LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL MÉTODO DAS FORÇAS. 150 kn 1 mm T = -5 C. T = -5 C 120 kn. F 100 kn. 3 m 3 m

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

T

T

T

E

E

E

O

O

O

R

R

R

I

I

I

A

A

A

D

D

D

E

E

E

E

E

E

S

S

S

T

T

T

R

R

R

U

U

U

T

T

T

U

U

U

R

R

R

A

A

A

S

S

S

MÉTODO DAS FORÇAS

SISTEMA ARTICULADO PLANO (SAP) HIPERESTÁTICO

ISABEL ALVIM TELES

4 m 3 m 3 m A 150 kN E C D 60 kN 1,5 mm F 3 m 100 kN B 120 kN 1 mm T = +1 0 °C T = +1 0 °C T = -5 °C T = -5 °C

versão 0 1/16 Mét. Forças – SAP hiperestático EXERCÍCIO PROPOSTO

Considere a estrutura articulada plana representada na figura.

Todas as barras são constituídas por perfis cuja secção transversal apresenta uma área de 10 cm2_.

Para além dos deslocamentos dos apoios e das forças nos nós indicadas, algumas barras estão submetidas a variações uniformes de temperatura:

barras AD e DF: ∆T = -5 °C barras CD e DE: ∆T = +10 °C

Características do material constituinte das barras: E = 200 GPa α = 1,5 x 10-5 _/°C Resolva as alíneas seguintes aplicando o Método das Forças.

a) Determine as reações nos apoios e os esforços instalados em todas as barras;

b) Determine o deslocamento do nó E;

c) Determine a rotação da barra BE;

d) Determine o deslocamento vertical do nó A;

e) Determine qual deveria ser o assentamento vertical do apoio C para que a barra AB se

mantivesse horizontal após deformação;

4 m 3 m 3 m A 150 kN E C D 60 kN 1,5 mm F 3 m 100 kN B 120 kN 1 mm T = +1 0 °C T = +1 0 °C T = -5 °C T = -5 °C

versão 0 2/16 Mét. Forças – SAP hiperestático RESOLUÇÃO

Alínea a)

A estrutura é 1 vez hiperestática por condições externas e 1 vez hiperestática por condições internas. Logo a estrutura é hiperestática de grau 2.

O sistema base (S0) adotado na resolução será a estrutura isostática que se obtém substituindo o apoio

duplo em C por um apoio simples (suprimiu-se a incógnita correspondente à reação horizontal em C) e eliminando-se a barra EF.

A incógnita hiperestática X1 corresponderá à reação horizontal vertical do apoio do nó C e a incógnita

hiperestática X2 corresponderá ao esforço axial da barra EF.

A 150 kN E C D 60 kN F 100 kN B 120 kN S A 150 kN E C D 60 kN F 100 kN B 120 kN A E C D F B A E C D F B 1kN + X1 x + X2 x 1 kN S1 S2 S0 S = S0 + X1 x S1 + X2x S2

versão 0 3/16 Mét. Forças – SAP hiperestático • Cálculo da estrutura S0       = × + × + × ⇒ = + = + ⇒ = + = ⇒ =

∑

∑

∑

V 6 3 150 4 60 7 100 0 M 120 150 V V 0 F 60 100 H 0 F C B C B Y B X        ↑ = ↑ = ← = kN 3 695 V kN 3 115 V kN 160 H C B B HB A 150 kN E C D 60 kN F 100 kN B 120 kN VC VB 4 m 3 m 3 m 3 m A 150 kN E C D 60 kN F 100 kN B 120 kN 4 m 3 m 3 m 3 m -1 0 0 kN 10 0 _{2 k} N 695 3 kN 115 3 kN 160 kN -1 0 0 kN 30 6,2₅ 3 kN 1 1 5k ₃ N -1,25 kN -1,25 kN -160 kN 493, 75 3 - kN

