LIVRO DE CALCULO II

1 Diferencial ...1

2 Integral Indefinida ...10

3 Integral Definida ...40

4 Aplicações da Integral Definida ...74

5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas ...103

6 Integração por Partes ...127

7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas ...144

8 Funções Trigonométricas Inversas ...157

9 Integrais por Substituição ...187

Capítulo

1

Diferencial

Introdução

Continuando o estudo das derivadas, das tangentes às curvas e o estudo dos infinitésimos, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, criaram o Cálculo Diferencial e Integral. Euler, Lapla-ce, Cauchy e outros, a partir desses estudos, deram ao cálculo a sua forma atual.

Neste capítulo, estudaremos a diferencial de uma função, sua definição, interpretação e aplicações.

Acréscimos de uma função

Consideremos a função y = f(x), onde x é a variável indepen-dente e y a variável depenindepen-dente. Na função y = f(x), quando a variável independente sofre variações, a variável dependente também estará sujeita à comportamento semelhante.

Se, por exemplo, a variável x variar de x₁ para x₂, isto é, um , a variável y passará de y₁ para y₂, sofrerá uma variação ∆y=y2−y1 ou ∆y= f(x2)− f(x1). ∆ y y y 1 2 Y 0 ∆ y = y1 – y2 ∆ x = x2 – x1 x x x ∆ x 1 2 y = f(x)

Figura 1.1 Acréscimos de uma função.

Diferencial de uma função ∆

Dada a função y = f(x) derivável, denominamos diferencial da função e indicamos por dy, ao produto de sua derivada f´(x) pelo acréscimo arbitrário ∆x da sua variável independente.

Calculando a diferencial da função identidade y = x, te-mos:

Então:

Considerando a expressão e dividindo os dois membros por dx, teremos:

Isso nos mostra que a derivada da função, f´(x), pode ser também expressa como o quociente entre as diferenciais dy e dx.

Interpretação geométrica da diferencial

Y ∆ y y2 y 1 0 dx x x 1 2 A X Tangente dy B D C ∆ x α α y = f(x)

Mas, , então:

Da interpretação geométrica e das considerações, pode-mos ver que a diferencial determina o acréscimo aproximado da função quando a variável independente recebe um acrésci-mo. No gráfico, fica claro que, enquanto ∆x = dx, ∆y≠dy, mas quando x→0, dy tende a se aproximar de ∆y.

O erro cometido na substituição de ∆y por dy pode ser des-prezado por ser muito pequeno, tornando-se cada vez menor na medida em que dx for diminuindo.

Aplicação da diferencial

Exemplo:

Usando o diferencial de uma função, determinar aproximada-mente a raiz quadrada de 83.

A diferencial: dy = acréscimo aproximado Então: Considerando: Temos: Exercícios exemplos:

1) Calcular a diferencial das funções:

Solução:

2) Dada a função para e : a) Calcular o valor de ∆y.

Solução:

b) Calcular o valor de dy. Solução:

c) Calcular a diferença entre dy e ∆y em módulo. Solução:

A diferença é pequena e será sempre menor na medida em que dx for diminuindo.

3) Calcular a , usando diferencial.

Podemos associar a função .

Solução: , acréscimo aproximado de y. e Sendo: x = 25 e , Logo: Valor real:

4) Calcular a variação que deve sofrer o lado de um qua-drado, que mede 4 cm, para que sua área não sofra uma variação maior do que 1 cm2_.

Temos: l = 4 cm, dA = 1 cm2

A = l2

l l l l l

5) Calcular quanto deve ser o aumento da aresta de um cubo para que o seu volume aumente 12%.

do volume =0,12V , mas V = a3

ou 4% de a.

Exercícios:

1) Calcular a diferencial das funções:

2) Dada a função para _e .

a) Calcular ∆y. b) Calcular dy.

c) Calcular a diferença . 3) Calcular a , usando diferencial.

4) Calcular a variação que deve sofrer o raio de um círculo, que mede 10 cm, para que sua área não sofra uma varia-ção maior do que 2 cm2_.

5) Calcular quanto deve ser aumentado o raio de uma esfera para que seu volume aumente 15%.

ou 5% do raio

Referências Bibliografias

CUNHA, Felix da e outros. Matemática Aplicada. Editora Atlas. São Paulo.

IEZZI, Gelson. Elementos de Matemática Elementar. Editora Atlas. São Paulo.

LEYTHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. Editora Harbra. São Paulo.

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Editora Mc Graw-Hill. São Paulo.

TAYLOR, Howard E. e outro. Cálculo Diferencial e I n t e g r a l . Editorial Limusa.

Capítulo

2

Integral Indefinida

Introdução

Na disciplina de Cálculo I, o estudo se concentrou no limite e na derivada de funções. A partir da derivada verificou-se como se determina a taxa de variação de uma função, o coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto dado e a definição de velocidade. Essa é apenas uma das partes do Cálculo, chamada de Cálculo Diferencial. A outra parte, cha-mada de Cálculo Integral, basicamente consiste no problema inverso da derivada, isto é, encontrar uma função cuja deri-vada conhecemos. Por meio do Cálculo Integral, veremos, no Capítulo III, como se calcula a área de uma região do plano 1 _{Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil.}

xy e, em consequência, a resolução de inúmeros problemas. Depois, a partir do Teorema Fundamental do Cálculo, veremos qual a relação que existe entre o Cálculo Diferencial e o Cál-culo Integral.

Neste capítulo, iniciaremos o estudo do Cálculo Integral por meio da definição da antiderivada e suas propriedades operatórias e regras para o seu cálculo.

2.1 Definição de antiderivada

Uma função F(x) é uma antiderivada ou primitiva de uma função f(x) se

F'(x) = f(x)

para qualquer x pertencente ao domínio de f.

Por exemplo:

ÂA função é uma antiderivada ou primitiva

da função , pois .

ÂA função é uma antiderivada ou

pri-mitiva da função , pois .

ÂA função _{é uma antiderivada ou}

ÂA função é uma antiderivada ou

pri-mitiva da função _{, pois} .

ÂA função é uma antiderivada ou

pri-mitiva da função , pois .

Assim, podemos escrever infinitas funções F(x) que são an-tiderivadas ou primitivas da mesma função , cada uma diferente da outra por uma constante, que simbolizamos por C. Então, podemos dizer que a função

representa todas as antiderivadas ou primitivas da função , pois:

O conjunto de todas as antiderivadas ou primitivas de f(x) é chamado de integral indefinida de f(x) em relação à variável x e é escrita por:

O símbolo

∫

é o símbolo da integral. A função f(x) é o integrando da integral e dx indica que se está integrando em relação à variável x.

Assim, simbolizamos a integral de uma função f(x) em rela-ção à variável x da seguinte maneira:

, onde C é chamada de constante de integração.

