ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS: APLICADA A MODELOS LINEARES

ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS:

APLICADA A MODELOS LINEARES

Luiz Fernando Martha

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio

Departamento de Engenharia Civil

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4. INTERPOLAÇÃO DE DESLOCAMENTOS EM BARRAS

A solução discreta da análise estrutural pelo método da rigidez direta para estruturas reticuladas é represen-tada por valores de deslocamentos e rotações nos nós (pontos de encontro dos elementos de barra ou extre-midades dos elementos), conforme foi colocado no Capítulo 1 (Figura 1.2). As componentes de deslocamen-tos e rotações nodais de um modelo estrutural são os graus de liberdade do problema discreto, que são as incógnitas do método. A Figura 1.3 ilustra a superposição de soluções básicas que é utilizada na solução dis-creta do pórtico da Figura 1.2. Cada solução básica isola um determinado efeito. A primeira corresponde a uma solução de engastamento perfeito que isola a solicitação externa (carregamento, por exemplo). As de-mais soluções básicas isolam individualmente os efeitos de cada um dos graus de liberdade.

Para que seja possível substituir o comportamento contínuo de um modelo estrutural por um comportamen-to discrecomportamen-to em função dos graus de liberdade, é necessário interporlar os deslocamencomportamen-tos e rotações nas ex-tremidades de um elemento de barra para obter os deslocamentos e rotações em qualquer ponto ao longo do eixo da barra. Este capítulo define as funções de interpolação dos deslocamentos e rotações nodais de uma barra. Essas funções são conhecidas como funções de forma.

De acordo com o que foi observado na Seção 3.9, caso se utilize funções de forma baseadas nas soluções ho-mogêneas analíticas das barras, a solução discreta do modelo global fornece resultados para os deslocamen-tos e rotações nodais iguais aos da solução analítica do problema. Assim, o modelo global não tem erros de discretização, independemente do número de elementos de barras utilizados e da natureza dos carregamen-tos. Portanto, as funções de forma de um elemento de barra definidas nesse capítulo são baseadas em solu-ções analíticas homogêneas (sem carregamento) da barra.

Infelizmente, no caso de barras com seção transversal variável, não existem expressões analíticas para as so-luções homegêneas. Nesse caso, é possível obter numericamente soso-luções homegêneas (Martha 2010). En-tretanto, este capítulo só considera funções de forma baseadas em soluções homogêneas para barras com seção transversal que não varia ao longo do seu comprimento. No caso em que a seção transversal é variá-vel, as funções de forma deduzidas neste capítulo podem ser interpretadas como funções de interpolação aproximadas.

4.1. Funções de forma para interpolação de deslocamentos e rotações em barras

As configurações deformadas elementares de uma barra isolada correspondem às elásticas que resultam da imposição individual de deslocamentos ou rotações em uma de suas extremidades, como mostra a Figura 4.1 para uma barra de pórtico plano. Os deslocamentos são impostos em direções paralelas aos eixos locais de uma barra (Figura 2.14), sendo que o eixo x tem a direção axial da barra e o eixo y tem a direção transversal, e as rotações são impostas no sentido anti-horário. Para uma barra de grelha, configurações deformadas e-lementares análogas são definidas em função das deslocabilidades locais no sistema local da barra que estão indicadas na Figura 2.18 (veja Figura 2.11).

Uma elástica elementar da barra de pórtico plano isolada é definida no sistema de eixos locais pelo desloca-mento axial u0(x), pelo deslocamento transversal v0(x) e pela rotação θ(x), que estão indicados na Figura 4.1.

Em todos os modelos mateméticos descritos no Capítulo 3 para o comportamento de barras, o comporta-mento axial e o comportacomporta-mento transversal de uma barra são considerados independentes. Dessa forma, o deslocamento axial u0(x) só depende das deslocabilidades axiais d′ e ₁ d′ , e o deslocamento transversal v₄ 0(x)

e a rotação θ(x) são definidos pelas deslocabilidades d′ , ₂ d′ , ₃ d′ e ₅ d′ . As funções de interpolação de deslo-₆ camentos e rotações ilustradas na Figura 4.1, chamadas de funções de forma, definem as elásticas elementares da barra isolada (McGuire et al. 2000).

