Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Campus de Rio Claro
Tópicos de Geometria Diferencial
Ricardo Alexandre Batista
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação Mestrado Pro ssional em Ma-temática Universitária do Departamento de Matemática como requisito parcial para a ob-tenção do grau de Mestre
Orientador
Prof. Dr. João Peres Vieira
Tópicos de geometria diferencial / Ricardo Alexandre Batista. - Rio Claro : [s.n.], 2011
91 f. : il., figs.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Orientador: João Peres Vieira
1. Geometria diferencial. 2. Aplicação de Gauss. 3. Curvatura gaussiana. 4. Superfícies mínimas. 5. Teorema Egregium de Gauss. 6. Teorema de Gauss Bonnet. I. Título. B333t
Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP
TERMO DE APROVAÇÃO
Ricardo Alexandre Batista
Tópicos de Geometria Diferencial
Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Pro ssional em Matemática Universitária do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, pela seguinte banca examina-dora:
Prof. Dr. João Peres Vieira Orientador
Profa. Dra. Elíris Cristina Rizziolli Departamento de Matemática UNESP - Rio Claro
Prof. Dr. Laércio Aparecido Lucas Academia da Força Aérea - Pirassununga
Agradecimentos
A Deus por me amparar nos momentos difíceis, me dar força interior para superar as di culdades, mostrar os caminhos nas horas incertas e me suprir em todas as minhas necessidades.
À minha mãe, Maria José, a qual eu amo, pelo apoio nos momentos difíceis e pela compreensão em todas as minhas decisões.
Às minhas irmãs, Larissa e Leliane, pelo incentivo e apoio de sempre.
À minha namorada, Lidiane, pelo incentivo e compreensão pelo tempo dedicado aos estudos e ausência nos momentos de saudade.
Aos meus amigos (irmãos) de Batatais, pelo companheirismo e amizade prestada ao longo dos anos.
A todos amigos do mestrado, em especial ao Fabrício, Robson, Leda e Ana, pela ajuda nos estudos, bem como nos momentos os quais pensávamos em desistir.
Aos meus amigos e companheiros de trabalho, pelo tempo que estive ausente, dedicando-me ao curso.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Matemática Universitária do Departamento de Matemática do IGCE-UNESP- Rio Claro-SP, pelos ensinamentos e conselhos ao longo de todo o curso.
E, em especial, ao meu orientador, Prof. Dr. João Peres Vieira, agradeço as cobranças, exigências, dinamismo, paciência e tamanha dedicação com tal trabalho.
Resumo
O principal objetivo deste trabalho é confeccionar um texto para alunos de gra-duação na área de Ciências Exatas e da Terra concernente ao estudo da Curvatura Gaussiana e Aplicação de Gauss, Superfícies Mínimas, Teorema Egregium de Gauss e o Teorema de Gauss- Bonnet para curvas simples fechadas.
Palavras-chave: Aplicação de Gauss, Curvatura Gaussiana, Superfícies Mínimas, Teorema Egregium de Gauss, Teorema de Gauss-Bonnet .
Abstract
The main objective from this work is to make a text for students of graduation in the area of exact sciences and of the land concerning to the study of the Gaussian Curvature and the Gauss Map, Minimal Surfaces, Gauss's Theorem Egregium and the Gauss-Bonnet Theorem for Simple Closed Curves.
Keywords: Gauss Map, Gaussian Curvature , Minimal Surfaces, Gauss's Theorem Egregium, Gauss-Bonnet Theorem .
Lista de Figuras
3.1 Aplicação de Gauss. . . 22 3.2 Curvatura Normal. . . 23 3.3 Superfície de Revolução. . . 31 3.4 Pseudoesfera. . . 40 3.5 Tractrix. . . 40 3.6 Superfície paralela. . . 41 4.1 Catenóide. . . 53 4.2 Helicóide. . . 59Sumário
1 Introdução 15 2 Pré-Requisitos 17 2.1 Curvas regulares . . . 17 2.2 Superfícies Regulares . . . 18 2.3 Orientação de superfícies . . . 19 2.4 Isometrias . . . 203 Curvatura Gaussiana e a Aplicação de Gauss 21 3.1 Aplicação de Gauss e suas propriedades fundamentais . . . 21
3.2 Aplicação de Gauss em coordenadas locais . . . 25
3.3 Exemplos . . . 30
3.4 Superfícies de curvatura média constante . . . 40
3.5 Curvatura Gaussiana de Superfícies Compactas . . . 47
4 Superfícies Mínimas 49 4.1 O problema de Plateau . . . 49
4.2 Exemplos de superfícies mínimas . . . 53
5 Teorema Egregium de Gauss 71 6 Teorema de Gauss-Bonnet 83 6.1 Gauss-Bonnet para curvas Simples Fechadas . . . 83
7 Conclusão 89
1 Introdução
Num curso regular de Geometria Diferencial, o estudo de superfícies mínimas e os Teoremas Egregium de Gauss e de Gauss-Bonnet são tópicos, em geral, abordados de uma forma muito rápida e sem muitos detalhes.
O objetivo desse trabalho é elaborar um texto para alunos de graduação na área de Ciências Exatas e da Terra, concernente ao estudo destes tópicos, evidenciando uma conexão entre as áreas de Geometria, Álgebra e Análise.
Para isso é recomendado que o leitor tenha uma certa familiaridade com Álgebra Linear, Equações Diferenciais Ordinárias e Análise, cujos resultados necessários serão referenciados ao longo do texto.
Esse trabalho está organizado da seguinte forma:
Inicialmente, no capítulo 2, introduzimos algumas de nições e resultados sobre curvas e superfícies regulares, orientações de superfícies e isometrias necessários para o entendimento dos capítulos posteriores.
No capítulo 3 estudamos a Aplicação de Gauss, suas propriedades fundamentais e a Curvatura Gaussiana.
No capítulo 4 estudamos superfícies mínimas, mais propriamente, buscamos solu-ções para o problema de Plateau, bem como vemos alguns exemplos de tais superfícies. No capítulo 5 provamos o Teorema Egregium de Gauss e alguns corolários deste teorema.
Finalmente, no capítulo 6 provamos o Teorema de Gauss-Bonnet para curvas sim-ples fechada, e fazemos uma aplicação deste teorema.
2 Pré-Requisitos
Neste capítulo introduziremos algumas de nições e resultados sobre curvas e super-fícies regulares, orientações de supersuper-fícies e isometrias, que serão usados ao longo do texto.
2.1 Curvas regulares
Nesta seção introduziremos alguns conceitos básicos para curvas no espaço e enun-ciaremos o Teorema Fundamental das curvas planas. Para maiores detalhes veja [6]. De nição 2.1. Uma curva parametrizada diferenciável é uma aplicação diferenciável α : I → R3 de um intervalo aberto I =]a, b[ da reta real R em R3.
De nição 2.2. Um curva parametrizada α : I → R3 é chamada regular se α′(t) ̸= 0 para todo t ∈ I.
De nição 2.3. Um curva regular α : I → R3 é dita parametrizada pelo comprimento de arco, se para cada t0, t1 ∈ I, t0 ≤ t1o comprimento do arco da curva α de t0 a t1 é igual a t1 − t0. Isto é ∫
t1
t0
∥α′(t)∥ dt = t
1− t0.
De nição 2.4. Seja α : I → R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco s ∈ I. O número ∥α′′(s)∥ = kα(s) chama-se curvatura de α em s.
Nos pontos onde kα(s)̸= 0, ca bem de nido pela equação α′′(s) = kα(s)nα(s), um
vetor unitário nα(s) na direção de α′′(s), chamado o vetor normal em s.
Indicaremos por tα(s) = α′(s) o vetor tangente unitário de α em s. Temos então
t′α(s) = kα(s)nα(s).
O vetor unitário bα(s) = tα(s)∧ nα(s)será chamado o vetor binormal em s.
De nição 2.5. Seja α : I → R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco s tal que α′′(s)̸= 0, s ∈ I. O número τα(s) de nido por b
′
α(s) = τα(s)nα(s) é chamado
torção de α em s.