versão 0 4/16 Mét. Forças – SAP hiperestático • Cálculo da estrutura S1 • Cálculo da estrutura S2 2 3kN -0,5 kN 2,5₃ - k N A E C D F B 4 m 3 m 3 m 3 m 2 3kN 1 kN 2,5 3 kN 2 3 - k N -0,5 kN -1 kN 1 kN A E C D F B 4 m 3 m 3 m 3 m 1 kN 1 k_N 2 k N 2 k N -0,875 2 kN -0,875 2 kN 0,6₂₅ 2 _k N 0,62 5 2 kN

versão 0 5/16 Mét. Forças – SAP hiperestático MÉTODO DAS FORÇAS

L ΔT α N A E L N N Δ F L ΔT α N A E L N N Δ F 2 2 R S ext 1 1 R S ext

Σ

Σ

Σ

Σ

Σ

Σ

2 1









+ = × + = × L ΔT α N . A E L N N . A E L N N A E L N N Δ F L ΔT α N . A E L N N . A E L N N A E L N N Δ F N N N N : do Consideran 2 2 2 1 2 0 2 R S ext 1 2 1 1 1 0 1 R S ext 2 1 0

_Σ

_Σ

_Σ

_Σ

_Σ

Σ

Σ

Σ

Σ

Σ

2 1











+ + + = × + + + = × ⇒ + + = 2 1 2 1 2 1 _{X X} X X X X 0 . δ . δ δ 0 . δ . δ δ 22 21 20 12 11 10









= + + = + + 2 1 2 1 X X X X sendo: R S ext 1 0 1 10 _EA N α ΔT L F L N N =

Σ

+

Σ

−

Σ

1 ×∆ δ R S ext 2 0 2 20 _EA N α ΔT L F L N N =

Σ

+

Σ

−

Σ

2 ×∆ δ A E L N N ₁ 1 11=

Σ

δ A E L N N ₂ 1 21=

Σ

δ A E L N N ₁ 2 12=

Σ

δ A E L N N ₂ 2 22=

Σ

δ E A = 200 x 106 _{x 10 x 10}-4 _{= 2 x 10}5 _{kPa x m}2 _{α = 1,5 x 10}-5 _/°C BARRAS L (m) N0 (kN) N1 (kN) N2 (kN) _{E A} L N N₁ 0 A E L N N₂ 0 A E L N N₁ 1 A E L N N₁ 2 A E L N N₂ 2 N₁.α.∆T.L N₂.α.∆T.L AB 3 -160 -1 0 2,400x10-3 _{0 1,500x10}-5 _{0 0 - -} AC 5 3 493,75 − 3 2,5 − 0,625 2 3,429x10-3 -3,63 x10-3 1,736x10-5 -1,841x10-5 1,953x10-5 - - AD 4 -100 0 − 2 0 2,828x10-3 0 0 4,000x10-5 0 4,243x10-4 AE 5 3 306,25 3 2,5 2 625 , 0 2,127x10-3 2,256x10-3 _1,736x10-5 _1,841x10-5 _1,953x10-5 _{- -} BE 4 3 115 3 2 − 0 -5.111x10-4 _{0 8,889x10}-6 _{0 0 - -} CD 3 -1.25 -0,5 −0,875 2 9.375x10-6 _2,320x10-5 _3,750x10-6 _9,281x10-6 _2,297x10-5 _-2,25x10-4 _-5,568x10-4 DE 3 -1.25 -0,5 −0,875 2 9.375x10-6 _2,320x10-5 _3,750x10-6 _9,281x10-6 _2,297x10-5 _-2,25x10-4 _-5,568x10-4 CF 3 2 100 2 0 1 0 3,000x10-3 0 0 2,121x10-5 - - DF 3 -100 0 − 2 0 2,121x10-3 _{0 0 3,000x10}-5 _{0 3,182x10}-4 EF 3 2 - - 1 0 0 0 0 2,121x10-5 - - Σ 7,463x10-3 6,615x10 -3 _6,611x10-5 _1,856x10-5 _1,974x10-4 _-4,50x10-4 _-3,712x10-4

versão 0 6/16 Mét. Forças – SAP hiperestático 3 -4 -3 -R S ext 1 0 1 10 10 x 4,846 0015 , 0 1 001 , 0 3 2 10 x 4,5 10 x 7,463 F L ΔT α N A E L N N