l 1 d′ 2 d′ 3 d′ d′ 6 5 d′ 4 d′ 1 d′ 2 d′ 3 d′ 6 d′ 5 d′ 4 d′ x y x u0 _v0 z θ θ= x l x l 1 1 0(x) N (x) d u = u ⋅ ′ ) ( 0 x u 4 d′ 1 d′ ) ( 0 x u x ) ( 0 x v x ) ( 0 x v x ) ( 0 x v x ) ( 0 x v 2 2 0(x) N (x) d v = v ⋅ ′ 4 4 0(x) N (x) d u = u ⋅ ′ 5 5 0(x) N (x) d v = v ⋅ ′ 3 3 0(x) N (x) d v = v ⋅ ′ 6 6 0(x) N (x) d v = v ⋅ ′ x ) (x θ x ) (x θ 2 2( ) ) (x =Nθ x ⋅d′ θ θ(x)=Nθ₅(x)⋅d₅′ x ) (x θ x ) (x θ 3 3( ) ) (x =Nθ x ⋅d′ θ θ(x)=N₆θ(x)⋅d₆′ l l l l l l l l 3 d′ d′₆

Figura 4.1 – Superposição de configurações deformadas elementares baseadas em funções de forma para compor a elástica final de uma barra de pórtico plano isolada.

Para os deslocamentos na direção axial, considerando que a barra tem uma seção transversal constante e que não existe carregamento na direção axial (solução homogênea), tem-se que o esforço normal na barra é cons-tante. Nessa situação, a partir da Equação 3.76, observa-se que o deslocamento axial u0(x) varia linearmente

ao longo da barra. Essa equação pode ser escrita de uma maneira alternativa em função das deslocabilida-des axiais d′₁ e d′₄: 4 4 1 1 0(x) N (x) d N (x) d u = u ⋅ ′ + u ⋅ ′. (4.1)

Essencialmente as Equações 3.76 e 4.1 são equivalentes. A diferença é que os parâmetros que definem a elás-tica axial da primeira equação são meros coeficientes de um polinômio linear, enquanto os parâmetros na segunda equação têm um significado físico: são as deslocabilidades axiais. Essas funções de forma serão de-finidas na Seção 4.2.

Por outro lado, o deslocamento transversal v0(x) da barra prismática depende da teoria adotada para o

com-portamento à flexão da barra. No restante deste capítulo, as funções de forma do comcom-portamento transver-sal serão deduzidas de acordo com cada uma das teorias estudadas neste livro. No caso da barra que segue a teoria de vigas de Navier, que adota a hipótese de Euler-Bernoulli de seção transversal mantendo-se sem-pre perpendicular ao eixo deformado da barra (desem-prezando-se distorções de cisalhamento), a solução

home-gênea do deslocamento transversal é dada pela Equação 3.82, e para a rotação θ(x)=θ_z(x) da seção transver-sal a solução homogênea é dada pela Equação 3.83. Para o comportamento à flexão que considera distorções de cisalhamento (teoria de vigas de Timoshenko), as expressões análogas para v0(x) e θ(x) são as Equações

3.92 e 3.90.

As soluções homogêneas para o comportamento o comportamento transversal (Equações 3.82, 3.92 e 3.90) descrevem uma elástica genérica de uma barra isolada. Essa elástica pode ser descrita de maneira alternati-va em função diretamente das deslocabilidades:

6 6 5 5 3 3 2 2 0(x) N (x) d N (x) d N (x) d N (x) d v = v ⋅ ′ + v ⋅ ′ + v ⋅ ′+ v ⋅ ′; (4.2) 6 6 5 5 3 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (x =θ_z x =Nθ x ⋅d′ +Nθ x ⋅d′ +Nθ x ⋅d′+Nθ x ⋅d′ θ . (4.3)

Para cada tipo de comportamento transversal, as Equações 4.2 e 4.3 são equivalentes às correspondentes E-quações 3.82, 3.92 e 3.90. Entretanto, nas EE-quações 4.2 e 4.3, os parâmetros que definem a variação do deslo-camento transversal e da rotação ao longo da barra são deslocabilidades, em vez de coeficientes de polinô-mios das Equações 3.82, 3.92 e 3.90, que não têm significado físico.