O teorema a seguir mostra que a curvatura determina uma curva plana a menos de sua posição no plano. Mais precisamente:
Teorema 2.1. Teorema Fundamental das curvas planas.
a) Dada uma função diferenciável k(s), s ∈ I ⊂ R, existe uma curva regular α(s), parametrizada pelo comprimento de arco s, cuja curvatura é k(s).
b) A curva α(s) acima é única quando xamos α(s0) = p0 e α′(s0) = v0, onde v0 é um vetor unitário de R2.
c) Se duas curvas α(s) e β(s) têm a mesma curvatura, então diferem por sua posição no plano, isto é, existe uma rotação L e uma translação T em R2, tal que
α(s) = (L◦ T )(β(s))
2.2 Superfícies Regulares
Nessa seção introduzimos a noção de uma superfície regular em R3. Para maiores detalhes veja [2].
De nição 2.6. Um subconjunto S ⊂ R3 é uma superfície regular, se para cada p ∈ S, existe uma vizinhança V de p em R3 e uma aplicação χ : U → V ∩ S de um aberto U de R3 em V ∩ S tal que:
(i) χ é diferenciável;
(ii) χ é um homeomor smo;
(iii) para todo q∈U, a diferencial dχq:R2→R3 é injetiva.
De nição 2.7. A aplicação χ é chamada uma parametrização ou um sistema de coor-denadas (locais) em uma vizinhança de p. A vizinhança V ∩ S de p em S é chamada uma vizinhança coordenada.
Veremos mais adiante, que a condição (iii) na de nição 2.6 garante que para cada p ∈ S, o conjunto de vetores tangentes às curvas parametrizadas de S, passando por p, constituem um plano.
De nição 2.8. Entendemos por vetor tangente a S, em um ponto p ∈ S, ao ve-tor tangente α′(t
0) de uma curva parametrizada diferenciável α:]a, b[ → S ⊂ R3 com α(t0) = p.
Para a demonstração da proposição a seguir necessitaremos de um Teorema da Álgebra Linear, que pode ser encontrado em [5], conhecido como Teorema do Núcleo e da Imagem: Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão nita e seja T : V → W uma transformação linear. Então dimV =dim Ker T + dim Im T , onde Ker T = {v ∈ V : T (v) = 0} é o Núcleo da transformação linear T e Im T = T (V ) = {T (v) : v ∈ V } ⊂ W é a Imagem da transformação linear T .
Orientação de superfícies 19
Proposição 2.1. Seja χ : U ⊂ R2 → S uma parametrização de uma superfície regular S e seja q ∈ U. Então dχq(R2)⊂ R3 é um subespaço de dimensão 2, onde p = χ(q).
Demonstração. Pela condição (iii) da de nição de superfície regular S, temos que, dχq :R2 → R3 é injetiva. Logo, o núcleo de dχq é o subespaço nulo de R2. Assim, pelo
teorema do núcleo e da imagem, dim dχq(R2)= 2. Portanto, dχq(R2)é um plano.
De nição 2.9. Chamamos de plano tangente à superfície S em p, que denotaremos por TpS, ao subespaço dχq(R2), onde p = χ(q).
Proposição 2.2. Seja χ : U⊂R2→S uma parametrização de uma superfície regular S e seja q ∈ U. Então TpS é o subespaço gerado por χu(q) e χv(q) onde p = χ(q).
Demonstração. Sendo dχq :R2 → R3dada por (a, b) →
∂x ∂u(q) ∂x ∂v(q) ∂y ∂u(q) ∂y ∂v(q) ∂z ∂u(q) ∂z ∂v(q) ( a b )
inje-tiva, temos que χu(q) =
( ∂x ∂u(q), ∂y ∂u(q), ∂z ∂u(q) ) e χv(q) = ( ∂x ∂v(q), ∂y ∂v(q), ∂z ∂v(q) ) são linearmente independentes, pois a matriz da transformação linear dχq tem posto 2.
Sendo {e1, e2} base canônica de R2 temos que χu(q) = dχq(e1) e χv(q) = dχq(e2) e como dχq(R2)tem dimensão 2, segue que {χu(q), χv(q)} é uma base de TpS = dχq(R2).
2.3 Orientação de superfícies
Nesta seção vamos discutir em que sentido, e quando, é possível orientar uma superfície. Para maiores detalhes veja [2].
Dada uma parametrização χ : U ⊂ R2 → S de uma superfície regular S, podemos escolher, para cada ponto p ∈ χ(U) ⊂ S, um vetor normal unitário pela regra N(p) =
χu∧χv
∥χu∧χv∥ (q), onde χ(q) = p e χu ∧ χv denota o produto vetorial de χu e χv.
Assim, temos uma aplicação diferenciável N : χ(U) → R3 que associa a cada p∈ χ(U) um vetor unitário N(p).
De maneira geral, temos a seguinte
De nição 2.10. Se V ⊂ S é um conjunto aberto em S e N : V → R3 é uma aplicação diferenciável que associa a cada v ∈ V um vetor normal unitário em v, dizemos que N é um campo diferenciável de vetores normais unitários em V .
De nição 2.11. Dizemos que uma superfície regular é orientável se ela admite um campo diferenciável de vetores normais unitários de nido em toda a superfície. A escolha de um tal campo N é chamada uma orientação de S.
Uma orientação N em S induz uma orientação em cada plano tangente TpS, p ∈ S,
da seguinte maneira: de na a base {v, w} ⊂ TpS como sendo positiva se o produto
interno ⟨v ∧ w, N⟩ > 0. Então o conjunto de todas as bases positivas de TpS é uma
2.4 Isometrias
Nesta seção de nimos a noção de isometria. Para maiores detalhes veja [2].
De nição 2.12. Se S1 e S2 são superfícies regulares, uma aplicação f : S1 → S2 é diferenciável se, para cada p ∈ S1, existem parametrizações χ e ¯χ (de S1 e S2, respectivamente),
χ : U → S1, χ : ¯¯ U → S2
com p ∈ χ(U), f(p) ∈ ¯χ( ¯U ) e f(χ(U)) ⊂ ¯χ( ¯U ) de modo que h = ¯χ−1◦ f ◦ χ : U → ¯U seja diferenciável. Diremos que f é um difeomor smo de S1 em S2 se tanto f quanto f−1 são diferenciáveis.
De nição 2.13. Se S1 e S2 são superfícies regulares, uma aplicação f : S1 → S2 é uma isometria se f é um difeomor smo e para todo p em S1 e todo par w1,w2 ∈ TpS1, temos
< w1, w2 >=< dfp(w1), dfp(w2) > .
3 Curvatura Gaussiana e a Aplicação
de Gauss
3.1 Aplicação de Gauss e suas propriedades
funda-mentais
Nesta seção estudaremos a Aplicação de Gauss e suas propriedades fundamentais bem como de niremos a segunda forma fundamental de uma superfície S em um ponto p de S, curvatura normal, curvaturas principais, Curvatura Gaussiana e Curvatura Média. Para maiores detalhes veja [2].
Ao longo desta seção, S denotará uma superfície regular orientável, onde foi esco-lhida uma orientação (isto é, um campo diferenciável de vetores normais unitários N) conforme seção 2.3; diremos simplesmente que S é uma superfície com uma orientação N.
De nição 3.1. Seja S ⊂ R3 uma superfície com uma orientação N. A aplicação N : S → R3 toma seus valores na esfera unitária S2 ={(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2 = 1}.
A aplicação N : S → S2, assim de nida, é chamada a aplicação de Gauss de S.
Figura 3.1: Aplicação de Gauss.
É imediato veri car que a aplicação de Gauss é diferenciável. A diferencial dNp
de N em p ∈ S dá uma aplicação linear de TpS em TN (p)S2, onde TpS e TN (p)S2 são
os mesmos espaços vetoriais (a menos de um isomor smo), e portanto dNp pode ser
tratada como uma aplicação linear em TpS.
A aplicação linear dNp : TpS → TpS opera da seguinte maneira: para cada curva
parametrizada α(t) em S, com α(0) = p, consideremos a curva parametrizada Noα(t) = N (t) na esfera S2; isso equivale a restringir o vetor normal N à curva α(t).
O vetor tangente N′(0) = dN
p(α′(0)) é um vetor de TpS. Ele mede a taxa de
variação do vetor normal N, restrito à curva α(t), em t = 0. Assim, dNp mede quanto
N se afasta de N(p) em uma vizinhança de p.
No caso das curvas, esta medida é dada por um número, denominado curvatura. No caso das superfícies, esta medida é caracterizada por uma aplicação linear.