Σ

Σ

Σ

1 =       _{× + ×} − − = = ∆ × − + = δ 3 -4 -3 -R S ext 2 0 2 20 10 x 6,244 0 10 ,712x 3 10 x 6,615 F L ΔT α N A E L N N

Σ

Σ

Σ

2 = − − = = ∆ × − + = δ 10 x 6,611 A E L N N ₁ 1 -5 11=

Σ

= δ 10 x 1,856 A E L N N A E L N N _{21 1} 2 ₂ 1 -5 12= δ =

Σ

=

Σ

= δ 10 x 1,974 A E L N N ₂ 2 -4 22=

Σ

= δ 0 10 x 1,974 -10 x 1,856 10 x 6,244 0 -10 x 1,856 10 x 6,611 10 x 4,846 0 . δ . δ δ 0 . δ . δ δ 4 -5 3 -5 5 -3 -22 21 20 12 11 10

















= × + × + = × + × + ⇒ = + + = + + 2 1 2 1 2 1 2 1 X X X X X X X X 25,41 66,17









− = − = 2 1 X X 0 ) 41 , 25 ( 3 2 ) 17 , 66 ( 3 695 V 0 ) 41 , 25 ( 1 ) 17 , 66 ( 0 H 0 ) 41 , 25 ( ) 3 2 ( ) 17 , 66 ( 3 115 V 0 ) 41 , 25 ( ) 1 ( ) 17 , 66 ( 160 H ) V ( . ) V ( . ) V ( V ) H ( . ) H ( . ) H ( H ) V ( . ) V ( . ) V ( V ) H ( . ) H ( . ) H ( H C C B B S C S C S C C S C S C S C C S B S B S B B S B S B S B B 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0          × − + × − + = × − + × − + = × − + − × − + = × − + − × − + − = ⇒          + + = + + = + + = + + = 2 1 2 1 2 1 2 1 X X X X X X X X kN 187,55 V kN 88,17 H kN 82,45 V kN 93,83 H C C B B          ↑ = ← − = ↑ = ← − = 3 5 , 2 3 k N

versão 0 7/16 Mét. Forças – SAP hiperestático • Esforços nas barras

2 1 0 S barra S barra S barra arra b (N ) . (N ) . (N ) N = +X₁ +X₂ kN 83 , 93 0 ) 41 , 25 ( ) 1 ( ) 17 , 66 ( 160 N_AB= − + − ×− + − × =− _{(compressão)} kN 90 , 131 2 625 , 0 ) 41 , 25 ( ) 3 5 , 2 ( ) 17 , 66 ( 3 75 , 493 N_AC= − + − ×− + − × =− (compressão) kN 06 , 64 ) 2 ( ) 41 , 25 ( 0 ) 17 , 66 ( 100 N_AD= − + − × + − × − = − (compressão) kN 24,48 2 625 , 0 ) 41 , 25 ( 3 5 , 2 ) 17 , 66 ( 3 25 , 306 N_AE= + − × + − × = _(tracção) kN 82,45 0 ) 41 , 25 ( ) 3 2 ( ) 17 , 66 ( 3 115 N_BE= + − × − + − × = _(tracção) kN 63,28 ) 2 875 , 0 ( ) 41 , 25 ( 0,5) ( ) 17 , 66 ( 1,25 N_CD=− + − × − + − ×− = _(tracção) kN 63,28 ) 2 875 , 0 ( ) 41 , 25 ( 0,5) ( ) 17 , 66 ( 1,25 N_DE= − + − × − + − × − = _(tracção) kN 116,01 1 ) 41 , 25 ( 0 ) 17 , 66 ( 2 100 N_CF= + − × + − × = _(tracção) kN 64,06 ) 2 ( ) 41 , 25 ( 0 ) 17 , 66 ( 100 N_DF= − + − × + − × − = − (compressão) kN ,41 25 1 ) 41 , 25 ( 0 ) 17 , 66 ( 0 N_EF= + − × + − × = − _{(compressão)} ________________________________________________________________________________ -93,83 kN -6 4 ,0 6 k N 63,28 kN 63,28 kN -25, 41kN 8 2 ,4 5 k N 93,83 kN 82,45 kN 88,17 kN 187,55 kN A E C D F B 11 6,0₁ kN -6 4 ,0 6 k N ₂₄ ,4₈ kN -131 ,90 kN

versão 0 8/16 Mét. Forças – SAP hiperestático Alínea b)

