Geometria Complexa. u y n = v. y n

(1)

Geometria Complexa

1 Variedades complexas

Defini¸cão 1.1 Uma fun¸cão f : Cd→ C diz-se holomorfa se é holomorfa em cada uma das suas variáveis.

Portanto se f = f (z1, . . . , zd) = u + iv (com u e v reais), f ´e holomorfa sse satisfaz as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann

∂u ∂xn = ∂v ∂yn e ∂u ∂yn = − ∂v ∂xn

para n = 1, . . . , d, onde zn= xn+ iyn. Uma fun¸c˜ao f : Cd→ Ce _{diz-se holomorfa se cada uma}

das suas componentes ´e holomorfa.

Defini¸cão 1.2 Uma variedade complexa de dimensão complexa d é um espa¸co topológico Hau-dorff M , satisfazendo o segundo axioma da numerabilidade, munido de um atlas complexo A = {(Uα, φα)}α∈A, ou seja, uma fam´ılia de abertos Uα com S_α∈AUα = M e homeomorfismos

φα : Uα→ Vα para abertos Vα⊂ Cdtais que as mudan¸cas de carta φβ ◦ φ−1α s˜ao holomorfas.

Cada atlas complexo pode ser estendido num único atlas complexo maximal, dito uma estru-tura complexa para M . Uma variedade complexa de dimensão complexa 1 diz-se uma superf´ıcie de Riemann. Note-se que qualquer variedade complexa de dimensão complexa d é uma variedade diferenciável de dimensão 2d. Como veremos, qualquer variedade complexa é necessariamente ori-entável. Isto é imediato para superf´ıcies de Riemann: se z = x + iy e w = u + iv são coordenadas holomorfas no mesmo aberto, então o jacobiano da fun¸cão de transi¸cão é

∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y = ∂u ∂x ∂u ∂y −∂u ∂y ∂u ∂x = ∂u ∂x 2 + ∂u ∂y 2 > 0.

Existem variedades diferenciáveis de dimensão par, orientáveis que não admitem qualquer estrutura complexa (por exemplo S4). Por outro lado, existem variedades diferenciáveis que admitem infinitas estruturas complexas não equivalentes (por exemplo T2).

Defini¸cão 1.3 Seja M uma variedade complexa. Uma fun¸cão f : M → C diz-se holomorfa se f ◦ φ−1 é holomorfa para qualquer carta local (U, φ) na estrutura complexa.

Uma vez que a composi¸cão de fun¸cões holomorfas é holomorfa, para verificar se uma fun¸cão f : M → C é holomorfa basta usar as cartas de um atlas (não necessariamente maximal). Se M é compacta, as únicas fun¸cões holomorfas são as fun¸cões constantes:

Proposi¸cão 1.4 Seja M uma variedade complexa compacta e conexa, e f : M → C uma fun¸cão holomorfa. Então f é constante.

(2)

Demonstra¸cão: Uma vez que M é compacta e |f | é cont´ınua, |f | possui um ponto de máximo p0 ∈ M . Seja (U, φ) uma carta holomorfa com U conexo e p0 ∈ U , e seja z0 = φ(p0). Então o

módulo da fun¸cão holomorfa f ◦ φ−1 : φ(U ) ⊂ Cd → C tem um ponto de máximo em z0, pelo

que f ◦ φ−1 ´e constante. Logo f ≡ f (p0) em U . O mesmo argumento mostra que o conjunto

V = {p ∈ M : f (p) = f (p0)}

é aberto. Por outro lado, V é claramente fechado. Uma vez que é não vazio e M é conexa,

conclu´ımos que V = M .

Defini¸cão 1.5 Sejam M e N variedades complexas. Uma fun¸cão f : M → N diz-se holomorfa se ψ ◦ f ◦ φ−1 é holomorfa para quaisquer cartas locais (U, φ) de M e (V, ψ) de N contidas nas respectivas estruturas complexas.

Um biholomorfismo é uma bijeçcão holomorfa com inversa biholomorfa. Exerc´ıcios 1.6

1. (a) Mostre que CPdé uma variedade complexa de dimensão complexa d. (b) Mostre que CP1 é difeomorfo a S2.

2. Seja P : Cd+1→ C um polin´omio homog´eneo de grau k. Mostre que M =n[z0, . . . , zd] ∈ CPd: P (z0, . . . , zd) = 0o ´

e uma variedade complexa compacta de dimens˜ao complexa d (dita uma variedade alg´ebrica projectiva).