Proposição 3.1. A diferencial dNp : TpS → TpS da aplicação de Gauss é uma
apli-cação linear auto-adjunta.
Demonstração. Como dNp é linear, basta veri carmos que dNpé auto-adjunta, ou seja,
basta veri carmos que < dNp(v), w >=< v, dNp(w) >, onde {v, w} é uma base de TpS.
Seja χ(u, v) uma parametrização de S em p e {χu, χv} a base associada de TpS.
Se α(t) = χ(u(t), v(t)) é uma curva parametrizada em S, com α(0) = p, temos dNp(χu)u′(0) + dNp(χv)v′(0) = dNp(χuu′(0) + χvv′(0)) = dNp(α′(0)) = dtdN (u(t), v(t))
|t=0 = Nuu′(0) + Nvv′(0).
Em particular, dNp(χu) = Nu e dNp(χv) = Nv. Portanto, para provar que dNp é
auto-adjunta, é su ciente mostrar que < Nu, χv >=< χu, Nv >.
Como N = χu∧χv
∥χu∧χv∥, temos:
Aplicação de Gauss e suas propriedades fundamentais 23
< N, χv >= 0⇒< Nu, χv > + < N, χvu>= 0 (3.2)
Subtraindo (3.2) de (3.1) temos:
< Nv, χu >− < Nu, χv >= 0, e portanto < χu, Nv >=< Nv, χu >=< Nu, χv >.
O fato de dNp ser uma aplicação linear auto-adjunta nos permite associar à dNp
uma forma quadrática Q em TpS, dada por Q(v) =< dNp(v), v >, v ∈ TpS.
De nição 3.2. A forma quadrática∏p, de nida em TpS por
∏
p(v) =− < dNp(v), v >
é chamada a segunda forma fundamental de S em p.
De nição 3.3. Seja C uma curva regular em S passando por p ∈ S, k a curvatura de C em p, e cosθ =< n, N >, onde n é o vetor normal a C e N é o vetor normal a S em p. O número kn= k cos θ é chamado a curvatura normal de C ⊂ S em p.
Figura 3.2: Curvatura Normal.
Considere uma curva regular C ⊂ S parametrizada por α(s), onde s é o parâmetro comprimento de arco de C, com α(0) = p. Se indicarmos por N(s) a restrição do vetor normal N à curva α(s), teremos < N(s), α′(s) >= 0, donde segue que
< N′(s), α′(s) > + < N (s), α′′(s) >= 0, ou equivalentemente, < N (s), α′′(s) >=− < N′(s), α′(s) >, ∀s
Portanto, ∏
p(α′(0)) = − < dNp(α′(0)), α′(0) >= − < N′(0), α′(0) >=< N (0), α′′(0) >=
< N (0), k(0)n(0) >= k(0) < N (0), n(0) >= k(0) cos θ, onde θ é o ângulo formado pelos vetores n(0) e N(0).
Em outras palavras, o valor da segunda forma fundamental∏p em um vetor unitário
v ∈ TpS é igual à curvatura normal de uma curva regular passando por p e tangente a
v.
Em [5] temos o
Teorema 3.1. Se A : V → V é uma aplicação linear auto-adjunta, então existe uma base ortonormal {e1, e2} de V tal que A(e1) = λ1e1 e A(e2) = λ2e2, isto é, e1 e e2 são auto-vetores e λ1 e λ2 são auto-valores de A.
Observação 3.1. Observamos que na base {e1, e2} do teorema 3.1, a matriz de A é diagonal e os elementos λ1 e λ2 (com λ1 ≥ λ2) da diagonal, são os valores máximo e mínimo, respectivamente, da forma quadrática Q(v) =< Av, v > sobre o círculo unitário de V , pois para qualquer vetor unitário v ∈ V temos que v = xe1+ ye2 com x2+ y2 = 1. Assim,
Q(v) =< Av, v >=< xA(e1) + yA(e2), xe1+ ye2 >=< xλ1e1+ yλ2e2, xe1+ ye2 >= λ1x2+ λ2y2.
Supondo λ1 ≥ λ2 temos:
Q(v) = λ1x2+ λ2y2 ≥ λ2(x2+ y2) = λ2 e
Q(v) = λ1x2+ λ2y2 ≤ λ1(x2+ y2) = λ1
e portanto λ2 ≤ Q(v) ≤ λ1, para qualquer v pertencente ao círculo unitário de V e como Q(1, 0) = λ1 ≥ Q(0, 1) = λ2, segue que λ2 é o mínimo e λ1 é máximo da forma quadrática Q(v).
De acordo com o teorema 3.1 e a observação 3.1(fazendo A = −dNp), podemos dizer
que para cada p ∈ S existe uma base ortonormal {e1, e2} de TpS tal que −dNp(e1) = k1e1 e −dNp(e2) = k2e2.
Além disso k1e k2 (k1 ≥ k2)são o máximo e o mínimo da segunda forma fundamen-tal ∏p restrita ao círculo unitário de TpS; isto é, são os valores extremos da curvatura
normal em p.
De nição 3.4. O máximo da curvatura normal k1 e o mínimo da curvatura normal k2, são chamados curvaturas principais em p. As direções correspondentes, isto é, as direções dadas pelos auto-vetores e1 e e2 são chamadas direções principais em p.
Observamos que esses números não dependem da base escolhida, e são portanto, associados à aplicação linear.
Lembramos que o determinante de um operador linear T : V → V é o determinante da matriz desse operador linear em relação à alguma base de V.
Assim, a matriz do operador linear dNp é dada por:
(
−k1 0 0 −k2
Aplicação de Gauss em coordenadas locais 25
e portanto o determinante de dNp é o produto (−k1)(−k2) = k1k2 das curvaturas principais, e o traço de dNp é o negativo da soma das curvaturas principais −(k1+ k2). Observamos que se mudarmos a orientação da superfície, o determinante não muda, mas o traço, contudo, muda de sinal. Assim temos:
De nição 3.5. Seja p ∈ S e seja dNp : TpS → TpS a diferencial da aplicação de
Gauss. O determinante de dNP é chamado a curvatura Gaussiana K de S em p. O
negativo da metade do traço de dNp é chamado a curvatura média de S em p. Assim,
em termos das curvaturas principais k1 e k2, temos K = k1k2 e H = k1+k2 2.
3.2 Aplicação de Gauss em coordenadas locais
Agora obteremos as expressões da segunda forma fundamental e da diferencial da aplicação de Gauss em um sistema de coordenadas locais. Deste modo, teremos um método sistemático para o cálculo de exemplos especí cos.
Todas as parametrizações χ : U ⊂ R2 → S consideradas neste capítulo são compatí-veis com a orientação N de S, isto é, em χ(U), N(p) = χu∧χv
∥χu∧χv∥(q)com p = χ(q) ∈ χ(U).
Seja χ(u, v) uma parametrização em um ponto p de uma superfície S, e seja α(t) = χ(u(t), v(t)) uma curva parametrizada em S, com α(0) = χ(q) = p onde q = (u(0), v(0)).
O vetor tangente a α(t) em p é α′(0) = χ
u(q)u′(0) + χv(q)v′(0) e dNp(α′(0)) =
N′(0) = Nu(q)u′(0) + Nv(q)v′(0)onde N(t) = N(χ(u(t), v(t))) que simplesmente
escre-veremos como N(u(t), v(t)).
Temos < N, N >= 1. Assim, < Nu, N > + < N, Nu >= 0 e portanto < Nu, N >=
0. Da mesma forma, < Nv, N >= 0. Assim, Nu e Nv pertencem a TpS. Logo, podemos
escrever Nu = a11χu+ a21χv (3.3) Nv = a12χu+ a22χv (3.4) e portanto, dNp(α′(0)) = Nu(q)u′(0) + Nv(q)v′(0) = (a11χu(q) + a21χv(q))u′(0) + (a12χu(q) + a22χv(q))v′(0) = (a11u′(0) + a12v′(0))χu(q) + (a21u′(0) + a22v′(0))χv(q) ou seja, dNp ( u′(0) v′(0) ) = ( a11 a12 a21 a22 ) ( u′(0) v′(0) )
Isto mostra que na base {χu(q), χv(q)}, dNp é dada pela matriz (aij), i, j = 1, 2.
