1 (Cesgranrio – RJ) Na figura, os cinco círculos têm o mesmo raio e o quadrado tem seus vértices nos centros de quatro deles. Se o quinto círculo é tangente aos outros quatro, qual a razão entre a área sombreada e a área não sombreada no in-terior dos círculos? a ) 1 4 b ) 1 3 c ) 2 5 d ) 2 3 e ) 5 4 2 (FGV – SP) Uma caixa aberta, em forma de cubo com 20 cm de aresta, está cheia de esferas de 1 cm de diâmetro. Estime quantas esferas con-tém essa caixa. 3 (FGV – SP) Inclinando-se em 45° um copo cilín-drico reto de altura 15 cm e raio da base 3 6, cm, derrama-se parte do líquido que completava to-talmente o copo, conforme indica a figura.
Admitindo-se que o copo tenha sido inclinado com movimento suave em relação à situação ini-cial, a menor quantidade de líquido derramada corresponde a um percentual do líquido contido inicialmente no copo de: a ) 48% b ) 36% c ) 28% d ) 24% e ) 18% 4 (FGV – SP) Um tronco de cone circular reto foi dividido em quatro partes idênticas por planos perpendiculares entre si e perpendiculares ao plano da sua base, como indica a figura a seguir. Se a altura do tronco é 10 cm, a medida da sua geratriz, em cm, é igual a: a ) 101 b ) 102 c ) 103 d ) 2 26 e ) 105 5 (FGV – SP) Uma garrafa de base e boca circulares está parcialmente cheia de água.
Com a boca tampada, a garrafa foi virada para baixo e, em seguida, a água foi derramada, sem desperdício, no interior de um recipiente esféri-co de volume igual ao da garrafa, como mostra a seqüência de figuras:
a ) Sendo PQ a geratriz de um cilindro circular reto, calcule o volume de água contida na garrafa na situação inicial, em cm3.
b ) Sendo C o centro da circunferência da boca da garrafa, AB o diâmetro do círculo deter-minado pelo nível de água na esfera e ABC um triângulo eqüilátero, calcule a altura h da calota de ar na esfera, em cm.
6 (UEPB – PB) A área de um círculo máximo de uma esfera vale 81π dm2. O volume dessa esfera é igual a: a ) 972π dm3 b ) 2916π dm3 c ) 729π dm3 d ) 263π dm3 e ) 324π dm3
geometria
UNID
ADE
V
II
I
CAPÍTULO7 (UESC – BA) Se o lado do quadrado da figura mede x cm, então a área, em cm2 , da região som-breada é igual a: a ) x 2 12
(
3 3 2− π)
b ) x2 12(
3 3+π)
c ) x 2 12(
3 3−π)
d ) x 2 4(
3 3+π)
e ) x2 4(
3 3−π)
8 (UESC – BA) Um cone circular reto possui raio da base e altura iguais a 3 cm e 4 cm, respectiva-mente. É correto afirmar que a área lateral, em cm2, de um cilindro circular reto de raio da base igual à terça parte do raio da base do cone e que comporta o mesmo volume do cone é igual a: a ) 24π b ) 14π c ) 12π d ) 24 e ) 12 9 (Uespi – PI) A área da superfície de um lago é esti-mada em 62060 m2. Um estudo realizado aponta que todo o volume de água que caiu nesse lago, nos 15 primeiros dias de julho, foi de 640000 litros. Imaginando que toda essa água de chuva fosse colocada no interior de um cilindro, cuja área da base fosse metade da área da superfície do lago, a medida inteira mais próxima da altura que o nível da água alcançaria, em milímetros, é: a ) 18 b ) 19 c ) 20 d ) 21 e ) 23 10 (Uespi – PI) Em um baú de base retangular, cujas medidas estão expressas em metros, representa-do pela figura abaixo, considere o polígono ABEF como um quadrado, BC= 120, m e EGF um semi-círculo de diâmetro EF. Sabendo-se que o volume desse baú é de 1056, m3, é correto afirmar quesua altura AF, em centímetros, é igual a: (Para efeito de cálculos, considere π = 3.) a ) um número primo b ) dois terços do comprimento BC c ) 49 cm d ) metade do comprimento BC e ) três quartos do comprimento BC 11 (UFBA – BA) Considere um prisma reto triangu-lar regular de altura igual a 10 cm e um cilindro circular reto de raio da base igual a r, medido em cm, inscrito nesse prisma. Em função de r: • deduza a expressão do lado do triângulo, base do prisma; • determine o volume da região exterior ao cilin-dro e interior do prisma.