• Deslocamento horizontal de E: δh_E

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

E A = 200 x 106 _{x 10 x 10}-4 _{= 2 x 10}5 _{kPa x m}2 α = 1,5 x 10-5 _/°C L ΔT α N A E L N N apoio assent. x R δ x 1 h_E +

Σ

=

Σ

+

Σ

10 4,5 10 4,515 0,001 3 2 δ h_E + × = × −3+ × −4 _δh_E = _4,40x10-3_m = _4,30mm → BARRAS L (m) N (kN) N (kN) E A L N N N.α.∆T.L AB 3 -93,83 -1 2,400x10-3 _- AC 5 -131,90 3 2,5 − 3,429x10-3 _- AD 4 -64,06 0 0 0 AE 5 24,48 3 2,5 _2,127x10-3 _- BE 4 82,45 3 2 − -5.111x10-4 _- CD 3 63,28 -0,5 9.375x10-6 _2,25x10-4 DE 3 63,28 -0,5 9.375x10-6 _2,25x10-4 CF 3 2 116,01 0 0 - DF 3 -64,06 0 0 0 EF 3 2 -25,41 - 0 - Σ 4,515x10 -3 _4,50x10-4 A C D F B 11 6,0₁ kN -6 4 ,0 6 k N ₂₄ ,4₈ kN -131 ,90 kN -93,83 kN 63,28 kN 63,28 kN -25, 41kN 8 2 ,4 5 k N T = +1 0 °C T = +1 0 °C T = -5 °C -6 4 ,0 6 k N T = -5 °C 1,5 mm 1 mm E C D F B 2 3kN 2 3kN 1 kN 1 kN A 2 3 - k N -1 kN 0,5 kN 2,5₃ - k N 0,5 kN 2,5 3 kN E E h

versão 0 9/16 Mét. Forças – SAP hiperestático • Deslocamento vertical de E: δ_Ev

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

E A = 200 x 106 _{x 10 x 10}-4 _{= 2 x 10}5 _{kPa x m}2 α = 1,5 x 10-5 _/°C L ΔT α N A E L N N apoio assent. x R δ x 1 _Ev +

Σ

=

Σ

+

Σ

0 10 1,649 0,001) ( 1 δ _Ev + × − = × −3+ _δEv = _2,65x10-3_m = _2,65mm ↓ • Deslocamento do nó E mm 5,05 2,65 4,30 ) (δ ) (δ δ_E = h_E 2+ v_E 2 = 2+ 2 = BARRAS L (m) N (kN) N (kN) E A L N N N.α.∆T.L AB 3 -93,83 0 0 - AC 5 -131,90 0 0 - AD 4 -64,06 0 0 0 AE 5 24,48 0 0 - BE 4 82,45 1 1.649x10-3 _- CD 3 63,28 0 0 0 DE 3 63,28 0 0 0 CF 3 2 116,01 0 0 - DF 3 -64,06 0 0 0 EF 3 2 -25,41 - 0 - Σ 1,649x10-3 0

δ

v E

δ

h E

δ

E A E C D F B 11_6,0 1 kN -6 4 ,0 6 k N 24 ,4₈ kN -131 ,90 kN -93,83 kN 63,28 kN 63,28 kN -25,41 kN 8 2 ,4 5 k N T = +1 0 °C T = +1 0 °C T = -5 °C -6 4 ,0 6 k N T = -5 °C 1,5 mm 1 mm E C D F B 1 kN 1 kN A 1 k N E v

versão 0 10/16 Mét. Forças – SAP hiperestático Alínea c)

