XXIV Jornada de Física Teórica. MINI-CURSO: Tópicos Especiais de Dinâmica da Atmosfera

XXIV Jornada de Física Teórica

MINI-CURSO:

Tópicos Especiais de Dinâmica da Atmosfera

Professor:

Carlos Frederico Mendonça Raupp (IFT-UNESP)

Introdução

 Atmosfera: constitui um invólucro fluido em torno do planeta que está em incessante movimento devido, em última instância, ao aquecimento diferenciado pelo sol sobre a Terra;

 Escoamento atmosférico: caracterizado por movimentos que

estendem-se desde escalas milimétricas até às escalas comparáveis com o próprio tamanho do planeta  movimentos de escala planetária;

 Fluidos geofísicos: escoamento é significativamente afetado pela rotação do planeta;

 Movimentos na atmosfera: devem ser descritos por um conjunto acoplado de equações que representam as leis da hidrodinâmica e da termodinâmica;  Hipótese do Contínuo

Perfil vertical idealizado de temperatura de acordo com a atmosfera padrão. Fonte: Wallace e Hobbs (1977).

MODELO DE ÁGUA-RASA COM ROTAÇÃO

 Para os movimentos de grande-escala na atmosfera tem-se que L >> H, sendo L a escala típica de comprimento horizontal dos movimentos e H a escala de altura típica da troposfera;

 Para esses movimentos, em primeira aproximação, a equação da

continuidade pode ser escrita como , enquanto a equação do movimento vertical pode ser aproximada pelo balanço hidrostático;  Dessa forma, vários “ingredientes dinâmicos” desses movimentos podem ser descritos por um modelo de uma camada de fluido

homogêneo e hidrostático  modelo de água-rasa;

 

v  0

Equações de Navier-Stokes para uma camada de fluido homogêneo (densidade constante), hidrostático e sobre a Terra em rotação:

x p f z u w y u x u u t u                  1 v v (1a) y p fu z w y x u t                  1 v v v v v _(1b) g z p      (1c) 0 v          z w y x u _(1d)

Onde V = (u, v, w)T _{ vetor velocidade}

p  pressão hidrostática;   densidade (constante)

Fig. 1: Representação esquemática do modelo de água rasa aplicado à atmosfera. (Fonte: Matsuno, 1966)

Se  = const (fluido homogêneo, tomando a derivada em x ou em y da equação hidrostática, tem-se que:

0











x

p

z

_



0







y

p

z

(1.2)

Logo, u e v também não dependem de z.

) ( v ) , 0 , , ( ) , , , ( v 0 0 h H y x u t y x w t h H z y x w dz y x u dz z w h H H h                                 





  (1.3) Condições de fronteira: (i) w(x,y,0,t) = 0 (sem topografia)

(ii) y h x h u t h dt dh H h z w             ) v ( 0 v v v _                                 y x u h y x u H y h x h u t h (1.4)

Integrando a equação hidrostática em uma coluna de altura h, tem-se: g z p           p g h  x x h g x p x h g x p _x               _{ }   lim 0      p g h  y y h g y p y h g y p y                   lim 0 (1.5a,b) 0 v v              x f y u x u u t u 

Substituindo nas equações (1.a,b), obtém-se:

0 v v v v              y fu y x u t  0 v v v 2 _                                 y x u y x u c y x u t     (1.6a) (1.6b) (1.6c)  = gh  perturbação do geopotencial gH

Simular o efeito da convecção térmica  inclusão de uma fonte de

massa F_ na equação da continuidade (1.6c)  pode também representar o efeito do aquecimento associado à liberação de calor latente na

atmosfera: u y u x u u x f t u                       v v v v v v v                       y x u y fu t                                                F y x u y x u y x u c t v v v 2 (1.7a) (1.7b) (1.7c)

onde  é o coeficiente de dissipação do tipo “Rayleigh” e de resfriamento Newtoniano

Linearizando em relação a um estado básico em repouso: u x f t u           v v v           y fu t                    F y x u c t v 2 (1.8a) (1.8b) (1.8c)

onde  é o coeficiente de dissipação do tipo “Rayleigh” e de resfriamento Newtoniano

DERIVAÇÃO DO MODELO DE ÁGUA RASA VIA SOLUÇÃO DO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS POR SEPARAÇÃO DE

VARIÁVEIS

Modelo de equações primitivas linearizado em relação a um estado básico em repouso usando a pressão como coordenada vertical:

0 v u        x f t  0 u v        y f t  0 v u          p y x  p C J P R p t _              (1.9a) (1.9b) (1.9c) (1.9d)

Onde:   geopotencial

  velocidade vertical em coordenada-p

J  termo de aquecimento/resfriamento diabático R  constante dos gases para o ar seco

C_p  calor específico a pressão constante

 Parâmetro de estabilidade estática do estado básico

T = T (p)  temperatura do estado básico

          dp T d pC T R p R p 

Fazendo 1/   / p (1.9d), obtém-se:                                   p J p C R y x u p p t _p v 1   (1.10)

Supor inicialmente o caso adiabático, i.e., J  0 (analisar os modos normais do sistema):

0

v

u















x

f

t



0 u v        y f t  0 v 1                          y x u p p t   (1.11a) (1.11b) (1.11c)

) 12 . 1 ( ) ( ) , , ( ˆ t) y, (x, vˆ ) , , ( ˆ v G p t y x t y x u u                       

Fazendo a seguinte separação de variáveis:

0 ˆ vˆ uˆ                G x f t  0 ˆ uˆ vˆ                G y f t  0 vˆ ˆ 1 ˆ                      G y x u dp dG dp d t





(1.13a) (1.13b) (1.13c)

) 14 . 1 ( 1 vˆ ˆ ˆ 2 c dp dG dp d G y x u t _{ }                       De (1.13c), segue que:

c  constante de separação (tem dimensão de velocidade) Logo, a estrutura horizontal é governada por:

0 ˆ vˆ ˆ        x f t u  0 ˆ ˆ vˆ        y u f t  0 vˆ ˆ ˆ 2                y x u c t  (1.15a) (1.15b) (1.15c)

Equação da Estrutura Vertical

De (1.14) segue que a estrutura vertical é governada pela seguinte equação: ) 16 . 1 ( 0 1 1 2         G c dp dG dp d 

Supondo como condições de fronteira para o sistema (1.9)  = 0 em p = 0 (topo)e em p = p₀ (superfície), tais condições são escritas como:

dG / dp = 0 em p = 0 (1.17a)

dG / dp = 0 em p = p₀ (1.17b)

A eq. (1.16) com as condições de fronteira (1.17a,b) constitui um problema de Sturm-Liouville.

Supondo ainda que  é constante com a pressão, tem-se que (1.16) torna-se: 0 2 2 2   G c dp G d  Equação Característica: ) 18 . 1 ( 0 2 2   c   Solução Geral: ip c ip c _Be Ae p G      ) ( (1.20) ) 19 . 1 ( i c    

Aplicando a condição de fronteira (1.17a) em p = 0, tem-se que A = B. Aplicando a condição de fronteira (1.17b) em p = p₀, tem-se:

0 0 0           i c p p c i e e i c       m p c ou p c sin _         0 0 0 (1.21) m = 0, 1, 2, 3, ... Logo: 0 p m c _m    _{(1.22) Autovalores}          p c p G m m  cos ) ( _{(1.23) Autofunções}

m c_m (ms-1₎ 0  1 40,02 2 20,2 3 13,5 4 10,1

Tabela .11: Autovalores c_m da equação da estrutura vertical (1.16) com as condições de fronteira (1.17a,b) para p₀ = 1000hPa e  = 1,6 x 10-6 m4 s2 Kg-2.

Soluções de Ondas Lineares das Equações da Água Rasa

Vamos considerar caso do plano -equatorial:

f = y (2.1) Onde  = 2/a  Parâmetro de Rossby

0

v















x

y

t

u





0

v















y

yu

t





0

v

2































y

x

u

c

t



(2.2a) (2.2b) (2.2c)

É conveniente transformar as equações para a forma adimensional, utilizando as escalas:

 

2 1         c L

 

2 1 1         c T (2.3)

Fig. 2.1: Número de unidades de tempo adimensionais por dia (escala da esquerda) ou escala de tempo [T] em dias (escala da direita) como função de c = (gH)1/2. (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979)

Fig. 2.2: Número de unidades de comprimento adimensionais por 1000Km (escala da esquerda) ou escala de comprimento [L] em

quilômetros (escala da direita) como função de c = (gH)1/2. (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979)

