Ciclos limite para perturbações lineares e não-lineares de equações diferenciais descontínuas no plano

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(1)UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. THAYLON SOUZA DE OLIVEIRA. CICLOS LIMITE PARA PERTURBAÇÕES LINEARES E NÃO-LINEARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DESCONTÍNUAS NO PLANO. Campinas 2019.

(2) Thaylon Souza de Oliveira. CICLOS LIMITE PARA PERTURBAÇÕES LINEARES E NÃO-LINEARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DESCONTÍNUAS NO PLANO. Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática.. Orientador: Ricardo Miranda Martins. Este exemplar corresponde à versão final da Dissertação defendida pelo aluno Thaylon Souza de Oliveira e orientada pelo Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins.. Campinas 2019.

(3) Ficha catalográfica Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467. OL4c. Oliveira, Thaylon Souza, 1995OliCiclos limite para perturbações lineares e não-lineares de equações diferenciais descontínuas no plano / Thaylon Souza de Oliveira. – Campinas, SP : [s.n.], 2019. OliOrientador: Ricardo Miranda Martins. OliDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. Oli1. Ciclos limite. 2. Poincaré-Potryagin-Melnikov, Funções de. 3. Campos vetoriais descontínuos. I. Martins, Ricardo Miranda, 1983-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.. Informações para Biblioteca Digital Título em outro idioma: Limit cycles for linear and non-linear perturbations of discontinuous differential equations in the plane Palavras-chave em inglês: Limit cycles Poincaré-Pontryagin-Melnikov functions Discontinuous vector fields Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora: Ricardo Miranda Martins Douglas Duarte Novaes Regilene Delazari dos Santos Oliveira Data de defesa: 12-03-2019 Programa de Pós-Graduação: Matemática Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a) - ORCID do autor: 0000-0003-4126-0370 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/6116698724675110. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org).

(4) Dissertação de Mestrado defendida em 12 de março de 2019 e aprovada pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.. Prof(a). Dr(a). RICARDO MIRANDA MARTINS. Prof(a). Dr(a). DOUGLAS DUARTE NOVAES. Prof(a). Dr(a). REGILENE DELAZARI DOS SANTOS OLIVEIRA. A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica..

(5) Para Cosma, minha querida mãe..

(6) Agradecimentos Agradeço aos meus amigos, familiares, Professores e funcionário da UNICAMP. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001..

(7) Resumo Nesta dissertação estudamos o problema de determinar limites superiores para o número de órbitas periódicas isoladas que podem bifurcar a partir de um centro usando perturbações lineares e não-lineares por partes em duas zonas. Consideramos sempre as zonas como setores angulares. Para encontrar tais limites superiores, usaremos funções de Poincaré-PontryaginMelnikov para várias famílias de equações diferenciais descontínuas. O cálculo do mapa de Poincaré próximo ao ponto crítico é feito com um novo método baseado em uma decomposição adequada de certas 1-formas diferenciais associadas à expressão do sistema em coordenadas polares. Esta decomposição simplifica todas as expressões envolvidas no procedimento. As perturbações utilizadas são polinomiais por partes e a variedade de descontinuidade é importante para determinar os limites superiores. Trabalhamos com perturbações lineares e perturbações polinomiais de grau n. Estudamos o caso em que a variedade de descontinuidade é regular e também o caso em que ela é não-regular (duas semi-retas ligadas em um ponto). Em ambos os casos, o ponto singular do sistema não-perturbado está na variedade de descontinuidade. Provamos que, para perturbações polinomiais de grau n, temos no máximo N n 1 ciclos limite bifurcando até um estudo de ordem N , quando a variedade de descontinuidade é regular. Mostramos também que, para perturbações lineares podem bifurcar no máximo N ciclos limite até um estudo de ordem N e a variedade de descontinuidade não-regular. Em geral, pode-se concluir que a variedade de descontinuidade não-regular aumenta o número de órbitas periódicas em comparação com o caso em que as duas zonas são separadas por uma reta. Palavras-chave: Centro, limites superiores de ciclos limite, perturbações lineares e não-lineares, funções de Poincaré-Pontryagin-Melnikov..

(8) Abstract In this dissertation we study the problem of determining upper bounds for the number of isolated periodic orbits that can bifurcate from a center using linear and and nonlinear piecewise perturbations in two zones, where the zones are angular sectors. To find such upper bounds we use Poincaré-Pontryagin-Melnikov’s functions for several families of discontinuous differential equations. The determination of the Poincaré map near the critical point is done with another method, based on an adequate decomposition of certain differential one-forms. This decomposition simplifies all of the expressions involved in the procedure. The perturbations, which are here piecewise polynomial, and the manifold of discontinuity are important for determining the upper bounds. We work with linear perturbations and polynomial perturbations of degree n. With respect to the manifold of discontinuity, we study two cases: the regular (line of discontinuity) and the non-regular one. In both cases, the singular points of the unperturbed system is contained in the manifold of discontinuity. We prove that for polynomial perturbations of degree n, no more than N n 1 limit cycles appear until a study of order N , when the manifold of discontinuity is regular. We also prove that for linear perturbations they can bifurcate in at most N limit cycles up to a study of degree N and the manifold of discontinuity is non-regular. In general, one can conclude that the presence of a non-regular manifold of discontinuity increases the number of periodic orbits compared to the case where the two zones are separated for a line. Keywords: Center, Limit cycles’ upper boundaries, Linear and nonlinear perturbations, Poincaré-Pontryagin-Melnikov functions..

(9) Sumário Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.3.1 1.3.2. PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoria Qualitativa de Sistemas Diferenciais Planares . . . . . Campos Vetoriais e Fluxos no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos da Teoria Qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos Vetoriais Suaves por Partes . . . . . . . . . . . . . . . Convenção de Filippov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Região de Costura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regiões de Deslize e Escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontos de Tangência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformações Simpléticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE FRANÇOISE E PERTURBAÇÃO POLINOMIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivação e o Problema Suave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI Problema de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Versão Fraca do XVI Problema de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de Françoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definindo as Zonas de Separação dos Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Versão fraca do XVI Problema de Hilbert para o Caso Suave por Parte . . . . . . Método de Decomposição de 1-formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mapa Diferença para Sistemas Suaves por Partes e as Funções de PoincaréPontryagin-Melnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mapa Diferença para Sistemas Suaves por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . As funções de Poincaré-Pontryagin-Melnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 3 3.1. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 14 14 14 16 18 19 20 21 22 26 30 30 30. 34 34 34 35 39 39 40 45 50 50 52. CICLOS LIMITE EM SISTEMAS DIFERENCIAIS DESCONTÍNUOS EM DUAS ZONAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Perturbações Lineares por Partes em duas Zonas com Separação Regular 66.

(10) 3.1.1 3.2 3.3 3.3.1 3.4. Ciclos Limite que Persistem de um Centro a partir de uma Perturbação Linear por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeros das funções de Poincaré-Pontryagin-Melnikov com Perturbação Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perturbações Lineares por Partes em duas Zonas com Separação NãoRegular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ciclos Limite que Bifurcam de um Centro a partir de uma Perturbação Linear por partes com Separação Não-Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeros das Funções de Poincaré-Pontryagin-Melnikov com Perturbação Linear com Separação Não-regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . REFERÊNCIAS. 68 80 84 86 92. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99.