Por outro lado, a expressão da segunda forma fundamental na base {χu(q), χv(q)}
∏ p(α′(0)) = − < dNp(α′(0)), α′(0) > = − < Nu(q)u′(0) + Nv(q)v′(0), χu(q)u′(0) + χv(q)v′(0) > = −u′(0)2 < Nu(q), χu(q) >−u′(0)v′(0) < Nu(q), χv(q) > −v′(0)u′(0) < N v(q), χu(q) >−v′(0)2 < Nv(q), χv(q) > Como < N, χu >= 0 =< N, χv >, temos: • < Nu, χu > + < N, χuu >= 0 e portanto < N, χuu>=− < Nu, χu > (3.5) • < Nu, χv > + < N, χvu>= 0 e portanto < N, χuv>=< N, χvu >=− < Nu, χv > (3.6) • < Nv, χu > + < N, χuv>= 0 e portanto < N, χuv >=− < Nv, χu > (3.7) • < Nv, χv > + < N, χvv >= 0 e portanto < N, χvv >=− < Nv, χv > (3.8) Logo, ∏ p(α′(0)) = < N (p), χuu(q) > u′(0)2+ 2 < N (p), χuv(q) > u′(0)v′(0) + < N (p), χvv(q) > v′(0)2
Lembrando que p = χ(q) e fazendo
< N (p), χuu(q) >= e(q) < N (p), χuv(q) >= f (q) < N (p), χvv(q) >= g(q) temos: ∏ p(α′(0)) = e(q)u′(0) 2 + 2f (q)u′(0)v′(0) + g(q)v′(0)2
Vamos obter o determinante de dN(p), isto é, det(aij), a partir das equações
Aplicação de Gauss em coordenadas locais 27 Nv(p) = a12χu(q) + a22χv(q) Fazendo E(q) =< χu(q), χu(q) > F (q) =< χu(q), χv(q) > G(q) =< χv(q), χv(q) > obtém-se −e(q) = < Nu(p), χu(q) > = < a11χu(q) + a21χv(q), χu(q) > = a11 < χu(q), χu(q) > +a21 < χv(q), χu(q) >, ou seja, −e(q) = a11E(q) + a21F (q) (3.9) −f(q) = < Nu(p), χv(q) > = < a11χu(q) + a21χv(q), χv(q) > = a11 < χu(q), χv(q) > +a21 < χv(q), χv(q) >, ou seja, −f(q) = a11F (q) + a21G(q) (3.10) −f(q) = < Nv(p), χu(q) > = < a12χu(q) + a22χv(q), χu(q) > = a12< χu(q), χu(q) > +a22 < χv(q), χu(q) >, ou seja, −f(q) = a12E(q) + a22F (q) (3.11) −g(q) = < Nv(p), χv(q) > = < a12χu(q) + a22χv(q), χv(q) > = a12< χu(q), χv(q) > +a22< χv(q), χv(q) >, ou seja, −g(q) = a12F (q) + a22G(q) (3.12) As relações de (3.9) à (3.12) podem ser expressas na forma matricial por:
( a11 a21 a12 a22 ) ( E(q) F (q) F (q) G(q) ) =− ( e(q) f (q) f (q) g(q) )
Como ∥χu(q)∧ χv(q)∥ 2 = ∥χu(q)∥ 2∥χ v(q)∥ 2
sen2θ onde θ é o ângulo formado por χu(q) e χv(q), tem-se ∥χu(q)∧ χv(q)∥ 2 = ∥χu(q)∥ 2∥χ v(q)∥ 2 (1− cos2θ) = ∥χu(q)∥ 2∥χ v(q)∥ 2− (∥χ u(q)∥ ∥χv(q)∥ cosθ)2 = ∥χu(q)∥ 2∥χ v(q)∥ 2− < χ u(q), χv(q) >2
Logo ∥χu(q)∧ χv(q)∥2 = E(q)G(q)− F2(q) e portanto E(q)G(q) − F2(q) > 0
Assim, a matriz ( E(q) F (q) F (q) G(q) ) é inversível e ( a11 a21 a12 a22 ) =− ( e(q) f (q) f (q) g(q) ) ( E(q) F (q) F (q) G(q) )−1 (3.13)
onde ( )−1 indica a matriz inversa de ( ).
Logo, det ( a11 a12 a21 a22 ) = det ( a11 a21 a12 a22 ) = det ( e(q) f (q) f (q) g(q) ) 1 det ( E(q) F (q) F (q) G(q) ) = e(q)g(q)− f 2(q) E(q)G(q)− F2(q) Portanto K(q) = e(q)g(q)− f 2(q) E(q)G(q)− F2(q) (3.14)
Para o cálculo da curvatura média necessita-se dos cálculos de a11 e a22. De (3.13)
tem-se ( a11 a21 a12 a22 ) =− ( e(q) f (q) f (q) g(q) ) ( E(q) F (q) F (q) G(q) )−1 . Mas ( E(q) F (q) F (q) G(q) )−1 = 1 E(q)G(q)− F2(q) ( G(q) −F (q) −F (q) E(q) )t , onde ( )t indica a matriz transposta de ( ).
Aplicação de Gauss em coordenadas locais 29 ( a11 a21 a12 a22 ) =− 1 E(q)G(q)− F2(q) ( e(q) f (q) f (q) g(q) ) ( G(q) −F (q) −F (q) E(q) ) (3.15) Logo, a11= f (q)F (q)− e(q)G(q) E(q)G(q)− F2(q) (3.16) a22 = f (q)F (q)− g(q)E(q) E(q)G(q)− F2(q) (3.17)
Lembremos também que −k1 e −k2 são os autovalores de dNp. Portanto, k1 e k2 sastisfazem a equação dNp(v) = −λv = −λI(v) para algum v ∈ TpS, v ̸= 0, onde I é
a aplicação identidade.
Decorre então que (dNp+ λI)(v) = 0 para algum v ∈ TpS, v ̸= 0. Logo
ker(dNp+ λI)̸= 0 e assim dNp+ λI não é inversível e portanto tem determinante
nulo. Assim, det ( a11+ λ a12 a21 a22+ λ ) = 0, ou seja, (a11+ λ)(a22+ λ)− a21a12= 0 ou λ2+ (a11+ a22)λ + a11a22− a21a12 = 0 ou ainda λ2+ (a11+ a22)λ + K(q) = 0 (3.18) Como k1 e k2 são raízes da equação quadrática acima, concluímos que:
H(q) = k1+ k2 2 = −(a11+ a22) 2 = e(q)G(q)− 2f(q)F (q) + g(q)E(q) 2(E(q)G(q)− F2(q)) (3.19) Conhecido então H(q), obtemos a11+ a22 =−2H(q). Logo, a equação (3.18) ca
λ2− 2H(q)λ + K(q) = 0 e como
H2(q)− K(q) = (k1− k2) 2
segue que
λ = H(q)±√H2(q)− K(q) e portanto as curvaturas principais são
H(q) +√H2(q)− K(q) e H(q) −√H2(q)− K(q) (3.20)
3.3 Exemplos
Para os exemplos a seguir usaremos a notação < u∧v, w >= (u, v, w) para todos u, v, w em R3, onde < u ∧ v, w > é o produto interno entre u ∧ v e w, e u ∧ v é o produto vetorial entre u e v. Lembremos que (u, v, w) é o determinante de uma matriz 3 × 3 cujas colunas (ou linhas) são as componentes dos vetores u, v e w na base canônica {
⃗i,⃗j, ⃗k}de R3.
Ainda, faremos uso da
Proposição 3.2. Se χ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) é uma superfície parametrizada
regular com curvatura gaussiana K(u, v) = a2 > 0, então ¯χ(u, v) = (ax(u, v), ay(u, v), az(u, v)) tem curvatura gaussiana ¯K(u, v) = a−2K(u, v) = 1. Reciprocamente, se ¯χ(u, v) tem
curvatura gaussiana constante ¯K(u, v) = 1, então χ(u, v) tem curvatura gaussiana constante K(u, v) = a2 > 0.
