CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS

WIMERSON SANCHES BAZAN

CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE

CÂMARAS DIGITAIS

PRESIDENTE PRUDENTE 2008

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Faculdade de Ciências e Tecnologia

WIMERSON SANCHES BAZAN

CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE

CÂMARAS DIGITAIS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas da Faculdade de Ciências e Tecnologia da UNESP, como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Ciências Cartográficas.

Orientador: Prof. Dr. Antonio M. G. Tommaselli Co-orientador: Prof. Dr. Mauricio Galo

PRESIDENTE PRUDENTE 2008

Aos meus pais Orestes e Marlene, todos os familiares e amigos, e à minha querida namorada Etiene, por todo o carinho, incentivo e apoio.

AGRADECIMENTOS

Meus sinceros agradecimentos aos Professores Antonio Maria Garcia Tommaselli e Mauricio Galo pela orientação que tem se estendido ao longo destes últimos anos e tem sido essencial na minha formação. Sem dúvida alguma, vocês são modelos de caráter, profissionalismo e ética que pretendo seguir na minha vida profissional.

Ao colega Roberto da Silva Ruy pelo envolvimento e colaboração, no que diz respeito ao desenvolvimento de todo o fluxo de entrada e saída do programa, além das principais rotinas do ajustamento pelo método combinado. Agradeço também à sua participação e dedicação na etapa de coleta das imagens, além de outras tarefas relacionadas ao trabalho desenvolvido.

Aos colegas Tiago, Rodrigo e José Marcato Junior, pela colaboração na etapa de coleta das imagens, entre outras tarefas.

Aos demais professores do Programa de Pós-graduação em Ciências Cartográficas que contribuíram de alguma maneira com o desenvolvimento deste trabalho.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo auxílio financeiro concedido através de uma bolsa pesquisa e à empresa Engemap pelo empréstimo das câmaras.

Aos amigos que fiz no laboratório de Ciências Cartográficas e sala de permanência dos alunos de Pós-Graduação.

“Fui moço, e agora sou velho; mas nunca vi desamparado o justo, nem a sua descendência a mendigar o pão”

RESUMO

Os sistemas de aquisição de imagens baseados em arranjos de câmaras digitais de quadro, são alternativas que possibilitam um maior recobrimento da área imageada em comparação a um único sensor. Um problema relevante é a determinação dos elementos de orientação relativa entre estas câmaras que permitem a fusão das imagens retificadas e geração de uma imagem com maior cobertura. O cálculo destes parâmetros com base na calibração individual das câmaras não se revelou uma estratégia adequada, tendo se verificado experimentalmente que as variações nestes foram significativamente maiores que as variações físicas esperadas. Para resolver este problema, propõe-se neste trabalho a calibração simultânea de duas câmaras, estabelecendo-se, por meio de injunções, a condição de que os parâmetros de orientação relativa, no caso, a matriz de rotação relativa e a distância entre os centros perspectivos das câmaras são constantes ao longo das aquisições, admitindo-se que a estrutura de suporte das câmaras possua uma certa estabilidade. Foram realizados testes com imagens coletadas por um arranjo composto por duas câmaras Hasselblad H2D, admitindo-se diferentes opções de processamento. Os resultados com dados reais mostraram que a introdução das injunções de orientação relativa permite a obtenção de melhores resultados em relação a calibração individual.

Palavras-chave: Calibração de câmaras digitais, calibração de um sistema multicâmaras, fototriangulação com parâmetros adicionais, injunções de orientação relativa, Fotogrametria Digital.

ABSTRACT

Image acquisition systems based on multi-head arrangement of digital cameras are attractive alternatives enabling larger imaging area when compared with a single frame camera. A key problem is computing the relative orientation (RO) parameters between cameras aiming at rectified image fusion and generation of a higher coverage image. Single camera calibration followed by RO parameters estimation has not presented suitable results because the dispersion in the estimated RO is higher than expected physical variation. In order to solve this problem, this work presents an approach based on simultaneous calibration of two cameras using relative orientation constraints, which can be introduced by the relative rotation matrix and the distance between the perspective centers of each cameras, considering a stable arrangement. Experiments were accomplished with images acquired by an arrangement of two Hasselblad H2D cameras, using different processing options. The experiments shown that the calibration process with RO constraints allows better results than the approach based on single camera calibration

Key-Words: Digital camera calibration, multi-camera system calibration, bundle adjustment with additional parameters, relative orientation constraints, Digital Photogrammetry.

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 12 1.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS... 12 1.2 OBJETIVOS... 13 1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO... 14 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA... 16

2.1 PROJEÇÃO PERSPECTIVA CENTRAL E AS EQUAÇÕES DE COLINEARIDADE... 16

2.1.1 Sistema de referência do espaço imagem... 18

2.1.2 Sistema de referência do espaço objeto... 20

2.2 CALIBRAÇÃO DE CÂMARAS... 21

2.2.1 Parâmetros de orientação interior... 22

2.2.1.1 Distância focal gaussiana equivalente e distância focal calibrada... 22

2.2.1.2 Ponto principal de autocolimação e de simetria... 22

2.2.1.3 Distorção radial simétrica... 23

2.2.1.4 Distorção descentrada... 24

2.2.1.5 Coeficientes de afinidade... 24

2.2.2 Parâmetros de orientação exterior... 25

2.2.3 Métodos de Calibração... 26

2.2.3.1 Métodos de laboratório... 26

2.2.3.1.1 Método do multicolimador... 26

2.2.3.1.2 Método do goniômetro... 28

2.2.3.2 Métodos de campo... 29

2.2.3.2.1 Equações de colinearidade com parâmetros adicionais... 29

2.2.3.2.2 Método dos campos mistos... 30

2.2.3.2.3 Método das câmaras convergentes... 31

2.2.4 Diferenças entre calibração on-the-job e autocalibração... 31

2.2.4.1 Calibração em serviço (on-the-job)... 32

2.2.4.2 Autocalibração (self-calibration)... 32

2.2.5 Calibração de estereocâmaras... 33

2.2.5.1 Calibração de uma estereocâmara por autocalibração... 33

2.2.5.2 Calibração de um sistema de vídeo estereoscópico... 35

2.2.5.3 Influência da injunção de base na fototriangulação de imagens de vídeo... 37

2.3 AJUSTAMENTO PELOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ)... 37

2.3.1 Método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções... 38

2.3.2 Teste de hipótese do ajustamento... 46

3 CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS... 48

3.1 GEOMETRIA DO ARRANJO DUAL... 48

3.3 CAMPO DE CALIBRAÇÃO... 51

3.4 MEDIDAS DE FOTOCOORDENADAS COM PRECISÃO SUBPIXEL... 53

3.5 SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS COM CÁLCULO POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA... 54

3.6 METODOLOGIA DESENVOLVIDA PARA CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL... 55

3.6.1 Desenvolvimento das equações de injunção de orientação relativa... 57

3.6.2 Estudo da estrutura das matrizes envolvidas no ajustamento... 60

3.6.3 Implementação do programa CMC (Calibração Multicâmaras)... 67

3.6.4 Medida da distância entre os CPs localizados a partir das informações técnicas do fabricante... 68

4 EXPERIMENTOS E RESULTADOS... 70

4.1 EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS E CÁLCULO POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA... 70

4.2 EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A METODOLOGIA DESENVOLVIDA NA SEÇÃO 3.6 QUE FAZ USO DO RECURSO DE CALIBRAÇÃO MULTICÂMARA... 76

4.2.1 Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa considerando os pontos de apoio originalmente levantados... 84

4.2.2 Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa Considerando os pontos triangulados com injunções de distâncias medidas no espaço objeto... 88

4.2.3 Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa... 92

4.2.3.1 Resultados do experimento considerando o primeiro conjunto de injunções admitindo o sistema fisicamente estável, porém não rígido... 93