(11) 11. Introdução A Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias iniciou-se com Poincaré em [24], publicado no ano 1881, com o título Mémoire sur les Courbes Définies par une Équation Differentielle e o propósito de descrever as propriedades qualitativas das soluções de equações diferenciais sem resolvê-las explicitamente. Visto que muitos fenômenos podem ser descritos por equações diferenciais ordinárias e tal teoria possui aplicações em diversas áreas, esse estudo qualitativo deu origem a vários conceitos importantes para nossos estudos sendo um deles o de ciclos limite. A noção de ciclo limite surgiu também com Poincaré e desde então os ciclos limites são objetos de estudo e tem diversos problemas associados a sua pesquisa, um deles é o número máximo de ciclos limite que persistem em um sistema quando perturbado. O problema de determinar o número máximo de ciclos limite tem sido bastante discutido entre os pesquisadores da área desde o início do século XX. Em 1900, durante a Conferência Internacional de Matemáticos de Paris, o matemático alemão David Hilbert propôs uma lista com vinte e três problemas matemáticos. Dentre tais problemas, destacamos o décimo sexto por se tratar exatamente de ciclos limite em sistemas diferenciais no plano. Sem dúvidas, o XV I problema de Hilbert é um dos mais investigados da teoria qualitativa planar. O XV I problema de Hilbert foi dividido por Hilbert em duas partes. A primeira delas é de interesse da geometria algébrica, e a segunda trata de determinar o número máximo e a posição dos ciclos limite de sistemas polinomiais no plano #. x9 P px, y q, y9 Qpx, y q,. (1). onde P e Q são polinômios nas variáveis x e y, os graus de P e Q é no máximo n. Ainda que muitos matemáticos tenham se debruçado na tentativa de solucionar o XV I problema de Hilbert, mas nem mesmo foi provada a existência de uma cota superior para o número de ciclos limite de sistemas quadráticos. Tendo em vista a dificuldade para resolução do problema, como ele foi proposto, vários pesquisadores foram aprimorando e dando novos enunciados ao problema. Um deles foi Arnol’d em [4], que propôs a investigação do número máximo de ciclos limites que bifurcam de uma singularidade do tipo centro, conhecida como versão fraca do XV I problema de Hilbert. A teoria de perturbação regular, também conhecida como teoria de continuação de órbitas periódicas, estuda o comportamento das soluções periódicas em modelos matemáticos. Em grande parte tais modelos são famílias de equações diferenciais, ou seja, tais modelos podem depender de parâmetros. Caso um membro da família possua uma orbita periódica, será que.

(12) Introdução. 12. esta órbita periódica persiste se alterarmos os parâmetros? A teoria de perturbação regular é um conjunto diversificado de técnicas que podem ser usadas para responder a versão fraca do XV I problema de Hilbert. A maioria dessas ferramentas são baseadas na aplicação de primeiro retorno do mapa de Poincaré, como é o caso do método das integrais abelianas e da integral de Poincaré-Melnikov, entre outros como o método averaging, que baseia-se na redução do problema a uma equação diferencial em uma variável. Para o plano, os métodos da integral de Poincaré-Melnikov e das integrais abelianas são equivalentes e destacando o fato de que o método das integrais abelianas se aplica somente em dimensão dois. Nessa dissertação, abordaremos a versão fraca do XV I problema de Hilbert para sistemas suaves por partes no plano com perturbações lineares e não-lineares. Este problema para sistemas diferenciais suaves por partes definidos em duas zonas foi estudado recentemente em [5, 6, 7, 13, 18], sendo em sua maioria, problemas que tem a reta como variedade de descontinuidade. Porém, em nosso trabalho não nos atentaremos somente neste caso. Abordaremos também o caso em que a variedade de descontinuidade é não-regular, e separaremos o plano em dois setores angulares. Nosso objetivo principal é atacar a versão fraca do XV I problema de Hilbert para sistemas suaves por parte, isto é, caracterizar a aparição de ciclos limites e encontrar limites superiores para o número de ciclos limite que podem bifurcar de uma família de sistemas suaves por partes, a qual o sistema não perturbado possui um centro. Usaremos um novo método para calcular o mapa de Poincaré. Tal método baseia-se na decomposição de certas 1-formas diferenciais associadas à expressão do sistema em coordenadas polares. Feito isso, usaremos as funções de Poincaré-Pontryagin-Melnikov para determinar um limitante superior para o número de ciclos limite.. Estrutura dos tópicos apresentados Este trabalho foi organizado em três capítulos. Capítulo 1: São apresentadas as definições e resultados clássicos de sistemas dinâmicos que são necessários para o entendimento do assunto apresentado nos demais capítulos. Capítulo 2: Destina-se a apresentação de algumas das principais ferramentas desenvolvidas para a resolução da versão fraca do XVI Problema de Hilbert na sua versão suave, e também na sua versão não-suave. Mais especificamente, usamos o Método de Françoise de modo a simplificar o cálculo do primeiro termo não nulo da expansão em séries de Taylor do mapa de Poincaré associado a determinado sistema. Tal método pode ser utilizado para estimar o número de ciclos limites que bifurcam de um centro em sistemas suaves por partes, como podemos verificar em [13]. Posteriormente, apresentamos as funções de Poincaré-Pontryagin-Melnikov MN , cujos zeros simples estão associados a persistência de ciclos limite sob pequenas perturbações..

(13) Introdução. 13. Capítulo 3: Neste capítulo são enunciados e provados os resultados principais da dissertação. Usaremos o método de Françoise e as funções de Poincaré-Pontryagin-Melnikov MN , para determinar o número máximo de ciclos limite que podem bifurcar de um centro, em sistemas planares suaves por parte com regiões de descontinuidade regulares e não-regulares. Mais ainda, com determinadas condições mostraremos se os limites superiores são alcançados ou não. Em [6] os autores estudam ciclos limite que bifurcam a partir de um anel periódico através de perturbações polinomiais por partes em duas regiões separadas por uma reta passando pela origem. Provaram que, para perturbações polinomiais de grau n, no máximo N n 1 ciclos limite aparecem até um estudo de ordem N . Adaptaremos o resultado anterior para o caso em que as regiões de descontinuidade são não-regulares e a perturbação é linear e conseguimos estabelecer cotas para o número de ciclos limite, até um estudo de ordem N ..

(14) 14. 1 Preliminares Veremos neste presente capítulo uma revisão básica de alguns dos principais resultados da teoria qualitativa necessária para trabalharmos com o tema principal a ser estudado nesta dissertação.. 1.1 Teoria Qualitativa de Sistemas Diferenciais Planares A Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias inicia-se com o trabalho de Poincaré [24], de 1881, intitulado Mémoire sur les Courbes Définies par une Équation Differentielle e tem por objetivo descrever as propriedades qualitativas das soluções de uma equação diferencial sem resolvê-la explicitamente. Visto que muitos fenômenos naturais podem ser descritos por equações diferenciais ordinárias, tal teoria possui aplicações em diversas áreas do conhecimento. Em particular, o conceito de ciclo limite para campos vetoriais planares, também introduzido por Poincaré, modela oscilações não lineares em processos físicos.. 1.1.1 Campos Vetoriais e Fluxos no Plano Seja U um subconjunto aberto do R2 . Definimos um campo vetorial de classe C k com k ¥ 1 em U como uma aplicação X : U ÝÑ R2 de classe C k onde X pxq representa o vetor que está ligado ao ponto x P U . A um campo vetorial X associamos a equação diferencial x9 X pxq,. (1.1). em que, x P U e x9 denota dx{dt. Integrar um campo vetorial significa que procuramos curvas xptq, com t pertencendo a algum intervalo em R, que são soluções da equação diferencial. As variáveis x e t são chamadas de variável dependente e independente respectivamente da equação diferencial. A variável t também pode ser chamada de tempo e quando X X pxq não depende de t dizemos que a equação diferencial (1.1) é autônoma. As soluções desta equação são aplicações diferenciáveis ϕ : I ÝÑ U , com I sendo um intervalo da reta e dϕ ptq X pϕptqq, dt. (1.2). para todo t P I, são chamadas trajetórias ou curvas integrais de X ou da equação 1.1. Definição 1.1.1. Seja D tpt, xq; x P U, t P Ix u um conjunto aberto em R3 e a aplicação ϕ : D ÝÑ R2 dada por ϕpt, xq ϕt pxq de classe C k com Ix um intervalo aberto onde está definido a solução maximal, ϕt de (1.1) tal que ϕ0 pxq x. Assim a aplicação ϕ : D ÝÑ U é chamada de fluxo gerado por X..

(15) Capítulo 1. Preliminares. 15. O conjunto tϕt px0 q, t P Ix0 u é chamado de órbita ou trajetória de X passando por x0 . Definição 1.1.2. O retrato de frase é a representação geométrica das órbitas orientadas, em que cada órbita representa uma condição inicial dada. Definição 1.1.3. Dizemos que p P U é ponto singular de X, ou simplesmente singularidade de X, se X ppq 0. Caso contrário, se X ppq 0, dizemos que p é ponto regular de X. Exemplo 1.1.4. (Coordenadas polares). Considere o sistema #. x9 P px, y q, y9 Qpx, y q.. (1.3). Fazendo a mudança de coordenadas px, y q pr cos θ, rsenθq com r2 derivando em relação ao tempo,. x2. y 2 e tg1. y. x. θ, e. yx 9 xy 9 , r2 obtemos o sistema do Exemplo (1.1.4) em coordenadas polares, r9. xx r yy , 9. θ9 . 9. $ r9 ' ' ' &. P pr cos θ, rsenθqr cos θ. ' ' ' % θ9. Qpr cos θ, rsenθqr cos θ r2 P pr cos θ, rsenθqrsenθ ,. Qpr cos θ, rsenθqrsenθ. r. ,. simplificando, segue que $ r9 ' ' &. P pr cos θ, rsenθq cos θ. Qpr cos θ, rsenθqsenθ,. Qpr cos θ, rsenθq cos θ r P pr cos θ, rsenθqsenθ . Exemplo 1.1.5. Seja o sistema diferencial dado por ' ' % θ9. $ # ' x9 ' ' ' & y9. y x. xF px, y q, yF px, y q,. (1.4). se px, y q p0, 0q. ' ' ' ' % 0, 0 caso contrário. . p q. em que F px, y q . a. x2. y 2 sen. 1. x2. . Observamos que a origem é um ponto singular do. y2. sistema. Em coordenadas polares, temos que $ & r9. r sen % θ 1, 9. 2. . 1 r. ,.