12 (UFC – CE) Os centros de três esferas não são colineares. Assinale a opção que corresponde ao maior número possível de planos tangentes a to-das elas. a ) 2 b ) 4 c ) 6 d ) 8 e ) 10 13 (UFG – GO) A figura abaixo representa uma serin-ga no formato de um cilindro circular reto, cujo êmbolo tem 20 mm de diâmetro. Esta seringa está completamente cheia de um medicamento e é usada para injetar doses de 6 mL desse me- dicamento. Com base nessas informações, deter-mine quantos milímetros o êmbolo se desloca no interior da seringa ao ser injetada uma dose.
14 (UFMA – MA) A figura abaixo representa uma ampulheta construída com dois troncos de cone circular reto de bases paralelas e mesmas dimen-sões.
Sabe-se que R= 3 u.c. e r = 1 u.c. No momento inicial, o tronco inferior está vazio e o tronco su-perior possui uma quantidade de água no seu interior de forma que r1 mede 2 u.c. Assim, no momento final, quando o tronco superior estiver vazio e toda a água estiver no tronco inferior, o valor de r2 será: a ) 2 u.c. b ) 153 u.c. c ) 203 u.c. d ) 1 u.c. e ) 2 2 u.c.
15 (UFMA – MA) A figura abaixo representa uma
esfera S metálica de raio R, da qual foi retirada uma outra esfera S1 de raio r R< , concêntrica a S. A relação entre r e R para que com esse material sejam construídas 7 esferas de raio r é: a ) r=R 4 b ) r=R 2 4 3 c ) r= R 2 2 3 d ) r= R 7 e ) r=R 2 16 (UFMT – MT) Na figura ao lado es-tão representadas duas seringas, I e II, modelo padrão utilizado na ad- ministração de medicamentos inje-táveis, que se diferenciam apenas pela capacidade volumétrica. As partes sombreadas, nas seringas, representam o volume de medica-mento a ser injetado e possuem a
forma de um cilindro circular reto. A seringa I possui diâmetro interno d e a II, diâmetro inter-no D ; o volume do medicamento na seringa II é quatro vezes o da seringa I e a altura do medica-mento nas duas seringas é H. A partir dessas informações, pode-se afirmar que a relação entre D de é: a ) D= 3d b ) D= 4d c ) D= 2d d ) D= +2 2d e ) D=2 2d−3 17 (UFPR – PR) Um cavalo está preso por uma corda do lado de fora de um galpão retangular fechado de 6 metros de comprimento por 4 metros de largura. A corda tem 10 metros de comprimento e está fixada num dos vértices do galpão, confor-me ilustra a figura abaixo. Determine a área total da região em que o animal pode se deslocar: a ) 75
(
π +24)
m2 b ) 88π m2 c ) 20π m2 d ) 100(
π −24)
m2 e ) 176π m2 18 (UFPR – PR) Maria produz pirulitos para vender na feira ao preço unitário de R$ 0 80, . Ela usa for-mas com formato interno de cone circular reto e costuma fazer os pirulitos colocando o doce nessas formas até a borda. Tendo recebido uma encomenda de minipirulitos para uma festa in-fantil, decidiu fazê-los colocando o doce até a metade da altura da forma. Para manter o preço diretamente proporcional à quantidade de doce utilizado para produzir o pirulito, ela deve ven-der cada minipirulito por: a ) R$ 0 10, b ) R$ 0 40, c ) R$ 0 20, d ) R$ 0 25, e ) R$ 0 16,19 (UFPR – PR) O serviço de encomendas da Em-presa de Correios impõe limites quanto ao ta-manho dos objetos a serem postados. Considere que somente sejam permitidos para postagem objetos dentro dos limites descritos abaixo. Dimensões da embalagem Caixa A soma (comprimento + largura + altura) não deve ser superior a 150 cm. A face de endereçamento não deve ter medidas inferiores a 11x16 cm. Altura mínima: 2 cm. Embalagem em forma de rolo A soma (comprimento + dobro do diâmetro) não deve ser superior a 104 cm. O comprimento do rolo não deve ser maior que 90 cm. Com base nessas informações, considere as afir-mativas abaixo a respeito da postagem de uma barra cilíndrica rígida de 95 centímetros de com-primento e um centímetro de diâmetro. 1. Não é possível postar essa barra embrulhada em forma de rolo.
2. É possível postar essa barra dentro de uma caixa de papelão em forma de paralelepípedo retangular reto, com 80 cm de comprimento, 60 cm de largura e 7 cm de altura.
