ALGORITMO ADAPTATIVO PARA O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM BASES WAVELET
ORTOGONAIS SEGUNDO OPERADOR
Tese submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do Grau de Doutor em Engenharia Elétrica Orientador: Prof. Dr. Patrick Kuo-Peng Coorientador: Prof. Dr. Marcelo G. Vanti
Florianópolis 2018
Filippi, Miguel Gustavo
Algoritmo adaptativo para o método dos elementos finitos com bases wavelet ortogonais segundo operador / Miguel Gustavo Filippi ; orientador, Patrick Kuo-Peng, coorientador, Marcelo Grafulha Vanti, 2018.
138 p.
Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós
Graduação em Engenharia Elétrica, Florianópolis, 2018.
Inclui referências.
1. Engenharia Elétrica. 2. Computação adaptativa. 3. Elementos finitos. 4. Wavelets. I. Kuo-Peng, Patrick. II. Vanti, Marcelo Grafulha. III.
Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. IV. Título.
Agradeço aos meus orientadores, Dr. Patrick Kuo-Peng e Dr. Marcelo Grafulha Vanti, que colaboraram com muito empenho e paciência no desenvolvimento deste trabalho, e à minha família, que sempre me deu incentivo e apoio nos meus estudos e que me dá suporte na vida.
Funções wavelet possibilitam a representação esparsa de operadores integrais e diferenciais através de uma aproximação multi-resolução. Esta propriedade é apropriada para implementação de forma adaptativa de métodos numéricos, tópico que é comum entre pesquisadores nos dias de hoje. O estado atual da teoria wavelet possibilita também a construção de transformadas personalizadas de acordo com a aplicação de forma flexível, o que é uma característica importante considerando que a generalização de técnicas envolvendo wavelets para aplicações reais ainda é limitada. Esta tese propõe um método dos elementos finitos
wavelet adaptativo com o objetivo de obter ortogonalidade segundo
operador entre espaços de aproximações, uma propriedade que elimina acoplamento entre níveis de resolução – um problema comum para muitos métodos adaptativos. O método resultante é facilmente estendido a qualquer aplicação real do método dos elementos finitos e exige um menor custo computacional quando comparado com outras técnicas adaptativas. Estas características são demonstradas comparando a técnica proposta com o popular refinamento-h utilizando simulações de modelagem de dispositivos eletromagnéticos envolvendo condições de contorno de Dirichlet e Neumann, meios não lineares e heterogêneos, e discretizações irregulares.
Palavras-chave: Computação adaptativa com elementos finitos. Computação adaptativa com wavelets. Método dos elementos finitos
wavelet. Base wavelet ortogonal segundo operador.
Wavelets provide sparse representation of integral and differential operators through a multiresolution approximation. This property is well-suited for adaptive implementation of numerical techniques, which is a common topic among researchers nowadays. The current state of the wavelet theory also allows flexible construction of transforms customized for certain applications, which is an important feature considering that the generalization of wavelet techniques to a large class of real-world numerical simulations is still limited. This thesis proposes an adaptive wavelet finite element method for achieving operator-orthogonality between approximation spaces, a property which eliminates coupling among levels of resolution – a common shortcoming of several adaptive methods. The resulting method is easily extended to any given real-world finite element application and requires less computation power when compared to other adaptive techniques. These features are showcased by comparing the proposed technique to the popular h-refinement method using electromagnetic device modelling simulations involving Dirichlet and Neumann boundary conditions, inhomogeneous and non-linear media, and irregular discretizations.
Keywords: Adaptive finite element computation. Adaptive wavelet computation. Wavelet finite element method. Operator-orthogonal wavelet basis.
Figura 1. Aproximação de uma determinada função unidimensional em três níveis de resolução. (a) 𝑓2, (b) 𝑓3 e (c) 𝑓4. ... 34
Figura 2. Funções de detalhe para as aproximações apresentadas na Figura 1. (a) 𝑑2 e (b) 𝑑3. ... 35
Figura 3. Funções de base Lagrangeanas de primeira ordem que geram os espaços (a) 𝑉2, (b) 𝑉3 e (c) 𝑉4. ... 36
Figura 4. Funções wavelet primitivas para as bases da Figura 3 que geram os espaços (a) 𝑊2 e (b) 𝑊3. ... 39
Figura 5. (a) Função de detalhe 𝑑3 formada adaptativamente. (b)
Aproximação 𝑓4 formada pela função de detalhe em (a). ... 40
Figura 6. Fluxograma para implementação adaptativa do MEF com bases
wavelet de suporte compacto. WSC=Wavelets de Suporte Compacto. . 42
Figura 7. Fluxograma para implementação adaptativa do MEF com o método refinamento-h. ... 42 Figura 8. Bases Lagrangeanas adaptadas através do método
refinamento-h. ... 43
Figura 9. Configuração equivalente à mostrada na Figura 8 utilizando bases wavelet primitivas. ... 43 Figura 10. Representação multi-resolução de uma função bidimensional em um domínio L. (a) 𝑓2, (b) 𝑑2, (c) 𝑑3 e (d) 𝑓4. ... 44
Figura 11. Malhas para as funções de escala Lagrangeanas bidimensionais que geram os espaços (a) 𝑉1, (b) 𝑉2 e (c) 𝑉3 para um domínio L. ... 46
Figura 12. Funções de escala (a) 𝑣1,5, (b) 𝑣2,7 e (c) 𝑣3,31 para as malhas
da Figura 11. Azimute 0° e Elevação 90°. ... 47 Figura 13. Funções de escala (a) 𝑣1,5, (b) 𝑣2,7 e (c) 𝑣3,31 para as malhas
da Figura 11. Azimute −45° e Elevação 15°. ... 49 Figura 14. Funções wavelet de 𝑊3 formadas pelas funções de escala (a)
𝑣3,4 e 𝑣4,8, e (b) 𝑣3,3, 𝑣3,4 e 𝑣4,6 através do método lifting scheme. ... 53
Figura 15. Função wavelet de 𝑊3 formada pelas funções de escala 𝑣3,2,
𝑣3,4, 𝑣4,4 e 𝑣4,6 através do método stable completion of the wavelet basis.
... 54 Figura 16. Exemplos de funções de base e sistemas lineares resultantes para o MEF adaptativo utilizando funções wavelet primitivas em três iterações... 57 Figura 17. Resolução equivalente ao da Figura 16 com o método refinamento-h. ... 58 Figura 18. Domínio utilizado como referência para construção de bases
Figura 19. Distribuição de nós dos conjuntos 𝐤2 e 𝐥2 para o domínio na
Figura 18. ... 64 Figura 20. Funções wavelet ortogonais segundo o operador da Equação de Poisson, construídas no suporte da função de escala 𝑣2,7. Azimute 0°
e Elevação 90°. ... 66 Figura 21. Funções wavelet ortogonais segundo o operador da Equação de Poisson, construídas no suporte da função de escala 𝑣2,7. Azimute
−45° e Elevação 15°. ... 67 Figura 22. Funções wavelet ortogonais segundo operador construídas com os mesmos coeficientes utilizados na Figura 20 no suporte da função de escala 𝑣2,17. ... 69
Figura 23. Funções wavelet ortogonais segundo operador construídas com os mesmos coeficientes utilizados na Figura 20, para o espaço 𝑊3, no
suporte da função de escala 𝑣3,17. ... 71
Figura 24. Funções wavelet ortogonais segundo operador construídas no suporte da função de escala 𝑣2,10, onde existem condições de contorno de
Neumann. ... 74 Figura 25. Funções wavelet ortogonais segundo operador construídas no suporte da função de escala 𝑣2,20, onde existem condições de contorno de
Neumann. ... 75 Figura 26. Função wavelet ortogonal segundo operador construída no suporte da função de escala 𝑣2,3, onde condições de contorno de Dirichlet
são aplicadas. ... 77 Figura 27. Função wavelet ortogonal segundo operador construída no suporte da função de escala 𝑣2,18, onde condições de contorno de
Dirichlet são aplicadas. ... 77 Figura 28. Funções wavelet ortogonais segundo operador construídas em suportes onde existem condições de contorno de Dirichlet e Neumann. ... 80 Figura 29. Ilustração do número de funções wavelet ortogonais segundo operador de suporte compacto do espaço 𝑊2 ao longo do domínio... 81
Figura 30. Função wavelet ortogonal segundo operador de suporte não compacto do espaço 𝑊2. Azimute 0° e Elevação 90°... 83
Figura 31. Função wavelet ortogonal segundo operador de suporte não compacto do espaço 𝑊2. Azimute −45° e Elevação 15°. ... 83
Figura 32. Funções wavelet ortogonais segundo operador de suporte não compacto dos espaços (a) 𝑊3 e (b) 𝑊4. Azimute 0° e Elevação 90°. ... 86
Figura 33. Funções wavelet ortogonais segundo operador de suporte não compacto dos espaços (a) 𝑊3 e (b) 𝑊4. Azimute −45° e Elevação 15°.