4.2.3.2 Resultados do experimento considerando o segundo conjunto de injunções admitindo o sistema fisicamente rígido... 97

4.2.4 Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa mais uma injunção de distância entre os CPs ... 101

4.3 AVALIAÇÃO DAS DISCREPÂNCIAS DOS PONTOS DE VERIFICAÇÃO RESULTANTES DOS PROCESSAMENTOS DE CALIBRAÇÃO REALIZADOS NOS EXPERIMENTOS DA SEÇÃO 4.2... 104

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 119

5.1 SÍNTESE DOS RESULTADOS... 119

5.2 CONCLUSÕES... 121

5.3 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS... 122

REFERÊNCIAS... 124 ANEXO I ... 128 ANEXO II ... 129 ANEXO ... 130 APÊNDICE ... 131 APÊNDICE II ... 137 APÊNDICE III ... 146 APÊNDICE IV ... 148 APÊNDICE V ... 154

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Colinearidade entre os pontos: na imagem (p), correspondente no espaço objeto

(P) e centro perspectivo da câmara (CP). 16

Figura 2.2 - Relação vetorial ligando os pontos O, CP, p e P. 17

Figura 2.3 - Relação entre o sistema matricial de medida e o sistema com origem no centro da

imagem. 19

Figura 2.4 - Obtenção da distância focal calibrada a partir do balanceamento da curva de

distorção. 22

Figura 2.5 - Ponto principal de autocolimação (ppa). 23

Figura 2.6 - (a) Ponto nodal posterior coincidindo com o ponto de convergência dos eixos dos

colimadores e (b) eixo ótico da câmara alinhado com o eixo do colimador central. 27

Figura 2.7 - Goniômetro para calibração de câmaras. 28

Figura 3.1 - (a) Arranjo de câmaras Hasselblad e (b) geometria deste arranjo. 48 Figura 3.2 - Aquisição das imagens pelo arranjo de câmaras convergentes. 50 Figura 3.3 - Campo de calibração originalmente construído com recursos do projeto de

mapeamento móvel. 51

Figura 3.4 - Campo de calibração reformado. 52

Figura 3.5 - Fluxograma do processo de calibração pela metodologia desenvolvida. 57 Figura 3.6 - (b) Bloco formado por quatro imagens de (a) duas aquisições com o arranjo dual

de câmaras digitais. 60

Figura 3.7 - Estrutura da matriz A de dimensões 100 x 119. 63

Figura 3.8 - Estrutura da matriz C de dimensões 4 x 119. 64

Figura 3.9 - Estrutura da matriz N de dimensões 119 x 119. 65

Figura 3.10 - Estrutura da matriz NC de dimensões 119 x 119. 65

Figura 3.11 - Estrutura da matriz resultante N + NC de dimensões 119 x 119. 66

Figura 3.12 - Entrada e saída de dados do programa. 67

Figura 3.13 - Projeção dos CPs na estrutura de suporte das câmaras do sistema dual. 68

Figura 3.14 - Medição da distância entre os CPs. 69

Figura 4.1 - Exemplo de imagens adquiridas sobre o campo de calibração: (a) estações; (b)

aquisições individuais e; (c) aquisições com o arranjo dual. 71

Figura 4.3 - Distribuição dos pontos medidos ao longo das 14 imagens tomadas pela câmara

1. 81

Figura 4.4 - Distribuição dos pontos medidos ao longo das 15 imagens tomadas pela câmara

2. 82

Figura 4.5 – Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção 4.2.1. 85 Figura 4.6 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção 4.2.1. 86 Figura 4.7 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 no experimento da Seção 4.2.1. 87 Figura 4.8 – Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção 4.2.2. 90 Figura 4.9 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção 4.2.2. 90 Figura 4.10 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0. no experimento da Seção 4.2.2. 91 Figura 4.11 – Resultantes dos resíduos das observações considerando o primeiro conjunto de

injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 95

Figura 4.12 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o primeiro conjunto de

injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 96

Figura 4.13 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 considerando o primeiro conjunto

de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 96

Figura 4.14 – Resultantes dos resíduos das observações considerando o segundo conjunto de

injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 99

Figura 4.15 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o segundo conjunto de

injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 99

Figura 4.16 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 considerando o segundo conjunto

de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 99

Figura 4.17 – Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção 4.2.4. 102 Figura 4.18 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção 4.2.4. 103 Figura 4.19 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 no experimento da Seção 4.2.4. 103 Figura 4.20 - Fluxograma do processo de avaliação das discrepâncias considerando os quatro

processamentos de calibração descritos. 105

Figura 4.21 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do

primeiro processamento. 106

Figura 4.22 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro

processamento. 106

Figura 4.23 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do

segundo processamento. 107

Figura 4.24 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo

processamento. 107

Figura 4.25 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do

terceiro processamento. 108

Figura 4.26 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro

Figura 4.27 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do

quarto processamento. 109

Figura 4.28 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto

processamento. 109

Figura 4.29 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do

primeiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 113 Figura 4.30 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro

processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 113

Figura 4.31 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do

segundo processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 114

Figura 4.32 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo

processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 114

Figura 4.33 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do

terceiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 115 Figura 4.34 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro

processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 115

Figura 4.35 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do

quarto processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 116

Figura 4.36 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Orientação exterior aproximada das imagens apresentadas pela Figura 3.6a. 61 Tabela 4.1 – Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 1. 73 Tabela 4.2 – Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 2 74 Tabela 4.3 – Elementos de orientação relativa médios e seus respectivos desvios-padrão. 75 Tabela 4.4 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.1. 85 Tabela 4.5 – Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores

médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.1). 88

Tabela 4.6 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.2. 89 Tabela 4.7 – Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores

médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.2). 91

Tabela 4.8 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.3.1. 94 Tabela 4.9 - Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores

médios com respectivos desvios (para o primeiro conjunto de injunções nos experimentos da Seção 4.2.3).

97

Tabela 4.10 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.3.2. 98 Tabela 4.11 - Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores

médios com respectivos desvios (para o segundo conjunto de injunções nos experimentos da Seção 4.2.3).

100

Tabela 4.12 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.4. 102 Tabela 4.13 – Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores

1 INTRODUÇÃO

1.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

As câmaras fotogramétricas, ou câmaras métricas, têm por finalidade fornecer imagens fotográficas com geometria conhecida, permitindo a correta reconstrução do feixe de raios que gerou as imagens, sendo essa uma das condições que tornam possível o processo de calibração, ou seja, a determinação dos parâmetros geométricos que participam do modelo matemático que relaciona a posição de um objeto no espaço real com a sua posição na imagem fotografada (ANDRADE, 2003).

Calibrar uma câmara significa encontrar um conjunto de parâmetros de orientação interior (BROWN, 1966), que inclui a modelagem das distorções provocadas pelo sistema de lentes da câmara e que pode ser feito usando tanto feições pontuais (TOMMASELLI e TOZZI, 1990; GALO, 1993; TOMMASELLI e ALVES, 2001; MACHADO et al, 2003; ANDRADE, 2003) quanto retas (HABIB et al, 2002; TELLES e TOMMASELLI, 2005).

Os recentes desenvolvimentos de sensores eletrônicos a base de silício e das câmaras digitais, no que diz respeito ao aumento da resolução e à redução de custos, têm tornado cada vez mais atrativa a utilização destes equipamentos nas tarefas de levantamento fotogramétrico e mapeamento (HABIB e MORGAN, 2003). Além destas vantagens, a reutilização da mídia de gravação e a possibilidade de se fazer a avaliação da imagem em tempo real, são fatores que também contribuem para o aumento do uso dos sensores digitais.

