Funções. Função injetora. Função bijetora. Exercícios. 1) VErifique se as funções são injeroras, sobrejetoras ou bijetoras:

d e

Uma função bijetora é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. Nesse tipo de função, o número de elementos do domínio e do contradomínio é igual.

a b c d e f a b c d e f g

Funções

Uma função injetora representa aquela em que cada elemento do domínio corresponde a um único elemento do conjunto imagem.

Função bijetora

a) f: N→N, definida por y=|x| b) f: N→Z, definida por y=2x c) f: N→Z, definida por y=x d) f: R→R*

Quando uma função é sobrejetora, todos os elementos do conjunto imagem têm pelo menos um correspondente no domínio.

Função injetora

1) VErifique se as funções são injeroras, sobrejetoras ou bijetoras:

Exercícios

Funções

2) Analise as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas e justifique as falsas.

( ) Graficamente, uma função é injetora se, ao traçarmos uma reta paralela ao eixo x, a interseção ocorrer em apenas um único ponto.

( ) Graficamente, não é necessário conhecer a  composição da função (ex: f: Z→N) para saber se uma função é sobrejetora ou não.

( ) Dado que f: A→B, se n(A)=n(B), então a função é injetora. ( ) Dado que f: A→B, se n(a)>n(B), então a função é sobrejetora. ( ) Dado que f: A→B, se n(a)<n(B), então a função é sobrejetora. ( ) Toda função injetora é bijetora.

( ) Se uma função é bijetora, ela é, também, sobrejetora.

1) a) Bijetora; b) Injetora; c) Injetora; d) Sobrejetora.

2) Analise as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas e justifique as falsas.

( V ) Graficamente, uma função é injetora se, ao traçarmos uma reta paralela ao eixo x, a interseção ocorrer em apenas um único ponto.

( F ) Graficamente, não _{é necessário conhecer a  composição da função (ex: f: Z→N) para saber se uma função é}

sobrejetora ou não. justificativa: é sim necessário conhecer.

( F _{) Dado que f: A→B, se n(A)=n(B), então a função é} injetora. justificativa: a função é bijetora. ( V _{) Dado que f: A→B, se n(a)>n(B), então a função é sobrejetora.}

( F _{) Dado que f: A→B, se n(a)<n(B), então a função é} sobrejetora. justificativa: nesse caso, a função é injetora. ( F ) Toda função injetora é bijetora. justificativa: toda função bijetora é injetora, mas nem toda função injetora é bijetora.

( v ) Se uma função é bijetora, ela é, também, sobrejetora.

a é chamado coeficiente angular, inclinação ou declividade. b é chamado de coeficiente linear.

a>0: grandezas diretamente proporcionais e função crescente.

a<0: grandezas inversamente proporcionais e função decrescente.

A interseção com o eixo x é dada por x=0, ou seja, quando y=b, no ponto (0, b);

Chamamos função polinomial do 1° grau, ou função afim, a qualquer função f: R→R, em que f(x)= ax+b, sendo a e b números reais, com a diferente de zero.

o gráfico de uma função afim é uma reta cuja inclinação é dada pelo sinal do coeficiente angular, a. Ex 1:

Ex 2:

Para calcular o coeficiente angular, pode-se fazer a tangente do Ângulo formado pela reta e o eixo x, quando indicado, como no exemplo 1 acima. Quando o ângulo não está explícito, tomamos pontos conhecidos da reta para obter o coeficiente a., como no exemplo 2.

Já para esboçar o gráfico de uma função da forma y = ax+b, é importante conhecermos os pontos de interseção desse gráfico com os eixos x e y.

Funções

Conhecendo dois ponto A(x , y ) e B(x , y ), o coeficiente angular pode ser calculado a partir de:

Função afim

A interseção com o eixo y é dado, por sua vez, por y=0 e x=-b/a, no ponto (-b/a, 0). esse ponto é conhecido como a raiz ou zero da função.

f(x) = ax+b, com a e b diferentes de zero → função afim

f(x) = ax+b, com a diferente de zero e b=0 → função linear

f(x) = ax+b, com a=1 e b=0 → função identidade

f(x) = ax+b, com a = 0 e b diferente de zero → função constante

se , a função não possui raízes reais; se , a função possui uma raiz real; se , a função possui duas raízes reais.

O gráfico pode ser esboçado ao marcar os pontos de interseção no sistema cartesiano.