destacadas. ... 89 Figura 35. Funções wavelet ortogonais segundo operador de suporte não compacto dos espaços (a) 𝑊3 e (b) 𝑊4 construídas com as malhas da
Figura 34. ... 90 Figura 36. Ilustração do número de funções wavelet ortogonais segundo operador de suporte compacto utilizadas para malhas adaptativas. ... 91 Figura 37. Fluxograma para implementação adaptativa do MEF com bases wavelet ortogonais segundo operador. WSN=Wavelets de Suporte Não compacto. ... 92 Figura 38. Descrição de um mapeamento de funções de escala que compõem funções wavelet. ... 93 Figura 39. Funções de forma equivalentes no elemento de referência. . 94 Figura 40. Descrição do mapeamento de uma subdivisão do elemento de referência. ... 95 Figura 41. Funções de forma equivalentes resultantes do mapeamento mostrado na Figura 40. ... 95 Figura 42. Domínio de simulação para a Simulação 1. ... 100 Figura 43. Função wavelet ortogonal segundo operador de suporte compacto para o suporte do nó (0,25 ; 0,25). ... 101 Figura 44. Funções wavelet ortogonais segundo operador utilizadas para completar o espaço wavelet no suporte da função mostrada na Figura 43. ... 101 Figura 45. Funções wavelet ortogonal segundo operador construídas em um suporte envolvendo interface entre diferente meios. ... 102 Figura 46. Funções wavelet ortogonais segundo operador construídas em um suporte envolvendo interface entre diferente meios. ... 104 Figura 47. Soluções para a Simulação 1 obtidas através do (a) MEF
wavelet adaptativo e (b) refinamento-h utilizando 𝛿 = 2×10−4 e 6
iterações... 105 Figura 48. Malhas resultantes para as soluções apresentadas na Figura 47. (a) MEF wavelet adaptativo e (b) refinamento-h. ... 106 Figura 49. Padrão de esparsidade das matrizes (a) 𝐰8 e (b) 𝐯8 utilizadas
na oitava iteração do MEF wavelet adaptativo. Variável nz é o número de elementos não nulo na matriz. ... 109 Figura 50. Padrão de esparsidade da matriz 𝐯9 utilizada na oitava iteração
do método refinamento-h. ... 110 Figura 51. Circuito magnético para a Simulação 2. ... 110 Figura 52. Domínio de simulação para a Simulação 2. ... 111
Figura 53. Exemplos de funções wavelet ortogonais segundo operador de suporte não compacto utilizadas em uma das iterações da Simulação 2. ... 113 Figura 54. Soluções para a Simulação 2 obtidas através do (a) MEF
wavelet adaptativo e (b) refinamento-h utilizando 𝑛𝐼 = 5×104 𝐴𝑒, 𝛿 =
5×10−4 e 6 iterações. ... 115
Figura 55. Malhas resultantes para as soluções apresentadas na ... 116 Figura 56. Soluções para a Simulação 2 obtidas através do (a) MEF
wavelet adaptativo e (b) refinamento-h utilizando 𝑛𝐼 = 7×105 𝐴𝑒, 𝛿 =
5×10−4 e 6 iterações. ... 117 Figura 57. Malhas resultantes para as soluções apresentadas na Figura 56. (a) MEF wavelet adaptativo e (b) refinamento-h. ... 118 Figura 58. Domínio de simulação para a Simulação 3. ... 120 Figura 59. Malha inicial utilizada para a Simulação 3. ... 120 Figura 60. Exemplos de funções wavelet ortogonais segundo operador de suporte compacto localizadas em suportes contendo irregularidade de malha. ... 121 Figura 61. Funções wavelet ortogonais segundo operador utilizadas para completar o espaço wavelet no suporte do nó (0,28125 ; 0,75). ... 122 Figura 62. Soluções para a Simulação 3 obtidas através do (a) MEF
wavelet adaptativo e (b) refinamento-h utilizando 𝛿 = 4×10−3 e 6
iterações. ... 124 Figura 63. Malhas resultantes para as soluções apresentadas na Figura 62. (a) MEF wavelet adaptativo e (b) refinamento-h. ... 125 Figura 64. Estrutura com repetição geométrica de forma periódica. .. 127 Figura 65. Estrutura com repetição geométrica de forma anti-periódica. ... 127 Figura 66. Domínio de simulação para a estrutura da Figura 64. ... 127 Figura 67. Domínio de simulação para a estrutura da Figura 65. ... 128 Figura 68. Funções wavelet ortogonais segundo operador de suporte compacto para as condições de (a) periodicidade e (b) anti-periodicidade. ... 128 Figura 69. Funções wavelet ortogonais segundo operador de suporte não compacto para as condições de (a) periodicidade e (b) anti-periodicidade. ... 129 Figura 70. Exemplo de solução obtida através do MEF wavelet para o domínio com condição de periodicidade mostrado na Figura 66. ... 130 Figura 71. Exemplo de solução obtida através do MEF wavelet para o domínio com condição de anti-periodicidade mostrado na Figura 67. 131
Tabela 1. Configurações de funções de escalas utilizadas para obter uma base completa de wavelets ortogonais segundo operador através do sistema (30). ... 84 Tabela 2. Suportes, condições de contornos envolvidas nos suportes e números de funções wavelet resultantes para as configurações da Tabela 1. ... 84 Tabela 3. Descrição da subdivisão do elemento referência e expressões de forma fechada para integração numérica. ... 96 Tabela 4. Custo computacional para a Simulação 1. ... 108 Tabela 5. Permeabilidade relativa média do ferro para a Simulação 2. ... 119 Tabela 6. Custo computacional para a Simulação 2. ... 119 Tabela 7. Custo computacional para a Simulação 3. ... 126
Nome Descrição
𝐴 Ampère
𝐴𝑒 Ampère-espira
EDP Equação Diferencial Parcial
𝐻 Henry
𝑘𝐵 Quilobyte
𝑚 Metro
𝑚𝑚 Milímetro
MEF Método dos Elementos Finitos MEFWA MEF Wavelet Adaptativo
MEF-h MEF Refinamento-h
𝑠 Segundo
𝑆 Siemen
𝑉 Volt
LISTA DE SÍMBOLOS
Nome Descrição
𝐴 Componente do vetor 𝐀⃗⃗ na direção 𝐤 𝐴𝑗 Aproximação de 𝐴 no nível de resolução 𝑗
𝐀⃗⃗ Potencial vetor magnético 𝐁
⃗⃗ Densidade de fluxo magnético 𝐜𝐯𝑖,𝐰𝑖
Matriz de interações de funções de base dos espaços 𝑉𝑖 e 𝑊𝑖
𝐜𝐰𝑖,𝐰𝑗−1
Matriz de interações de funções de base dos espaços 𝑊𝑖 e 𝑊𝑗−1
𝐜𝐯𝑗,𝐰𝑘
𝑎,𝑏 Elemento da linha 𝑎 e coluna 𝑏 da matriz 𝐜 𝐯𝑗,𝐰𝑘
𝐜𝐰𝑎,𝑏𝑗,𝐰𝑘 Elemento da linha 𝑎 e coluna 𝑏 da matriz 𝐜𝐰𝑗,𝐰𝑘
𝑑𝑙 Função de detalhe do nível de detalhe 𝑙
𝑑𝑗𝑎 Elemento 𝑎 do conjunto 𝐝𝑗
𝐝𝑗 Conjunto de nós sujeitos a condição de Contorno de Dirichlet no nível de resolução 𝑗
𝐷𝑗 Número de elementos do conjunto 𝐝𝑗
𝑒𝑘 Subdivisão 𝑘 do elemento de referência
𝐄⃗ Campo elétrico 𝑓 Função arbitrária
𝑓𝑗 Aproximação de 𝑓 no nível de resolução 𝑗
𝑓(𝑥𝑗,𝑘 , 𝑦𝑗,𝑘) Valor de 𝑓 no nó 𝑘 do nível de resolução 𝑗
ℎ Função que caracteriza o meio no domínio de simulação 𝐇⃗⃗ Campo magnético
𝐽 Componente do vetor 𝐉 na direção 𝐤 𝐉 Densidade de corrente
𝑘𝑗,𝑛𝑎 Elemento 𝑎 do conjunto 𝐤𝑗,𝑛
