Faculdade de Inform´atica e Tecnologia de Pernambuco
Primeira lista de exerc´ıcios de ´Algebra Aplicada `a Computa¸c˜ao Prof. Diego Machado Dias
Instru¸c˜oes
1. No in´ıcio de cada se¸c˜ao da lista h´a uma sugest˜ao de livro em que o as-sunto necess´ario para resolu¸c˜ao das quest˜oes da se¸c˜ao pode ser encontrado. Recomenda-se que o aluno leia a bibliografia sugeridae que n˜ao estude uni-camente atrav´es das notas de aula.
2. Tente resolver a lista de exerc´ıcios individualmente. Se vocˆe tiver dificul-dade, junte-se com algum colega de classe para discutir as quest˜oes. 3. A prova ter´a n´ıvel de dificuldade equivalente ao da lista e o tempo
esti-mado para resolver a prova leva em considera¸c˜ao que o aluno j´a conhece o formato das quest˜oes. Fa¸ca esta lista com dedica¸c˜ao, pois ela vai ajud´a-lo na prova.
L´ogica Formal
Sugest˜ao de bibliografia:
Fundamentos Matem´aticos para a Ciˆencia da Computa¸c˜ao, Judith L Gersting. 3a. Edi¸c˜ao. Cap´ıtulo 1.
Quest˜ao 1:
Quais das frases a seguir s˜ao senten¸cas? a) A lua ´e feita de queijo verde.
b) Ele ´e um homem alto. c) Dois ´e um n´umero primo d) O jogo terminar´a logo?
e) As taxas do ano que vem ser˜ao maiores. f) As taxas do ano que vem ser˜ao menores. Quest˜ao 2:
Indique o antecedente e o consequente de cada uma das seguintes senten¸cas: a) O crescimento sadio das plantas ´e consequˆencia de quantidade suficiente de ´
agua.
b) O crescimento da oferta de computadores ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para o desenvolvimento cient´ıfico.
c) Haver´a novos erros apenas se o programa for alterado.
d) A economia de combust´ıvel implica um bom isolamento, ou todas as janelas s˜ao janelas para tempestades.
Quest˜ao 3:
Construa as tabelas-verdade para as seguintes wffs (well formed formulas). In-dique as tautologias e as contradi¸c˜oes.
a) (A → B) ↔ ¬A ∨ B
b) (A ∧ B) ∨ C → A ∧ (B ∨ C) c) A ∧ ¬(¬A ∨ ¬B)
d) A → (B → A) Quest˜ao 4:
Toda wff ´e equivalente a uma senten¸ca que use apenas os conectivos da con-jun¸c˜ao e nega¸c˜ao. Para garantirmos isto devemos achar wffs equivalentes para A ∨ B e A → B que usem apenas ∧ e ¬. Estas novas wffs poder˜ao substituir, respectivamente, quaisquer ocorrˆencias de A ∨ B e A → B. (O conectivo ↔ j´a foi definido em termos dos outros conectivos, portanto j´a sabemos que pode ser substitu´ıdo em uma wff ).
a. Mostre que A ∨ B ´e equivalente a ¬(¬A ∧ ¬B). b. Mostre que A → B ´e equivalente a ¬(A ∧ ¬B). Quest˜ao 5:
Com o uso dos s´ımbolos predicados mostrados a seguir e os quantificadores apro-priados, escreva cada senten¸ca na l´ıngua portuguesa como uma wff predicativa. (O dom´ınio ´e todo o mundo.)
S ´e “segunda-feira.” S(x) ´e “x ´e ensolarado.” T ´e “ter¸ca-feira.” R(x) ´e “x ´e chuvoso.”
a) Todos os dias s˜ao ensolarados. b) Alguns dias n˜ao s˜ao chuvosos.
c) Todo dia que ´e ensolarado n˜ao ´e chuvoso. d) Alguns dias so ensolarados e chuvosos. e) Nenhum dia ´e ensolarado e chuvoso.
f) Sempre ´e dia ensolarado se, e somente se, um dia chuvoso. g) Nenhum dia ´e ensolarado.
h) Segunda-feira foi ensolarada, portanto todo dia ser´a ensolarado. i) Tanto segunda-feira quanto ter¸ca-feira foram chuvosos.