(16) Capítulo 1. Preliminares. quando r. 16. ¡ 0, e r 0 quando r 0. " * 1 Logo, os círculos Γpnq r , n P N são trajetórias do sistema. Além disso, nπ 9. 1 para nπ pn 1qπ, temos que r9 0 se n é impar, e r9 ¡ 0 se n for par. Ou seja, as r trajetórias entre os círculos Γpnq espiralam para dentro e para fora de um destes círculos. Portanto, Γpnq são ciclos limites que se acumulam na origem.. Exemplo 1.1.6. Um campo X : R2. ÝÑ R2 é linear se for da forma. X px, y q pax em que a, b, c, d, e, f. by. e, cx. dy. f q,. P R.. Definição 1.1.7. Uma órbita γ de um campo vetorial X é dita periódica se existe τ ¡ 0 tal que γ pt τ q γ ptq, @t P R. Se tivermos γ pt1 q γ pt2 q com |t1 t2 | τ , então dizemos que τ é o período de γ. Definição 1.1.8. Sejam U um aberto em Rn , e X um campo vetorial de classe C k , para k ¥ 1. Uma órbita periódica γ de X chama-se ciclo limite se existe uma vizinhança V de γ tal que γ é a única órbita fechada de X que intercepta V . Definição 1.1.9. Um subconjunto S X é invariante pelo fluxo se dado x0 ϕpt, x0 q P S para todo t. Ou seja, a órbita que passa por x0 P S permanece em S.. P. S então,. 1.1.2 Elementos da Teoria Qualitativa Definição 1.1.10. Consideremos o sistema de equações diferenciais x9 X pxq,. (1.5). em que X : R2 ÝÑ R2 é suave, e p P R2 uma singularidade deste sistema. A singularidade p do sistema (1.5) é dita hiperbólica se a matriz Jacobiana A DX ppq possui todos os autovalores com partes reais diferentes de zero. Se a parte real de algum autovalor for nula, a singularidade é dita não hiperbólica. Definição 1.1.11. Uma singularidade hiperbólica p do sistema (1.5) é dita um foco se a matriz Jacobiana A DX ppq possuir dois autovalores complexos conjugados com partes reais não nulas. A estabilidade do foco é dada pelos sinal da parte real destes autovalores, se for negativo temos que p é um foco atrator, se a parte real for positiva temos que p é um foco repulsor. Definição 1.1.12. Um ponto singular p do sistema (1.5) é dito um centro se existir uma vizinhança Up de p totalmente preenchida por órbitas periódicas. Uma condição necessária para.

(17) Capítulo 1. Preliminares. 17. isso, mas não suficiente, é que a matriz Jacobiana A DX ppq possua um par de autovalores imaginários puros e não nulos. Exemplo 1.1.13. Considere o seguinte sistema, #. x9 y, y9 x.. (1.6). Podemos reescreve-lo da seguinte forma: . . x9 y9 e os autovalores são. . . . 0 1 1 0. . x y. ,. i, e o sistema tem o seguinte retrato de fase.. Figura 1 – Retrato de fase do sistema (1.6). Teorema 1.1.14. (Hartman-Grobman) Considere o sistema x9 f pxq com f suave, e p P R2 singularidade hiperbólica do sistema f . Então, existe uma vizinhança Vp de p e W da origem x9 f pxq(restrito Vp ) é topologicamente conjugado a x9 Df ppqx, onde Df ppqx representa a matriz Jacobiana aplicada em p. Demonstração. Uma demonstração deste resultado pode ser encontrada em [25, Pg 107]..

(18) Capítulo 1. Preliminares. 18. Vp W. Conjugação.. p. 0. Figura 2 – Ilustração do Teorema de Hartman-Grobman.. 1.1.3 1-formas Diferenciais Definição 1.1.15. Uma 1-forma em Rn é uma função linear ω : Rn ω pλ1 f1 com λ1 , λ2. λ2 f2 q λ1 ω pf1 q. ÝÑ R tal que. λ2 ω pf2 q. P R e f1, f2 P Rn.. Observação 1.1.16. O espaço de todas as 1-formas em Rn é um espaço vetorial de dimensão n chamado de espaço dual de Rn e o denotamos por pRn q cuja a operação de adição é dada por. pω1. ω2 qpf q ω1 pf q. ω2 pf q,. e de multiplicação por escalar. pλωqpf q λωpf q. 1, . Escolhendo coordenadas x1 , x2 , , xn , n como. P. Rn e definimos as projeções para i. . ÝÑ R pv1, v2, , vnq ÞÑ vi. dxi : Rn. Observamos que as projeções definidas acima, são linearmente independente, assim formam um base de pRn q , portanto, qualquer 1-forma em Rn pode ser escrita como ω pf q a1 pf qdx1. . em que, ai : Rn. ÝÑ R.. an pf qdxn ,.

(19) Capítulo 1. Preliminares. 19. Observação 1.1.17. Em abertos de R2 , as 1-formas são da forma ω px, y q apx, y qdx. bpx, y qdy.. Que correspondem a campos vetoriais F px, y q papx, y q, bpx, y qq. Exemplo 1.1.18. Considere a seguinte forma ω : R2 p0, 0q ÝÑ pR2 q definida por ω px, y q . y x2. y2. dx. x x2. y2. dy.. É uma 1-forma definida em R2 p0, 0q e consideremos o campo de vetores F px, y q R2 p0, 0q ÝÑ R2 associada a ω que é dado por F px, y q . . y x2. , y 2 x2. x y2. (1.7). .. O sistema (1.7) tem o seguinte retrato de fase. y. x 0. Figura 3 – Campo de vetores unitário do sistema (1.7). 1.2 Campos Vetoriais Suaves por Partes.

(20) Capítulo 1. Preliminares. 20. 1.2.1 Convenção de Filippov Seja X o espaço dos campos de vetores de classe C k , k ¥ 1, definidos em um subconjunto aberto e conexo U Rn e sem perda de generalidade, assumimos que 0 P U . Sejam X , X P X e f : U ÝÑ R uma função e f P C k pU q com k ¡ 1 que possui 0 como valor regular. Denotamos Σ f 1 p0q. Temos que Σ é uma subvariedade de codimensão 1 em U que divide o aberto U em dois conjuntos abertos (veja a Figura 4): Σ. tx P U ; f pxq ¡ 0u e Σ tx P U ; f pxq 0u.. Definição 1.2.1. Definimos um sistema de Filippov ou campo vetorial suave por partes (ou descontínuo), da seguinte forma: X pxq . #. X se x P Σ , X se x P Σ ,. (1.8). que será denotado por X pX , X qf . Além disso, assumiremos que X são campos de classe C k em Σ , respectivamente, onde Σ denota o fecho de Σ em U , e chamaremos Σ de variedade descontinuidade do campo (1.8).. X. X. Figura 4 – Campo vetorial suave por partes. Com o intuito de determinar a dinâmica em um campo vetorial por partes X. . pX , X qf em U , precisamos definir a trajetória local de um ponto p P U , ou seja, a trajetória ϕX pt, pq de (1.8).. Definição 1.2.2. Sejam U Rn um aberto, X : U ÝÑ Rn um campo vetorial de classe C k , k ¥ 1, e f : U ÝÑ R uma função de classe C 1 . Dizemos que Xf : U ÝÑ R definido a seguir Xf ppq ∇f ppq X ppq. (1.9).

