O grupo de Matemática de 12º ano 1 Ano Lectivo 10/11 x2 + 4x + 20 = 0.
FORMA ou representação ALGÉBRICA DE UM COMPLEXO
Relembra agora todos os conjuntos que estudaste até agora e completa com o novo conjunto.
Começa por resolver as equação em IR x2 + 4 = 0;
Como podes verificar ambas as equações são impossíveis em IR.
O problema foi resolvido criando i – unidade imaginária, para substituir
−
1
.Com esta igualdade, volta a resolver as equações anteriores e indica as suas soluções
x2 + 4 = 0 x2 + 4x + 20 = 0
1 1= ⇔ 2 =−
− i i
As soluções da equação são da forma a+bi, com a, b ∈ℜ.
forma algébrica de um n.º complexo.
É frequente representar um n.º complexo por uma letra. A mais utilizada é z.
Conjunto dos números ____________
IN Z
Q IR
___
Conjunto dos números ___________
Conjunto dos números ___________
Conjunto dos números ___________
O grupo de Matemática de 12º ano 2 Ano Lectivo 10/11 Em z = a + bi
a é a parte _________ de z e escreve-se: Re(z) = ___; bi é a parte __________________ de z;
b é o ___________________ da parte imaginária e escreve-se Im(z) = ____; Se b = 0 então z = ____, ou seja, z é um número _________ (IR ⊂C);
Se b ≠ 0 e a = 0, então z = ____, ou seja, z é um número ____________________; Se a,b ≠ 0, então z= ______ é um número _______________.
bi
a
z
=
−
é o conjugado do complexo z = a + bi. O conjugado de um complexo é __________________________________________________________________Indica o conjugado dos seguintes complexos:
z1 = 3 _______________ z3 = 4i _______________
z2 = 2-5i _______________ z4 = -2+7i _______________
OPERAÇÕES COM COMPLEXOS
Esta nova ampliação do conceito do número, tal como as anteriores, foi feita de acordo com o “Principio da conservação das propriedades formais” do cálculo. As novas definições de igualdade, adição e multiplicação conservam, tanto quanto possí-vel, as propriedades formais válidas em IR.
Considera os seguintes complexos escritos na forma algébrica: z1=2+3i e z2=-1+4i. resolve:
Adição: z1 + z2 Subtracção: z1 – z2 Multiplicação: z1×××× z2
Divisão
Nota: Quando z2 (complexo do denominador) não é um número real é necessário multiplicar
os dois termos da fracção pelo conjugado de z2. (a + bi)(a - bi) = a 2 – (bi) 2 = a2 + b2 2 1
z
z
PotenciaçãoDo manual escolar resolve os exercícios 161 ao 166 a partir da pág. 67.
Exemplo: considera z = 2+3i Re(z)= ____
O grupo de Matemática de 12º ano 3 Ano Lectivo 10/11 i0 =___ i1 =___ i2 =___ i3 = ___
i4 = ___ i10 = ___ i24 = ___ i73 = ___
Propriedades relativas a complexos conjugados
__________ __________ z z _ __________ __________ z z : calcula bi a z se 0 z com , z z _______ z z ________ z z ____ z 2 2 1 2 1 2 1 = − = + + = ≠ = = × = ± =
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA dos números complexos no plano
Exemplo: Marca no referencial o complexo z=1+3i. Indica a que quadrante pertence a
sua imagem (afixo).
Considera o complexo z = a+bi em que o seu afixo z (a, b) ∈ 1ºQ:
RELEMBRA:
A partir do complexo z, indica a expressão algébrica, o afixo e o gráfico dos complexos na tabela que se encontra na página seguinte
Expressão algébrica Afixo/imagem Gráfico
• A cada complexo z = a+bi corresponde um e só um par ordenado (___, ___).
• Fixando no plano um referencial o.n., a cada par ordenado (a, b) corresponde um e um só ponto P. • Diz-se que no plano complexo ou plano de
Argand. P(a, b) é o afixo ou imagem de z=a+bi. in = ir sendo r o resto
da divisão de n por 4.
Eixo _________________
Eixo
(a, b)
Do manual escolar resolve os exercícios 167, 168, 172, 173, 176, 177, 178, 180, 181, 183, 185 a partir da pág. 69.