As Equações 4.1, 4.2 e 4.3 podem ser grupadas em uma matriz da seguinte maneira:

                          ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⋅             =             6 5 4 3 2 1 6 5 3 2 6 5 3 2 4 1 0 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 0 0 ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( d d d d d d x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x x v x u v v v v u u θ θ θ θ θ . (4.4)

A Equação 4.4 pode ser condensada em uma representação matricial:

[ ] { }

N d

{ }

u

[ ] { }

N d x x v x u ′ ⋅ = → ′ ⋅ =           ) ( ) ( ) ( 0 0 θ , (4.5) sendo,

[ ]

N →matriz das funções de forma de uma barra genérica.

A Equação 4.5 expressa o vetor do campo de deslocamentos e rotações para uma barra de pórtico plano em função de suas deslocabilidades.

De maneira análoga ao comportamento axial de uma barra, a solução homogênea do problema da torção para barra com seção transversal constante resulta em uma variação linear para a rotação por torção ϕ(x) ao longo da barra (Equação 3.97). Nesse caso, as deslocabilidades associadas à torção nas extremidades da bar-ra são às rotações por torção d′₁ e d′₄ indicadas na Figura 2.18. As outras componentes da elástica de uma barra de grelha são a rotação por flexão θ(x)=θ_y(x) e o deslocamento transversal w₀(x) (na direção do eixo local z), definidos na Seção 3.1. Com base nas deslocabilidades locais definidas na Figura 2.18, as expressões para a elástica em uma barra de grelha, utilizando funções de forma, são definidas da seguinte maneira:

4 4 1 1( ) ( ) ) (x =Nϕ x ⋅d′+Nϕ x ⋅d′ ϕ ; (4.6) 6 6 5 5 3 3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (x =θ_y x =Nθ x ⋅d′ +Nθ x ⋅d′+Nθ x ⋅d′+Nθ x ⋅d′ θ . (4.7) 6 6 5 5 3 3 2 2 0(x) N (x) d N (x) d N (x) d N (x) d w = w ⋅ ′ + w ⋅ ′+ w ⋅ ′ + w ⋅ ′; (4.8)

O campo de deslocamentos e rotações de uma barra de grelha é representado matricialmente da seguinte maneira (veja Figura 2.18):

                    ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⋅           =           6 5 4 3 2 1 6 5 3 2 6 5 3 2 4 1 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 0 0 ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( d d d d d d x N x N x N x N x N x N x N x N x N x N x w x x w w w w θ θ θ θ ϕ ϕ θ ϕ . (4.9)

[ ] { }

N d

{ }

u

[ ] { }

N d x w x x ′ ⋅ = → ′ ⋅ =           ) ( ) ( ) ( 0 θ ϕ , (4.10)

As próximas seções deduzem expressões analíticas para as funções de forma definidas genericamente nesta seção. A vantagem de especificar o campo de deslocamentos e rotações nas barras a partir das suas desloca-bilidades é que isso permite colocar em evidência as incógnitas do método da rigidez direta na formulação das relações de rigidez do problema. Dessa forma, as propriedades de rigidez de uma barra ficam definidas diretamente em função das deslocabilidades. Isso vai ser mostrado no Capítulo 5.

4.2. Funções de forma para comportamento axial

As equações que definem as funções de forma axiais podem ser obtidas a partir da Equação 3.76, que deter-mina os valores das constantes b0 e b1 com base em condições de contorno adequadas. A função de forma

) (

1 x

Nu é definida considerando u0(0) = 1 e u0(l) = 0 na Equação 3.76, e a função de forma N₄u(x) é definida

considerando u0(0) = 0 e u0(l) = 1. Isso resulta nas seguintes funções, que também estão mostradas na Figura

4.2: l x x Nu₁( )= 1− ; (4.11) l x x Nu₄( )= . (4.12) x u0x) l 1 l x x N₁u( )= 1− x u0(x) l 1 l x x N₄u( )=

Figura 4.2 – Funções de forma axiais de uma barra isolada.

As Equações 4.11 e 4.12 serão deduzidas de uma maneira alternativa na próxima seção utilizando um proce-dimento matricial.