(21) Capítulo 1. Preliminares. 21. é a derivada de Lie de f com respeito ao campo X no ponto p, onde é o produto interno usual do Rn . De maneira recursiva temos X n f ppq ∇pXf qn1 ppq X ppq a n ésima derivada de Lie. Observação 1.2.3. Geometricamente, a derivada de Lie nos diz para qual lado da variedade descontinuidade o campo X aponta em cada ponto. De fato, como 0 é valor regular de f , então Σ f 1 p0q é orientável. Assim, pode acontecer os seguintes fatos: aq Se Xf ppq ¡ 0, então X ppq e f ppq apontam para o mesmo sentido de Tp Σ. bq Se Xf ppq 0, então X ppq e f ppq apontam para sentidos contrários de Tp Σ. cq Se Xf ppq 0, então X ppq P Tp Σ. Se p P Σ , então a trajetória local por p é dada pelos campos X , respectivamente, de modo usual. Mas se p P Σ devemos seguir da seguinte maneira. Inicialmente, dividimos Σ no fecho de três regiões disjuntas, dependendo da direção em que os campos de vetores X apontam, A seguir, explicitaremos quem são essas regiões.. 1.2.2 Região de Costura Definição 1.2.4. Dizemos que o subconjunto aberto Σc da variedade descontinuidade Σ é uma região de costura se Σc. tp P Σ : X f ppq X f ppq ¡ 0u. isto é, todo ponto p P Σc é um ponto de costura. Observe que se, X f ppq X f ppq ¡ 0. ñ. X f ppq ¡ 0 e X f ppq ¡ 0 ou. X f ppq 0 e X f ppq 0. ñ xX ppq, ∇f ppqy ¡ 0 e xX ppq, ∇f ppqy ¡ 0 ou xX ppq, ∇f ppqy 0 e xX ppq, ∇f ppqy 0. Sabemos que xX ppq, ∇f ppqy | X ppq || ∇f ppq | cos θ, ou seja, quem determina o sinal do produto interno entre os vetores é o cosseno do ângulo entre eles. Assim se xX ppq, ∇f ppqy ¡ 0, então 0 θ π {2 se xX ppq, ∇f ppqy 0, então π {2 θ π, veja a Figura 5..

(22) Capítulo 1. Preliminares. 22. ϕ. pt, pq. ϕ. p. pt, pq. p. ϕ pt, pq. ϕ pt, pq. (a). (b). Figura 5 – Trajetórias locais de um ponto costurante. Observação 1.2.5. Em ambos os casos na Figura 5, ϕpt, pq é a concatenação local das curvas ϕ pt, pq. Assim, temos ϕpt, pq . #. ϕ pt, pq, t P rT, 0s, ϕ pt, pq, t P r0, T s,. para a caso da Figura 5 (a), e para a Figura 5 (b) segue abaixo, ϕpt, pq . #. ϕ pt, pq, t P rT, 0s, ϕ pt, pq, t P r0, T s,. onde T é suficientemente pequeno.. 1.2.3 Regiões de Deslize e Escape Considere os seguintes subconjuntos abertos Σd e Σe da variedade de descontinuidade Σ, tais que: Σd,e. tp P Σ; X f ppq X f ppq 0u.. Assim temos que, X f ppq X f ppq 0. ñ. X f ppq ¡ 0 e X f ppq 0 ou. X f ppq 0 e X f ppq ¡ 0. ñ xX ppq, ∇f ppqy ¡ 0 e xX ppq, ∇f ppqy 0 ou xX ppq, ∇f ppqy 0 e xX ppq, ∇f ppqy ¡ 0. Neste caso, segue da Observação (1.2.3) que os campos X e X apontam para lados contrários de Σ, então temos duas possibilidades para os fluxos de (1.8) com essa configuração, isto é, fluxos.

(23) Capítulo 1. Preliminares. 23. indo em direção a variedade descontinuidade Σ, ou fluxos saindo da variedade de descontinuidade, como mostram as Figuras 7 e 6. Isso nos motiva a definir os seguintes subconjuntos abertos de Σ. Definição 1.2.6. Dizemos que um subconjunto aberto Σd da variedade descontinuidade Σ dado por. tp P Σ : X f ppq 0, X f ppq ¡ 0u. Σd. é a região de deslize e todo ponto p P Σd é ponto deslizante. ϕ. pt, pq. Σ p Σ. Σ ϕ pt, pq. Figura 6 – Trajetórias locais de um ponto deslizante.. Definição 1.2.7. Dizemos que um subconjunto aberto Σe da variedade descontinuidade Σ dado por Σe. tp P Σ : X f ppq ¡ 0, X f ppq 0u,. é a região de escape. Definição 1.2.8. Consideremos agora p P Σd Y Σe . Então os fluxos apontam para direções contrárias, ou vão em direção a variedade de descontinuidade, o que impede a concatenação das trajetórias. Assim, para definir órbitas locais nesses pontos, utilizamos a convenção de Filippov, definida em [9]. Sendo assim, definimos o campo vetorial deslizante Z s da seguinte forma: para cada p P Σd , tomaremos uma combinação linear convexa de X ppq e de X ppq, αX ppq p1 αqX ppq como pode ser visto na Figura 8 e escolheremos o vetor dessa combinação linear que seja tangente à Σd , ou seja, xαX ppq p1 αqX ppq, ∇f ppqy 0, onde α P r0, 1s..

(24) Capítulo 1. Preliminares. 24. ϕ. pt, pq. Σ p Σ. Σ ϕ pt, pq. Figura 7 – Trajetórias locais de um ponto de escape.. X. pp q. p. X pp q. Figura 8 – Combinação linear convexa de X. ppq e de X ppq.. A fim de obtermos uma equação para o campo vetorial deslizante, precisamos encontrar α P R, conveniente para que Z s ppq seja tangente à Σ, ou seja,. xαX ppq p1 αqX ppq,∇f ppqy 0 ñ αxX ppq, ∇f ppqy p1 αqxX ppq, ∇f ppqy αxX ppq, ∇f ppqy xX ppq, ∇f ppqy αxX ppq, ∇f ppqy 0 ñ αpxX ppq, ∇f ppqy xX ppq, ∇f ppqyq xX ppq, ∇f ppqy. Logo, α. xX ppq, ∇f ppqy. xX ppq, ∇f ppqy xX ppq, ∇f ppqy. ppq X f ppX q X f ppq. (1.10). Substituindo α dado a cima na combinação convexa da definição temos a expressão do campo.

(25) Capítulo 1. Preliminares. 25. deslizante: Z s ppq αX ppq. p1 αqX ppq X fppXq fXppqf ppq X ppq X fppXq fXppqf ppq X ppq. . X ppq 1 X ppq X f ppq X f ppq X f ppq X ppq. X f ppq X f ppq. Desta forma, para p P Σd , o campo vetorial deslizante é dado por: Z s ppq . X f ppqX ppq X f ppqX ppq . X f ppq X f ppq. (1.11). Agora se p P Σe , para o campo vetorial X, então p P Σd para o campo X, com isso definimos o campo vetorial escape em Σe associado à X por X e pX qd e então a trajetória local para p P Σe é dada por esse campo vetorial e, em ambos os casos , p P Σe Y Σd denotaremos o campo deslizante por Z s . Observação 1.2.9. Com isso podemos definir trajetória passando por um ponto p de X pX , X q em ambos os casos (1.2.6) e (1.2.7), dado p P Σ e ϕpt, pq são soluções dos problemas de valor inicial, #. x9 X pxq, xp0q p.. (1.12). Desta forma, temos a ilustração do comportamento de tais curvas na figura abaixo, onde ϕd pt, pq é simplesmente ilustrativo. ϕ. pt, pq. ϕ. ϕd pt, pq. Σ. p Σ. ϕ pt, pq. paq. ϕd pt, pq. Σ. p Σ. pt, pq. Σ. Σ ϕ pt, pq. pbq. Figura 9 – Trajetórias locais por um ponto de deslize.. Em ambos os casos, as concatenações dão origem a solução do campo (1.8). Da mesma forma que prosseguimos na definição da Região de Costura, definindo todas as trajetórias.