No caso do exemplo dado no início do capítulo, escre-vemos: integrando antiderivada ou primitiva constante de integração A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Verificamos esse fato substituindo-se F'(x) no integra-do, obtendo-se:

(a integração é o inverso da dife-renciação)

Ainda, se , então podemos dizer que:

(a diferenciação é o inverso da inte-gração)

Assim, podemos obter fórmulas de integração diretamente das fórmulas de diferenciação, fazendo a operação inversa. O Quadro 2.1 a seguir enumera várias integrais simples ao lado das fórmulas das derivadas que as originaram.

Propriedades da integral indefinida:

(a) Quando tivermos a integral do produto de uma cons-tante por uma função, a conscons-tante pode ser deslocada para fora da integral, multiplicando-a:

(b) A integral de uma soma é igual à soma das integrais:

(c) A integral de uma diferença é igual à diferença das integrais:

2.2 Exemplos

(fórmula 3, com n = -1/2)

(propriedades (b) e (c) e fórmula 3)

2. Em cada caso a seguir, encontre a função f(x) conforme as condições iniciais:

a) f ('x)=4x−2, com f( =2) 8.

Veja que temos a derivada da função f(x) e queremos a função. Para obter essa função, basta integrarmos a função

) ('x f : Como f( =2) 8: 4 4 8 8 8 4 8 8 2 . 2 2 . 2 2 = + − = = + − = + − C C C C Logo: f(x)=2x2−2x+4+4 b) _f' ('_x)_=x2 ₋6_x+2_{, com f (' =1) 2 e f( =0) 3.}

Agora, conhecemos a derivada segunda. Integrando a derivada segunda f' x(' )encontramos a derivada pri-meira f ('x). Após, integramos f ('x) e encontramos

). (x

f Em cada passo, devemos usar as condições ini-ciais dadas para calcular as constantes de integração. Então:

Como f (' =1) 2: 3 8 3 1 3 2 2 2 2 3 3 1 2 1 . 2 1 . 3 3 13 2 = − + − = = + + − = + + − C C C C Logo: 3 8 2 3 3 ) ('_{x =} x3 _{− x}2_{+ x+} f Calculando f(x): Como f( =0) 3: c) f' ('θ)=senθ , com f ('π)=2 e f(π)=5.

Conhecemos a derivada segunda. Integrando a deri-vada segunda f' x(' )encontramos a derivada primeira

) ('x

f . Após, integramos f ('x) e encontramos Em cada passo devemos usar as condições iniciais dadas para calcular as constantes de integração. Então:

∫

→ =− + = (' ) cos ) (' sen d f C f θ θ θ θ θ Como f ('π)=2: 1 2 1 2 ) 1 ( 2 ) ( cos = = + = + − − = + − C C C C π Logo: f ('θ)=−cosθ +1 Calculando f(θ):

(

)

1 ) ( 1 cos ) ( C sen f d f + + − = + − =

∫

θ θ θ θ θ θ Como f(π)=5: π π π π − = = + + − = + + − 5 5 0 5 ) ( 1 1 1 C C C sen Logo: f(θ)=−senθ +θ +5−π

2.3 Exercícios propostos I

1. Calcule as integrais:

2. Em cada caso a seguir encontre a função f(x) conforme as condições iniciais: a) f' ('x)=x, com f (' =0) 1 e f( =0) 0. b) _f' ('_x)_=x3₋2_x+1_{, com f (' =0) 1 e f( =0) 0.} c) _f' ('_x)_=x3₋2_x+1_{, com f (' =1) 0 e f( =1) 4.} d) f' ('θ)=cosθ, com 1 2 ' =     π f e 6 2=    π f .

3. Uma partícula começa a se mover em linha reta com

ace-leração 2 2 1 4 ) (t t

a = − (m/s2_{). Sabendo que inicialmente a}

partícula estava em repouso e que s(0) = 20 m, determine as funções velocidade e posição.

2.4 Respostas dos exercícios propostos I

1.

2.5 Integração por substituição ou

mudança de variável

O método da substituição ou mudança de variável é utilizado quando no integrando temos uma função composta f_og. Para isso, vamos examinar a regra da cadeia usada para calcular a derivada de funções compostas no ponto de vista da antide-rivação.

Seja, então, a função F uma antiderivada de f e que g

seja uma função diferenciável. A derivada de F( xg( )) pode, pela regra da cadeia, ser expressa como

e, em forma integral, pode ser escrita como

sabendo que F é uma entiderivada de f , podemos escrever ainda na forma

Para facilitar nossos cálculos, será útil fazer u = g(x) e

es-crever ou . Assim, a última integral

pode ser escrita na forma

O processo de escrever a integral na forma acima com a substituição de u = g(x) e é denominado méto-do da substituição ou mudança de variável u.

2.6 Exemplos

Exemplo 1: Calcule

Solução: Fazendo

Substituindo na integral dada:

Voltando à variável x, substituímos u por 5 +x 3. Daí o resulta-do final fica: x+ +_C 5 ) 3 5 ( 5 .

Veja que escolhemos u=5 +x 3 conveniente para substituir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de u

e du. Após integramos como se fosse uma integral simples, usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim substituímos

upela função de x para voltarmos à variável original da in-tegral.

Para verificarmos se a integral está correta, basta derivar o resultado e comparar com o integrando (que devem ser iguais):

Exemplo 2: Calcule

Solução: Fazendo

Substituindo na integral dada:

Voltando à variável x, substituímos u por 7_x2 ₋1_{. Daí o}

resultado final fica:

Veja que escolhemos _u=7_x2₋1 _{conveniente para}

substi-tuir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de

u e du. Após integramos como se fosse uma integral simples, usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim substituímos

upela função de x para voltarmos à variável original da in-tegral.

Exemplo 3: Calcule

Solução:

Fazendo

Substituindo na integral dada:

Veja que escolhemos u 2= x conveniente para substituir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de u e du. Após integramos como se fosse uma integral simples, usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim substituímos upela função de x para voltarmos à variável original da integral.

Verifique você o resultado, derivando.

Exemplo 4: Calcule

Solução:

Substituindo na integral dada:

Voltando à variável x fica: ₍x3−₂₎3 +C

9 2

Exemplo 5: Calcule

Solução:

Fazendo

Exemplo 6: Calcule

Solução:

Fazendo

Substituindo na integral dada:

Exemplo 7: Calcule

Solução:

Fazendo

Exemplo 8: Calcule

Solução:

Fazendo

Substituindo na integral dada:

Exemplo 9: Calcule

Solução:

Fazendo

Exemplo 10: Calcule

Solução: neste caso vamos usar a relação: Então temos:

Fazendo

Substituindo na integral dada:

Logo: Sabendo que x cos 1 x sec = , temos:

Então a integral da tangente também pode ser escrita como:

Exemplo 11: Calcule

Nesse caso, não temos uma substituição mais evidente. Mas podemos fazer:

Substituindo na integral dada:

2.7 Exercícios propostos II

1. Calcule as integrais:

2. Sabendo que f´(x)=2x+7 e que f(2) = 0, calcule f(x). 3. Sabendo que f´´(x)=2−6xe que e f(0) = 1,

calcule f(x).

