sen ––– 2. 1 1 10) cossec x = 2 € ––––––– = 2 € sen x = ––– sen x 2. Resposta: B 3). Como – 1 ≤ cos x ≤ 1 para "x Œ ⺢ e

(112) 2 > 1, não existe arco x tal que cos x =

(113) 2 Resposta: E. 4). I). II) 31π = 15 . 2π + π fi π é a 1a. determinação positiva. π 5π Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = ––– ou x = ––– 6 6 Resposta: V =. III) sen. ; ––– ––– 6 6 π. 7π 3π 3π ––– = 2π + ––– fi ––– é a 1a. determinação positiva 2 2 2. 5π. –––2 . cos (31π) = sen –––2 . cos π = (– 1) . (– 1) = 1 7π. 3π. Resposta: 1 5). – 1 ≤ cos x ≤ 1 fi – 3 ≤ – 3 . cos x ≤ 3 fi fi 2 – 3 ≤ 2 – 3 . cos x ≤ 2 + 3 fi. 1 11) sen x = ––– 2. fi – 1 ≤ f(x) ≤ 5 fi Im(f) = [– 1; 5] Resposta: E 6). Para "x Œ ⺢, temos: 2 2 – 1 ≤ cos x ≤ 1 € 0 ≤ cos2 x ≤ 1 € 0 ≤ ––– cos2x ≤ ––– € 3 3 2 8 2 € 2 ≤ 2 + ––– cos x ≤ ––– 3 3 8 14 Dessa forma: 2 + ––– = ––– 3 3 Resposta: D. 7). π 3,14 I) –– ––––– = 1,57 2 2. A solução geral da equação, nesses 2 pontos, é:. II)

(114) 2 1,41. π 5π x = ––– + n . 2π ou x = ––– + n . 2π 6 6.

(115) 3 1,7 III) –––– –––– = 0,85 2 2. Resposta:. x Œ ⺢ x = ––– 6 π. 5π + n . 2π ou x = ––– + n . 2π 6. (n Œ ⺪). n Módulo 10 – Estudo da Função Cosseno 1). sen 90° + cos 360° + sen 270° . cos 180° E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = cos 0° + sen 0° 1 + 1 + (– 1) . (– 1) 3 = ––––––––––––––––––– = ––– = 3 1+0 1. IV) Observando a figura, tem-se: cos 1,57 < cos 1,5 < cos 1,41 < cos 0,85 fi. Resposta: 3. 2). π Para x = ––– , temos: 2 cos x + sen 2x – sen 3x y = –––––––––––––––––––––––– = cos 4x + sen x.

(116) 3 π fi cos ––– < cos 1,5 < cos

(117) 2 < cos –––– 2 2 Assim, se F(x) = cos x, conclui-se que F. . π ––– 2.

(118) 3 < F(1,5) < F(

(119) 2 ) < F –––– 2 . Resposta: E. – 13.

(120) 8). cos x = – 1. 3

(121) 12) cos x = – –––– 2. Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = π Resposta: V = {π} A solução geral da equação, nesses 2 pontos, é: 9).

(122) 2 cos x = – –––– 2. 5π x = ± ––– + n . 2π 6 Resposta: V =. xŒ⺢ x=±. 5π ––– + 2nπ, n Œ ⺪ 6. . 13) sen x . cos x = 0 € sen x = 0 ou cos x = 0. 3π 5π Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = –––– ou x = –––– 4 4 Resposta: V =. 3π ; –––– 4. 5π –––– 4. . 1 10) sec x = 1 € ––––––– = 1 € cos x = 1 cos x. A solução geral da equação, nesses 4 pontos, é: π π x = 0 + n . ––– = n . ––– 2 2 Resposta: V =. Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = 0 ou x = 2π Resposta: V = {0; 2π}. xŒ⺢ x=n.. 1 14) cos2x = ––– € cos x = ± 2. 1 1 11) sec x = 2 € ––––––– = 2 € cos x = ––– cos x 2. π ––– , n Œ ⺪ 2. . 1 2 1

(123) ––– = ± –––– = ± –––– 2 2 2

(124) . A solução geral da equação, nesses 4 pontos é π ou x = 5π Para 0 ≤ x ≤ 2π, temos x = ––– ––– 3 3 π 5π Resposta: V = ––– ; ––– 3 3. . 14 –. . π π x = ––– + n . ––– 4 2 Resposta: V =. xŒ⺢ x=. π π ––– + n . ––– , n Œ ⺪ 4 2. .