(26) Capítulo 1. Preliminares. 26. que passam por p P Σ. φ pt, pq . #. ϕd pt, pq, t P rT, 0s, ϕ pt, pq, t P r0, T s,. para a caso da Figura 9 (a), já para a Figura 9 (b), segue abaixo: φ pt, pq . #. ϕ pt, pq, t P rT, 0s, ϕd pt, pq, t P r0, T s,. onde T é suficientemente pequeno.. 1.2.4 Pontos de Tangência Nesta seção falaremos sobre singularidades associadas aos sistemas de Filippov, fora da variedade de descontinuidade Σ temos as singularidades usuais do X , mas se a singularidade está em Σ, as definições de regiões (1.2.2) e (1.2.3) estão excluindo tais pontos, por isso faremos a seguinte definição: Definição 1.2.10. Dizemos que p P Σ é um ponto de tangência se X f ppq 0 ou X f ppq 0. Esses pontos estão nas fronteiras das regiões Σc , Σd e Σe , que serão denotados por B Σc , B Σd e BΣe respectivamente. Note que, se X ppq 0, então X f ppq 0, logo os pontos singulares de X em Σ também são pontos de tangência, porém, se X ppq 0 e X f ppq 0, então a trajetória de X que passa por p é tangente à Σ em p. Assumiremos que os pontos de tangência são isolados, pois estamos estudando campos de Filippov planares, cujas singularidades são isoladas. Definição 1.2.11. As singularidades do sistema de Filippov (1.8) são: iq Os pontos p P Σ que são singularidades de X ou X , isto é, X ppq 0 ou X ppq 0. iiq Os pontos p P Σd Y Σe tal que Z s ppq 0, tais pontos são pseudo-equilíbrio. iiiq Os pontos p P B Σc Y B Σd Y B Σe , isto é, pontos de tangência, X f ppq 0 ou X f ppq 0. Seja n ¥ 2 um número natural tal que, X f ppq pX q2 f ppq pX qn1 f ppq 0 e pX qn f ppq 0. Neste caso dizemos que p é uma tangência de ordem n. Em particular, se n 2, então dizemos que p é um ponto de dobra; se n 3, então dizemos que p é um ponto de cúspide. Geometricamente, os pontos de dobra são pontos onde ocorrem tangências quadráticas dos campos X com a variedade Σ. Esta tangência é classificada como visível ou invisível (veja a Figura 10). Qualquer outro ponto é chamado de regular..

(27) Capítulo 1. Preliminares. 27. Σ. Σ p. Σ. Σ. paq Dobra visível.. p Σ. Σ. pbq Dobra invisível.. Figura 10 – Pontos de dobra do campo X. Proposição 1.2.12. Seja p P Σ. Suponhamos que X f ppq 0, então p é um ponto de dobra. piq visível se pX q2f ppq ¡ 0, piiq invisível se pX q2f ppq 0. Suponha que X f ppq 0, então p é um ponto de dobra,. piq visível se pX q2f ppq 0, piiq invisível se pX q2f ppq ¡ 0. Observação 1.2.13. Sabemos que em sistemas suaves, as singularidades correspondem a pontos críticos de um campo vetorial, logo a trajetória que passa por qualquer singularidade é o próprio ponto. Porém para sistemas de Filippov existem singularidades cuja a órbita ϕppq tpu. Isso nos motiva a classificar as singularidades como: piq Singularidade Distinguidas: São os pontos p tais que ϕppq tpu. Esses pontos tem a mesma função dos pontos críticos nos sistemas dinâmicos suaves. piiq Singularidades Não distinguidas: São os pontos p P Σ que são pontos de tangência regular, (possuem órbita local homeomorfa a R). Exibimos agora alguns exemplos retirado de [15] de sistemas de Filippov planares que ilustram as definições e as escolhas feitas nesta sessão. Considere f : Rn ÝÑ R dada por f px, y q y..

(28) Capítulo 1. Preliminares. 28. Exemplo 1.2.14. Sejam p p0, 0q, Σ tpx, 0q P R2 ; x P Ru e: X px, y q . #. X1 X2. p1, 2xq p2, 7xq. se y se y. ¡ 0, 0.. (1.13). Dessa forma X1 f px, 0q p1, 2xq p0, 1q 2x. Além disso, X2 f px, 0q p2, 7xq p0, 1q 7x. Com isso, temos que: X1 f px, 0q p1, 2xq X2 f px, 0q 14x2 x 0, Logo o único ponto de tangência de X é p p0, 0q. Ainda, X1 f px, 0q p1, 2xq X2 f px, 0q 14x2. 0 se, somente se,. ¡ 0,. se x 0, logo Σ tpu Σc e p P B Σc .. Σ p Σ Σ. Figura 11 – Retrato de fase do campo X. Dizemos que um campo vetorial suave X tem um ponto de dobra p P Σ, se Xf ppq 0 e X f ppq 0. Note que, X12 f ppq 2 e X22 f ppq 14, ou seja, nesse caso p é ponto de dobra de X1 e X2 2.

(29) Capítulo 1. Preliminares. 29. Exemplo 1.2.15. Sejam p p0, 0q, Σ tpx, 0q P R2 ; x P Ru e X px, y q . #. X1 X2. p1, 2xq se y ¡ 0, p2, 7xq se y 0.. (1.14). Dessa forma, X1 f px, 0q p1, 2xq p0, 1q 2x,. X12 f px, 0q p1, 2xq p2, 0q 2.. Além disso, X2 f px, 0q p2, 7xq p0, 1q 7x,. X22 f px, 0q p2, 7xq p7, 0q 14. Com isso, temos que: X1 f px, 0q p1, 2xq X2 f px, 0q 14x2 0 se, somente se, x 0, Logo o único ponto de tangência de X é p p0, 0q, e é um ponto de dobra de X1 , X2 .. Observe que, se x ¡ 0, então X1 f px, 0q ¡ 0 e X2 f px, 0q 0, enquanto, se x 0, temos que X1 f px, 0q 0 e X2 f px, 0q ¡ 0. Logo, Σe tpx, 0q; x ¡ 0u, Σd tpx, 0q; x 0u e p P B Σe Y B Σd . Neste caso, segundo a definição de fluxo, a trajetória por p é ϕX pt, pq ϕX1 pt, pq.. Σ p Σ Σ. Figura 12 – Retrato de fase do campo X. O campo deslizante é dado por: Z d px, 0q . x 1 p 7x p1, 2xq 2xp2, 7xqq ,0 . 7x 2x 3x.

(30) Capítulo 1. Preliminares. 30. 1.3 Sistemas Hamiltonianos Neste secção introduziremos os conceitos básicos e resultados sobre campos de vetores Hamiltonianos.. 1.3.1 Transformações Simpléticas Definição 1.3.1. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, munido com uma forma w bilinear anti-simétrica e não-degenerada, ou seja, iq wpu, v q wpv, uq @u, v P V , iiq para todo u 0 P V , existe um v P V satisfazendo wpu, v q 0. Então dizemos que pV, wq é um espaço vetorial simplético. A dimensão de um espaço simplético é sempre par. Definição 1.3.2. Seja T : V ÝÑ V uma transformação linear e V um espaço simplético. T é dita transformação simplética se preserva a forma w, ou seja, para quaisquer x, y P V , temos: wpT x, T y q wpx, y q. Lema 1.3.3. Seja pV, wq um espaço simplético, B tv1 , , vn u uma base de V e T : V ÝÑ V uma transformação simplética. Sejam Ω pwpvi , vj qq1¤i,j ¤n e M rT sB as matrizes de w e da transformação T , respectivamente, em relação à base B. Então, M é anti-simétrica, invertível e vale que M t ΩM Ω. O próximo lema é um resultado clássico de Álgebra Linear. Lema 1.3.4. Sejam Ω e Ω duas matrizes invertíveis e anti-simétricas. Então existe uma matriz mudança de base J tal que Ω J t ΩJ, em que, Ω. . . 0 Idn Idn 0. ,. e Idn é uma matriz n n. Logo, a forma ω com relação a alguma base B é igual a Ω. 1.3.2 Campos Hamiltonianos. R2n ÝÑ R uma função C 2 e ∇H o gradiente de H, isto é, . B H B H B H B H ∇H pxq Bx1 pxq, , Bxn pxq, By1 pxq, , Byn pxq , em que, x px1 , , xn , y1 , , yn q. Um campo de vetores Hamiltoniano tem a seguinte forma, XH pxq J∇H pxq, x P U, (1.15). Seja H : U. na qual J é uma matriz simplética. Assim, H denomina-se Hamiltoniano do sistema (1.15)..