𝐤𝑗 Conjunto de índices de funções de escala do nível 𝑗
𝐤𝑗,𝑛
Conjunto de índices de funções de escala do nível 𝑗 utilizadas para compor funções wavelet na
configuração 𝑛
𝐾𝑗 Número de funções de escala no nível de resolução 𝑗
𝐾𝑗,𝑛 Número de elementos no conjunto 𝐤𝑗,𝑛
𝐥𝑗,𝑛
Conjunto de índices de funções wavelet primitivas do nível de detalhe 𝑗 utilizadas para compor funções
wavelet na configuração 𝑛
𝐿𝑗,𝑛 Número de elementos no conjunto 𝐥𝑗,𝑛
L2 Espaço de funções quadrado integráveis
𝑚𝑗,𝑛𝑎 Elemento 𝑎 do conjunto 𝐦𝑗,𝑛
𝐦𝑗,𝑛 Conjunto de índices de funções wavelet resultantes utilizando a configuração 𝑛
𝑀𝑗 Número de funções wavelet no nível de detalhe 𝑗
𝑀𝑗,𝑛 Número de elementos do conjunto 𝐦𝑗,𝑛
𝑀𝑗′ Número de funções wavelet não compactas no nível
de detalhe 𝑗
𝑛𝐼 Número de voltas multiplicado pela corrente em uma espira 𝑜𝑗,𝑛𝑎 Elemento 𝑎 do conjunto 𝐨𝑗,𝑛
𝐨𝑗,𝑛
Conjunto de índices de funções de escala do nível de resolução 𝑗 que se sobrepõem ao suporte resultante para funções wavelet na configuração 𝑛
𝑂𝑗,𝑛 Número de elementos do conjunto 𝐨𝑗,𝑛
𝐩𝑗,𝑛 Matriz de interações entre funções de escala dos conjuntos 𝐨 𝑗,𝑛 e 𝐤𝑗,𝑛
𝐪𝑗,𝑛 Matriz de interações entre funções de escala dos conjuntos 𝐨 𝑗,𝑛 e 𝐥𝑗,𝑛
𝐫𝑗,𝑘
Vetor coluna de interações entre funções wavelet do nível de detalhe 𝑗 e a função de escala de índice 𝑘 sujeita a condição de contorno de Dirichlet 𝐫𝑗,𝑘𝑎 Elemento 𝑎 do conjunto 𝐫
𝑗,𝑘
𝑠 Função de excitação no domínio de simulação 𝐬𝑗 Vetor coluna de interações entre funções de escala do nível de resolução 𝑗 e 𝑠
𝐬𝑗𝑎 Elemento 𝑎 do vetor coluna 𝐬𝑗
𝐭𝑖 Vetor coluna de interações entre funções wavelet do nível de detalhe 𝑖 e 𝑠
𝐭𝑗𝑎 Elemento 𝑎 do vetor coluna 𝐭𝑗
𝑣𝑗,𝑘 Função de escala 𝑘 do nível de resolução 𝑗
𝐯𝑗 Matriz de interações entre funções de escala no nível de resolução 𝑗
𝐯𝑗𝑎,𝑏 Elemento da linha 𝑎 e coluna 𝑏 da matriz 𝐯𝑗
𝑉 Potencial escalar elétrico
𝑉𝑗 Espaço gerado pelas funções de base 𝑣𝑗,𝑘
𝑤𝑙,𝑚 Função wavelet 𝑚 do nível de detalhe 𝑙
𝑤̅𝑗,𝑚
Função wavelet 𝑚 do nível de detalhe 𝑗 criada pelos métodos lifting scheme e stable completion of the
wavelet basis
𝑤̅𝑗,𝑚𝑒 Função wavelet 𝑚 do nível de detalhe 𝑗 do elemento de referência 𝑒
𝐰𝑖 Matriz de interações de funções wavelet no nível de detalhe 𝑖
𝐰𝑗𝑎,𝑏 Elemento da linha 𝑎 e coluna 𝑏 da matriz 𝐰𝑗
𝑊𝑗 Espaço gerado pelas funções wavelet 𝑤𝑗,𝑚
𝛼𝑗,𝑘 Coeficientes de aproximação para a função de escala 𝑣 𝑗,𝑘
𝛂𝑗 Vetor coluna de coeficientes 𝛼𝑗,𝑘
𝛽𝑙,𝑚 Coeficientes de detalhe para a função wavelet 𝑤𝑙,𝑚
𝛃𝑖 Vetor coluna de coeficientes 𝛽𝑖,𝑚
𝛿 Limiar de detalhe
(𝜁 , 𝜂) Plano para o elemento de referência
(𝜁′ , 𝜂′) Plano para a subdivisão do elemento de referência
𝜎 Condutividade elétrica do meio no domínio de simulação
𝜇 Permeabilidade magnética do meio no domínio de simulação 𝜇𝑟 𝜇 relativo
𝜇0 𝜇 do vácuo
𝜑𝑗,𝑚,𝑘 Coeficientes utilizados para a combinação linear de funções 𝑣 𝑗,𝑘 para a função wavelet 𝑤̅𝑗,𝑚
𝛗𝑗,𝑛 Matriz de coeficientes 𝜑𝑗,𝑚,𝑘 resultantes para a
configuração 𝑛
𝜙𝑗,𝑚,𝑙 Coeficientes utilizados para a combinação linear de funções 𝑣 𝑗+1,𝑙 para a função wavelet 𝑤̅𝑗,𝑚
𝛟𝑗,𝑛 Matriz de coeficientes 𝜙𝑗,𝑚,𝑙
resultantes para a configuração 𝑛
𝛀𝑗 Conjunto de subdomínios de 𝛀 selecionados para refinamento no nível de resolução 𝑗
Ω𝑗𝑎 Elemento 𝑎 do conjunto 𝛀 𝑗
1INTRODUÇÃO ... 25 1.1ESTADO DA ARTE ... 27 1.2OBJETIVOS... 29 1.2.1Objetivo Geral ... 29 1.2.2Objetivos Específicos ... 29 1.3ESTRUTURA DA TESE ... 29
2REVISÃO SOBRE TEORIA WAVELET E MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS ... 31 2.1TEORIA WAVELET ... 31 2.2MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM BASES DE MULTI-RESOLUÇÃO ... 52 2.3CONCLUSÃO ... 60
3BASES WAVELET ORTOGONAIS SEGUNDO OPERADOR . 61
3.1FUNÇÕES WAVELET ORTOGONAIS SEGUNDO OPERADOR DE SUPORTE COMPACTO PARA O INTERIOR DO DOMÍNIO ... 65 3.2APLICAÇÃO DE CONDIÇÕES DE CONTORNO... 72 3.2.1Condições de Neumann ... 73 3.2.2Condições de Dirichlet ... 73 3.2.3Condições de Dirichlet/Neumann ... 79 3.3GENERALIZAÇÃO PARA FUNÇÕES WAVELET DE SUPORTE NÃO COMPACTO ... 79 3.4CÁLCULO DE INTERAÇÕES DE FUNÇÕES WAVELET ... 88 3.5CONCLUSÃO ... 96 4APLICAÇÕES E RESULTADOS ... 98 4.1SIMULAÇÃO 1: DOMÍNIO L – CORRENTES ESTÁTICAS ... 99 4.2SIMULAÇÃO 2: CIRCUITO MAGNÉTICO – MATERIAL NÃO LINEAR... 108 4.3SIMULAÇÃO 3: CIRCUITO MAGNÉTICO – ENTREFERRO COM MALHA IRREGULAR ... 112 4.4ASPECTOS GERAIS ... 123
4.5CONCLUSÃO ... 126 5CONCLUSÕES GERAIS ... 132 5.1TRABALHOS FUTUROS ... 132 REFERÊNCIAS ... 134
1 INTRODUÇÃO
A utilização de métodos numéricos para cálculo de grandezas físicas é frequente, pois a aplicação de forma analítica das equações que governam estas grandezas, na maioria das vezes, é de complexidade elevada, tornando-a inviável. Utilizando a Engenharia Elétrica como exemplo, dentre as grandezas físicas comumente calculadas através de métodos numéricos estão: campos elétricos e magnéticos, distribuições de carga e correntes elétricas, ondas eletromagnéticas, etc. Estas quantidades são essenciais para a caracterização de antenas, componentes de circuitos elétricos, máquinas elétricas como motores e transformadores, entre outros. Através de simulações numéricas, o dimensionamento deste tipo de equipamento se torna mais eficiente, e por isso, existem pesquisas visando desenvolver novos métodos numéricos ou otimizar os existentes – este último é o objetivo deste trabalho.
O Método dos Elementos Finitos (MEF) [1]-[3] é um dos mais populares métodos numéricos por ter características como robustez, flexibilidade e facilidade de implementação. Neste método, um domínio é dividido em pequenos subdomínios, o que possibilita lidar com uma versão mais simples – chamada de forma fraca – da equação que governa o fenômeno físico em análise. Este procedimento gera um sistema linear de equações – em que as variáveis são os valores aproximados da grandeza ao longo do domínio – que é resolvido de forma matricial. A divisão de domínio também é chamada de discretização ou malha. Outra característica importante do MEF é que a grandeza física é representada através de uma combinação linear – ou série – de funções mais simples, como, por exemplo, funções polinomiais. Estas funções são conhecidas como funções de base. As funções de base convencionalmente utilizadas neste método são as funções Lagrangeanas.