4. A equação da velocidade de um corpo é v(t) = 5 + 9,8t, em unidades SI. Sabendo que s(0) = 10 m, determine a equação da posição s em função do tempo.

5. Sabendo que f´(t)=sen(πt), com f( =2) 2, determine 6. No instante t = 0, um carro andando a uma velocidade

de 96 pés/s começa a diminuir sua velocidade com desa-celeração constante a = -12 pés/s2_{. Determine a função}

velocidade v(t) e a distância percorrida até parar.

2.9 Tabela – derivadas, integrais e

identidades trigonométricas

ÂDerivadas: sejam u e v funções deriváveis de x e n

constante. 1. y u= n _{⇒ y nu u}'₌ n−1 ' . 2. y u v= ⇒ y u v v u'= ' + ' . 3. y u v = y' u v v u' ₂ ' v − ⇒ = . 4. _{y a=} u _{⇒ y'=a}u_{(ln ) ',a u}

(

_a>0,a≠1

)

_. 5. y e= u _{⇒ y e u}'₌ u '_. 6. y=logau ⇒ y'= u_u'logae.

7. y=lnu y' 1u' u ⇒ = . 8. y u= v _{⇒ y v u u u'=} v−1 _'+ v_{(ln ) 'u v .} 9. y=senu ⇒ y u'= 'cosu. 10. y=cosu ⇒ y'= −u'senu. 11. y=tgu ⇒ y u'= 'sec2u. 12. y=cotgu _{⇒ y'= −u'cosec}2_u. 13. y =secu ⇒ y u'= 'sec tgu u. 14. y=cosecu ⇒ y'= −u'cosec cotgu u. 15. y arc= senu 2 ' ' 1 u y u ⇒ = − . 16. y arc= cosu 2 ' ' 1 u y u − ⇒ = − . 17. y arc u= tg ' ' ₂ 1 u y u ⇒ = + . 18. y arc= cotg u '₂ 1 u u − ⇒ + . 19. y arc= sec ,u u ≥1 2 ' ' , 1 1 u y u u u ⇒ = > − .

20. y arc= cosec ,u u ≥1 2 ' ' , 1 1 u y u u u − ⇒ = > − . ÂIntegrais 1.

_∫

du u c= + . 2. 1 , 1 1 n n u u du c n n + = + ≠ − +

∫

. 3. du lnu c u = +

∫

. 4. , 0, 1 ln u u a a du c a a a = + > ≠

∫

. 5.

_∫

_{e du e}u ₌ u_{+c. 6.}

_∫

_{senu du= −cosu c+ .} 7.

_∫

cosu du=senu c+ . 8.

∫

tgu du=ln secu c+ . 9. _∫cotgu du=ln senu c+ . 10.

_∫

secu du=ln secu+tgu c+ . 11.

∫

cosecu du=ln cosecu−cotgu c+ .

12.

_∫

sec tgu u du=secu c+ .

13.

∫

cosec cotgu u du= −cosecu c+ . 14.

∫

_sec2_{u du=tgu c+ .}

15.

_∫

_cosec2_{u du= −cotgu c+ .} 16. ₂du ₂ 1arctgu c u +a = a a+

∫

. 17. 2 2 2 2 ₂1 ln , du _{u a c u a} u a a u a − = + > − +

∫

. 18. 2 2 2 2 ln du _{u u a c} u +a = + + +

∫

. 19. 2 2 1 _sec du _arc u _c a a u u −a = +

∫

. 20. 2 2 2 2 ln du _{u u a c} u −a = + − +

∫

. 21. 2 2 2 2 sen , du _arc u _{c u a} a a −u = + <

∫

. ÂFórmulas de Recorrências

1. _senn_{au du} senn 1aucosau n 1 _senn 2_{au du}

an n − − −   = − _{+  }  

∫

∫

.

2. _cosn_{au du} senaucosn 1au n 1 _cosn 2_{au du}

an n − − −   = _{+  }  

∫

∫

. 3. _tg 1 _tg 2 ( 1) n n_{au du} tg au n _{au du} a n − − = − −

∫

∫

.

4. _cotg cotg 1 _cotg 2 ( 1) n n_{au du} au n _{au du} a n − − = − − −

∫

∫

.

5. _sec sec 2 2 _sec 2

( 1) 1 n n_{au du} au tg au n n _{au du} a n n − − −   = _{+  } −  − 

∫

∫

.

6. _cosec cosec 2 cotg 2 _cosec 2

( 1) 1 n n_{au du} au au n n _{au du} a n n − − −   = − _{+  } −  − 

∫

∫

. ÂIdentidades Trigonométricas

1. _sen2_x+cos2_{x=1. 2. 1 tg+} 2_x=sec2 _x.

3. _{1 cotg+} 2_x=cosec2_{x. 4. sen}2 1 cos 2

2 x x= − . 5. _cos2 1 cos 2 2 x

x= + . 6. sen 2x=2 sen cosx x.

7. 2 sen cosx y=sen

(

x y−

)

+sen x y

(

+

)

. 8. 2 sen senx y=cos

(

x y−

)

−cos

(

x y+

)

. 9. 2 cos cosx y=cos

(

x y−

)

+cos

(

x y+

)

.

Referências

Referências básicas

STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Pioneira Thom-son Learning, 2006.

ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Vol. 1. Porto Alegre: Bookman, 2007.

ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de uma variável. Vol. 1. Rio de Janeiro: Editora LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2002.

Referências complementares

FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Pau-lo: Prentice Hall. 2006. Graw-Hill. 2007.

LEITOHLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 3ª ed. São Paulo: Makron Books, 1996.

MUNEM, Mustafá, FOULIS, David. Cálculo. Vol. 1. Rio de Ja-neiro: LTC, 1992.

SIMONNS, George F. Cálculo com geometria analítica. Vol. I. São Paulo: Mc

SWOKOWSKY, Earl W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. São Paulo:

Leituras e sites recomendados

THOMAS, George B. – Cálculo. Vol. I. São Paulo. Addison Wesley, 2005.

GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. ed. Rio de Janeiro: LTC,2003. v. 1 à 3.

HOFFMANN, L. D. Um curso moderno de cálculo e suas apli-cações. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v.1.

www.impa.br www.sbem.com.br

Capítulo

3

Integral Definida

Â

Â

N

este capítulo, iniciaremos com um problema para chegarmos ao cálculo de áreas de figuras planas. Veremos a Soma de Riemann, a definição de Integral De-finida, a interpretação geométrica e suas propriedades. Estudaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração.