• Rotação da barra BE: θ_BE

Solicitação do sistema virtual:

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

E A = 200 x 106 _{x 10 x 10}-4 _{= 2 x 10}5 _{kPa x m}2 α = 1,5 x 10-5 _/°C L ΔT α N A E L N N apoio assent. x R x 1 θ_BE +

Σ

=

Σ

+

Σ

10 1,125 10 1,129 0,001 6 1 θ_DE + × = × −3+ × −4 θ_DE = 1,075x10-3rad BARRAS L (m) N (kN) N (kN) E A L N N N.α.∆T.L AB 3 -93,83 -0,25 3,52x10-4 AC 5 -131,90 3 0,625 − 6,870x10-4 AD 4 -64,06 0 0 0 AE 5 24,48 3 0,625 1,275x10-4 BE 4 82,45 6 1 − _-2,748x10-4 CD 3 63,28 0,125 1,187x10-4 _5,625x10-5 DE 3 63,28 0,125 1,187x10-4 _5,625x10-5 CF 3 2 116,01 0 0 - DF 3 -64,06 0 0 0 EF 3 2 -25,41 - 0 - Σ 1,129 x10 -3 _1,125x10-4

⇒

A E C D F B 1 kNm A E C D F B 0,25 kN 0,25 kN

θ

_E A E C D F B 0,25 kN 0,25 kN 1 6kN 1 6kN -0,25 kN 1 6 - k N 0,6₂₅ 3 kN 0,125 kN 0,125 kN 3 A E C D F B 11 6,0₁ kN -6 4 ,0 6 k N ₂₄ ,4₈ kN -131 ,90 kN -93,83 kN 63,28 kN 63,28 kN -25, 41kN 8 2 ,4 5 k N T = +1 0 °C T = +1 0 °C T = -5 °C -6 4 ,0 6 k N T = -5 °C 1,5 mm 1 mm 0,62 5 - kN

versão 0 11/16 Mét. Forças – SAP hiperestático Alínea d)

• Deslocamento vertical de A: δ _Av

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

E A = 200 x 106 _{x 10 x 10}-4 _{= 2 x 10}5 _{kPa x m}2 α = 1,5 x 10-5 _/°C L ΔT α N A E L N N apoio assent. x R δ x 1 v_A +

Σ

=

Σ

+

Σ

10 3,375 10 3,215 0,001) ( 0,5 δ v_A + × − = × −3+ × −4 δ_Av =4,05x10-3m = 4,05 mm ↓ BARRAS L (m) N (kN) N (kN) E A L N N N.α.∆T.L AB 3 -93,83 0 0 AC 5 -131,90 -0,625 2,061x10-3 AD 4 -64,06 0 0 0 AE 5 24,48 -0,625 -3,825x10-4 BE 4 82,45 0,5 8,245 x10-4 CD 3 63,28 0,375 3,560x10-4 _1,688x10-4 DE 3 63,28 0,375 3,560x10-4 _1,688x10-4 CF 3 2 116,01 0 0 - DF 3 -64,06 0 0 0 EF 3 2 -25,41 - 0 - Σ 3,215 x10 -3 _3,375x10-4

δ

A v A E C D F B 0,5 kN 0 ,5 k N -0 ,6 25 kN 0,375 kN 0,375 kN A E C D F B 11 6,0₁ kN -6 4 ,0 6 k N ₂₄ ,4₈ kN -131 ,90 kN -93,83 kN 63,28 kN 63,28 kN -25,4 1kN 8 2 ,4 5 k N T = +1 0 °C T = +1 0 °C T = -5 °C -6 4 ,0 6 k N T = -5 °C 1,5 mm 1 mm 0,5 kN -0,6 25 kN 1 kN

versão 0 12/16 Mét. Forças – SAP hiperestático Alínea e)

O nó C tem um deslocamento vertical de 1 mm ( ).

Para que a barra AB se mantenha horizontal, o nó A terá que ter também um deslocamento vertical de 1mm ( ). Como o nó A tem um deslocamento vertical de 4,05 mm ( ), o assentamento de apoio do nó C tem que produzir um levantamento( ) de 3,05 mm no nó A.