A acurácia da solução obtida através do MEF depende diretamente da discretização do domínio. Quanto menor for cada subdomínio da malha – ou em outras palavras, quanto maior for o nível de resolução –, mais acurado será o resultado. No entanto, quanto mais refinada for a discretização, maior será o custo computacional e consequentemente o tempo que levará para a solução ser obtida. Além disso, no método em sua forma tradicional, a discretização é feita de acordo com a geometria, característica de materiais, excitação, etc., porém a acurácia da solução nem sempre está ligada a estas características. De forma geral, buscam-se formas dinâmicas de adaptar a discretização para que a solução seja obtida com o nível de resolução adequado com o mínimo esforço
computacional possível. Para isto, são desenvolvidos os chamados métodos adaptativos.
Técnicas adaptativas permitem o ajuste localizado da solução. Em outras palavras, permitem o refinamento da solução apenas nas regiões onde isto é necessário, reduzindo assim o tamanho total do problema. O chamado refinamento-h [4, 5] é o mais popular entre estes métodos hoje em dia, e é baseado em um ajuste iterativo da discretização de acordo com uma solução menos refinada através de um estimador de erro.
A palavra “wavelet” se refere a uma classe de funções de base que possibilitam uma representação multi-resolução de uma determinada grandeza. Existem vários tipos de bases wavelet disponíveis hoje em dia, com propriedades que podem ser exploradas em muitas áreas diferentes. Para o MEF, em particular, uma característica importante que funções
wavelet disponibilizam é o refinamento incremental de uma aproximação.
Mais especificamente, é possível adicionar níveis de detalhe de forma iterativa a uma determinada aproximação. As propriedades de capacidade de aproximação e suporte compacto, que muitas vezes estão presentes nestas funções, também são importantes para métodos numéricos, pois são responsáveis por aproximações esparsas. Se uma representação de multi-resolução for esparsa, esquemas adaptativos eficientes são facilmente construídos.
A computação adaptativa com elementos finitos através do refinamento-h e a forma convencional de implementação wavelet possuem uma importante característica em comum: o sistema matricial resultante é acoplado entre diferentes níveis de resolução, o que impossibilita o refinamento de uma aproximação de forma independente. Para o refinamento-h, mesmo que seja necessário o aumento de resolução em apenas uma pequena sub-região do domínio, a solução precisa ser recalculada em todo o domínio. Com bases wavelet, para que seja possível calcular uma informação de detalhe, a aproximação em uma versão menos refinada também precisa ser calculada. Em ambos os métodos, em uma determinada iteração, são calculadas novas informações, mas também informações que haviam sido obtidas em iterações passadas, o que é um processo ineficiente.
Existem várias abordagens wavelet para resolução de equações diferenciais parciais (EDPs) [6], e estas são classificadas, de forma geral, como: métodos wavelet-Galerkin [7]-[17], métodos da colocação wavelet [18]-[20], métodos Multigrid wavelet [21, 22] e MEF wavelet [23]-[25]. Existem também técnicas wavelet para resolução equações integrais [26]-[29]. Um problema frequente de métodos wavelet é a falta de flexibilidade, característica esta que é uma qualidade do refinamento-h e
do próprio MEF em sua forma tradicional. A maioria das bases wavelet criadas no início do desenvolvimento da teoria – a chamada primeira geração – não possuem, ao mesmo tempo, muitas propriedades como: suporte compacto, poder de aproximação, ortogonalidade, suavidade, etc. Além disso, estas famílias de wavelets foram construídas para aplicações de processamento de sinais [30]-[32], e por isso, a adaptação a aspectos relacionados a outras aplicações é, de forma geral, ineficiente. Vários métodos wavelet não podem ser estendidos a malhas irregulares e domínios limitados por contornos. Além disso, o cálculo de integrais envolvendo estas funções – que frequentemente aparecem em métodos numéricos – é um processo complexo. De forma geral, pesquisas são desenvolvidas com o objetivo de eliminar estas limitações.
1.1 ESTADO DA ARTE
Métodos com a abordagem wavelet-Galerkin são populares e têm mostrado resultados significantes [13]-[17]. As propriedades de multi-resolução, capacidade de aproximação e suporte localizado dão origem a algoritmos eficientes. Em desenvolvimentos recentes, métodos de resolução de EDPs sem utilização de malhas foram propostos [13]-[15]. Com esta abordagem, existe uma redução de custo computacional por não haver a necessidade de criação e reestruturação de malhas. Como desvantagem, tem-se a dificuldade de implementação de problemas não lineares e com condições de contorno complexas.
Para este tipo de problema, métodos da colocação wavelet são mais adequados. Com esta abordagem, EDPs são resolvidas no domínio físico em uma malha computacional Multigrid que é ajustada adaptativamente baseada em coeficientes wavelet [18]. Este método trabalha com o domínio real de análise ao invés do domínio dos coeficientes wavelet – como ocorre, normalmente, para o método wavelet-Galerkin –, o que possibilita a incorporação de características não lineares e condições de contorno de forma mais simples. Recentemente, métodos para paralelização de algoritmos com esta abordagem foram desenvolvidos e mostraram resultados expressivos [19, 20]. No entanto, métodos wavelet-Galerkin são mais acurados quando comparados com métodos da colocação wavelet.
Em métodos Multigrid wavelet, utilizados para resolução de sistemas lineares que aproximam EDPs, operadores wavelet são aplicados a estes sistemas com o objetivo de melhorar seu o condicionamento e consequentemente aumentar a convergência e reduzir o custo computacional [21, 22].
Para abordagens MEF wavelet, categoria que é explorada neste trabalho, acredita-se que os resultados mais importantes são aqueles que se beneficiam das qualidades fornecidas pela segunda geração da teoria
wavelet. Através de técnicas chamadas de lifting scheme e stable completion of the wavelet basis, é possível criar funções wavelet que
possuam uma ampla quantidade de propriedades, e estas bases podem ser facilmente adaptadas à aspectos específicos como discretizações irregulares e condições de contorno [33]-[35].
D'Heedene et al. [36, 37] apresentaram wavelets ortogonais segundo operador, funções criadas – através das técnicas da segunda geração da teoria wavelet – com a propriedade de ortogonalidade com respeito a forma fraca de um determinado operador diferencial, como por exemplo, o operador de Laplace. O objetivo, como o desta tese, é implementar refinamento adaptativo com um sistema desacoplado entre níveis de resolução para aumentar o desempenho. Desacoplamento foi explorado pela primeira vez por Beylkin et al. [29, 38] com wavelets de primeira geração através da chamada non-standard form, que é, de forma geral, aplicada à operadores integrais para aumentar a esparsidade em sua representação. A ideia também pode ser aplicada para resolver equações diferenciais [39], mas wavelets de segunda geração fornecem uma abordagem mais flexível e eficiente.
O desacoplamento também foi explorado com wavelets de segunda geração, em aplicações unidimensionais, através da propriedade de
vanishing moments [40]. No entanto, o método não pode ser estendido a
bases bi ou tridimensionais, e neste trabalho, procura-se criar um método flexível e eficiente que possa ser aplicado à qualquer simulação real.
Como já mencionado, suporte compacto é uma propriedade importante para uma base wavelet quando o objetivo é a criação de uma técnica adaptativa para o MEF. Uma base wavelet composta por funções de suporte compacto, que tenha simultaneamente a propriedade de ortogonalidade segundo operador, proporciona um ganho de desempenho significativo para o MEF [41]. No entanto, com as técnicas existentes, não é possível construir uma base completa de wavelets com estas características para qualquer aplicação real. Domínios envolvendo meios heterogêneos ou discretizações irregulares são exemplos onde este problema acontece. Li e Chen [42] mencionam em uma revisão sobre o estado de aplicações wavelet em métodos numéricos que extensões para
wavelets ortogonais segundo operador para geometrias complexas ainda
1.2 OBJETIVOS 1.2.1 Objetivo Geral
Apresentar uma técnica geral para implementação adaptativa de bases wavelet ortogonais segundo operador, construídas com funções de base Lagrangeanas através da segunda geração da teoria wavelet, em qualquer simulação MEF.
1.2.2 Objetivos Específicos
• Desenvolver técnicas para incorporação de meios heterogêneos e não lineares, diferentes tipos de condições de contorno e discretizações irregulares;
• Desenvolver um método para cálculo de integrais de funções
wavelet utilizando um domínio local simplificado – o chamado elemento
de referência;
• Aplicar o método a simulações de dispositivos eletromagnéticos bidimensionais;
• Comparar a eficiência e a acurácia do método com o método refinamento-h.
1.3 ESTRUTURA DA TESE
No segundo capítulo, são apresentados os conceitos básicos da teoria wavelet, os métodos que deram origem à sua segunda geração e como estes aspectos podem ser incorporados ao MEF. No terceiro capítulo, os métodos lifting scheme e stable completion of the wavelet
basis são utilizados para construir funções wavelet ortogonais segundo o
operador de Laplace em um domínio bidimensional de referência, onde são mostrados os procedimentos para incorporar condições de contorno e as generalizações necessárias para a aplicação do método a qualquer simulação. As aplicações do método proposto à modelagem de dispositivos eletromagnéticos são apresentadas no quarto capítulo e as conclusões são apresentadas no quinto capítulo.
