Estudo da densidade espectral de uma cadeia de Ising com campo transverso

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE FÍSICA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM FÍSICA BACHARELADO

CONRADO LUIZ DA SILVEIRA FOLLY

ESTUDO DA DENSIDADE ESPECTRAL DE UMA

CADEIA DE ISING COM CAMPO TRANSVERSO

NITERÓI 2019

CONRADO LUIZ DA SILVEIRA FOLLY

ESTUDO DA DENSIDADE ESPECTRAL DE UMA

CADEIA DE ISING COM CAMPO TRANSVERSO

Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Física - Bacharelado da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do Grau de Bacharel.

Orientador: Prof. Dr. João Florencio Junior

Niterói 2019

AGRADECIMENTOS

Quero agradecer aos meus pais Edson Luiz da Paula Pinto, Helena Laura Correa da Silveira, a minha irmã Beatriz Helena Correa da Silveira Folly, aos meus avós Adel da Silveira e Maria Helena Correa da Silveira, a minha namorada Tamiris Regina Sá Teixeira, a minha coordenadora Beatriz Boechat, e ao meu orientador João Florencio e, por último, ao meu cachorro Luppy que morreu antes de me ver formado. Todos vocês através de trabalhos diferentes e jeitos diferentes, me ajudaram a chegar aonde eu estou. A isso eu sou eternamente muito agradecido, e garanto que irei aproveitar ao máximo a oportunidade a mim dada. Muito obrigado.

RESUMO

Neste trabalho será estudado o espectro da frequência de uma cadeia de spins na presença de um campo magnético transverso B usando o modelo de Ising em uma dimensão, considerando apenas as interações magnéticas, e supondo que o sistema esteja o tempo todo em altas temperaturas. Esse trabalho tem como finalidade mostrar que para uma cadeia de spins com 11 partículas, na presença de um campo magnético transverso externo B, a dinâmica do sistema se aproxima muito do limite assintótico de um sistema de infinitas partículas. Nós determinamos exatamente os autovetores e autovalores do sistema. Em seguida nós calculamos a função de autocorrelação dependente do tempo. Finalmente, nós tomamos a transformada de Fourier da função de autocorrelação para determinar a densidade espectral dependente da frequência. Nós obtivemos resultados analíticos exatos para o caso de 2 spins, e resultados numericamente exatos para sistemas de até 11 spins. Nossos resultados para as densidades espectrais, os quais abrangem três valores significativos dos parâmetros da energia J e B, já estão muito próximos aos do limite termodinâmico. Para B<<J, uma dinâmica do tipo modo central domina, enquanto que para B>>J a dinâmica é do tipo modo coletivo, onde os spins tendem a se alinhar com o campo externo.

ABSTRACT

In this work, we study the frequency spectrum of a spins chain in the presence of a transverse magnetic field B using the Ising model for the interaction between spins in one dimension, considering only the magnetic interactions, and assuming that the system is all the time at high temperatures. We show that for a chain of 11 spins in the presence of an external transverse magnetic field B, the dynamics of the system closely approximate the asymptotic limit of a system of infinite particles. The methodology consists of the diagonalization of the Hamiltonian of the system, by taking into account the interaction J between neighboring spins in a chain, together with the interaction of each spin with an external field transverse field B. We exactly determine the eigenvectors and eigenvalues of the system. Then we calculate the time-dependent autocorrelation function. Finally, we perform a Fourier transform of the autocorrelation function to find the frequency dependent spectral density. We obtained exact analytic results for the case of two spins, and numerically exact results for systems with up to 11 spins. Our results for the spectral densities covering three significative values of the energy parameters J and B are already very close to the thermodynamic limit. For B <<J a central mode type of dynamics dominates, whereas for B >> J the dynamics is of collective-mode type where the spins tend to align with the external field.

Sumário

Capítulo 1 ... 9

Introdução ... 9

Capítulo 2 ... 11

O modelo de Ising com campo transverso ...Erro! Indicador não definido. 2.1. Partículas só interagem com seus primeiros vizinhos ... 12