3. Prove que se f : C → C ´e um biholomorfismo ent˜ao f (z) = az + b, com a, b ∈ C, a 6= 0. 4. Seja {ω1, ω2} uma base para C como espa¸co vectorial sobre R, e G o grupo abeliano gerado

por {ω1, ω2}. Portanto o quociente C/G ´e difeomorfo a T2.

(a) Prove que C/G admite uma estrutura complexa tal que a aplica¸c˜ao quociente π : C → C/G ´e holomorfa.

(b) Mostre que C/G ´e biholomorfo a C/G0 sse existe λ ∈ C \ {0} e A ∈ SL(2, Z) tais que   ω₁0 ω₂0  = λA   ω1 ω2  .

(c) Mostre que C/G ´e biholomorfo a C/λG para qualquer λ ∈ C \ {0}. Conclua que cada uma das estruturas complexas no toro possui um representante da forma C/Gτ, onde

Gτ ´e o grupo abeliano gerado por {1, τ } e Im τ > 0.

(d) Mostre que C/Gτ ´e biholomorfo a C/Gτ0 sse

τ0 = aτ + b cτ + d,

com a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1. Conclua que existem infinitas estruturas complexas n˜ao biholomorfas no toro T2.

(3)

5. (a) Mostre que a aplica¸c˜ao f : CP1→ CP1 _{dada por}

f ([z0, z1]) = [az0+ bz1, cz0+ dz1] (a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0) ´e um biholomorfismo.

(b) Mostre que todos os biholomorfismos de CP1 s˜ao da forma acima.

2 Estrutura quase complexa

Seja M uma variedade complexa de dimensão complexa d (portanto uma variedade diferenciável de dimensão real 2d). Para cada p ∈ M podemos definir uma transforma¸cão linear Jp : TpM → TpM

tal que J_p2 = − Idp escolhendo coordenadas holomorfas (z1, . . . , zd) numa vizinhan¸ca de p e

tomando Jp ∂ ∂xn = ∂ ∂yn e Jp ∂ ∂yn = − ∂ ∂xn,

onde zn = xn+ iyn (n = 1, . . . , d). A aplica¸cão Jp está bem definida: se (w1, . . . , wn) são

outras coordenadas holomorfas numa vizinhan¸ca de p, com wn = un+ ivn, as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann implicam Jp ∂ ∂un = Jp d X m=1 ∂xm ∂un ∂ ∂xm + ∂ym ∂un ∂ ∂ym = d X m=1 ∂xm ∂un ∂ ∂ym − ∂ym ∂un ∂ ∂xm = d X m=1 ∂ym ∂vn ∂ ∂ym + ∂xm ∂vn ∂ ∂xm = ∂ ∂vn e, analogamente Jp ∂ ∂vn = − ∂ ∂un

(n = 1, . . . , d). Portanto qualquer variedade complexa vem equipada com um campo tensorial J satisfazendo J2 = − Id.

Defini¸cão 2.1 Uma variedade quase complexa é um par (M, J ), onde M é uma variedade diferenciável e J é uma estrutura quase complexa, ou seja, um campo tensorial tal que J2 = − Id.

´

E fácil ver que qualquer variedade quase complexa tem necessariamente dimensão par. É claro que qualquer vizinhan¸ca de coordenadas de uma variedade diferenciável de dimensão par possui uma estrutura quase complexa (construida em coordenadas locais como acima), mas em geral não é poss´ıvel colar estas estruturas quase complexas locais numa estrutura quase complexa global. Por exemplo, S4 não admite qualquer estrutura quase complexa (e portanto não admite qualquer estrutura complexa).

Dada uma estrutura quase complexa, é natural perguntar se ela provém de uma estrutura complexa. Para responder a esta pergunta, introduzimos a seguinte defini¸cão:

(4)

Defini¸c˜ao 2.2 Seja (M, J ) uma variedade quase complexa. O tensor de Nijenhuis ´e o campo tensorial N : X(M ) × X(M ) → X(M ) definido por

N (X, Y ) = [X, Y ] + J [J X, Y ] + J [X, J Y ] − [J X, J Y ].

Teorema 2.3 Seja (M, J ) uma variedade quase complexa. Existe uma estrutura complexa em M cuja estrutura quase complexa ´e J sse o tensor de Nijenhuis de J ´e identicamente nulo. Exerc´ıcios 2.4

1. Mostre que uma variedade quase complexa tem necessariamente dimens˜ao par. 2. (a) Mostre que o tensor de Nijenhuis ´e de facto um campo tensorial.