(125) FRENTE 3 – GEOMETRIA PLANA. 5). n Módulo 7 – Triângulos: Definição e Propriedades 1). I) No triângulo ABC, temos: 40° + 2y + 2z = 180° € 2(y + z) = 140° € y + z = 70° II) No triângulo BCI, temos: x + y + z = 180° fi x + 70° = 180° € x = 110° Resposta: C x + 100° + 50° = 180° € x = 180° – 100° – 50° = 30° Resposta: A. 6). 2). a + 90° = 4a € 90° = 3a € a = 30° Resposta: B 7). Pelo Teorema do ângulo externo, x = 100° + 30° € x = 130° Resposta: E 3). ^. I) No triângulo AHC, temos: A = 180° – 90° – 30° = 60° ^. II) No triângulo AHS, temos: HSA = 180° – 30° – 90° = 60° III) No triângulo BAS, temos: 110° + 60° + x = 180° € x = 180° – 110° – 60° = 10° Resposta: D ^. ^. I) A DC = 90° fi ADB = 90° – 30° = 60° ^. 8). ^. II) C = 180° – 90° – 40° € C = 50° ^. III) No triângulo BCD, C BD = 180° – 50° – 30° = 100° Resposta: B 4). ^. I) B = 180° – 30° – 40° = 110° ^. ^. II) r é a bissetriz de B, então C BR = 55° ^. III) B RA = 55° + 30° = 85° x + 80° + 70° = 180° € x = 180° – 80° – 70° = 30° Resposta: A. Então, g + 90° + 85° = 180° € € g = 180° – 90° – 85° fi g = 5° Resposta: B. – 15.

(126) No triângulo BCP, tem-se: q + x + 80° – q = 180° €. 9). € x = 180° – 80° = 100° Resposta: B 3). I) 4f + f = 180° € 5f = 180° € f = 36° II) f + x = 90° € x = 90° – f = 90° – 36° = 54° Resposta: C. ^. ^. Como NQ = NH então, q = NQH = NHQ = 35° Pelo Teorema do ângulo externo, no triângulo NQH, b = 35° + 35° = 70°. n Módulo 8 – Triângulos: Classificação e Congruência. Como o triângulo MPN é isósceles, então ^. P = 180° – 70° – 70° = 40° No triângulo PGH, 40° + a + 35° = 180° € a = 105°. 1). Logo, a + b + q = 105° + 70° + 35° = 210° Resposta: D. 4). I) No triângulo ABC, temos: a + 2x + 2x = 180° € a + 4x = 180° II) No triângulo BOC, temos: ^. 3a + x + x = 180° € 3a + 2x = 180° III). 3a + 2x = 180° a + 4x = 180°. €. 6a + 4x = 360°. – a – 4x = – 180°. ^. I) No triângulo ABD, AB = BD, então B DA = B AD = x ^. II) C BD é ângulo externo do triângulo ABD, assim,. €. ^. C BD = x + x = 2x. € 5a = 180° € a = 36°. ^. ^. III) No triângulo BCD, BD = CD, então DCB = C BD = 2x. Resposta: D. IV) y é ângulo externo do triângulo ACD, assim, y = x + 2x = 3x Resposta: A. 2). 5). 180° – 20° ^ ^ Se A = 20°, então, no triângulo ABC, B = –––––––––– fi 2 ^. ^. fi B = 80° e C = 80°. 16 –.