Demonstração. Com efeito, temos
¯ K(q) = e(q)¯¯ g(q)− ¯f 2(q) ¯ E(q) ¯G(q)− ¯F2(q) onde ¯
E(q) =< ¯χu, ¯χu >=< aχu, aχu >= a2 < χu, χu >= a2E(q)
¯ F (q) =< ¯χu, ¯χv >=< aχu, aχv >= a2 < χu, χv >= a2F (q) ¯ G(q) =< ¯χv, ¯χv >=< aχv, aχv >= a2 < χv, χv >= a2G(q) ¯ e(q) =< ¯N (p), ¯χuu> ¯ f (q) =< ¯N (p), ¯χuv > ¯ g(q) =< ¯N (p), ¯χvv > Desde que ¯ N (p) = χ¯u∧ ¯χv ∥¯χu∧ ¯χv∥ (q) = aχu∧ aχv ∥aχu∧ aχv∥ (q) = χu∧ χv ∥χu∧ χv∥ (q) = N (p)
Exemplos 31
segue que
¯
e(q) =< ¯N (p), ¯χuu>=< N (p), aχuu>= ae(q)
¯ f (q) =< ¯N (p), ¯χuv >=< N (p), aχuv>= af (q) ¯ g(q) =< ¯N (p), ¯χvv >=< N (p), aχvv>= ag(q) Assim, ¯ K(u, v) = e(q)¯¯ g(q)− ¯f 2(q) ¯ E(q) ¯G(q)− ¯F2(q) = ae(q)ag(q)− (af(q)) 2 a2E(q)a2G(q)− (a2F (q))2 = a 2e(q)g(q)− a2f2(q) a4E(q)G(q)− a4F2(q) = a 2(e(q)g(q)− f2(q)) a4(E(q)G(q)− F2(q)) = a−2K(u, v)
Portanto, se K(u, v) = a2 > 0 então ¯K(u, v) = 1 e reciprocamente, se ¯K(u, v) = 1 então K(u, v) = a2 > 0.
No exemplo a seguir, calculamos a curvatura gaussiana de uma Superfície de Re-volução.
Exemplo 3.1. (Superfície de Revolução) Considere a superfície de revolução
χ(u, v) = (f (u) cos v, f (u) sen v, g(u)) onde f(u) > 0 e f′(u)2 + g′(u)2 = 1, para todo u.
Figura 3.3: Superfície de Revolução. Então temos:
E(u, v) = < χu(u, v), χu(u, v) >
= < (f′(u) cos v, f′(u) sen v, g′(u)), (f′(u) cos v, f′(u) sen(u), g′(u)) > = f′(u)2cos2v + f′(u)2sen2v + g′(u)2
= f′(u)2+ g′(u)2 = 1
F (u, v) = < χu(u, v), χv(u, v) >
= < (f′(u) cos v, f′(u) sen v, g′(u)), (−f(u) sen v, f(u) cos(v), 0) > = −f′(u)f (u) cos v sen v + f′(u)f (u) cos v sen v
= 0
G(u, v) = < χv(u, v), χv(u, v) >
= < (−f(u) sen v, f(u) cos v, 0), (−f(u) sen v, f(u) cos v, 0) > = f (u)2sen2v + f (u)2cos2v
= f (u)2
e(q) = < N (u, v), χuu(u, v) >
= < χu(u, v)∧ χv(u, v) ∥χu(u, v)∧ χv(u, v)∥
, χuu(u, v) >
= (χu(u, v), χv(u, v), χuu(u, v)) ∥χu(u, v)∧ χv(u, v)∥
Mas χuu(u, v) = (f′′(u) cos v, f′′(u) sen v, g′′(u)). Assim,
(χu(u, v), χv(u, v), χuu(u, v)) =
f′(u) cos v −f(u) sen v f′′(u) cos v f′(u) sen v f (u) cos v f′′(u) sen v
g′(u) 0 g′′(u)
= f′(u)f (u)g′′(u) cos2v− f′′(u)f (u)g′(u) sen2v
−f′′(u)f (u)g′(u) cos2v + f′(u)f (u)g′′(u) sen2v = f′(u)f (u)g′′(u)− f′′(u)f (u)g′(u)
= f (u)(f′(u)g′′(u)− f′′(u)g′(u)) Ainda χu(u, v)∧ χv(u, v) = ⃗i ⃗j ⃗k
f′(u) cos v f′(u) sen v g′(u) −f(u) sen(v) f(u) cos v 0
= (−f(u)g′(u) cos v,−f(u)g′(u) sen v, f′(u)f (u) cos2v + f′(u)f (u) sen2v) = (−f(u)g′(u) cos v,−f(u)g′(u) sen v, f′(u)f (u))
Exemplos 33
∥χu(u, v)∧ χv(u, v)∥ =
√
f (u)2g′(u)2cos2v + f (u)2g′(u)2sen2v + f′(u)2f (u)2 = √f (u)2g′(u)2 + f′(u)2f (u)2
= √f (u)2(g′(u)2+ f′(u)2) = f (u)
Portanto
e(u, v) = f (u)(f
′(u)g′′(u)− f′′(u)g′(u))
f (u) = f′(u)g′′(u)− f′′(u)g′(u) f (u, v) = < N (u, v), χuv(u, v) >
= < χu(u, v)∧ χv(u, v) ∥χu(u, v)∧ χv(u, v)∥
, χuv(u, v) >
= (χu(u, v), χv(u, v), χuv(u, v)) ∥χu(u, v)∧ χv(u, v)∥
Mas χuv(u, v) = (−f′(u) sen v, f′(u) cos v, 0). Assim,
(χu(u, v), χv(u, v), χuv(u, v)) =
f′(u) cos v −f(u) sen v −f′(u) sen v f′(u) sen v f (u) cos v f′(u) cos v
g′(u) 0 0
= −f′(u)f (u)g′(u) sen v cos v + f′(u)f (u)g′(u) sen v cos v = 0
Logo
f (u, v) = 0.
g(u, v) = < N (u, v), χvv(u, v) >
= < χu(u, v)∧ χv(u, v) ∥χu(u, v)∧ χv(u, v)∥
, χvv(u, v) >
= (χu(u, v), χv(u, v), χvv(u, v)) ∥χu(u, v)∧ χv(u, v)∥
Mas χvv(u, v) = (−f(u) cos v, −f(u) sen v, 0). Assim,
(χu(u, v), χv(u, v), χvv(u, v)) =
f′(u) cos v −f(u) sen v −f(u) cos v f′(u) sen v f (u) cos v −f(u) sen v
g′(u) 0 0
= f (u)2g′(u) sen2v + f (u)2g′(u) cos2v = f (u)2g′(u)
Como ∥χu(u, v)∧ χv(u, v)∥ = f(u), temos
g(u, v) = f
2(u)g′(u) f (u) = f (u)g′(u)
Portanto
K(u, v) = e(u, v)g(u, v)− f 2(u, v) E(u, v)G(u, v)− F2(u, v) = (f
′(u)g′′(u)− f′′(u)g′(u))(f (u)g′(u))− 02 1f (u)2− 02
= (f
′(u)g′′(u)− f′′(u)g′(u))(f (u)g′(u))
f (u)2 = (f
′(u)g′′(u)− f′′(u)g′(u))g′(u)
f (u)
Podemos simpli car essa fórmula observando que f′(u)2+ g′(u)2 = 1 implica que
2f′(u)f′′(u) + 2g′(u)g′′(u) = 0 ou
f′(u)f′′(u) + g′(u)g′′(u) = 0 ou ainda,
g′(u)g′′(u) =−f′(u)f′′(u) Portanto
(f′(u)g′′(u)− f′′(u)g′(u))g′(u) = f′(u)g′(u)g′′(u)− f′′(u)g′(u)2 = −f′(u)f′(u)f′′(u)− f′′(u)g′(u)2 = −f′(u)2f′′(u)− f′′(u)g′(u)2 = −f′′(u)(f′(u)2+ g′(u)2) = −f′′(u)
Assim,
K(u, v) = −f
′′(u)
f (u) (3.21)
Agora apresentaremos exemplos de superfícies com curvatura gaussiana constante nula, positiva e negativa. Para esse m,
Exemplo 3.2. Consideremos novamente a superfície de revolução
χ(u, v) = (f (u) cos v, f (u) sen v, g(u)) (3.22) onde f(u) > 0 e f′(u)2+ g′(u)2 = 1, para todo u.
Vimos no Exemplo 3.1 que a curvatura gaussiana da superfície de revolução (3.22) é dada por
K(u, v) =−f
′′(u)
f (u) (3.23)
Suponha primeiro que K(u, v) = 0 , ∀ (u, v). Assim da equação(3.23) temos que f′′(u) = 0. Logo f′(u) = a e portanto f(u) = au + b para algumas constantes a e b.
