Desenvolvimento de ferramentas computacionais em Excel-VBA para gerenciamento simplificado de reservatórios de gás

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO

CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO

MARCO AURÉLIO NUNES DE FARIA

DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS EM EXCEL-VBA

PARA GERENCIAMENTO SIMPLIFICADO DE RESERVATÓRIOS DE GÁS

NITERÓI, RJ

2018

DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS EM EXCEL-VBA

PARA GERENCIAMENTO SIMPLIFICADO DE RESERVATÓRIOS DE GÁS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado

ao Corpo Docente do Departamento de

Engenharia Química e de Petróleo da Escola de

Engenharia

da

Universidade

Federal

Fluminense, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Engenheiro

de Petróleo.

Orientador:

Prof. Dr. João Felipe Mitre de Araujo

Niterói, RJ

2018

TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA

FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

FICHA CATALOGRÁFICA GERADA EM:

http://www.bibliotecas.uff.br/bee/ficha-catalografica

Dedico este trabalho à minha facelida avó,

Magaly Buonocore Nunes, que não pode estar

aqui para realizar mais uma etapa de seu sonho

de ver todos os netos formados.

Ao meu ilustríssimo orientador, Prof. Dr. João Felipe Mitre de Araujo, por todo seu empenho

e prontidão no auxílio da elaboração deste trabalho.

Ao Prof. Dr. Victor Rolando Ruiz Ahón, pela disponibilização de material suplementar.

Aos demais professores do curso, por todo conhecimento transmitido.

À instituição, Universidade Federal Fluminense, por tudo aquilo que representa.

À minha família, por todo apoio incondicional durante estes longos 5 anos.

Aos meus amigos de faculdade, por tornar, dia pós dia, tudo um pouco mais suportável.

Aos meus irmãos, primos, e amigos mais próximos, por servirem como válvula de escape nos

momentos mais difíceis.

“Gás Natural é o combustível que temos que é acessível, escalonável, pode substituir o

carvão com o tempo, pode substituir o óleo importado, pode criar empregos americanos.”

(Aubrey McClendon, tradução nossa)

O gás natural é uma fonte energética mais limpa que o petróleo e que vem ganhando espaço no

mundo. A exploração e produção desse recurso requer grandes investimentos tecnológicos e de

gerenciamento de reservatórios, que se encontram no interior da Terra. Este trabalho tem o

objetivo de construir um programa em Excel e Visual Basic for Application (VBA) para auxiliar

no gerenciamento de reservatórios de gás, que produzem pelo método volumétrico ou sob

influxo de água, focando no constante ajuste da previsão de reservas através de novos dados de

produção e equação de balanço de materiais (EBM). Dada esta finalidade, a metodologia do

trabalho é realizar uma extensa revisão bibliográfica de engenharia de reservatórios,

explicitando os conceitos e variáveis pertinentes ao funcionamento do programa construído,

seguido da apresentação de todo o desenvolvimento e acompanhamento da estruturação no

Excel e VBA, com posterior aplicação em exemplos conhecidos para comparação de resultados,

que mostraram-se satisfatórios, com erro desprezível para correlações do fator de

compressibilidade e modelos de influxo de água, e erro médio de 4,5% nas previsões de reserva

pelos métodos volumétricos com 12 observações, em que a tendência é diminuir quanto mais

dados forem inclusos, haja vista que a diferença aconteceu por distinções no estilo de regressão.

Não foi possível comparar resultados de reservas de formações com influxo de água, pela

ausência de fontes de dados para tal. Na conclusão, discute-se a eficácia e aplicabilidade do

programa, assim como sugestões futuras de aprimoramento.

Palavras-Chave: Reservatório de Gás. Influxo de Água. Previsão de Reserva. Gerenciamento

Natural gas is an energy source that is cleaner than oil and is gaining space worldwide. The

exploration and production of this resource requires great technology investments and

management of reservoir, found deep inside the interior of the Earth. This work has the

objective of building a program in Excel and Visual Basic for Application (VBA) to aid in the

management of gas reservoirs, which produce through the volumetric or water influx methods,

focusing on the continuous reserves forecast adjustment through new production data and the

material balance equation. Given this purpose, the methodology of this work is to elaborate an

extensive literature review on reservoir engineering, gathering the definitions and variables

related to the built program, followed by the whole development and accompanying of the

structuring inside Excel and VBA, with later application in known examples for results

comparisons, that showed themselves satisfactory, with negligible error for the compressibility

factor and water influx models, and mean error of 4,5% for the reserves forecast in the

volumetric methods with 12 observations, which tends to get lower when more data is included,

since the difference occurred mostly because of the regression style distinction. It was not

possible to compare reserves results for formations with water influx, given the absence of data

sources for such. In the conclusion, it is discussed the effectiveness and applicability of the

program, as are made future suggestion of enhancement.

Figura 1 – Diagrama de Fases do Petróleo ... 3

Figura 2 – Gás Seco ... 4

Figura 3 – Gás Úmido ... 5

Figura 4 – Gás Retrógrado... 5

Figura 5 – Fluxo Radial ... 7

Figura 6 – Relação Pressão-Volume ... 9

Figura 7 – Massa Específica vs. Pressão para diferentes tipos de fluido ... 9

Figura 8 – Fator de Compressibilidade Z para Gases Naturais ... 13

Figura 9 – Geometria de Fluxo ... 24

Figura 10 – Influxo de Água em Reservatórios Cilíndricos ... 25

Figura 11 – Influxo Acumulado Adimensional ... 27

Figura 12 – Reservatório Volumétrico de Gás Seco ... 33

Figura 13 – Reservatório Volumétrico de Gás Seco Anormalmente Pressurizado ... 34

Figura 14 – Reservatório de Gás Seco... 35

Figura 15 – Reservatório de Gás Seco sob Influxo de Agua ... 37

Figura 16 – Fluxograma da Utilização do Programa ... 39

Figura 17 – Visão Inicial do Programa ... 42

Figura 18 – Conversores de Unidade ... 44

Figura 19 – Conversão Rápida de Pressão ... 44

Figura 20 – Conversor para Inúmeros Dados ... 45

Figura 21 – Simulação de Conversão ... 45

Figura 22 – Influxo de Água... 46

Figura 23 – Mensagem de Erro: dados necessários [Pot Aquifer] ... 48

Figura 24 – Resposta do Programa para Fetkovich ... 49

Figura 25 – Resposta do Programa para Van Everdingen & Hurst ... 51

Figura 26 – Dados... 52

Figura 27 – Métodos de Calcular Z ... 52

Figura 28 – Exemplo de Análise de Formações Consolidadas ... 55

Figura 29 – Diferença entre as Reservas ... 57

Figura 30 – Cálculo dos Termos da EBM no Programa... 58

Tabela 1 – Constantes de Dranchuk e Abou-Kassem... 14

Tabela 2 – Índice de Produtividade do Aquífero para os Fluxos Radial e Linear ... 30