Usando c como escala para u e v e c2 _{= gH como escala de , tem-se:} 0 v        x y t u  0 v        y yu t  0 v          y x u t  (2.4a) (2.4b) (2.4c) Condições de fronteira: ) , , ( v ) , , ( v x L y t u t y x u x                         (2.5a)

0

)

,

,

(

v

lim























 

x

y

t

u

y



(2.5b)

Buscando soluções na forma de ondas planas (Ansatz de ondas planas): t i ikx k k k

e

u

u



















































k

v

v

(2.6)

0

v

_k







_k k k

u

y

ik

i





0 v _k    dy d yu i  _{k k}  k

0

dy

v

_k







iku

d

i



_k



_{k k} (2.7a) (2.7b) (2.7c)

Na forma vetorial:

(i_kI + _k)_k = 0 (2.8)

k  número de onda zonal _k = [u_k, v_k, _k]T  autovetor

_k  freqüência temporal (autovalor)











































0

0

0

dy

d

ik

dy

d

y

ik

y

k (2.9)

Operador linear (anti-hermitiano)

É possível reduzir o sistema (2.7) a uma única equação diferencial ordinária em v_k, dada por

0 vˆ -vˆ _{2 2 2} 2 2            _k k k k y k k dy d





v_k  0 quando |y|   Solução: ) ( ) ( v 2 k 2 y H e y _n y  

Desde que seja satisfeita a relação de dispersão abaixo:

1 2 - 2 2    k n k k k   , n = 0, 1, 2, .... (2.10)

Fig. 2.3: Diagrama de dispersão de algumas ondas lineares permitidas pelo modelo (2.5). (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979).

Fig. 2.4: Diagrama da velocidade de grupo das ondas lineares permitidas pelo modelo (2.5). (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979).

As autofunções são dadas por:





2 y 1 n r n, k, 1 n r n, k, n 2 2 r n, k, 1 n r n, k, 1 n r n, k, r n, k, 2 e (y) k)H in(ω (y) k)H (ω 2 i (y) H k ω (y) k)H in(ω (y) k)H (ω 2 i (y) ξ                              (2.11) Para n > 0 2 y 0 0 1,3 k, 2

e

(y)

H

0

(y)

H

(y)

ξ

 























(2.12) Para n = -1 (Kelvin)

Estas autofunções formam um conjunto ortogonal e completo no espaço das funções de quadrado integrável em (-, + ).

Fig. 2.5: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas de Rossby para n = 1. (Adaptado de Raupp, 2002.)

Fig. 2.6: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas de gravidade-inerciais para n = 1. (Adaptado de Raupp, 2002.)

Fig. 2.7: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas mistas de Rossby-gravidade (n = 0). (Adaptado de Raupp, 2002.)

Fig. 2.8: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada à onda de Kelvin (n = -1). (Adaptado de Raupp, 2002.)

Solução Geral das Equações da Água Rasa Através do Método Espectral

Modelo de equações primitivas forçado por um perfil de aquecimento diabático dado por J(x,y,p,t).

u x y t            v u v u v            y y t                                              p p p J p c y x u p p t _p      1 v 1 (3.1a) (3.1b) (3.1c)

  coeficiente de dissipação de momento e de resfriamento Newtoniano.

Dado que a equação da estrutura vertical (1.16), com C.F. (1.17a,b) constitui um problema de Sturm-Liouville:



  J j j j x y t G p u t p y x u 1 ) ( ) , , ( ) , , , (

_

  J j j j x y t G p t p y x 1 ) ( ) , , ( v ) , , , ( v



  J j j j x y t G p t p y x 1 ) ( ) , , ( ) , , , (  



          J j j j x y t G p p J p 1 ) ( ) , , ( q  (3.2)

Onde os coeficientes de expansão são dados por:



 0 0 ) ( ) , , , ( ) , , ( p j x y t u x y p t G p dp u 

_

0 0 ) ( ) , , , ( v ) , , ( v p j x y t x y p t G p dp



 0 0 ) ( ) , , , ( ) , , ( p j x y t  x y p t G p dp 

_

_         0 0 ) ( ) , , ( p j G p dp p J p t y x q  (3.3)

Substituindo (3.2) em (3.1), multiplicando as equações resultantes por G_m(p), usando a equação da estrutura vertical (1.16) para cada um dos modos verticais, integrando as equações resultantes no intervalo [0,p₀] e usando a ortogonalidade das autofunções G_j(p) obtém-se:

j j j

u

x

y

t

u























j

v

j j

v

v























y

yu

t

j j



j j



j j j j q c y x u c t





                  ₂ v _{j 2} (3.4a) (3.4b) (3.4c)