4.3. Funções de forma para comportamento à flexão segundo a teoria de Navier

De forma análoga ao que foi feito para as deslocabilidades axiais, as equações que definem as funções de forma para as deslocabilidades transversais do comportamento à flexão de acordo com a teoria de vigas de Navier (hipótese de Euler-Bernoulli) podem obtidas a partir da Equação 3.82, determinando os valores das constantes c0, c1, c2 e c3 com base em condições de contorno adequadas. Por exemplo, para o caso de barra

sem articulação, a função de forma N₂v(x) é definida considerando v0(0) = 1, dv0(0)/dx = 0, v0(l) = 0 e

dv0(l)/dx = 0; a função de forma N₃v(x) é definida considerando v0(0) = 0, dv0(0)/dx = 1, v0(l) = 0 e dv0(l)/dx =

0; a função de forma N₅v(x) é definida considerando v0(0) = 0, dv0(0)/dx = 0, v0(l) = 1 e dv0(l)/dx = 0; e a

fun-ção de forma N₆v(x) é definida considerando v0(0) = 0, dv0(0)/dx = 0, v0(l) = 0 e dv0(l)/dx = 1.

Entretanto, um procedimento matricial vai ser utilizado conforme descrito a seguir. Esse procedimento es-tabelece uma metodologia geral para definir funções de forma em elementos de barra a partir das expressões analíticas das soluções homogêneas de todos os comportamentos matemáticos adotados para barras.

As funções de forma serão definidas para barra sem articulação, barra com articulação na esquerda e barra com articulação na direita.

4.3.1. Funções de forma para barra de pórtico plano sem articulação

Soluções homogêneas da equação diferencial do problema para os deslocamentos axial, transversal e para a rotação: 0 1 0 0 2 3 0 1 2 2 3 1 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 1 / 2 /6 ( ) _{0 0 0 1 / 2} b b x u x c v x x x x c x _{x x} c c θ           _        = ⋅             _   _      

{ }

u

=

[ ]

P

⋅

{ }

c

Avaliação da solução homogênea nas extremidades da barra, isto é, obtenção de uma matriz que relaciona as deslocabilidades com os coeficientes da solução homogênea:

0 1 0 0 2 1 3 0 0 4 1 2 3 0 5 2 2 6 3 1 0 0 0 0 0 (0) 0 0 1 0 0 0 (0) (0) 0 0 0 1 0 0 ( ) _{1 0 0 0 0} ( ) _{0 0 1 / 2 /6} ( ) 0 0 0 1 / 2 u d b v d b d c u l d _l c v l d _{l l l} c l d c l l θ θ   ′     _{ }       _{ }   ′     _{ }      ′           = = ⋅     _{ }   ′     _{ }      _′ _{ }       _{ }   ′           _ _  

{ }

d

_{′ =}

[ ]

X

_⋅

{ }

c

Inversão da matriz, isto é, obtenção de uma matriz que relaciona os coeficientes da solução homogênea com as deslocabilidades: 0 1 1 2 0 3 1 4 2 2 2 5 3 2 3 2 3 6 1 0 0 0 0 0 1 / 0 0 1 / 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6 / 4 / 0 6 / 2 / 0 12 / 6 / 0 12 / 6 / b d l l b d c d c d c _{l l l l} d c d l l l l   ′   _{ }     _{− − }   ′   _{ }      _′       = ⋅   _{ }   ′   _{ }     _{ }  _′ − − −   _{ }   ′       _{ −} _  

{ }

[ ]

1

{ }

c

=

X

−

⋅

d

′

Isso resulta na matriz das funções de forma indicada na Equação 4.4:

1 2 0 3 2 3 0 4 2 2 2 ₅ 3 2 3 2 6 1 0 0 0 0 0 1 / 0 0 1 / 0 0 1 0 0 0 0 ( ) 0 1 0 0 0 0 ( ) 0 0 1 / 2 /6 0 0 1 0 0 0 ( ) _{0 0 0 1 / 2} 0 6 / 4 / 0 6 / 2 / 0 12 / 6 / 0 12 / 6 / d l l _d x u x d v x x x x d x _{x x} d l l l l d l l l l θ   ′       − −   _′   _{ }     _{ }  _′       = ⋅ ⋅   _{ }   ′     _{ }        _{− − −}   _′     ′      ₋   

{ }

[ ][ ]

1

{ }

u

=

P

X

−

⋅

d

′

→

[ ] [ ][ ]

N

₌

P

X

−1

As funções de forma resultantes, também ilustradas na Figura 4.3, são:

3 3 2 2 2( ) 1 3 2 l x l x x Nv = − + ; (4.13)