Outro problema a ser considerado, diz respeito à pequena área de cobertura dos sensores digitais de quadro, atualmente disponíveis. Existem no mercado três tecnologias destinadas à solução deste problema: as câmaras baseadas nos sensores tri-lineares, podendo-se citar, as câmaras ADS-40 (Leica Geosystems - Hexagon), HRSC-A, HRSC-AX e HRSC-AXW (desenvolvidas pelo Centro Alemão de Pesquisas Espaciais - DLR); a configuração modular de câmaras matriciais convergentes como, por exemplo, o sistema DMC (Z/I Imaging) e, finalmente, os sistemas matriciais com câmaras verticais, como a UltracamX (Microsoft Vexcel) e a DIMAC (Dimac Systems).

Este trabalho de dissertação foi desenvolvido no contexto do projeto ARMOD - Automação dos processos de Reconstrução e orientação de MODelos (TOMMASELLI, 2004), o qual propõe como solução para o problema de recobrimento o uso de um arranjo de câmaras digitais convergentes disparadas simultaneamente, consistindo de uma alternativa de custo reduzido quando comparada com os sistemas comerciais supracitados. As imagens podem ser retificadas e mosaicadas para formar uma única imagem, ou podem ainda ser processadas isoladamente.

Um sistema comercial desta natureza está sendo implementado pela empresa Engemap em parceria com a UNESP, com financiamento da Fapesp, mediante um projeto intitulado SAAPI - Sistema Aerotransportado de Aquisição e Pós-Processamento de Imagens. O emprego desta solução, baseada no arranjo de câmaras convergentes, exige a calibração de todo o sistema e o método de ajustamento aplicado pode envolver o uso de equações de injunções, elaboradas com base nas características físicas ou geométricas do problema, o que implica em uma maior confiança aos parâmetros estimados no processo.

1.2 OBJETIVOS

O objetivo geral do trabalho consiste no estudo e desenvolvimento de uma metodologia para a calibração do sistema dual de câmaras digitais convergentes. Conforme mencionado, alguns elementos dentro do arranjo de câmaras se mantêm fixos, podendo ser explorados mediante a elaboração de equações de injunções.

No contexto deste trabalho, as injunções (ou restrições) podem ser elaboradas com base na orientação relativa entre as duas câmaras que se mantém fixa ao longo da etapa de aquisição, dado que o sistema é sustentado por uma estrutura considerada fisicamente estável. Com relação aos objetivos específicos do projeto, pretende-se:

1) Testar uma abordagem que se baseia no ajustamento seqüencial dos parâmetros de ambas as câmaras que compõem o arranjo dual, seguido do cálculo dos elementos de orientação relativa;

2) Desenvolver uma metodologia baseada no ajustamento simultâneo de todos os parâmetros de ambas as câmaras, considerando algumas restrições relacionadas à estabilidade física da orientação relativa;

3) Implementar os algoritmos para aplicação das injunções de orientação relativa na metodologia proposta;

4) Calibrar o sistema dual de câmaras digitais convergentes;

5) Analisar os resultados da calibração, no que diz respeito à influência das injunções na solução.

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO

A Seção 1 apresenta as considerações iniciais bem como os objetivos gerais e específicos deste trabalho.

A fundamentação teórica essencial ao desenvolvimento da pesquisa é apresentada na Seção 2, que de maneira geral abrange: o desenvolvimento das equações de colinearidade como modelo matemático adotado na metodologia de calibração desenvolvida; a definição dos principais métodos de calibração, que se dividem entre métodos de laboratório e de campo; três métodos de calibração de estereocâmaras que fazem uso da orientação relativa; os parâmetros adicionais considerados nas equações de colinearidade (parâmetros de orientação interior); e o método de ajustamento aplicado na metodologia desenvolvida.

A Seção 3 apresenta a geometria do arranjo de câmaras e uma solução para calibração do sistema, que se baseia no ajustamento individual dos parâmetros de cada câmara (processamento seqüencial), utilizando o aplicativo CC (Calibração de Câmaras) desenvolvido por Galo (1993), seguido do cálculo dos parâmetros de orientação relativa. Apresenta-se, ainda, a metodologia desenvolvida para a calibração do sistema dual de câmaras digitais, baseada no ajustamento simultâneo dos parâmetros de ambas as câmaras, fixando-se, por meio de injunções, os parâmetros de orientação relativa.

A Seção 4 apresenta os experimentos e resultados obtidos com a solução que se baseia no ajustamento seqüencial. Apresenta, também, os experimentos e a avaliação da metodologia desenvolvida, considerando a aplicação das injunções de estabilidade da orientação relativa.

As conclusões e considerações finais do trabalho, bem como as recomendações para trabalhos futuros são apresentados na Seção 5.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 PROJEÇÃO PERSPECTIVA CENTRAL E AS EQUAÇÕES DE COLINEARIDADE

As equações de colinearidade constituem o modelo matemático que relaciona os espaços imagem e objeto (LUGNANI, 1987), sendo baseadas no modelo de projeção perspectiva central, que descreve o processo de imageamento no plano focal da câmara, ou no plano de sensores para o caso de uma câmara digital (ATKINSON, 1996; GALO, 1993). Sua dedução se baseia no princípio de que um determinado ponto p na imagem, seu correspondente P no espaço objeto e o centro perspectivo da câmara (CP), são idealmente colineares (Figura 2.1).

Figura 2.1 - Colinearidade entre os pontos: na imagem (p), correspondente no espaço objeto (P) e centro perspectivo da câmara (CP).

A Figura 2.2 mostra as relações entre os vetores envolvendo o CP, o ponto p na imagem, seu correspondente P no espaço objeto e a origem O do sistema de referência do espaço-objeto.

Fonte: Adaptado de Galo (2005)

z y O Espaço objeto Plano da imagem Y0 X0 CP Z0 p (xp,yp) Z X Y Espaço imagem y x P (Xp, Yp, Zp) -f x

Figura 2.2 - Relação vetorial ligando os pontos O, CP, p e P.

Com base na Figura (2.2), a seguinte relação vetorial pode ser escrita:

CPP

+

OCP

=

OP

(2.1)

O vetor que liga o CP ao ponto objeto P pode ser obtido como resultante de um produto do escalar k pelo vetor que liga o CP ao ponto p na imagem (GALO, 2005). Como CPp é expresso em função das coordenadas no referencial da imagem, considera-se as rotações existentes entre o referencial da imagem, com origem no CP, e o referencial do espaço objeto, com origem em O, aplicando-se a matriz de rotação inversa M−1 ao vetor kCPp. Deste modo, ao considerar

CPP

=

M

-1

k

CPp

a Equação 2.1 pode ser reescrita como:

CPp

k

M

+

OCP

=

OP

-1 . (2.2)

Isolando-se kCPp na Equação 2.2, tem-se: O

z

Fonte: Adaptado de Galo (2005)

κ φ ω x y CP P Z X Y y x p -f

)

OCP

-OP

M(

CPp

k

₌

. (2.3)

A matriz de rotação Mkφω = R(k).R(φ).R(ω) é calculada em função das rotações k, φ, ω, respectivamente, sendo dada por:

            ϕ − + + − + − + = cosφ cosω cosφ senω senφ cosκ senω senκ senφ cosω cosκ cosω senκ senφ senω senκ cosφ -senκ senω cosκ senφ cosω senκ cosω cosκ senφ senω cosκ cosφ M_{κ ω} ,

que aplicada às Equações 2.3, resulta nas equações:

                                    ϕ             − − − = − − − = 0 0 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 0 0 0 ω κ Z Z Y Y X X . m m m m m m m m m Z Z Y Y X X . M z y x k (2.4)

As Equações 2.4 podem ser desenvolvidas a partir de um produto matricial, e escritas conforme segue:

[

]

[

]

[

m (X X ) m (Y Y ) m (Z Z )

]

k z ) Z (Z m ) Y (Y m ) X (X m k y ) Z (Z m ) Y (Y m ) X (X m k x 0 33 0 32 0 31 0 23 0 22 0 21 0 13 0 12 0 11 1 1 1 − + − + − = − + − + − = − + − + − = − − − (2.5)

