Equações de Conservação

(1)

Equações de Conservação



Teorema de Transporte de Reynolds



Equação de Conservação de Massa (continuidade)



Equação de Conservação de Quantidade de Movimento

Linear (2

a

_{Lei de Newton)}



Equação de Navier-Stokes



Equação de Energia Mecânica



Equação de Conservação de Quantidade de Movimento

Angular

(2)

Teorema de Transporte de Reynolds

Variação total = taxa de variação + fluxo líquido saindo

com o tempo de da grandeza grandeza específica

de uma grandeza específica no VC

através da SC

de um sistema



f

= grandeza específica ;

r

= massa específica ;  d



= volume infinitesimal

 d m = massa infinitesimal ; d m =

r

d



;

 d

F

= grandeza no volume infinitesimal ; d

F

=

f

d m =

f r

d





permite transformar as equações para sistema

(massa fixa) para volumes de controle (volume fixo)

dm = r d sistema _{dm =}r _d SC VC V₂ V₁

(3)

d m=r dA L= =r dA V_n dt

quantidade da grandeza que cruza a superfície:

f

d m =

f r

dA L= =

f r

dA V

_n

dt =

f r

fluxo líquido de massa cruzando a SC

dA

dm = r d SC VC V₂ V₁

 taxa de acumulação de uma grandeza específica

 fr      f   VC VC d t dm t





SC

A

d

n

V



r

f















SC VC sistema

A

d

n

V

d

t

d

F

_f

_r

_f

_r



n

V







V

V



V_n Vn Vn

(4)

Equação de Conservação de Massa

 Sistema:

0

0 







d

t

m

d

t

d

sistema

r

dm = r d sistema  Volume de controle: A B

Variação com o tempo da Fluxo líquido de massa

da massa do volume de controle através da superfície de controle













SC

VC

A

d

n

V

d

t

0 



r



(5)

Aplicando o teorema de Leibnitz   t  a t b t t a t b t f x dx f x dx db dt f b da dt f a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      ao termo A , temos _ r _ r t V C V C t d  d   . .

Aplicando o teorema de divergência de Gauss ao termo B, temos r V n d A  div r V d VC SC   _   ( ) Somando A com B  r_ r t div V d VC         (  ) 0

Queremos que está equação seja válida para qualquer volume, portanto, dividindo por d  e aplicando o limite d  tende a zero, obtemos a equação de conservação de massa diferencial, válida para qualquer ponto

(6)

 r



t



div

(

r

V

)





0

_{( I )}

Variação da massa Fluxo líquido de massa com o tempo por por unidade de volume unidade de volume

A equação acima pode ser rescrita sabendo que

(

ρ

V

)







(

ρ

V

)



ρ





V



V





ρ



div

como

 r



t



V

 

r

   

r

V



0

Definido o operador : derivada material, ou total ou substantiva D A_{D t} A

t V A

   







variação local variação temporal convectiva temos

D

D t

V

r

   



0

_{( II )}

(7)

 Coordenadas cartesianas:  Coordenadas curvilíneas:  Coordenadas cilíndricas:

 

_  0                 w z v y u x t

r













_  0                 z r u z u r u r r r t r  r r r 

Equação de Conservação de Massa ou

Continuidade

0     ) ( div V t  r r 0   div V( ) Dt Dr _r  ou 0       i i x u t ) (r r

Casos Particulares

1. Regime Permanente: 2. Incompressível: 0  ) ( div r V 0  ) ( div V i j i j i i i j i j i j j i j j i i x e e u x u t x e e u x u e e t u e x e t                             r (r ) r (r ) (r ) r (r ) (r ) 0

(8)

Equação de Conservação de Quantidade

de Movimento Linear (2a Lei de Newton)

t

D

V

D

f

t

D

V

D

d

f

d

a

m

F

_ext

_S

_c



r









 







força de corpo:

_f



_C

força volumétrica,ex: força gravitacional

f

g



r



força de superfície:

f

S

f

p

f









(9)

dydz x P( )

dy

dz

dydz dx x P(  )

)

,

(

x

y

z

- força de pressão: força normal compressiva

p

f



dx

















k

z

P

j

y

P

i

x

P

f



_p



_f

_P

p









dF

_p,x

= P dy dz - (P dy dz +



P/



x dx dy dz) = -



P/



x d





f

_p,x

= -



P/



x

logo f

_p,y

= -



P/



y e f

_p,z

= -



P/



z

(10)