(b) Mostre que o tensor de Nijenhuis da estrutura quase complexa de uma variedade complexa ´e identicamente nulo.

3. (a) Mostre que qualquer superf´ıcie orient´avel admite uma estrutura quase complexa. (b) Mostre que qualquer superf´ıcie orient´avel admite uma estrutura complexa.

3 Espa¸

co tangente

Se M é uma variedade diferenciável e p ∈ M , podemos complexificar cada espa¸co tangente, TpMC= C ⊗ TpM . Cada vector w ∈ TpMC será então da forma

w = u + iv

com u, v ∈ TpM . O vector conjugado a w ´e simplesmente o vector

w = u − iv. Um vector w diz-se real se w = w.

Um covector ω ∈ T_p∗M define um covector em TpMC

∗

mediante ω(u + iv) = ω(u) + iω(v),

sendo ent˜ao claro que TpMC

∗

= T_p∗MC_{. ´}_{E imediata a defini¸c˜}_{ao de um covector conjugado,}

bem como a verifica¸c˜ao da identidade

ω(w) = ω(w).

Um covector diz-se real se concide com om seu conjugado. Tudo isto se estende trivialmente a tensores quaisquer.

Podemos portanto considerar campos vectoriais complexos Z = X + iY ∈ X(M )C_,

onde X, Y ∈ X(M ). Estes campos agem em fun¸c˜oes complexas f ∈ C∞(M, C) = C∞(M )C

atrav´es de

(5)

e possuem um parˆentesis de Lie dado por

[Z, W ] = [X + iY, U + iV ] = [X, U ] − [Y, V ] + i[Y, U ] + i[X, V ] (onde W = U + iV ).

Se M é uma variedade complexa de dimensão d, cada espa¸co tangente TpM possui dimensão

real 2d, e portanto TpMCpossui dimens˜ao complexa 2d (dimens˜ao real 4d). Se φ = (z1, . . . , zd)

s˜ao coordenadas holomorfas, com zn = xn+ iyn (n = 1, . . . , d), uma base para TpMC como

espa¸co vectorial sobre C ´e ∂ ∂x1, . . . , ∂ ∂xd, ∂ ∂y1, . . . , ∂ ∂yd , e a base dual de T_p∗MC_´_e n dx1, . . . , dxd, dy1, . . . , dydo.

Uma outra base para T_p∗MC _´_{e formada pelos covectores (conjugados dois a dois)}

n

dz1, . . . , dzd, dz1, . . . , dzdo, onde

dzn= dxn+ idyn e dzn= dxn− idyn

(n = 1, . . . , d). Esta base possui a propriedade de que se (w1, . . . , wd) s˜ao outras coordenadas holomorfas no mesmo aberto ent˜ao

dwn= d X m=1 ∂wn ∂zmdz m _e _dwn₌ d X m=1 ∂wn ∂zmdz m_.

A base dual correspondente ´e formada pelos vectores (conjugados dois a dois) ∂ ∂z1, . . . , ∂ ∂zd, ∂ ∂z1, . . . , ∂ ∂zd , onde ∂ ∂zn = 1 2 ∂ ∂xn− i 2 ∂ ∂yn e ∂ ∂zn = 1 2 ∂ ∂xn + i 2 ∂ ∂yn

(n = 1, . . . , d). Esta base possui a propriedade de que f ∈ C∞(M, C) ´e holomorfa sse ∂

∂zn · f = 0,

e que se f ´e holomorfa ent˜ao

∂ ∂zn · f =

∂(f ◦ φ−1) ∂zn .

´

E imediato verificar que Jp ∂ ∂zn = i ∂ ∂zn e Jp ∂ ∂zn = −i ∂ ∂zn

(n = 1, . . . , d). Portanto Jp (que ´e um tensor real) decomp˜oe TpMC na soma directa de dois

espa¸cos pr´oprios (conjugados) TpM+ e TpM−, correspondentes aos valores pr´oprios i e −i, com

bases ∂ ∂z1, . . . , ∂ ∂zd e ∂ ∂z1, . . . , ∂ ∂zd .

(6)

Exerc´ıcios 3.1

1. Mostre que se T, S s˜ao tensores em TpMC ent˜ao T ⊗ S = T ⊗ S.

2. Seja M uma variedade complexa e p ∈ M . Indique uma base para TpMC como espa¸co

vectorial sobre R.