Exemplos 35
Como f′(u)2 + g′(u)2 = 1, temos que g′(u) = ±√1− a2 (onde |a| ≤ 1) e portanto g(u) = ±√1− a2u + c, onde c é uma constante. Assim
χ(u, v) = ((au + b) cos v, (au + b) sen v,±√1− a2u + c) Efetuando-se a translação
x = x1 y = y1 z = z1 + c
podemos assumir que χ(u, v) = ((au + b) cos v, (au + b) sen v, ±√1− a2u) e se z1 =− √ 1− a2u, aplicando-se a rotação x1 = x2 y1 = y2 z1 = −z2 podemos nalmente supor que
χ(u, v) = ((au + b) cos v, (au + b) sen v,√1− a2u)
Se a = 0, χ(u, v) = (b cos v, b sen v, u) onde b > 0 ( pois f(u) = b > 0) e portanto a superfície descreve o cilindro circular de raio b, de equação x2
2
b2 +
y2 2
b2 = 1
Se |a| = 1, χ(u, v) = ((±u+b) cos v, (±u+b) sen v, 0) e portanto a superfície descreve o plano Ox2y2 de equação z2 = 0
Se 0 < |a| < 1, χ(u, v) = ((au + b) cos v, (au + b) sen v,√1− a2u). Colocando ˜ u = au + b e ˜v = v, obtemos χ(˜u, ˜v) = (˜u cos ˜v, ˜u sen ˜v, √ 1− a2 a (˜u− b)) Chamando X = u cos ˜˜ v Y = u sen ˜˜ v Z = √1−aa 2(˜u− b) obtemos X2+ Y2 = u˜2 = [ a √ 1− a2Z + b ]2 = a 2 1− a2 ( Z + b √ 1− a2 a )2 Assim, X2 a2 1− a2 + Y 2 a2 1− a2 = ( Z + b √ 1− a2 a )2 Efetuando-se a translação
X = x3 Y = y3 Z = z3− b√1− a2 a obtemos x2 3 a2 1− a2 + y 2 3 a2 1− a2 = z32
que é a equação de um cone circular.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que K(u, v) = 1 para qualquer (u, v), uma vez que qualquer superfície com curvatura gaussiana constante positiva, pode ser reduzida a este caso, conforme proposição 3.2 acima.
Então da equação (3.23) temos que f′′(u) + f (u) = 0 cujo polinômio associado é
λ2 + 1 = 0 com raízes λ = ±i. Portanto as soluções particulares de f′′(u) + f (u) = 0 são a parte real e a parte imaginária do complexo eiu= cos u + i sen u.
Assim a solução geral de f′′(u) + f (u) = 0 é f(u) = A cos u + B sen u tal que
A2 + B2 = a2 > 0. Portanto, (A a) 2 + (B a) 2 = 1. Então A a = cos b e B a = − sen b para alguma constante b. Logo
f (u) = a cos b cos u− a sen b sen u = a(cos u cos b− sen u sen b) = a cos(u + b), a̸= 0.
De f′(u)2+ g′(u)2 = 1 segue que
g′(u)2 = 1− (−a sen(u + b))2 = 1− a2sen2(u + b) e portanto
g′(u) = ±√1− a2sen2(u + b) e daí
g(u) =±∫ √1− a2sen2(u + b)du + c Assim,
χ(u, v) = (a cos(u+b) cos v, a cos(u+b) sen v,±∫ √1− a2sen2(u + b)du+c), a ̸= 0 Fazendo ˜u = u + b e v = ˜v obtemos
χ(˜u, ˜v) = (a cos ˜u cos ˜v, a cos ˜u sen ˜v,±∫ √1− a2sen2ud˜˜ u + c), a̸= 0 Efetuando-se a translação
x = x1 y = y1 z = z1+ c
Exemplos 37
obtemos
χ(˜u, ˜v) = (a cos ˜u cos ˜v, a cos ˜u sen ˜v,±∫ √1− a2sen2ud˜˜ u), a̸= 0 e se z1 =−
∫ √
1− a2sen2ud˜˜ u, aplicando-se a rotação x1 = x2
y1 = y2 z1 = −z2 podemos assumir que
χ(˜u, ˜v) = (a cos ˜u cos ˜v, a cos ˜u sen ˜v,∫ √1− a2sen2ud˜˜ u), a̸= 0
A integral ∫ √1− a2sen2ud˜˜ u não pode ser calculada em termos de funções ele-mentares a menos que a = ±1 (desde que a ̸= 0)
O caso a = −1 pode ser reduzido ao caso a = 1 efetuando-se a rotação x2 = −x3
y2 = −y3 z2 = z3 Assim basta considerarmos o caso a = 1 em que
χ(˜u, ˜v) = (cos ˜u cos ˜v, cos ˜u sen ˜v,∫ √1− sen2ud˜˜ u). Mas se f(˜u) = cos ˜u > 0 então
∫ √
1− sen2ud˜˜ u = ∫ √cos2ud˜˜ u =
∫
cos ˜ud˜u = sen ˜u e assim
χ(˜u, ˜v) = (cos ˜u cos ˜v, cos ˜u sen ˜v, sen ˜u) que representa a superfície esférica x2
3+ y32+ z32 = 1.
Finalmente, suponha que K(u, v) = −1. Então da equação 3.23 temos que f′′(u)− f(u) = 0.
O polinômio associado a esta equação é λ2− 1 = 0, cujas raízes são ±1. Assim, as soluções particulares da equação f′′(u)− f(u) = 0 são eu e e−u e portanto a solução
geral é f(u) = aeu+ be−u com a e b constantes.
De f′(u)2+ g′(u)2 = 1 temos que g′(u) =±√1− (aeu− be−u)2 e portanto
para alguma constante c.
Para muitos valores de a e b não podemos expressar g(u) em termos de funções elementares, pois não é possível resolver
∫ √
1− (aeu− be−u)2du
por técnicas elementares de integração. Assim, consideraremos somente o caso a = 1 e b = 0
Então f(u) = eu e g(u) = ±∫ √1− e2udu + c com u ≤ 0. Aplicando-se a translação
x = x1 y = y1 z = z1 obtemos
χ(u, v) = (eucos v, eusinv,±∫ √1− e2udu) com u ≤ 0. Se z1 =− ∫ √ 1− e2udu, aplicando-se a rotação x1 = x2 y1 = y2 z1 = −z2 podemos assumir que
χ(u, v) = (eucos v, eusen v,∫ √1− e2udu), u≤ 0 Mas, fazendo w = eu temos
∫ √ 1− e2udu = ∫ √ 1− w2 w dw = ∫ 1− w2 w√1− w2dw = ∫ (1 w − w) 1 √ 1− w2dw = ∫ 1 w√1− w2dw− ∫ w √ 1− w2dw Agora, calculemos A = ∫ 1 w√1− w2dw e B = ∫ w √ 1− w2dw. Para o cálculo de A façamos x = w−1 e portanto
Exemplos 39 A = ∫ w−1 √ 1− w2dw = ∫ −√ x 1− x−2 dx x2 = ∫ −x−1 √ 1− x−2dx = ∫ −√x−1 1− 1 x2 dx = ∫ −√x−1 x2− 1 x2 dx = ∫ −√x−1 x2−1 x dx = − ∫ 1 √ x2− 1dx = − cos h−1x = − cos h−1w−1 = − cos h−1(e−u) Para o cálculo de B façamos y = 1 − w2 e portanto
B = ∫ w √ 1− w2dw = ∫ − 1 2√ydy = −1 2 ∫ y−12dy = −1 2 y12 1 2 = −√y = −√1− w2 = −√1− e2u . Logo ∫ √ 1− e2udu =− cos h−1(e−u) +√1− e2u+ d e portanto
χ(u, v) = (eucos v, eusen v,√1− e2u− cos h−1(e−u) + d), u ≤ 0, para alguma constante d.
Efetuando-se a translação
x2 = x3 y2 = y3 z2 = z3+ d
obtém-se
χ(u, v) = (eucos v, eusen v,√1− e2u− cos h−1(e−u)), u≤ 0, que é a equação de uma superfície chamada pseudoesfera,
Figura 3.4: Pseudoesfera.
a qual é obtida pela rotação da curva α(u) = (eu,√1− e2u− cos h−1(e−u)), u≤ 0 em torno do eixo z. Esta curva α(u) é chamada tractrix e é dada no plano Oxz pela equação z =√1− x2− cos h−1(1
x), com 0 < x ≤ 1.