Se soubermos qual o deslocamento vertical do nó A devido a um assentamento unitário do nó C, poderemos depois determinar qual o assentamento que produzirá um levantamento de 3,05 mm.

Vamos então determinar qual o deslocamento vertical do nó A devido a um assentamento vertical de

1mm ( ) do apoio C.

Para proceder a este cálculo, é necessário previamente calcular as reacções e esforços instalados na estrutura devido ao assentamento vertical de 1mm ( ) do apoio C.

A E C D F B S A E C D F B A E C D F B A E C D F B 1kN + X1 x + X2 x 1 kN S1 S2 S0 1 mm S = S0 + X1 x S1 + X2x S2

versão 0 13/16 Mét. Forças – SAP hiperestático 0 . δ . δ δ 0 . δ . δ δ 22 21 20 12 11 10









= + + = + + 2 1 2 1 X X X X sendo: R S ext 0 1 10 _EA F L N N =

Σ

−

Σ

1 ×∆ δ R S ext 0 2 20 _EA F L N N =

Σ

−

Σ

2 ×∆ δ A E L N N ₁ 1 11=

Σ

δ A E L N N ₂ 1 21=

Σ

δ A E L N N ₁ 2 12=

Σ

δ A E L N N ₂ 2 22=

Σ

δ SISTEMA S1 SISTEMA S2 BARRAS L (m) N0 (kN) N1 (kN) N2 (kN) _{E A} L N N₁ 0 A E L N N₂ 0 A E L N N₁ 1 A E L N N₁ 2 A E L N N₂ 2 AB 3 0 -1 0 0 0 1,500x10-5 _{0 0} AC 5 0 3 2,5 − 0,625 2 0 0 1,736x10-5 -1,841x10-5 1,953x10-5 AD 4 0 0 − 2 0 0 0 0 4,000x10-5 AE 5 0 3 2,5 2 625 , 0 0 0 1,736x10-5 1,841x10-5 1,953x10-5 BE 4 0 3 2 − 0 0 0 8,889x10-6 _{0 0} CD 3 0 -0,5 −0,875 2 0 0 3,750x10-6 _9,281x10-6 _2,297x10-5 DE 3 0 -0,5 −0,875 2 0 0 3,750x10-6 _9,281x10-6 _2,297x10-5 CF 3 2 0 0 1 0 0 0 0 2,121x10-5 DF 3 0 0 − 2 0 0 0 0 3,000x10-5 EF 3 2 - - 1 0 0 0 0 2,121x10-5 Σ 0 0 6,611x10 -5 _1,856x10-5 _1,974x10-4 B 1 kN 1 k_N 2 k N 2 k N -0,875 2 kN -0,875 2 kN 0,6 25 2 k_N 0,62 5 2 kN A E C D F B 2 3kN 1 kN 2,5 3 kN 2 3 - k N -0,5 kN -1 kN 1 kN 2 3kN -0,5 kN 2,5₃ - k N A E C D F

versão 0 14/16 Mét. Forças – SAP hiperestático 3 -R S ext 0 1 10 _EA F 0 2₃ 0,001 ₃2 10 L N N

Σ

Σ

1  =− ×      × − = ∆ × − = δ 0 0 0 F A E L N N ₂ 0 _extS _R 20 =

Σ

−

Σ

2 ×∆ = − = δ 10 x 6,611 A E L N N ₁ 1 -5 11=

Σ

= δ 10 x 1,856 A E L N N A E L N N _{21 1} 2 ₂ 1 -5 12= δ =

Σ

=

Σ

= δ 10 x 1,974 A E L N N ₂ 2 -4 22=

Σ

= δ 0 10 x 1,974 -10 x 1,856 0 0 -10 x 1,856 10 x 6,611 10 x 3 2 0 . δ . δ δ 0 . δ . δ δ 4 -5 5 5 -3 -22 21 20 12 11 10

