Tabela 3 – Dados do Exemplo Comparativo para Modelos de Aquífero ... 47

Tabela 4 – Histórico de Pressões Médias no Contato Óleo/Água do Exemplo ... 47

Tabela 5 – Resumo de Cálculo Fetkovich ... 49

Tabela 6 – Resumo de Cálculo Van Everdingen & Hurst ... 50

Tabela 7 – Resultados de Z da Apostila ... 53

Tabela 8 – Resultados de Z do Programa ... 53

API

BBL

CBM

EBM

FR

PVT

RGL

RGO

SCF

STB

VBA

American Petroleum Institute

Barril

Coal Bed Methane

Equação de Balanço de Materiais

Fator de Recuperação

Pressão-Volume-Temperatura

Razão Gás-Líquido

Razão Gás-Óleo

Standard Cubic Feet (Pé Cúbico Padrão)

Standard Barrel (Barril Padrão)

𝐴

Área

𝐴

Parâmetro de Brill e Beggs

𝐴

Parâmetro de Wichert-Aziz

𝐴

Constantes de Dranchuk e Abou-Kassem

𝐵

Parâmetro de Brill e Beggs

𝐵

Parâmetro de Wichert-Aziz

𝐵

Fator volume-formação do gás

𝐵

Fator volume-formação do gás

𝐵

Fator volume-formação da água

𝑐

Compressibilidade isotérmica

𝐶

Parâmetro de Brill e Beggs

𝑐

Compressibilidade efetiva do sistema água-formação

𝑐

Compressibilidade da formação

𝑐

Compressibilidade isotérmica do gás

𝑐

Compressibilidade total na pressão inicial

𝑐

Compressibilidade da água

𝐷

Parâmetro de Brill e Beggs

𝐸

Fator de expansão do gás

𝑓

_{Relação 𝜃 2𝜋}

⁄

do raio de ação do aquífero radial no reservatório

𝐺

Volume original total de gás no reservatório

𝐺

Produção acumulada de gás

ℎ

Altura

𝐽

Índice de produtividade do Aquífero

𝑘

Permeabilidade

𝐿

Comprimento

𝑚(𝑝)

Pseudopressão do gás real

𝑝

Pressão

𝑝̅

Pressão média do aquífero

𝑃

Pressão crítica

𝑝

Pressão adimensional

𝑝

Pressão externa

𝑝

Pressão inicial

𝑃

Pressão pseudocrítica

𝑃

𝑃

Pressão pseudorreduzida

Pressão reduzida

𝑝̅

Pressão média do reservatório

𝑝

Pressão de referência

𝑝

Pressão em condições padrões

𝑝

Pressão no fundo do poço

𝑞

Vazão

𝑞

Vazão do gás no raio r do reservatório

𝑄

Vazão do gás em condições padrão

𝑟

Raio

𝑅

Parâmetros de Dranchuk e Abou-Kassem

𝑟

Raio adimensional

𝑟

Raio externo

𝑟

Raio adimensional

𝑟

Raio do reservatório

𝑟

Raio do poço

𝑆

Fator de película

𝑆

𝑡

Saturação de água conata

Tempo

𝑇

Temperatura

𝑇

Temperatura crítica

𝑇

Temperatura crítica corrigida

𝑡

Tempo adimensional

𝑇

𝑇

𝑡

Temperatura pseudocrítica

Temperatura pseudorreduzida

Inverso da temperatura reduzida

𝑇

Temperatura reduzida

𝑈

Constante de influxo de água do aquífero

𝑉

Volume

𝑉

Volume inicial

𝑉

Volume do reservatório

𝑣

Velocidade na direção radial

𝑉

Volume de referência

𝑣

Velocidade na direção x

𝑣

Velocidade na direção y

𝑣

Velocidade na direção z

𝑊

Influxo adimensional acumulado

𝑊

Influxo acumulado de água

𝑊

Influxo máximo do aquífero

𝑊

Volume inicial de água no aquífero

𝑊

Produção acumulada de água

𝑋

Parâmetros de Hall e Yarborough

𝑌

Densidade reduzida de Hall e Yarborough

𝑦

Fração percentual do composto químico i

𝑍

Fator de compressibilidade do gás

𝑍̅

Fator de compressibilidade médio do gás

𝑍

Fator de compressibilidade inicial do gás

LISTA DE SÍMBOLOS GREGOS

𝛾

Constante de Euler

𝛾

Densidade do gás

∆𝑝

Variação da pressão

∆𝑝

Queda de pressão no contato reservatório-aquífero

𝜀

Parâmetro de Wichert-Aziz

𝜇

Viscosidade

𝜌

Massa específica

𝜌

Densidade reduzida de Dranchuk e Abou-Kassem

𝛷

Porosidade

𝜓

Pseudopressão do gás real

𝜓

Pseudopressão do gás real avaliada de 0 a pressão externa

𝜓

Pseudopressão do gás real avaliada de 0 a pressão do poço

SUMÁRIO

1

INTRODUÇÃO ... 1

1.1

Objetivos ... 2

1.2

Estrutura do trabalho ... 2

2

ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS ... 3

2.1

Tipos de reservatórios ... 4

2.2

Propriedades ... 7

2.2.1

Propriedades críticas ... 9

2.2.2

Fator de compressibilidade do gás (Z) ... 11

3

FLUXOS DE GASES EM MEIOS POROSOS ... 16

3.1

Equação da difusividade hidráulica para gases ... 17

3.2

Lei de Darcy ... 18

4

INFLUXO DE ÁGUA ... 23

4.1

Van Everdingen & Hurst ... 25

4.1.1

Superposição de efeitos ... 26

4.2

Carter-Tracy ... 28

4.3

Modelo aproximado de Fetkovich ... 28

5

GERENCIAMENTO DE RESERVATÓRIOS DE GÁS ... 31

5.1

Balanço de materiais em reservatórios de gás ... 31

5.2

Reservatórios volumétricos de gás... 32

5.2.1

Reservatórios volumétricos anormalmente pressurizados ... 33

5.3

Reservatórios de gás sob influxo de água ... 34

6

METODOLOGIA - DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA ... 38

6.1

“Home” ... 40

6.2

“Conversores de Unidade” ... 40

6.3

“Influxo de Água” ... 40

6.4

“Dados” ... 41

7

RESULTADOS ... 42

7.1

“Conversores de Unidade” ... 42

7.2

“Influxo de Água” ... 46

7.2.1

Pot Aquifer ... 47

7.2.2

Fetkovich ... 48

7.3

“Dados” ... 51

7.3.1

Aplicação das correlações de compressibilidade do gás (Z) ... 53

7.3.2

Formações normalmente pressurizadas ... 53

7.3.3

Formações anormalmente pressurizadas ... 56

7.3.4

Formações sob influxo d’água ... 60

8

CONCLUSÃO ... 62

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 63

APÊNDICE A – CÓDIGOS VBA ... 65

ANEXO A – SISTEMAS E CONVERSÕES DE UNIDADES... 241

1

INTRODUÇÃO

Atualmente, o gás natural é uma fonte de energia em crescimento no mundo, sendo a

principal matriz energética da Eurásia (BP, 2017), e em constante avanço no resto do globo.

Por ser uma energia considerada mais limpa que o petróleo, o gás natural também vem

ganhando espaço junto às questões ambientais, que cresce nos países mais desenvolvidos.

Desta forma, para se consumir gás natural, é necessário antes prospectá-lo e

produzi-lo de reservatórios no interior da Terra, ato que envolve muita tecnoproduzi-logia, dificuldades e

investimentos. Para realizar esta produção, as empresas utilizam diversos softwares de

engenharia, que incluem softwares de gerenciamento de reservatórios que, por sua vez, visam

realizar o cálculo e ajustar constantemente pelo histórico de produção a expectativa total de

reserva, no caso gás natural, contido na zona produtora em questão.