2 3 2 3( ) 2 l x l x x x Nv = − + ; (4.14) 3 3 2 2 5( ) 3 2 l x l x x Nv = − ; (4.15) 2 3 2 6( ) l x l x x Nv =− + ; (4.16) 3 2 2 2( ) 6 6 l x l x x Nθ =− + ; (4.17) 2 2 3( ) 1 4 3 l x l x x Nθ = − + ; (4.18) 3 2 2 5( ) 6 6 l x l x x Nθ = − ; (4.19) 2 2 6( ) 2 3 l x l x x Nθ =− + . (4.20) x v0(x) l 1 3 3 2 2 2( ) 1 3 2 l x l x x Nv = − + x v0(x) l 1 3 3 2 2 5( ) 3 2 l x l x x Nv = − x v0(x) l 1 2 3 2 3( ) 2 l x l x x x Nv = − + x v0(x) l 1 2 3 2 6( ) l x l x x Nv =− + x ) (x θ x ) (x θ x ) (x θ x ) (x θ 1 1 l l l l 3 2 2 2( ) 6 6 l x l x x Nθ =− + 3 2 2 5( ) 6 6 l x l x x Nθ = − 2 2 3( ) 1 4 3 l x l x x Nθ = − + 2 2 6( ) 2 3 l x l x x Nθ =− +

Figura 4.3 – Funções de forma transversais de flexão de uma barra isolada de acordo com a teoria de vigas de Navier.

N2v = (2*x^3)/(L^3) - (3*x^2)/(L^2) + 1 N3v = x - (2*x^2)/L + (x^3)/(L^2) N5v = (3*x^2)/(L^2) – (2*x^3)/(L^3) N6v = (x^3)/(L^2) – (x^2)/L N2θ = (6*x^2)/(L^3) – (6*x)/(L^2) N3θ = (3*x^2)/(L^2) – (4*x)/L + 1 N5θ = (6*x)/(L^2) – (6*x^2)/(L^3) N6θ = (3*x^2)/(L^2) – (2*x)/L

4.3.2. Funções de forma para barra de pórtico plano com articulação na esquerda

Para simplificar o problema, a interpolação de deslocamentos axiais vai ser omitida, pois independe da exis-tância de articulação na barra. Para levar em conta a presença da articulação, além das soluções homogêneas da equação diferencial do problema para o deslocamento transversal e para a rotação, é indicada a solução homogênea para momentos fletores (dividido pela rigidez à flexão EI), pois vai ser considerado que o mo-mento fletor é nulo na seção da arculação na extremidade esquerda da barra:

2 3 ₀ 0 1 2 2 3 1 / 2 /6 ( ) ( ) 0 1 / 2 ( ) / ( ) / _{0 0 1} c x x x v x c x x x c M x EI d x dx _x c θ θ       _{   }     = ⋅           =   _   _{  } 0 2 0 1 2 3 0 5 2 2 6 3 1 0 0 0 (0) 0 0 1 0 (0) / 0 ( ) 1 / 2 /6 ( ) _{0 1 / 2} v d c M EI c v l d l l l c l d _{l l} c θ   ′                       = = ⋅     _{ }   ′     _{ }      _′ _{ }       _{ }   0 2 1 2 5 3 3 2 3 6 1 0 0 0 3 / 2 / 4 3 / 2 1 / 2 0 0 1 0 0 3 / 3 / 2 3 / 3 / c d l l l c c d c l l l l d ′           _{− − −}     _{ }   = ⋅   _{ }   ′   _{ }     _{ − − }  _′       2 2 3 0 5 2 6 3 3 2 1 0 0 ( ) 1 / 2 /6 3 / 2 3 / 2 1 / 2 ( ) _{0 1 / 2 0 0 0} 3 / 3 / 3 / d v x x x x l l d x _{x x} d l l l θ     _{ ′}  _{ − − }     ′ = ⋅ ⋅               _{ ′}_   −   2 0 2 5 6 5 2 5 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( ) ( ) ( )} v v v d v x N x N x N x d x _{N x N x N x} d θ θ θ θ ′         ′ = ⋅           _{ ′}_ 3 3 2 2 2 3 1 ) ( l x l x x Nv = − + 3 3 5 2 2 3 ) ( l x l x x Nv = − 2 3 6 2 2 ) ( l x x x Nv =− + 3 2 2 2 3 2 3 ) ( l x l x Nθ =− + 3 2 5 2 3 2 3 ) ( l x l x Nθ = − 2 2 6 2 3 2 1 ) ( l x x Nθ =− + N2v = (x^3)/(2*L^3)-(3*x)/(2*L)+1 N3v = 0 N5v = (3*x)/(2*L)-(x^3)/(2*L^3) N6v = (x^3)/(2*L^2)-x/2