3.1 Problema

Consideremos a função: _f(_x)_=x2 ₊1_{, contínua, cujo gráfico}

é dado abaixo.

Como calcular a área A da região entre o gráfico da fun-ção f(x)= x² + 1 e o eixo x, no intervalo de x=0 a x=22_.

Figura 3.1 Área de uma região.

Observe que não é fácil encontrar a área de uma região com lados curvos!

O cálculo dessa área pode ser feito por aproximação da figura dada por meio de outras figuras cujas áreas são conhe-cidas até a exaustão, isto é, teremos que utilizar o conceito de

limite. Utilizaremos, nesse caso, o retângulo para facilitar os cálculos.

Primeiramente, vamos construir retângulos com a base no eixo x igual à largura da faixa de domínio e dividir o intervalo [0, 2] em 2 subintervalos, usando como altura a imagem do extremo direito de cada um desses subintervalos. Poderíamos usar como altura a imagem do extremo esquerdo ou até do centro de cada um desses subintervalos, mas vamos optar por usar a imagem do extremo direito.

Os subintervalos serão [0,1] e [1,2] e as alturas são os valores de _f(_x)_{= x}2 ₊1_{no extremo direito de cada um, isto é:}

2 1 1 ) 1 ( ₌ 2 _{+ =} f e _f(2)₌22 ₊1₌5.

Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, obtemos 7 u.a.

Agora, vamos construir retângulos com a base no eixo x e dividir o intervalo [0,2] em 4 subintervalos.

Figura 3.3 Decomposição da região em quatro retângulos.

Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, obtemos 5,75 u.a.

Vamos construir retângulos com a base no eixo x e dividir o intervalo [0,2] em 8 subintervalos.

Figura 3.4 Decomposição da região em oito retângulos.

Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, obtemos 5,19 u.a.

Podemos aproximar ainda mais, construindo retângulos com a base no eixo x e dividindo o intervalo [0,2] em 16 su-bintervalos.

Figura 3.5 Decomposição da região em 16 retângulos.

Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos, obtemos 4,90 u.a.

Assim, podemos observar que conforme aumentamos a quantidade de retângulos, o somatório das áreas desses retân-gulos nos levam a aproximações cada vez melhores da área A da região entre o gráfico da função e o eixo x.

Logo, podemos definir a área A como o limite das somas das áreas dos retângulos aproximantes, quando a base do re-tângulo no eixo x tender a zero:

3.2 Soma de Riemann

Chamamos de Soma de Riemann o somatório

∑

= ∆ = n k k k x x f S 1 *₎ ( , onde:

 n é o número de subintervalos no intervalo

[ ]

a,b ; Â ∆x_k é o tamanho de cada subintervalo e

 *

k

x é um ponto qualquer do subintervalo.

Assim, diminuindo cada vez mais o tamanho dos subinter-valos, fazendo a base tender a zero, obtemos a área A exata.

Quando o limite

∑

= ∞ → ∆ n k k k n ₁ f x x *₎ (

lim existe, ele é chamado de

integral definida de a até b.

3.3 Definição de integral definida

Se f for uma função contínua definida por , dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais a ∆x=( −b a)/n. Seja x₀ =a,x₁,x₂,...,x_n =b os extremos desses subintervalos, vamos escolher os pontos amostrais

∗ ∗ ∗ n x x

x₁, ₂,..., nesses subintervalos de tal forma que x∗_kestá no

k-ésimo subintervalo [x ,_k−₁ x_k]. Então a Integral Definida de f de

Observações: 1. Na notação

 f(x)é chamado de integrando;

Âa e b são os limites de integração, sendo a o limite infe-rior e o b o limite supeinfe-rior;

Âdx indica a variável de integração.

2. O processo de calcular uma integral é chamado de inte-gração.

3. A integral definida é um número, portanto, não depende de x. Em vez de x, pode ser usada qualquer outra letra sem mudar o valor da integral.

4. Se f( ≥x) 0, a integral definida pode ser interpretada como a área sob a curva da função y = f(x), acima do eixo x e no intervalo de a até b (valor positivo).

5. Se f( ≤x) 0, a integral definida pode ser interpretada como a área acima da curva da função y = f(x), abaixo do eixo x e no intervalo de a até b (valor negativo).

Figura 3.7 Área negativa.

6. Se f assumir valores positivos (o gráfico da função está acima do eixo x) e assumir valores negativos (o gráfico da função está abaixo do eixo x), a integral definida dará como resultado a diferença entre a área de valor positivo (A₁) e a área de valor negativo (A₂).

3.4 Interpretação geométrica da integral

definida:

Interpretamos a integral definida como a área da região de-limitada pelo gráfico de f, pelo eixo das abscissas X’X e pelas retas paralelas ao eixo das ordenadas Y’Y que passam por a e por b, desde que f( ≥x) 0 para todo x do intervalo de [a;b].

3.6 Teorema fundamental do cálculo

Estabelece uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo integral.

PARTE 1: Se f for contínua em

[ ]

a,b , então a função g de-finida por , com a≤ x≤b é contínua em

[ ]

a,b e diferenciável em ( ba, ) e g ('x)= f(x), ou escrevendo de outra maneira:

PARTE 2: Se f for contínua em

[ ]

a,b , então:

onde F é qualquer antiderivada de f , isto é, uma função tal que F =' f.

Essas duas partes do Teorema nos informam que a ciação e a integração são processos inversos. O que a diferen-ciação faz, a integração desfaz e vice-versa.

Observe que, na aplicação desse teorema, não há neces-sidade de incluir uma constante de integração nas antideriva-das, pois ela irá sumir. Usando o teorema teremos:

Portanto, no cálculo da integral definida, podemos omitir a constante de integração.

Outra observação importante é sempre lembrar que o cálcu-lo da integral definida só é correto se a função for contínua no intervalo de integração, pois, se desconsiderarmos essa premis-sa, os resultados obtidos quase certamente não serão corretos.

Para calcular a Integral Definida, usaremos as Regras de In-tegração, as propriedades e o Teorema Fundamental do Cál-culo. Agora, retornaremos ao Problema do início do capítulo.

Problema

Como calcular a área A da região entre o gráfico da função: f(x)= x² + 1 e o eixo x, no intervalo de x= 0 a x=2 ?

Solução: a área pedida é calculada usando a Parte 2 do Teorema Fundamental, cujo resultado dará a área exata abai-xo do gráfico da função e acima do eiabai-xo das abscissas, no intervalo de x = 0 a x = 2, em unidades de área (u.a.):

Portanto, a área A exata entre o gráfico da função e o eixo x no intervalo de [0;2] é 4,67 unidades de área.