Este trabalho focará no desenvolvimento de ferramentas computacionais que auxiliem

nesse gerenciamento para reservatórios exclusivamente de gás, sem a presença de óleo no

estado líquido em quantidade significativa. Com esta finalidade, as ferramentas serão

desenvolvidas no programa Microsoft Excel, juntamente com sua linguagem de programação

Visual Basic for Application (VBA).

A elaboração deste material tem como principal objetivo tornar possível gerenciar, de

modo simplificado, reservatórios de gás de forma pouco dispendiosa. Secundariamente, tem-se

também o objetivo de criar quantas ferramentas forem possíveis para realizar o cálculo das mais

diversas variáveis pertinentes à engenharia de reservatórios a partir dos dados de pressão,

volume e temperatura (PVT) de subsuperfície.

Espera-se que, com o trabalho concluído, seja possível gerenciar reservatórios de gás de

modo simples e sem a aquisição de licenças de softwares e simuladores de reservatórios

contidos no mercado, que são extremamente caros, sendo inviáveis para pequenas empresas ou

instituições que operam em terra com recursos limitados. Ou seja, uma maneira barata, porém

confiável de gerenciar. Não obstante, também poderá ser utilizado no meio acadêmico, sendo

aplicado aos muitos exemplos conhecidos e usado como referência ou para fins comparativos.

Deste modo, para atingir os objetivos especificados, a metodologia utilizada será a

realização uma extensa pesquisa bibliográfica sobre o assunto, reunindo todos os dados teóricos

conhecidos e pertinentes a elaboração das ferramentas computacionais. Em um segundo

momento, o conhecimento pesquisado será transferido para a plataforma do Microsoft Excel e

para os códigos de programação do VBA, de modo a criar um método interativo simples e de

fácil operação.

1.1 Objetivos

Elaborar um programa em Excel-VBA capaz de auxiliar no gerenciamento de

reservatórios radiais de gás seco com ou sem influxo de água, através da previsão de reservas e

curvas características de modelos de pressão e influxo pela equação de balanço de materiais.

Ademais, incluir nas opções da ferramenta correlações consagradas na literatura para

determinação de variáveis importantes, como fator de compressibilidade do gás e influxo

acumulado de água, entre outras que mostrarem-se viáveis pertinentes.

1.2 Estrutura do trabalho

O trabalho está estruturado em 4 partes. Na primeira, são apresentados todos os

conceitos, definições, variáveis e fórmulas pertinentes à construção do tema proposto,

distribuídos nos capítulos 2, 3, 4 e 5. Na segunda etapa, capítulo 6, é disposto o passo-a-passo

da elaboração das ferramentas, para que seja possível entender seu desenvolvimento, enquanto

os códigos associados em VBA propriamente ditos estão disponibilizados no Apêndice deste

documento. Posteriormente, no capitulo 7, o software é aplicado a exemplos conhecidos e os

resultados discutidos. Por fim, no capitulo 8, são tomadas as devidas conclusões e feitas

recomendações e sugestões que possam vir a complementar este trabalho no futuro.

2

ENGENHARIA DE RESERVATÓRIOS

Hidrocarbonetos são definidos por uma grande variedade de compostos de carbono e

hidrogênio quimicamente agrupados em série (ROSA, CARVALHO e XAVIER, 2006). Gás

natural, por sua vez, são hidrocarbonetos que, em dada pressão e temperatura, estão no estado

físico gasoso, como indicado na Figura 1. Assim, segundo a geologia do petróleo, reservatórios

de gás são corpos rochosos de subsuperfície que contém porosidade e permeabilidade suficiente

para guardar e transmitir hidrocarbonetos gasosos em quantidade e qualidade significativas em

termos econômicos. Por outro lado, Rosa, Carvalho e Xavier (2006), definem reservatórios de

gás apenas como jazidas de petróleo que contém uma mistura de hidrocarbonetos que se

encontram no estado gasoso nas condições de reservatórios.

Figura 1 – Diagrama de Fases do Petróleo

2.1 Tipos de reservatórios

Em termos de reservatórios de gás, Ahmed (2006) cita quatro classificações distintas

quanto a posição em que estes reservatórios e o separador de produção se encontram no

diagrama de fases, sendo elas:

 Gás seco: acontece quando ambas as temperaturas do reservatório e do separador estão

à direita da curva de pontos de orvalho, como visto na Figura 2. Possui uma razão

gás-óleo (RGO) de produção maior que 100.000 scf/STB;

Figura 2 – Gás Seco

Fonte: ROSA, CARVALHO e XAVIER (2006).

 Gás úmido: acontece quando o par temperatura e pressão do reservatório estão à direita

da curva dos pontos de orvalho, mas no separador estão dentro da região bifásica,

representado na Figura 3. Apresenta uma RGO entre 60.000 e 100.000 scf/STB e o óleo

do tanque de estocagem um grau API acima de 60º.

Figura 3 – Gás Úmido

Fonte: ROSA, CARVALHO e XAVIER (2006).

 Gás-condensado retrógrado: acontece quando a temperatura do reservatório se encontra

entre a temperatura crítica e a cricondenterma, como na Figura 4. Possui uma RGO entre

8.000 e 70.000 scf/STB e densidade do condensado acima de 50º API.

Figura 4 – Gás Retrógrado

 Gás-condensado quase crítico: acontece quando a temperatura do reservatório está

muito próxima da temperatura crítica.

Uma outra classificação simplificada é apresentada por Craft e Hawkins (1959), e

divide os reservatórios como sendo de óleo, gás condensado ou gás seco, dependendo da razão

gás/líquido de produção (RGL):

 Reservatório de óleo: RGL ≤ 900 m³ std/m³ std;

 Reservatório de gás condensado: 900 m³ std/m³ std < RGL < 18.000 m³ std/m³ std;

 Reservatório de gás seco: RGL ≥ 18.000 m³ std/m³ std.

Todavia, existem diversos outros métodos de classificação de um reservatório de gás.

Podemos classificar como, por exemplo, reservatórios convencionais e não convencionais, onde

entre os não convencionais, segundo Ahmed e Meehan (2012), destacam-se os reservatórios

de:

 Tight gas: caracterizados por uma permeabilidade menor que 0,1 md (milidarcy);

 Shallow gas: reservatórios de tight gas localizados em profundidade rasa, de origem

biogênica;

 Hidratos de gás: caracterizados por sua peculiaridade estrutural, que se assemelha ao

gelo ou a neve molhada, mas sem a estrutura sólida usual do gelo. É causado pelas

baixas temperaturas e altas pressões na presença de água e gás;

 Coalbed methane (CBM): caracterizados, como o nome sugere, pela rocha-reservatório

ser composta principalmente por carvão, e sua produção é majoritariamente de metano

(𝐶

), 𝐶

, traços de 𝐶

, 𝑁

e 𝐶𝑂

.