Considerando z = -f (f distância focal) na Equação 2.5, conforme ilustra a Figura 2.1, e dividindo as duas primeiras igualdades pela terceira, obtêm-se:

) Z (Z m ) Y (Y m ) X (X m ) Z (Z m ) Y (Y m ) X (X m f y ) Z (Z m ) Y (Y m ) X (X m ) Z (Z m ) Y (Y m ) X (X m f x 0 33 0 32 0 31 0 23 0 22 0 21 0 33 0 32 0 31 0 13 0 12 0 11 − + − + − − + − + − − = − + − + − − + − + − − = . (2.6)

2.1.1 Sistema de referência do espaço imagem

Com relação às tradicionais câmaras métricas, o sistema de coordenadas do espaço imagem é definido a partir das marcas fiduciais que

integram o corpo da câmara, que são registradas no plano da imagem devido à incidência de iluminação que passa pelo sistema de lentes da câmara, ou por iluminação independente (ATKINSON, 1996). Além da realização do sistema de referência da imagem, as marcas fiduciais permitem ainda corrigir os efeitos da deformação do filme a partir de uma transformação geométrica plana (afim, isogonal ou projetiva), dado que as coordenadas das marcas fiduciais são fornecidas pelo certificado de calibração da câmara.

No caso de uma câmara digital, o sistema matricial usado na medição das fotocoordenadas é definido como sendo um sistema cartesiano plano retangular, com origem no canto superior esquerdo da imagem. Os eixos x e y coincidem com as primeiras linha e coluna, respectivamente, sendo o sentido do eixo y definido por uma rotação de 90º em relação ao eixo x, no sentido horário.

As coordenadas medidas no sistema matricial, na unidade de pixel, podem ser transformadas para o sistema central da imagem (equivalente ao fiducial), na unidade de milímetros. Para isto, deve-se conhecer a largura (W) e altura (H) da imagem (em pixels), além das dimensões sx e sy do pixel (em milímetros). A Figura 2.3 mostra a relação entre o sistema matricial de medida e o sistema com origem no centro da imagem.

Figura 2.3 - Relação entre o sistema matricial de medida e o sistema com origem no centro da imagem. c = 0 c = largura - 1 l = 0 l = altura - 1 W (largura) H (altura) y x (cx, cy) Colunas ( c) Linhas ( l)

As Equações 2.7, deduzidas a partir da Figura 2.3, representam esta relação: ] [ ] [ y y x x c l s y c c s x − − = − = (2.7) sendo (c , _x c ) = (_y 2 1 W − , 2 1 H− ).

As coordenadas transformadas pelas Equações 2.7 estão referenciadas ao sistema de coordenadas com origem no centro da imagem, equivalente ao sistema fiducial utilizado para o caso das câmaras métricas convencionais.

2.1.2 Sistema de referência do espaço objeto

Em Fotogrametria, a posição de um ponto no espaço objeto é comumente referida a um sistema cartesiano tridimensional, cuja origem, escala e orientação são definidos arbitrariamente, de acordo com o que for mais conveniente, tendo em vista a tarefa a ser realizada (ATKINSON, 1996).

Deste modo, uma operação de calibração em campo, por exemplo, pode adotar um sistema de coordenadas cartesiano local, definido com origem próxima ao campo de calibração. Este sistema tem a vantagem de poder ser relacionado com um sistema de coordenadas geodésicas, e vice-versa, a partir de transformações envolvendo rotações e translações (MONICO, 2000).

Um exemplo de conveniência na adoção do sistema de referência do espaço objeto, diz respeito à consideração do CP de uma das duas fotos como sendo origem do referencial no processo de orientação relativa analítica (WOLF e DEWITT, 2000). Como exemplo pode-se adotar o CP da foto 1 como origem (X0 = Y0 = Z0 = 0), mais a coordenada X0 do CP da foto 2 como sendo igual à fotobase b, o que permite a redução dos parâmetros de 12 (6 parâmetros de orientação exterior para cada foto) para 5 parâmetros de orientação relativa (k, φ, ω, Y₀e Z₀ da foto 2).

2.2 CALIBRAÇÃO DE CÂMARAS

Os parâmetros resultantes do processo de calibração descrevem a geometria interna de uma câmara, incluindo a modelagem das distorções provocadas pelas imperfeições no sistema de lentes, as quais podem comprometer a precisão dos processos fotogramétricos. Para o caso das câmaras digitais, o conjunto de parâmetros de orientação interior a ser considerado na calibração destes equipamentos compreende:

f - Distância focal gaussiana equivalente da câmara; x0 e y0 - Coordenadas do ponto principal;

K1, K2e K3 - Parâmetros de distorção radial simétrica; P1e P2 - Parâmetros de distorção descentrada;

A e B - Coeficientes de afinidade.

No que se refere à Fotogrametria Analítica, um processo de calibração trata da atribuição de valores às propriedades que descrevem o caráter métrico de um sistema de medida, bem como à qualidade desta estimação (MERCHANT, 1979). A calibração realizada pelas empresas fabricantes das câmaras é documentada na forma de um certificado que contém os parâmetros determinados no processo de calibração, o método utilizado, além dos parâmetros estatísticos que lhes definem o grau de confiabilidade (ANDRADE, 2003).

Um processo de calibração de um sistema composto por duas câmaras, por exemplo, deve considerar também a calibração dos elementos de orientação relativa entre as câmaras, que podem ser obtidos em função da orientação exterior de ambas as câmaras, como será visto na Seção 3.2. Neste caso, atenta-se para a importância de se realizar periodicamente, o processo de calibração em condições de uso, para que se possa verificar a estabilidade destes parâmetros.

2.2.1 Parâmetros de orientação interior

2.2.1.1 Distância focal gaussiana equivalente e distância focal calibrada

A distância focal gaussiana equivalente, é aquela que satisfaz a equação das lentes, coincidindo com a constante da câmara c (para o caso aéreo), podendo ser calculada por um processo de calibração. Já a distância focal calibrada é definida como sendo aquela que permite uma distribuição média das distorções das lentes, a partir de um balanceamento da curva de distorção radial simétrica (WOLF e DEWITT, 2000; ANDRADE, 2003).

A curva de distorção radial simétrica, correspondente à distância focal gaussiana equivalente, é aquela apresentada mais adiante, pelas Equações 2.8. A Figura 2.4 ilustra as curvas de distorções considerando ambas a definições de distância focal.

Figura 2.4 - Curvas de distorção para a distância focal calibrada e distância focal gaussiana equivalente.

2.2.1.2 Ponto principal de autocolimação e de simetria

Entre as várias definições de ponto principal adotadas pelos fotogrametristas, cita-se duas bastante usuais (MERCHANT, 1979; ANDRADE, 2003; MIKHAIL et al, 2001): ponto principal de autocolimação, definido pela intersecção de um raio de luz com o plano da fotografia, o qual é perpendicular a este plano antes de passar pelo sistema de lentes; e ponto principal de simetria, definido como sendo o ponto de melhor simetria das curvas de distorção, sendo

Fonte: Adaptado de Galo (2005a).

Curva de distorção para a distância focal calibrada

Curva de distorção para a distância focal gaussiana equivalente

δr

denominado ainda como “ponto principal calibrado” (ANDRADE, 2003; MERCHANT, 1979).

Independente da definição adotada para o ponto principal, suas coordenadas x₀ e y₀ representam a sua posição com relação ao sistema fiducial, ou sistema com origem no centro da imagem (para as câmaras digitais). Este sistema de referência da imagem passa a ser definido como sistema fotogramétrico, quando sua origem é transladada para o CP da imagem. A Figura 2.5 ilustra o ponto principal de autocolimação que pode ser estimado por um método de calibração de câmaras.

Figura 2.5 – Ponto principal de autocolimação (ppa).