N2θ = (3*x^2)/(2*L^3)-3/(2*L) N3θ = 0

N5θ = 3/(2*L)-(3*x^2)/(2*L^3) N6θ = (3*x^2)/(2*L^2)-1/2

4.3.3. Funções de forma para barra de pórtico plano com articulação na direita

2 3 ₀ 0 1 2 2 3 1 / 2 /6 ( ) ( ) 0 1 / 2 ( ) / ( ) / _{0 0 1} c x x x v x c x x x c M x EI d x dx _x c θ θ       _{   }     = ⋅           =   _   _{  } 0 2 0 3 1 2 3 0 5 2 3 1 0 0 0 (0) 0 1 0 0 (0) ( ) 1 / 2 /6 ( ) / 0 0 0 1 v d c d c v l d l l l c M l EI l c θ ′                 ′     _{ }   = = ⋅     _{ }   ′     _{ }       _{ }           0 2 1 3 2 2 2 5 3 2 3 3 1 0 0 0 0 1 0 0 3 / 3 / 3 / 1 / 2 0 3 / 3 / 3 / 3 / 2 c d c d c l l l d c _{l l l l}   _′           ′       = ⋅   _{ }   ′ − −   _{ }     _{ }   −   _{ }   2 2 3 0 3 2 2 2 5 3 2 3 1 0 0 0 1 0 ( ) 1 / 2 /6 ( ) _{0 1 / 2} 3 / 3 / 3 / 3 / 3 / 3 / d v x x x x d x _{x x} l l l d l l l θ   ′             ′ = ⋅ ⋅   _{ }   −         _ ′_  ₋    2 0 2 3 5 3 2 3 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( ) ( ) ( )} v v v d v x N x N x N x d x _{N x N x N x} d θ θ θ θ ′         ′ = ⋅           _{ ′}_ 3 3 2 2 2 2 2 3 1 ) ( l x l x x Nv = − + 2 3 2 3 2 2 3 ) ( l x l x x x Nv = − + 3 3 2 2 5 2 2 3 ) ( l x l x x Nv = − 3 2 2 2 2 3 3 ) ( l x l x x Nθ =− + 2 2 3 2 3 3 1 ) ( l x l x x Nθ = − + 3 2 2 5 2 3 3 ) ( l x l x x Nθ = − N2v = (x^3)/(2*L^3) – (3*x^2)/(2*L^2) + 1 N3v = x – (3*x^2)/(2*L) + (x^3)/(2*L^2) N5v = (3*x^2)/(2*L^2) – (x^3)/(2*L^3)

N6v = 0

N2θ = (3*x^2)/(2*L^3) – (3*x)/(L^2) N3θ = (3*x^2)/(2*L^2) – (3*x)/L + 1 N5θ = (3*x)/(L^2) – (3*x^2)/(2*L^3) N6θ = 0

4.4. Funções de forma para comportamento à flexão segundo a teoria de

Timoshenko

4.4.1. Funções de forma para barra de pórtico plano sem articulação

2 1 c EI GA l Ω = ⋅ 1 12 µ= + Ω

(

)

0 2 3 2 0 1 2 ₂ 3 1 / 2 /6 ( ) ( ) _{0 1 / 2} c x x x l x v x c x _{x x} c c θ    _{− Ω ⋅ ⋅}      _{ }   = ⋅   _{ }     _{ }    _{  }  

(

)

0 2 0 3 1 2 3 0 5 2 2 6 3 1 0 0 0 (0) 0 1 0 0 (0) ( ) 1 / 2 1 /6 ( ) _{0 1 / 2} v d c d c v l d l l l c l d _{l l} c θ θ   ′               ′         = = ⋅     _{ }   ′ − Ω ⋅     _{ }      _′ _{ }       _{ }   0 2 1 3 2 2 2 5 3 2 3 2 3 6 1 0 0 0 0 1 0 0 6 / (4 12 ) / 6 / (2 12 ) / 12 / 6 / 12 / 6 / c d c d c l l l l d c _{l l l l} d µ µ µ µ µ µ µ µ   _′           ′       = ⋅   _{ }   ′ − − − Ω − + Ω   _{ }     _{ }  _′ −   _{ }  