3. É possível postar essa barra dentro de uma caixa de papelão em forma de prisma reto com 90 cm de altura e base quadrada com 20 cm de lado. Assinale a alternativa correta: a ) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. b ) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. c ) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. d ) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. e ) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
20 (UFPR – PR) Um sólido de revolução é um obje- to obtido a partir da rotação de uma figura pla-na em torno de um dos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um retângulo em tor-no do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura abaixo. x y Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy, delimitada pelas retas r y x1: = , r x2: = 0 e r x3: = e pela circunferência γ : x1 2+
(
y−4)
2= .1 a ) Utilize os eixos cartesianos para fazer um es-boço da região R e do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y. b ) Encontre o volume do sólido de revolução ob-tido no item acima. 21 (UFRJ – RJ) Um grupo de cientistas parte em ex-pedição do Pólo Norte e percorre 200 km em di- reção ao sul, onde estabelece um primeiro acam-pamento para realizar experiências. Após algum tempo, o grupo percorre 200 km em direção ao leste, onde instala o segundo acampamento para experimentos. Após três dias, o grupo parte em viagem e percorre 200 km em direção ao norte, onde estabelece o terceiro acampamento.Supondo que a superfície da Terra seja perfei-tamente esférica, determine a distância entre o terceiro acampamento e o Pólo Norte. Justifique sua resposta (faça um desenho, se preferir). 22 (UFRN – RN) Um tronco de madeira, em forma de cilindro, de altura H e raio R, é transformado em uma barra de madeira, em forma de paralele-pípedo de base quadrada, com aproveitamento máximo da madeira. Sabendo-se que o volume original do tronco era V = ⋅ ⋅π R H2 , é correto afirmar que o volume da barra é: a ) 3R H2⋅ b ) R H2⋅ c ) 2R H2⋅ d ) 4R H2⋅ 23 (UFSC – SC) Julgue em verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:
( ) Considere L1 e L2 , duas latas de forma cilíndri-ca, de massa de tomate, de mesma marca. A lata L1 possui o dobro da altura da lata L2, mas seu diâmetro é a metade do diâmetro de L2. Se L1 custa R$ 180, e L2 R$ 2 80, , então a lata mais econômica é L2. ( ) Observe a figura abaixo. Se os diâmetros dos semicírculos estão sobre os lados do triângulo retângulo ABC, então Área I = Área II + Área III. A B C I II III ( ) A figura abaixo está representando uma pirâ- mide inscrita num cubo. Se o volume da pi-râmide é de 72 m3, então a aresta do cubo é igual a 9 m. ( ) O octaedro regular é um poliedro que tem 8 arestas. 24 (UFV – MG) Com uma chapa de aço na forma de um setor circular AOB, de ângulo central α = AOB radianos e raio r, constrói-se um recipiente na forma de um cone circular reto, unindo os segmentos OA e OB, conforme ilustra a figura abaixo. O volume do cone assim obtido é V= α r − π π α 2 3 2 2 2 24 4 . Diminuindo em 20% o va-lor de r e mantendo constante o ângulo central α, a capacidade do recipiente, em porcentagem, diminui em: a ) 512, % b ) 58 8, % c ) 49 8, % d ) 48 8, % e ) 50 2, %
25 (Unesp – SP) Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R= 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de 5 3 cm do centro da esfera, determi-nando uma circunferência de raio r cm, e sobre- posta a um cilindro circular reto de 20 cm de al-tura e raio r cm, como na figura (não em escala). O volume do cilindro, em cm3, é: a ) 100π b ) 200π c ) 250π d ) 500π e ) 750π 26 (Unifor – CE) A figura abaixo apresenta a logo- marca de certa empresa, em que aparecem tra-çadas duas cordas paralelas entre si e de mesmo comprimento, distantes 4 cm uma da outra. Se o raio do círculo mede 4 cm, a área da re-gião sombreada, em centímetros quadrados, é: (Use: π = 3.) a ) 4 3 1
(
+)
b ) 4 3 2(
+)
c ) 8 3 1(
+)
d ) 8 3 2(
+)
e ) 8 2 3 1(
+)
27 (Unifor – CE) Seja o triângulo cujos vérti-ces são as intersecções das retas de equações