Lembrando que:

Função quadrática

É chamada função quadrática, ou polinomial do segundo grau, a função f: R→R, definida por f(x)=ax +bx+c, em que a pertence aos reais não nulos e b e c pertencem aos reais.

Para encontrar as raízes da função f(x)=ax +bx+c,  deve-se fazer f(X)=0, encontrando ax +bx+c=0, e utilizar a fórmula de bhaskara.

fórmula de bhaskara

e a partir dos resultados obtidos por essa fórmula, pode-se depreender algumas informações muito importantes, são elas:

Funções

2 2

Soma das raízes da função:

Produto das raízes da função:

Além disso, pode-se usar também as relações de soma e produto para encontrar as raízes de uma função f(x)=ax +bx+c. para isso, deve-se satisfazer as seguintes condições:

O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola. Para esboçar tal gráfico, é necessário saber algumas informações, como a concavidade, a interseção com os eixos x e y e onde se encontra o vértice da parábola. A tabela a seguir explicita a relação existente entre a concavidade e a interseção com o eixo x e os valores do coeficiente a e do delta da parábola.

Tabela 1 - Concavidade x delta x coeficiente a x interseção com eixo x

fonte: Professor Fausto. disponível em: https://sites.google.com/site/professorfaustof/matematica/1o-ano/funcao-do-2o-grau. Acesso em: 13 jul. 2020

Funções

Em x:

Em y:

se a>0: o vértice representa um ponto de mínimo da parábola, com y como sendo o valor mínimo da função, e a imagem estando acima desse ponto.

se a<0: o vértice representa um ponto de máximo da parábola, com y como sendo o valor máximo da função, e a imagem estando abaixo desse ponto.

Além disso, a interseção com o eixo y é dada pelo coeficiente c da função f(x)=ax +bx+c, no ponto (0, c).

Já o vértice da parábola, que é o ponto de simetria da mesma, suas coordenadas são dadas pelas duas expressões abaixo: Este representa um ponto equidistante das raízes e pode ser obtido pela média aritmética das raízes.

utilizando esse valor de x em f(x)=ax +bx+c, obtém-se o valor de y , tal que:

O ponto com as coordenadas  representa o vértice da parábola. Podemos concluir, assim, que:

Lembrando que:

uma função do segundo grau também pode ser escrita na forma fatorada, seja ela:

Funções

2

v 2

v v

Para b>0, tem-se Im= ]c, infinito[ Para b<0, tem-se Im= ]infinito, c[

função exponencial

Seja f: R→R*, definida por f(x)=a , em que 0<a 1, diz-se que f(x) é a função exponencial. Graficamente, tem-se uma hipérbole, como nos gráficos* abaixo.

Função Crescente: a>0 função decrescente: 0<a<1 Im= ]0, infinito[ Im= ]infinito, 0[

em caso de a função ser da forma f(x)=a .b + c, a imagem se altera e passa a depender de c, sendo este o novo limite inferior ou superior, a depender do valor de b, logo:

Ex: y= 2+3 ---> Im= ]2, infinito[ ex: y= -1-2 ---> Im= ]infinito, -1[

*Gráficos disponíveis em: <https://dicasdevestibular.blogosfera.uol.com.br/2020/04/09/a-curva-exponencial-e-o-coronavirus/>. Acesso em 13 jul. 2020.

Funções

Em ambos os casos o gráfico não intercepta o eixo y , uma vez que a função não está definida para x=0;      também em ambos os casos a curva intercepta o eixo x no ponto (1,0), uma vez que log 1 = 0;

A função f: R→R*, definida por f(x)=log x é inversa da função g: R→R*, definida por g(x)=a , a função exponencial vista anteriormente. o gráfico das funções f e g são simétricos em relação à bissetriz que passa pelos quadrantes ímpares do plano cartesiano (a reta x=y).

função logarítmica

Seja f: R→R*, definida por f(x)=log x, em que 0<a 1, diz-se que f(x) é a função logarítmica. Graficamente, tem-se como nos gráficos* abaixo.

Função Crescente: a>0 função decrescente: 0<a<1

Lembrando que:

*Gráficos disponíveis em: <https://sabermatematica.com.br/funcao-logaritmica-definicao-grafico-exemplos.html>. Acesso em 13 jul. 2020.

Funções

a

+

a