         F t

Escrevendo na forma adimensional, usando as mesmas escalas usadas anteriormente:

(3.5) Onde  = [u(x,y,t), v(x,y,t), (x,y,t)]T

                             0 0 0 y x y y x y (3.6) F = [0, 0, F_]T _{com F}  = q (c5)-1/2 (3.7)

Dado que as autofunções _k,n,r(y) formam um conjunto ortogonal e

completo em (-<y<)e que as funções trigonométricas complexas eikx formam um conjunto ortogonal e completo no intervalo [-L_x,L_x]:

  

         k n r ikx r n k r n k t y e g t y x G 1 3 1 , , , , ( ) ( ) ) , , (  (3.8)

g_k,n,r(t) = < G_k(y,t)  _k,n,r(y)> (3.9) , onde



g y t u y g y t y g y t u y g y t y



dy y t y G_{k knr}

_

_{k knr k knr k knr k knr}         ( ) ( , ) ( ) ( , )v ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ) , (  _{, , 1} *_{, , 2 , , 1} *_{, , 3} *_{, ,} (3.10)



   x x L L ikx x k G x y t e dx L t y G ( , ) 1 ( , , ) (3.11)

(x,y,t) = _ c_k,n,r(t) _k,n,r(y)eikx        k n 1r 3 1

F(x,y,t) = _ f_k,n,r(t) _k,n,r(y)eikx        k n 1r 3 1

Dessa forma, as variáveis de estado e a forçante podem ser expressas por suas respectivas expansões em série:

(3.12)

Substituindo a equação (3.12) em (3.5), multiplicando escalarmente por *_s,m,l(y)e-isx , integrando a expressão obtida no domínio todo e usando a relação (2.8) e a ortogonalidade das autofunções _k,n,r(y)eikx no domínio [-L_x,L_x] X (-<y<): ) ( ) ( ) ( ) ( , , , , , , , , , , t c t f t c i dt t dc r n k r n k r n k r n k r n k      (3.13) para cada k, n, r.

A solução geral é dada por:

ds

e

s

f

e

c

t

c

i s t t r n k t i r n k r n k r n k r n k ( )( ) 0 , , ) ( , , , , , , , ,

)

(

)

0

(

)

(



 



_

   

Previsão de tempo Previsão climática

 



1



] [ ) 0 ( ) ( ( ) , , , , , , , , , , , ,       t i r n k r n k r n k r n k r n k t r n k i e i f e c t c      

No caso de uma forçante estacionária, a solução é dada por:

(3.14)

Para  = 0, ocorre ressonância com os modos geostróficos zonalmente simétricos (k = 0 e  = 0): 1 , , 0 n,1 k, t iω n,1 k, 0 1 , , 0

iω

)

e

(1

f

lim

)

(

n,1 k, 1 , , n n

t

tf

c

n k







   (3.16a) 3 , 1 , 0 k,-1,3 t iω k,-1,3 0 3 , 1 , 0

iω

)

e

(1

f

lim

)

(

k,-1,3 3 , 1 ,    









tf

t

c

k  (3.16b)

Um dos mecanismos que mantém a circulação média zonal da atmosfera

t r n k r n k

t

f

t

e

f

_{, ,}

(

)



ˆ

_{, ,}



3 2 

No caso de uma forçante explosiva, i.e., cresce inicialmente, atinge um máximo e passa a decrescer com o tempo

(3.17)

A solução é dada, na ausência de dissipação (=0), por:













                     _{k nr} i _{k n r k n r}  i t r n k r n k r n k r n k e t i t i e f i t c , , 2 2 , , , , , , , , , , 3 , , 2 1 1 1 ˆ ) (           (3.18)

Referências

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J. PEDLOSKY. Geophysical Fluid Dynamics – Second Edition. Editora: Springer. ISBN: 0-387-96387-1. ISBN: 3-540-96387-1.

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Meteorologia e Oceanografia. 2ª Edição. Holos Editora Ltda-ME, 2002. ISBN: 85-86699-33-0.

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 John M. Wallace & Peter V. Hobbs. Atmospheric Science. First Edition: An Introductory Survey, Editora: Academic Press, 1a edição (1977)