2.2. Dimensão do sistema ... 12

2.3. Temperatura do sistema ... 13

2.4. Hamiltoniana do modelo de Ising com campo transverso...18

Capítulo 3 ... 15

Dinâmica do modelo de Ising com campo transverso ... 15

3.1. Determinação da densidade espectral 𝑆(𝜔) ... 15

3.2. Cálculo de 𝑆(𝜔) para um sistema de spins ... 19

Capítulo 4 ... 28

Considerações finais ... 29

Apêndice ... 30

A. Definições da mecânica quântica ... 30

B. Representação de Heisenberg ... 31

C. Valor esperado de um operador ... 31

Capítulo 1

Introdução

O objetivo deste trabalho é entender a dinâmica de uma cadeia de spins Ising interagindo com um campo externo transverso B [1],[2]. Nós sabemos, dos cursos introdutórios de física, que um material pode ser composto por partículas com spins. Neste trabalho será suposto que as componentes dos spins na direção-z interagem entre si quando eles estão em sítios vizinhos, isto é, o modelo de Ising. Sabe-se também que, se aplicarmos um campo magnético B sobre esses spins, tem como consequência que a direção desses spins pode ser mudada para que apontem na direção do campo magnético externo, dependendo da intensidade do campo externo. Porém, a maneira como esses spins individuais interagem entre si e a dimensão do sistema estudado, o valor de outras grandezas físicas, o tempo que se é estudado esse sistema, a intensidade do campo externo, além do número de partículas do sistema, tem consequências importantes para a dinâmica do sistema. O trabalho aqui apresentado, ao invés de estudar tudo isso, em suas várias configurações possíveis, se foca apenas no caso em que as partículas do sistema aqui considerados: uma cadeia de spins interagindo segundo o modelo de Ising. Consideramos o sistema a uma temperatura fixa, e que essa temperatura seja alta. Vamos considerar que a intensidade do campo magnético externo será tratada para vários valores de intensidade, além de que o número de spins do sistema estudado também vai variar para alguns valores, e iremos usar a condição de contorno periódica que diz que o último spin e o primeiro spin da cadeia interagem entre si. Para descrever a dinâmica desse sistema, usamos a mecânica quântica. A quantidade física de interesse é a densidade espectral, pois a interpretação do seu comportamento nos permite

entender como é que se comporta os spins do sistema para diferentes valores de campo externo. Essa função também serve para nos ajudar a calcular o espectro de absorção e de emissão de energia pelo sistema quando este interage com uma perturbação externa. Agora que foram introduzidas as considerações usadas no modelo do sistema, eu falarei sobre as considerações usadas nesse sistema para calcular a densidade espectral para sistemas físicos. Para isso eu vou separar esse trabalho em 3 partes. No capítulo 2 farei algumas considerações para descrever o modelo do sistema. No capítulo 3 mostrarei como chegar à fórmula da densidade espectral para um sistema de tamanho qualquer de partículas. A fórmula será usada para calcular exatamente o caso de 2 spins. Em seguida será mostrado os gráficos das diferentes densidades espectrais para alguns valores do campo magnético B. Depois, mostraremos os resultados dos cálculos numéricos para a densidade espectral para alguns valores do campo B, e vários tamanhos de sistema, até um sistema com 11 spins.

Capítulo 2

Considerações sobre o modelo de Ising

2.1. Partículas só interagem com seus primeiros vizinhos

Ao considerar que as partículas interagem apenas com os seus primeiros vizinhos, estamos apenas considerando que, se forem mudadas as direções dos spins de algumas partículas, essas partículas vão influenciar com mesma intensidade na direção dos spins, apenas as partículas próximas, no caso os seus primeiros vizinhos. Todos os spins do sistema interagem entre si com mesma intensidade J, desde que eles estejam em sítios primeiro-vizinhos. Assim, consideramos apenas as interações entre primeiros vizinhos, onde a energia do sistema associada à orientação dos spins das partículas é dada por

(−𝐽 ∑ 𝜎𝑖 _𝑖𝑧𝜎_𝑖+1𝑧 ).

A quantidade J é chamada de constante de troca. Essa constante representa a intensidade da interação entre os spins. Como o sistema tem simetria de translação, as iinterações J ficam fora do somatório. As quantidades 𝜎_𝑖𝑧 são os operadores matrizes de Pauli, onde

𝜎_𝑖𝑥 = (0 1 1 0) , 𝜎𝑖 𝑦 = (0 −𝑖 𝑖 0) , 𝜎𝑖 𝑧 _{= (}1 0 0 −1).

Esses operadores, nesse caso, representam a quantidade física associada ao spins das partículas. Os sobrescritos x, y, e z representam as três direções espaciais, e cada matriz corresponde a uma componente do operador de spin-1/2 em uma das direções. Por exemplo, 𝜎_𝑖𝑧 é a componente na direção-z do spin do sítio i. Na hamiltoniana de Ising, estamos somando o produto das componentes-z dos spins de todas as partículas do sistema. Assim a soma é feita com i variando de 1 até L, crescendo a intervalos de unidade.

2.2. Dimensão do sistema

O sistema estudado é unidimensional, o que vai facilitar o estudo da dinâmica. No caso de dimensões maiores, seria necessário estudar a interação dos spins em outras direções, o que complicaria muito os cálculos.

2.3. Temperatura do sistema

Consideraremos o sistema no limite de altas temperaturas (𝑇 = ∞). É sabido que nesse caso o sistema não apresenta nenhuma transição de fase. Em uma transição de fase ocorre o fenômeno no qual as propriedades termodinâmicas de um sistema são alteradas quando variamos um dos campos termodinâmicos, como a pressão ou a temperatura. Como exemplo, ao aumentarmos a temperatura de um ímã, a sua magnetização é alterada, podendo fazer ele ficar sem magnetização alguma. Esse fenômeno da perda abrupta da magnetização sob a ação da temperatura é uma transição de fase. No caso de um sistema de spins de Ising em um campo transverso em uma dimensão, só existe transição de fase à temperatura 𝑇 = 0. Para qualquer temperatura diferente de zero, não é possível haver uma transição de fase. No caso quando T = 0, foi mostrado que existe uma transição de fase quando o campo magnético 𝐵𝑥 atinge a

mesma intensidade da energia de troca J [3],[4]. A Fig. 2.1 mostra o diagrama de fase do sistema à temperatura zero. No nosso caso, estudamos esse mesmo sistema à temperatura infinita. Como veremos, um aspecto interessante do nosso trabalho é que o sistema parece reter memória da transição a Bx=J que ocorre a T = 0.