Também existem subclassificações importantes, como quanto ao fluxo nas

proximidades do poço, podendo ser radial, representado na Figura 5, linear, esférico ou

hemisférico. Na verdade, esses são os modelos aproximados utilizados na engenharia, uma vez

que cada reservatório tem uma geometria própria e seria necessária a utilização de simuladores

numéricos com descrições matemáticas rigorosas (AHMED e MEEHAN, 2012). Também

poderíamos classificar quanto a angulação do poço, normalmente vertical ou horizontal.

Entretanto, este trabalho abrangerá apenas reservatórios de gás seco convencionais verticais e

com fluxo radial, uma vez que um escopo maior fugiria da magnitude proposta e esperada desta

obra.

Figura 5 – Fluxo Radial

Fonte: TESTWELLS (adaptado).

2.2 Propriedades

Para gerenciar um reservatório de gás, é necessário ter conhecimento sobre inúmeros

fatores que afetam a produção. Entre estes parâmetros, muitos são relativos às propriedades dos

gases e das rochas, como porosidade (Ф), permeabilidade (k), viscosidade (µ),

compressibilidade do gás (𝑐

), compressibilidade da formação (𝑐

), fator de compressibilidade

do gás (Z), que será fortemente explicado no tópico 2.3, visto sua relevância ao programa

desenvolvido, fator volume formação do gás (𝐵

), fator de película ou skin (S), entre muitos

outros. Dito isto, espera-se do leitor algum conhecimento sobre propriedade dos fluidos e

formação, visto que definir um a um não faz parte do objetivo deste trabalho. Adicionalmente,

também é importante reforçar que as equações neste documento estão apresentadas, em sua

grande maioria, em unidades de campo ou similar. Tabelas de conversão serão dispostas em

Anexo e embutidas no Excel.

Apesar disso, das propriedades anteriores, é importante comentar a compressibilidade

dos fluidos. Em termos de reservatórios, os fluidos podem se comportar como incompressíveis,

poucos compressíveis e compressíveis, sendo este último o caso do gás, dada sua alta expansão

ou retração com a variação da pressão. Esta compressibilidade isotérmica (c), é descrita por

duas formas matemáticas equivalentes, as equações (1) e (2) (AHMED e MEEHAN, 2012):

Em termos de volume:

𝑐 = −

1

𝑉

(

𝜕𝑉

Em termos da massa específica:

𝑐 =

1

𝜌

(

𝜕𝜌

𝜕𝑝

)

(2)

Onde V é o volume do fluido; 𝜌 a massa específica do fluido; p a pressão; e c o coeficiente de

compressibilidade isotérmica.

Assim, os fluidos incompressíveis são aqueles que não variam volume ou densidade

com a mudança da pressão. Logo:

(

𝜕𝑉

𝜕𝑝

)

= 0

(3)

Fluidos pouco compressíveis exibem pouca mudança no volume ou densidade com a

mudança da pressão. Tomando como referência um volume 𝑉

de um fluido líquido pouco

compressível em uma pressão de referência 𝑝

, as mudanças no comportamento volumétrico

são descritas como uma função da pressão p, como sugere a equação (4).

𝑉 = 𝑉

[1 + 𝑐(𝑝

− 𝑝)]

(4)

Onde T = constante, p é a pressão em psi absoluto (psia); V o volume na pressão p, em ft³; 𝑝

a pressão inicial de referência, em psia; e

𝑉

o volume do fluido na pressão inicial de

referência, em ft³.

E por último, e mais importante, dada sua pertinência ao trabalho em questão, os fluidos

compressíveis são aqueles que sofrem grandes variações no volume como uma função da

pressão. Todos os sistemas envolvendo gás são considerados fluidos compressíveis. Sua

fórmula matemática passa a ser descrita pela equação (5):

𝑐

=

1

𝑝

−

1

𝑍

(

𝜕𝑍

𝜕𝑝

)

(5)

Onde 𝑐

é a compressibilidade do gás, que é uma função da pressão e da compressibilidade do

gás, que por sua e função da temperatura reduzida e pressão reduzida. Ou seja, 𝑐

(𝑝, 𝑇

, 𝑃

).

As Figuras 6 e 7 mostram as variações de volume e massa específica em função da

pressão para os três tipos de fluidos citados, onde a temperatura (T) é constante em todos os

casos, não expressos diretamente nas fórmulas presentes.

Figura 6 – Relação Pressão-Volume

Fonte: AHMED e MEEHAN (2012, adaptado).

Figura 7 – Massa Específica vs. Pressão para diferentes tipos de fluido

Fonte: AHMED e MEEHAN (2012, adaptado).

2.2.1 Propriedades críticas

Segundo McCain (1999), diferentemente dos componentes puros, que possuem

propriedades críticas bem definidas, as propriedades pseudocríticas das misturas gasosas não

representam suas verdadeiras propriedades críticas, mas sim uma invenção a ser usada como

parâmetros de correlação para gerar propriedades físicas do gás, devido a grande dificuldade

envolvida na obtenção das propriedades críticas reais. Desta maneira, seguindo a regra de

misturar linear, que nada mais é que uma média ponderada das frações molares de cada

componente puro e suas propriedades críticas, as propriedades pseudocríticas de uma mistura

bem definida pode ser expressa pelas equações (6), para temperatura, e (7), para pressão.

𝑇

= ∑ 𝑦

𝑇

(6)

𝑃

= ∑ 𝑦

𝑃

(7)

Onde

𝑦

é a fração molar de cada componente na mistura, 𝑃

e 𝑇

a pressão e temperatura

críticas de cada componente e, 𝑇

e 𝑃

as propriedades críticas, ou pseudocríticas, globais da

mistura.

2.2.1.1 Correlação de Brown et al.

Uma maneira de determinar as propriedades críticas do gás natural apenas com o valor

de sua densidade é através das equações de Standing (1977), que são ajustes do gráfico

construído por Brown et al (1948). Para gás seco, as equações (8) e (9) resumem o cálculo e,

para gás úmido, a forma das equações (10) e (11) é adotada.

𝑇

= 168 + 325𝛾

− 12,5𝛾

(8)

𝑃

= 667 + 15𝛾

− 37,5𝛾

(9)

𝑇

= 187 + 330𝛾

− 71,5𝛾

(10)

𝑃

= 706 − 51,7𝛾

− 11,1𝛾

(11)

Onde 𝛾

é a densidade do gás, 𝑃

a pressão pseudocrítica e 𝑇

a temperatura pseudocrítica.

Por simplificação, as pressões e temperaturas pseudocríticas serão referenciadas apenas como

críticas no decorrer do trabalho.

A densidade de referência adotada e modelada no desenvolvimento deste trabalho foi

de úmido para igual ou maior que 0,75, e seco para menor, uma vez que não há um consenso

explícito na literatura.

2.2.1.2 Efeito de “contaminantes” (Wichert-Aziz)

Quando há contaminantes na mistura de gás natural, como o gás carbônico (𝐶𝑂

) e/ou

o sulfeto de hidrogênio (𝐻

𝑆), isto tem uma influência na temperatura e pressão pseudocrítica

da mistura, e é necessário que seja implementada uma correção. Neste trabalho, esta correção

é modelada pela correlação de Wichert e Aziz (1972), que age em cima dos resultados obtidos

com Brown et al., e utiliza as frações molares de 𝐶𝑂

e 𝐻

𝑆 na mistura, como indicam as

equações (12), (13) e (14).