2.2.1.3 Distorção radial simétrica

É a componente simétrica da distorção que ocorre ao longo das linhas radiais da imagem, a partir do ponto principal (WOLF e DEWITT, 2000). Esta distorção é resultante da dificuldade dos fabricantes em produzir lentes com curvatura perfeita e pode ser entendida como a parcela não desejável da refração sofrida por um raio de luz ao atravessar o sistema de lentes, sendo seu modelo estabelecido através dos seguintes polinômios:

) y ...)(y k K (K δy ) x ...)(x K K (K δx 0 6 r 3 4 r 2 2 r 1 r 0 6 r 3 4 r 2 2 r 1 r -+ + = + + = (2.8) onde,

Plano do negativo ppa

r

δx e δy - Componentes do deslocamento para um ponto da imagem (_r x, y); r - Distância radial deste ponto ao ponto principal (x₀, y₀);

K1, K2, K3, ... - Parâmetros do polinômio a serem estimados no ajustamento.

2.2.1.4 Distorção descentrada

Dentre as distorções resultantes das imperfeições do sistema de lentes, a distorção descentrada é aquela que resta após a compensação da distorção radial simétrica, segundo Wolf e Dewitt (2000). É provocada pela impossibilidade do fabricante em realizar um alinhamento perfeito dos eixos ópticos das lentes que compõem o sistema óptico, sendo composta pelas componentes tangencial e radial assimétrica. O modelo desta distorção foi apresentado originalmente por Conrady em 1919 e Modificado por Brown (1966), sendo expresso por: ] ) y -2(y [r P ) y -)(y x -(x 2P δy ) y -)(y x -(x 2P ] ) x -2(x [r P δx 2 0 2 2 0 0 1 d 0 0 2 2 0 2 1 d + + = + + = (2.9) onde, d δx e d

δy - Deslocamentos de um ponto de coordenadas (x, y); r - Distância radial;

P₁ e P₂ - Parâmetros do polinômio a serem recuperados na calibração.

2.2.1.5 Coeficientes de afinidade

Os parâmetros de afinidade permitem a modelagem da não ortogonalidade e diferença de escala entre os eixos x e y do sistema de coordenadas da imagem, caso estes efeitos ocorram (MONIWA, 1972; GALO, 1993). Tommaselli e Alves (2001) citam que nas modernas câmaras digitais a forma do pixel é geralmente quadrada, apresentando a mesma escala em x e y. Se houver diferença nas dimensões do pixel em x e y e esta diferença não for fornecida pelo fabricante da câmara, o fator de escala em x absorverá essa diferença.

Este efeito pode ser parametrizado por diferentes modelos, como o proposto por Moniwa (1972), para o caso das câmaras analógicas não métricas, e

que pode ser também utilizado para câmaras digitais (TOMMASELLI e TOZZI, 1990; GALO, 2003). Outro modelo, apresentado por Habib e Morgan (2003), e que foi adotado neste trabalho, é expresso por:

) y A(y δy ) y B(y ) x A(x δx 0 a 0 0 a − = − + − − = (2.10)

sendo A e B os parâmetros de afinidade.

2.2.2 Parâmetros de orientação exterior

Um método de calibração de câmaras pode incluir ainda a estimativa dos parâmetros de orientação exterior. Os métodos de campo, como serão vistos mais adiante, permitem esta determinação, ao passo que os métodos de laboratório permitem uma solução que considera apenas a determinação da distância focal gaussiana equivalente, das coordenadas do ponto principal de autocolimação e da distorção radial simétrica. Os parâmetros de orientação exterior são constituídos por k, φ, ω, X₀, Y₀ e Z₀ onde:

k, φ e ω - Rotações entre o referencial fotogramétrico e o referencial do espaço objeto, no momento da aquisição da imagem;

X0, Y0 e Z0 - Coordenadas do CP no referencial do espaço objeto, no momento da aquisição.

Os ângulos k, φ, ω permitem o cálculo da matriz de rotação que é aplicada na transformação do sistema de coordenadas do espaço objeto para um sistema paralelo ao sistema fotogramétrico do espaço imagem.

2.2.3 Métodos de Calibração

2.2.3.1 Métodos de laboratório

Os métodos de calibração em laboratório constituem uma das alternativas que podem ser usadas para a calibração de câmaras (ANDRADE, 2003; CLARKE e FRYER, 1998; CRAMER, 2004; MIKHAIL et al, 2001). Os métodos de calibração em laboratório a serem apresentados neste trabalho são os métodos do Multicolimador e do Goniômetro.

Os modernos sensores digitais aerotransportados, inclusive aqueles com configuração multicâmaras, também fazem uso de técnicas de laboratório para calibração das câmaras individuais que os compõem. É o caso do sensor DMC (Z/I Imaging) (CRAMER, 2004).

No entanto, a calibração de uma câmara digital a partir destes métodos de laboratório, deve considerar algumas adaptações devido à impossibilidade de se instalar uma placa de vidro no plano focal desta câmara. Esta impossibilidade se deve ao fato de que a matriz de sensores se encontra rigidamente instalada neste plano.

2.2.3.1.1 Método do multicolimador

Neste método, utiliza-se de uma matriz de colimadores fixos, arranjada na forma de um leque, com ângulos bem definidos entre as diferentes direções de visada (ANDRADE, 2003; CLARKE e FRYER, 1998). A luz que emerge de cada colimador, focalizado para o infinito, passa pelo sistema de lentes e projeta a sua posição em uma placa fotográfica fixada no plano focal da câmara.

O arranjo de colimadores compreende dois planos verticais, com 90º entre si, constituindo um banco de colimadores. A Figura 2.6 ilustra um dos planos verticais do banco de colimadores para calibração de cones de até 90º de abertura. Os colimadores apresentam entre si, ângulos de 7,5º com distribuição simétrica até que se atinja 45º para cada lado com relação ao colimador central. Sendo assim, chega-se a um total de 25 colimadores para um banco de colimadores, considerando cones com 90º de abertura angular. Para o caso de uma abertura de 120º, o banco passa a ter 33 colimadores.

Figura 2.6 – (a) Ponto nodal exterior coincidindo com o ponto de convergência dos eixos dos colimadores e (b) eixo óptico da câmara alinhado com o eixo do colimador central.

Segundo Cramer (2004) e Mikhail et al (2001), para calibrar a câmara usando um multicolimador, a câmara é primeiramente posicionada de maneira que o ponto nodal exterior coincida com o ponto de convergência dos eixos dos colimadores (Figura 2.6a). Em seguida, o eixo óptico da câmara é alinhado com o eixo do colimador central, utilizando-se de técnicas de autocolimação e do colimador central como referência (Figura 2.6b).

Na autocolimação, uma placa refletora é colocada no plano focal da câmara e esta câmara é ajustada até que o retículo do telescópio autocolimador se alinhe com a sua imagem refletida pela placa. Para realização destes passos, o banco de colimadores deve possuir recursos para posicionar o cone da câmara, nivelar e rotacionar o cone em torno do eixo óptico, devendo possuir ainda, um telescópio autocolimador (ANDRADE, 2003).

O processo segue com o imageamento dos colimadores e das marcas fiduciais em uma placa fotográfica de vidro, instalada no plano focal da câmara. A posição de cada colimador imageado, bem como de cada marca fiducial, é então medida por um instrumento de alta precisão. A partir destas medidas, calcula-se a distância focal gaussiana equivalente (considerando apenas os pontos

Telescópio autocolimador

(a) (b)

Fonte: Baseado em Andrade (2003).

45º _45º

Ponto nodal exterior

colimadores

Placa fotográfica de vidro

mais próximos do centro da imagem), além da distorção radial para cada ponto medido.

2.2.3.1.2 Método do goniômetro

O método consiste basicamente na medição de ângulos através de um goniômetro, de maneira que um telescópio possa mirar para marcas gravadas numa placa colocada no plano focal da câmara (ANDRADE, 2003). A Figura 2.7 ilustra um goniômetro usado na calibração de câmaras.