 Força de superfície viscosa resultante na direção x y x dz z y x z x dy y z x z y dx x z y F _x _xx _xx xx _yx _yx yx _zx _zx zx                             _                              , z y x z y x F _x xx yx zx              _          , convenção

n





n



           z y x f _x xx yx zx















, dx dz



f



força viscosa

: força definida por um tensor, em cada face possui 3 componentes, dois

tangenciais e um normal              zz zy zx yz yy yx xz xy xx



xx yx  yy  y x z yz  zz  xz  xy  zx  zy 

(11)



Procedendo de forma análoga para as outras direções

         z y x f _x xx yx zx          ,          z y x f _y xy yy zy          ,          z y x f _z xz yz zz          ,











f



                             zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x f                             z y x z y x z y x f xx yx zx xy yy zy xz yz zz                            

(12)

Equação diferencial de quantidade de

movimento na forma vetorial



coordenadas cartesianas















ρ

g

P

t

D

V

D

ρ



z

τ

y

τ

x

τ

z

P

g

ρ

w

v

u

ρ

z

τ

y

τ

x

τ

y

P

g

ρ

w

v

u

ρ

z

τ

y

τ

x

τ

x

P

g

ρ

w

v

u

ρ

zz

yz

xz

z

w

y

w

x

w

t

w

zy

yy

xy

y

z

v

y

v

x

v

t

v

zx

yx

xx

x

z

u

y

u

x

u

t

u































_































_































_



(13)

P

g

ρ

t

D

V

D

ρ







grad



P

g

ρ





grad

•Equação de Euler (fluido perfeito, não viscoso)

•Equação da Hidrostática:

Para fluidos viscosos, precisamos de uma informação

adicional: relação entre a tensão cisalhante e a taxa de

deformação do elemento de fluido

(14)

14 pode-se demonstrar pelo uso

da equação conservação de quantidade de movimento angular que o tensor é simétrico

















zz

zy

zx

zy

yy

yx

zx

yx

xx



Equação Constitutiva para fluidos Newtonianos

      _ _   V V V I f    T div  3 2 grad grad div div div =      [ ( ) ]               y u x v xy _x V u xx           3 2               z u x w xz               y w z v yz V y v yy           3 2 V z w zz           3 2

(15)

Equação de Navier-Stokes:

Equação de

conservação de quantidade de movimento linear para

fluido Newtonianos (coordenadas cartesianas)

                                                    _ _          _ _ _ x w z x v y x u x z u z y u y x u x z w y v x u x x z u y u x u t u x p g w v u                                                r r 3 2                                                      _ _          _ _ _ y w z y v y y u x z v z y v y x v x z w y v x u y y z v y v x v t v y p g w v u                           





r

3 2                                                      _ _          _ _ _ z w z z v y z u x z w z y w y x w x z w y v x u z z z w y w x w t w z p g w v u                                        





r

3 2

(16)



A equação de Navier-Stokes simplifica bem se a massa

específica e a viscosidade foram constante

 A maioria dos líquidos podem ser considerados como fluidos incompressíveis 

 A viscosidade da maioria dos gases é aproximadamente constante

0 



 V



































_

































_

































_



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

z

w

y

w

x

w

z

w

y

w

x

w

t

w

z

v

y

v

x

v

y

z

v

y

v

x

v

t

v

z

u

y

u

x

u

x

z

u

y

u

x

u

t

u

μ

z

P

g

ρ

w

v

u

ρ

μ

y

P

g

ρ

w

v

u

ρ

μ

x

P

g

ρ

w

v

u

ρ

Navier-Stokes (propriedades constantes)

ρ

g

P

μ

V

t

D

V

D

ρ



2 













coordenadas cartesianas V μ f 2     

(17)

17

Navier-Stokes (propriedades constantes) em coordenadas cilíndricas

                             _ _ _                                    _ _ _ _                                                                              2 z 2 2 2 z 2 z z z z 2 θ 2 2 2 θ 2 θ θ θ θ 2 r 2 2 2 r 2 r r r r z u θ r u z z z u z θ r u θ r u r t u r 2 z u θ r u 2 θ θ θ θ r z u z θ r u θ r u r t u θ 2 z u θ r u 2 r r r 2 θ z u z θ r u θ r u r t u r u r r r 1 μ z P g ρ u u u ρ θ u r 2 r u r u r r r 1 μ θ r P g ρ r u u u u u ρ θ u r 2 r u r u r r r 1 μ r P g ρ r u u u u ρ Direção radial Direção angular Direção axial

(18)

Equação da Vorticidade

Tensor vorticidade









_

_

_



_V

₍

_V

₎

T

W



2

1 V









2

1 

 = e_x_x+ e_y_y+ e_z_z vetor vorticidade











































































































































0

2

1

2

1

2

1

0

2

1

2

1

2

1

0

x y x z y z

y

w

z

v

x

w

z

u

z

v

y

w

x

v

y

u

z

u

x

w

y

u

x

v



W

(19)

Equação da Vorticidade

 Uma característica essencial do escoamento turbulento é que estes devem ser rotacionais, isto é a vorticidade é não nula. A vorticidade é definida pelo rotacional do vetor velocidade

 sendo igual a duas vezes a rotação do elemento de fluido.