𝐴

= 𝑦

+ 𝑦

𝐵

= 𝑦

𝜀 = 120(𝐴

− 𝐴

) + 15(𝐵

− 𝐵

)

(12)

𝑇

= 𝑇

− 𝜀

(13)

𝑃

=

𝑃

𝑇

𝑇

+ 𝐵

(1 − 𝐵

)𝜀

(14)

Em que

𝑦 é a fração molar de seus respectivos componentes e 𝑇

_{e 𝑃}

𝐶′

correspondem às

propriedades corrigidas.

2.2.2 Fator de compressibilidade do gás (Z)

O fator de compressibilidade do gás é uma variável de extrema importância em

reservatórios de gás. É através dele que será possível definir a quantidade de reserva e entender

a economicidade do prospecto.

Muitas correlações foram elaboradas ao longo dos anos para tentar descobrir este fator.

Por vezes modelo como gás ideal, em que Z é igual a 1, como em casos de pressões próximas

à atmosférica, isto não é possível na engenharia de reservatórios, uma vez que o gás está sob

ação de pressões altas, e discorremos sobre o quão compressível é o gás anteriormente. A seguir,

serão apresentados quatro correlações famosas na literatura para tentar encontrar o fator de

compressibilidade do gás real, que utilizam as pressões e temperaturas reduzidas em sua

modelagem e estarão disponíveis para uso no Excel.

2.2.2.1 Método de Papay

A mais simples das correlações a serem mostradas, assim como a que apresenta um

percentual de erro mais elevado, de 4,8%, o método de Papay (1985) é recomendado para as

faixas 1,2 ≤ 𝑇

≤ 3,0 𝑒 0,2 ≤ 𝑃

≤ 15,0, e está expresso na equação (16).

𝑍 = 1 −

3,53𝑃

10

+

0,274𝑃

10

(15)

Onde 𝑃

é a pressão pseudorreduzida e 𝑇

a temperatura pseudorreduzida.

2.2.2.2 Método de Hall e Yarborough

Hall e Yarborough (1973) propuseram uma solução ajustando dados retirados do gráfico

da Figura 8, produzido por Standing e Katz (1942). A equação (16) oferece a resposta para Z,

enquanto a equação (17) oferece uma expressão não linear para a densidade reduzida (Y), que

precisa de uma estimativa inicial e um método iterativo para ser resolvida.

𝑍 = [

0,06125𝑡𝑃

𝑌

] 𝑒𝑥𝑝[−1,2(1 − 𝑡)

2

_]

₍₁₆₎

Onde t é inverso da temperatura reduzida (𝑡

_{= 1 𝑇}

⁄ ).

𝐹(𝑌) = 𝑋

+

𝑌 + 𝑌

_{+ 𝑌}

_{− 𝑌}

(1 − 𝑌)

− 𝑋

𝑌

_{+ 𝑋}

𝑌

= 0

(17)

𝑋

= −0,06125𝑡𝑃

𝑒𝑥𝑝[−1,2(1 − 𝑡)

]

𝑋

= 14,76𝑡 − 9,76𝑡

_{+ 4,58𝑡}

𝑋

= 90,7𝑡 − 242,2𝑡

+ 42,4𝑡

𝑋

= 2,18 + 2,82𝑡

A utilização do método, afim de conter o erro percentual médio em 0,518%, é

recomendada nas faixas de 1,2 ≤ 𝑇

≤ 3,0 𝑒 0,1 ≤ 𝑃

≤ 24,0.

Figura 8 – Fator de Compressibilidade Z para Gases Naturais

2.2.2.3 Método de Dranchuk e Abou-Kassem

A correlação de Dranchuk e Abou-Kassem (1975) também faz uso da densidade

reduzida (𝜌

), expressa pela equação (18):

𝑍 =

0,27𝑃

𝜌

𝑇

(18)

A densidade reduzida pode ser encontrada como solução da função (19), utilizando uma

estimativa inicial e um método iterativo. As 11 constantes que a função faz uso estão dispostas

na Tabela 1.

𝑓(𝜌

) = 𝑅

𝜌

−

𝑅

𝜌

+ 𝑅

𝜌

_{− 𝑅}

𝜌

+ 𝑅

(1 + 𝐴

𝜌

)𝜌

𝑒𝑥𝑝[−𝐴

𝜌

] + 1 = 0

(19)

𝑅

= 𝐴

+

𝐴

𝑇

+

𝐴

𝑇

+

𝐴

𝑇

+

𝐴

𝑇

𝑅

=

0,27𝑃

𝑇

𝑅

= 𝐴

+

𝐴

𝑇

+

𝐴

𝑇

𝑅

= 𝐴

[

𝐴

𝑇

+

𝐴

𝑇

]

𝑅

=

𝐴

𝑇

Tabela 1 – Constantes de Dranchuk e Abou-Kassem

Constante

Valor

Constante

Valor

𝐴

0,3265

𝐴

-0,7361

𝐴

-1,0700

𝐴

0,1844

𝐴

-0,5339

𝐴

0,1056

𝐴

0,01569

𝐴

0,6134

𝐴

-0,05165

𝐴

0,7210

𝐴

0,5475

Fonte: AHMED (2007, adaptado).

A utilização do método também é indicada para a faixa de 1,2 ≤ 𝑇

≤ 3,0 𝑒 0,1 ≤

𝑃

≤ 24,0, com erro médio de 0,518%.

2.2.2.4 Método de Brill e Beggs

Brill e Beggs (1974) chegaram na equação (20) para encontrar o fator de

compressibilidade do gás, que só é válida no intervalo 1,2 ≤ 𝑇

≤ 2,4. Na faixa de aplicação,

o erro médio máximo é de 0,20%.

𝑍 = 𝐴

+

1 − 𝐴

exp (𝐵)

+ 𝐶𝑃

₍₂₀₎

𝐴

= 1,39(𝑇

− 0,92)

− 0,36𝑇

− 0,101

𝐵 = (0,62 − 0,23𝑇

)𝑃

+ (

0,066

𝑇

− 0,86

− 0,037) 𝑃

+

0,32

10

𝑃

𝐶 = 0,132 − 0,32𝑙𝑜𝑔

𝑇

𝐷 = 10

3

FLUXOS DE GASES EM MEIOS POROSOS

Existem basicamente três tipos de regimes de fluxo que precisam ser reconhecidos

para descrever o comportamento dos fluxos de fluidos de um reservatório (AHMED e

MEEHAN, 2012). São eles:

a) Regime estacionário ou permanente:

O regime de fluxo é permanente quando a pressão em todos os pontos do

reservatório permanece constante, sem qualquer mudança. Matematicamente, essa condição

é descrita por:

(

𝜕𝑝

𝜕𝑡

)

= 0

(21)

Ou seja, a pressão (p) não muda conforme o tempo (t) passa, em nenhum lugar (i) do

reservatório. Isso só ocorre quando o reservatório é completamente recarregado por um

aquífero muito forte ou por alguma outra operação de manutenção de pressão.

b) Regime pseudoestacionário ou pseudopermanente:

Este regime é caracterizado por um declínio linear da pressão em função do

tempo em diferentes locais do reservatório. Matematicamente, é descrito por:

(

𝜕𝑝

𝜕𝑡

)

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

(22)

c) Regime transiente

Uma característica atribuída a este regime é que as bordas do reservatório ainda

não sentiram os efeitos do escoamento, e ainda estão na pressão original. É definido pela

variação de pressão causada pelo fluxo de fluidos em relação ao tempo em qualquer posição

do reservatório não ser constante nem zero. Sendo assim, o diferencial da pressão em

relação ao tempo é essencialmente uma função do tempo e da posição:

𝜕𝑝

3.1 Equação da difusividade hidráulica para gases

Rosa, Carvalho e Xavier (2006) admitem as seguintes hipóteses na formulação da

equação da difusividade hidráulica de gases:

 Meio poroso homogêneo e isotrópico;

 Fluxo estritamente horizontal e isotérmico;

 Poço penetrando totalmente a formação;

 Permeabilidade constante;

 Pequenos gradientes de pressão;

 Rocha com compressibilidade pequena e constante;

 Forças gravitacionais desprezíveis;

 Fluidos e rochas não reagentes entre si.