Figura 2.7 – Goniômetro para calibração de câmaras.

Ao se calibrar uma câmara por este método, deve-se colocar o seu ponto nodal exterior aproximadamente sobre o eixo de rotação do limbo do goniômetro (ANDRADE, 2003). Prossegue-se colocando no plano focal da câmara, uma placa de vidro contendo uma rede de pontos. Estes pontos são observados pelo telescópio focalizado para o infinito, à medida que a placa é iluminada.

Para cada ponto observado, o ângulo α entre o eixo do telescópio e o eixo do sistema de lentes é medido. A distância focal gaussiana é então calculada a partir das distâncias conhecidas entre alguns pontos mais próximos do centro da malha e dos respectivos ângulos lidos pelo goniômetro. Pode-se calcular ainda, a distorção radial para qualquer ponto de distância d cujo ângulo α tenha sido medido.

Fonte: Adaptado de Andrade (2003) Ponto nodal

exterior

α

d

Eixo das lentes

c (distância principal)

luneta “Grid”

2.2.3.2 Métodos de campo

Segundo Andrade (2003), os métodos de campo oferecem soluções mais completas na calibração de câmaras, permitindo a recuperação de todos os parâmetros de calibração, contando ainda com uma superabundância de observações que torna possível um controle estatístico do processo.

Apresenta-se a seguir, os métodos dos campos mistos e das câmaras convergentes. Estes métodos são muito conhecidos pela comunidade fotogramétrica, já que permitem, dentro de suas respectivas particularidades, minimizar a correlação entre os parâmetros de calibração (f, x0e y0) e a posição do centro perspectivo (Z0, X0 e Y0), respectivamente, evitando desta maneira a singularidade no sistema de equações normais.

2.2.3.2.1 Equações de colinearidade com parâmetros adicionais

As equações de colinearidade (Equações 2.6), na forma como foram apresentadas, permitem obter as coordenadas (x, y) no sistema fotogramétrico, definido na Seção 2.2.1.2. No entanto, as imperfeições inerentes ao sistema óptico fazem com que o feixe de raios projetados geometricamente no plano focal da câmara, ou plano de sensores, não coincida com o feixe real de raios que incide na câmara no momento da exposição.

Logo, deve-se considerar uma parametrização adicional às Equações 2.6, compreendendo os parâmetros de orientação interior apresentados na Seção 2.2. As equações de colinearidade com parâmetros adicionais são dadas por: 0 = ) Z -(Z m ) Y -(Y m ) X -(X m ) Z -(Z m ) Y -(Y m ) X -(X m f ∆y -y -y = F 0 = ) Z -(Z m ) Y -(Y m ) X -(X m ) Z -(Z m ) Y -(Y m ) X -(X m f x -x -x = F 0 33 0 32 0 31 0 23 0 22 0 21 0 2 0 33 0 32 0 31 0 13 0 12 0 11 0 1 + + + + + + + + + + ∆ . 11)

Estas equações são usadas nos métodos de calibração em campo a serem apresentados. Dentro das particularidades de cada método, a principal

diferença se dá com relação à forma como as fotografias são adquiridas, bem como o espaço objeto fotografado.

No método dos campos mistos, por exemplo, o espaço objeto conta com dois campos: um com variações de relevo, da ordem de 20% da altura de vôo e outro que pode ser aproximadamente plano, no qual são identificados mais pontos. Já no método das câmaras convergentes, o espaço objeto é fotografado de maneira convergente, com rotações significativas em torno do eixo z.

A calibração de câmaras por meio das Equações 2.11 constitui um método analítico cujas funções (∆x, ∆y) permitem a modelagem dos erros sistemáticos apresentados na Seção 2.2.1, conforme segue:

                                + + = a a d d r r δy δx δy δx δy δx ∆y ∆x . (2.12)

2.2.3.2.2 Método dos campos mistos

O método dos campos mistos surgiu quando o professor Dean Merchant1, 2 (1968 e 1971 apud Andrade, 2003) analisou a dependência linear entre os parâmetros de um ajustamento de aerotriangulação. Os resultados desta análise mostraram a impossibilidade na determinação simultânea dos três pares de parâmetros (f e Z0, x0 e X0, y0 e Y0), quando a razão entre as derivadas das equações de colinearidade com relação a estes pares era constante.

Esta constância, no entanto, ocorre no caso de (Z - Z0) ser constante e ω = φ = 0, ou seja, quando a altura de vôo é constante, o terreno plano e as fotos perfeitamente verticais. Deste modo percebeu-se então que ao utilizar um campo com alvos apresentando desníveis acentuados poderia quebrar a correlação entre os parâmetros. Com este propósito, no ano de 1972 o professor Merchant3 (1972 apud Andrade, 2003) utilizou dois campos de testes com alvos: um montanhoso, com poucos alvos de coordenadas bem definidas, para quebrar a

1

MERCHANT, D. C. Calibration of the aerial photogrammetric system. Rome Air Development. Center, 1968.

2

MERCHANT, D. C. An investigation into dynamic aerial photographic system calibration. RADC-R-71-174, Final Technical Report, 1971.

3

MERCHANT, D. C. Metric Calibration of the Aerial Photographic System by de Method mixed Ranges. AFSC (RADC) TR-72-178, 1972.

correlação entre os parâmetros; e outro plano, com muitos alvos, para uma boa determinação dos outros parâmetros de calibração.

Este método foi adaptado no Brasil por Andrade e Olivas (1981), que implantaram um campo de calibração na região da Serra de São Luiz de Purunã -Paraná, no inicio dos anos 80. Além disso, desenvolveram os procedimentos teóricos necessários à realização da calibração.

2.2.3.2.3 Método das câmaras convergentes

Segundo Andrade (2003), o método das câmaras convergentes foi utilizado pela primeira vez para calibrar a câmara Hasselblad 500, usada para fotografar a Lua durante a missão APOLLO 14. A princípio, não foi possível a calibração deste equipamento e a NASA contratou então a DBA Systems para realização desta tarefa.

A calibração deste equipamento foi realizada, utilizando-se de fotografias convergentes e rotacionadas em torno do eixo z (ANDRADE, 2003). Este processo só foi possível devido ao fato de que as fotografias convergentes não apresentavam a dependência linear verificada para fotos verticais. Mais tarde a câmara pôde ser calibrada pelo método estelar, confirmando a consistência dos resultados de ambas as calibrações.

2.2.4 Diferenças entre calibração on-the-job e autocalibração

O processo de calibração por um método de campo faz uso das equações de colinearidade com parâmetros adicionais, aplicadas em um processo denominado ajustamento por feixes de raios (Bundle Adjustment). Diferentes técnicas podem ser adotadas na realização deste processo, a citar: a autocalibração, do inglês self-calibration e a calibração em serviço (on-the-job calibration)

A definição destas técnicas se apresenta de maneira não homogênea na literatura, que muitas vezes define, erroneamente, a técnica de calibração abordada (CLARKE e FRYER, 1998). Deste modo, apresenta-se a seguir as definições para autocalibração e calibração em serviço.

2.2.4.1 Calibração em serviço (on-the-job)

Consiste de um ajustamento por feixes de raios considerando as equações de colinearidade com parâmetros adicionais (Equações 2.11 da Seção 2.2.3.2.1) e requer a colocação de pontos de controle na área do objeto a ser imageado, sendo considerada a técnica mais utilizada na Fotogrametria a curta distância (CLARKE e FRYER, 1998). Cramer (2004) utiliza o termo “calibração in-situ” para se referir à técnica de calibração on-the-job, e ao contrário do que se verifica para a autocalibração, o principal interesse na aplicação desta técnica é a reconstrução de feições do espaço objeto que ocorre em conjunto com o processo de calibração.