 Em notação indicial

 onde

símbolo de permutação (símbolo Levi-Civita)

V











 

ijk k i j j j i i k k

e

x

u

e

u

e

x

e



























e

_i



e

_j





_ijk

e

_k

sendo          contrário caso 0 cíclicos anti são 1 cíclicos são 1 ) , , ( ) , , ( ) , , ( k j i se k j i se k j i se ijk 

(20)



A equação para a vorticidade pode ser derivada,

aplicando o rotacional na equação de Navier-Stokes



resultando em



A equação para a evolução de um elemento de linha

material infinitesimal é

 Comparando as duas últimas equações, observa-se que para um escoamento não viscoso, o vetor vorticidade se comporta da

mesma forma que um elemento de linha material infinitesimal (teorema de Helmholtz)

 

V

P

t

D

V

D



1

₂

















































r

V

t

D

















₂

V

s

t

d

s

d



_



_

_



(21)

Equação de Energia Mecânica

 A energia mecânica de um sistema não se conserva, porém esta equação é muito útil em diversas situações.

 Pode ser obtida através do produto escalar do vetor velocidade com a equação de conservação de quantidade de movimento linear



g P τ



V t D V D V                    r r i i V V V V ou V V V V    2  2   





                                                V V V t V V t V V t D V D V        ₂ ₂ 2 1 2 1 _r _r r r r

 

P V P V P V        V   

 

 V  :V



V V



t V V t V V V t V t D V D de continuida zero                   r r r r r r                          [ ( )]  Obs: (1) (2)

(22)

ji ij kl ij jk il kl ij k j l i l kl k j ij i e e e e e e e e               : τ : σ



Produto escalar de dois tensores (produto duplo):

V V V V V   T          _ _ _ _ __   [ ( ) ] : :    3 2



Para fluido Newtoniano

j i ij k k i j j i x u x u x u x u V                              F     3 2  :                                  x u x u x u x u x u x u k k j i i j j i j i 3 2 F F é sempre positivo, é a função dissipação                                  2 2 3 2 2 1 k k i j j i x u x u x u F

(23)

Equação de Energia Cinética

 

                                    interna energia a sível irrever conversão de taxa viscosas forças a devido trabalho de taxa interna energia a reversível conversão de taxa pressão a devido trabalho de taxa cional gravita força a devido trabalho de taxa cinética energia de líquido fluxo cinética energia de aumento de taxa V V V P V P g V V V V t                                  : ) (  r r r 2 2 2 1 2 1

 pode ser positivo ou negativo, dependendo se o fluido está sofrendo expansão ou compressão. As mudanças de temperatura podem ser grandes em compressores, turbinas ou na presença de ondas de choque.

 é sempre positivo para fluidos Newtonianos. Este termo pode ser significativo em sistemas com viscosidades e gradientes de

velocidades elevados, como ocorre em lubrificação, extrusão rápida e vôos de alta velocidade.

V P   V  : 

(24)

Equação de Energia Mecânica

 Trabalhando o termo podemos rescrever a equação para a soma da energia cinética e potencial, gerando a equação de

energia mecânica

 Introduzindo a definição de energia potencial potencial por unidade de massa

Y

, definida com , temos que

g V   r t V t V V V V g V                          ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Y r Y r r Y Y r r Y Y r Y r r        Y   g

 

PV P V V V V V V t                         _          _   : ) ( ) ) ( r rY   Y r r 2 2 2 1 2 1

(25)

Equação de Conservação de Quantidade

de Movimento Angular

 Esta equação pode ser obtida com o produto vetorial do vetor posição r com a equação de conservação de quantidade de movimento linear

 

V V r



g P τ



t V r                           r r r



[ ]



[ I] [ ] [ε: ] ] [   r r r                   r P r g r V r V t V r        





é o tensor de 3ª. ordem com componentes



_ijk(símbolo de permutação) diferentes forem índices dois quaisquer se ijk se ijk se ijk 0 213 ou 132 321 1 312 ou 231 123 1        , , 

(26)

k

j

i

ijk

e

v

w





 w

v



Produto vetorial de dois vetores:



Produto vetorial de um vetor e tensor:

3 2 1 3 2 1 3 2 1

w

v

e

det

w

v





jk

i

ijl

k

l

k

jk

j

i

r









e



e



e



e







Se

 é simétrico:

 não existe conversão de momentum angular macroscópico em momentum angular interno, i.e, as duas formas de momentum se conservam separadamente.