Figura 3.5: Tractrix.
3.4 Superfícies de curvatura média constante
Nesta seção, vamos considerar superfícies cuja curvatura média H é constante e não nula. Estudaremos as superfícies para as quais H é identicamente nula no próximo capítulo.
Superfícies de curvatura média constante 41
Vamos apresentar uma construção que faz correspondência entre superfícies de cur-vatura média constante não nula e superfícies de curcur-vatura gaussiana constante posi-tiva.
De nição 3.6. Seja χ uma superfície parametrizada regular com orientação N e seja λ uma constante. A superfície paralela χλ de χ é de nida por χλ = χ + λN
Figura 3.6: Superfície paralela.
A superfície χλ pode ser obtida transladando-se a superfície χ uma distância λ
perpendicular a ela mesma (mas isso não é uma translação usual sobre a superfície χ desde que N varia).
Proposição 3.3. Sejam k1 e k2 as curvaturas principais da superfície parametrizada regular χ : U → R3, e suponha que exista uma constante C tal que |k
1| e |k2| são ambos ≤ C. Seja λ uma constante com |λ| < 1
C e seja χ
λ a superfície paralela correspondente
a χ. Então
(i) χλ é uma superfície parametrizada regular;
(ii) a orientação Nλ de χλ em χλ(u, v) é a mesma que a orientação N de χ em
χ(u, v), para todo (u, v) ∈ U;
(iii) as curvaturas principais de χλ são k1
(1−λk1) e
k2
(1−λk2) e os vetores principais correspondentes são os mesmos de χ para as curvaturas principais k1 e k2, respectiva-mente;
(iv) as curvaturas gaussiana e média de χλsão, respectivamente K
1−2λH+λ2K e
H−λK
1−2λH+λ2K Demonstração.
(i) Para mostrarmos que χλ é uma superfície parametrizada regular, devemos
veri- car que χλ é diferenciável, que χλ : U → χλ(U ) é um homeomor smo e que o
produto vetorial χλ
u ∧ χλv ̸= 0.
De fato, χλ é diferenciável pois χ e N o são;
Considere (χλ)−1 : χλ(U ) → U de nida por (χλ)−1(χλ(p)) = χ−1(χλ(p)− λN(p))
para todo p ∈ U. Então (χλ)−1 é contínua e desde que
(χλ)−1◦ χλ(p) = (χλ)−1(χλ(p)) = χ−1(χλ(p)− λN(p)) = χ−1(χ(p)) = p. segue que χλ é um homeomor smo.
Mostremos agora que χλ
u∧ χλv ̸= 0. De fato, temos χλu = χu+ λNu χλv = χv+ λNv Desde que Nu = a11χu+ a21χv Nv = a12χu + a22χv temos
χλu = χu+ λ(a11χu+ a21χv) = (1 + λa11)χu+ λa21χv
χλv = χv + λ(a12χu+ a22χv) = λa12χu+ (1 + λa22)χv
Com isso temos, χλ u∧ χλv = [(1 + λa11)(1 + λa22)− λ2a12a21]χu∧ χv = [(a11a22− a12a21)λ2+ (a11+ a22)λ + 1]χu∧ χv = [(k1k2)λ2− (k1+ k2)λ + 1]χu∧ χv = [(1− λk1)(1− λk2)]χu∧ χv ̸= 0 pois χu ∧ χv ̸= 0 e como |ki| ≤ C, i = 1, 2 e |λ| < 1 C então λki ≤ |λki| < 1 e consequentemente 1 − λki > 0, i = 1, 2. (ii) Nλ = χ λ u∧ χλv ∥χλ u∧ χλv∥ = [(1− λk1)(1− λk2)]χu∧ χv |(1 − λk1)(1− λk2)| ∥χλu ∧ χλv∥ = (1− λk1)(1− λk2) (1− λk1)(1− λk2) . χu∧ χv ∥χu∧ χv∥ = χu∧ χv ∥χu∧ χv∥ = N
(iii) Temos que χλ = χ + λN e Nλ = N. Logo,
Nuλ = Nu = a11χu+ a21χv
Nvλ = Nv = a12χu+ a22χv
e portanto
Superfícies de curvatura média constante 43 χλv = λa12χu+ (1 + λa22)χv Assim, ( 1 + λa11 λa21 λa12 1 + λa22 ) ( χu χv ) = ( χλ u χλ v ) ou equivalentemente ( χu χv ) = 1 det ( 1 + λa11 λa21 λa12 1 + λa22 ) ( 1 + λa22 −λa21 −λa12 1 + λa11 ) ( χλ u χλ v ) = 1 (1− λk1)(1− λk2) ( 1 + λa22 −λa21 −λa12 1 + λa11 ) ( χλ u χλ v ) = 1 (1− λk1)(1− λk2) [( 1 0 0 1 ) + λ ( a22 −a21 −a12 a11 )] ( χλ u χλ v ) (3.24) Como Nλ = N, ( Nλ u Nλ v ) = ( a11 a21 a12 a22 ) ( χu χv ) (3.25) onde ( a11 a12 a21 a22 )
é a matriz de dNpcujos autovalores são −k1 e −k2. Substituindo (3.23) em (3.24), obtemos ( Nλ u Nλ v ) = ( a11 a21 a12 a22 ) { 1 (1− λk1)(1− λk2) [( 1 0 0 1 ) + λ ( a22 −a21 −a12 a11 )] ( χλ u χλ v )} = 1 (1− λk1)(1− λk2) ( a11 a21 a12 a22 ) [( 1 0 0 1 ) + λ ( a22 −a21 −a12 a11 )] ( χλu χλv ) Assim, { 1 (1− λk1)(1− λk2) ( a11 a21 a12 a22 ) [( 1 0 0 1 ) + λ ( a22 −a21 −a12 a11 )]}t
é a matriz de dNλ
p cujos autovalores são −k1λ e −k2λ. Mas { 1 (1− λk1)(1− λk2) ( a11 a21 a12 a22 ) [( 1 0 0 1 ) + λ ( a22 −a21 −a12 a11 )]}t = 1 (1− λk1)(1− λk2) [( 1 0 0 1 ) + λ ( a22 −a12 −a21 a11 )] ( a11 a12 a21 a22 )
Mostremos agora que se v é autovetor de (
a11 a12 a21 a22
)
associado aos autovalores (−k1)e (−k2), então v é autovetor de 1 (1− λk1)(1− λk2) [( 1 0 0 1 ) + λ ( a22 −a12 −a21 a11 )] ( a11 a12 a21 a22 )
associado aos autovalores −k1
1−λk1 e
−k2
1−λk2. Faremos para −k1. O caso −k2 é análogo. De fato, temos que
( a11 a12 a21 a22 ) v =−k1v e 1 (1− λk1)(1− λk2) [( 1 0 0 1 ) + λ ( a22 −a12 −a21 a11 )] ( a11 a12 a21 a22 ) v = −k1 (1− λk1)(1− λk2) [( 1 0 0 1 ) v + λ ( a22 −a12 −a21 a11 ) v ] Chamando v = ( a b ) , temos que ( a11 a12 a21 a22 ) ( a b ) =−k1 ( a b ) donde, a11a + a12b =−k1a (3.26) a21a + a22b =−k1b (3.27)
Superfícies de curvatura média constante 45 Assim, ( a22 −a12 −a21 a11 ) ( a b ) = ( a22a− a12b −a21a + a11b ) (3.25);(3.26) = ( a22a + k1a + a11a k1b + a22b + a11b ) = ( (k1+ a22+ a11)a (k1+ a22+ a11)b ) = ( (−k1− k2+ k1)a (k1− k1− k2)b ) = ( −k2a −k2b ) = −k2 ( a b ) = −k2v Portanto 1 (1− λk1)(1− λk2) [( 1 0 0 1 ) + λ ( a22 −a12 −a21 a11 )] ( a11 a12 a21 a22 ) v = −k1 (1− λk1)(1− λk2) [v + λ(−k2v)] = −k1 (1− λk1)(1− λk2) (1−λk2)v = −k1 (1− λk1) v
Assim, provamos o ítem (iii).