3. Seja M uma variedade complexa de dimensão complexa d. Mostre que se (w1, . . . , wd) são coordenadas holomorfas no mesmo aberto U ⊂ M então

dwn= d X m=1 ∂wn ∂zmdz m _e _dwn₌ d X m=1 ∂wn ∂zmdz m_.

Conclua que se zn= xn+ iyn e wn= un+ ivn (n = 1, . . . , d) ent˜ao

det ∂(u 1_{, . . . , u}d_{, v}1_{, . . . , v}d₎ ∂(x1_{, . . . , x}d_{, y}1_{, . . . , y}d₎ = det ∂(w 1_{, . . . , w}d₎ ∂(z1_{, . . . , z}d₎ 2 > 0, e que portanto qualquer variedade complexa ´e necessariamente orient´avel.

4. Seja M uma variedade complexa de dimens˜ao complexa d e f ∈ C∞(M, C). Mostre que: (a) f ´e holomorfa sse

∂

∂zn · f = 0 (n = 1, . . . , d) para quaisquer coordenadas holomorfas φ = (z1, . . . , zd) em M . (b) Se f ´e holomorfa ent˜ao

∂ ∂zn· f =

∂(f ◦ φ−1) ∂zn .

5. Seja M uma variedade complexa de dimens˜ao complexa d e p ∈ M . Escreva o tensor Jp

nas bases associadas `as bases ∂ ∂x1, . . . , ∂ ∂xd, ∂ ∂y1, . . . , ∂ ∂yd e ∂ ∂z1, . . . , ∂ ∂zd, ∂ ∂z1, . . . , ∂ ∂zd de TpMC.

4 Formas diferenciais

Dadas coordenadas holomorfas (U, z1, . . . , zd) numa variedade complexa M de dimens˜ao complexa d, qualquer forma diferencial ω ∈ Ωk_{(U )}C _{pode ser decomposta numa soma}

ω = X r+s=k ω(r,s), onde ω(r,s)= X m1<...<mr n1<...<ns ωm1...mrn1...nsdz m1 _{∧ . . . ∧ dz}mr _{∧ dz}n1_{∧ . . . ∧ dz}ns_.

Pelo Exerc´ıcio 3.1.3, esta decomposi¸c˜ao n˜ao depende da escolha de coordenadas holomorfas, e pode portanto ser estendida a Ωk(M )C_{. Diz-se que a forma diferencial ω}r,s _{possui bigrau (r, s),}

(7)

Proposi¸c˜ao 4.1 Seja M uma variedade complexa e ω ∈ Ωr,s(M ). 1. Se ω0 ∈ Ωr0_,s0

(M ) ent˜ao ω ∧ ω0 ∈ Ωr+r0_,s+s0

(M ); 2. ω ∈ Ωs,r(M ).

A derivada exterior extende-se sem dificuldade às formas diferenciais complexificadas. É fácil ver que se f ∈ C∞(M )C _ent˜_{ao em coordenadas locais holomorfas}

df = d X n=1 ∂ ∂zn · f dzn+ d X n=1 ∂ ∂zn · f dzn.

Isto mostra que d(Ωr,s(M )) ⊂ Ωr+1,s(M )⊕Ωr,s+1(M ), e portanto podemos decompor o operador d : Ωr,s(M )) → Ω(M )C _{de forma ´}_{unica numa soma d = ∂ + ∂, onde ∂(Ω}r,s_{(M )) ⊂ Ω}r+1,s_{(M )}

e ∂(Ωr,s(M )) ⊂ Ωr,s+1(M ).

Defini¸c˜ao 4.2 Os operadores ∂ : Ω(M )C_{→ Ω(M )}C _{e ∂ : Ω(M )}C_{→ Ω(M )}C_{, definidos por}

∂ω = X

r+s=k

∂ω(r,s) e ∂ω = X

r+s=k

∂ω(r,s)

dizem-se os operadores de Dolbeault.

Proposi¸c˜ao 4.3 Seja M uma variedade complexa e ω ∈ Ωk(M )C_{. Ent˜}_ao

∂∂ω = (∂∂ + ∂∂)ω = ∂∂ω = 0. Demonstra¸c˜ao: Basta decompor a identidade

0 = d2ω = (∂ + ∂)2ω = ∂∂ω + (∂∂ + ∂∂)ω + ∂∂ω

por bigraus.

Defini¸c˜ao 4.4 Uma forma-r holomorfa ´e uma forma ω ∈ Ωr,0(M ) tal que ∂ω = 0.