2.2.4.2 Autocalibração (self-calibration)

Atkinson (1996) trata o conceito desta técnica como sendo uma extensão do conceito de calibração on-the-job. No entanto, a autocalibração não requer qualquer controle do espaço objeto para a realização da calibração, sendo necessário fixar somente a posição e orientação de uma das câmaras e uma escala no espaço objeto, compondo as 7 injunções mínimas para fixar um referencial no espaço objeto. Além disso, alguns critérios devem ser adotados para que o processo de calibração seja executado (BROWN, 1989):

(1) Uma única câmara deve ser utilizada para tomar um mínimo de três imagens do objeto;

(2) Tanto a geometria interna da câmara quanto os pontos a serem medidos devem permanecer estáveis durante o processo de medida; (3) A rede fotogramétrica deve ser rígida;

(4) No mínimo uma imagem deve ser tomada com um ângulo significativamente diferente dos outros;

(5) Um grande número de pontos bem distribuídos deve ser utilizado.

Mediante o cumprimento de tais critérios, Brown (1989) garante o sucesso na execução da calibração.

2.2.5 Calibração de estereocâmaras

Esta Seção compreende o estudo de três abordagens de calibração de estereocâmaras. A primeira delas, apresentada por Zhuang (1995), trata da determinação dos parâmetros de orientação exterior de uma estereocâmara a partir da técnica de autocalibração e a outra apresentada por Tommaselli e Alves (2001), trata da calibração de um sistema de vídeo estereoscópico Nu-View, utilizando-se de injunções aos parâmetros de orientação exterior. Uma terceira abordagem, estudada por Espinhosa (2006), trata da avaliação dos resultados de uma fototriangulação com injunção de distância na estéreo-base entre duas vídeo-câmaras digitais.

2.2.5.1 Calibração de uma estereocâmara por autocalibração

A abordagem apresentada por Zhuang (1995) trata da calibração aplicada com o objetivo de se determinar apenas os parâmetros de orientação relativa entre as duas câmaras (posição e orientação de uma câmara com relação à outra). A técnica de autocalibração não requer a medida de pontos de controle no espaço objeto, como citado na Seção 2.2.4.2, e na abordagem proposta por Zhuang (1995), pressupõe o conhecimento de uma distância fixa, medida no espaço objeto.

Esta abordagem é considerada como sendo uma solução parcial, já que assume a orientação interior como sendo conhecida, pré-determinada por um método qualquer. Enquanto o objeto se move, os pontos extremos que delimitam a distância conhecida no espaço objeto têm suas coordenadas medidas na seqüência de imagens tomadas.

A função que relaciona os parâmetros incógnitos às medidas (Equação 2.13) é então formulada e a minimização desta função é obtida pela aplicação do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). As medidas compreendem as fotocoordenadas dos pontos extremos e a distância fixa no espaço objeto.

沸 m 1 = j = E [d - gj (k, ϕ, ω, ∆X, ∆Y, ∆Z)] 2 (2.13) onde

gj Distância calculada como função indireta dos parâmetros de orientação

relativa (incógnitos) para j = 1, 2,..., m medidas; d Distância fixa medida no espaço objeto.

O termo gj é obtido pela Equação 2.14, sendo expresso como uma

função direta dos pontos extremos que delimitam uma feição com distância d conhecida no espaço objeto.

2 2 1 2 e,2 2 ,1 e 1 2 e,2 2 ,1 e 1x -Z x ) (Z y -Z y ) (Z -Z ) (Z g _{= + +} (2.14) onde

(x_e,1,y_e,1) e (x_e,2,y_e,2) Coordenadas dos pontos extremos (na imagem da esquerda), normalizadas e corrigidas da distorção radial simétrica (ZHUANG, 1995);

i

Z , para i = 1,2 Coordenada Z dos pontos extremos, no espaço objeto.

A partir dos valores de Z é possível obter as coordenadas _i (X ,_i Y ,_i Z ) dos pontos extremos no espaço objeto, de acordo com a Equação 2.15. _i O sistema de coordenadas do espaço objeto é adotado como sendo o sistema de coordenadas da imagem da esquerda, e o valor de Z calculado pela solução explícita apresentada em Zhuang (1995), desenvolvida com base na Equação 2.16, que relaciona os elementos de orientação relativa (ω, ϕ, k, ∆X, ∆Y, ∆Z).

                        = 1 y x Z Z Y X i e, i e, i i i i (2.15)                                     + = ∆Z ∆X ∆X 1 y x R Z 1 y x λ _e,i i e, i i d, i d, (2.16) onde λ Fator de escala;

R Matriz de orientação relativa entre as duas câmaras (função de k, φ e ω); ∆X, ∆Y e ∆Z Componentes da translação entre as duas câmaras;

d

x e y Coordenadas de um ponto na imagem da direita; _d

e

x e y Coordenadas do mesmo ponto na imagem da esquerda. _e

Portanto, o problema de calibração, na abordagem proposta por Zhuang (1995), se reduz a encontrar os parâmetros k, φ, ω, ∆X, ∆Y e ∆Z (Equação 2.13) que minimizem a função E, de acordo com o critério dos mínimos quadrados. Como pode ser notado neste método não são estimados os parâmetros de OI, como nas abordagens clássicas de calibração em Fotogrametria.

2.2.5.2 Calibração de um sistema de vídeo estereoscópico

A abordagem de calibração de uma estereocâmara apresentada por Tommaselli e Alves (2001), foi aplicada a um sistema de captura de imagens estereoscópicas Nu-View. Este sistema permite a gravação de estereopares em campos entrelaçados, gravados em formato VHS, que podem ser digitalizados e separados, permitindo uma posterior reconstrução da cena imageada.

Esta abordagem utiliza as equações de colinearidade com parâmetros adicionais (Seção 2.2.3.2.1), considerando algumas relações que são mantidas fixas, visando-se obter uma maior rigidez do sistema. Estas relações, segundo Tommaselli e Alves (2001), podem ser convertidas em injunções conforme segue: 0 B -Z Y X X G d)2 0 e 0 (Z 2 ) d 0 e 0 (Y 2 ) d 0 e 0 ( 1= − + − + − = (2.17) 0 ∆κ r r r r r r G₂= ₂₁e ₁₁d + ₂₂e ₁₂d + ₂₃e ₁₃d − = (2.18) 0 ∆ r r r r r r G₃= ₃₁e ₁₁d + ₃₂e ₁₂d + ₃₃e ₁₃d − ϕ= (2.19) 0 ∆ r r r r r r G₄= ₃₁e ₂₁d + ₃₂e ₂₂d + ₃₃e ₂₃d − ω= (2.20) onde

G1 Equação de distância entre os CPs das imagens da esquerda e da direita, sendo a distância B (base) também uma incógnita a ser determinada;

G2, G3 e G4 Equações de diferenças de cossenos diretores (também constantes). Estes elementos diferenciais podem ser estimados no ajustamento, sendo obtidos a partir da combinação entre as matrizes de rotação das imagens esquerda e direita segundo a relação:

            = − ϕ − − ϕ − 1 ∆ω ∆ ∆ω 1 ∆κ ∆ ∆κ 1 R R_{esq dir}1 (2.21)

sendo R_esq e R_dir as matrizes de rotação das imagens da esquerda e direita, respectivamente.

De acordo com Tommaselli e Alves (2001), a matriz anti-simétrica no segundo membro da Equação 2.21 resulta da soma das matrizes de Rodriguez com a identidade, que nada mais é do que a expressão diferencial da matriz de rotação da imagem direita em relação à esquerda (o referencial da imagem da esquerda é adotado como origem). Os termos desta matriz podem ser considerados como invariantes para duas câmaras quaisquer, quando elas são rigidamente fixas e com rotações pequenas entre elas, o que permite a elaboração das equações G2, G3, G4 (Equações 2.18, 2.19 e 2.20, respectivamente).