Fig. 2.1 Diagrama de fase do modelo de Ising com campo transverso em 1 dimensão.

A interação do campo magnético com os spins do sistema é dada por −𝐵𝑥∑ 𝜎𝑖𝑥

𝑖

,

onde 𝜎_𝑖𝑥 representa a componente do spin na direção x. O campo externo 𝐵𝑥 é aplicado

na direção x, que é perpendicular à direção z, onde ocorre as interações de troca tipo- Ising. Além disso, a temperatura alta faz com que o sistema esteja num estado que permite ao sistema absorver e emitir energia igualmente. A densidade espectral mostrará explicitamente essa propriedade para o sistema que estamos estudando.

2.4. Hamiltoniana do modelo de Ising com campo transverso

Consideramos uma rede formada por 𝐿 spins de Ising que interagem com seus primeiros vizinhos e estão submetidos a um campo magnético transverso (Fig. 2.1).

Fig. 2.1: Ilustração de uma cadeia de L spins submetida a um campo magnético transverso.

A hamiltoniana é dada por

𝐻 = −𝐽 ∑ 𝜎_{𝑖 𝑖}𝑧𝜎_𝑖+1𝑧 − 𝐵_𝑥∑ 𝜎_𝑖𝑥

𝑖 , (2.1)

onde foram usadas todas as considerações acima para montar essa hamiltoniana. O primeiro termo corresponde às interações entre as componentes dos spins na direção z, enquanto o segundo termo mostra as interações do sistema de spins com um campo transverso.

Capítulo 3

Dinâmica do modelo de Ising com campo

transverso

Neste capítulo apresentaremos o estudo que realizamos da dinâmica de uma cadeia de spin 𝑠 =1

2 na presença de um campo magnético transverso. Nosso modelo

envolve interações de curto alcance entre dois spins primeiros vizinhos. Para este estudo empregamos o método de diagonalização exata para cadeias de tamanhos finitos para calcular a densidade espectral 𝑆(𝜔) [6], [7], [8]. Assim, consideraremos cadeias finitas de tamanhos diferentes e determinamos 𝑆(𝜔) exatamente para cada uma delas. Analisando os resultados para os diferentes tamanhos, nós podemos inferir o comportamento de 𝑆(𝜔) para sistemas de tamanho infinito.

3.1. Determinação da densidade espectral S(ω)

A função de auto-correlação C(t) serve para medir a orientação dos spins do sistema em instantes de tempos t diferentes, comparando o spin do sistema no instante inicial a t=0 com o spin no instante t. Por outro lado, a densidade espectral 𝑆(𝜔) serve para mostrar o espectro de absorção e de emissão do sistema. Para se achar a densidade espectral é preciso primeiro determinar 𝐶(𝑡),

𝐶(𝑡) = 〈𝜎_𝑗𝑧𝜎_𝑗𝑧(𝑡)〉 =𝑇𝑟[𝑒

−𝛽𝐻_𝜎

𝑗𝑧𝜎𝑗𝑧(𝑡)]

𝑇𝑟[𝑒−𝛽𝐻_] , (3.1)

onde 〈𝜎_𝑗𝑧(0)𝜎_𝑗𝑧(𝑡)〉 é a média térmica do produto de operadores dos spins nos tempos 0 e t.

No lado direito vê-se o traço Tr que é a soma dos elementos diagonais do produto de operadores dentro dos colchetes. Aqui 𝛽 = 1 𝑘⁄ 𝐵𝑇, onde kB é a constante de

Boltzmann e T a temperatura absoluta. O denominador é a chamada função de partição Z (ver Apêndice C). Finalmente, a hamiltoniana é a do modelo de Ising em um campo transverso,

𝐻 = −𝐽 ∑ 𝜎_𝑖𝑧𝜎_𝑖+1𝑧 − 𝐵_𝑥∑ 𝜎_𝑖𝑥_{. (3.2)}

O fator de Boltzmann é dado formalmente pela seguinte expansão 𝑒−𝛽𝐻= 𝐼 −𝛽𝐻 1! + 𝛽𝐻2 2! − 𝛽𝐻3 3! + ⋯,

onde, no limite de altas temperaturas 𝛽 = 0, obtemos

𝑒−𝛽𝐻 = 𝐼 𝛽 = 0, (3.3) 𝐶(𝑡) = 𝑇𝑟[𝜎𝑗

𝑧_𝜎 𝑗𝑧(𝑡)]

𝑇𝑟[Ι] . (3.4)

A quantidade I é o operador identidade

I = (

1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

).

Como o traço de um operador independe da base usada para realizar o cálculo [5], podemos usar uma base ortonormal dos autoestados {|𝑛⟩} da hamiltoniana (de acordo com a equação (A.1) que se encontra no Apêndice A). Desse modo, obtemos

𝐶(𝑡) = ∑ ⟨𝑛|𝜎𝑗 𝑧_𝑒𝑖𝐻𝑡_𝜎 𝑗𝑧𝑒−𝑖𝐻𝑡|𝑛⟩ 𝑛 ∑ ⟨𝑛|Ι|𝑛⟩𝑛 (3.5)

Ao tomarmos a soma dos elementos da diagonal principal teremos ∑ ⟨𝑛|Ι|𝑛⟩_𝑛 = 2𝐿, onde 𝐿 denota o número de spins na cadeia linear.

