INE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação

(1)

5) Relações

5.1) Relações e Dígrafos

5.2) Propriedades de Relações

5.3) Relações de Equivalência

5.4) Manipulação de Relações

5.5) Fecho de Relações

INE5403

-

Fundamentos de Matemática

Discreta para a Computação

(2)

Propriedades de relações

•

• Em muitas aplicações da computação aparecem relações Em muitas aplicações da computação aparecem relações sobre um conjunto A em vez de relações de A em B.

sobre um conjunto A em vez de relações de A em B. Definição

Definição: (Reflexividade): (Reflexividade) –

– Uma relação R sobre um conjunto A é dita Uma relação R sobre um conjunto A é dita reflexivareflexiva se se (a,a)

(a,a)∈_∈R para todo aR para todo a∈_∈A, ou seja, se aRa para todo aA, ou seja, se aRa para todo a∈_∈A.A. –

– Uma relaUma relaçção R sobre A ão R sobre A éé dita dita irreflexivairreflexiva se (a,a)se (a,a)_∉_∉R para R para todo a

todo a_∈_∈A.A. •

• Ou seja: R é Ou seja: R é reflexiva reflexiva se todo elemento ase todo elemento a_∈_∈A estA estáá relacionado relacionado consigo mesmo e

consigo mesmo e éé irreflexiva irreflexiva se nenhum elemento estse nenhum elemento estáá relacionado consigo mesmo.

(3)

Propriedades de relações (reflexividade)

Exemplos

Exemplos: : a)

a) _∆_∆ = { (a,a) | a = { (a,a) | a _∈_∈ A}: a relaA}: a relaçção de igualdade no conjunto A.ão de igualdade no conjunto A. Por defini

Por definiçção, (a,a)ão, (a,a)_∈∆_∈∆, , _∀_∀aa_∈_∈A.A. b)

b) R = { (a,b) R = { (a,b) _∈_∈ AA_×_×A | aA | a_≠_≠b} b} Irreflexiva pois (a,a)

Irreflexiva pois (a,a)_∉_∉R, R, _∀_∀aa_∈_∈A.A. c)

c) Seja A = {1,2,3} e R={(1,1),(1,2)}. Então:Seja A = {1,2,3} e R={(1,1),(1,2)}. Então: R não

R não éé reflexiva pois (2,2)reflexiva pois (2,2)_∉_∉RR R não

(4)

Propriedades de relações (reflexividade)

Exemplo

Exemplo: Quais das relações a seguir são reflexivas?: Quais das relações a seguir são reflexivas? R R₁₁ = { (a,b) | a = { (a,b) | a _≤_≤ b }b } R R₂₂ = { (a,b) | a = { (a,b) | a _>_> b }b } R R₃₃ = { (a,b) | a = { (a,b) | a ₌₌ b ou a b ou a ₌₌ --b }b } R R₄₄ = { (a,b) | a = { (a,b) | a ₌₌ b }b } R R₅₅ = { (a,b) | a = { (a,b) | a ₌₌ b+1 }b+1 } R

R₆₆ = { (a,b) | a+b = { (a,b) | a+b _≤_≤ 3 }3 } Resposta

Resposta: : •

• RR₁₁: pois a : pois a _≤_≤ a a para todo inteiro apara todo inteiro a •

• RR₃₃ e Re R₄₄ •

• Para cada um dos outros casos, podePara cada um dos outros casos, pode--se encontrar um par da se encontrar um par da forma (a,a) que não está na relação.

(5)

Propriedades de relações (reflexividade)

Caracterização de reflexividade e

Caracterização de reflexividade e irreflexividadeirreflexividade em termos de em termos de matrizes e dígrafos:

matrizes e dígrafos: 1. Matrizes:

1. Matrizes: –

– relação R reflexiva relação R reflexiva _⇒_⇒ a matriz Ma matriz M_R_R possui todos os possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1

elementos da diagonal principal iguais a 1 –

– relação R irreflexiva relação R irreflexiva _⇒_⇒ a matriz Ma matriz M_R_R possui todos os possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 0

elementos da diagonal principal iguais a 0 2. Dígrafos:

2. Dígrafos: –

– relação R reflexiva relação R reflexiva _⇒_⇒ para todos os vpara todos os véértices do drtices do díígrafo grafo existem arestas que ligam o v

existem arestas que ligam o véértice a ele mesmo.rtice a ele mesmo. –

– relação R irreflexiva relação R irreflexiva _⇒_⇒ para todos os vpara todos os véértices do drtices do díígrafo grafo não existem arestas que ligam o v

não existem arestas que ligam o véértice a ele mesmo.rtice a ele mesmo.