Portanto formas-0 holomorfas são simplesmente fun¸cões holomorfas. Na realidade, as formas-r holomorfas são o espa¸co de cohomologia de grau zero do complexo de Dolbeault

Ωr,0(M )−→ Ω∂ r,1(M )−→ . . .∂ −→ Ω∂ r−1,d(M )−→ Ω∂ r,d(M ). Exerc´ıcios 4.5

1. Mostre que se M ´e uma variedade complexa de dimens˜ao complexa d e f ∈ C∞(M )C_ent˜_ao

df = d X n=1 ∂ ∂zn · f dzn+ d X n=1 ∂ ∂zn· f dzn.

2. (a) Mostre que uma forma-1 holomorfa numa superf´ıcie de Riemann ´e necessariamente fechada.

(8)

(b) Seja f : U ⊂ C → C uma fun¸c˜ao holomorfa. Mostre que Z

γ

f (z)dz

s´o depende da classe de homotopia de γ (Teorema de Cauchy).

(c) Generalize o Teorema de Cauchy para superf´ıcies de Riemann quaisquer. 3. (a) Mostre que n˜ao existem formas-1 holomorfas na esfera CP1.

(b) Mostre que as formas-1 holomorfas no toro T2formam um espa¸co vectorial de dimens˜ao complexa 1.

5 Geometria Hermiteana

Defini¸cão 5.1 Seja M uma variedade complexa com estrutura quase complexa J . Uma métrica Riemanniana g em M diz-se uma métrica Hermiteana se

g(J X, J Y ) = g(X, Y ) para quaisquer X, Y ∈ X(M ).

Proposi¸c˜ao 5.2 Qualquer variedade complexa admite uma m´etrica Hermiteana.

Demonstra¸c˜ao: Seja M uma variedade complexa e g uma m´etrica Riemanniana qualquer em M . Defina-se

h(X, Y ) = 1

2(g(X, Y ) + g(J X, J Y ))

para quaisquer X, Y ∈ X(M ). Então h é uma métrica hermiteana em M . Proposi¸cão 5.3 Seja M uma variedade complexa e g uma métrica Hermiteana em M . Então J X é ortogonal a X para qualquer X ∈ X(M ). Em particular, g(X, X) = 0 para qualquer X ∈ X(M )+ ou X ∈ X(M )−.

Demonstra¸c˜ao: Basta notar que

g(J X, X) = g(J2X, J X) = −g(X, J X) = −g(J X, X). Se X ∈ X(M )+, temos J X = iX e portanto

g(X, X) = −ig(iX, X) = −ig(J X, X) = 0.

O caso X ∈ X(M )− é inteiramente análogo. Note-se que em particular se (z1, . . . , zd) são coordenadas holomorfas em M então

g ∂ ∂zm, ∂ ∂zn = g ∂ ∂zm, ∂ ∂zn = 0. Segue-se que nestas coordenadas a m´etrica Hermiteana g se escreve

g =

d

X

m,n=1

(9)

onde gmn= g ∂ ∂zm, ∂ ∂zn e gmn= g ∂ ∂zm, ∂ ∂zn satisfazem gmn= gmn.

Defini¸cão 5.4 A forma de Kähler associada a uma variedade Hermiteana (M, g) é dada por Ω(X, Y ) = g(J X, Y )

para todo o X, Y ∈ X(M ).

Proposi¸cão 5.5 A forma de Kähler associada a uma variedade Hermiteana (M, g) é uma forma diferencial de bigrau (1, 1), não degenerada, invariante para a estrutura quase complexa J . Demonstra¸cão: A forma Ω é claramente bilinear. Para ver que é anti-simétrica, notamos que

Ω(X, Y ) = g(J X, Y ) = g(J2X, J Y ) = −g(J Y, X) = −Ω(Y, X). ´

E agora imediato ver que Ω ´e invariante por J :

Ω(J X, J Y ) = g(J2X, J Y ) = −g(J Y, X) = −Ω(Y, X) = Ω(X, Y ). Para ver que Ω possui bigrau (1, 1), notamos que em coordenadas holomorfas

Ωmn= igmn= 0, Ωmn= igmn, Ωmn= −igmn, Ωmn= −igmn = 0, pelo que Ω = d X m,n=1 igmndzm⊗ dzn− igmndzm⊗ dzn= d X m,n=1 igmndzm∧ dzn.