Nota-se que quando 𝑡 = 0,

𝐶(𝑡 = 0) = 〈𝜎_𝑗𝑧𝜎_𝑗𝑧(0)〉 =𝑇𝑟[𝑒 −𝛽𝐻_𝜎 𝑗𝑧𝜎𝑗𝑧] 𝑇𝑟[𝑒−𝛽𝐻_] = 𝑇𝑟[𝑒−𝛽𝐻] 𝑇𝑟[𝑒−𝛽𝐻_] = 1, (3.6)

pois, 𝜎_𝑗𝑧𝜎_𝑗𝑧 = 1. Assim, no instante inicial, t=0, C(t) está normalizada. A expressão para 𝐶(𝑡) para um instante de tempo t qualquer fica na forma:

𝐶(𝑡) = 1

2𝐿∑ ⟨𝑛|𝜎𝑗

𝑧_𝑒𝑖𝐻𝑡_𝜎

𝑗𝑧𝑒−𝑖𝐻𝑡|𝑛⟩

𝑛 . (3.7)

Utilizando a relação de completeza (A.3) do Apêndice A, obtemos: 𝐶(𝑡) = 1

2𝐿∑⟨𝑛|𝜎𝑗𝑧𝑒𝑖𝐻𝑡∑ |𝑚⟩⟨𝑚|𝑚 𝜎𝑗𝑧𝑒−𝑖𝐻𝑡|𝑛⟩ 𝑛

A quantidade 𝐸_𝑛 representa a energia do autoestado da hamiltoniana, H|n> = En|n>,

𝐶(𝑡) = 1 2𝐿∑⟨𝑛|𝜎𝑗𝑧∑ 𝑒𝑚 𝑖𝐸𝑚𝑡|𝑚⟩⟨𝑚|𝜎𝑗𝑧𝑒−𝑖𝐸𝑛𝑡|𝑛⟩ 𝑛 𝐶(𝑡) = 1 2𝐿∑ ∑ 𝑒𝑖𝐸𝑚𝑡𝑒−𝑖𝐸𝑛𝑡⟨𝑛|𝜎𝑗𝑧|𝑚⟩⟨𝑚|𝜎𝑗𝑧|𝑛⟩ 𝑚 𝑛 𝐶(𝑡) = 1 2𝐿∑ 𝑒 −𝑖(𝐸𝑛−𝐸𝑚) ћ 𝑡|⟨𝑛|𝜎 𝑗𝑧|𝑚⟩| 2 𝑛,𝑚 (3.8)

A partir da equação (3.8) podemos calcular a função de correlação dependente do tempo para qualquer tamanho de cadeia. Com isso, para calcular o valor de C(t), temos de calcular os autoestados│n⟩, as autoenergias 𝐸𝑛, e os elementos de matriz ⟨𝑛|𝜎𝑗𝑧|𝑚⟩.

Para se calcular a densidade espectral 𝑆(𝜔) aplica-se a transformada de Fourier na função de autocorrelação, onde iremos listar duas integrais importantes no cálculo da densidade espectral:

∫_−∞+∞𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡= 2𝜋𝛿(𝜔)

∫_−∞+∞cos(𝜔₀)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡=𝜋[𝛿(𝜔 − 𝜔0) +𝛿(𝜔 + 𝜔0 )].

A densidade espectral é então calculada como a transformada de Fourier de C(t),

𝑆(𝜔) = ∫+∞𝐶(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡_𝑑𝑡 −∞ = ∫ [ 1 2𝐿∑ 𝑒 −𝑖(𝐸𝑛−𝐸𝑚) ћ 𝑡|⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑚⟩|2 𝑛,𝑚 ] 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 +∞ −∞ .

Vamos separar o somatório em dois termos, um onde n=m e o outro é o somatório para os termos onde n≠m: 𝑆(𝜔) = 1 2𝑁{∫ [ ∑ 𝑒 −𝑖(𝐸𝑛−𝐸𝑚) ћ 𝑡|⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑚⟩|2 𝐿 𝑛=𝑚=1 ] 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 +∞ −∞ +∫ [ ∑ 𝑒−𝑖(𝐸𝑛−𝐸𝑚ћ )𝑡|⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑚⟩|2 𝐿 𝑛≠𝑚=1 ] 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 +∞ −∞ }

onde separando as integrais das contas em duas integrais: ∫ [ ∑ 𝑒−𝑖(𝐸𝑛−𝐸𝑚)ћ 𝑡|⟨𝑛|𝜎 𝑗𝑧|𝑚⟩| 2 𝐿 𝑛=𝑚=1 ]𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 +∞ −∞ = ∫ [ ∑ |⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑚⟩|2 𝐿 𝑛=𝑚=1 ]𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 +∞ −∞ = ∑ |⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑛⟩|2 𝐿 𝑛=𝑚=1 [∫ 1𝑒−𝑖𝜔𝑡_𝑑𝑡 +∞ −∞ ] = 2𝜋𝛿(𝜔) ∑ |⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑛⟩|2 𝐿 𝑛=𝑚=1 ∫ [∑ 𝑒−𝑖(𝐸𝑛−𝐸𝑚)ћ 𝑡|⟨𝑛|𝜎 𝑗𝑧|𝑚⟩| 2 𝐿 𝑛≠𝑚=1 ]𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 +∞ −∞ = ∫ [∑ 2𝑒 𝑖(𝐸𝑛−𝐸𝑚) ћ 𝑡_+𝑒−𝑖(𝐸𝑛−𝐸𝑚)ћ 𝑡 2 |⟨𝑛|𝜎𝑗 𝑧_|𝑚⟩| 2 𝐿 𝑛≠𝑚=1 ]𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 +∞ −∞ =