2 REVISÃO SOBRE TEORIA WAVELET E MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Bases wavelet possuem propriedades que podem ser exploradas em vários ramos da engenharia. Um exemplo popular de aplicação destas funções é como alternativa à transformada de Fourier. Funções seno e cosseno – utilizadas para esta transformada – possibilitam identificar informações de frequência em uma função distinta. Funções wavelet, além de possibilitar a extração de informações de frequência, também possibilitam identificar em que pontos do espaço/tempo estas frequências ocorrem. Isto se dá pela natureza “localizada” destas funções no espaço/tempo e no espectro da frequência – comportamento oscilatório, energia finita e suporte compacto. Estas características dão origem à chamada representação multi-resolução, que é importante para o desenvolvimento desta tese.
A teoria wavelet disponibiliza, ainda, outras propriedades, algumas que são importantes para a implementação de métodos numéricos. Neste capítulo, são apresentadas estas propriedades, os conceitos introdutórios desta teoria e como estes podem ser aplicados ao MEF.
2.1 TEORIA WAVELET
A aproximação com nível de resolução 𝑗 de uma determinada função 𝑓 pode ser obtida através de uma combinação linear de funções de base 𝑣𝑗,𝑘:
𝑓 ≅ 𝑓𝑗 = ∑ 𝛼𝑗,𝑘𝑣𝑗,𝑘 𝐾𝑗
𝑘=1
, (1)
onde 𝛼𝑗,𝑘 são coeficientes que dependem de 𝑓 e 𝐾𝑗 é o número de funções
de base para o nível de resolução 𝑗. Ao escolher uma base de funções capazes de gerar uma representação multi-resolução, 𝑓𝑗 pode ser reescrita
como
𝑓𝑗 = 𝑓𝑖+ ∑ 𝑑𝑙 𝑗−1
𝑙=𝑖
, (2)
𝑑𝑙= ∑ 𝛽𝑙,𝑚𝑤𝑙,𝑚 𝑀𝑙
𝑚=1
. (3)
Funções 𝑤𝑙,𝑚 são as chamadas wavelets e 𝑀𝑙 é o número de funções wavelet para o nível de detalhe 𝑙. Funções 𝑣𝑗,𝑘 também são chamadas de
funções de escala no contexto da teoria wavelet. Ao aproximar uma determinada função através de funções de base em métodos numéricos como o MEF, os coeficientes 𝛼𝑗,𝑘 e 𝛽𝑙,𝑚 se tornam as variáveis no
processo.
Formalmente, define-se um espaço 𝑉𝑗 como sendo o espaço gerado
pelas funções 𝑣𝑗,𝑘 [6, 30], ou seja
𝑉𝑗 = span{𝑣𝑗,𝑘 | 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝐾𝑗}. (4)
Isto quer dizer que uma função que pode ser representada exatamente por uma combinação linear de funções 𝑣𝑗,𝑘 pertence a 𝑉𝑗. Espaços gerados por
funções de escala de níveis de resolução diferentes possuem uma relação de hierarquia:
𝑉𝑗 ⊂ 𝑉𝑗+1, (5)
o que é equivalente a dizer que um espaço 𝑉𝑗 está contido em 𝑉𝑗+1, ou
seja, uma função 𝑓𝑗∈ 𝑉𝑗 pode ser representada pelas funções que geram
𝑉𝑗+1. Além disso, funções de escala têm a habilidade de aproximar uma
função de energia finita com precisão arbitraria. Matematicamente, esta propriedade é escrita como
⋃ 𝑉𝑗 𝑗>0
é denso em L2.
(6)
Define-se, também, um espaço 𝑊𝑗 como
𝑊𝑗 = span{𝑤𝑗,𝑚 | 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑀𝑗}, (7)
𝑉𝑗+1= 𝑉𝑗⊕ 𝑊𝑗. (8)
Propriedade (8) determina, em outras palavras, que o espaço 𝑉𝑗+1 é
também gerado a partir da soma direta dos espaços gerados pelas funções 𝑣𝑗,𝑘 e 𝑤𝑗,𝑚. Isto tem como principal consequência que
𝑑𝑗= 𝑓𝑗+1− 𝑓𝑗. (9)
Objetivamente, funções como as obtidas através de métodos numéricos podem ser aproximadas com um dado nível de resolução através de uma aproximação grosseira mais um dado número de níveis de detalhe. Para ilustrar este processo, aproximações de uma função de uma variável, em três níveis de resolução, são apresentadas na Figura 1. Dois níveis de detalhe para estas aproximações são apresentados na Figura 2. É importante notar que para estas figuras, 𝑓3= 𝑓2+ 𝑑2 e 𝑓4= 𝑓2+ 𝑑2+
𝑑3.
As funções Lagrangeanas [43], que são tradicionalmente utilizadas no MEF, são funções que geram espaços que satisfazem as condições (5) e (6). Na verdade, as aproximações mostradas na Figura 1 são formadas por combinações lineares das funções Lagrangeanas de primeira ordem apresentadas na Figura 3. É possível verificar a relação de hierarquia (5) pois a aproximação 𝑓2 na Figura 1 (a) pode ser escrita através de funções
de base que geram o espaço 𝑉3:
𝑓2= 𝛼2,1𝑣2,1+ 𝛼2,2𝑣2,2+ 𝛼2,3𝑣2,3= 𝛼2,1𝑣3,1+ 𝛼2,1+ 𝛼2,2 2 𝑣3,2+ 𝛼2,2𝑣3,3+ 𝛼2,2+ 𝛼2,3 2 𝑣3,4 + 𝛼2,3𝑣3,5. (10)
É importante notar que o contrário não é possível: 𝑓3 não pode ser descrita
através de funções que geram 𝑉2. Isto dá uma perspectiva sobre a
propriedade (6): a capacidade de aproximação aumenta indefinidamente à medida que as funções de base são refinadas.
Quanto aos níveis de detalhe da Figura 2, pode-se observar que são, de fato, a diferença entre aproximações de dois níveis de resolução adjacentes como em (9). No entanto, deseja-se obter tais funções de
Figura 1. Aproximação de uma determinada função unidimensional em três níveis de resolução. (a) 𝑓2, (b) 𝑓3 e (c) 𝑓4.
(a)
(c)
Figura 2. Funções de detalhe para as aproximações apresentadas na Figura 1. (a) 𝑑2 e (b) 𝑑3.
(b)
Figura 3. Funções de base Lagrangeanas de primeira ordem que geram os espaços (a) 𝑉2, (b) 𝑉3 e (c) 𝑉4.
(b)
detalhe através de uma combinação linear de funções wavelet, como em (3). Existem diferentes tipos de bases wavelet capazes de gerar níveis de detalhe para as bases Lagrangeanas. O exemplo mais trivial são as chamadas wavelets primitivas, das quais exemplos são mostrados na Figura 4. Estas bases também são chamadas de bases hierárquicas. Sua ideia nasceu em 1992 [23] sem uma relação com a teoria wavelet e, como pode ser observado, são simplesmente funções de escala de um nível de resolução superior situadas entre as funções, ou nós, existentes no mesmo nível de resolução. Utilizando estas funções, a aproximação 𝑓3
apresentada na Figura 1 (b), por exemplo, pode ser definida como 𝑓3= 𝑓2+ 𝑑2=
𝛼2,1𝑣2,1+ 𝛼2,2𝑣2,2+ 𝛼2,3𝑣2,3+ 𝛽2,1𝑤2,1+ 𝛽2,2𝑤2,2,
(11)
onde 𝑤2,1= 𝑣3,2 e 𝑤2,2= 𝑣3,4.
Dentre os benefícios de se utilizar uma base com capacidade de multi-resolução, os que são relevantes para este trabalho são:
• Detalhe pode ser adicionado a uma dada aproximação de forma incremental. Em outras palavras, obtém-se uma aproximação grosseira e detalhe é adicionado iterativamente até que a aproximação esteja suficientemente refinada;
• Assim como os exemplos mostrados na Figura 1 e na Figura 2, detalhe normalmente está concentrado em uma parte específica do domínio, o que torna importante a utilização de uma abordagem adaptativa. Com tal abordagem, propõe-se adicionar detalhe apenas em locais nos quais a solução necessita de maior resolução. Se funções
wavelet de suporte compacto, como as mostradas na Figura 4, são
utilizadas, isto pode ser obtido escolhendo formar cada nível de detalhe exclusivamente com wavelets localizadas em pontos críticos;
• Os próprios níveis de detalhe indicam quais regiões no domínio da função necessitam maior resolução. Esta é uma característica importante considerando que outros métodos adaptativos precisam de recursos computacionais extra para um estimador de erro.
Para ilustrar estes benefícios, é mostrado na Figura 5 (a) o nível de detalhe 𝑑3 formado apenas pelas funções 𝑤3,3 e 𝑤3,4. A aproximação 𝑓4
resultante com esta função de detalhe é mostrada na Figura 5 (b). Bases wavelet com as características citadas acima permitem a implementação de um algoritmo adaptativo para o MEF como mostrado
Figura 4. Funções wavelet primitivas para as bases da Figura 3 que geram os espaços (a) 𝑊2 e (b) 𝑊3.