Considerando as Equações 2.11 (equações de colinearidade com modelagem das distorções), e ainda, as equações de injunções apresentadas (Equações 2.17, 2.18, 2.19 e 2.20), o vetor dos parâmetros a serem estimados no ajustamento é dado por:

] ω ϕ ϕ ϕ ω X Y Z ...κ ω X Y Z B∆κ ∆ ∆ κ f d K c [c X_aT = _{x y 1 s} 1_{e e}1 _e1 1_{e e}1 _e1 _em _em _em _em _em _em (2.22)

Para o caso do sistema de captura de imagens mencionado ( Nu-View), os parâmetros de orientação interior constituem um único conjunto, pois as duas imagens (esquerda e direita) são geradas pela mesma câmara, a partir de um deslocamento provocado pelo espelho. Um ajustamento pelo método dos Mínimos Quadrados, considerando as injunções, permite a solução do sistema e a determinação dos parâmetros.

No caso da metodologia a ser desenvolvida neste projeto, isto não ocorre, já que o sistema é composto por duas câmaras, devendo ser considerados dois grupos de parâmetros de orientação interior no modelo de ajustamento a ser desenvolvido.

2.2.5.3 Influência da injunção de base na fototriangulação de imagens de vídeo

Espinhosa (2006) apresentou um trabalho que avaliou o comportamento dos parâmetros de orientação interior e exterior das câmaras e das coordenadas dos pontos triangulados, estimados na fototriangulação com parâmetros adicionais considerando uma injunção de distância na estéreo-base entre as duas vídeo-câmaras. Experimentalmente, pôde-se concluiu que, para as câmaras utilizadas, os resultados não apresentaram diferenças significativas ao se considerar o uso da injunção de estéreo-base na solução da fototriangulação.

2.3 AJUSTAMENTO PELOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ)

O ajustamento pelos mínimos quadrados pode ser realizado por três métodos (MIKHAIL et al, 2001) que, dependendo do tipo de modelo funcional, podem ser denominados: ajustamento somente de observações (adjustment of observations only); ajustamento de observações indiretas (adjustment of indirect observations); e ajustamento de observações e parâmetros (adjustment of observations and parameters). Estes três métodos são também conhecidos, respectivamente, por método dos correlatos, paramétrico e combinado (GEMAEL, 1994).

O método combinado é mais geral, já que dele podem ser derivados os outros dois. Este método é aplicado quando as equações de condição contêm parâmetros e observações ligados por uma função implícita, não sendo possível coloca-los na forma explicita. Mikhail e Ackerman (1976) apresentam duas variantes deste método, sendo a primeira denominada: método unificado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções (unified aproach least squares adjustment and parameters constraints); e a segunda: ajustamento pelos mínimos quadrados com equações de condição e injunções (least squares adjustment with conditions and constraints).

Esta segunda variante do método combinado requer um número maior de produtos matriciais. No entanto, a influência das injunções não afeta a estrutura da matriz N, bloco diagonal, que pode ser solucionada de maneira otimizada. Já a primeira variante, permite um número menor de produtos matriciais, além de uma maior facilidade de aplicação. Contudo, a estrutura bloco diagonal da matriz N é perturbada pela influência das injunções como poderá ser verificado mais adiante.

O método unificado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções, ou método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções, como será chamado daqui por diante, apresenta maior vantagem e facilidade de aplicação e será adotado na metodologia de calibração desenvolvida neste trabalho. A outra possibilidade de ajustamento será apresentada no Apêndice I, para fins de comparação e testes futuros.

No que se refere aos tipos de injunções: a injunção funcional pode ser definida como uma restrição imposta aos parâmetros com base nas relações levantadas a partir de características físicas ou geométricas do modelo (MIKHAIL e ACKERMAN, 1976). A injunção de peso, por exemplo, determina a variabilidade de um parâmetro dentro do ajustamento, sendo este peso definido com base na confiança que se tem no valor desta variável, conhecido a priori.

2.3.1 Método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções

As operações nos campos da Geodésia, Fotogrametria e Levantamentos, segundo Mikhail e Ackerman (1976), necessitam de um método de ajustamento que permita utilizar diferentes tipos de dados, de uma maneira mais geral e unificada. O fator mais importante associado a esta concepção de ajustamento, diz respeito ao fato de que todas as variáveis envolvidas no modelo matemático apresentam “valores preliminarmente estimados“, com variâncias conhecidas a priori.

O método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados necessita de um mecanismo de diferenciação entre as variáveis, o qual é dado convenientemente pela matriz variância-covariância conhecida, ou ainda, pela matriz peso das observações. Deste modo, se uma determinada variável possuir variância tendendo ao infinito, ou seja, peso tendendo a zero (P → 0), esta variável poderá

variar livremente no ajustamento, assumindo a condição de parâmetro desconhecido.

Por outro lado, se a mesma variável possuir variância nula, ou peso tendendo ao infinito (P →

∞

), não será permitida sua variação no ajustamento e esta variável assumirá a condição de constante. Deste modo, os parâmetros envolvidos nas equações de condição, até então encarados como simples incógnitas, passam a ser tratados como “pseudo-observações”.

O primeiro passo considerado na aplicação do método de ajustamento apresentado, diz respeito à identificação do modelo funcional a ser utilizado, além do número mínimo de observações n0, de um total de n (com n > 0),

necessárias à determinação do modelo de maneira única. Para cada um dos r = n - n0 graus de liberdade, deve-se escrever uma equação de condição que relaciona o

modelo às variáveis do problema.

A inclusão de u parâmetros incógnitos ao problema, incrementa o número de equações de condição de acordo com c = r + u até um número máximo de n equações (0 ≤ u ≤ n0). Assumindo que apenas u’ parâmetros são

funcionalmente independentes, do total de u, s = u – u’ representa o número de parâmetros dependentes. Assim sendo, s equações de injunções devem ser escritas para refletir aquela dependência, de modo que s seja menor que u (s < u) para que as equações de injunções não se tornem um sistema inconsistente (MIKHAIL e ACKERMAN, 1976). Os modelos matemáticos das equações de condição e injunções são respectivamente do tipo:

0 ) a X , a (L F = (2.23) 0 ) a X , a c ( c L F = (2.24) onde a

L Vetor das observações ajustadas de dimensões n x 1;

a c

L Vetor das observações ajustadas, referente às equações de injunções, de dimensões t x 1;

a

X Vetor dos parâmetros ajustados de dimensões u x 1.

Os vetores dos valores observados são dados, respectivamente, por:

b

L Vetor das observações de dimensões n x 1 e matriz cofator Q;

c

L Vetor das observações, referente às equações de injunções, de dimensões t x 1 e matriz cofator Qc;

Xx Vetor dos parâmetros observados a priori (pseudo-observações) de dimensões u x 1 e matriz cofator Q_x.

Os modelos 2.23 e 2.24, compreendem respectivamente, c equações de condição e s equações de injunções. Se os elementos L₀, L0_ce X₀ denotam os vetores dos valores aproximados, V, Vce Vx , os vetores dos resíduos e XL, XLc e X os vetores das correções aos valores aproximados, então (MIKHAIL e ACKERMAN, 1976; GEMAEL, 1994): L 0 b a L V L X L = + = + (2.25) Lc 0 c c c a c L V L X L = + = + (2.26) b a L L V ==== −−−− (2.27) 0 X X X = _a − (2.28)

Segue-se com a linearização dos modelos apresentados pelas Equações 2.23 e 2.24, que resulta nas equações:

0 W AX BV + + = (2.29) 0 W' CX V B_{c c} + + = (2.30) nas quais )] X , F(L ) L -[B(L W = _{b 0} + _{0 0} ; )] X , (L F ) L -(L [B W' = _{c c} 0_c + _c 0_{c 0} ; 0 0 X L b _, L F B 風 風 = ;