(31) Capítulo 1. Preliminares. 31. Observação 1.3.5. Usualmente define-se campo Hamiltoniano como um campo da forma: $ ' x9 ' ' &. BBHy px, yq,. ' ' ' % y9. BBHx px, yq,. (1.16). em que px, y q P R2n e H : R2n ÝÑ R é C 2 . Neste caso, J Ω. A menos de uma mudança de coordenada (simplética), todo campo Hamiltoniano é desta forma e é com essa configuração que trabalhamos nessa dissertação. Proposição 1.3.6. Sejam P, Q : R2. ÝÑ R funções, tais que definem o seguinte sistema, # x P px, y q, (1.17) y Qpx, y q, . 9. 9. Uma condição necessária para que o sistema seja Hamiltoniano é de que. BP px, yq BQ px, yq. Bx By Note que quando a dimensão do espaço é maior que dois ou quando não estamos trabalhando com a forma simplética usual, o critério da proposição anterior não pode ser usado. Proposição 1.3.7. Considere o sistema de equações diferenciais planares hamiltoniano, #. x9 P px, y q, y9 Qpx, y q,. em que P, Q : R2 ÝÑ R são de classe C 1 , então as soluções do sistema Hamiltoniano estão contidas nas curvas de nível de H : R2 ÝÑ R função Hamiltoniana do sistema. Demonstração. Como o sistema é Hamiltoniano então podemos reescreve-lo da seguinte forma: $ ' x9 ' ' &. BBHy px, yq,. ' ' ' % y9. BBHx px, yq.. Seja γ ptq pγ1 ptq, γ2 ptqq solução do sistema acima. Uma vez que γ é solução temos $ ' γ91 ' ' & ' ' ' % γ9 2. BBHy px, yq,. BBHx px, yq.. (1.18).

(32) Capítulo 1. Preliminares. 32. Observe que dH pγ ptqq dt. γ11 ptq BBHx γ21 ptq BBHy BBHy BBHx BBHx BBHy 0. Então, H pγ ptqq C.. (1.19). Em que C é uma constante, ou seja, H é constante ao longo das trajetórias do campo vetorial proveniente, terminando a demonstração. Quando (1.19) acontece, dizemos que a função H é uma integral primeira do sistema (1.17). Exemplo 1.3.8. O sistema #. x9 y, y9 x,. (1.20). é hamiltoniano. Basta usar a proposição anterior, com um pouco de cálculo, que encontramos a função hamiltoniana x2 y 2 . H px, y q 2. Figura 13 – Gráfico da função H px, y q e retrato de fase do sistema (1.20)..

(33) Capítulo 1. Preliminares. 33. Observação 1.3.9. Em R2n , se encontrarmos 2n 1 integrais primeiras independentes para o campo X, podemos caracterizar completamente suas trajetórias, conseguindo interseções entre as superfícies de nível. Esses sistemas são chamados de completamente integráveis. Assim em R2 , precisamos somente de uma integral primeira para isso, como veremos no próximo exemplo. Observação 1.3.10. Nomeadamente, a função hamiltoniana contêm toda a informação dinâmica do sistema. Qualquer função hamiltoniana define um sistema dinâmico. Mas existem sistemas provenientes de integrais primeiras que não são hamiltonianos..

(34) 34. 2 Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial Nosso objetivo nesse capítulo é apresentar o método desenvolvido por Françoise em [10, 11, 12] para o caso suave e generalizado em [13] para o caso não suave e utilizado para estimar o número de ciclos limites que bifurcam de um centro, ou seja, investigar a versão fraca do XVI problema de Hilbert. Inicialmente definimos resultados básicos e essenciais para o entendimento da técnica a ser apresentada. Em seguida apresentaremos o método desenvolvido em [13]. Tal método baseia-se na decomposição de certas 1-formas associadas à expressão de campo vetorial Hamiltoniano em coordenadas polares. A decomposição é feita de tal forma que simplifica os cálculos do primeiro termo não nulo da função de Poincaré-Potryagin-Melnikov MN pρq na expansão do mapa de primeiro retorno associado ao campo vetorial Hamiltoniano.. 2.1 Motivação e o Problema Suave No final da década de 1920, van der Pol [26], Liénard [20] e Andronov [1], estudando oscilações não lineares de fenômenos elétricos, analisaram certas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem verificando a ocorrência de ciclos limites. Após tal verificação, matemáticos e físicos estudaram extensivamente a não existência, a existência e a unicidade, entre outras propriedades destes ciclos limite. Os livros clássicos do Andronov, [3] e [2], apresentam dois métodos, um empregado por Poincaré e o outro por van der Pol, que podem ser utilizados no estudo de ciclos : εpu2 1qu9 u 0. limite no retrato de fase de modelos dados pela equação diferencial u Nesta seção usamos Integrais Abelianas para estudar tais ciclos limite.. 2.1.1 XVI Problema de Hilbert Durante o Congresso Internacional de Matemáticos de Paris em 1900 o matemático alemão David Hilbert (1862-1943) propôs vinte e três problemas em Matemática que influenciariam a Matemática do século XX. O XVI Problema de Hilbert é um dos poucos problemas que permanecem em aberto. Ele trata dos ciclos limite em sistemas diferenciais polinomiais e pode ser dividido em duas partes. A segunda parte do problema pode ser enunciado da seguinte forma:.

(35) Capítulo 2. Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial. 35. Considere o sistema de equações diferenciais planares, #. x9 Pn px, y q, y9 Qn px, y q,. (2.1). onde Pn e Qn são polinômios em x, y e o grau máximo de P e Q é n. Dado um inteiro n, qual é o número máximo de ciclos limite do sistema (2.1) para todos os possíveis Pn e Qn ? E o que pode-se dizer sobre as posições relativas de tais ciclos limite? Geralmente, o número máximo de ciclos limite é chamado de número de Hilbert. Apesar de muitos matemáticos se dedicarem a tal problema, essa questão continua em aberto até para o caso n 2, no caso suave. Este problema para sistemas diferenciais suaves por partes definidos em duas zonas foi estudado recentemente, entre outros artigos, em [5, 6, 7, 13, 18], quase sempre quando a variedade de descontinuidade que separa as duas zonas é uma reta.. 2.1.2 Versão Fraca do XVI Problema de Hilbert Pelo fato da dificuldade do problema original, Arnol’d propôs o que hoje é conhecida como a versão fraca do XVI Problema de Hilbert, que de modo sucinto propõe a investigação do número máximo de ciclos limite que bifurcam de uma singularidade do tipo centro. Esse estudo tem possibilitado a obtenção de resultados interessantes para casos particulares do problema original, para o caso suave. Contudo, antes de falar mais sobre versão fraca do problema, vamos apresentar algumas definições que nos ajudarão no entendimento do problema. Definição 2.1.1. Uma integral abeliana é a integral de linha de uma 1-forma racional em R2 ao longo de uma órbita periódica algébrica. Definição 2.1.2. Uma curva γ será chamada de oval se for uma curva fechada. Sejam H. H px, yq um polinômio em x e y de grau maior ou igual a dois, e as curvas. de nível. (. px, yq P R2; H px, yq h , formando uma família contínua de ovais γh para h P pa, bq. Consideremos a 1-forma polinomial, ω f px, y qdy g px, y qdx, γh. em que, f e g são polinômios de grau máximo maior ou igual a dois. Arnol’d propôs o seguinte problema: Para os graus de f, g e h inteiros fixados, qual o número máximo de zeros isolados da integral Abeliana? ¾ I phq . ω. γh.

(36) Capítulo 2. Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial. 36. Vejamos a relação desse problema fraco com o XVI Problema de Hilbert. Considere o seguinte sistema Hamiltoniano, com H px, y q um polinômio de grau m, tal que o sistema possui um centro na origem, $ ' x9 ' ' & ' ' ' % y9. BBHy px, yq, BBHx px, yq,. (2.2). e o sistema perturbado tem a seguinte forma, $ ' x9 ' ' &. BBHy px, yq. ' ' ' % y9. BBHx px, yq. εf px, y q, (2.3) εg px, y q,. em que f, g foram definidos anteriormente, e ε suficientemente pequeno. Observe que, se ε 0, então, (2.3) será o sistema Hamiltoniano (2.2) associado ao polinômio H. Suponha que exista uma família contínua de ovais γh H 1 phq dependendo continuamente de um parâmetro h P pa, bq. Assim definimos a integral abeliana como antes, I phq . ¾. f px, y qdy g px, y qdx.. γh. Note que, para h P pa, bq, as γh formam anéis de ovais, e cada uma delas é orbita periódica do sistema Hamiltoniano (2.2). Assim, fazemos a seguinte pergunta: quantas ovais mantêm-se e tornam-se órbitas periódicas do sistema perturbado (2.3) para ε suficientemente pequeno? Isto é, podemos encontrar h0 P pa, bq e alguma orbita periódica Γε do sistema perturbado (2.3) tais que Γε tende a γh0 quando ε tende a 0? E quantas órbitas periódicas existem para o mesmo h0 ?. A fim de responder tais perguntas, tomemos um segmento σ, transversal a cada ωh . Parametrizamos σ pela função H e denotamos por γ ph, εq o pedaço da órbita do sistema perturbado (2.3) entre o ponto perturbado h em σ e o próximo ponto de interseção P ph, εq com σ, como mostra a Figura 14. A interseção que está na Figura 14 é possível, pois para ε suficientemente pequeno, γ ph, εq está próximo a γh Definição 2.1.3. A função diferença ∆ph, εq P ph, εq h é chamada mapa diferença. Logo, os zeros do mapa diferença são órbitas periódicas do sistema. Além disso, os zeros do mapa diferença independem da escolha do segmento σ, já que o consideramos parametrizado pela função H..