(

)

2 2 3 2 0 3 2 2 2 ₅ 3 2 3 2 6 1 0 0 0 1 / 2 /6 0 1 0 0 ( ) ( ) _{0 1 / 2} 6 / (4 12 ) / 6 / (2 12 ) / 12 / 6 / 12 / 6 / d x x x l x v x d x _{x x} l l l l d d l l l l θ µ µ µ µ µ µ µ µ   _{ ′}    _{− Ω ⋅ ⋅}    ′  ₌ _⋅ _⋅    _{   }   ′ − − − Ω − + Ω   _{   }    _′  ₋  _{ }   2 0 2 3 5 6 3 5 2 3 5 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( ) ( ) ( ) ( )} v v v v d v x N x N x N x N x d x _{N x N x N x N x} d d θ θ θ θ θ ′       _′     = ⋅     ′          _′   2 3 2 2 _{2 3} 6 ( ) 1 3 2 v x x l x N x l µ l + Ω ⋅ ⋅ = − + 2 3 2 3 ₂ (1 3 ) 6 ( ) 2 v x x l x N x x lµ l µ ⋅ − Ω + Ω ⋅ ⋅ = − +

2 3 2 5 _{2 3} 6 ( ) 3 2 v x x l x N x l µ l µ + Ω ⋅ ⋅ = − 2 3 2 6 ₂ (1 6 ) 6 ( ) v x x l x N x lµ l µ ⋅ + Ω + Ω ⋅ ⋅ = − + 2 2( ) 6 ₂ 6 ₃ x x N x l l θ µ µ = − + 2 3 ₂ (1 3 ) ( ) 1 4x 3 x N x l l θ µ µ ⋅ − Ω = − + 2 5( ) 6 2 6 3 x x N x l l θ µ µ = − 2 6 2 (1 6 ) ( ) 2x 3 x N x l l θ µ µ ⋅ + Ω = − + N2v = ((2*x^3)-(12*L^2*Ω*x))/(L^3*µ) – (3*x^2)/(L^2*µ) + 1 N3v = x + ((x^3)-(6*L^2*Ω*x))/(L^2*µ) – (x^2*(12*Ω+4))/(2*L*µ) N5v = (3*x^2)/(L^2*µ) – ((2*x^3)-(12*L^2*Ω*x))/(L^3*µ) N6v = ((x^3)-(6*L^2*Ω*x))/(L^2*µ) + (x^2*(12*Ω-2))/(2*L*µ) N2θ = (6*x^2)/(L^3*µ) – (6*x)/(L^2*µ) N3θ = (3*x^2)/(L^2*µ) - (x*(12*Ω+4))/(L*µ) + 1 N5θ = (6*x)/(L^2*µ) – (6*x^2)/(L^3*µ) N6θ = (3*x^2)/(L^2*µ) + (x*(12*Ω-2))/(L*µ) 2 1 c EI GA l

Ω = ⋅ em função da altura normalizada h/l de uma seção transversal retangular:

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 O m eg a h/L

Variação do parâmetro de cisalhamento

1 12

µ= + Ω em função da altura normalizada h/l de uma seção transversal retangular:

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 + 1 2* o m eg a h/L

4.4.2. Funções de forma para barra com articulação na esquerda

2 1 c EI GA l Ω = ⋅ 1 3 λ = + Ω

(

)

2 3 2 0 0 1 2 2 3 1 / 2 /6 ( ) ( ) 0 1 / 2 ( ) / ( ) / 0 0 1 c x x x l x v x c x x x c M x EI d x dx x c θ θ  _{− Ω ⋅ ⋅   }    _{  }       = ⋅   _{ }    ₌  _{ }     _{  }     

(

)

0 2 0 1 2 3 0 5 2 2 6 3 1 0 0 0 (0) 0 0 1 0 (0) / 0 ( ) 1 / 2 1 /6 ( ) _{0 1 / 2} v d c M EI c v l d l l l c l d _{l l} c θ   ′                       = = ⋅     _{ }   ′ − Ω ⋅     _{ }      _′ _{ }       _{ }   0 2 1 2 5 3 3 2 3 6 1 0 0 0 3 / 2 ( 12 ) /(12 4) 3 / 2 (6 1) /(6 2) 0 0 1 0 0 3 / 3 / 2 3 / 3 / c d l l l l l c c d c l l l l d λ λ λ λ λ λ ′           _{− − + Ω Ω + Ω − Ω +}     _{ }   = ⋅   _{ }   ′   _{ }     _{ − − }  _′      