Uma importante equação que faz parte do desenvolvimento da equação da difusividade

hidráulica para meios porosos é a equação da continuidade, que nada mais é que um balanço de

massa que pode ser resumido com as seguintes palavras: “A diferença entre a massa que entra

e a massa que sai nas três direções de fluxo é igual à variação da massa dentro do meio poroso”.

A equação (24) expressa sua forma matemática em coordenadas cartesianas, e a equação (25)

em coordenadas cilíndricas (MATTHEWS e RUSSEL, 1967).

𝜕

𝜕𝑥

(𝑣

𝜌) +

𝜕

𝜕𝑦

(𝑣

𝜌) +

𝜕

𝜕𝑧

(𝑣

𝜌) = −

𝜕

𝜕𝑡

(Ф𝜌)

(24)

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟

(𝜌𝑟𝑣

) = −

𝜕

𝜕𝑡

(Ф𝜌)

(25)

Onde 𝑣

é a velocidade aparente de fluxo na direção radial.

E a equação da difusividade hidráulica para gases reais:

𝜕²𝑚(𝑝)

𝜕𝑥²

+

𝜕²𝑚(𝑝)

𝜕𝑦²

+

𝜕²𝑚(𝑝)

𝜕𝑧²

=

Ф𝜇𝑐

𝑘

𝜕𝑚(𝑝)

𝜕𝑡

(26)

E, em coordenada radiais:

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟

[𝑟

𝜕𝑚(𝑝)

𝜕𝑟

] =

Ф𝜇𝑐

𝑘

𝜕𝑚(𝑝)

𝜕𝑡

(27)

Onde 𝑚(𝑝) é a pseudopressão do gás real, definida por:

𝑚(𝑝) = 𝜓 = ∫ (

2𝑝

µ

𝑍

) 𝑑𝑝

(28)

3.2 Lei de Darcy

A lei de Darcy, equação fundamental do escoamento de fluidos em meios porosos

(AHMED e MEEHAN, 2012), possui diversas formas, a depender das características do fluxo

ou sistema de unidades utilizado. Em sua forma original, ela é dada pela equação (29):

𝑣 =

𝑞

𝐴

= −

𝑘

µ

𝑑𝑝

𝑑𝑥

(29)

Onde v é a velocidade aparente do fluido, em centímetros por segundo (cm/s); q é a vazão

volumétrica, cm³/s; k é a permeabilidade, em Darcy; µ é a viscosidade, em centipoise (cp); e 𝐴

é a área transversal da rocha, cm².

Todavia, o foco deste trabalho são reservatórios radiais de gás. Desse modo, quando

aplicado para fluxo radial de fluidos compressíveis, a equação se torna:

 Regime Permanente

𝑞

=

0,001127(2𝜋𝑟ℎ)𝑘

µ

𝑑𝑝

𝑑𝑟

(30)

Onde 𝑞

é a vazão de gás no raio r nas condições de reservatório, em bbl/d; r é a distância

radial, em ft; h é a espessura da formação, em ft; µ

é a viscosidade do gás, em cp; p é a

pressão, em psi; e 0,001127 é o fator de conversão para as unidades de campo.

Tradicionalmente, a vazão do gás é expressa em pé cúbico padrão por dia (scf/d).

Definindo 𝑄

como a vazão em superfície e aplicando a definição do fator volume formação

de gás 𝐵

para 𝑞

:

𝑄

=

𝑞

𝐵

(31)

Onde

𝐵

=

𝑝

5,615𝑇

𝑍𝑇

𝑝

𝑏𝑏𝑙

𝑠𝑐𝑓

₍₃₂₎

E 𝑝

é a pressão padrão, em psia; 𝑇

é a temperatura padrão, R; 𝑄

é a vazão de gás, scf/d;

𝑞

é a vazão de gás no raio r, bbl/d; p é a pressão no raio r, psia; T é a temperatura do

reservatório, R; e Z é o fator de compressibilidade do gás a p e T.

Realizando todas as transformações necessárias, podemos definir a vazão de produção

em condições de superfície como:

𝑄

=

𝑘ℎ(𝜓

− 𝜓

)

1422𝑇𝑙𝑛(

_𝑟

𝑟

𝑤

)

(33)

Onde

𝜓

é a pseudopressão do gás real avaliada de 0 a pressão externa (𝑝

); 𝜓

é a

pseudopressão do gás real avaliada de 0 a pressão do poço (𝑝

); k é a permeabilidade, em md;

h a espessura da formação, em ft; 𝑟

é o raio de drenagem, ft; 𝑟

é o raio do poço, ft; e 𝑄

é a

vazão de gás, em Mscf/d.

 Regime Pseudopermanente

Para o regime pseudopermanente de fluidos compressíveis, a equação da difusividade

hidráulica assume a forma:

𝜕𝑚(𝑝)

𝜕𝑡

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.

(34)

E aplicando as transformações e utilizando as mesmas unidades do regime permanente,

torna-se:

𝑄

=

𝑘ℎ(𝑚(𝑝̅

) − 𝑚(𝑝

))

1422𝑇 [𝑙𝑛 (

_𝑟

𝑟

𝑤

) − 0,75]

(35)

Para resolver essa equação, normalmente duas aproximações são usadas com

regularidade:

o Método aproximado da pressão quadrada, que oferece uma solução exata

compatível para quando a pressão for menor que 2000 psi, e segue a fórmula

(36).

𝑄

=

𝑘ℎ (𝑝̅

− 𝑝

)

1422𝑇µ̅𝑍̅ [𝑙𝑛 (

_𝑟

𝑟

) − 0,75]

(36)

Onde µ̅ 𝑒 𝑍̅ são avaliados em:

𝑝̅ = √

𝑝̅

_{+ 𝑝}

𝑤𝑓2

2

(37)

o Método aproximado da pressão, que é aplicável para pressão maiores de 3000

psi, e assume a forma matemática da equação (38).

𝑄

=

𝑘ℎ(𝑝̅

− 𝑝

)

1422𝑇µ̅𝐵̅

[𝑙𝑛 (

𝑟

𝑟

) − 0,75]

(38)

Onde as propriedades do gás são avaliadas em:

𝑝̅ =

𝑝̿

+ 𝑝

2

(39)

E 𝐵̅

, dado em bbl/scf, definido por:

 Regime Transiente

Neste caso, a equação da difusividade hidráulica assume a forma:

𝜕

𝑚(𝑝)

𝜕𝑟²

+

1

𝑟

𝜕𝑚(𝑝)

𝜕𝑟

=

Фµ𝑐

0,000264𝑘

𝜕𝑚(𝑝)

𝜕𝑡

(41)

Onde

𝑐

é a soma da compressibilidade do gás (𝑐

) com a compressibilidade da

formação (𝑐

).