x=0,x−4y=0ex y+ − =5 0. A rotação desse triângulo em torno do eixo das ordenadas gera um sólido cujo volume é: a ) 16 3 π b ) 64 3 π c ) 80 3 π d ) 88 3 π e ) 92 3 π 28 (Fuvest – SP) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimen-to a. O ponto M está na aresta AE e AM= ⋅3 ME. Calcule: a ) o volume do tetraedro BCGM b ) a área do triângulo BCM c ) a distância do ponto B à reta suporte de CM 29 (Udesc – SC) A geratriz de um cone circular reto de altura 4 cm é 5 cm; então a área da base desse cone é: a ) 9π cm2 b ) 16π cm2 c ) 25π cm2 d ) 5π cm2 e ) 4π cm2 30 (UEL – PR) Considere um cone circular reto e um cilindro circular reto, ambos com diâmetro da base igual a 12 cm e também uma esfera com diâmetro de 12 cm, todos com volumes iguais. A altura do cone e a altura do cilindro devem ser respectivamente iguais a: a ) 12 cm e 4 cm b ) 30 cm e 10 cm c ) 24 cm e 8 cm d ) 9 cm e 3 cm e ) 18 cm e 6 cm 31 (UEMG – MG) Conforme a figura abaixo, um copo de papelão tem o formato de um cone de 20 cm de altura e 6 cm de diâmetro da base. Querendo encher esse copo com suco numa quan-tidade igual a 3 4 de sua capacidade total, a altura h atingida pelo suco deverá ser de: a ) 10 23 cm b ) 15 cm c ) 12 33 cm d ) 10 63 cm
32 (UEMG – MG) Deseja-se fabricar x bolinhas es-féricas maciças de ouro, de 1 cm de raio cada uma, derretendo-se uma barra de ouro, também maciça, em forma de paralelepípedo retangular de 30 cm de comprimento, 10 cm de largura e 2π cm de altura. O valor de x é igual a: a ) 320 b ) 410 c ) 450 d ) 480 33 (UEMS – MS) Um cilindro de revolução de raio r e altura h= 5 é cortado por um plano paralelo ao r
seu eixo e a uma distância d=3r
5 desse eixo. A secção retangular formada tem área de 16 cm2. Qual a área da base desse cilindro? a ) π b ) 2π c ) 2π +1 d ) 3π e ) 1 34 (Ufscar – SP) Retirando-se um semicilindro de um paralelepípedo reto-retângulo, obtivemos um só- lido cujas fotografias, em vista frontal e vista su-perior, estão indicadas nas figuras. Se a escala das medidas indicadas na fotografia é 1:100, o volume do sólido fotografado, em m3, é igual a: a ) 2 14 2
(
+ π)
b ) 2 14(
+π)
c ) 2 14(
−π)
d ) 2 21−(
π)
e ) 2 21 2(
− π)
35 (UFPE – PE) Um salão de festas quadrangular de área A= 225 m2, representado pelo quadrado
ABCD, deve ter seu piso pintado nas cores bran-co e preto, de acordo com a figura abaixo. AB,
BC, CD e AD
são arcos de circunferências respec-tivamente tangentes às diagonais do quadrado
ABCD nos pontos A e B, B e C, C e D, D e A. A parte central será pintada de preto e as calotas serão pintadas de branco. Sabendo-se que o ren-dimento da tinta é de 1 galão (2,5 L) para cada 35 m2 de área, julgue as proposições a seguir em verdadeiras ou falsas: ( ) A mesma quantidade de tinta preta e de tinta branca.
( ) 3 galões de tinta preta e 4 galões de tinta branca. ( ) A área preta é maior que a área branca. ( ) A tinta preta será o dobro da tinta branca. ( ) A área preta é menor que 100 m2. 36 (UFPE – PE) Considere uma semi-esfera, um cone e um cilindro de revolução retos. Sobre estes só- lidos, julgue em verdadeiras ou falsas as afirma-ções: ( ) Para que o cilindro e o cone tenham o mes-mo volume, é necessário que eles tenham o mesmo raio na base e que o cone seja 3 vezes mais alto. ( ) Se o cilindro e o cone têm raio e altura iguais ao raio da semi-esfera, o volume do cilindro é igual aos volumes da semi-esfera e do cone somados. ( ) Se o cilindro tem o dobro do volume da semi-esfera, dobrando o raio da semi-( ) Se o cilindro tem o dobro do volume da semi-esfera, ob-tém-se uma semi-esfera de mesmo volume que o cilindro.
( ) Se o cilindro tem o dobro do volume do cone, dobrando a altura do cone, obtém-se um cone de mesmo volume que o cilindro. ( ) Se o cone e o cilindro têm a mesma altura, o
cone deve ter um raio 3 vezes maior que o do cilindro para que tenham o mesmo volu-me.
37 (UFPE – PE) Qual a menor quantidade de fita que deve ser utilizada para enfeitar o mastro de forma cilíndrica (reto) de uma bandeira de 5 m de altura, como na figura abaixo, se são gastos 50 cm para cada volta na superfície do cilindro? O diâmetro do mastro é 15 cm. Qual é o inteiro mais próximo em metros?