(a)
Figura 5. (a) Função de detalhe 𝑑3 formada adaptativamente. (b) Aproximação 𝑓4 formada pela função de detalhe em (a).
(a)
no fluxograma da Figura 6. As variáveis 𝑗 e 𝛀𝑖 representam o nível de
resolução que se deseja alcançar e a discretização inicial, respectivamente.
O processo de definição das regiões que precisam de refinamento é baseado na comparação das funções de detalhe 𝑑𝑙 com uma constante
𝛿, que representa um limiar de detalhe predefinido.
Outros métodos adaptativos como o popular refinamento-h são similares pois tem como objetivo o refinamento localizado de uma determinada aproximação [4]. Resumidamente, o método refinamento-h, utilizando-se de níveis de detalhe como estimador de erro, pode ser implementado com o fluxograma mostrado na Figura 7.
É possível obter aproximações adaptativas exatamente iguais utilizando, com as bases Lagrangeanas da Figura 3, o método refinamento-h e wavelet primitivas. Uma base Lagrangeana hipotética, obtida de forma adaptativa com o método refinamento-h, é apresentada na Figura 8. Uma disposição equivalente de bases Lagrangeanas e
wavelets primitivas é apresentada na Figura 9. Posteriormente, serão
mostradas algumas vantagens de se utilizar wavelets primitivas ao invés do refinamento-h.
Os exemplos mostrados até o momento são relacionados a funções de uma variável, ou seja, unidimensionais, no entanto, deseja-se desenvolver um método que possa ser aplicado a simulações bidimensionais de dispositivos eletromagnéticos. As características mostradas até o momento também são válidas para este tipo de aplicação. Um exemplo de representação multi-resolução bidimensional é mostrado na Figura 10. Estas funções representam aproximações obtidas através do MEF do potencial elétrico, em Volts (𝑉), em um domínio L, formadas por bases Lagrangeanas de primeira ordem geradas a partir de discretizações com padrão que pode ser observado na Figura 11, onde são mostradas malhas para três níveis de resolução. São mostradas também, na Figura 12 e na Figura 13, exemplos de funções de base, ou escala, para cada uma das malhas. É importante notar que assim como no caso unidimensional,
wavelets primitivas para as bases bidimensionais são simplesmente
funções de escala em um nível de resolução superior localizadas entre os nós do mesmo nível de resolução. Para a malha da Figura 11 (b), numerando as wavelets primitivas da esquerda para a direita e de baixo para cima, tem-se, por exemplo, 𝑤2,21= 𝑣3,31.
O principal objetivo deste trabalho é construir bases wavelet para possibilitar a representação multi-resolução das aproximações obtidas
Figura 6. Fluxograma para implementação adaptativa do MEF com bases wavelet de suporte compacto. WSC=Wavelets de Suporte Compacto.
Figura 7. Fluxograma para implementação adaptativa do MEF com o método refinamento-h.
Figura 8. Bases Lagrangeanas adaptadas através do método refinamento-h.
Figura 9. Configuração equivalente à mostrada na Figura 8 utilizando bases wavelet primitivas.
Figura 10. Representação multi-resolução de uma função bidimensional em um domínio L. (a) 𝑓2, (b) 𝑑2, (c) 𝑑3 e (d) 𝑓4.
(a)
(c)
Figura 11. Malhas para as funções de escala Lagrangeanas bidimensionais que geram os espaços (a) 𝑉1, (b) 𝑉2 e (c) 𝑉3 para um domínio L.
(a)
(c)
Figura 12. Funções de escala (a) 𝑣1,5, (b) 𝑣2,7 e (c) 𝑣3,31 para as malhas da Figura 11. Azimute 0° e Elevação 90°.
(b)
Figura 13. Funções de escala (a) 𝑣1,5, (b) 𝑣2,7 e (c) 𝑣3,31 para as malhas da
Figura 11. Azimute −45° e Elevação 15°.
(a)
(c)
através das bases Lagrangeanas que surgem de malhas com o padrão mostrado na Figura 11. Como já mencionado, existem vários tipos de bases wavelet hoje em dia, no entanto, o objetivo é usar a teoria wavelet de segunda geração para criar uma base wavelet que tenha propriedades específicas, que serão mostradas posteriormente. As técnicas utilizadas neste trabalho são chamadas de lifting scheme e stable completion of the
wavelet basis. Estes métodos definem que cada função wavelet 𝑚, em um
nível de detalhe 𝑗, é uma combinação linear de funções de escala dos níveis de resolução 𝑗 e 𝑗 + 1. Mais especificamente, segundo o lifting
scheme, uma wavelet deve satisfazer a relação
𝑤̅𝑗,𝑚= ∑ 𝜑𝑗,𝑚,𝑘𝑣𝑗,𝑘 𝑘
+ 𝑣𝑗+1,𝑙 ∀𝑗, ∀𝑚, 𝑘 ∈ 𝐤𝑗, ∀𝑙 ∈ 𝐥𝑗, (12)
já segundo o método stable completion of the wavelet basis, 𝑤̅𝑗,𝑚= ∑ 𝜑𝑗,𝑚,𝑘𝑣𝑗,𝑘 𝑘 + ∑ 𝜙𝑗,𝑚,𝑙𝑣𝑖+1,𝑙 𝑙 ∀𝑗, ∀𝑚, 𝑘 ∈ 𝐤𝑗, 𝑙 ∈ 𝐥𝑗. (13)
Variáveis 𝜑𝑗,𝑚,𝑘 e 𝜙𝑗,𝑚,𝑙 são coeficientes que, objetivamente, determinam
as propriedades que cada função wavelet apresenta. Em (12) e (13), 𝐤𝑗 é
o conjunto de índices de funções de escala no nível de resolução 𝑗 e 𝐥𝑗 é o
conjunto índices de funções de escala do nível de resolução 𝑗 + 1 que estão localizadas entre os nós no nível de resolução 𝑗, ou seja, wavelets primitivas. A simbologia 𝑤̅ é utilizada para diferenciar uma função
wavelet criada a partir dos métodos da segunda geração e uma wavelet
primitiva 𝑤.
Wavelets que geram o espaço 𝑊3 para as bases unidimensionais
apresentadas na Figura 3, por exemplo, precisam satisfazer a condição (12) ou a condição (13) com 𝐤3= {1, 2, 3, 4, 5} e 𝐥3= {2, 4, 6, 8}. Já para
uma wavelet do espaço 𝑊2 para as bases bidimensionais apresentadas na
Figura 11, 𝐤2= {1, … , 21} e 𝐥2= {2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, … , 64}, por
exemplo.
Estas condições servem como ponto de partida para a criação de bases wavelet. Segundo a condição (12), uma wavelet pode ser formada por uma wavelet primitiva 𝑣𝑗+1,𝑙= 𝑤𝑗,𝑚, mais uma combinação linear de
funções de escala no mesmo nível de resolução 𝑣𝑗,𝑘. O nome lifting vem
da ideia de utilizar esta combinação para “elevar” as propriedades de uma
wavelet primitiva [33]. Já a condição (13) disponibiliza ainda mais graus
de liberdade adicionando uma combinação linear de wavelets primitivas à formulação de uma função wavelet – a condição (12) é um caso específico da condição (13). Com isto, é possível alcançar um número maior de propriedades, no entanto, este benefício frequentemente vem com o custo de que a função resultante tenha seu suporte estendido [34].
Uma base de multi-resolução é obtida se são construídas 𝑀𝑗
funções wavelet linearmente independentes – sendo que
𝑀𝑗 = 𝐾𝑗+1− 𝐾𝑗 (14)
– que satisfazem a condição (12) ou a condição (13). É importante notar que 𝑀𝑗 é também o número de elementos no conjunto 𝐥𝑗, ou seja, o número
de wavelets primitivas em um dado domínio. Como já mencionado, 𝐾𝑗+1
e 𝐾𝑗 são, respectivamente, os números de funções de escala nos níveis de
resolução 𝑗 + 1 e 𝑗.