3.7 Exercícios resolvidos

1. Aplicar as propriedades das integrais definidas: a) Propriedade 1 – Achar:

b) Propriedade 2 – Provar que

2. Achar a área sob a parábola _{f(x)= x}2 _{de x=0 até x=2}

3. Achar a área sob a reta f(x)=x+2 _{de x=0 até x=4}

con-forme o gráfico abaixo.

Solução: observe que o gráfico é uma reta e, portanto, a área demarcada no gráfico é uma figura que pode ser calcu-lada sem a necessidade do uso do cálculo da integral. Usando a integral, teremos:

4. Achar a área sob a parábola _f(_x)_=x2 ₊1 _{de x=-2 até}

5. Achar a área do gráfico da função _f(x)=x3

de x=-2 até x=2 conforme o gráfico abaixo.

Solução: Observe que o gráfico da função de x=-2 a x=0 está abaixo do eixo x (valor negativo) e de x=0 a x=2 está acima do eixo x (valor positivo).

Logo, se calcularmos a integral definida da função de x=-2 a x=2, obteremos um resultado zero, porque a área abaixo do eixo x é igual à área acima do eixo x. Portanto, para acharmos a soma da área de x = -2 a x = 2, vamos calcular da seguinte forma:

1º) Na área de x = -2 até x = 0, vamos usar a propriedade 2, que consiste em inverter os valores do intervalo de integra-ção:

2º) Calcular a área de x = 0 até x = 2:

6. Calcular a área hachurada do gráfico abaixo.

8. Calcular a área hachurada do gráfico.

10. Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções: _{y =x}2,_y=−x2 ₊2,_{y =}0 _{conforme o gráfico}

abaixo.

11. Determine a área da região limitada pelos gráficos das

funções: e x=5 conforme o gráfico

12. Resolva as seguintes integrais definidas, usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo:

13. Calcular a integral se f(x)= x2_{, se x < 2 e f(x)=}

x + 2, se x ≥ 2.

14. Calcular a integral

A função modular: f(x)= x−2 é igual a f(x)=−x+2se

2 <

x e f(x)=x−2 se x≥2, logo:

15. Calcular a integral

A função modular: f(x)= 3x−3é igual a f(x)=−3x+3

3.8 Cálculo de integrais definidas por

substituição ou mudança de variável

Na seção 2.5 foi visto o método da substituição ou mudança de variável quando no integrando temos uma função composta.

Para calcular uma integral definida do tipo , vamos verificar dois métodos:

Primeiro método:

Calcula-se a integral indefinida e, após, utiliza-se o Teorema Fundamental para calcular a integral definida. Esse procedimento não requer modificação no intervalo de integração.

Exemplo 1: Calcule , usando o primeiro método.

Solução: Fazendo

Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-finida, teremos:

Retornando para a variável x e calculando a integral definida:

Segundo método:

Faz-se a substituição na integral definida e usa-se a re-lação u = g(x) para substituir os limites de integração x = a e x = b pelos correspondentes limites de u = g(a) e u = g(b), produzindo uma nova integral definida: .

Exemplo 2: Calcule , usando o segundo

método. Solução: Fazendo

Mudando o intervalo de integração:

Se x = 1 então u = 12 _{+3 = 4 e x = 3 então u = 3}2 _{+ 3 = 12}

Exemplo 3: Calcule usando o primeiro e o se-gundo método.

Solução pelo primeiro método:

Fazendo

Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-finida, teremos:

Retornando para a variável x e calculando a integral definida:

Solução pelo segundo método:

Fazendo

Mudando o intervalo de integração:

Se x = 2 então u = 2 – 2 = 0 e x = 6 então u = 6 – 2 = 4

Verifica-se que o resultado da integral definida por substi-tuição, tanto pelo primeiro quanto pelo segundo método, é o mesmo e, por conseguinte, a escolha do método a ser usado passa por uma questão de gosto e facilidade.

Solução: Fazendo

Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-finida, teremos:

Retornando para a variável x e calculando a integral definida:

Exemplo 5: Calcule usando o primeiro

mé-todo. Solução:

Fazendo

Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-finida, teremos:

Retornando para a variável x e calculando a integral defi-nida:

Solução: Fazendo

Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-finida, teremos:

Retornando para a variável x e calculando a integral defi-nida:

Exemplo 7: Calcule usando o primeiro método. Solução:

Fazendo

Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-finida, teremos:

Retornando para a variável x e calculando a integral definida:

Exemplo 8: Calcule usando o primeiro método. Solução:

Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-finida, teremos:

Retornando para a variável x e calculando a integral definida:

Exemplo 9: Calcule usando o primeiro método. Solução:

Fazendo

Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-finida, teremos:

Retornando para a variável x e calculando a integral defi-nida:

Exemplo 10: Calcule usando o primeiro método. Solução:

Fazendo

Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-finida, teremos:

Retornando para a variável x e calculando a integral defi-nida:

3.9 Exercícios propostos

2. Calcular o valor das Integrais Definidas.

4. Calcular as Integrais Definidas usando a regra da substitui-ção.

5. Determinar a área da região entre a curva da função e o eixo x no intervalo dado.

Respostas:

1. a) -6. b) 38. c) 4. d) 30. e) 230.

2. a) 24 u.a. b) 8/3 u.a. c) 6 u.a. d) 1 u.a. e) π u.a.

3. a)10,75 u.a. b) 37 u.a. c) 13 u.a. d) 8/5 u.a. e) 4 u.a.

4. a) 1/8 u.a. b) 0,61 u.a. c) 0 u.a. d) 1/3 u.a. e) 1,78 u.a.

5. a) 36 u.a. b) 5,33 u.a. c) 2,25 u.a. d) π u.a. e) 8,91 u.a.

Referências

Referências básicas

STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Pioneira Thom-son Learning, 2006.

ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Vol. 1. Porto Alegre: Bookman, 2007.

ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de uma variável. Vol. 1. Rio de Janeiro: Editora LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2002.

Referências complementares

FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Pau-lo: Prentice Hall. 2006. Graw-Hill. 2007.

LEITOHLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 3ª ed. São Paulo: Makron Books, 1996.

MUNEM, Mustafá, FOULIS, David. Cálculo. Vol. 1. Rio de Ja-neiro: LTC, 1992.

SIMONNS, George F. Cálculo com geometria analítica. Vol. I. São Paulo: Mc

SWOKOWSKY, Earl W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. São Paulo:

Leituras e sites recomendados

THOMAS, George B. – Cálculo. Vol. I. São Paulo. Addison Wesley, 2005.

GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. ed. Rio de Janeiro: LTC,2003. v. 1 à 3.

