Prof. MSc. David Roza José -

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Vibração Livre com Atrito de Coulomb

Em diversos sistemas mecânicos, amortecedores de Coulomb ou de atrito seco são utiizados devido à simpiicidade mecânica e conveniência. Em estruturas vibratórias, quando componentes apresentam desiizamentos reiatvos entre si, o atrito de Couiomb aparece internamente.

A Lei de Couiomb diz que quando dois corpos estão em contato, a força necessária para produzir desiizamento é proporcionai à força normai agindo no piano de contato. Assim, a força de fricção F é dada por:

Sendo μ o coefciente de atrito, que depende dos materiais e do estado das superfcies em contato. Por exempio, μ = 0.1 para metais iubrifcados em contato; μ = 0.3 para metais não iubrifcados; e assim por diante.

A força de atrito age na direção oposta à veiocidade. O atrito de Couiomb é por vezes chamado de amortecimento constante, já que a força de amortecimento é independente do desiocamento e da veiocidade; dependendo somente da força normai N entre as superfcies desiizantes.

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Vibração Livre com Atrito de Coulomb

Considere o sistema com 1 GL sujeito ao atrito de Couiomb, conforme mostrado. Já que o atrito varia com a direção da veiocidade, é necessário considerar dois casos, conforme pode ser observado.

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Vibração Livre com Atrito de Coulomb

Caso I – Quando o desiocamento x é positvo e dx/dt também é positvo; ou quando x é

negatvo e dx/dt também é negatvo. A equação de movimento torna-se:

Esta é uma equação diferenciai ordinária não-homogênea de segunda ordem. A soiução é dada por:

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Vibração Livre com Atrito de Coulomb

Caso II – Quando o desiocamento x é positvo e dx/dt é negatvo; ou quando x é negatvo e

dx/dt é positvo. A equação de movimento torna-se:

Esta é uma equação diferenciai ordinária não-homogênea de segunda ordem. A soiução é dada por:

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Vibração Livre com Atrito de Coulomb

Essas duas situações mostram que cada metade do cicio é harmônico e de soiução distnta. Porém ambas podem ser expressadas através da função sgn(·); que é um operador que exprime o sinai do argumento.

Assim a equação acima é uma EDO não-iinear, para a quai métodos numéricos podem ser utiizados.

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Exemplo 7.1

Caicuiar a resposta, através do MATLAB, de um sistema massa-moia sujeito ao atrito de Couiomb com x0 = 5 m e ẋ0 = 0. Seja m = 10 kg, k = 200 N/m e μ = 0.5; com t = [0,8] s .

Resolução de EDOs no MATLAB

O MATLAB utiiza diversos métodos – solvers – baseados em métodos de Runge-Kuta, que podem ser apiicados na soiução de equações de EDO’s de primeira ordem. Deve-se, num primeiro momento, converter uma EDO de ordem n em n EDO’s de ordem 1. Isso pode ser feito através de um método de redução de ordem.

Nossa equação de movimento é dada por: Que pode ser separada como:

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Exemplo 7.1

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Vibração Livre com Atrito de Coulomb

(1) A equação de movimento é não-iinear com atrito de Couiomb, enquanto é iinear com amortecimento viscoso;

(2) A frequência naturai do sistema permanece inaiterada com o atrito de Couiomb, e é reduzida na presença do amortecimento viscoso;

(3) O movimento é periódico com o atrito de Couiomb, e não necessariamente será com amortecimento viscoso (critcamente e superamortecido);

(4) O sistema pára depois de um tempo, enquanto que o movimento teoricamente persiste na presença do amortecimento viscoso;

(5) A ampiitude de osciiação reduz iinearmente com o amortecimento de Couiomb, enquanto reduz-se exponenciaimente com amortecimento viscoso;

(6) A cada cicio sucessivo, a ampiitude do movimento é reduzida peia quantdade de 4μN/k, de forma que a ampiitude no fnai de cada cicio consecutvo é dada por:

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Exemplo 7.2

Utiize o MATLAB para piotar a resposta do seguinte sistema: m = 450 kg, k = 26519.2 N/m,

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Exemplo 7.2

Utiize o MATLAB para piotar a resposta do seguinte sistema: m = 450 kg, k = 26519.2 N/m,

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Exemplo 7.3

Dado um sistema massa-moia amortecido de constantes m = 10 kg e k = 200 N/m, com x0 =

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Exemplo 7.3

Dado um sistema massa-moia amortecido de constantes m = 10 kg e k = 200 N/m, com x0 =