(37) Capítulo 2. Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial. 37. γ ph, εq P ph, εq. σ. h. Figura 14 – Mapa diferença. O próximo teorema relaciona os zeros das integrais abelianas proposto no problema de Arnol’d com o mapa diferença da Definição 2.1.3 e consequentemente as órbitas periódicas do sistema. Teorema 2.1.4. (Poincaré-Pontryagin). Temos a igualdade, ∆ph, εq εpI phq. εφph, εqq,. quando ε ÝÑ 0, em que φph, εq é analítica e uniformemente limitada para ph, εq numa região compacta próxima a ph, 0q, h P pa, bq. Demonstração. Por construção, o mapa diferença é dado pela diferença da função H entre os pontos inicial e final de γ ph, εq, ou seja,. p q ñ ∆ph, εq ∆ph, εq H | γ h,ε h. ». p q. γ h,ε. Substituindo (2.3) na equação acima, obtemos:. . . B H B H By εf ∆ph, εq B x γ ph,εq » BBHx BBHy ε BBHx f γ ph,εq . » B H B H ε Bx f By g dt. γ ph,εq ». . dH. . ». p q. γ h,ε. BH x BH y dt Bx By 9. 9. BH BH εg. dt By Bx BH BH ε BH g dt By Bx By. Note que γ ph, εq converge uniformemente para γh quando ε ÝÑ 0, pois γh é compacto. Além BH dt dy e BH dt dx por (2.2). Segue que disso, Bx By ∆ph, εq ε na qual Opε. 2. ». p q. γ h,ε. pf dy gdxq εI phq. Opε2 q,. q representa termos de ordem maior ou igual a dois em ε..

(38) Capítulo 2. Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial. 38. O Teorema 2.1.4 juntamente com o próximo teorema fornece uma caracterização do número máximo de ciclos limite bifurcando de um centro com relação ao número máximo de zeros da integral abeliana correspondente. Teorema 2.1.5. Suponhamos que I phq não seja identicamente nula para h P pa, bq. Então, valem as seguintes afirmações. piq Se XH,ε tiver um ciclo limite bifurcando-se de γr , então I prq 0; piiq Se existir r P pa, bq tal que I prq 0 e I 1prq 0, então XH,ε terá um único ciclo limite bifurcando de γr . Além disso, tal ciclo limite é hiperbólico; piiiq Se existir r P pa, bq tal que I prq I 1prq I pk1qprq e I pkqprq 0, então XH,ε terá no máximo k ciclos limites bifurcando-se da mesma γr , levando em consideração a multiplicidade dos ciclos limites; piv¤q O número de ciclos limites de XH,ε (contando as multiplicidades), bifurcando-se do anel γh de XH , é limitado pelo número máximo de zeros isolados da integral abeliana I phq, para. Pp q. h a,b. h P pa, bq (levando em consideração as multiplicidades). Vejamos um exemplo.. Exemplo 2.1.6. Considere a equação de Van der Pol, εpu2 1qu9. : u. u 0,. (2.4). que é equivalente ao sistema #. x9 y, y9 x. (2.5). εp1 x2 qy.. Note que para ε 0, o sistema (2.5) é Hamiltoniano, cuja família contínua de ovais é γr. px, yq P R2; H px, yq x2. y2. (. r, r ¡ 0. .. Fazendo a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares px, y q pr cos θ, rsenθq, observando que a orientação de γr está no sentido horário, temos: I prq . ¾. p1 x qydx . » 2π. 2. γr. 0. . p1 r2 cos2 θqprsenθqprsenθdθq. » 2π 0. » 2π 0 » 2π. p1 r2 cos2 θqpr2sen2θqdθ pr2sen2θ r4sen2θ cos2 θqdθ » 2π. 2. 2. r sen θdθ 0. 0. r4 psenθ cos θq2 dθ..

(39) Capítulo 2. Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial. Fazendo a substituição 1 cos 2θ I pr q r. » 2π. 2 0. 2sen2θ, temos:. 1 cos 2θ dθ 2. r4 2. » 2π 0. 1 cos 4θ dθ 2. πr. 39. 2. r2 4. 1. .. Daí segue que I prq 0 se, e somente se, r2 r 0 ou 4. 1 0 ô r 2. Para r 0 temos a singularidade do sistema e r 2 é o único zero positivo de I prq. Por outro lado, temos que: . r2 I 1 prq 2πh 2. implica que. . 22 I 1 p2q 2πh. 1. 1 4π 0. 2 Portanto, segue dos dois teoremas anteriores que, para ε suficientemente pequeno, o sistema ? (2.5) possui um ciclo limite hiperbólico que tente ao círculo de raio 2 quando ε ÝÑ 0. A teoria desenvolvida acima nos motiva a pensar no caso não suave do problema, mais precisamente quando dividimos o plano em duas partes. Para isso desenvolvemos a próxima seção.. 2.2 Método de Françoise Estudamos ciclos limite que bifurcam de sistemas planares perturbados X que tenham singularidade do tipo centro em pa, bq, ou seja, B X {B x B X {B y 0 em pa, bq e a Hessiana é positiva definida. Claramente esses sistemas possuem um centro, que pode ser translado para a origem.. 2.2.1 Definindo as Zonas de Separação dos Campos Em nosso estudo tratamos de sistemas diferenciais planares definidos em duas zonas. Consideramos quando tais zonas são setores angulares de ângulos α e 2π α. Destacamos os casos em que o angulo α π e quando α P p0, π q. Em geral, veremos que a variedade de descontinuidade não-regular, ou seja quando α P p0, π q aumenta o número de órbitas periódicas em comparação com o caso em que as zonas são separadas por uma linha reta, isto é, quando α π. Definição 2.2.1. Definimos a variedade de descontinuidade e as zonas do plano para α π da seguinte forma, Σ ty ¥ 0u, Σ ty ¤ 0u e a variedade descontinuidade Σα igual a reta y 0. Como mostra a ilustração abaixo..

(40) Capítulo 2. Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial. 40. y. Σ. x. Σπ. Σ. Figura 15 – Variedade descontinuidade regular Σπ . Por outro lado quando α P p0, π q, temos a seguinte definição. Definição 2.2.2. Definimos a variedade de descontinuidade não-regular. iq Para α P p0, π q e α Σα. π temos 2 ¤. tpx, yq : x ¥ 0, y 0u tpx, yq : x ptgαq1y, y ¥ 0u.. iiq Para α . π temos 2. Σα. ¤. tpx, yq : x ¥, y 0u tpx, yq : x 0, y ¥ 0u.. Assim, a notação Σ α indicará os respectivos setores angulares associados aos ângulos α e 2π α, separados por Σα , respectivamente. A origem do plano é onde a variedade Σα perde a regularidade. Como nosso problema se trata de sistemas suaves por partes, utilizamos a convenção de Fillipov (1.2.1), desta forma consideramos somente os ciclos limite que passam por Σα em seções de costura. Deste modo, os ciclos limite que interceptam a região deslizante não são considerados.. 2.2.2 Versão fraca do XVI Problema de Hilbert para o Caso Suave por Parte Existem muitos fenômenos que não são modelados somente por sistemas suaves, em especial quando consideramos sistemas que tem zonas de funcionamento claramente diferenciadas por exemplo, sistemas eletrônicos com uma zona ativa e zonas de corte. Quando modelamos os problemas por meio de sistemas suaves por parte conseguimos eliminar em parte as dificuldades.

(41) Capítulo 2. Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial. y. 41. Σα. Σα. α. x. Σ α. Figura 16 – Variedade de descontinuidade não-regular Σα . antes mencionadas. Mediante tais fatos, isso nos motiva a fazer o estudo da versão fraca do XVI Problema de Hilbert para o caso suave por partes. Considere o sistema de equações diferenciais planares, #. x9 P px, y q, y9 Q px, y q,. (2.6). em que P e Q são funções analíticas em x, y e os sistemas possuem um centro e estão definidos em cada zona do plano. Sem perda de generalidade, podemos assumir que (2.6) pode ser escrito na forma canônica de Jordan: # x9 y P px, y q, (2.7) y9 x Q px, y q. Procedendo dessa forma estamos trazendo o centro para origem do plano e fazendo uma mudança linear de coordenadas para colocar a parte linear na forma canônica de Jordan, P px, y q e Q px, y q são funções analíticas. Perturbando o sistema (2.7), para ε suficientemente pequeno, temos $ ' ' ' & x9 ' ' ' % y9. y. n ¸. . εi Pi px, y q,. i 1. x. n ¸. . εi Q i px, y q,. (2.8). i 1. onde Pi px, y q e Q i px, y q são funções analíticas, definidos em cada zona do plano Σ e Σ . Denotamos os campos vetoriais associados ao sistema (2.8) definidos em Σ e por X , respectivamente..