∫ [∑ 2𝑐𝑜𝑠(𝜔0)|⟨𝑛|𝜎𝑗𝑧|𝑚⟩| 2 𝐿 𝑛≠𝑚=1 ]𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 +∞ −∞ =2 ∑ |⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑚⟩|2[∫ 𝑐𝑜𝑠(𝜔0)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 +∞ −∞ ] L n≠m=1 =2∑ |⟨𝑛|𝜎𝑗𝑧|𝑚⟩| 2 [𝜋[𝛿(𝜔 − 𝜔0)+ L n≠m=1 𝛿(𝜔 + 𝜔₀)]].

Juntando os dois resultados obtemos a função

𝑆(𝜔) = 1 2𝐿 { 2𝜋𝛿(𝜔) ∑𝐿_𝑛=𝑚=1|⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑛⟩|2 +2π∑Ln≠m=1|⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑚⟩|2[[𝛿(𝜔 − 𝜔𝑚𝑛 ) +𝛿(𝜔 + 𝜔𝑚𝑛 )]]_} (3.9)

onde 𝜔𝑚𝑛 = (En – Em) .

3.2. O cálculo de

𝑺(𝝎) para um sistema de spins

Vamos considerar primeiro uma rede de 2 spins com condições de contorno periódicas.

Nesse caso, a hamiltoniano 𝐻 = −𝐽 ∑ 𝜎_𝑗𝑧𝜎_𝑗𝑧− 𝐵𝑥∑ 𝜎𝑖𝑥 fica na forma

𝐻 = −𝐽𝜎₁𝑧𝜎₂𝑧 − 𝐽𝜎₂𝑧𝜎₁𝑧− 𝐵_𝑥𝜎₁𝑥− 𝐵_𝑥𝜎₂𝑥

𝐻 = −2𝐽𝜎₁𝑧𝜎₂𝑧− 𝐵𝑥𝜎1𝑥− 𝐵𝑥𝜎2𝑥 (3.10)

A base escolhida para representar a matriz Hamiltoniana será a base dos autovetores do operador 𝜎_𝑗𝑧, ou seja, { 𝜎 𝑧_{|+> = |+>} 𝜎𝑧|−> = −|−> (3.11) {𝜎 𝑥_{|+> = |−>} 𝜎𝑥|−> = |+> (3.12)

onde {| +⟩, | −⟩} são os auto-estados de 𝜎_𝑗𝑧. A base de auto-estados para duas partículas de spin ½ é

{| + +⟩, | + −⟩, | − +⟩, | − −⟩}. (3.13)

A matriz hamiltoniana é dada então por 𝐻 = (

𝐻₁₁ 𝐻₁₂ 𝐻₁₃ 𝐻₁₄ 𝐻₂₁ 𝐻₂₂ 𝐻₂₃ 𝐻₂₄ 𝐻₃₁ 𝐻₃₂ 𝐻₃₃ 𝐻₃₄ 𝐻₄₁ 𝐻₄₂ 𝐻₄₃ 𝐻₄₄

).

Para calcularmos os elementos de 𝐻, ou seja, 𝐻₁₁, 𝐻₁₂, 𝐻₂₁, . . . , 𝐻₄₄, fazemos,

𝐻11= ⟨+ + |𝐻|+ +⟩, 𝐻12 = ⟨+ + |𝐻|+ −⟩,

𝐻₂₁ = ⟨+ − |𝐻|+ +⟩, . . . , 𝐻₄₄⟨− − |𝐻|− −⟩. (3.14)

A matriz hamiltoniana será então,

𝐻 = ( −2𝐽 −𝐵𝑥 −𝐵𝑥 0 −𝐵_𝑥 2𝐽 0 −𝐵_𝑥 −𝐵_𝑥 0 2𝐽 −𝐵_𝑥 0 −𝐵𝑥 −𝐵𝑥 −2𝐽 ). (3.15)

O próximo passo será diagonalizar a matriz H para encontrarmos os autovetores e autoenergias . As raízes de det[𝐻 − 𝜆Ι] = 0 são,

{ 𝐸1 = √4𝐽² + 2𝐵𝑥² 𝐸₂ = 2𝐽 𝐸3 = −2𝐽 𝐸4 = −√4𝐽² + 2𝐵𝑥² (3.16)

