MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

(1)

Hewlett-Packard

Ano: 2016

MÓDULO DE

UM NÚMERO

REAL

Aulas 01 e 02

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

Sumário

O Módulo de um número real ... 0

Módulo de um número real (definição formal) ... 0

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 0

Propriedades de módulo... 0

Equação envolvendo Módulo ... 0

Inequações que envolvem módulo ... 1

Funções cujas leis envolvem módulo ... 1

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AULA 01

O Módulo de um número real

Sabe-se, de estudos anteriores, que cada ponto da reta real está associado a um único número real (abscissa do ponto). Considere que, em uma reta real, a abscissa 0 (zero) esteja associada a um ponto 𝑂 (origem) e um ponto 𝑃 qualquer tenha sua abscissa denominada 𝑥.

O módulo ou valor absoluto do número real 𝑥, denotado por |𝑥|, é um valor (necessariamente positivo ou nulo) que nos diz a distância entre os

pontos 𝑃 e 𝑂.

Note que, se 𝑷 está à direita de 𝑶, então sua abscissa 𝑥 é um número real positivo e, desse modo, seu valor

absoluto é igual a ele mesmo. Em símbolos:

𝑆𝑒 𝑥 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 |𝑥| = 𝑥. Exemplo 1.1

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥 = 5 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 |5| = 5 (𝑒𝑙𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜)

No entanto, se 𝑷 está à esquerda de 𝑶, então sua abscissa 𝑥 é um número real negativo e, desse modo,

seu valor absoluto é igual ao seu oposto (que é

positivo). Em símbolos:

𝑆𝑒 𝑥 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜|𝑥| = −𝑥. Exemplo 1.2

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥 = −4 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 |−4| = 4 (𝑠𝑒𝑢 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜)

Módulo de um número real (definição

formal)

O módulo ou valor absoluto do número real 𝑥, denotado por |𝑥|, é o quanto ele dista da origem na reta real. Temos que,

|𝑥| = { 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 −𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 Exemplo 1.1: a) |4| = 4 b) |– 4| = −(−4) = 4 c) |π − 3| = π − 3 d) |2 − 2√3| = −(2 − 2√3) = −2 + 2√3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. Calcule o valor numérico de cada expressão a seguir.

a) 5 2  5 3

b) 2 3 2

 

32 5 2 3 5

1.2. Se 3 < 𝑥 < 5, determine o valor da expressão

|3−𝑥| 3−𝑥

−

2𝑥+10 |𝑥+5|

1.3. Elimine o módulo das expressões a) |𝑥 − 3|

b) |𝑥2+ 𝑥 − 12|.

Obs.1: A expressão |𝒂 − 𝒃| é igual a distância entre os pontos 𝑨, de abscissa 𝒂, e 𝑩, de abscissa 𝒃.

Propriedades de módulo

Equação envolvendo Módulo

Caso I - Equações do tipo |𝑥| = 𝑎, com 𝑎 real. i. Se 𝒂 ≥ 𝟎, então |𝑥| = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑎 ii. Se 𝒂 < 0, então |𝑥| = 𝑎 ⇒ 𝑆 = { } 𝑃 𝑂 0 𝑥 𝑃 𝑂 0 5 𝑂 𝑃 −4 0

TAREFA 1: Ler, na página 9 – algumas propriedades

do módulo de um número real e os Exercícios resolvidos 1, 2 e 5.

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

Pois o módulo de “algo” sempre deve ser positivo.

CASO II – Equações do tipo |𝑥| = |𝑦| Para 𝑥 e 𝑦 real temos que

|𝑥| = |𝑦| ⇔ 𝑥 = ±𝑦

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.4. Determine, em ℝ, o conjunto solução das equações a) |𝑥2+ 𝑥 − 12| = 0 b) |2 + 𝑥| = 1 c) |𝑥 − 2| = |2𝑥 − 5| d) |𝑥 − 2| = 2𝑥 + 1

AULA 02

Inequações que envolvem módulo

O módulo pode ser trabalhado junto com desigualdades. Nesses casos, deve-se ter cautela e atenção, pois o próprio módulo depende de uma desigualdade.

Se 𝑎 ∈ ℝ; 𝑎 > 0, então

1. |𝑥| < 𝑎 ⟺ 𝑥2− 𝑎2< 0 ⇔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 2. |𝑥| > 𝑎 ⇔ 𝑥2− 𝑎2_{> 0 ⇔ 𝑥 < −𝑎 ou 𝑥 > 𝑎}

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1 Resolva, em ℝ, cada uma das inequações a seguir: a) |𝑥 + 3| < −1 b) |𝑥 + 3| < 4 c) |𝑥 + 1| ≤ |2 − 𝑥| 2.2 Resolva, em ℝ, a inequação |𝑥 − 1| ≤ 3𝑥 + 7.

AULA 03

Funções cujas leis envolvem módulo

Para trabalhar com funções cujas leis envolvem módulo, é suficiente que você faça o que foi explicitado no quadro verde da aula de equações. Porém, se você compreender o que está escrito na leitura que será proposta a seguir, você terá algumas vantagens no seu trabalho.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

3.1 Por meio de reflexão construa o gráfico da função 𝑓: ℝ → 𝐴, onde 𝐴 ⊂ ℝ, cuja lei é expressa por:

a) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 4|

b) 𝑓(𝑥) = |𝑥2− 4𝑥 − 12|

3.2 Por meio de translação construa o gráfico da função 𝑓: ℝ → 𝐴, onde 𝐴 ⊂ ℝ, cuja lei é expressa por 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| − 3.

3.3 Construir os gráficos das questões 3.1 e 3.2 utilizando estudo de sinal.

TAREFA 2: Ler Exercícios resolvidos 6, 7, 8 e 9;

FAZER os PSA 8(a,b,d,h), 9(a), 10(a, b), 11(a,b), 12 e 13

Como resolver equações com módulo

Se não houver incógnita na parte da igualdade ausente de módulo e o número for positivo, basta

separar nos casos positivo e negativo.

Se houver incógnita na parte da igualdade ausente de módulo, faça o estudo de sinal da expressão

interna ao módulo para sua retirada do módulo; e então resolva as duas equações oriundas da separação.

Como resolver inequação com módulo

TAREFA 3: Ler Exercícios resolvidos 9 e 11 ; FAZER os

PSA 16(a, e, i), 20( b, c), 21 ; Aprofundamento: 24 e 26

O processo de resolução da inequação é muito similar ao da equação.

1) Avalie se há ou não incógnita na parte da desigualdade sem o módulo.

2) Se necessário, faça o estudo de sinal. 3) Separe nos casos e resolva cada inequação. Atente sempre se o conjunto solução satisfaz os valores do estudo de sinal

TAREFA 4: Ler, a partir da página 28, Representação

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2 GABARITO: FUNDAMENTAIS 1.1. a) 1 b) 2 3 1.2. 3 1.3. a) 3 3, se 3 3, se 3 x x x x x      _{ } _  b) 2 2 2 12, se 4 ou 3 12 12, se 4 3 x x x x x x x x x          _{ }        1.4. a) S  



4, 3



b) S   



1, 3



c) 3,7 3 S      d) 1 3 S       2.1. a) S   b) S 