MAE116 Noções de Estatística

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Exercício 1

Suponha que os tempos de vida de dois aparelhos elétricos D1 e D2 tenham distribuições N(42, 36) e N(45, 9), respectivamente. Se os aparelhos são feitos para serem usados por um período de 45 horas,

(a) (1,25) qual aparelho deve ser preferido?

Seja X1 o tempo de vida do aparelho eléctrico D1 com X1 ~ N(42; 36) e X2 o tempo de vida do aparelho eléctrico D2 com X2 ~N(45; 9). Logo, calculamos

P(X1 < 45) = P(Z < 0,5) = 0,6915 e

P(X2 < 45) = P(Z < 0) = 0,5.

Portanto, o aparelho a ser preferido é o D2, pois a probabilidade que dure menos de 45 horas é menor que a do aparelho D1.

(b) (1,25) E se for por um período de 49 horas?

Para o segundo período temos

P(X1 < 49) = P(Z < 1,2) = 0,8849 e

P(X2 < 49) = P(Z < 1,3) = 0,9032:

Portanto, o aparelho a ser preferido é o D1, pois a probabilidade que dure menos de 49 horas é menor que a do aparelho D2.

Exercício 2

A durabilidade de um tipo de pneu da marca Michelin é descrita por uma variável aleatória Normal de média 60.000 km e desvio padrão de 8.300 km.

(a) (1,25) Se a Michelin garante os pneus pelos primeiros 48.000 km, qual é a proporção

de pneus que deverão ser trocados na garantia?

Solução

Se X: Durabilidade do pneu, então X~N(60.000, (8.300)2 ). Precisamos calcular P(X  48.000) P(X  48.000) =       _  8.300 60.000 48.000 Z P =       __ 8300 12.000 Z P = P(Z  -1,45) = = P(Z  1,45) = 1 – P(Z < 1,45) = 1 – A(1,45) = 1 – 0,9265 = 0,0735. Portanto, 7,35% dos pneus devem ser trocados pela garantia.

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(b) (1,25) Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante

trocaria sob garantia no máximo 2% dos pneus?

Solução

A garantia desejada é a constante c tal que P(X  c) conforme a figura a seguir:

X~N(60.000, 8.3002) P(X  c) = 0,02 8.300 60.000 c Z P          0,02 8.300 c 60.000 Z P         (por simetria)  02 , 0 8.300 c 60.000 Z P 1           98 , 0 8.300 c 60.000 Z P        

Pela tabela da N(0,1), o valor que deixa uma área de 0,98 a esquerda é 2,06.

Então, 2,06 8.300 c 60.000   _ c 60.000 – (2,06 x 8.300)  c  42.902 km.

C

0,98

0,02

X

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Exercício 3

(2,5) A distribuição das relações altura/comprimento de conchas de mexilhões Perna perna, num ambiente de costão batido, pode ser representada por uma distribuição normal, com média de 0,5 e desvio padrão de 0,02414. Um pesquisador pretende classificá-los de acordo com a relação acima, do seguinte modo: 25% dos mais leves, como pequenos, os 50% seguintes como médios e os 25% restantes como grandes. Quais os valores de altura/comprimento que classificam os mexilhões como pequenos, médios e grandes?

Seja X: A distribuição das relações altura/comprimento de conchas de mexilhões Perna

perna. Então 𝑋~𝑁(0,5; 0,024142). Assim, 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥₁) = 0,25 ⟺ 𝑃 (𝑍 ≤ 𝑥1− 0,5 0,02414) = 0,25 Então,𝑧 =_0,02414𝑥1−0,5 = −0,67. Logo 𝑥1 = 0,5 + (0,02414) ∗ (−0,67) = 0,48. e 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥₂) = 0,75 ⟺ 𝑃 (𝑍 ≤𝑥2− 0,5 0,02414) = 0,75 Então,𝑧 = 𝑥2−0,5 0,02414= 0,67. Logo 𝑥2 = 0,5 + (0,02414) ∗ (0,67) = 0,52.

Assim os valores de altura/comprimento que classificam os mexilhões como pequenos, médios e grandes são 0,48 e 0,52

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Exercício 4

Uma máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com média  e desvio padrão 10 g.