(+,+) (-,+)
O grupo de Matemática de 12º ano 4 Ano Lectivo 10/11
-z
(SIMÉTRICO DO COMPLEXO)z
(CONJUGADO DO COMPLEXO)i.z
Conclusões• Números complexos conjugados têm imagens simétricas em relação ao eixo _________.
• Números complexos simétricos têm imagens simétricas em relação à __________. • A multiplicação de um número complexo por i traduz-se por uma rotação de ___
com a origem.
Caso particular:
• Se w pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares y= ___, então w = __________. Deduz-se que: = = w w w w
• Se w pertence à bissectriz dos quadrantes pares y= ___, então w = __________. Deduz-se que: = = w w w w
Do manual escolar resolve os exercícios 187 ao 190 a partir da pág. 77.
Do GAVE relativamente às questões de escolha múltipla resolve os exercícios:
• 3 ao 7 a partir da pág. 319
• 1, 2, da pág. 323.
Quanto às questões de resposta aberta do GAVE resolve os exercícios: 1 a), 2 a), 3 a), 5 a), 6 b) a partir da pág. 339
O grupo de Matemática de 12º ano 5 Ano Lectivo 10/11 FORMA ou representação TRIGONOMÉTRICA DE UM COMPLEXO
z = ρcisθ z = |z|cisθ
Comprimento do ____________ ou .
Exemplo: Dado o complexo z = 1+3i. Indica a sua imagem, o quadrante a que perten-ce e calcula o valor do módulo.
Exemplo: Considera os complexos z = 1-i e w=-√√√√3+i. Indica a imagem, o quadrante a que pertence cada um dos complexos e calcula o valor do argumento de cada um deles.
NOTA:
Módulo ou valor absoluto de um número complexo
((((
|
z
|
====
ρρρρ
))))
Dado o número complexo z = a + bi, módulo ou valor absoluto de
z é o número real representado por:
Comprimento do ____________ ou _____________________. 2 2
b
a
ρ
|
z
|
=
=
+
Argumento de um número complexo (θθθθ)
Argumento de um número complexo não nulo z, de imagem P, é qualquer das amplitudes do ângulo orientado, expresso em radianos. Representa-se por arg z.
0 , 1 ≠ = ⇔ = − a a b tg a b tg
θ
θ
arg z = θ + 2kπ, com k ∈ Z • Argumento principal – z ∈ ]-π, π[.• Argumento positivo mínimo – z ∈ ]0, 2π[. • O ângulo de um polígono regular é dado por:
lados de º n 2π = α .
Resolve do manual o exe. 202 da pág. 83.
Resolve do manual o exe. 200 da pág. 82.
Resolve do manual o exe. 207 e 208 da pág. 85. ππππ-αααα ππππ+αααα α αα α 2ππππ-αααα
O grupo de Matemática de 12º ano 6 Ano Lectivo 10/11
Exemplo: Escreve os seguintes complexos na forma trigonométrica:
z1=-2-2i w=3 z2=-i.
Casos particulares: z=1 ⇔ z=cis0 z=-1 ⇔ z =cisπ
2
3
cis
z
i
z
2
cis
z
i
z
=
⇔
=
π
=
−
⇔
=
π
Relação entre os módulos e os argumentos de alguns complexos
Considera o complexo z = a+bi em que o seu afixo z (a, b)∈1ºQ:
A partir deste complexo z, indica a expressão trigonométrica, o quadrante a que per-tence a imagem e o gráfico dos complexos indicados abaixo:
Expressão Trigonomé-trica Imagem e quadran-te Gráfico
-z
(SIMÉTRICO DO COMPLEXO)z
(CONJUGADO DO COMPLEXO)i.z
Forma trigonométricaTodo o número complexo z, não nulo, fica determinado conhecidos o módulo e um dos seus argumentos. Considerando z = a + bi.
|z| = _________
=
⇔
b
=
|
z
|
b
θ
sen
_________=
⇔
a
=
|
z
|
a
θ
cos
_______Substituindo em z = a+bi, pelas igualdades indicadas acima obtém-se:
z = ________________________________________________________________________ Assim a forma trigonométrica de um complexo é escrita por: z = |z|cisθθθθ ou z = ρρρρcisθθθθ
θ
Resolve do manual o exe 203 e 205 da pág. 83.
Resolve do manual o exe 214 e 215 da pág. 87.