Isto mostra tamb´em que nestas coordenadas

det Ω = det g > 0,

e portanto Ω ´e n˜ao degenerada.

Corolário 5.6 Seja M uma variedade complexa. Então M é orientável.

Demonstra¸cão: Seja g uma métrica Hermiteana em M e Ω a correspondente forma de Käler. Uma vez que Ω é não degenerada, Ωdé um elemento de volume em M . Defini¸cão 5.7 Uma variedade de Kähler é uma variedade Hermiteana cuja forma de Kähler é fechada (e portanto é uma forma simpléctica).

Em particular, qualquer superf´ıcie de Riemann é uma variedade de Kähler. Existe um análogo do Teorema de Levi-Civita para variedades Hermiteanas:

Teorema 5.8 Seja (M, g) uma variedade Hermiteana. Existe uma única conexão ∇ (dita a conexão Hermiteana) compat´ıvel com g para a qual a estrutura quase complexa J é paralela.

(10)

Note-se que em geral esta conexão possui torsão. Na verdade, a torsão ser nula é equivalente à variedade ser Kähler:

Proposi¸cão 5.9 Uma variedade Hermiteana é uma variedade de Kähler sse a sua conexão Her-miteana tem torsão nula (e portanto é a conexão de Levi-Civita).

Exerc´ıcios 5.10

1. Mostre que se (M, g) é uma variedade Hermiteana então podemos definir um produto interno Hermiteano em cada espa¸co tangente TpMC através da fórmula

hv, wi = g(v, w) para todo o v, w ∈ TpMC e todo o p ∈ M .

2. Seja (M, J ) uma variedade quase complexa e p ∈ M

(a) Mostre que existe uma m´etrica Riemanniana g em M compat´ıvel com J .

(b) Mostre que existe uma vizinhan¸ca U de p e campos X1, . . . , Xd, Y1, . . . , Yd ∈ X(U )

tais que

J Xn= Yn e J Yn= −Xn

para n = 1, . . . , d.

(c) Mostre que existem campos X1, . . . , Xd, Y1, . . . , Ydque comutam entre si sse J prov´em

de uma estrutura complexa.

(d) Mostre que existe um isomorfismo linear real φ : TpM → Cn tal que

φ(J v) = iφ(v) para todo o v ∈ TpM .

3. Mostre que a forma de Kähler associada a uma métrica Hermiteana numa superf´ıcie de Riemann é simplesmente a forma de volume.

4. Seja z a coordenada complexa em S2 obtida por projeçcão estereográfica, e J a correspon-dente estrutura quase complexa.

(a) Mostre que a m´etrica Riemanniana usual em S2 pode ser escrita na forma

g = 2

(1 + |z|2₎2 (dz ⊗ dz + dz ⊗ dz) .

(b) Conclua que a métrica usual em S2 é uma métrica Hermiteana para J . (c) Descreva geometricamente a açcão de J em T S2.

5. Seja (M, g) uma variedade Hermiteana com conexão Hermiteana ∇. Mostre que se ∇ possui torsão nula então (M, g) é uma variedade de Kähler.

6. Seja M uma variedade complexa, J a correspondente estrutura quase complexa e K ∈ C∞(M ) uma fun¸c˜ao real.

(11)

(a) Mostre que

Ω = i∂∂K ´

e uma forma-2 real fechada, invariante para J . (b) Mostre que se o tensor (real) g, definido por

g(X, Y ) = Ω(X, J Y )

para todo o X, Y ∈ X(M ), é definido positivo, então g é uma métrica Hermiteana em M com forma de Kähler Ω. Neste caso, (M, g) é uma variedade de Kähler, e K diz-se um potencial de Kähler. (c) Mostre que K = 1 2 d X n=1 |zn|2 ´

e um potencial de Kähler em Cd, cuja métrica Hermiteana e forma de Kähler são a métrica Euclidena e a forma simpléctica canónica em R2d.

(d) Considere os abertos

Un= {[z0, . . . , zd] ∈ CPd: zn6= 0},

as fun¸c˜oes Kn: Un→ R definidas por

Kn([z0, . . . , zd]) = d X m=0 zm zn 2 .

e as formas-2 Ωn∈ Ω1,1(Un) dadas por

Ωn= i∂∂Kn.

Mostre que Ωn = Ωm em Un∩ Um. Portanto Ωn ´e a restri¸c˜ao a Un de uma forma

Ω ∈ Ω1,1(Un).

(e) Mostre que a forma Ω determina uma estrutura de K¨ahler em CPd_.