= × + × + = × + × + − ⇒ = + + = + + 2 1 2 1 2 1 2 1 X X X X X X X X ,974 0 328 , 10









− = = 2 1 X X kN 6,885 V kN ,328 10 H kN 6,885 V kN ,328 10 H 0 ) 974 , 0 ( 3 2 10,328 0 V 0 ) 974 , 0 ( 1 10,328 0 H 0 ) 974 , 0 ( ) 3 2 ( 10,328 0 V 0 ) 974 , 0 ( ) 1 ( 10,328 0 H ) V ( . ) V ( . ) V ( V ) H ( . ) H ( . ) H ( H ) V ( . ) V ( . ) V ( V ) H ( . ) H ( . ) H ( H C C B B C C B B S C S C S C C S C S C S C C S B S B S B B S B S B S B B 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0          ↑ = → = ↑ = ← − = ⇒          × − + × + = × − + × + = × − + − × + = × − + − × + = ⇒          + + = + + = + + = + + = 2 1 2 1 2 1 2 1 X X X X X X X X

• Esforços nas barras

2 1 0 S barra S barra S barra arra b (N ) . (N ) . (N ) N = +X₁ +X₂ BARRAS N0 (kN) N1 (kN) N2 (kN) N (kN) AB 0 -1 0 -10,33 AC 0 3 2,5 − 0,625 2 -9,47 AD 0 0 − 2 1,38 AE 0 3 2,5 2 625 , 0 7,75 BE 0 3 2 − 0 -6,89 CD 0 -0,5 −0,875 2 -3,96 DE 0 -0,5 −0,875 2 -3,96 CF 0 0 1 -0,97 DF 0 0 − 2 1,38 EF - - 1 -0,97

versão 0 15/16 Mét. Forças – SAP hiperestático

SOLICITAÇÃO ESFORÇOS E REAÇÕES

• Determinação do deslocamento vertical de A devido a um deslocamento de 1mm ( ) do apoio C

SISTEMA REAL SISTEMA VIRTUAL

B 1 mm A E C D F B -0_,9 4 kN 1 ,3 8 k N 24,4₈ kN -9,4 7kN -10,33 kN -3,96 kN -25,41 kN -6 ,8 9 k N 1 ,3 8 k N -3,96 kN 6,89 kN 6,89 kN 10,33 kN 10,33 kN A E C D F A E C D F B -0_,9 4 kN 1 ,3 8 k N 24,4₈ kN -9,4 7kN -10,33 kN -3,96 kN -25, 41kN -6 ,8 9 k N 1 ,3 8 k N -3,96 kN 6,89 kN 6,89 kN 10,33 kN 10,33 kN A E C D F B 0,5 kN 0 ,5 k N -0 ,6 25 kN 0,375 kN 0,375 kN 0,5 kN -0,6 25 kN 1 kN

δ

_Av

versão 0 16/16 Mét. Forças – SAP hiperestático E A = 200 x 106 _{x 10 x 10}-4 _{= 2 x 10}5 _{kPa x m}2 A E L N N apoio assent. x R δ x 1 v_A +

Σ

=

Σ

10 8,658 0,001 0,5 δ v_A + × = × −5 δ_Av =−5,87x10-4m = −0,587 mm ↑ Assentamento de apoio de 1mm ( ) ⇒ δv_A = −0,587 mm ↑

Qual o assentamento do apoio ∆C? ⇒ δv_A = −3,05 mm ↑

mm 5,20 0,587 1 3,05 C = × = ↑ ∆ BARRAS L (m) N (kN) N (kN) E A L N N AB 3 -10,33 0 0 AC 5 -9,47 -0,625 1,480x10-4 AD 4 1,38 0 0 AE 5 7,75 -0,625 -1,211x10-4 BE 4 -6,89 0,5 -6,890x10-5 CD 3 -3,96 0,375 -2,228x10-5 DE 3 -3,96 0,375 -2,228x10-5 CF 3 2 -0,97 0 0 DF 3 1,38 0 0 EF 3 2 -0,97 - 0 Σ -8,658x10 -5