•

• Observe também que se R sobre A é reflexiva, então:Observe também que se R sobre A é reflexiva, então: Dom(R) =

(6)

Propriedades de relações

-

simetria

Definição

Definição (Simetria)(Simetria): Uma relação R sobre um conjunto A é dita : Uma relação R sobre um conjunto A é dita simétrica

simétrica se se sempresempre que (a,b)que (a,b)∈_∈R, então tambR, então tambéém (b,a)m (b,a)∈_∈R.R.

-- segue que R sobre A segue que R sobre A éé uma relauma relaçção ão nãonão--simsiméétricatrica se para algumse para algum a,b

a,b∈_∈A for verificado que (a,b)A for verificado que (a,b)∈_∈R e (b,a)R e (b,a)∉_∉R.R.

Definição

Definição (Assimetria)(Assimetria): Uma relação R sobre um conjunto A é dita : Uma relação R sobre um conjunto A é dita assimétrica

assimétrica se se sempresempre que (a,b)que (a,b)∈_∈R, então (b,a)R, então (b,a)∉_∉R.R.

-- uma relauma relaçção R sobre A ão R sobre A éé nãonão--assimassiméétricatrica se para se para algumalgum a,b

a,b∈_∈A for verificado que (a,b)A for verificado que (a,b)∈_∈R e (b,a)R e (b,a)∈_∈R.R.

Definição

Definição ((AntissimetriaAntissimetria)): Uma relação R sobre um conjunto A é dita : Uma relação R sobre um conjunto A é dita antissimétrica

antissimétrica se se sempresempre que (a,b)que (a,b)∈_∈R e R e (b,a)(b,a)∈_∈R, então a=b.R, então a=b.

-- equivalentemente, se a equivalentemente, se a ≠_≠ b, então (a,b)b, então (a,b)∉_∉R ou (b,a)R ou (b,a)∉_∉RR

-- uma relauma relaçção R sobre A ão R sobre A éé nãonão--antissimantissiméétricatrica se existir a,bse existir a,b∈_∈A comA com a

(7)

Propriedades de relações

•

• LembreteLembrete: escrever (a,b) : escrever (a,b) _∈_∈R R éé equivalente a escrever equivalente a escrever aRbaRb, , que significa dizer que a est

que significa dizer que a estáá relacionado com b por R.relacionado com b por R. •

• ObservaçãoObservação: para verificar se estas propriedades são : para verificar se estas propriedades são válidas válidas ou não

ou não para uma certa relação R, devepara uma certa relação R, deve--se notar que:se notar que:

1. Uma propriedade

1. Uma propriedade não é válidanão é válida em geral se puder ser em geral se puder ser

encontrada uma situação onde ela não pode ser verificada.

2. Se não houver situação em que a propriedade

2. Se não houver situação em que a propriedade falhafalha, deve, deve- -se concluir que á propriedade é -sempre válida.

(8)

Propriedades de relações

-

exemplos

Exemplo 1

Exemplo 1: Seja A=Z (o conjunto dos inteiros) e seja R a : Seja A=Z (o conjunto dos inteiros) e seja R a relação R={(a,b)

relação R={(a,b)_∈_∈AA_×_×A | a A | a _≥_≥b}. Determine se R b}. Determine se R éé simsiméétrica, trica, assim

assiméétrica ou antissimtrica ou antissiméétrica.trica. Solução

Solução:: •

• simetriasimetria: se a: se a_≥_≥b, então não b, então não éé sempre verdade que bsempre verdade que b_≥_≥a a (exemplo: 2

(exemplo: 2 _≥_≥ 1 mas 1 < 2) 1 mas 1 < 2) _⇒_⇒ R R éé nãonão--simsiméétrica.trica. •

• assimetriaassimetria: R é não: R é não--assimétrica pois se a=2 e b=2 temos assimétrica pois se a=2 e b=2 temos aRbaRb e

e bRabRa.. •

(9)

Propriedades de relações

-

exemplos

Exemplo 2

Exemplo 2: Seja A={1,2,3,4} e seja a relação:: Seja A={1,2,3,4} e seja a relação: R={(1,2),(2,2),(3,4),(4,1)}

R={(1,2),(2,2),(3,4),(4,1)}

Determine se R é simétrica, assimétrica ou antissimétrica. Determine se R é simétrica, assimétrica ou antissimétrica.