Os autovetores normalizados de 𝐻 são dados por

{ │1⟩ = 𝛼1[| + +⟩ − 2𝐽 + √4𝐽2_{+ 2𝐵} 𝑥2 2𝐵𝑥 | + −⟩ −2𝐽 + √4𝐽 2_{+ 2𝐵} 𝑥2 2𝐵𝑥 | − +⟩ + | − −⟩] , │2⟩ = 𝛼₂[| + −⟩− | − +⟩], │3⟩ = 𝛼₃[| + +⟩ − | − −⟩], │4⟩ = 𝛼4[| + +⟩ + 2𝐵_𝑥 2𝐽 + √4𝐽2_{+ 2𝐵} 𝑥2 | + −⟩ + 2𝐵𝑥 2𝐽 + √4𝐽2_{+ 2𝐵} 𝑥2 | − +⟩ + | − −⟩] (3.17)

onde as constantes de normalização são

{ 𝛼1 2𝐵_𝑥 √12𝐵𝑥² + 16𝐽² + 8𝐽√4𝐽² + 2𝐵𝑥² , 𝛼2 = 1 √2⁄ 𝛼₃ = 1 √2⁄ , 𝛼₄ = 2𝐽 + √4𝐽² + 2𝐵𝑥² √12𝐵𝑥² + 16𝐽² + 8𝐽√4𝐽² + 2𝐵𝑥² (3.18)

Para calcularmos a densidade espectral 𝑆(𝜔) temos que encontrar |⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑚⟩|², onde ⟨𝑛|𝜎_𝑗𝑧|𝑚⟩ são os elementos da matriz de 𝜎_𝑗𝑧, ou seja,

𝜎 = ( 𝜎₁₁ 𝜎₁₂ 𝜎₁₃ 𝜎₁₄ 𝜎₂₁ 𝜎₂₂ 𝜎₂₃ 𝜎₂₄ 𝜎₃₁ 𝜎₂₃ 𝜎₃₃ 𝜎₃₄ 𝜎₄₁ 𝜎₂₄ 𝜎₃₄ 𝜎₄₄ ) (3.19)

onde, 𝜎₁₁ = 2𝐵𝑥² − 8𝐽² − 4𝐽√4𝐽² + 2𝐵𝑥² 6𝐵_𝑥² + 8𝐽² + 4𝐽√4𝐽² + 2𝐵_𝑥², 𝜎₄₄= −𝜎₁₁ = −2𝐵𝑥² − 8𝐽² − 4𝐽√4𝐽² + 2𝐵𝑥² 6𝐵_𝑥² + 8𝐽² + 4𝐽√4𝐽² + 2𝐵_𝑥², 𝜎₁₄ = 𝜎₄₁= 4𝐵𝑥𝐽 + 2𝐵√4𝐽² + 2𝐵𝑥² 12𝐵_𝑥² + 16𝐽² + 8𝐽√4𝐽² + 2𝐵_𝑥², 𝜎22= −1 𝑒 𝜎33= 1. (3.20)

Os demais elementos da matriz 𝜎 são iguais a zero. Portanto, a expressão (3.9) para 𝑆(𝜔) de uma rede de dois spins será dada por,

𝑆(𝜔) =2𝜋 22[(|𝜎11|² + |𝜎22|² + |𝜎33|² + |𝜎44|²)𝛿(𝜔) + |𝜎₁₄|²[𝛿(𝜔 − 𝜔14)+𝛿(𝜔 + 𝜔14)]] 𝑆(𝜔) =2𝜋 22 [2(|𝜎11|² + |𝜎22|²)𝛿(𝜔) + |𝜎14|²[𝛿(𝜔 − 𝜔14)+𝛿(𝜔 + 𝜔14)]] 𝑆(𝜔) =2𝜋 22 [2|𝜎11|²𝛿(𝜔) + 2|𝜎22|²𝛿(𝜔) + |𝜎14|²𝛿(𝜔 − 𝜔14)+|𝜎14|²𝛿(𝜔 + 𝜔14)]. (3.21)

Com essa densidade espectral para o sistema de dois spins nós obtemos o gráfico mostrado na Fig. 3.1.

Fig. 3.1 Densidade espectral para o modelo de Ising com campo transverso para Bx= J,

para um sistema com 2 spins

Antes de fazer a interpretação desse gráfico, vamos fazer um apanhado de todas as coisas que obtivemos até agora e vamos analisar cada uma delas para que aí possamos analisar esse gráfico. Primeiro, para o sistema de dois spins com campo transverso nós achamos os auto-vetores e autovalores desse sistema. Com isso nós os usamos para calcular a função de auto-correlação 𝐶(𝑡). A função de autocorrelação tem como interpretação de que ela compara como o estado do sistema se encontra num instante t em relação ao seu estado no instante inicial. Essa interpretação tem uma visualização geométrica fácil de se ver, se você representar o estado do sistema no instante inicial como um vetor apontando no eixo z e o estado do sistema posterior, como um vetor que faz um certo ângulo com o estado inicial. Conforme o tempo vai passando, o ângulo entre esses dois vetores vai mudando, onde se você fizer um gráfico marcando o ângulo entre os dois vetores em função do tempo você vai obter exatamente uma função seno ou cosseno, o que mostra que os spins do sistema oscilam graças ao campo externo, e é exatamente isso o que a função de auto-correlação mede. A função de auto-correlação como apresenta um comportamento oscilatório, ela deve ser composta por um conjunto de ondas com frequências bem definidas. Para nós acharmos essas frequências, nós fazemos uma transformada de Fourier da função de auto-correlação do tempo para o espaço de frequências, com isso vamos obter as frequências

que compõem essa função, ou seja, as frequências nas quais o sistema pode oscilar. Ao fazermos isso nós obtivemos 6 funções deltas, das quais duas delas têm mesma frequência, sendo assim nós achamos que a função de auto-correlação é composta por 4 frequências como mostra a Figura 3-1. A junção de todas essas funções delta no gráfico nos dá o gráfico da densidade espectral 𝑆(𝜔). Essa função densidade espectral nos dá as freqüências nas quais o sistema de spins pode emitir ou absorver energia quando perturbado.