Para resolver a equação (41), três métodos podem ser aplicados:

1. Método m(p), que oferece uma solução exata

2. Método aproximado da pressão quadrada, como utilizado no regime

pseudopermanente

3. Método aproximado da pressão, também utilizado no regime pseudopermanente

o Método m(p)

Apresenta a seguinte formulação final:

𝑚(𝑝

) = 𝑚(𝑝

) − (

1637𝑄𝑔𝑇

𝑘ℎ

) [𝑙𝑜𝑔 (

𝛾

)]

(42)

Onde 𝑡

é o tempo adimensional, dado por:

𝑡

=

0,0002637𝑘𝑡

Фµ

𝑐

𝑟

(43)

𝛾 é a constante de Euler, dada por:

𝛾 = 𝑒

_{= 1,781}

₍₄₄₎

𝑝

= pressão de fundo do poço, psi

𝑝

= pressão inicial do reservatório, psi

𝑄

= vazão do gás, Mscf/d

k = permeabilidade, md

T = temperatura do reservatório, R

𝑟

= raio do poço, ft

h = espessura do reservatório, ft

µ

= viscosidade do gás na pressão inicial, cp

𝑐

= compressibilidade total na pressão inicial, 𝑝𝑠𝑖

Ф = porosidade

o Método aproximado da pressão quadrada

Após as devidas transformações, pode ser expressa como na equação (45).

𝑝

= 𝑝

− (

1637𝑄

𝑇µ̅𝑍̅

𝑘ℎ

) [𝑙𝑜𝑔 (

4𝑡

𝛾

)]

(45)

É válido acrescentar que a expressão a cima assume que o produto (µZ) é constante na

pressão média 𝑝̅, o que limita a aplicabilidade do método 𝑝

para reservatórios com pressão

inferior a 2000 psi.

o Método aproximado da pressão

𝑝

= 𝑝

− (

(162,5𝑥10

_)𝑄

µ̅𝐵̅

𝑘ℎ

) [𝑙𝑜𝑔 (

4𝑡

𝛾

)]

(46)

4

INFLUXO DE ÁGUA

Quase todos os reservatórios de hidrocarbonetos no mundo estão cercados por rochas

contendo água, os chamados aquíferos (AHMED, 2006). Os aquíferos causam grande diferença

na produção de petróleo, e existem inúmeros modelos matemáticos que procuram fazer o

cálculo do seu impacto na pressão do reservatório, e alguns serão descritos em breve. As

equações descritas neste capítulo estão no sistema internacional, para mais simples

compreensão. Tabelas com conversão de sistemas e unidades estão no Anexo A deste trabalho.

Ahmed (2006) oferece várias classificações distintas para os aquíferos:

 Pelo grau de manutenção da pressão

a. Fluxo ativo de água

b. Fluxo parcial de água

c. Fluxo limitado de água

 Pelo regime de fluxo

a. Regime Permanente

b. Regime Pseudopermanente

c. Regime Transiente

 Pela geometria de fluxo, como demonstrado na Figura 9

a. Influxo de água pelos cantos

b. Influxo de água por baixo

c. Influxo linear de água

 Pela Condição de borda

a. Aquífero infinito

b. Aquífero finito

Figura 9 – Geometria de Fluxo

Fonte: AHMED, 2006 (adaptado).

Segundo Rosa, Carvalho e Xavier (2006), define-se influxo de água, 𝑊

, como sendo

o volume acumulado de água fornecido pelo aquífero ao reservatório, através do contato

reservatório-aquífero, até determinado tempo. Além disso, apresenta um modelo simplificado,

tratado por Ahmed (2006) e Ahmed; Meehan (2012) como Pot Aquifer, em que o aquífero é

pequeno, na mesma escala de grandeza do reservatório, sendo descrito pela equação (47):

𝑊

= 𝑐

𝑊

(𝑝

− 𝑝)

(47)

Onde 𝑐

é a compressibilidade total do aquífero, 𝑊

o volume inicial de água no aquífero, 𝑝

a

pressão inicial e p a pressão no contato.

Entretanto, como normalmente os aquíferos são imensos em relação ao reservatório,

outros modelos dependentes do tempo são necessários para um cálculo mais preciso. Os

modelos abordados serão:

1) Van Everdingen & Hurst

2) Carter-Tracy

4.1 Van Everdingen & Hurst

As formulações matemáticas que descrevem o fluxo do aquífero para os reservatórios

cilíndricos são as mesmas que descrevem o fluxo do reservatório para os poços (AHMED e

MEEHAN, 2012), como esquematizado na Figura 10.

Figura 10 – Influxo de Água em Reservatórios Cilíndricos

Fonte: AHMED; MEEHAN, 2012 (adaptado).

No caso dos aquíferos, entretanto, como não se tem controle sobre a vazão no contato

reservatório-aquífero, a equação diferencial que rege o fluxo no aquífero é resolvida

considerando-se que a pressão no contato se mantém constante (ROSA, CARVALHO e

XAVIER, 2006).

Van Everdingen & Hurst (1949) apresentam soluções para aquíferos radiais e lineares,

dos quais trataremos apenas dos radiais. Para isso, são definidas algumas variáveis

adimensionais, utilizadas no modelo:

Raio adimensional:

𝑟

=

𝑟

𝑟

(48)

Tempo adimensional:

𝑡

=

𝑘𝑡

Ф𝜇𝑐

𝑟

(49)

Pressão adimensional:

𝑝

=

𝑝

− 𝑝

𝑝

− 𝑝

=

𝑝

− 𝑝

∆𝑝

(50)

Onde ∆𝑝

= 𝑝

− 𝑝

é a queda de pressão constante no contato.

Assim, o influxo acumulado de água é definido por:

𝑊

= 𝑈∆𝑝

𝑊

(𝑡

)

(51)

Onde 𝑊

(𝑡

) é o influxo adimensional, dependente do tempo, e

𝑈 = 2𝜋𝑓Ф𝑐

ℎ𝑟

₍₅₂₎

Sendo 𝑓 = 𝜃/2𝜋, 𝜃 em radianos.

O influxo adimensional (𝑊

) pode ser encontrado com as tabelas no Anexo B desta

obra, ou com a Figura 11, para os três diferentes tipos de aquíferos: infinito, selado e

realimentado (finito com pressão constante no limite externo).