/ •

• assimetriaassimetria: R é não: R é não--assimétrica pois (2,2) assimétrica pois (2,2) _∈_∈RR •

• antissimetriaantissimetria: R é antissimétrica pois se a: R é antissimétrica pois se a_≠_≠b, então ou b, então ou (a,b)

(a,b)_∉_∉R ou (b,a)R ou (b,a)_∉_∉R.R. Solução

Solução:: •

(10)

Propriedades de relações

-

exemplos

Exemplo 3

Exemplo 3: Seja A= Z: Seja A= Z++ _{(inteiros positivos) e seja}_{(inteiros positivos) e seja}

R = { (a,b)

R = { (a,b)_∈_∈AA_×_×A | a|b} (a divide b).A | a|b} (a divide b). Determine se R

Determine se R éé simsiméétrica, assimtrica, assiméétrica ou antissimtrica ou antissiméétrica.trica. Solução

Solução:: •

• simetriasimetria: a|b não implica que b|a, então R é não: a|b não implica que b|a, então R é não--simétrica.simétrica. •

• assimetriaassimetria: se a=b=5, por exemplo, então : se a=b=5, por exemplo, então aRbaRb e e bRabRa. Assim, . Assim, R é não

R é não--assimétrica.assimétrica. •

• antissimetriaantissimetria: se : se a|b e b|a, então a=b, de modo que R a|b e b|a, então a=b, de modo que R éé antissim

(11)

Propriedades de relações

-

exemplos

Exemplo 4

Exemplo 4: Quais das relações a seguir são simétricas e quais : Quais das relações a seguir são simétricas e quais são antissimétricas? são antissimétricas? R R₁₁ = { (a,b) | a = { (a,b) | a _≤_≤ b }b } R R₂₂ = { (a,b) | a = { (a,b) | a _>_> b }b } R R₃₃ = { (a,b) | a = { (a,b) | a ₌₌ b ou a b ou a ₌₌ --b }b } R R₄₄ = { (a,b) | a = { (a,b) | a ₌₌ b }b } R R₅₅ = { (a,b) | a = { (a,b) | a ₌₌ b+1 }b+1 } R

R₆₆ = { (a,b) | a+b = { (a,b) | a+b _≤_≤ 3 }3 } •

• RR₃₃ é simétrica: se a=b ou a=é simétrica: se a=b ou a=--b, então b=a ou b=b, então b=a ou b=--a. a. •

• RR₄₄ é simétrica: a=b é simétrica: a=b _⇒_⇒ b=a.b=a. •

• RR₆₆ é simétrica: a+bé simétrica: a+b_≤_≤33 _⇒_⇒ b+ab+a_≤_≤3.3. •

• RR₁₁ é antissimétrica: a é antissimétrica: a _≤_≤ bb e e b b _≤_≤ a a _⇒_⇒ b=a.b=a. •

• RR₂₂ é antissimétrica: é impossível a>b e b>a.é antissimétrica: é impossível a>b e b>a. •

• RR₄₄ é antissimétrica pela definição.é antissimétrica pela definição. •

(12)

Caracterização de simetria, assimetria e

antissimetria

através da matriz de relação

•

• SimetriaSimetria: A matriz M: A matriz M_R_R=[=[mm_ij_ij] de uma relação simétrica satisfaz à ] de uma relação simétrica satisfaz à propriedade: propriedade: m m_ij_ij=1=1 _⇒_⇒ mm_ji_ji=1=1 m m_ij_ij=0=0 _⇒_⇒ mm_ji_ji=0=0 Portanto, neste caso tem

Portanto, neste caso tem--se que se que mm_ij_ij=m=m_ji_ji, o que significa que R é , o que significa que R é simétrica se e somente se M

simétrica se e somente se M_R_R=(M=(M_R_R))tt_._.

•

• AssimetriaAssimetria: A matriz M: A matriz M_R_R=[=[mm_ij_ij] de uma relação assimétrica satisfaz:] de uma relação assimétrica satisfaz: m

m_ij_ij=1=1 _⇒_⇒ mm_ji_ji=0=0 Logo, se R é assimétrica, segue que

Logo, se R é assimétrica, segue que mm_ii_ii=0=0 para todo i.para todo i. •

• AntissimetriaAntissimetria: A matriz M: A matriz M_R_R=[=[mm_ij_ij] de uma relação antissimétrica ] de uma relação antissimétrica satisfaz:

satisfaz:

se i

(13)

Propriedades de relações com matrizes

• • Exemplo1Exemplo1: :           = 1 1 1 1 0 0 1 0 1 M_R₁             = 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 M_R₂           = 0 0 0 0 1 0 1 1 1 M_R₃             = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 M_R₄             = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 M_R₅             = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 M_R₆

(14)

Propriedades de relações com matrizes

•

• Exemplo1 (cont.)Exemplo1 (cont.): : •

• R1 e R2 são simétricas, pois MR1 e R2 são simétricas, pois M_R1_R1 e Me M_R2_R2 são matrizes simétricas.são matrizes simétricas. •

• R3 é antissimétrica, pois não existe nenhuma simetria fora da R3 é antissimétrica, pois não existe nenhuma simetria fora da diagonal.

diagonal. •

• R3 não é assimétrica, pois contém 1’s na diagonal principal.R3 não é assimétrica, pois contém 1’s na diagonal principal. •