j) Se algum dia for chuvoso, ent˜ao todos os dias ser˜ao ensolarados. Quest˜ao 6:
Prove usando equivalˆencia l´ogica que as seguintes equa¸c˜oes s˜ao tautologia. a) ¬(a ∧ b) ↔ (¬a ∨ ¬b)
b) ((p ∨ q) ∧ (∧p ∨ r)) → (q ∨ r) Quest˜ao 7:
Prove usando equivalˆencia l´ogica
a) ¬(p ∨ (p ∧ r)) ∨ (¬(q ∨ ¬r)) ≡ (p → ¬q) ∧ (p → r)
b) ∀x∃y(P (x, y) → (Q(x, y) → ¬R(x, y))) ≡ ¬∃x∀y(P (x, y)∧(Q(x, y)∧R(x, y))) Quest˜ao 8: Prove a) (p ∧ q) → (r ∧ s), ¬¬p, q ` s b) (p ∧ q) ∧ r ` p ∧ (q ∧ r) c) q → r ` (p → q) → (p → r) d) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p → s, q → s, p → t, r → t ` s ∧ t Quest˜ao 9: Sejam p = eu tomo a vacina H1N1 q = eu passo mal r = eu morro s = eu assisto `a aula
Se eu tomo a vacina H1N1, ent˜ao eu passo mal e n˜ao morro. Se eu n˜ao tomo a vacina H1N1, ent˜ao eu morro ou n˜ao passo mal (ou ambos). Se eu passo mal, ent˜ao eu n˜ao assisto `a aula. Eu assisti `a aula.
Conjuntos
Sugest˜ao de bibliografia: ´
Algebra Booleana e Circuitos de Chavemento. Elliott Mendelson. Cap´ıtulo 2.
Quest˜ao 1:
Sejam a = {x | 2x = 6} e b = 3. Justifique ou refute a afirma¸c˜ao: a = b Quest˜ao 2:
Sejam A um subconjunto de B e B um subconjunto de C. Suponha que a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C, d /∈ A, e /∈ B, f /∈ C. Quais das seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras? a) a ∈ C b) b ∈ A c) c /∈ A d) d ∈ B e) e /∈ A f) f /∈ A Quest˜ao 3:
Mostre que a lei do cancelamento: se A ∪ B = A ∪ C, B = C
´
e falsa, dando um contra-exemplo. Quest˜ao 4:
Mostre com um exemplo que A ∪ B ∩ C precisa de parˆenteses para n˜ao ser amb´ıguo.
Quest˜ao 5:
Ache todas as parti¸c˜oes de S = {1, 2, 3}. Quest˜ao 6:
Calcule o conjunto das partes de S = {a, b, c, d}. Quest˜ao 7:
Mostre que a opera¸c˜ao de diferen¸ca de conjuntos n˜ao ´e comutativa, isto ´e, a igualdade A − B = B − A pode falhar. Do mesmo modo, mostre que a difere¸ca de conjuntos n˜ao ´e associativa, isto ´e, (A − B) − C = A − (B − C) tamb´em pode falhar. Nestes dois casos, ´e suficiente que vocˆe apresente contra-exemplos. Quest˜ao 8: Prove que a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) b) (A − C) ∩ (C − B) = ∅ c) (A − B = A) ↔ (A ∩ B = ∅) d) A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B e) (((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) ∩ U ) ∪ (C ∪ E) = (C ∩ E) ∪ (A ∩ (B ∪ C)), onde U ´e o conjunto universo.
Rela¸c˜oes
Sugest˜ao de bibliografia:
Discrete Mathematics. Kenneth A. Ross (Cap´ıtulo 3). Abrevia¸c˜oes usadas nesta se¸c˜ao:
(R) : Reflexiva (S) : Sim´etrica (T) : Transitiva (AR) : Anti-Reflexiva (AS) : Anti-Sim´etrica
Quest˜ao 1:
Para as seguintes rela¸c˜oes sobre S = {0, 1, 2, 3}, especifique quais das pro-priedades (R), (AR), (S), (AS) e (T) as rela¸c˜oes satisfazem.
(a) (m, n) ∈ R1se m + n = 3 (b) (m, n) ∈ R2se m − n ´e impar (c) (m, n) ∈ R3se m ≤ 4 (d) (m, n) ∈ R4se m + n ≤ 4 (e) (m, n) ∈ R5se max{m, n} = 3 Quest˜ao 2:
Seja A = {0, 1, 2}. Cada uma das afirma¸c˜oes abaixo define a rela¸c˜ao R sobre A por (m, n) ∈ R se a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para m e n. Escreva cada uma das rela¸c˜oes como um conjunto de pares ordenados.
(a) m ≤ n (b) m < n (c) m = n (d) mn = 0 (e) mn = m (f) m + n ∈ A (g) m2+ n2= 2 (h) m2+ n2= 3 (i) m = max{n, 1} Quest˜ao 3:
Quais das rela¸c˜oes da quest˜ao 2 s˜ao reflexivas? Quais s˜ao sim´etricas? Quest˜ao 4:
Defina a rela¸c˜ao de divisibilidade R sobre N por (m, n) ∈ R se m|n
Lembre-se que m|n significa que n ´e multiplo de m.