HOFFMANN, L. D. Um curso moderno de cálculo e suas apli-cações. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v.1.

www.impa.br www.sbem.com.br

Capítulo

4

Aplicações da Integral

Definida

Â

Â

N

este capítulo, abordaremos algumas aplicações da integral definida, tais como áreas entre curvas, vo-lumes de sólidos e o trabalho realizado por uma força variável.

4.1 Áreas entre curvas

Nos tempos antigos, o procedimento mais utilizado pelos ma-temáticos para o cálculo de área era o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura em questão por meio de outras, cujas áreas sejam conhecidas.

Hoje, conforme visto no Capítulo 3, sabemos que o valor da integral definida de uma função f é numericamente igual a área da região limitada pelo gráfico dessa função e o eixo das abscissas em um intervalo dado, se f for contínua nesse inter-valo. Considerando a Figura 4.1.1 abaixo, temos:

Partindo dessa mesma ideia, podemos calcular a área limi-tada pelos gráficos de duas funções. Na figura 4.1.2, temos uma região limitada pelos gráficos das funções f(x) e g(x). Se integrarmos a função f(x) de a até b, teremos o valor da área da região limitada pelo gráfico de f(x), o eixo das abscissas e as retas x = a e x=b. Se integrarmos a função g(x) de a até b teremos o valor da área da região limitada pelo gráfico da g(x) o eixo das abscissas e as retas x = a e x = b. Se da área limitada na parte superior pelo gráfico de f(x) subtrairmos a área limitada na parte superior pelo gráfico de g(x), teremos a área sombreada que procuramos. Então:

A área da região limitada pelo gráfico de f(x) será A área da região limitada pelo gráfico de g(x) será

.

Subtraindo A₁ de A₂, temos a área A, ou seja:

desde que f(x) > g(x) em todo intervalo [a; b].

Usando as propriedades das integrais, podemos escrever:

Obs.: Devermos subtrair a função cujo gráfico está limitan-do por cima da função cujo gráfico está limitanlimitan-do por baixo naquele intervalo.

Figura 4.1.2

Exercícios resolvidos:

1. Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun-ções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 _{no intervalo [0; 1].}

Solução:

Observando a figura, vemos que, no intervalo considerado, o gráfico de f(x) = 2x+1 é a fronteira superior e gráfico de g(x) = x2 _{é a fronteira inferior. Então, a área será:}

2. Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun-ções y = x e y = x2_.-1.

Solução:

Observe que não foram fornecidos os limites de integração. Nesse caso, devemos considerar os pontos onde os dois gráfi-cos de interceptam, que são os pontos onde as funções têm o mesmo valor. Então, fazendo:

x + 1 = x2_-1

ou x2 _{– x – 2 = 0}

Resolvendo essa equação, encontramos x₁ = -1 e x₂ = 2, que são os valores de x dos pontos onde os gráficos se interceptam e que representam os limites da área procurada.

Figura 4.1.4.

A região está limitada por cima pela reta e por baixo pela parábola. Então a área será dada pela integral da equação da reta menos a equação da parábola. Logo:

3. Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun-ções y = x + 1 e y = X2_{.-1 e pelas retas x = 0 e x = 3.}

Solução:

Figura 4.1.5

Observando o gráfico, podemos verificar que no intervalo (0; 2) a região está limitada na parte superior pela reta e no intervalo (2; 3) pela parábola. Então devemos fazer a integra-ção em cada um dos intervalos separadamente. No intervalo (0; 2), a fronteira superior é feita pela reta, então, devemos in-tegrar a equação da reta menos a equação da parábola e, no intervalo (2; 3), onde a fronteira superior é feita pela parábola, devemos integrar a equação da parábola menos a equação da reta, ou seja:

4. Achar a área de região delimitada pelas curvas .

Solução:

A figura mostra os gráficos e a região.

Observe que a fronteira inferior consiste em porções de dois gráficos diferentes, por isso não podemos obter a área utilizando apenas uma integral definida. Devemos considerar uma integral das funções y = x + 6 e x

2 1 - =

y no intervalo (-4; 0), pois a região é limitada por essas duas retas nesse in-tervalo, e a outra integral com as funções y = x + 6 e y = x3

no intervalo (0; 2), que são as fronteiras superior e inferior da região nesse intervalo.

5. Calcule a área da região limitada pelos gráficos das fun-ções

.

Solução:

Figura 4.1.7

Como no exemplo anterior, devemos dividir o intervalo em duas partes e integrar y = x+4 e y=− x+4 no inter-valo (– 4; – 3) e y= x+4 e y=x+2 no intervalo (– 3; 0). Então temos:

Mas, se considerarmos x em função de y, teremos menos trabalho. Veja: 2 y x 2 x y 4 y x 4 x y 4 x y 2 2 − = ⇒ + = − = ⇒ + = ⇒ + =

Nessas condições, a região está delimitada à direita pela reta x = y – 2 e à esquerda pela curva x = y2 _{– 4. Então,}

deve-mos realizar a integração dessas funções em relação à y. Nesse caso, fazemos apenas uma integral da fronteira di-reita menos a fronteira da esquerda, ou seja:

Exercícios propostos

1. Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e calcule sua área em cada caso abaixo.

Respostas

a) u.a.

2 9

c) d) _u.a. 3 2 4 2         +

e) u.a.

2 1

g)

(

_{2 1}

)

_{. .}

3

4 _{− u a}

4.2 Sólidos de revolução

Se fizermos girar uma região em torno de uma reta, o resul-tado será um sólido de revolução. Por exemplo, ao girarmos um retângulo com um dos lados fixo a uma reta, teremos um cilindro circular reto; se girarmos triângulo retângulo com um dos catetos fixo em uma reta, termos um cone circular reto; se girarmos um semicírculo com extremidade do diâmetro fixo na reta, teremos uma esfera. Dizemos que a reta é o eixo de revolução e que o sólido foi gerado pela região.

(c) x y (b) x y r=f(x) (a) x y (d) x y Figura 4.2.1.

Se interceptarmos um sólido de revolução com um plano perpendicular ao eixo x, obteremos uma secção transversal circular. Se o plano cortar o eixo x no ponto x = a, o raio do círculo é f(a), e sua área será π

[

f(a)

]

2.

Se um sólido está entre x=a x=b, a área da secção trans-versal é A(x), e A(x) é uma função contínua, utilizando a soma de Riemann, podemos escrever uma definição para o volume dos sólidos de revolução:

Como nos sólidos de revolução a secção transversal será sempre um circulo de área _A=π

[

_f(_x)

]

2, _{o volume do sólido}

é dado por:

No caso do cilindro, f(x) = r é uma função constante, onde f(x) é o raio do círculo, base do cilindro cuja área é _π.r2_{. Então:}

altura do cilindro.

Figura 4.2.2

Exercícios resolvidos

1. Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R delimitado pelo gráfico da função f(x) = 3 e as retas x = 1 e x = 5 em torno do eixo x.