Como é possível escolher quais índices 𝑘 e 𝑙 serão utilizados para construir uma determinada wavelet, e as funções de escala são compactas, é possível manipular o suporte resultante da função wavelet no processo de construção. Para ilustrar esta característica, duas wavelets criadas
através do método lifting scheme, utilizando as bases Lagrangeanas unidimensionais de primeira ordem, são mostradas na Figura 14. A função na Figura 14 (a) é definida como
𝑤̅3,𝑚= 𝜑3,𝑚,4𝑣3,4+ 𝑣4,8, (15)
onde 𝜑3,𝑚,4= −0,5, enquanto a função na Figura 14 (b) é definida como
𝑤̅3,𝑚= 𝜑3,𝑚,3𝑣3,3+ 𝜑3,𝑚,4𝑣3,4+ 𝑣4,6, (16)
onde 𝜑3,𝑚,3= −0,25 e 𝜑3,𝑚,4= −0,25. Ambas as wavelets apresentadas
são construídas para que seu valor médio seja nulo. Como pode ser observado, esta propriedade é alcançada na primeira função utilizando um suporte menor do que a segunda. No entanto, a segunda wavelet apresenta também a propriedade de simetria, o que é uma característica importante para várias aplicações e que não pode ser obtida utilizando apenas duas funções de escala como para a primeira wavelet. De forma geral, um maior número de propriedades pode ser alcançado quanto maior o número de graus de liberdade – funções de escala. Uma função wavelet de valor médio nulo e com a propriedade de antissimetria, criada a partir do método stable completion of the wavelet basis, é mostrada na Figura 15. Esta função é definida como
𝑤̅3,𝑚=
𝜑3,𝑚,2𝑣3,2+ 𝜑3,𝑚,4𝑣3,4+ 𝜙3,𝑚,4𝑣4,4+ 𝜙3,𝑚,6𝑣4,6,
(17)
onde 𝜑3,𝑚,2 = 1, 𝜑3,𝑚,4= −1, 𝜙3,𝑚,4= 0,25 e 𝜙3,𝑚,6= −0.25.
2.2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM BASES DE MULTI-RESOLUÇÃO
O MEF é um método numérico para resolução de EDPs [1]-[3]. Para muitas aplicações na área de eletromagnetismo computacional, é utilizada a chamada Equação de Poisson:
Figura 14. Funções wavelet de 𝑊3 formadas pelas funções de escala (a) 𝑣3,4 e
𝑣4,8, e (b) 𝑣3,3, 𝑣3,4 e 𝑣4,6 através do método lifting scheme.
(a)
Figura 15. Função wavelet de 𝑊3 formada pelas funções de escala 𝑣3,2, 𝑣3,4, 𝑣4,4
e 𝑣4,6 através do método stable completion of the wavelet basis.
onde ℎ é uma função que caracteriza o meio no domínio da equação, 𝑠 é uma determinada excitação e 𝑓 é a função incógnita. Para domínios bidimensionais, a equação (18) pode ser reescrita como
𝜕 𝜕𝑥ℎ 𝜕𝑓 𝜕𝑥+ 𝜕 𝜕𝑦ℎ 𝜕𝑓 𝜕𝑦= 𝑠. (19)
Aproximando a incógnita 𝑓 através de funções de base Lagrangeanas no nível de resolução 𝑗 e minimizando o resíduo da equação utilizando o método de Galerkin [1], é possível escrever a equação (19) na forma matricial
𝐯𝑗𝛂𝑗 = 𝐬𝑗, (20)
onde 𝐯𝑗 é a chamada matriz de rigidez, que é composta por interações com
respeito à forma fraca da EDP entre funções de base. Considerando a equação de Poisson, cada termo da matriz pode ser calculado como
∬ ℎ (𝜕𝑣𝑗,𝑎 𝜕𝑥 𝜕𝑣𝑗,𝑏 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣𝑗,𝑎 𝜕𝑦 𝜕𝑣𝑗,𝑏 𝜕𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝛺 1 ≤ 𝑎, 𝑏 ≤ 𝐾𝑗.
Além disso, o vetor 𝛂𝑗 = [𝛼𝑗,1 𝛼𝑗,2… 𝛼𝑗,𝐾𝑗]
𝑇 é a incógnita no sistema e
os termos do vetor coluna 𝐬𝑗𝑎 são descritos como
𝐬𝑗𝑎= ∬ 𝑠. 𝑣𝑗,𝑎𝑑𝑥𝑑𝑦 𝛺
1 ≤ 𝑎 ≤ 𝐾𝑗. (22)
Utilizando como funções de base as funções wavelet que possibilitam a representação multi-resolução em (2), o sistema (20) pode ser reescrito como
[ 𝐯𝑖 𝐜𝐯𝑖,𝐰𝑖 ⋯ 𝐜𝐯𝑖,𝐰𝑗−1 𝐜𝐰𝑖,𝐯𝑖 𝐰𝑖 ⋯ 𝐜𝐰𝑖,𝐰𝑗−1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝐜𝐰𝑗−1,𝐯𝑖 𝐜𝐰𝑗−1,𝐰𝑖 … 𝐰𝑗−1 ] [ 𝛂𝑖 𝛃𝑖 ⋮ 𝛃𝑗−1 ] = [ 𝐬𝑖 𝐭𝑖 ⋮ 𝐭𝑗−1 ], (23)
onde as submatrizes do lado esquerdo da igualdade são definidas como 𝐰𝑗𝑎,𝑏 = ℬ(𝑤𝑗,𝑎 , 𝑤𝑗,𝑏) 1 ≤ 𝑎, 𝑏 ≤ 𝑀𝑗, (24) 𝐜𝐯𝑎,𝑏𝑗,𝐰𝑘= ℬ(𝑣𝑗,𝑎 , 𝑤𝑘,𝑏) 1 ≤ 𝑎 ≤ 𝐾𝑗, 1 ≤ 𝑏 ≤ 𝑀𝑘, (25) 𝐜𝐰𝑗,𝐰𝑘 𝑎,𝑏 = ℬ(𝑤𝑗,𝑎 , 𝑤𝑘,𝑏) 1 ≤ 𝑎 ≤ 𝑀𝑗, 1 ≤ 𝑏 ≤ 𝑀𝑘, 𝑗 ≠ 𝑘. (26) Além disso, 𝛃𝑗 = [𝛽𝑗,1 𝛽𝑗,2… 𝛽𝑗,𝑀𝑗]
𝑇 e os termos do vetor coluna 𝐭 𝑗 são
𝐭𝑗𝑎= ∬ 𝑠. 𝑤𝑗,𝑎𝑑𝑥𝑑𝑦 𝛺
1 ≤ 𝑎 ≤ 𝑀𝑗. (27)
Para as equações de (21) até (27), os índices sobrescritos 𝑎 e 𝑏 representam linha e coluna, respectivamente, de uma matriz ou um vetor. Nestes casos, estes índices coincidem com a numeração designada às funções de escala e wavelets em cada nível de resolução 𝑗 – a linha 𝑎 da matriz 𝐯𝑗, por exemplo, contem interações com a função de escala 𝑣𝑗,𝑎.
É importante lembrar que se pretende utilizar bases wavelet para possibilitar a aproximação de uma determinada função de forma incremental e adaptativa. Isto é realizado através de um processo iterativo, onde em cada iteração 𝑗, um vetor 𝛃𝑗 é calculado com o objetivo de gerar
um novo nível de detalhe 𝑑𝑗. Por causa da estrutura do sistema matricial
(23), mais especificamente das submatrizes 𝐜, 𝛂𝑖 e todos os vetores 𝛃 que
foram computados nas iterações anteriores são obrigatoriamente recalculados em cada iteração. Para ilustrar o processo iterativo, é mostrada na Figura 16 a evolução das bases wavelet primitivas em três passos de um algoritmo adaptativo hipotético para as bases Lagrangeanas unidimensionais. São mostrados também os sistemas matriciais a serem resolvidos em cada iteração para a obtenção do nível de detalhe.
O acoplamento gerado pelas matrizes 𝐜 é uma característica que causa sobrecarga computacional e está presente no método
refinamento-h também. Neste último, a solução é recalculada mesmo em partes do
domínio que não necessitam de refinamento. São mostradas, na Figura 17, as bases Lagrangeanas adaptadas em três passos do refinamento-h para um algoritmo equivalente ao das bases wavelet da Figura 16.
Uma vantagem presente no algoritmo adaptativo com bases
wavelet é que a criação dos sistemas lineares é mais simples e requer um
menor custo computacional. Enquanto no refinamento-h os sistemas matriciais são reconstruídos por inteiro em cada iteração, para as bases
wavelet é necessário apenas construir submatrizes que estão relacionadas
a interações de wavelets que são adicionadas à base em cada iteração. Como as funções presentes na base nas iterações anteriores não são alteradas, todas as interações entre estas são preservadas. As submatrizes adicionadas em cada iteração estão destacadas na Figura 16.
Além disso, em casos bi e tridimensionais, o método
Figura 16. Exemplos de funções de base e sistemas lineares resultantes para o MEF adaptativo utilizando funções wavelet primitivas em três iterações.
(a)
(c)
Figura 17. Resolução equivalente ao da Figura 16 com o método refinamento-h.
(b)
onde existem nós “pendurados”. Este é um processo que requer um significativo esforço computacional e não é necessário quando se utiliza bases wavelet primitivas.
2.3 CONCLUSÃO
A característica principal das bases wavelet é que estas possibilitam uma representação multi-resolução de uma determinada função. Esta propriedade permite o refinamento incremental – de forma iterativa – desta função, o que é importante para algoritmos adaptativos. Além disso, as funções wavelet favorecem implementações adaptativas por representar detalhes em uma função de forma local.