• R4 não é simétrica, nem assimétrica e nem antissimétrica pois:R4 não é simétrica, nem assimétrica e nem antissimétrica pois: 1. M

1. M_R4_R4 não é simétrica;não é simétrica; 2. A presença do

2. A presença do nronro. 1 no elemento m. 1 no elemento m₄₁₄₁ viola tanto aviola tanto a propriedade de assimetria quanto a de

propriedade de assimetria quanto a de antissimetriaantissimetria.. •

• R5 é antissimétrica mas não assimétrica.R5 é antissimétrica mas não assimétrica. •

(15)

Propriedades de relações

-

transitividade

•

• DefiniçãoDefinição: Uma relação R sobre um conjunto A é dita : Uma relação R sobre um conjunto A é dita

transitiva

transitiva se, sempre que a R b e b R c, então a R c.se, sempre que a R b e b R c, então a R c.

/ •

• Por outro lado, R sobre A é uma relação Por outro lado, R sobre A é uma relação nãonão--transitivatransitiva se se existir a, b e c em A tais que a R b e b R c, mas a R c.

existir a, b e c em A tais que a R b e b R c, mas a R c.

→

(16)

Propriedades de relações

-

transitividade

•

• Exemplo2Exemplo2: A relação R={(1,2),(1,3),(4,2)} sobre A={1,2,3,4} : A relação R={(1,2),(1,3),(4,2)} sobre A={1,2,3,4} é transitiva?

é transitiva? •

• SoluçãoSolução: como não é possível encontrar elementos a, b e c : como não é possível encontrar elementos a, b e c tais que (a,b)

tais que (a,b)_∈_∈R, (b,c)R, (b,c)_∈_∈R, mas (a,c)R, mas (a,c)_∉_∉R, R, R éR é transitivatransitiva.. •

• Exemplo1Exemplo1: Seja A=Z: Seja A=Z++ _{e R={ (a,b)}_{e R={ (a,b)}_∈_∈ _A_A_×_×_{A | a|b } (}_{A | a|b } (}_“_“_{a divide b}_{a divide b}_”_”_)._).

A relação R é transitiva? A relação R é transitiva? Solução

(17)

Caracterização de relações transitivas por

matrizes

•

• Se MSe M_R_R=[=[mm_ij_ij] é a matriz de uma relação transitiva R, então M] é a matriz de uma relação transitiva R, então M_R_R satisfaz à propriedade:

satisfaz à propriedade: se

se mm_ij_ij=1=1 e e mm_jk_jk=1=1, então , então mm_ik_ik=1=1

ou seja, a transitividade de R significa que se (M

ou seja, a transitividade de R significa que se (M_R_R⊗_⊗MM_R_R) tem ) tem um 1 em qualquer posi

um 1 em qualquer posiçção, então Mão, então M_R_R deve ter um 1 na deve ter um 1 na mesma posi

mesma posiçção (o converso pode ser falso), ou seja:ão (o converso pode ser falso), ou seja: M

(18)

Caracterização de relações transitivas por

matrizes

•

• ExemploExemplo: Mostre que a relação R sobre A={1,2,3} dada : Mostre que a relação R sobre A={1,2,3} dada abaixo é transitiva:

abaixo é transitiva:

•

• SoluçãoSolução: Por cálculo direto, M: Por cálculo direto, M_R_R_⊗_⊗MM_R_R=M=M_R_R, de modo que R , de modo que R éé transitiva. transitiva.           = 1 0 0 1 0 0 1 1 1 M_R

(19)

Propriedades de relações

-

Exercícios

•

• Exercício1Exercício1: Determine se as relações abaixo são reflexivas, : Determine se as relações abaixo são reflexivas, irreflexivas, simétricas, assimétricas, antissimétricas ou trans

irreflexivas, simétricas, assimétricas, antissimétricas ou transitivas:itivas: a) R={(1,3),(1,1),(3,1),(1,2),(3,3),(4,4)} a) R={(1,3),(1,1),(3,1),(1,2),(3,3),(4,4)} b) R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)} b) R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)} • • RespostasRespostas: : a) N, N, N, N, N, N a) N, N, N, N, N, N b) S, N, S, N, N, S b) S, N, S, N, N, S

(20)

Propriedades de relações

-

Exercícios

•

• Exercício2Exercício2: Seja A={1,2,3,4,5}. Determine se as relações definidas : Seja A={1,2,3,4,5}. Determine se as relações definidas pelos dígrafos abaixo são reflexivas, irreflexivas, simétricas,

pelos dígrafos abaixo são reflexivas, irreflexivas, simétricas,

assimétricas, antissimétricas ou transitivas.

3 2 1 4 5 5 2 1 3 4