(127) ^. I) Como o triângulo ADC é isósceles, então:. ^. I) No triângulo ABC, BA = BC, então A = C fi. 180° – 30° ^ A = x = –––––––––– € x = 75° 2. fi 180° – 2y = 180° – 2x € x = y II) No ponto D, x + y + 80° = 180° fi x = y = 50° ^. ^. ^. ^. ^. III) A = C = 180° – 2 . 50° = 180° – 100° = 80° ^. ^. ^. ^. III) Como AB = BC, então A = C = 75°, logo, B CD = 75° – 30° = 45°. ^. IV) A + B + C = 180° fi 80° + B + 80° = 180° € ^. ^. II) Se ADC = 75°, então, B DC = 105°. IV) No triângulo BCD, y + 105° + 45° = 180° € y = 30°. ^. € B = 20, portanto, A BC = 20°. Então, x + y = 75° + 30° = 105°. Resposta: A. Resposta: E. 6). n Módulo 9 – Polígonos: Definição, Classificação e Propriedades 1). O icoságono tem 20 lados fi n = 20 n(n – 3) 20(20 – 3) d = ––––––––– = –––––––––– = 10 . 17 = 170 2 2 Resposta: D. 2). Seja n o número de lados do polígono, então: d n(n – 3) n = ––– € 3n = d € 3n = –––––––– € 3 2 € 6n = n2 – 3n € n2 – 3n – 6n = 0 € n2 – 9n = 0 € € n = 9, pois n > 2 Resposta: B. 3) ^. x + 3x = 80° € 4x = 80° € x = 20°, portanto, C AB = 20°. Resposta: D. Resposta: 20° 4). 7). O decágono tem 10 lados fi n = 10 Si = (n – 2) . 180° = (10 – 2) . 180° = 8 . 180° = 1440°. 360° ae = –––––– = 36° e ai + ae = 180°, então: 10 ai = 180° – 36° = 144° Resposta: E. 5). I) ai = 3ae e ai + ae = 180° € 3ae + ae = 180° € € 4ae = 180° € ae = 45° 360° 360° II) ae = –––––– fi 45° = –––––– € 45°n = 360° € n = 8 n n Logo, o polígono é o octógono. Resposta: C. Seja R, o raio da circunferência.. 6). Se MN = OP e OP = R, então MN = R a Logo, a = b + 2b € a = 3b € –– = 3 b Resposta: C 8). – 17.