(iv) Como as curvaturas principais de χλ são kλ
1 = k1 (1− λk1) e kλ 2 = k2 (1− λk2) , temos que: Kλ = k1 (1− λk1) k2 (1− λk2) = k1k2 1− λk2− λk1+ λ2k1k2 = k1k2 1− λ(k1+ k2) + λ2k1k2 = K 1− 2λH + λ2K e
Hλ = k1 (1− λk1) + k2 (1− λk2) 2 = k1(1− λk2) + k2(1− λk1) (1− λk1)(1− λk2) 2 = k1− λk1k2+ k2− λk1k2 2(1− λk1)(1− λk2) = k1+ k2− 2λk1k2 2(1− λ(k2+ k1) + λ2k1k2) = 2H− 2λK 2(1− 2λH + λ2K) = H− λK 1− 2λH + λ2K
O corolário a seguir nos dá uma correspondência entre superfícies de curvatura média constante não nula e superfícies de curvatura gaussiana constante positiva. Corolário 3.1. Se χ é uma superfície parametrizada regular com curvatura média constante H ̸= 0, então para λ = 1
2H, χ
λ terá curvatura gaussiana constante 4H2 > 0. Reciprocamente, se χ tiver curvatura gaussiana constante K > 0 com K ̸= H2 então para λ = ±√1
K, χ
λ terá curvatura média constante ∓1 2 √ K ̸= 0. Demonstração. Para λ = 1 2H temos Kλ = K 1− 2λH + λ2K = K 1− 22H1 H + (2H1 )2K = K 1− 1 + 4HK2 = KK 4H2 = 4H2 . Reciprocamente, para λ = √1 K temos Hλ = H− λK 1− 2λH + λ2K = H− 1 √ KK 1− 2√1 KH + ( 1 √ K) 2K = H√√K−K K 1− √2H K + K K = H√√K−K K 2− √2H K = H√√K−K K 2√K√−2H K
Curvatura Gaussiana de Superfícies Compactas 47 = H √ K− K 2√K− 2H = −1 2 (K− H√K) (√K− H) = −12 K−H√K (√K−H) √ K √ K = −1 2 K− H√K K−H√ √K K = −1 2 √ K . O caso λ = −√1 K é análogo.
3.5 Curvatura Gaussiana de Superfícies Compactas
Nesta seção, apresentaremos um resultado que mostra como a curvatura gaussiana in uencia na forma total de uma superfície. Para maiores detalhes veja [1].
Proposição 3.4. Se S é uma superfície compacta, existe um ponto P de S no qual a curvatura gaussiana K é > 0.
Lembramos que um subconjunto X de R3 é compacto se ele for fechado (isto é, seu complementar é aberto) e limitado (isto é, está contido em alguma bola aberta).
Na prova desta proposição usaremos a seguinte propriedade sobre conjuntos com-pactos: Se X ⊂ R3 é compacto e f : R3 → R é uma função contínua, então existem pontos P e Q em X tal que f(Q) ≤ f(R) ≤ f(P ) para todos os pontos R em X, isto é, f assume um valor máximo em X no ponto P e um valor mínimo em Q. Para uma prova veja [[7],Theorem 6.4,p.175]
Demonstração. De na f : R3 → R por f(v) = ∥v∥2. Então f é contínua, e como S é uma superfície compacta, então existe um ponto P em S onde f assume seu valor máximo. Suponha que P tenha um vetor posição p. Então S está contida em uma bola fechada de raio ∥p∥ e centro na origem, e a intersecção de S com o bordo dessa bola fechada é o ponto P .
A idéia é que S tem localmente em P , curvatura gaussiana no máximo igual a da es-fera de centro na origem e raio ∥p∥, isto é, no máximo 1
∥p∥2, desde que uma parametriza-ção para esta esfera é dada por χ(u, v) =(∥p∥ cos u
∥p∥cos v,∥p∥ cos∥p∥u sen v,∥p∥ sen∥p∥u
) com cos u
∥p∥ > 0.
Seja γ(t) uma curva regular em S, parametrizada pelo comprimento de arco, pas-sando por P quando t = 0.
Então f(γ(t)) tem um máximo local com t = 0, isto é, d
dtf (γ(t))|t=0 = 0 e d2
Assim f′(γ(t))γ′(t)| t=0 = 0 e f′′(γ(t))(γ′(t))2+ f′(γ(t))γ′′(t)|t=0 ≤ 0. Como f(v) = ∥v∥2 =< v, v >, temos f′(v) = 2 < v′, v > e f′′(v) = 2(< v′′, v > + < v′, v′ >). Portanto temos: 0 = f′(γ(0))γ′(0) = 2 < γ′(0), γ(0) > γ′(0) e 0≥ f′′(γ(0))(γ′(0))2+ f′(γ(0))γ′′(0) = 2(< γ′′(0), γ(0) > + < γ′(0), γ′(0) >)(γ′(0))2 + 2 < γ′(0), γ(0) > γ′′(0).
Mas como γ(t) é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, γ′(t) ̸= 0, para todo t, e < γ′(t), γ′(t) >= 1, para todo t. Logo γ′(0) ̸= 0 e < γ′(0), γ′(0) >= 1. Logo,
< γ′(0), γ(0) >= 0 e (< γ′′(0), γ(0) > +1)(γ′(0))2 ≤ 0 ou equivalentemente
< γ′(0), γ(0) >= 0 e < γ′′(0), γ(0) > +1≤ 0 (3.28) A equação (3.28) mostra que p = γ(0) é perpendicular a todo vetor tangente unitário a S em P e portanto é perpendicular ao plano tangente de S em P .
Seja Y uma parametrização regular de S em P e seja N seu vetor unitário padrão. Assim, pela observação anterior, N = ± p
∥p∥.
A desigualdade em (3.28) implica que a curvatura normal kn(P ) =< γ′′(0), N > de
γ em P , satisfaz kn(P )≤ −1 ∥p∥ se N = p ∥p∥ ou kn(P )≥ 1 ∥p∥ se N = −p ∥p∥
Se N = ∥p∥p , k1 é o máximo e k2 é o mínimo da curvatura normal em P , assim, k2 ≤ kn(P )≤ k1 ≤ ∥p∥−1.
Se N = ∥p∥−p, k1 é o mínimo e k2 é o máximo da curvatura normal em P , assim, 1
∥p∥ ≤ k1 ≤ kn(P )≤ k2.
Logo as curvaturas principais de Y em P são ou ambas ≤ −1
∥p∥ ou ambas ≥ ∥p∥1 .
4 Superfícies Mínimas
As superfícies mínimas são geralmente associadas às películas de sabão, que podem ser obtidas mergulhando uma moldura formada por um arame em uma solução de sabão e retirando-a em seguida com cuidado. Se o experimento for bem executado, obtém-se uma película de sabão que tem o arame como fronteira. Pode-se mostrar, por considerações físicas, que a película assume a posição onde, em seus pontos regulares, a curvatura média é nula.
A conexão entre super cies mínimas e películas de sabão motivou o famoso Pro-blema de Plateau ( Plateau foi um físico belga que realizou cuidadosos experimentos com películas de sabão por volta de 1850).
O problema pode ser, a grosso modo, descrito da seguinte maneira: xada uma curva, encontrar dentre todas as superfícies que contém esta curva, aquela cuja área determinada por ela e a curva, seja mínima.
Veremos que as soluções para este problema resultam em superfícies cuja curvatura média se anula em todo lugar.
O estudo destas superfícies, conhecidas como superfícies mínimas, foi iniciado por Euler e Lagrange em meados do século XVIII. Para maiores detalhes veja [1] e [2].
4.1 O problema de Plateau
Seja χ : U ⊂ R2 → R3 uma superfície parametrizada regular. Escolha um domínio limitado D ⊂ U e uma função diferenciável h : D → R onde D é a união do domínio D e sua fronteira ∂D. A variação normal de χ(D), determinada por h , é a aplicação φ : D×] − ϵ, ϵ[→ R3 dada por
φ(u, v, t) = χ(u, v) + th(u, v)N (u, v) com (u, v) ∈ D e t ∈] − ϵ, ϵ[.
Para cada t ∈] − ϵ, ϵ[ xado, a aplicação χt : D→ R3 dada por χt(u, v) = φ(u, v, t)
é uma superfície parametrizada com ∂χt
∂u = χu+ thNu+ thuN ∂χt
∂v = χv+ thNv+ thvN. 49