Agora vamos analisar o gráfico da densidade espectral. A densidade espectral depende dos elementos de matriz 𝜎_𝑖𝑗𝑧, pois só existem contribuições para a densidade espectral quando o elemento de matriz é diferente de zero. No nosso caso de um sistema de dois spins, nós temos, a princípio, 16 elementos de matriz. Porém apenas 4 deles são diferentes de zero. A interpretação para esses elementos de matriz é que eles representam a probabilidade do sistema mudar do estado m para o estado n (ver Eq. 3-9). Entretanto, como o sistema apresenta apenas 4 das 16 transições possíveis, isso mostra que o sistema apresenta uma regra de seleção, que diz quais são as transições permitidas que o sistema pode fazer. As linhas de transições podem ser associadas como energias de transição. Se as linhas da densidade espectral estão associadas às energias de transição, então as linhas do lado direito do gráfico representam as energias que o sistema pode absorver, enquanto que as linhas da esquerda são aquelas que o sistema pode emitir. Porém as linhas de emissão de energia só existem porque o sistema se encontra a uma temperatura finita, o que significa que o sistema não se encontra no estado fundamental. Então, ele pode emitir energia e mudar de estado. Se o sistema estiver à temperatura zero, ele não poderá emitir energia, então ele não teria as linhas do lado esquerdo. Essas mesmas observações que fizemos para o sistema de 2 spins vale para o sistema de 3 ou mais spins. A única diferença é que nós vamos obter mais linhas do espectro porque você aumentou o número de spins, consequentemente mais estados, mais transições possíveis. Isso pode ser observado na Fig. 3.1. No caso em que o sistema estiver a uma temperatura infinita, ele poderá absorver ou emitir energia com a mesma probabilidade. Assim, a densidade espectral será uma função par da frequência 𝜔. Isso pode ser observado nas Figs. 3.1 e 3.2, para L=2 e 3 spins, respectivamente.

Fig. 3.2 Densidade espectral para o sistema com 3 partículas para Bx = J, ou seja, os

parâmetros da energia são os mesmos que os da Figura 3.1. Note o agrupamento das linhas em torno de 𝜔 = 0. A figura é simétrica porque à temperatura infinita, e o sistema tanto absorve quanto emite energia com igual probabilidade.

Na Fig. 3.3 nós colocamos no mesmo gráfico os espectros obtidos numericamente para um sistema de L=2, 3, ... 11 spins. À medida em que o número de spins cresce, a densidade espectral vai se tornando contínua, porém com muitas oscilações em torno do seu valor médio. No presente caso, Bx = J a densidade espectral

evolui para o formato de uma curva gaussiana, como esperado. Quando o número de spins é muito grande,o espectro do sistema se torna contínuo.

Fig. 3.3. Densidade espectral para J=1 e Bx=0.5 para vários tamanhos L do sistema.

Note que para L=11, ..., 12 o espectro tem forma de sino, isto é, uma gaussiana, que é o resultado analítico exato conhecido [ver Ref. 9.].

Na verdade, o espectro de um sistema de muitos spins é uma combinação de funções delta com diferentes pesos. O resultado é que a densidade espectral vai tomando a forma de uma função contínua, que oscila em torno do resultado termodinâmico. À medida em que o tamanho do sistema cresce, as flutuações vão diminuindo de amplitude, se aproximando então do resultado exato do limite termodinâmico.

Fig. 3.4 Densidade espectral para o caso Bx = J, para vários tamanhos de rede L= 7, 8,

..., 11.

Na Fig. 3.3 nós mostramos a densidade espectral para o caso J = 1 e Bx = 0.5. Como

vemos, a dinâmica é dominada por um pico central. Essa dominância continua até o caso Bx = J = 1 [veja, Fig. 3.4]. A partir daí, quando Bx cresce em relação a J, o pico

central diminui de intensidade, e aparecem dois picos laterais, devido ao modo coletivo com os spins precessionando em torno do campo magnético, como mostrado Fig. 3.6. Com esses resultados, observamos que o caso L=11 já se aproxima razoavalmente bem com o do sistema infinito.

Fig. 3.5. Densidade espectral para o caso Bx = 2J, para vários tamanhos de rede, L= 2,

3, 4, ..., 11. Note a ausência do pico central e do aparecimento de dois picos laterais que

têm sua origem no modo coletivo dos spins precessionando em torno do campo transverso.