(128) A figura interna é um hexágono e Se = 360° 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 360° Resposta: B 7). 360° 360° I) ae = 20° = ––––– € 20° = ––––– € 2n = 36 € n = 18 n n 18(18 – 3) n(n – 3) II) d = –––––––– = –––––––––– = 9 . 15 = 135 2 2. (n – 4) . 180° € na = n . 180° – 720° € a = ––––––––––––– n Resposta: B 216 11) I) Si = (n – 2) . 180° = 2160° € n – 2 = ––––– € 18 € n = 12 + 2 € n = 14 n(n – 3) 14(14 – 3) II) d = ––––––– = –––––––––– = 7 . 11 = 77 é o total de diagonais 2 2. Resposta: D. III) O número de diagonais que passam pelo centro é 8). n 14 ––– = ––– = 7 2 2 IV) O número de diagonais que não passam pelo centro é 77 – 7 = 70 Resposta: C. Polígono 1: n lados e d diagonais Polígono 2: (n + 6) lados e (d + 39) diagonais I). (n + 6) . (n + 6 – 3) n(n – 3) –––––––––––––––––– = ––––––––– + 39 € 2 2 (n + 6) . (n + 3) n(n – 3) + 78 € –––––––––––––––– = –––––––––––––– € 2 2 €. n2. + 3n + 6n + 18 =. n2. – 3n + 78 €. n Módulo 10 – Quadriláteros Notáveis e Linhas Proporcionais. € 3n + 6n + 3n = 78 – 18 € 12n = 60 € n = 5 n(n – 3) 5(5 – 3) II) d = –––––––––– = –––––––––– = 5 2 2. 1). Então, temos: Polígono 1: 5 lados e 5 diagonais Polígono 2: 11 lados e 44 diagonais. soma pedida é 5 + 5 + 11 + 44 = 65. 4x + x + 90° + 90° = 360° € 5x = 360° – 180° € 180° € x = ––––– = 36° 5. Resposta: B. Resposta: B. Como o número de vértices é igual ao número de lados, a. 9). Sendo a o ângulo remanescente, temos: I) Si = (n – 2) . 180° = 1900° + a € 180°n – 360° = 1900° + a €. 2). € a = 180°n – 2260°. I) x + x = 84° € 2x = 84° € x = 42° II) x + y = 180° fi y = 180° – 42° € y = 138° Logo, os ângulos medem: 42°, 138°, 42° e 138°. Resposta: 42°, 138°, 42° e 138°. II) 0° < a < 180° € 0° < 180°n – 2260° < 180° € € 2260° < 180°n < 2440° € 2260° 2440° € –––––– < n < –––––– € 12,5 < n < 13,5 fi n = 13 180° 180° III) a = 180° . 13 – 2260° = 2340° – 2260° = 80°. 3). Resposta: D. 10) Seja a o ângulo de cada vértice da estrela e o triângulo isósceles em cada ponta da estrela: a + 90° + 90° + 35° = 360° € a = 360° – 90° – 90° – 35° = 145° Resposta: C. 180° – a ––––––––– é ângulo externo do polígono de n lados, assim: 2 180° – a 360° ––––––––– = –––––– € 720° = n . 180° – na € 2 n. 18 –. 4). Todo losango é um paralelogramo, pois tem lados opostos paralelos. Resposta: E. 5). I) O triângulo APB é isósceles, pois AB = AP, então ^. ^. A B P = A P B = a. ^. II) PAB = 90° – 60° = 30°.

(129) III) No triângulo APB, temos:. I). 30° + a + a = 180° € 2a = 150° € a = 75° Resposta: E 6). 2 10 ––– = –––– € 10x = 26 € x = 2,6 € AB’ = 2,6 x 13. 3 10 II) ––– = –––– € 10y = 39 € y = 3,9 € B’C’ = 3,9 y 13. I) O triângulo CDE é isósceles, pois CD = CE, então ^ ^ C ED = CDE = a. 5 10 III) ––– = –––– € 10z = 65 € z = 6,5 € C’D’ = 6,5 z 13. ^. II) D CE = 90° + 60° = 150° Resposta: AB’ = 2,6 cm, B’C’ = 3,9 cm e C’D’ = 6,5 cm. III) a + a + 150° = 180° € a = 15° IV) No triângulo CEF, temos: ^. ^. ^. 60° + 15° + C F E = 180° € C FE = 105° = B FD Resposta: 105°. 7). 8 4 AB A’B’ –––– = –––––– fi ––– = ––––– € 4B’C’ = 16 € B’C’ = 4 2 B’C’ B’C’ BC. 11). x + 10 x + 20 ––––––– = ––––––– € (x + 10) . (x – 16) = (x – 18)(x + 20) € x – 18 x – 16 € x2 – 16x + 10x – 160 = x2 + 20x – 18x – 360 € € – 6x – 160 = 2x – 360 € 360 – 160 = 2x+ 6x € € 200 = 8x € x = 25. Resposta: 4 cm Resposta: 25 8). I). 40 90 160 ––– = –––– € 9x = 480 € x = –––– x 120 3. 30 90 II) ––– = –––– € 9y = 360 € y = 40 y 120 20 90 80 III) ––– = –––– € 9z = 240 € z = –––– z 120 3 160 80 Resposta: –––– m, 40 m e –––– m 3 3. 9). x 6/5 6 ––– = –––– € 3x = 15 . ––– € x = 6 15 3 5 Resposta: E. 10). – 19.

(130)