0 

]

:

[ε



(27)

CONDIÇÕES EM INTERFACES

Balanço de massa

Fluxo de massa na interface, devido a mudança de fase

Para obter o componente normal, vamos considerar que a interface pode ser definida por S(x, t)=0

Em t=t+dt, ainda temos S(x + v_i dt, t+dt)=0

Logo, usando uma expansão em série de Taylor   0 0   S em S t S i v S S    n

O unitário normal de fluido 1 S< 0 fluido 2 S > 0

t S S i ni     _ _ 1 n v v n v u n v u       ρ₁( ₁ _i) ρ₂( ₂ _i) m m n₁=-n₂ v_i= v_ti + v_ni Velocidade da interface

v_ti = v_si Componente tangencial = componente

(28)

CONDIÇÕES EM INTERFACES

Para superfície sólida, impermeável = 0m nunv_i

0 0        S em S t S u

Condição de contorno cinemática

Superfícies sólidas para escoamento viscoso: condição de não deslizamento

0 0    (u v_i) em S n

Esta expressão não se aplica, quando existe movimento da linha de contato, porém, ainda não existem modelos bem definidos para essas situações

0   v_i em S

u

Paredes impermeáveis

Para a interface entre dois fluidos n(u₁u₂)0

0

2

1u em S 

u

(29)

CONDIÇÕES EM INTERFACES

Balanço de quantidade de movimento

(I – n n) é a projeção do plano tangente à interface

Tangencial:







 



       σ ) n u u I nn (σ₂ ₁ m( ₂ ₁) n₁=-n₂ k é a curvatura kn  é a tensão superficial

Decompondo nas partes normais e tangencias

k           p₂ p₁ n (τ₂ τ₁) n m (u₂ u₁)      pI Normal:







     (τ τ ) n I nn n ₂ ₁



Inn



 kn  

(30)

CONDIÇÕES DE CONTORNO



Interface fluido-sólido:

a velocidade do líquido é igual a

velocidade do sólido

 condição de não deslizamento: velocidades tangenciais iguais  condição de impenetrabilidade: velocidades normais iguais



Interface plana líquido-líquido

:

as velocidades e tensões são contínuas através da interface



Interface plana líquido-gás

:

a tensão cisalhante é nula na interface, uma vez que os gradientes do lado do gás são pequenos. Esta é uma boa aproximação porque



_gases <<



_liquidos.



Quando as interfaces líquido-liquido ou líquido-gás são

curvas, a tensão normal não é mais contínua através da

(31)

ESCOAMENTOS EXTERNOS:

em geral desejamos determinar as forças que atuam no corpo, isto é, força de arraste e sustentação.

Região afetada pela presença do corpo



CAMADA LIMITE

Fora da camada limite, o escoamento não é afetado pela presença do corpo  forças viscosas não são importantes

Quando o escoamento na camada limite é desacelerado devido a uma diferença de pressão, pode ocorrer uma reversão do

escoamento e a camada limite separa-se da superfície do corpo, formando a esteira

(32)

ESCOAMENTOS EXTERNOS



A velocidade característica é a velocidade de

aproximação do corpo U

_



A dimensão característica é o comprimento do corpo

na direção do escoamento, L

 r U L

Re







O número de Reynolds que caracteriza a

transição neste caso é

Re

 5 x 10

5

 laminar

(33)



ESCOAMENTOS INTERNOS: em geral desejamos

buscar a relação entre vazão e queda de pressão.

• Em um escoamento interno, longe da região de entrada, observa-se que o escoamento não apresenta variações na sua própria direção, e a pressão varia linearmente ao longo do escoamento. O escoamento é considerado como hidro

dinâmicamente desenvolvido.

• O comportamento na região de entrada de uma tubulação apresenta o mesmo comportamento que o escoamento externo. Portanto, estudaremos escoamentos externos e depois aplicaremos os resultados obtidos para analisar a região de entrada de uma tubulação.

(34)

ESCOAMENTOS INTERNOS

 Considerando que o escoamento como hidrodinâmicamente

desenvolvido.

 A velocidade característica é a velocidade média u_m  A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, D_h





u

dA

A

1 A

Q

u

T T m

m

t

h

P

A

4 D



A_t é a área transversal do escoamento e P_m é o perímetro molhado, o fator 4 é introduzido por conveniência.