(42) Capítulo 2. Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial. 42. Observação 2.2.3. Observe que para ε 0, o sistema (2.8) é hamiltoniano. A pergunta natural a ser feita é quais órbitas periódicas persistem, quando perturbamos o centro com ε suficientemente pequeno. Para responder tal questão, consideramos o sistema (2.8) em coordenadas polares px, yq pr cos θ, rsenθq, pelo Exemplo 1.1.4, segue que: $ ' ' ' r9 ' &. y. ' ' ' ' % θ9. . $ ' ' ' r9 ' &. xy. ' ' ' % θ9. . x2. $ ' ' ' r9 ' &. . r cos θ. . r2. ñ'. ñ'. ' ' ' % θ9. $ ' ' ' r9 ' ' &. ñ'. ' ' ' ' % θ9 $ ' ' r9 ' ' ' &. ñ'. ' ' ' ' % θ9. i ε Pi px, y q x. °n. i ε Qi px, y q y. °n. x. i 1. i 1. r i ε Qi px, y q x . °n. x. i ε Pi px, y q y. °n. y. i 1. i 1. r2. i ε Pi px, y q. °n. x. xy. i 1. y. i ε Qi px, y q. °n. i 1. r x. . °n. i i1 ε Qi px, y q. °n. i i1 ε Pi px, y q. y2 y r2. °n. i i1 ε Pi pr cos θ, rsenθ q. . rsenθ. . °n. i i1 ε Qi pr cos θ, rsenθ q. r r cos θ. °n i i ε Qi pr cos θ, rsenθq rsenθ i1 ε Pi pr cos θ, rsenθq. °n. i 1. r2. cos θ. . n ¸. . εi Pi pr cos θ, rsenθq. . senθ. i 1. 1 . . n ¸. . . εi Q i pr cos θ, rsenθ q. i 1. °n. i i1 ε Qi pr cos θ, rsenθ q. cos θ. n ¸. . . °n. i i1 ε Pi pr cos θ, rsenθ q. senθ r. . . εi P i pr cos θ, rsenθq. . Qi pr cos θ, rsenθq. i 1. 1. n ¸. . i 1. ε. i. . p r cos θ, rsenθ Q i. p. q. Ppi r cos θ, rsenθ. p. q. ..

(43) Capítulo 2. Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial. 43. Desta forma, podemos reescrever a equação do seguinte modo, $ ' ' ' & r9. ' ' 9 ' % θ. . n ¸. . εi Ri pr, θq,. i 0. n ¸. 1. . (2.9). ε a i pr, θ q. i. i 0. onde Ri ,. ai são funções polinomiais em r.. Assim, o campo vetorial X dado pela equação (2.8), em coordenadas polares tem a seguinte forma:. pr, θq 9. 9. $ n ¸ ' ' ' εi Ri r, θ , ' & i 1 n ¸ ' ' ' εi Ri r, θ , ' %. p q p q. . n ¸. 1. . i 1 n ¸. 1. . i 1. i. ai pr, θq. ,. para X ,. ε a i pr, θ q ,. para X .. ε. i. (2.10). i 1. Sabemos da Observação 1.1.17, que campos vetoriais correspondem a 1-formas em R2 . Então (2.10) também pode ser expresso como, $ ' ' ' 1 ' ' ' &. n ¸. . 9. ' ' ' ' ' %. εi ai pr, θq dr. . n ¸. 1. . . εi a i pr, θ q dr. . r. 9. 9. ' ' ' ' ' %. r. . εi ai pr, θq dr. . r. i 1. pr, θq ' . r. n ¸. . εi a i pr, θ q dr. $ ' ' ' & rdr. pr, θq ' 9. ' ' % rdr $ ' ' ' & rdr. 9. para X , (2.11). εi Ri pr, θq dθ. 0,. n ¸. εi Ri pr, θq dθ. . . para X ,. 0,. para X ,. r. . 9. ' ' % rdr. (2.12). n ¸. r r. n ¸. . i 1 n ¸. . ε. i. ai pr, θqdr. εi a i pr, θ qdr. r r. i 1. pr, θq '. 0,. εi Ri pr, θq dθ. 0,. para X ,. εi Ri pr, θqdθ. 0,. para X ,. εi Ri pr, θqdθ. 0,. para X .. i 1. 9. Portanto,. εi Ri pr, θq dθ. i 1. i 1. assim,. i 1. multiplicando ambas 1-formas por r, segue, n ¸. n ¸. . i 1. $ ' ' ' r ' ' ' &. n ¸ i 1. i 1. pr, θq ' 9. n ¸. . i 1 n ¸. . i 1. n ¸. . i 1 n ¸. . i 1. εi r ai pr, θqdr. rRi pr, θqdθ. . 0,. para X ,. εi r a i pr, θ qdr. rRi pr, θqdθ. . 0,. para X ,.

(44) Capítulo 2. Generalização do Método de Françoise e Perturbação Polinomial. 44. escrevendo as 1-formas da seguinte forma: r a i pr, θ qdr. rRi pr, θqdθ. ωipr, θq.. Note que tais formas são analíticas, 2π-periódicas em θ e polinomiais em r. Além disso, o sistema não perturbado é hamiltoniano, então consideramos sua função hamiltoniana, H px, y q . x2. y2 2. 2. r2 ñ. dH. rdr.. (2.13). Consequentemente o sistema (2.10) é equivalente ao sistema $ ' ' ' & dH. n ¸. . i 1 n ¸. ' ' ' % dH. εi ωi pr, θq 0,. para X ,. ε ω pr, θq 0,. para X .. i. i. . (2.14). i 1. Vejamos um exemplo. Exemplo 2.2.4. Considere o seguinte sistema,. px, yq 9. #. 9. . εp1 3xq 8xπ 1 ε2 , x εpx 1q 4ε2 ε3 pβ2. y y. para X , β1 xq, x para X .. (2.15). Aplicando a mudança de coordenadas polares ao sistema (2.15) temos $ ' &. ε cos θp1 rp3 8π 1 εq cos θq,. %. ε cos θp1. pr, θq ' 9. 9. εp4. β 2 εq. r p1. 1. εsenθpr1. p3. . 8π 1 εq cos θq ,. 1 εr1 senθp1. β1 ε2 q cos θq,. εp4. X ,. para β 2 εq. . p1. β1 ε2 q cos θq ,. para. X .. .. (2.16). Agora a equivalência com as 1-formas $ ' &. εr cos θp1 rp3 8π 1 εq cos θq dθ. %. εr cos θp1. pr, θq ' 9. 9. . εp4. β2 εq. r. εrsenθpr1 . r p1. β1 ε2 q cos θq dθ. p3. . 8π 1 εq cos θq dr. r εsenθp1. εp4. β 2 εq. para. X , . p1. β1 ε2 q cos θq dr. para. X .. O sistema (2.15) também pode ser expresso como. pr, θq 9. 9. #. W pr, θq para X W pr, θq para X . (2.17). em que W. pr, θq . rdr rdr. pcos θdθ 3r2 cos2 θdθ senθdr 3r cos θsenθdrqε p8π1 r2 cos2 θdθ ppcos θ 3r2 cos2 θqdθ psenθ 3r cos θsenθqdrqε p8π1 r2 cos2 θdθ. 8π 1 r cos θsenθdrqε2. 8π 1 r cos θsenθdrqε2 ,. e W pr, θq rdr. pr cos θdθ r2 cos2 θdθ senθdr r cos θsenθdrqε p4r cos θdθ r2 β1 cos2 θdθ β2 senθdr rβ1 cos θsenθdrqε3 rdr ppr cos θ r2 cos2 θqdθ psenθ r cos θsenθqdrqε p4r cos θdθ pβ2 senθ rβ1 cos θsenθqdrqε3 .. 4senθdrqε2 4senθdrqε2. prβ2 cos θdθ pprβ2 cos θ. r2 β1 cos2 θqdθ. ..