COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE FUNÇÃO COMPOSTA E INVERSA – 2012 - GABARITO
1. Sendo f(x) = 2x – 3 e g(x) = 4 – x², determine: a) f(g(x)) b) g(f(x)).
Solução. Efetuando as composições, temos:
a) f(g(x)) = f(4 – x²) = 2(4 – x²) – 3 = 8 – 2x² – 3 = - 2x² + 5
b) g(f(x)) = g(2x – 3) = 4 – (2x – 3)² = 4 – (4x² - 12x + 9) = 4 – 4x² + 12x – 9 = - 4x² + 12x – 5.
2. Sabendo que f(4x – 1) = 8x + 5, determine: a) f(x) b) f(2) Solução. Substituindo 4x – 1 = t e trabalhando com a mudança de variáveis, temos:
a)
7 x2 )x(f , Logo
7t 2 )t(f 5) 1t (2 4 5
.8 1t )t(f 5
x8 )1 x4(f
4 x 1t t1 x4
.
b) f(2) = 2(2) + 7 = 4 + 7 = 11.
3. Sabendo que f(3x – 2) = x² + 1, determine f(4).
Solução. A mudança de variáveis pode ser feita diretamente no valor pedido.
2 1² 5
)4(f 1²
x )2 x3(f
3 2 6 3
4 x 2 4 2
x3
.
4. Considere a função f : IR IR definida por:
0 x se
²,x 2
0 x se ,x )x( 2
f . Calcule f(f(-1))-f(f(3)).
Solução. Observando os intervalos de definição, temos:
6) 5(
1 ))3(f (f ))1(
f(f, Logo
5 )7(
f)) 3(f(f 5
)7(
2) 7(f x2 )x(f 0 7
7 92 )²3(
2) 3(f
²x 2) x(f 0 )ii 3
1) 1(f ))1(
11 f(f 2 )²1(
2) 1(f
²x 2) x(f 01
1) 1(
2) 1(f x2 )x(f )i 01
.
5. Uma função real f é tal que
4 ) x ( f 4 f x
. Se f(32) = 400, determine f(2).
Solução. Escrevendo valores em funções de anteriores iniciando pelo f(32) de forma conveniente, temos:
4 25 )2(f 100 4
)8(f 4 f 8 4
)x(f 4 f x
8 x
4 100 )8(f 400 4
)32(
f 4 f 32 4
)x(f 4 f x
32 x
. Logo, f(2) = 25.
6. Seja a função f (x) =3x + a . Sabendo que (fof)(a) = 2a +10 , determine o valor de a.
Solução. Aplicando a composta duas vezes e comparando com a expressão informada, temos:
11 a 10 10 a2 10 a13
a2 ))a(f (f
a13 a4 )a(9 ))a(f (f a4 x9 a) a x3(
3) a x3(f ))x(
f(f
.
7. Classifique cada uma das funções como sobrejetora, injetora ou bijetora:
Solução. Observando as imagens e os contradomínios, temos:
8. Determine a função inversa da função bijetora f : IR { 4 } IR { 2 } definida por
4 x
3 x ) 2 x (
f
.
Solução. Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos:
2 x
3 x ) 4 x ( f y 3 x 4 ) 2 x ( y 3 x 4 y 2 xy 3 y 2 x 4 4 xy
y 3 y x 2 : Troca
4 x
3 x y 2
1
.
9. Seja f : IR { 3 } IR { 1 } , definida por
3 x
3 ) x
x (
f
.
a) Obtenha a sua inversa f
-1b) Determine f
-1(f(x)) Solução. Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos:
a)
1 x
3 x ) 3 x ( f y 3 x 3 ) 1 x ( y 3 x 3 y xy 3 y x 3 3 xy
y 3 x y
: Troca
3 x
3 y x
1
.
b)
6 x
x 6 6
3 . x 3 x
x 6 3
x
3 x 3 x
3 x
9 x 3 9 x 3
3 x
) 3 x ( 3 x
3 x
) 3 x ( 3 3 x 3 3 1
x 3 x
3 3 x
3 3 x 3 x
3 f x
)) x ( f (
f
1 1
.
10. Seja a função f de A = {0, 1, 2, 3, 4} em B = {1, 2, 3, 4, 5}, definida por y = x + 1.
a) f é invertível? Justifique. b) Determine D(f
-1) e Im(f
-1) a) Solução. Para que seja invertível, ela precisa ser bijetora. Obervando o diagrama vemos que é bijetiva. Logo, possui inversa.
b)
f D f A Im
B ) f Im(
f D
1 1
.
11. Dada , x 0
x 3
1 x ) 2 x (
f
, determine: a) f
-1(1) b) f
-1(x + 1)
Solução. Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos:
a)
1 1 1 2 ) 1 ( 3 ) 1 1 ( f
2 x 3 ) 1 x ( f y 1 ) 2 x 3 ( y 1 y 2 xy 3 1 y 2 xy y 3
3 1 y x 2 : Troca
x 3
1 x y 2
1
1
.
b) 3 x 1
1 2
3 x 3
1 2
) 1 x ( 3 ) 1 1 x ( 2 f
x 3 ) 1 x (
f
1 1
.
12. Considere a função invertível f cujo gráfico é mostrado.
Determine a lei que define f
-1(x).
Solução. O gráfico é uma reta. Logo, função afim. Encontrando a lei de f(x), temos:
i)
3 2 )x(f x2
3 a2 2 a3 42 b)3( a3 a4 2b b)3(
a4 b)0(
a2 bax )x(f
.
ii) Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos:
2 3 x ) 3 x ( f y 6 x 3 y 2 6 y 2 x 3 3 2
y x 2 : Troca
3 2 x y 2
1