4.1.1 Superposição de efeitos

A equação (51) pressupõe que a pressão no contato é constante, e só é aplicável quando

∆𝑝

é constante (ROSA, CARVALHO e XAVIER, 2006). Levando em consideração a queda

da pressão no contato, uma vez que há depleção, há a superposição de efeitos, e a discretização

da queda da pressão média com o tempo, a equação torna-se:

𝑊

(𝑡

) = 𝑈 ∑ (

𝑝

− 𝑝

2

)

𝑛−1

𝑗=0

Figura 11 – Influxo Acumulado Adimensional

Figura 11.a Figura 11.b

Figura 11.c _{Figura 11.d}

4.2 Carter-Tracy

O modelo de Carter-Tracy (1960) é aplicável a qualquer geometria de fluxo, desde que

se conheça a solução para a pressão adimensional em função do tempo para a geometria do

aquífero em questão, abrangendo uma gama maior de casos em que pode ser usado (ROSA,

CARVALHO e XAVIER, 2006). Diferentemente do modelo de Van Everdingen e Hurst, que

oferece uma resposta exata para equação da difusividade, Carter-Tracy não requer a aplicação

do princípio da superposição de efeitos no desenvolvimento, fator que torna o cálculo complexo

e robusto, enquanto mantém uma ótima aproximação e, quando o intervalo entre as medidas é

pequeno, até 1 mês, a aproximação é muito boa e não possui uma diferença significativa

(AHMED e MEEHAN, 2012).

Sua formulação matemática final é descrita por:

𝑊

(𝑡

) = 𝑊

(𝑡

) +

𝑈∆𝑝(𝑡

) − 𝑊

(𝑡

)𝑝

(𝑡

)

𝑝

(𝑡

) − 𝑡

𝑝

𝐷

(𝑡

)

(𝑡

− 𝑡

)

(54)

Onde 𝑝

(𝑡

) é a derivada da pressão adimensional discretizada no tempo adimensional j.

Como a equação para pressão adimensional irá variar com a geometria, poucos casos

possuem uma formulação definida. A equação (55) exemplifica uma boa aproximação para a

pressão adimensional de um aquífero radial infinito.

𝑝

(𝑡

) =

1

2

[𝑙𝑛(𝑡

) + 0,80907]

(55)

4.3 Modelo aproximado de Fetkovich

Usado para aquíferos finitos em regime pseudopermanente ou permanente, o modelo

de Fetkovich (1971) é bem simples de ser aplicado quando comparado ao de Van Everdingen

e Hurst. Assim como o modelo de Carter-Tracey, não requer a superposição de efeitos, e foi

desenvolvido para fluxos lineares e radiais.

Fetkovich define

𝐽 como o índice de produtividade do aquífero, 𝑝̅

como a pressão

média do aquífero e 𝑝 como a pressão no contato reservatório-aquífero (ROSA, CARVALHO

e XAVIER, 2006).

A equação final do modelo, que considera pressão constante no contato

reservatório-aquífero, se resume a:

𝑊

=

𝑊

𝑝

(𝑝

− 𝑝) [1 − 𝑒𝑥𝑝 (−

𝐽𝑝

𝑊

𝑡)]

(56)

Onde

𝑊

é o influxo máximo que o aquífero pode fornecer, explícito na equação (57),

correspondendo a expansão total da água ao ser despressurizada da pressão inicial (𝑝

) para

pressão zero.

𝑊

= 𝑐

𝑊

𝑝

(57)

Onde 𝑊

é o volume inicial de água.

Quando se considera variação da pressão no contato, o modelo sofre mudanças, e a

equação fica em função da variação do influxo nos dados intervalos:

∆𝑊

=

𝑊

𝑝

(𝑝̅

− 𝑝̅

) [1 − 𝑒𝑥𝑝 (−

𝐽𝑝

𝑊

∆𝑡

)]

(58)

Onde n é o intervalo de referência,

𝑝̅

= 𝑝

(1 −

𝑊

𝑊

)

(59)

E

𝑝̅

=

𝑝

− 𝑝

2

(60)

Apesar de voltado para aquíferos radiais e lineares, Fetkovich também possui uma

equação dependente do Fator de forma Ditzer para outras geometrias, mas que foge do escopo

desta obra.

Os índices de produtividade (𝐽) para aquíferos radiais e lineares estão explícitos na

tabela 2.

Tabela 2 – Índice de Produtividade do Aquífero para os Fluxos Radial e Linear

Condição de fluxo

Aquífero radial

Aquífero linear

Pseudopermanente

𝐽 =

2𝜋𝑓𝑘ℎ

𝜇 [

𝑟

𝑟

_{− 1}

𝑙𝑛 (

𝑟

𝑟

) −

3𝑟

− 4𝑟

𝑙𝑛𝑟

− 2𝑟

_{− 1}

4(𝑟

_{− 1)}

]

𝐽 =

3𝑘ℎ𝑤

𝜇𝐿

Permanente

𝐽 =

2𝜋𝑓𝑘ℎ

𝜇 𝑙𝑛 (

𝑟

_𝑟

)

𝐽 =

3𝑘ℎ𝑤

𝜇𝐿

Fonte: ROSA, CARVALHO e XAVIER (2006).

Quando o raio do aquífero for muito maior que o raio do reservatório, o índice de

produtividade para fluxo radial pseudopermanente, mostrado na tabela 2, pode ser simplificado

para:

𝐽 =

2𝜋𝑓𝑘ℎ

𝜇 [𝑙𝑛 (

𝑟

_𝑟

) −

3

4

]

(61)

5

GERENCIAMENTO DE RESERVATÓRIOS DE GÁS

Existem inúmeros métodos de gerenciamento de reservatórios de gás para as diversas

classificações existentes. Costuma-se separar, ao menos, em poços verticais e horizontais, e em

campos convencionais e não convencionais de gás (AHMED e MEEHAN, 2012). Entretanto,

como citado no capítulo 2, este trabalho abordará apenas poços verticais de reservatórios

convencionais, com e sem influxo de água. É interessante comentar que, no caso de

reservatórios volumétricos de gás, ou seja, aqueles que produzem apenas por depleção e

expansão do gás, o fator de recuperação (FR), que é o valor percentual do quanto se consegue

produzir do gás total original na formação, chega a atingir 90%, enquanto reservatórios sob

influxo de água tem a tendência de ter um FR entre 50% e 70%. Todavia, de acordo com

Ezekwe (2011), reservatórios verdadeiramente volumétricos são raros, pois uma das condições

é que a saturação de água inicial não se altere durante a vida produtiva das jazidas, e é comum

que fluidos, especialmente água, de camadas de folhelhos ou aquíferos vizinhos migre para o

reservatórios. Contudo, se o influxo de fluidos for relativamente pequeno, assumir um

comportamente volumétrico é considerado viável e aplicável.

5.1 Balanço de materiais em reservatórios de gás

Rosa, Carvalho e Xavier (2006) postulam como principais utilizações práticas da

equação de balaço de materiais (EBM) em reservatórios de gás a determinação do volume

original de gás (G), a determinação do influxo de água proveniente de aquíferos (𝑊

) e a

previsão do comportamento do reservatório.

Uma variável importante para o balanço de materiais em reservatórios de gás é o fator

volume formação de gás (𝐵

), ou seu inverso, 𝐸

=

1

𝐵𝑔

, denominado fator de expansão do gás.

Dependendo das unidades a serem usadas, podem apresentar formas variadas, como nas

equações (62) e (63) (AHMED e MEEHAN, 2012):

𝐸

=

𝑇

𝑝

𝑝

𝑍𝑇

= 198,6

𝑝

𝑍𝑇

𝑠𝑐𝑓 𝑏𝑏𝑙

⁄

= 35.37

𝑝

𝑍𝑇

𝑠𝑐𝑓 𝑓𝑡³

⁄

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