Ao se aplicar estas propriedades ao MEF, por exemplo, é possível construir um algoritmo adaptativo que proporciona um ganho computacional, mesmo que funções wavelet simples – as chamadas
wavelets primitivas – sejam utilizadas. No próximo capítulo, são
apresentadas outras características importantes para a melhoria de desempenho do método, e funções wavelet com estas características são construídas a partir de técnicas que nasceram na chamada segunda geração da teoria wavelet.
3 BASES WAVELET ORTOGONAIS SEGUNDO OPERADOR As bases wavelet primitivas possibilitam uma implementação adaptativa do MEF que, por si só, já apresenta algumas vantagens com relação a outros métodos adaptativos populares. Como mostrado no capítulo anterior, o sistema matricial resultante do método é acoplado entre níveis de resolução, o que causa sobrecarga computacional. Em uma situação em que não existe acoplamento, cada nível de detalhe é calculado independentemente de todas as informações obtidas nas iterações anteriores. Abaixo estão os sistemas a serem resolvidos em cada iteração:
Preprocessamento: 𝐯𝑖𝛂𝑖= 𝐬𝑖
Iteração 1: 𝐰𝑖𝛃𝑖 = 𝐭𝑖
⋮
Iteração 𝑗 − 𝑖: 𝐰𝑗−1𝛃𝑗−1= 𝐭𝑗−1.
(28)
Estes sistemas possuem dimensão significativamente menor quando comparado com um sistema acoplado, o que leva a melhorias em custo computacional e principalmente uso de memória.
Esta propriedade acontece naturalmente para bases Lagrangeanas de primeira ordem com wavelets primitivas ao se resolver a Equação de Poisson unidimensional. No entanto, para a sua versão bidimensional, que é o escopo deste trabalho, isto não acontece [36].
Considerando a composição das matrizes 𝐜 mostradas no capítulo anterior, o desacoplamento para a Equação de Poisson bidimensional acontece caso a condição
∬ ℎ ( 𝜕𝑣𝑗,𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑤̅𝑗,𝑚 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣𝑗,𝑘 𝜕𝑦 𝜕𝑤̅𝑗,𝑚 𝜕𝑦 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝛺 = 0 ∀𝑗, ∀𝑘, ∀𝑚 (29)
seja satisfeita. Esta equação representa a condição de ortogonalidade segundo o operador de Laplace para uma base wavelet, e não é satisfeita com wavelets primitivas. Esta condição envolve as interações que compõem especificamente a matriz 𝐜𝐯𝑗,𝐰𝑗, no entanto, todas as outras
wavelet em níveis de detalhes diferentes – se tornam nulas se a condição
é satisfeita por causa da simetria da Equação de Poisson, da relação complementar entre os espaços 𝑊𝑗 e 𝑉𝑗 – propriedade descrita em (8) – e
da propriedade descrita em (5).
Para produzir um sistema matricial multi-resolução desacoplado, é necessário construir wavelets que satisfaçam a condição (29) com respeito a todas as funções de escala no mesmo nível de resolução [37]. Mais especificamente, como é possível manipular o suporte de uma dada função wavelet através da escolha de uma configuração de funções de escala dos conjuntos 𝐤𝑗 e 𝐥𝑗, a condição precisa ser aplicada apenas às
funções 𝑣𝑗,𝑘 que se sobrepõem a este suporte – funções de escala que não
se sobrepõem automaticamente satisfazem a condição. Para uma dada configuração de funções de escala 𝑛, são definidos 𝐤𝑗,𝑛 = {𝑘𝑗,𝑛1 , 𝑘𝑗,𝑛2 , … }
e 𝐥𝑗,𝑛 = {𝑙𝑗,𝑛1 , 𝑙𝑗,𝑛2 , … } como os subconjuntos de 𝐤𝑗 e 𝐥𝑗, respectivamente,
nos quais são os índices das funções de escala escolhidos para formar uma função wavelet, e 𝐨𝑗,𝑛 = {𝑜𝑗,𝑛1 , 𝑜𝑗,𝑛2 , … } como o subconjunto de 𝐤𝑗
representando as funções de escala que se sobrepõem ao suporte resultante da wavelet com esta configuração. Escrevendo 𝑤̅𝑗,𝑚 em (29)
como a condição do método stable completion (13) leva a um sistema de equações que pode ser escrito na forma matricial como
1 [𝐩𝑗,𝑛 𝐪𝑗,𝑛] [ 𝛗𝑗,𝑛 𝛟𝑗,𝑛] = 0, (30) onde 𝐩𝑗,𝑛 𝑎,𝑏 = ℬ (𝑣𝑗,𝑜𝑗,𝑛𝑎 , 𝑣𝑗,𝑘𝑗,𝑛𝑏 ) 1 ≤ 𝑎 ≤ 𝑂𝑗,𝑛 , 1 ≤ 𝑏 ≤ 𝐾𝑗,𝑛, (31) 𝐪𝑗,𝑛 𝑎,𝑏 = ℬ (𝑣𝑗,𝑜𝑗,𝑛𝑎 , 𝑣𝑗+1,𝑙𝑗,𝑛𝑏 ) 1 ≤ 𝑎 ≤ 𝑂𝑗,𝑛, 1 ≤ 𝑏 ≤ 𝐿𝑗,𝑛, (32) 𝛗𝑗,𝑛𝑎,𝑏= 𝜑𝑗,𝑚 𝑗,𝑛 𝑏 ,𝑘 𝑗,𝑛𝑎 1 ≤ 𝑎 ≤ 𝐾𝑗,𝑛, 1 ≤ 𝑏 ≤ 𝑀𝑗,𝑛, (33) e
𝛟𝑗,𝑛𝑎,𝑏 = 𝜙𝑗,𝑚
𝑗,𝑛 𝑏 ,𝑙
𝑗,𝑛𝑎 1 ≤ 𝑎 ≤ 𝐿𝑗,𝑛, 1 ≤ 𝑏 ≤ 𝑀𝑗,𝑛. (34)
Em (33) e (34), 𝐦𝑗,𝑛= {𝑚𝑗,𝑛1 , 𝑚𝑗,𝑛2 , … } é o conjunto de índices das
funções wavelet que deve ser gerado para a configuração 𝑛. Variáveis 𝐾𝑗,𝑛, 𝐿𝑗,𝑛, 𝑀𝑗,𝑛 e 𝑂𝑗,𝑛 representam o número de elementos para os
conjuntos 𝐤𝑗,𝑛, 𝐥𝑗,𝑛, 𝐦𝑗,𝑛 e 𝐨𝑗,𝑛, respectivamente. É importante notar que
para as matrizes de (31) até (34) as linhas 𝑎 e colunas 𝑏 não coincidem com a numeração das funções de escala, por isso são definidos estes conjuntos – por exemplo: conjunto 𝐤𝑗,𝑛 com elementos 𝑘𝑗,𝑛𝑎 .
As matrizes de coeficientes 𝛗𝑗,𝑛 e 𝛟𝑗,𝑛 podem ser obtidas
calculando o espaço nulo da matriz [𝐩𝑗,𝑛 𝐪𝑗,𝑛]. Apesar que se tem a
liberdade de escolher quais funções de escala irão compor as funções
wavelet, é possível que uma determinada configuração não seja capaz de
gerar wavelets com a propriedade desejada. Por outro lado, é possível que uma determinada configuração gere mais do que apenas uma wavelet, motivo pelo qual são definidos os conjuntos 𝐦𝑗,𝑛. De forma geral, a
habilidade de uma dada configuração de funções de escala gerar coeficientes que desacoplam o sistema multi-resolução depende do condicionamento da matriz [𝐩𝑗,𝑛 𝐪𝑗,𝑛] – mais especificamente, o
número de funções wavelet geradas é igual ao número de linhas linearmente dependentes. Uma discussão mais detalhada sobre o condicionamento desta matriz pode ser encontrada em [36]. De forma geral, propõe-se testar configurações 𝑛 até que sejam encontradas 𝑀𝑗 wavelets linearmente independentes que satisfaçam a condição de
ortogonalidade segundo operador.
Neste capítulo, para exemplificar a utilização do método descrito acima, propõe-se a construção de uma base wavelet ortogonal segundo o operador de Laplace para o domínio L da Figura 18. A solução da Equação de Poisson para este domínio gera as aproximações e funções de detalhe mostradas na Figura 10. A base criada será a que gera 𝑊2 de acordo com
as malhas da Figura 11. Para facilitar o processo, os nós do conjunto 𝐤2 e
𝐥2 são ilustrados na Figura 19.
Como será mostrado posteriormente, a base criada para este espaço servirá tão bem para níveis de detalhes superiores, ou seja, o processo de criação de funções wavelet será feito, majoritariamente, na parte de pré-processamento do programa. Além disso, os conceitos mostrados neste capítulo darão base para a aplicação do método a qualquer simulação bidimensional e até tridimensional.
Figura 18. Domínio utilizado como referência para construção de bases wavelet através da segunda geração da teoria wavelet.
Figura 19. Distribuição de nós dos conjuntos 𝐤2 e 𝐥2 para o domínio na Figura