(

)

2 3 2 ₂ 0 5 2 6 3 3 2 1 0 0 1 / 2 /6 ( ) 3 / 2 3 / 2 (6 1) /(6 2) ( ) _{0 1 / 2 0 0 0} 3 / 3 / 3 / d x x x l x v x l l d x _{x x} d l l l λ λ θ λ λ λ     _{ ′}  _{− Ω ⋅ ⋅}  − Ω − Ω +     _{ }   ′ = ⋅ ⋅   _{ }       _{ }    _′     −   2 0 2 5 6 5 2 5 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( ) ( ) ( )} v v v d v x N x N x N x d x _{N x N x N x} d θ θ θ θ ′         ′ = ⋅         _{ }  _′   N2v = (((x^3)/2)-(3*L^2*Ω*x))/(L^3*λ) – (3*x)/(2*L*λ) + 1 N3v = 0 N5v = (3*x)/(2*L*λ) – (((x^3)/2)-(3*L^2*Ω*x))/(L^3*λ) N6v = (x*(6*Ω-1))/(6*Ω+2) + (((x^3)/2)-(3*L^2*Ω*x))/(L^2*λ) N2θ = (3*x^2)/(2*L^3*λ) - 3/(2*L*λ) N3θ = 0 N5θ = 3/(2*L*λ) – (3*x^2)/(2*L^3*λ) N6θ = (6*Ω-1)/(6*Ω+2) + (3*x^2)/(2*L^2*λ)

4.4.3. Funções de forma para barra com articulação na direita

2 1 c EI GA l Ω = ⋅ 1 3 λ = + Ω

(

)

2 3 2 0 0 1 2 2 3 1 / 2 /6 ( ) ( ) 0 1 / 2 ( ) / ( ) / 0 0 1 c x x x l x v x c x x x c M x EI d x dx x c θ θ  _{− Ω ⋅ ⋅   }    _{  }       = ⋅   _{ }     _{ }   =   _{  }     

(

)

0 2 0 3 1 2 3 0 5 2 3 1 0 0 0 (0) 0 1 0 0 (0) ( ) 1 / 2 1 /6 ( ) / 0 0 0 1 v d c d c v l d l l l c M l EI l c θ ′                 ′     _{ }   = = ⋅     _{ }   ′ _{− Ω ⋅}     _{ }       _{ }           0 2 1 3 2 2 2 5 3 2 3 3 1 0 0 0 0 1 0 0 3 / 3 / 3 / (6 1) /(6 2) 0 3 / 3 / 3 / 3 / 2 c d c d c l l l d c _{l l l l} λ λ λ λ λ λ λ   _′           ′       = ⋅   _{ }   ′ Ω − Ω +   _{ }     _{ }     _{ }  

(

)

2 3 2 ₂ 0 3 2 2 2 5 3 2 3 1 0 0 1 / 2 /6 ( ) 0 1 0 ( ) _{0 1 / 2 3 / 3 / 3 /} 3 / 3 / 3 / d x x x l x v x d x _{x x l l l} d l l l θ _{λ λ λ} λ λ λ     _{ ′}  _{− Ω ⋅ ⋅}  _{ }   _{ }   ′ = ⋅ ⋅   _{ }       _{ }    _′       2 0 2 3 5 3 2 3 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( ) ( ) ( )} v v v d v x N x N x N x d x _{N x N x N x} d θ θ θ θ ′         ′ = ⋅           _{ ′}_ N2v = (((x^3)/2)-(3*L^2*Ω*x))/(L^3*λ) – (3*x^2)/(2*L^2*λ) + 1 N3v = x + (((x^3)/2)-(3*L^2*Ω*x))/(L^2*λ) – (3*x^2)/(2*L*λ) N5v = (3*x^2)/(2*L^2*λ) – (((x^3)/2)-(3*L^2*Ω*x))/(L^3*λ) N6v = 0 N2θ = (3*x^2)/(2*L^3*λ) – (3*x)/(L^2*λ) N3θ = (3*x^2)/(2*L^2*λ) – (3*x)/(L*λ) + 1 N5θ = (3*x)/(L^2*λ) – (3*x^2)/(2*L^3*λ) N6θ = 0