Solução:

A Figura 4.2.3 mostra a região R, e o sólido por ela gerado é um cilindro circular reto mostrado na Figura 4.2.2. Devemos integrar a função f(x) = 3 de 1 até 5.

Figura 4.2.3

2. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da re-gião sob a curva y = x em torno do eixo x entre 0 e 4. Esboce a região e o sólido aproximado típico.

Solução:

Figura 4.2.4

Devemos integrar a função y = x de 0 até 4.

3. Esboce a região delimitada pelo gráfico da função y = x2

gerado pela rotação da região em torno do eixo x. Esboce o sólido aproximado típico.

Solução:

A Figura 4.2.5 mostra a região e o sólido gerado

Figura 4.2.5.

4. Esboce a região delimitada pelo gráfico da função y = x2

entre y = 2 e y = 4 e calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo y. Esboce o sólido aproximado típico.

Solução:

A Figura 4.2.6 mostra a região e o sólido gerado.

Figura 4.2.6

Como a região está girando em torno do eixo y, devemos fazer a integração em relação a y. Para que isso seja possível, a equação y = x2 _{+ 2 deve ser escrita em função de y, ou seja:}

5. Esboce a região delimitada pelos gráficos das funções

x

y = e y x

2 1

= de y = 0 até y = 4 e calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x. Esboce o sólido aproximado típico.

Solução:

Figura 4.2.7.

6. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos das funções y = 6 e y = x + 1 em torno do eixo x de 1 até 4. Faça um esboço da região e do sólido aproximado típico.

Solução:

7. Repita o exemplo 5 com a região girando em torno do eixo y. Solução:

A figura 4.2.9 mostra a região e o sólido gerado.

Exercícios propostos

1. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da re-gião limitada pelas curvas em torno da reta especificada. Faça um esboço da região e do sólido.

g. Repita o exercício f fazendo a região girar em torno do eixo y.

Respostas

Aplicações à física e à engenharia

Definição:

Se uma força constante F atua sobre um objeto, fazendo-o mover-se por uma distância d na direção da força, é dado por:

W = F.d

No caso da força F ser variável, temos:

Se f(x) é uma força e se f é contínua em um intervalo [a; b], o trabalho W realizado para mover um objeto de x = a até x = b é:

Pela lei de Hooke, a força f(x) necessária para distender uma x unidades além do seu comprimento natural é dada por:

f(x) = kx, onde k é uma constante chamada constante da mola.

Exemplos:

1. Calcular o trabalho para distender uma mola de seu com-primento normal de 20 cm até 30 cm, sabendo que, para distendê-la 5 cm, é necessária uma força de 40 N.

Solução:

2. Um cabo de 10 m de comprimento e pesando 25 pende verticalmente do topo de um edifício. Uma barra de ferro de 80 kg presa na extremidade inferior do cabo. Calcular o trabalho para transportar a barra até o topo do edifício. Solução:

O trabalho para transportar a barra de ferro até o topo é:

O trabalho para elevar o cabo:

Considerando a extremidade inferior do cabo na origem do eixo y e a extremidade superior em y = 10. Consideremos dy o incremento do comprimento do cabo. Como cada metro pesa 2,5 kg o peso do incremento é 2,5 dy. Consideremos y a distância de 0 até o ponto de incremento.

Temos:

Incremento da massa: 2,5 dy Distância percorrida: 10 – y

Incremento do trabalho: (10-y).g.2,5dy Então:

Exercícios propostos

1. Um gorila de 180 kg de peso sobe uma árvore de 5 me-tros em 10 segundos. Calcule o trabalho realizado pelo gorila para chegar ao topo da árvore.

9000 N-M

2. Uma mola de 25 cm de comprimento natural sofre uma distensão de 3,8 cm sob um peso de 35 N. Ache o traba-lho realizado para distender a mola:

a) de seu comprimento para 35,5 cm R= 507 J b) de 28 cm para 33 cm R = 253,3

Referências bibliográficas

ANTON, Howard A.; DAVIS, Stephen L.; BIVENS, Irl C. Cálcu-lo, Vol. 2, 8ª edição. Editora Bookman, 2007.

ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de Uma Variável, Vol. 2, 7ª edição. Editora LTC, 2003.

LEYTHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica, Vol I. Editora Harbra. São Paulo.

PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol I. 10ª Ed. Em língua portuguesa. Lopes da Silva editora, Porto: 1992. STEWART, James. Cálculo, Vol. 2, 6ª edição. Editora Cengage

Learning, 2009.

SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Brooks.

Capítulo

5

Funções Logarítmicas,

Exponenciais e

Hiperbólicas

Introdução

Neste capítulo, vamos apresentar a função logaritmo natural a partir da necessidade de uma primitiva para a função 1/t no cálculo integral. Sua inversa será definida e, com ela, o núme-ro e. As funções hiperbólicas aparecem em muitas aplicações das ciências naturais e engenharia. Veremos que tais funções são combinações de funções exponenciais.

A função logaritmo natural

No Capítulo 2, Integrais Indefinidas, vimos a operação de inte-gração como inversa da derivada. A regra de inteinte-gração para funções do tipo xr_{, com r racional e diferente de – 1, foi}

apre-sentada como:

e para r = -1, como:

Em (*) é fácil ver que a derivada da função dada como a primitiva é a função integrando, o que ratifica a fórmula. Po-rém para justificar (**) precisaremos do Teorema Fundamental do Cálculo enunciado no Capítulo 3.

Primeiro, vamos observar o gráfico da função 1/t na Figura 5.1para valores positivos de t.

Podemos ver que existe uma região entre o gráfico da fun-ção e o eixo das abscissas. Se considerarmos um intervalo de números positivos [a, b], então terá uma região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = a e t = b (Figura 5.2). Vimos no Capítulo 3 que a área dessa região, já que a função assume valores positivos nesse intervalo, é dada pela integral definida:

Figura 5.2 Região limitada pelo gráfico de y = 1/x, y = 0, x = a e x = b.

Definimos a função logaritmo natural (Notação: y = ln x) por:

Consequências da definição

Das propriedades da integral definida, decorre o estudo do sinal da função ln.

Para x = 1, temos:

Para x = c > 1, temos:

Nesse caso, o valor da integral coincide com o valor da área da região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = 1 e t = c. Isto é, a função ln assume valores positivos para x > 1.

Para x = c, com 0 < c <1, temos:

Para valores de c entre zero e um, a área da região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = c e t = 1 é dada pelo cálcu-lo da integral definida com limite inferior igual a c e superior igual a 1, pois c < 1. Então a função ln assume valores nega-tivos no intervalo (0, 1).

Vamos apresentar, de maneira intuitiva, o estudo do com-portamento da função logaritmo natural ao x tender ao infinito e ao x tender a zero pela direita. Iniciaremos com o limite no infinito.