(a) (0,5)Em quanto deve ser fixado o peso médio para que apenas 10% dos pacotes

tenham menos de 500 g?

Seja X: peso dos pacotes obtidos por essa máquina. Então 𝑋~𝑁(𝜇; 102). Se 10% dos pacotes têm menos de 500 g, temos a seguinte relação,

𝑃(𝑋 < 500) = 0,10 ⟺ 𝑃 (𝑍 <500 − 𝜇

10 ) = 0,10

Temos que a é tal que A(a)=0,90 e z = – a. Pela tabela, a = 1,28 e, assim, z = – 1,28. Então, 𝑧 =500−𝜇

10 = −1,28. Logo 𝜇 = 500 + 12,8 = 512,8.

Portanto, para que apenas 10% dos pacotes tenham menos de 500 g, o peso médio deve ser 𝜇 = 512,8 g.

Com a máquina assim regulada,

(b) (0,5)qual é a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 550 g?

Do item (a) temos que 𝜇 = 512,8, ou seja, 𝑋~𝑁(512,8; 102). Então, a probabilidade de que o peso de um pacote exceda 600 g é

𝑃(𝑋 > 550) = 𝑃 (𝑍 >550 − 512,8

10 ) = 𝑃(𝑍 > 3,72) = 1 − 𝐴(3,72) = 1 − 0,9999 = 0,0001.

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(c) (0,75) Determine a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média

em mais que dois desvios padrões.

Temos que a porcentagem de pacotes em que o peso não se afasta da média em mais que dois desvios padrão é dado por

𝑃(𝜇 − 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎) = 𝑃(−2 < 𝑍 < 2) = 𝑃(𝑍 < 2) − 𝑃(𝑍 < −2)

= 𝑃(𝑍 < 2) − 𝑃(𝑍 ≥ 2) = 𝑃(𝑍 < 2) − (1 − 𝑃(𝑍 < 2)) = 2 × 𝑃(𝑍 < 2) − 1 = 2 × 𝐴(2) − 1 = 2 × 0,9772 − 1 = 0,9544.

(d) (0,75) Se forem selecionados 12 pacotes, qual é a probabilidade de que pelo menos

dois pacotes tenham peso inferior a 500 g?

Do item (a) temos que a probabilidade de que o peso de um pacote tenha menos de 500 g é p=0,10. Seja a variável N: número de pacotes com menos de 500g, então 𝑁~ 𝐵𝑖𝑛(12; 0,10). Obtenha a distribuição de probabilidades de 𝐵𝑖𝑛(12; 0,10) usando o MINITAB: Na planilha: Na coluna C1 da planilha coloque os dados 0,1,2,…,12

No menu: Calc -> Probability Distributions -> Binomial -> Probability Number of trials = 12

Event probability = 0,10 Input column = C1 OK

E obtenha a saída:

Probability Density Function Binomial with n = 12 and p = 0,1 x P( X = x ) 0 0,282430 1 0,376573 2 0,230128 3 0,085233 4 0,021308 5 0,003788 6 0,000491 7 0,000047 8 0,000003 9 0,000000 10 0,000000 11 0,000000 12 0,000000

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http://www.ime.usp.br/~mae116 Então, a probabilidade de que pelo menos 2 tenham peso inferior a 500 g é

𝑃(𝑁 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑁 < 2) = 1 − (𝑃(𝑁 = 0) + 𝑃(𝑁 = 1)) = 1 − (0,282430 + 0,376573) = 0,340997 Ou, faça no menu do MINITAB: Calc -> Probability Distributions -> Binomial -> Cumulative Probability

Number of trials = 12 Event probability = 0,10 Input column = C1 OK

E obtenha a saída:

onde é fornecida, diretamente, a probabilidade na 𝐵𝑖𝑛(12; 0,10) de ocorrer um valor menor ou igual a x, e temos 𝑃(𝑁 ≤ 1) = 𝑃(𝑁 = 0) + 𝑃(𝑁 = 1) = 0,65900.

Cumulative Distribution Function Binomial with n = 12 and p = 0,1 x P( X <= x ) 0 0,28243 1 0,65900 2 0,88913 3 0,97436 4 0,99567 5 0,99946 6 0,99995 7 1,00000 8 1,00000 9 1,00000 10 1,00000 11 1,00000 12 1,00000