Capítulo 4

Considerações finais

Neste trabalho estudamos a dinâmica de uma cadeia de spins 𝑠 =1

2 na presença

de um campo magnético transverso. Consideramos separadamente casos com L=2 spins, até L=11 spins. O caso L=2 foi tratado exatamente de modo analítico. Os casos seguintes, L=3, .., 11 foram obtidos através de cálculos numéricos.. No caso L=2 a densidade espectral depende dos elementos de matriz da componente-z dos spins. Nesse caso, dos possíveis 16 elementos de matriz, existem apenas 4 não nulos, e que vão aparecer no resultado final. Isso mostra a existência de uma regra de seleção para as transições possíveis do sistema. Para sistemas maiores, L=3,..., 11, as regras de seleção ficam mais complexas, porém a densidade espectral obtida já utiliza automaticamente todas essas regras. A densidade espectral fornece o espectro de absorção (w > 0) e de emissão (w < 0) de energia pelo sistema quando uma perturbação externa de frequência w atinge o sistema. Como consideramos que o sistema está a uma temperatura infinita, a densidade espectral é uma função par em w, evidenciando que nessa temperatura o sistema tem probabilidade igual de aceitar ou de emitir energia quando perturbado. Pelos nossos resultados, podemos concluir que não adianta estudar sistemas maiores, pois não vamos desvendar nenhuma nova física. Isto é, os resultados para o sistema com L=11 já estão bastante próximos dos resultados para um sistema com um número infinito de spins, ou seja, um sistema no limite termodinâmico. Assim, podemos inferir que para campos pequenos (B << J) a dinâmica é dominada pelo modo central. Quando B=1, reproduzimos o resultado conhecido da gaussiana [9]. Finalmente, quando o campo é bem maior que J (B>>J), a dinâmica é basicamente um modo coletivo onde os spins precessionam ao longo do campo transverso aplicado.

Apêndice

A. Definições da mecânica quântica

Seja 𝐻̂ um operador Hermitiano (𝐻 = 𝐻+) e {|𝑛⟩} o conjunto completo ortonormal, tal que [8]

𝐻̂|𝑛⟩ = 𝐸_𝑛|𝑛⟩. (A.1)

Os vetores |𝑛⟩ são normalizados, isto é,

⟨𝑛|𝑛⟩ = 1 (A.2)

Como o conjunto {|𝑛⟩} é completo e normalizado, temos a relação de completeza:

∑|𝑛⟩⟨𝑛| = 1. (A.3)

Frequentemente precisamos calcular uma quantidade do tipo

Na chamada representação de Schroedinger, temos |ψ(𝑡)⟩ = 𝑒 –𝑖𝐻𝑡ℎ |ψ(0)⟩.

Aqui o operador  não depende do tempo. A parte temporal é carregada pelo vetor |ψ(𝑡)⟩.

(A.5)

B. Representação de Heisenberg

Na representação de Heisenberg os operadores evoluem no tempo, os estados |ψ⟩ não dependem do tempo [4].

Definimos um operador A (dependente do tempo) como 𝐴̂(𝑡) = 𝑒

𝑖𝐻𝑡 ℎ 𝐴̂𝑒

–𝑖𝐻𝑡

ℎ _. (B.1)

Ao tomarmos a derivada de 𝐴̂(𝑡) com relação ao tempo obtemos a equação de Heisenberg: 𝑑𝐴̂(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑖 ℎ[𝐻, 𝐴̂(𝑡)] + 𝜕𝐴̂(𝑡) 𝜕𝑡 (B.2)

que é uma equação diferencial ordinária para os operadores 𝐴̂.

C. Valor esperado de um operador

〈𝑂̂〉 =𝑇𝑟[𝑒

−𝛽𝐻_𝑂]

𝑇𝑟[𝑒−𝛽𝐻_] (C.1)

com 𝛽 = 1 𝑘⁄ 𝐵𝑇, onde 𝑘𝐵 é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta do

sistema[8]. A quantidade 𝑍 é chamada de função de partição, e é definida como

𝑍 = 𝑇𝑟[𝑒−𝛽𝐻]. (C.2)

O traço 𝑇𝑟 pode ser tomado em qualquer base ortonormal completa. Logo,

〈𝑂̂〉 =1 𝑍 𝑇𝑟[𝑒 −𝛽𝐻_{𝑂] (C.3)} Portanto, 〈𝑂̂〉 = 1 𝑍∑⟨𝑛|𝑒 −𝛽𝐻_{𝑂|𝑛⟩ (C.4)}

Bibliografia

[1] P. G. de Gennes, Solid State Commun.1, 132 (1963). [2] R. Blinc and M. Ribaric, Phys. Rev. 130, 1816 (1963). [3] P. Pfeuty, Ann. Phys. 57, 79 (1970).

[4] Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, H. Eugene Stanley Oxford University Press (USA).

[5] Quantum Mechanics, C. Cohen-Tannoudji, B. Diu and F. Lalöe, Vol 1 and 2, John Wiley and Sons (France).

[6] A. Sur, D. Jasnow and I.J. Lowe, Phys. Rev, B12, 3845 (1975); A. Sur and I.J. Lowe, Phys. Rev. B 12, 45977 (1975).

[7] J. Florencio, O. F. de Alcântara Bonfim and F. C. Sá Barreto, Physica A 235, 523 (1997).

[8] B. Boechat, C. Cordeiro, J. Florencio, F. C. Sá Barreto and O. F. de Alcântara Bonfim, Phys. Rev. B 61, 14327 (2000).