A ideia geométrica desse limite é o cálculo da área da re-gião não limitada representada na Figura 5.3.

Figura 5.3 Área sob o gráfico de y = 1/t com t >1.

A Figura 5.4 nos fornece uma visualização de uma aproxi-mação por falta da integral procurada.

Figura 5.4 Aproximação por falta da área abaixo do gráfico de y = 1/t com t > 1.

O que estamos fazendo aqui é parecido com a Soma de Riemann quando se toma para aumento o limite superior do subintervalo de tamanho unitário, porém o intervalo não é li-mitado superiormente. Podemos escrever, então:

mas

e

Ou seja, estamos somando ½ infinitas vezes, o que resulta em uma soma infinita. Assim,

O estudo do comportamento da função logaritmo natural ao x tender a zero pela direita pode ser realizado de forma parecida. Nesse caso, o limite resulta em menos infinito.

A função 1/t é contínua para valores positivos de t, então a parte I do Teorema Fundamental do Cálculo fornece:

Em geral, se temos:

Assim, por exemplo, para calcularmos a derivada da

fun-ção procedemos da seguinte maneira:

Gráfico da função Logaritmo Natural Vimos que a derivada da função ln é 1/x. Logo, ln é cres-cente em todo seu domínio, pois 1/x é positiva nesse intervalo. Além disso, a função não apresenta pontos críticos, pois sua derivada é contínua e sempre diferente de zero em A derivada de segunda ordem é -1/x2_{, função que é sempre}

ne-gativa quando assume valores em Portanto, a função ln é côncava em todo seu domínio. Vimos, também que:

Desse modo, o gráfico da função Logaritmo Natural pode ser representado como na Figura5.5.

Figura 5.5 Gráfico da função ln.

Diferenciação Logarítmica

Podemos utilizar a função logaritmo e suas propriedades para calcular derivadas de funções do tipo uv_{, onde u e v são}

funções de x. Por exemplo, para calcular a derivada da função podemos proceder do seguinte modo:

Derivando membro a membro, lembrando que e

usando a regra da derivada do produto, vem:

logo,

Como podemos escrever:

Um caso particular da aplicação da diferenciação loga-rítmica é o cálculo da derivada da função exponencial y = ax_{, com a > 0. Para tanto, procedemos da mesma forma do}

exemplo anterior. Porém, nesse caso, a é uma constante real positiva.

Derivando membro a membro, vem:

ou seja,

Como y = ax_{, podemos escrever:}

Então a derivada da função y = 53x+2_{, por exemplo, pode}

ser determinada pela fórmula acima:

Para calcularmos a derivada da função logaritmo em uma

base a qualquer, com

pode-mos escrever esse logaritmo como um logaritmo natural por mudança de base. Ou seja,

Daí, como a é constante, portanto ln a também, temos:

isto é,

Por exemplo, a derivada da função é:

A diferenciação logarítmica também pode facilitar o cálcu-lo da derivada de funções em que suas expressões envolvem quocientes, produtos e potências. Por exemplo, vamos usar diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função

Aplica-se a função ln em ambos os lados:

Usa-se as propriedades da função ln:

Derivando membro a membro, obtemos:

isto é,

ou seja,

Experimente encontrar a derivada da função y dada pelas regras de derivação anteriores, você perceberá que a diferen-ciação logarítmica facilita os cálculos.

A função exponencial natural

A função Logaritmo Natural é contínua e bijetora, então ad-mite inversa. Definimos a função Exponencial Natural como a inversa da função Logaritmo Natural. (Notação: y = exp x) Então:

Para determinarmos a derivada da função Exponencial Na-tural, vamos derivar membro a membro a segunda parte dessa equivalência e usar o fato de que y = exp x é uma função que depende da variável x. Daí vem:

ou seja,

isto é,

Mas y = exp x, então:

Assim, a derivada da função Exponencial Natural é ela mesma!

Definimos o número e como aquele cujo logaritmo natural assume o valor 1. Ou seja, ln e = 1. Pela definição, temos:

Decorre daí que exp x = ex_{, pois:}

Então podemos reescrever a derivada da função Exponen-cial Natural como:

Em geral, se vem:

Por exemplo,

O gráfico da função Exponencial Natural (Figura 5.6) pode ser obtido pela reflexão em relação à reta y = x.

Funções hiperbólicas

Catenária é o nome que se deu à curva como as que fios sus-pensos apresentam (Figura 5.7). Por muito tempo, procurou-se uma parábola para descrever essa curva, porém a função que a descreve envolve as funções e x _{e e} – x_.

Figura 5.7 Uma catenária.

As funções que estudaremos agora são chamadas funções hiperbólicas. As funções e x _{e e} – x _{estão envolvidas em suas}

leis de formação e possuem esse nome porque têm com a hipérbole a mesma relação que as funções trigonométricas possuem com o círculo, como ilustram as Figura 5.8 e 5.9. Além disso, as funções hiperbólicas se relacionam entre si de maneira semelhante às trigonométricas. Mais especificamente, são denominadas de seno hiperbólico, cosseno hiperbóli-co, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica e cossecante hiperbólica e definidas por:

O domínio das funções seno e cosseno hiperbólico são todos os reais, bem como o domínio das funções secante e tangente hiperbólicas, pois o cosseno hiperbólico não possui raiz real. Já as funções cossecante e cotangente hiperbólicas possuem domínio em isto é, em todos os reais menos no zero, pois a função seno hiperbólico se anula em x = 0.

Uma catenária, como a representada na Figura 5.7, possui equação da forma:

Figura 5.8 Ponto P sobre o círculo. Figura 5.9 Ponto P sobre a hipérbole.

Os valores reais de t que determinam P(cos t, sen t) sobre o círculo de raio unitário e centro na origem podem ser interpretados como a medida, em radianos, do ângulo CÔP e representa o

do-bro da área do setor circular da região sombreada na Figura 5.8. Já os valores reais de t que determinam P(cosh t, senh t) sobre o ramo direito da hipérbole não representa ângulo, porém nos forne-ce o dobro da área sombreada do setor hiperbólico da Figura 5.9.

Identidades Hiperbólicas

Algumas identidades hiperbólicas são:

Pelas duas últimas identidades apontadas, vemos que a função seno hiperbólico é uma função ímpar e cosseno hiper-bólico é uma função par. Essa informação é útil em muitas si-tuações, como no cálculo de integrais definidas, por exemplo. Essas identidades são de fácil verificação. Por exemplo, vamos verificar que:

Derivada de funções hiperbólicas

Outra semelhança das funções hiperbólicas com as trigono-métricas são as fórmulas de derivação. Observe a lista das derivadas das funções hiperbólicas:

Essas regras podem ser combinadas com a Regra da Ca-deia. Por exemplo,