2 5 cis 2 z i 1 z 4 cis 2 z i 1 z π = ⇔ − − = π = ⇔ + =
O grupo de Matemática de 12º ano 7 Ano Lectivo 10/11 Relação de igualdade entre complexos na forma trigonométrica
Ζ ∈ θ = θ ∧ ρ = ρ ⇔ = θ ρ = θ ρ = k , z z cis z cis z 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Considerando os seguintes complexos z1 = | z1|cisθθθθ1 e z2 = | z2|cisθθθθ2. Estuda as ope-rações dos números complexos que se encontram na tabela seguinte:
Operação Expressão Exemplo: Considera
π = 4 3 cis 2 z1 e π = 3 7 cis 3 z2 Multiplicação z1.z2 ====ρρρρ1ρρρρ2cis(θθθθ1++++θθθθ2) z1.z2 = Divisão cis( ) z z 2 1 2 1 2 1 θθθθ −−−−θθθθ ρρρρ ρρρρ ==== 2 ==== 1 z z
Potenciação Seja n
((((
∈))))
IN então: ) n ( cis . cis zn ==== ρρρρ θθθθ n ==== ρρρρn θθθθ(((( ))))
4 ==== 1 z Radicação Seja n ∈ IN então: Z , 1 n ,..., 2 , 1 , 0 k , n k 2 cis . cis z n n n ∈ ∈ ∈ ∈ −−−− ==== θθθθ++++ ππππ ρρρρ ==== θθθθ ρρρρ ==== z4=z1 Caso particular:O inverso de um número complexo z, não nulo, é o complexo: cis( θ) ρ θ cis ρ cis z = = − 1 0 1 1 Notas importantes:
• kππππ = ππππ se k for um número ímpar. kππππ = 0 ou 2ππππ se k for um número par
• Uma raiz de um complexo é igual ao complexo inicial quando elevado ao índice dessa raiz.
• Quando se pretende calcular as raízes de um complexo utiliza-se a radicação. • Quando se pretende calcular a expressão de um complexo a partir de uma das
suas raízes utiliza-se a potenciação (elevando a raiz ao índice dado no enunciado).
Resolve do manual o exe 221, 223, 236 ao 238, 243, 244, 248 e 251 a partir da pág. 89. Exemplo: θ ρ = π = z cis 4 3 cis 2 z1 2
O grupo de Matemática de 12º ano 8 Ano Lectivo 10/11 CONJUNTO DE PONTOSDEFINIDOS POR CONDIÇÕES NA VARIÁVEL COMPLEXA.
LUGARES GEOMÉTRICOS
Para este item considera sempre o complexo z=a+bi.
Define uma _________________________________ Exe: Re(z) = 3
Define uma __________________________________ Exe: Im(z) = 4
Define uma ________________________________________ Nota : O valor do |z| representa o raio da circunferência.
Exe: |z| = 4
Define uma ______________________________________ Considera |z–(1+2i)|=1
Define uma _________________________________________ Considera z1=1+2i e z2=-1-i
Re(z) = k
Im(z) = k
|z| = k
|z-z1| = k
O grupo de Matemática de 12º ano 9 Ano Lectivo 10/11 Define uma ____________________________________ _________________________________________________ Exe: 4 3 z arg = π Define uma __________________________________ __________________________________________ Considera z1=1-i __________________________________________ Define um ______________________________________ Exe: z=3+4i SEMI PLANOS
Para representar geometricamente considera: z1=1+2i z2=-1-i
Ângulo 4 3 4 2 1 = π θ = π θ
Coroa circular Círculo
r1=1 e r2=3 r=1 Arg z=θθθθ Arg (z-z1)=θθθθ |z-z1| > |z-z2| Re(z1) ≤≤≤≤ a Im(z1) ≥≥≥≥ b θθθθ1≤≤≤≤ arg(z-z1) < θθθθ1+θθθθ2 r1≤≤≤≤ |z-z1| < r2 Z=a+bi |z-z1| < r
O grupo de Matemática de 12º ano 10 Ano Lectivo 10/11
EXERCÍCIOS DE CONSOLIDAÇÃO DA UNIDADE
nas formas algébricas e trigonométricas
Do GAVE podes resolver todos os exercícios das escolhas múltiplas e questões de pergunta aberta que ainda não tenhas resolvido. As páginas são: 317 à 348.