(a) Quais das propriedades (R), (AR), (S), (AS) e (T) a rela¸c˜ao R satisfaz? (b) Defina a rela¸c˜ao R← (rela¸c˜ao dual de R).
(c) Quais das propriedades (R), (AR), (S), (AS) e (T) a rela¸c˜ao dual de R sat-isfaz?
Quest˜ao 5:
Qual a rela¸c˜ao entre a rela¸c˜ao R e a rela¸c˜ao ((R)←)← ? Quest˜ao 6
(a) Se S ´e um conjunto n˜ao vazio, ent˜ao o conjunto vazio ∅ ´e um subconjunto de S × S, tal que ´e uma rela¸c˜ao sobre S, denominada rela¸c˜ao vazia. Quais das propriedades (R), (AR), (S), (AS) e (T) a rela¸c˜ao ∅ possui? Justifique usando a defini¸c˜ao das propriedades e identidades da l´ogica.
(b) Repita a parte (a) para a rela¸c˜ao universal U = S × S sobre S.
Quest˜ao 7
De um exemplo de uma rela¸c˜ao que seja: (a) anti-sim´etrica e transitiva, mas n˜ao reflexiva (b) sim´etrica , n˜ao reflexiva e n˜ao transitiva Quest˜ao 8
Seja R uma rela¸c˜ao e R← a rela¸c˜ao dual de R. Podemos afirmar que se R sat-isfaz as propriedades (R),(AR),(S) e (AS) ent˜ao R← tamb´em deve satisfaz? O inverso tamb´em ´e verdade? Isto ´e, se R← satisfaz (R),(AR),(S) e (AS), ent˜ao R tamb´em deve satisfaz?
Quest˜ao 9
Sejam R1 e R2rela¸c˜oes sobre um conjunto S.
(a) Prove que R1∩ R2´e reflexiva se R1 e R2s˜ao.
(b) Prove que R1∩ R2´e sim´etrica se R1 e R2s˜ao.
(c) Prove que R1∩ R2´e transitiva se R1 e R2s˜ao.
Quest˜ao 10
Sejam R1 e R2rela¸c˜oes sobre um conjunto S.
Quest˜ao 11
Quest˜ao 12
Dˆe as matrizes para os d´ıgrafos da Figura 1. Quest˜ao 13
Quais das seguintes rela¸c˜oes s˜ao rela¸c˜oes de equivalˆencia? Para aquelas que n˜ao s˜ao rela¸c˜oes de equivalˆencia, especifique quais das propriedades (R), (S) e (T) falham e ilustre as falhas com exemplos.
(a) Sejam p1 e p2 americanos. Seja ∼ a rela¸c˜ao definida como p1 ∼ p2 se p1 e
p2 vivem no mesmo estado.
(b) Sejam p1 e p2 americanos. Seja ≈ a rela¸c˜ao definida como p1 ≈ p2 se p1 e
p2 vivem no mesmo estado ou em estados vizinhos.
(c) Sejam p1 e p2 pessoas. Seja ≈ a rela¸c˜ao definida como p1 ≈ p2 se p1 e p2
possuem um dos pais em comum.
(d) Sejam p1 e p2 americanos. Seja u a rela¸c˜ao definida como p1 u p2 se p1 e
p2 possuem a mesma m˜ae.
Quest˜ao 14
Seja S um conjunto. A igualdade, isto ´e, “=” ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia? Quest˜ao 15
(a) Para m e n ∈ Z, defina m ∼ n no caso em que m − n ´e par. A rela¸c˜ao ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia?
(b) Para a e b em R, defina a ∼ b no caso em que |a − b| ≤ 1. Algu´em poderia dizer que a ∼ b no caso em que a e b s˜ao pr´oximos o suficiente ou aproximadamente igual. A rela¸c˜ao ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia?
Rela¸c˜oes de Ordem e Reticulados Sugest˜ao de bibliografia:
Discrete Mathematics. Kenneth A. Ross (Cap´ıtulo 11).
Quest˜oes 1, 3 , 7(a), 11, 12, 13 e 20 das p´ag. 432 e 433 do Discrete Mathematics (Kenneth A. Ross)
H´a um PDF desta se¸c˜ao do livro no site da disciplina. O link est´a dispon´ıvel na aula 11 [09/09/2011].
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Algebras de Boole Sugest˜ao de bibliografia:
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Algebra Booleana e Circuitos de Chaveamento. Elliott Mendenlson (Cap. 3).
Quest˜ao 1:
Fa¸ca o exerc´ıcio 3.1 da se¸c˜ao “Problemas resolvidos” do cap´ıtulo 3 do Elliott Mendelson justificando cada etapa das provas, como foi feito na aula do dia 21/09/2011 (veja slides).
Quest˜ao 2:
