Calculo 3

(1)

1 Integrais M´ultiplas 4

1.1 Integrais duplas sobre retˆangulos . . . 4

1.2 Integrais Iteradas . . . 8

1.3 Integrais Duplas sobre regi˜oes gen´ericas . . . 10

1.4 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . 14

1.5 Aplica¸c˜oes das integrais duplas . . . 18

1.5.1 Densidade e Massa . . . 18

1.5.2 Momentos e Centro de massa . . . 19

1.5.3 Probabilidade . . . 21

1.6 Area de Superf´ıcie´ . . . 23

1.7 Integrais Triplas . . . 25

1.7.1 Introdu¸c˜ao . . . 25

(2)

1.9 Integrais triplas em coordenadas esf´ericas . . . 36

1.10 Mudan¸ca de vari´aveis em integrais m´ultiplas . . . 40

2 Teoremas da Fun¸c˜ao Inversa e da Fun¸c˜ao Impl´ıcita 47 2.1 Preliminares . . . 47

2.2 Teorema da Fun¸c˜ao Inversa . . . 50

2.3 Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita . . . 51

3 C´alculo Vetorial 55 3.1 Campos Vetoriais . . . 55

3.1.1 Campo Gradiente . . . 57

3.2 Integrais de Linha . . . 58

3.2.1 Integrais de linha no espa¸co . . . 62

3.2.2 Integral de um campo vetorial . . . 63

3.3 Teorema Fundamental para as Integrais de Linha . . . 66

3.3.1 Independˆencia do caminho . . . 67

3.3.2 Conserva¸c˜ao da energia . . . 72

3.4 Teorema de Green . . . 74

3.5 Rotacional e Divergˆencia . . . 79

(3)

3.6 Superf´ıcies Paramétricas e suas áreas . . . 86 3.6.1 Superf´ıcie Paramétrica . . . 86 3.6.2 Area da Superf´ıcie . . . 88´ 3.7 Integrais de superf´ıcie . . . 91 3.8 Teorema de Stokes . . . 98 3.9 Teorema da Divergência . . . 102

(4)

Integrais M´

ultiplas

1.1 Integrais duplas sobre retˆ

angulos

Quando se estabeleceu a integral definida (ou de uma vari´avel real), fez-se o seguinte:

Se f (x) > 0 ´e definida em um intervalo [a, b], e fazemos uma parti¸c˜ao P : a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, dividimos [a, b] em sub-intervalos

[x_i−1, xi], de comprimentos xi− xi−1 = ∆xi. Em seguida, tomam-se pontos

arbitr´arios ci, tais que xi < ci < xi−1 e forma-se a soma de Riemann:

S =

n

X

i=1

f (ci)∆xi, (1.1)

que aproxima a área entre o gráfico de f (x) e o eixo x no intervalo [a, b]. Quando tomamos o limite da soma de Riemann com n → ∞, calculamos o valor exato da área sob o gráfico de f (x), e obtemos a integral definida f no

(5)

intervalo [a, b]: ˆ b a f (x)dx = lim n→∞ n X i=1 f (ci)∆xi (1.2)

Figura 1.1: Parti¸cão de um intervalo e aproxima¸cão da área sob a curva y= f (x)

Seguindo um racioc´ınio similar, seja f (x, y) ≥ 0 uma fun¸cão de duas variáveis definida em um retângulo R = [a, b] × [c, d].Considere o sólido con-tido acima da região R (no plano-xy) e abaixo da superf´ıcie de equa¸cão z = f (x, y). Determinemos o volume desse sólido. Inicialmente faremos a par-ti¸cão do retângulo R em sub-retângulos Rij = [xi−1− x1] × [yj−1, yj], tais que

P : a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b e Q : a = y0 < y1 < y2 < ... < ym = d

(6)

Figura 1.2: Parti¸cão do retângulo R em sub retângulos Rij sob a curva y=f(x)

Denotando:

∆xi = med([xi−1, xi]) = xi− xi−1, (1.3)

∆yj = med([yj−1, yj]) = yj − xj−1, (1.4)

podemos escrever que a área do sub-retângulo Rij é dada por ∆Aij = ∆xi.∆yj.

Suponha que Pij(ci, dj) é um ponto arbitrário no sub-retângulo Rij. O sólido

de cuja base ´e o sub-retˆangulo Rij de altura f (ci, dj),tem volume

Vij ≈ f(ci, dj).∆Aij (1.5)

Somando os elementos de volume formados por todos os sub-retângulos Rij e alturas f (ci, dj), obtêm-se uma aproxima¸cão do volume do sólido

(7)

defi-Pij(ci, dj)

z = f (x, y)

Figura 1.3: Elemento de volume da Soma de Riemann.

nido pela superf´ıcie de equa¸c˜ao z = f (x, y) no retˆangulo R:

V ≈ n X i=1 m X j=1 f (ci, dj)∆Aij. (1.6)

Tomando o limite dessa expressão, que é uma soma de Riemann, com n, m → ∞, obtemos o valor exato do volume do sólido:

V = lim n,m→∞ n X i=1 m X j=1 f (ci, dj)∆Aij. (1.7)

De forma que podemos definir:

(8)

A integral dupla de f sobre o retˆangulo R ´e dada por: ˆ ˆ R f (x, y)dA = lim n,m→∞ n X i=1 m X j=1 f (ci, dj)∆Aij, (1.8)

se esse limite existir.

1.2 Integrais Iteradas

O cálculo de uma integral dupla a partir da defini¸cão seria bastante tra-balhoso. Por isso, veremos como resolver uma integral dupla através de uma integral iterada. Suponha que f é uma fun¸cão cont´ınua no retângulo R = [a, b] × [c, d]. No caso de ´d

c f (x, y)dy, consideramos x fixo (constante)

e integramos parcialmente em y no intervalo [c, d]. Analogamente, para ´b

a f (x, y)dx integramos parcialmente em x no intervalo [a, b] mantendo y

fixo (constante). Ent˜ao: ˆ b a ˆ d c f (x, y)dydx = ˆ b a ˆ d c f (x, y)dy dx (1.9) Exemplos: 1)´2 1 ´2 0 x2ydxdy = 2)´2 0 ´2 1 x 2_{ydydx =}

(9)

TEOREMA (de Fubini):

Seja f integr´avel em R = [a, b] × [c, d]. Suponha que ´b

a f (x, y)dx existe

∀ y ∈ [c, d] e que ´d

c f (x, y)dy existe ∀ x ∈ [a, b]. Ent˜ao:

ˆ b a ˆ d c f (x, y)dydx = ˆ b a ˆ d c f (x, y)dy dx = ˆ d c ˆ b a f (x, y)dx dy(1.10) Exemplos: 1) Calcule ´ ´ R(x + y)dxdy, onde R = [1, 2] × [0, 1]. 2) Calcule ´ ´

Rysen(x + y)dA com R = [1, 2] × [0, π].

Exerc´ıcios

1) Calcule a integral dupla ˆ ˆ

R

x x2_{+ y}2dA

no retˆangulo R = [1, 2] × [0, 1]

2) Determine o volume do s´olido que se encontra abaixo do plano 3x + 2y + z = 12 e acima do retˆangulo R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1; −2 ≤ y ≤ 3}

(10)

1.3 Integrais Duplas sobre regi˜

oes gen´

ericas

Suponha que queremos calcular a integral dupla de uma fun¸cão z = f (x, y) em uma região D do plano-xy. Seja R um retângulo que contém D, e seja f definida por: F (x, y) =      f (x, y) ; (x, y) ∈ D 0 ; (x, y) ∈ (R − D) (1.11)

Figura 1.4: Representa¸cão gráfica das regiões D e R.

Temos que: ˆ ˆ D f (x, y)dA = ˆ ˆ R f (x, y)dA. (1.12)

Assim, podemos calcular a integral dupla em uma região genérica qualquer. Há duas maneiras de se definir uma região D no plano:

DEFINI ¸C ˜AO:

(11)

duas fun¸c˜oes cont´ınuas de x:

D = {(x, y); a ≤ x ≤ b; g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} (1.13)

Suponha que c < g1(x) < g2(x) < d. Temos que R = [a, b] × [c, d] cont´em

D (D ⊂ R). Ent˜ao: ˆ ˆ D f (x, y)dA = ˆ ˆ R F (x, y)dA = ˆ b a ˆ d c F (x, y)dxdy. (1.14) Como F (x, y) =      f (x, y) ; g1(x) ≤ y ≤ g2(x) 0 ; y < g1(x) ou y > g2(x) , temos: ˆ d c F (x, y)dy = ˆ g2(x) g1(x) F (x, y)dy = ˆ g2(x) g1(x) f (x, y)dy. (1.15)

(12)

Logo: ˆ ˆ D f (x, y)dA = ˆ b a ˆ g2(x) g1(x) f (x, y)dydx. (1.16)

(ii) Uma região plana D é do tipo II, quando o gráfico da mesma está entre duas fun¸cões cont´ınuas de y:

D = {(x, y); c ≤ y ≤ g; h1(y) ≤ y ≤ h2(y)} (1.17)

Analogamente: ˆ ˆ D f (x, y)dA = ˆ g c ˆ h2(y) h1(y) f (x, y)dxdy.(MOST RE!!!) (1.18) Exemplos: 1) Calcule ´ ´

D(x + y)dA com D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1; x

3 _{≤ y ≤ x}2_}.

2) Expresse através de uma integral dupla (nos dois sentidos de integra-¸cão), o volume da região abaixo do plano x + 2y − x = 0 e acima da região do plano−xy limitada por y = x e y = x4_.

(13)

reta y = 2x.

Exerc´ıcios: 1) Calcule: a) ´ ´

R(6x2y3− 5y4)dA com R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}

b) ´ ´

Rcos(x + 2y)dA com R = [0, π] × [0, π 2].

2) Calcule o volume do s´olido que se encontra abaixo do plano 3x + 2y + z = 12 e acima do retˆangulo do plano-xy R = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1; −2 ≤ y ≤ 3}.

3) Calcule as integrais iteradas: a) ´1 0 ´x2 0 (x + 2y)dydx b) ´1 0 ´ey y √ xdxdy

4) Determine os volumes dos s´olidos:

a) Limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = 1.

b) Limitado pelo cilindro y2_{+ z}2 _{= 4 e pelos planos z = y, x = 0 e z = 0 no}

primeiro octante.

5) Esboce a região de integra¸cão e fa¸ca a mudan¸ca de ordem de integra¸cão: a) ´4 0 ´sqrtx 0 f (x, y)dydx b) ´3 0 ´ √ 9−y2 −√9−y2f (x, y)dxdy Respostas: 2) 47,5 3) a) ₂₀9 b) 4₉e32 −32 45 4) a) 12815 b) 13 5) a) ´2 0 ´4 y2f(x, y)dxdy b) ´3 −3 ´√9−x2 0 f(x, y)dxdy

(14)

1.4 Integrais Duplas em Coordenadas

Polares

Lembrete:







cosθ =

x r

⇒ x = rcosθ

senθ =

y_r

_{⇒ y = rsenθ}

x

2

+ y

2

= r

2

Como é sabido, certas fun¸cões são representadas usando coordenadas po-lares dada a forma complicada das mesmas em coordenadas retangupo-lares.

Considere o retˆangulo polar R = {(r, θ); a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}. Para calcular ´ ´

Rf (x, y)dA, dividiremos o retˆangulo polar R em sub retˆangulos,

usando as parti¸c˜oes P : a = r0 < r2 < ... < rm = b e Q : α = θ0 < θ1 <

... < θn = β. - [a, b] ´e dividido em subintervalos [ri−1, ri], i = 1, ..., m , de

comprimento ∆ri = ri − ri−1; - [α, β] ´e dividido em subintervalos [θj−1, θj],

j = 1, ..., n , de comprimento ∆θj = θj− θj−1;

Seja P∗_(r∗

(15)

desses retˆangulos polares ´e: ∆Aij = 1 2r 2 i∆θj − 1 2r 2 i−1∆θj−1 = r∗i∆ri∆θj (1.19) Temos que P (x, y) = (r∗

icosθj, r∗isenθj). Ent˜ao, a soma de Riemann nesse

caso fica: m X i=1 n X j=1

f (r_i∗cosθj, ri∗senθj)∆Aij = m X i=1 n X j=1 f (r∗_icosθj, ri∗senθj)ri∗∆ri∆θj (1.20)

Se g(r, θ) = rf (rcosθ, rsenθ), a soma (1.20) pode ser reescrita como:

m X i=1 n X j=1 g(r, θ)∗∆ri∆θj (1.21)

(16)

(1.21) resulta em ´β α ´b ag(r, θ)drdθ. Portanto: ˆ ˆ R f (x, y)dA = ˆ β α ˆ b a f (rcosθ, rsenθ)rdrdθ (1.22) Exemplos: 1) ´ ´ R(3x + 4y

2_{)dA, onde R ´e a regi˜ao superior do semiplano limitada}

pelos c´ırculos x2_{+ y}2 _{= 1 e x}2_{+ y}2 _{= 4.}

2) Esboce a região cuja área é dada pela integral ˆ π₂

0

ˆ 4cosθ

0

rdrdθ

3) Calcule a integral iterada abaixo convertendo para coordenadas pola-res: ˆ a −a ˆ √a2−y2 0 (x2+ y2)32dxdy

(17)

Exerc´ıcios: 1) Escreva ´ ´

Rf (x, y)dA usando coordenadas polares:

a) b)

2) Esboce a região cuja a área é dada por ´2π

π

´7

4 rdrdθ. Em seguida

calcule-a.

3) Calcule usando coordenadas polares: a)´ ´

De−x

2_−y2

dA onde D ´e limitada pela semicircunferˆencia x =p4 − y2 _e

o eixo-y. b) ´ ´

Darctg( y

x)dA, onde R = {(x, y); 1 ≤ x

2_{+ y}2 _{≤ 4; 0 ≤ y ≤ x}.}

4) Calcule o volume do s´olido usando coordenadas polares: a) Abaixo do parabol´oide z = x2_{+ y}2 _{e acima do disco x}2 _{+ y}2 _{≤ 9.}

(18)

b) Acima do cone z =px2_{+ y}2 _{e abaixo da esfera x}2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1.}

5) Calcule a ´area de um la¸co da curva de equa¸c˜ao r = cos3θ.

Respostas: 1) a)´2π 0 ´2 0 f (rcosθ, rsenθ)rdrdθ b) ´5π/4 π/4 ´2 0 f (rcosθ, rsenθ)rdrdθ 2) 33π/2 3) a) π₂_{(1 − e}−4) b)64_π2 4)a) 81π₂ b)(2π₃ _{)(1 −} √1 2) 5) π 12

1.5 Aplica¸c˜

oes das integrais duplas

1.5.1 Densidade e Massa

Suponha uma lâmina colocada em uma região D do plano-xy, cuja densidade no ponto (x, y) é dada por ρ(x, y), onde ρ é cont´ınua em D. Temos que:

ρ(x, y) = lim

∆A→0

∆m

∆A (1.23)

A massa total dessa lˆamina (m), pode ser obtida da seguinte forma:

(19)

dada por: F (x, y) =      ρ(x, y) ; (x, y) ∈ D 0 ; (x, y) ∈ (R − D) (1.24) Considere P (x∗

i, yj∗) um ponto arbitr´ario de Rij. Temos:

m ≈ m X i=1 n X j=1 ρ(x∗_i, y∗_j)∆Aij (1.25)

Aplicando limite com n, m → ∞: m = lim n,m→∞ m X i=1 n X j=1 ρ(x∗_i, y_j∗)∆Aij = ˆ ˆ D ρ(x, y)dA (1.26)

Exemplo: Uma massa é distribu´ıda sobre uma região D de modo que a densidade é dada por ρ(x, y) = x2_{(y + 1). Se D é a região entre as parábolas}

y = x2 _{e y = −x}2 _{+ 2x. Determine a massa total do sistema.}

1.5.2 Momentos e Centro de massa

Define-se o momento de uma part´ıcula pelo produto entre sua massa e a distância em rela¸cão ao eixo de rota¸cão. Considere que o sistema tenha a densidade ρ(x, y) tal como o sistema da se¸cão anterior. Fazendo uma parti¸cão

(20)

no retângulo R em subretângulos, para cada retângulo Rij, temos:      Mxi = ρ(x∗i, yj∗)∆Aijyj∗ Myj = ρ(x∗i, y∗j)∆Aijx∗i (1.27)

O momento total ser´a:

Mx = lim m,n→∞ m X i=1 n X j=1 y∗_jρ(x∗_i, y_j∗)∆Aij = ˆ ˆ yρ(x, y)dA (1.28) My = lim m,n→∞ m X i=1 n X j=1 x∗_iρ(x∗_i, y_j∗)∆Aij = ˆ ˆ xρ(x, y)dA (1.29)

E o centro de massa ocorre em um ponto (¯x, ¯y) de modo que m¯x = My e m¯y = Mx. Ent˜ao: ¯ x = My m = 1 m ˆ ˆ D xρ(x, y)dA (1.30) ¯ y = Mx m = 1 m ˆ ˆ D yρ(x, y)dA (1.31)

Exemplo: Determine a massa e o centro de massa de uma lˆamina trian-gular de v´ertices (0, 0), (1, 0) e (0, 2), com a densidade dada por ρ(x, y) = 1 + 3x + y.

(21)

1.5.3 Probabilidade

DEFINI ¸C ˜AO:

A fun¸cão densidade de probabilidade f de uma variável aleatória x, é definida da seguinte maneira: Seja f (x) ≥ 0∀xe´+∞

−∞ f (x)dx = 1. A

probabi-lidade de que x esteja entre a e b ´e dada por:

P (a ≤ x ≤ b) = ˆ b

a

f (x, y)dx (1.32)

Para um par de variáveis aleatórias (x, y), tem-se que a probabilidade de que (x, y) esteja em D é dada por:

P [(x, y) ∈ D] = ˆ ˆ

D

f (x, y)dA (1.33)

em que f (x, y) ´e a fun¸c˜ao de densidade de probabilidade, tal que ˆ ˆ

IR2

f (x, y)dA = 1 (1.34)

Exemplo: Seja a fun¸c˜ao densidade de probabilidade dada por:

f (x, y) =      C(x + 2y) ; 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10 0 ; caso contr´ario. (1.35)

(22)

Exerc´ıcios

1) Uma carga elétrica é distribu´ıda sobre o retângulo 1 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 2, de modo que a densidade de carga é dada por σ(x, y) = 2xy +y2_(coulomb/

metro quadrado). Determine a carga do retˆangulo.

2) Determine a massa e o centro de massa da lˆamina que ocupa a regi˜ao D e tem densidade ρ.

a) D é uma região triangular com vértices (0, 0), (2, 1) e (0, 3) e ρ(x, y) = x + y.

b) D ´e limitada por y = ex_{, y = 0, x = 0 e x = 1 e ρ(x, y) = y.}

3) A fun¸cão densidade de probabilidade conjunta para um par de variáveis aleatórias X e Y é: f (x, y) =      Cx(1 + y) ; (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 2] 0 ; caso contrário. (1.36) a) Determine a constante C. b) Determine P (x ≤ 1, y ≤ 1) c) Determine P (x + y ≤ 1). Respostas: 1) 64₃C 2) a) 6, (3₄,3₂) b) 1₄(e2_{− 1),} e2₊₁ 2(e2₋₁₎, 4(e2₊₁₎ 9(e2₋₁₎ 3) a) 1₂ b) 0,375 c) ₄₈5 _{≈ 0, 632}

(23)

1.6 Area de Superf´ıcie

´

Nesta se¸cão vamos determinar a área de uma superf´ıcie cuja equa¸cão é dada por z = f (x, y) através de uma integral dupla. Seja S uma superf´ıcie de equa¸cão z = f (x, y) com f tendo derivadas parciais cont´ınuas. Suponha que f (x, y) ≥ 0 e que o dom´ınio D seja um retângulo. Dividamos S em sub retângulos Rij com ∆Aij = ∆xi.∆yj. Suponha que Pij(x∗i, yj∗) é o ponto

de Rij mais pr´oximo da origem. O plano tangente a S em Pij aproxima a

superf´ıcie de S em sua proximidade. Seja ∆T ij a ´area da parte do plano tangente acima de Rij. Ent˜ao:

A(S) ≈ m X i=1 n X j=1 ∆Tij (1.37) A(S) = lim n,m→∞ m X i=1 n X j=1 ∆Tij (1.38)

Como ∆Tij ´e um paralelogramo, sejam ~a e ~b vetores sobre os lados do

retângulo de área ∆Tij. Então:

∆Tij = |~a ×~b| (1.39)

Como ~a e ~b s˜ao as inclina¸c˜oes das retas suportes do paralelogramo, temos que:

~a = ∆x~i + fx(xi, yj)∆x~k (1.40)

(24)

Ent˜ao: ~a ×~b = ~i ~j ~k ∆x 0 fx(xi, yj)∆x 0 ∆y fy(xi, yj)∆y = −fx(xi, yj)~i − fy(xi, yj)~j + ~k ∆Tij = |~a ×~b| = q −fx(xi, yj)2+ fy(xi, yj)2+ 1 Ent˜ao: A(S) = lim n,m→∞ m X i=1 n X j=1 ∆Tij (1.42) = lim n,m→∞ m X i=1 n X j=1 q −fx(xi, yj)2+ fy(xi, yj)2+ 1∆A (1.43) Logo: A(S) = ˆ ˆ D q −fx(xi, yj)2 + fy(xi, yj)2+ 1dA (1.44) Exemplos:

1) Determine a ´area da superf´ıcie z = x2 _{− 2y acima do retˆangulo}

R = [2, 3] × [0, 1].

2) Determine superf´ıcie da parte do parabol´oide z = x2_{+ y}2 _{abaixo plano}

(25)

Exerc´ıcios

1) Determine as ´areas das superf´ıcies a seguir:

a) A parte do plano z = 2 + 3x + 4y acima do retˆangulo R = [0, 5] × [1, 4]. b) A parte da esfera x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= a}2 _{acima do plano z = 1.}

c) A parte da superf´ıcie z = e−x2_−y2

que est´a acima do c´ırculo x2_{+ y}2 _{≤ 4.}

2) Mostre que a área da superf´ıcie do plano z = ax + by + c com proje¸cão sobre a região D no plano-xy com área A(D) e √a2_{+ b}2_{+ 1A(D).}

3) Determine a área da parte do parabolóide cortada pelop planpo y = 25. (Sugestão: projete sobre o plano-xz.)

1.7 Integrais Triplas

1.7.1 Introdu¸c˜

ao

Nessa se¸cão, serão definidas as integrais triplas de fun¸cões de três variáveis. Seja f uma fun¸cão de três variáveis definida em uma caixa retangular B:

(26)

Dividamos B em sub caixas Bijk atrav´es das parti¸c˜oes dos intervalos

[a, b], [c, d] e [r, s] em subintervalos do tipo [x_i−1, xi], [yj−1, yj] e [zk−1, zk]

respectivamente. Assim:

Bijk= [xi−1, xi] × [yj−1, yj] × [zk−1, zk]. (1.46)

Cada sub caixa tem volume igual a ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk.

Define-se a soma tripla de Riemann:

l X i=1 m X j=1 n X k=1 f (x∗_i, y∗_j, z_k∗)∆Vijk (1.47)

Tomando o limite com l, m, n → ∞: ˆ ˆ ˆ B f (x, y, z)dV = l X i=1 m X j=1 n X k=1 f (x∗_i, y_j∗, z_k∗)∆Vijk (1.48)

TEOREMA DE FUBINI (Integrais Triplas): Se f ´e cont´ınua em B = [a, b] × [c, d] × [r, s], ent˜ao: ˆ ˆ ˆ B f (x, y, z)dV = ˆ s r ˆ d c ˆ b a f (x, y, z)dxdydz (1.49)

ou seja, a integral tripla pode ser resolvida como uma integral iterada. Exemplo:

1) Calcule a integral tripla ´ ´ ´

(27)

Se formos calcular a integral tripla de f sobre uma região genérica E, usamos um método similar ao do cálculo de uma integral dupla sobre uma região do plano−xy. Consideremos F ⊂ B, tal que:

F (x, y, z) =      f (x, y, z) se (x, y, z) ∈ E 0 se (x, y, z) /_{∈ E} (1.50)

Suponha agora uma região do tipo I como uma região que está compre-endida entre duas fun¸cões cont´ınuas de x, y:

E = {(x, y, z)|(x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} (1.51)

(28)

Logo: ˆ ˆ ˆ E f (x, y, z)dV = ˆ ˆ D " ˆ u2(x,y) u1(x,y) f (x, y, z)dz # dA (1.52)

Se D ´e do tipo I (y est´a entre g1(x) e g2(x)):

ˆ ˆ ˆ E f (x, y, z)dV = ˆ b a ˆ g2(x) g1(x) ˆ u2(x,y) u1(x,y) f (x, y, z)dzdydx (1.53)

Se D ´e do tipo II (x est´a entre h1(y) e h2(y)):

ˆ ˆ ˆ E f (x, y, z)dV = ˆ d c ˆ h2(y) h1(y) ˆ u2(x,y) u1(x,y) f (x, y, z)dzdxdy (1.54) Exemplos:

1) Calcule o volume do tetraedro delimitado por y = 0, z = 0 e x + y + z = 1.

2) Calcule´ ´ ´

E

√

x2_{+ z}2_{dV onde E é a região limitada pelo parabolóide}

y = x2_{+ z}2 _{e o plano y = 4.}

Aplica¸c˜oes:

(29)

para integrais triplas.

a) Massa, densidade, momentos e centro de massa: Se a densidade de um corpo num ponto (x, y, z) é dada por ρ(x, y, z), sendo ρ cont´ınua, então a massa do corpo é:

m =

ˆ ˆ ˆ

E

ρ(x, y, z)dV (1.55)

Os momentos em rela¸c˜ao a cada plano s˜ao:

Myz = ˆ ˆ ˆ E xρ(x, y, z)dV (1.56) Mxz = ˆ ˆ ˆ E yρ(x, y, z)dV (1.57) Mxy = ˆ ˆ ˆ E zρ(x, y, z)dV (1.58)

e o centro de massa ´e o ponto (¯x, ¯y, ¯z), com:

¯ x = Myz m ; ¯y = Mxz m ; ¯z = Mxy m . (1.59)

b) Probabilidade: Se existirem três variáveis aleatórias x, y e z e f for uma fun¸cão de densidade de probabilidade conjunta, então:

P ((x, y, z) ∈ E) = ˆ ˆ ˆ E f (x, y, z)dV (1.60) contanto que f (x, y, z) ≥ 0 e ˆ ˆ ˆ R3 f (x, y, z)dV = 1 (1.61)

(30)

Exemplos:

1) Determine a massa do tetraedro de v´ertices em (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0, 1) e densidade constante. Exerc´ıcios 1) Calcule: a) ´1 0 ´z 0 ´x+z 0 6xzdydxdz. b) ´3 0 ´1 0 ´√1−z2 0 ze y_dxdzdy. c) ´ ´ ´ E2xdV , onde E = {(x, y, z); 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ p4 − y2, 0 ≤ z ≤ y}. d) ´ ´ ´

E6xydV onde E ´e a regi˜ao abaixo o plano z = 1 + x + y e acima da

regi˜ao D do plano-xy delimitada por y =√x, y = 0 e x = 1.

2) Determine o volume atrav´es de uma integral tripla:

a) Tetraedro delimitado pelos planos coordenados e o plano 2x + y + z = 4. b) S´olido limitado pelo parabol´oide x = y2_{+ z}2 _{e pelo plano x = 16.}

(31)

3) Expresse a integral´ ´ ´

Ef (x, y, z)dV como integral iterada de 6

mo-dos diferentes, onde E ´e o s´olido limitado pelas superf´ıcies z = 0, z = y e x = 1 − y2_.

4) Determine a massa e o centro de massa do s´olido limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 1, cuja densidade ´e dada por ρ(x, y, z) = y.

5) A fun¸cão densidade de probabilidade conjunta de variáveis aleatórias x, y e z é f (x, y, z) = Cxyz, se 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 2 e f (x, y, z) = 0 caso contrário. a) Determine C. b) Determine P (x ≤ 1, y ≤ 1, z ≤ 1). c) Determine P (x + y + z ≤ 1). Respostas: 1) a) 1 b) 1₃(e3_{− 1)} _{c) 4} _d) 65 28 2)a) 16 3 b)

(32)

3) ´1 −1 ´1−x2 0 ý 0 f (x, y, z)dzdydx ´1 0 ´√1−y −√1−y ý 0 f (x, y, z)dzdxdy ´1 0 ´z 1 ´√1−y −√1−yf (x, y, z)dxdydz ´1 0 ý 0 ´√1−y −√1−yf (x, y, z)dxdzdy ´1 −1 ´1−x2 0 ´1−x2 z f (x, y, z)dydzdx ´1 0 ´√1−y −√1−y ´1−x2 z f (x, y, z)dydxdz 4) a) 1₈ b) ₆₄1 c) ₅₇₆₀1

1.8 Integrais triplas em coordenadas

cil´ındricas

No sistema de coordenadas cartesianas, um ponto P no espa¸co pode ser representado pela terna ordenada P (r, θ, z), onde r e θ são as coordenadas polares da proje¸cão de P sobre o plano−xy e z é a distância de P ao plano−xy.

           x = rcosθ y = rsenθ z = z r2 _{= x}2_{+ y}2 y x = tgθ

(33)

Exemplos:

a) Coloque o ponto (2,π

3), dado em coordenadas cil´ındricas, no sistema de

coordenadas retangulares.

b) Coloque o ponto (√3, 1, 5), dado em coordenadas retangulares, em coor-denadas cil´ındricas.

c) Escreva o elips´oide 4x2 _{+ 4y}2 _{+ 4z}2_{, dado em coordenadas retangulares,}

em coordenadas cil´ındricas.

A utiliza¸cão desse tipo de coordenadas é útil quando a simetria do pro-blema é cil´ıncrica, ou seja, quando há um eixo de simetria coincidindo com um dos eixos coordenados.

Suponha que a regi˜ao E no espa¸co, tem D no plano−xy dada em coorde-nadas polares. Suponha f cont´ınua e

E = {(x, y, z)|(x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} (1.62)

(34)

Sabemos que: ˆ ˆ ˆ E f (x, y, z)dV = ˆ ˆ D " ˆ u2(x,y) u1(x,y) f (x, y, z)dz # dA (1.64)

Transformando a integral dupla em coordenadas polares, fica: ˆ ˆ ˆ E f (x, y, z)dV = ˆ β α ˆ h2(θ) h1(θ) ˆ u2(x,y) u1(x,y) f (rcosθ, rsenθ, z)rdzdrdθ (1.65) Exemplos: 1) Determine ´2 −2 ´√4−x2 −√4−x2 ´√2 x2_+y2(x 2 _{+ y}2_)dzdydx.

2) Calcule o volume interior simultaneamente `a esfera x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 4 e ao}

cilindro x2_{+ y}2 _{= 1.}

Exerc´ıcios

1) Descreva o s´olido cuja integral dada representa seu volume: a) ´4 0 ´2π 0 ´4 r rdzdrdθ. b) ´ π₂ 0 ´2 0 ´9−r2 0 rdzdrdθ.

(35)

2) Resolva as integrais usando coordenadas cil´ındricas: a) ´ ´ ´

Epx2+ y2dV , onde E ´e a regi˜ao dentro do cilindro x

2 _{+ y}2 _{= 16}

entre os planos z = −5 e z = 4. b) ´ ´ ´

Ee

z_{dV , com E limitado pelo parabol´oide z = 1 − x}2 _{− y}2 _{e pelo}

cilindro x2_{+ y}2 _{= 15 sobre o plano−xy.}

3) Determine a massa e o centro de massa do s´olido S limitado pelo parabol´oide z = 4x2 _{+ 4y}2 _{e pelo plano z = a, (a > 0), se S tem densidade}

constante.

(36)

1.9 Integrais triplas em coordenadas

esf´

ericas

As coordenadas esféricas de um ponto P no espa¸co são dadas por P (ρ, θ, φ), onde ρ é a distância de P a origem OP; θ é o ângulo entre OP′_{e o eixo-x}

(tal qual nas coordenadas cil´ındricas) e φ ´e o ˆangulo entre o eixo positivo z e o segmento OP. P′ _{r, θ,}π 2        z = ρcosφ x = ρsenφcosθ y = ρsenφsenθ ρ2 _{= x}2_{+ y}2_{+ z}2 Exemplos: a) Coloque 2,π 4, π

3 de coordenadas esf´ericas para retangulares.

(37)

c) Coloque a equa¸c˜ao x2_{− y}2_{− z}2 _{= 1 em coordenadas esf´ericas.}

Esse tipo de abordagem é muito útil quando se está resolvendo um pro-blema com simetria esférica (em rela¸cão a origem).

Considere uma regi˜ao E definida por

E = {(ρ, θ, φ)|a ≤ ρ ≤ b; α ≤ θ ≤ β; c ≤ φ ≤ d} (1.66) com a ≤ 0, β − α ≤ 2π e c − d ≤ π. Dividamos E em pequenas cunhas esf´ericas Eijk(correspondentes `as sub caixas retangulares) por meio de esferas

igualmente espa¸cadas ρ = ρi, semiplanos θ = θj e semicones φ = φk.

Elemento de volume: ∆V = r2_{senθ∆ρ∆θ∆φ} φ θ ρ ρsenφ ρ∆φ φ θ ρsenφ∆θ ∆ρ ∆θ

(38)

O volume dessa caixa ´e dado por:

∆Vijk ≈ (∆ρ)(ρi∆φ)(ρisenφk∆θ)

∆Vijk ≈ ρ2isenφk∆ρ∆φ∆θ (1.67)

Pelo Teorema do Valor M´edio, existe ( ¯φi, ¯θj, ¯φk) tal que:

∆Vijk = ¯ρ2isen ¯φk∆ρ∆φ∆θ (1.68)

Sejam (x∗

ijk, y∗ijk, zijk∗ ) as coordenadas correspondentes a ( ¯φi, ¯θj, ¯φk) em

coordenadas retangulares: ˆ ˆ ˆ E f (x, y, z)dV = lim l,m,n→∞ l X i=1 m X j=1 n X k=1

f (x∗_ijk, y_ijk∗ , z∗_ijk)∆V

= lim l,m,n→∞ l X i=1 m X j=1 n X k=1

f (¯ρisen ¯φkcos¯θj, ¯ρisen ¯φksen¯θj, ¯ρicos ¯φk)

¯

ρ2_isen ¯φk∆ρ∆φ∆θ (1.69)

que ´e uma Soma de Riemann, e portanto: ˆ ˆ ˆ E f (x, y, z)dV = = ˆ d c ˆ β α ˆ b a

f (ρisenφcosθ, ρsenφsenθ, ρcosφ)ρ2senφdρdφdθ

(1.70)

com E = {(ρ, θ, φ)|a ≤ ρ ≤ b; α ≤ θ ≤ β; c ≤ φ ≤ d} Exemplos:

(39)

1) Determine´ ´ ´

Be

(x2_+y2_+z2₎

dV , onde B = {(x, y, z), x2_{+ y}2_{+ z}2 _{≤ 1}.}

2) Determine o volume acima do cone z = px2_{+ y}2 _{e abaixo da esfera}

x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= z.}

Exerc´ıcios

1) Descrever a região sólida cujo volume é expresso por cada integra dada em coordenadas esféricas: a) ´ π₆ 0 ´ π₂ 0 ´3 0 ρ 2_{senφdρdθdφ} b) ´2π 0 ´π π 2 ´2 1 ρ 2_{senφdρdφdθ}

2) Calcule em coordenadas esf´ericas: a) ´ ´ ´

B(x

2_{+ y}2_{+ z}2_{)dV onde B = {(x, y, z); x}2_{+ y}2_{+ z}2 _{≤ 1}}

b) ´ ´ ´

EzdV , onde E é a região hemisférica acima do plano-xy e abaixo de

x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1.}

c) ´ ´ ´

Ex2dV , onde E ´e limitado pelo plano-xz e pelos hemisf´erios y =

(40)

3) Determine a massa e o centro de massa de um hemisfério sólido de raio a se a densidade em qualquer ponto for proporcional a sua distância a base.

Respostas 2) a) 4π₃ b)15π₁₆ c) 1562π₁₅

1.10 Mudan¸ca de vari´

aveis em integrais

m´

ultiplas

No Cálculo I foi aprendido que a mudan¸ca de variáveis pode ajudar na reso-lu¸cão de integrais: ˆ b a f (x)dx = ˆ d c f (g(u))g′_{(u)du −→}            x = g(u) dx = g′_(u)du d = g(b); c = g(a) (1.71)

Para integrais múltiplas existem mudan¸cas de variáveis úteis à resolu¸cão de problemas. Uma delas é a resolu¸cão de integrais duplas por coordenadas polares, em que aplica-se que x = rcosθ e y = rsenθ, obtendo-se:

ˆ ˆ R f (x, y)dA = ˆ ˆ S f (rcosθ, rsenθ)rdrdθ; (1.72) (1.73)

(41)

Genericamente, pode-se fazer uma mudan¸ca de variável através de uma transforma¸cão T do plano-uv no plano-xy:

T (u, v) = (x, y) (1.74)

com x = g(u, v), y = h(u, v) (ou x = x(u, v), y = y(u, v)).

Essa transforma¸c˜ao deve ser de classe C1 _{(g e h tem derivadas parciais}

de primeira classe cont´ınuas) e ter dom´ınio e imagem no R2_.

E se T for bijetora (“um a um ”), existe uma e somente uma T−1_(inversa)

de xy para uv tal que:

T−1(x, y) = (u, v)(u = u(x, y); v = v(x, y))

Exemplo:

(42)

Agora, vejamos como isso afeta a integral dupla. Seja o retângulo S no plano-uv de dimensões ∆u e ∆v. Através da transforma¸cão T , o mesmo se transforma na região R do plano-xy.

Temos:

r(u, v) = g(u, v)~i + h(u, v)~j (1.75)

(r(u, v) ´e o vetor imagem de (u, v)).

Assim as equa¸c˜oes das imagens dos lados inferior e esquerdo de R s˜ao: 

 

 

r(u, v0) = g(u, v0)~i + h(u, v0)~j

r(u0, v) = g(u0, v)~i + h(u0, v)~j

I) (1.76)

de as retas tangentes a essas duas equa¸c˜oes em (x0, y0) s˜ao, respectivamente:

  

 

ru = ∂x_∂u~i + ∂y_∂u~j

rv = ∂x_∂v~i + ∂y_∂v~j

(43)

Agora aproximemos R = T (S) pelo paralelogramo formado pelos vetores ~a e ~b da figura:

~a = r(u0, v0+ ∆v) − r(u0, v0)

~b = r(u0+ ∆u, v0) − r(u0, v0)

x x

Das equa¸c˜oes (1.77), temos:

ru = lim

∆u→0

r(u + ∆u, v0) − r(u0, v0)

∆u (1.78) rv = lim ∆v→0 r(u0, v0+ ∆v) − r(u0, v0) ∆v (1.79) =⇒     

r(u + ∆u, v0) − r(u0, v0) ≈ ∆uru

r(u0, v0+ ∆v) − r(u0, v0) ≈ ∆vrv (1.80) Donde: _     a ≈ ∆uru b ≈ ∆vrv (1.80) E assim: ~a ×~b = |ru× rv|∆u∆v (1.81)

(44)

Do produto vetorial: ru× rv = ~i ~j ~k ∂x ∂u ∂y ∂u 0 ∂x ∂v ∂y ∂v 0 = ~k ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v = ~k ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v (1.82)

DEFINI ¸C ˜AO: Jacobiano

O Jacobiano da transforma¸c˜ao T dada por x = g(u, v), y = h(u, v) ´e dado por: ∂(x, y) ∂(u, v) = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v = ∂x ∂u. ∂y ∂v − ∂x ∂v. ∂y ∂u (1.82)

Retomando (1.81), podemos aproximar a ´area de R por:

∆A = ~a ×~b = ∂(x, y) ∂(u, v) ∆u∆v (1.82)

Para o c´alculo de uma integral dupla, dividamos S em subretˆangulos Sij,

cujas imagens em xy s˜ao Rij. Assim como em dedu¸c˜oes anteriores, a integral

pode ser representada pelo limite da soma de Riemann, e assim: ˆ ˆ Rf (x, y)dA ≈ m X i=1 n X j=1 f (xi, yj)∆A (1.83) ≈ m X i=1 n X j=1 f (g(ui, vj), h(ui, vj)) ∂(x, y) ∂(u, v) ∆u∆v(1.84)

(45)

e portanto: ˆ ˆ R f (x, y)dA = ˆ ˆ x f (x(u, v), y(u, v)) ∂(x, y) ∂(u, v) dudv (1.84)

desde que T seja bijetora (possivelmente nos pontos de fronteira), de classe C1_{, o Jacobiano seja n˜ao-nulo e que f seja cont´ınua sobre R.}

Exemplos:

1) Chegue a f´ormula de integrais em coordenadas polares.

2) Calcule´ ´

Re

(x+y)

(x−y)_{dA, onde R é a região trapezoidal de vértices (1, 0),}

(2, 0), (0, −2) e (0, −1).

3) Calcule ´ ´

Bx

2_{dxdy, onde B ´e o conjunto x}2_{+ 4y}2_{≤ 1.}

Exerc´ıcios

1) Utilize a transforma¸c˜ao dada para calcular a integral: a) ´ ´

Rx2dA, onde R ´e limitada por 9x2+ 4y2 ≤ 36 com x = 2u e y = 3v.

b) ´ ´

(46)

e y = 3x e pelas hip´erboles xy = 1 e xy = 3, com x = u_v e y = v.

2) Calcule usando a mudan¸ca de vari´avel adequada: a)´ ´

Rx−2y3x−ydA, onde R ´e o paralelogramo delimitado por x−2y = 0, x−2y =

4, 3x − y = 1 e 3x − y = 8. b) ´ ´

B(x

2_{+ y}2_{)dA, onde B ´e o conjunto 4x}2_{+ y}2 _{≤ 1.}

Respostas: 1) a) 6π b) 2ln3 2) a) 8

5ln8 b) π 32

(47)

Teoremas da Fun¸c˜

ao Inversa e

da Fun¸c˜

ao Impl´ıcita

2.1 Preliminares

DEFINI ¸C ˜AO: Fun¸c˜ao Inversa:

Seja F : A ⊂ Rn _{→ R}n _{uma fun¸c˜ao injetora e seja B = Im(F ). Para cada}

Y ∈ A existe um ´unico X ∈ B tal que:

F (Y ) = X (2.1)

A fun¸c˜ao G : B ⊂ Rn_{→ R}n_{, definida por:}

(48)

é dita inversa de F e é notada por F−1_{. Se F}−1 _{existe, F é dita invers´ıvel e:}

G(F (X)) = X, _{∀X ∈ A} (2.3)

F (G(X)) = X, _{∀X ∈ B} (2.4)

Para F : R2 _{→ R}2_{, com F (X, Y ) = (f (x, y), g(x, y)), invers´ıvel com G = F}−1_,

tem-se G(x, y) (p(u, v), q(u, v)), tal que:      u = f (x, y) v = g(x, y) ⇐⇒      x = p(u, v) y = q(u, v) (2.5)

DEFINI ¸C ˜AO:Matriz Jacobiana: Seja f : Rn _{→ R dada por F (X) = (f}

1(X), f2(X), ..., fn(X)), diferenci´avel em (x0, y0), temos que: JF (x0, y0) =          ∂f1 ∂x1 ∂f1 ∂x2 · · · ∂f1 ∂xn ∂f2 ∂x1 ∂f2 ∂x2 · · · ∂f2 ∂xn ... . .. ... ∂fn ∂x1 ∂fn ∂x2 · · · ∂fn ∂xn          (2.6)

Exemplo: Calcule a matriz jacobiana de F (x, y) = (x2_{, x}3_+y2_{) no ponto}

(x, y).

Transforma¸c˜oes invers´ıveis localmente: `

(49)

local-mente há uma rela¸cão inversa que se comporta como fun¸cão e têm proprie-dades úteis.

TEOREMA:

Sejam F : A → A, com A compacto e P ∈ A. F ´e dita localmente invers´ıvel C1 _{em P se existir um conjunto aberto A}

1, tal que A1 ⊂ A e contendo P tal

que F ´e invers´ıvel C1 _{em A} 1.

Dem.:

Temos que provar que, para quaisquer X, Y ∈ A, tem-se:

||F (X) − F (Y )|| < ||X − Y || (2.7)

e assim existir´a um ´_{unico P ∈ A tal que F (P ) = P .} UNICIDADE:

Suponha X 6= Y pontos fixos:

||F (X) − F (Y )|| = ||X − Y || < ||X − Y || (→←) (2.8) EXISTˆENCIA:

Seja K(X) = ||X − F (X)||, X ∈ A. Temos que: - K ´e cont´ınua (pela f´ormula);

- A é compacto → K é cont´ınua → K assume m´ınimo em A. Seja P um m´ınimo. Então:

(50)

Supondo P 6= F (P ) (contradi¸c˜ao), e tomando T = F (P ):

||T − F (P )|| = ||F (P ) − F (F (P ))|| < |P − F (P )|. (2.10) Mas (2.9) est´a em desacordo com (2.10). Logo P = F (P ).

Exemplo: A fun¸cão F (r, θ) = (rcosθ, rsenθ) não é invers´ıvel em todo R2, porém admite inversa com −π

2 ≤ θ ≤ π 2, com:

r =px2_{+ y}2_; _{θ = arccos}x

r (2.11)

2.2 Teorema da Fun¸c˜

ao Inversa

TEOREMA:

Sejam F : A ⊂ Rn _{→ R}n_{do tipo C}1_{. Se o determinante da matriz Jacobiana}

é não-nulo( det(JP (P )) 6= 0 ), então F é invers´ıvel C1 _{em P .}

Exemplos:

1) Podemos generalizar a derivada da fun¸c˜ao inversa:

Sejam F : A → B com inversa C1 _{dada por G : B → A com X ∈ A.}

Temos que:

(51)

onde I ´e a fun¸c˜ao identidade. Derivando (2.12):

(G ◦ F )′(X) = I′_{(X) =⇒ G}′_{(F (X)) · F}′(X) = 1 (2.13)

e como Y = F (X), temos que:

G′(Y ) = 1

F′_(X) = [F

′_(X)]−1_. _(2.14)

2) Seja F (x, y) = (ex_{cosy, e}x_{seny) Mostre que F ´e invers´ıvel localmente}

em todo ponto.

2.3 Teorema da Fun¸c˜

ao Impl´ıcita

TEOREMA: Sejam A ⊂ R2 _{aberto e f : A → R do tipo C}1_{. Seja (a, b) ∈ A.}

Então se F é tal que (x, y) −→ F (x, y) = (x, f(x, y)) é localmente invers´ıvel em (a, b). Dem.: JF (a, b) =    ∂x ∂x(a, b) ∂x ∂y(a, b) ∂f ∂x(a, b) ∂f ∂y(a, b)   =    1 0 fx(a, b) fy(a, b)    (2.15)

⇒ det(JF (a, b)) = fy(a, b) 6= 0 (2.16)

(52)

TEOREMA: Seja A ⊂ R2 _{aberto e seja f : A → R do tipo C}1_{. Seja}

(a, b) ∈ A e f(a, b) = c. Suponha fy(a, b) 6= 0. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao

impl´ıcita y = ϕ(x) que ´e C1 _{em algum intervalo que cont´em a tal que ϕ(a) =}

b.

Dem.: Seja F (x, y) = (x, f (x, y)) de forma que F (a, b) = (a, c).

Conforme o teorema anterior, existe uma inversa G, de classe C1 _na

vizi-nhan¸ca de (a, c):

G(x, z) = (x, g(x, z)), com y = g(x, z), z = f (x, y) (2.17)

Definimos ϕ(x) = g(x, c). Por um lado:

F (x, ϕ(x)) = F (x, g(x, c)) = F (G(x, c)) = (x, c) (2.18)

por outro lado:

F (x, ϕ(x)) = (x, f (x, ϕ(x))) (2.19)

Comparando (2.18) e (2.19), temos que f (x, ϕ(x)) = (x, f (x, ϕ(x))). Al´em disso G(a, c) = (a, b) ⇒ ϕ(a) = b.

Exemplos:

1) Seja f (x, y) = x2_{+ y}2 _{e seja (a, b) = (1, 1).}

Sabemos que: a) c = f (1, 1) = 2

(53)

b) fy(x, y) = 2y ⇒ fy(a, b) = 2 6= 0 Assim existe uma fun¸c˜ao impl´ıcita

y = ϕ(x) em x = 1, que nesse caso ´e f´acil de ser determinada:

2 = x2+ y2 _{⇒ y =}√_{2 − x}2 _(2.20)

2) Seja f (x, y) = x2_{y + 3x}4_y3_{− 4 e seja (a, b) = (1, 1). Sabemos que:}

a) c = f (1, 1) = 0

b) fy(x, y) = x2+ 9x4y2 ⇒ fy(a, b) = 10 6= 0 Assim existe uma fun¸c˜ao

impl´ı-cita y = ϕ(x) em x = 1, porém não é direta a sua determina¸cão. Derivemos implicitamente a equa¸cão f (x, y) = 0 em rela¸cão a x:

x2y + 3x4y3_{− 4 = 0} (2.21) 2xy + x2y′+ 12x3y3+ 9x4y2y′ = 0 (2.22) y′ _{= −}2xy + 12x 3_y3 x2 _{+ 9x}4_y2 = ϕ(x) (2.23) Logo ϕ(1) = −75.

TEOREMA: da fun¸c˜ao impl´ıcita

Seja ϕ(x) uma fun¸c˜ao impl´ıcita satisfazendo f (x, ϕ(x)) = 0, com f e ϕ do tipo C1_{. Temos:}

ϕ′_{(x) = −}fx(x, ϕ(x)) fy(x, ϕ(x))

, (2.24)

(54)

Dem.: JF (x, y) =    1 0 fx(x, y) fy(x, y)    ⇒ det(JF (a, b)) = fy(x, y) 6= 0

Logo há y = ϕ(x). Derivemos a equa¸cão f (x, y) = 0 em rela¸cão a x (lem-brando que y = ϕ(x)): ∂f (x, y) ∂x + ∂f (x, y) ∂y · ∂y ∂x = 0 ∂y ∂x = − ∂f (x,y) ∂x ∂f (x,y) ∂y ⇒ ϕ′_{(x) = −}fx(x, ϕ(x)) fy(x, ϕ(x)) .

Todos os resultados obtidos at´e aqui podem ser expandidos at´e ordem n. Exerc´ıcios

1) Verifique se as seguintes fun¸c˜oes s˜ao localmente invis´ıveis C1 _{no ponto}

dado: a) F (x, y) = (x2_{− y}2_{, 2xy) em (x, y) 6= (0, 0)} b) F (x, y) = (_x2_+yx 2, y x2_+y2) em (x, y) 6= (0, 0) c) F (x, y) = (x + x2 _{+ y, x}2_{+ y}2_{) em (x, y) = (5, 8)}

2) Mostre que a transforma¸c˜ao definida por F (x, y) = (ex_{cosy., e}x_seny)

n˜ao ´e invers´ıvel em todo o R2 _{embora seja localmente invers´ıvel em todo}

(55)

C´

alculo Vetorial

3.1 Campos Vetoriais

DEFINI ¸C ˜AO:

(i) Seja D ⊂ R2_{. Um campo vetorial sobre o R}2 _{uma fun¸c˜ao F que associa}

cada (x, y) ∈ D a um vetor ~F (x, y) ∈ R2_.

(ii) Seja D ⊂ R3_{. Um campo vetorial sobre o R}3 _{uma fun¸c˜ao F que associa}

cada (x, y, z) ∈ D a um vetor ~F (x, y, z) ∈ R3_.

(56)

~ F (x, y, z) = P (x, y, z)~i + Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)~k ou (3.1) ~ F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ou ainda (3.2) ~ F (x, y, z) = P~i + Q~j + R~k (3.3)

onde P , Q e R s˜ao ditos campos escalares. `

As vezes, usamos ~x = (x, y, z) e F (~x) no lugar de ~F (x, y, z). Exemplo:

1) ~F = x~i + y~j.

2)

(57)

3) A lei da gravita¸c˜ao universal de Newton diz que

|| ~F || = G.M.m r2

e que essa for¸ca ´e de atra¸c˜ao. Tomemos r = ||~x||. Multiplicando || ~F || pelo versor de ~x: ~ F = || ~F || · − ~x ||~x|| = G.M.m ||~x||2 · − ~x ||~x|| = −G.M.m ||~x||2 · ~x e como ~x = (x, y, z) e ||~x|| =px2_{+ y}2_{+ z}2_: ~ F = − G.M.m (x2_{+ y}2_{+ z}2₎32 · x~i + y~j + z~k

3.1.1 Campo Gradiente

Sabemos que para uma fun¸c˜ao f de duas vari´aveis,

∇f(x, y) = ∂f

∂x(x, y)~i + ∂f

∂y(x, y)~j (3.4)

e que para op caso de trˆes vari´aveis:

∇f(x, y, z) = ∂f ∂x(x, y, z)~i + ∂f ∂y(x, y, z)~j + ∂f ∂z(x, y, z)~k. (3.5) E como ∇f ´e um campo vetorial, nomeamos de campo vetorial gradiente.

DEFINI ¸C ˜AO:

(58)

que F = ∇f, e nesse caso, f ´e dita fun¸c˜ao potencial de F . Exemplo: Se f (x, y, z) = _√mM G x2_+y2_+z2, temos: ∇f(x, y, z) = ∂f ∂x(x, y, z)~i + ∂f ∂y(x, y, z)~j + ∂f ∂z(x, y, z)~k (3.6) = − G.M.m (x2_{+ y}2_{+ z}2₎32 · x~i + y~j + z~k= F (x, y, z) (3.7)

e portanto o campo gravitacional ´e conservativo.

3.2 Integrais de Linha

Essa integral é semelhante a uma integral de uma variável, porém, ao invés de integrar em um intervalo a, b, integramos em uma curva C.

Seja uma curva plana C, de equa¸cões paramétricas x = x(t) e y = y(t), a ≤ t ≤ b. Supponha que C é lisa (r′ _{cont´ınua e r}′_{(t) 6= 0). Fa¸camos a}

parti¸c˜ao a = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn = b. Formam-se sub-intervalos [ti−1, ti], e

tomando-se xi = x(ti) e yi = y(ti), os pontos Pi(xi, yidividem C em sub-arcos

de comprimento ∆si.

Seja P∗

i um ponto arbitr´ario do i-´esimo sub-intervalo. Temos:

S =

n

X

i=1

(59)

que ´e uma soma de Riemman. Ent˜ao: ˆ C f (x, y)ds = lim n→∞ n X i=1 f (x∗_i, y∗_i)∆si (3.9)

Como o comprimento da curva C ´e dado por

L = ˆ b a s dx dt 2 + dy dt 2 dt (3.10) ent˜ao: ˆ C f (x, y)ds = ˆ b a f (x(t), y(t)) s dx dt 2 + dy dt 2 dt (3.11)

A interpreta¸cão geométrica da integral de linha é a seguinte: Se f (x, y) é positiva para a ≤ t ≤ b, então a integral de linha dá a área entre a curva f (x, y) e a curva C.

Exemplo: 1)´

C y

x ds onde C ´e dado por x = t

4_{, y = t}3_, 1

2 ≤ t ≤ 1.

Se C for uma curva lisa por trechos, ou seja, C for uma uni˜ao de curvas lisas, C = C1∪ C2, ∪ · · · ∪ Cn, temos: ˆ C f (x, y)ds = ˆ C1 f (x, y)ds + ˆ C2 f (x, y)ds + · · · + ˆ Cn f (x, y)ds (3.12)

(60)

x y z f (x(t), y(t)) C(t) C(a) C(b) Exemplo: 2) Calcule ´

C2xds onde C ´e formada pelo arco de par´abola y = x 2 _de

(0, 0) a (1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical de (1, 1) a (2, 2).

Podemos ainda obter outras integrais, trocando na defini¸c˜ao ∆si por ∆xi

(61)

a y:        ´ Cf (x, y)dx = lim_n→∞ n P i=1 f (x∗ i, yi∗)∆xi ´ Cf (x, y)dy = lim_n→∞ n P i=1 f (x∗ i, yi∗)∆yi =⇒ (3.13) =⇒      ´ Cf (x, y)dx = ´b a f (x(t), y(t)) x′(t)dt ´ Cf (x, y)dy = ´b a f (x(t), y(t)) y′(t)dt (3.14)

Caso apare¸cam integrais de linha com rela¸c˜ao a x e a y, temos: ˆ C P (x, y)dx + ˆ C Q(x, y)dy = ˆ C (P (x, y)dx + Q(x, y)dy) (3.15) Exemplo: 3) Calcule ´ Cy 2_{dx + xdy}

a) C = C1 ´e o segmento de rela de (−5, −3) a (0, 2).

b) C = C2 ´e o arco de par´abola x = 4 − y2 de (−5, −3) a (0, 2).

Em geral o resultado de uma integral de linha muda de acordo com a trajetória escolhida. Além disso, o sentido da trajetória também interfere no

(62)

resultado (ao menos em rela¸c˜ao a x e a y): ˆ Cf (x, y)dx = − ˆ −C f (x, y)dx (3.16) ˆ Cf (x, y)dy = − ˆ −C f (x, y)dy (3.17)

Por´em em se tratando da integral de linha no comprimento de arco, o sentido n˜ao altera o resultado:

ˆ

Cf (x, y)ds = −

ˆ

−C

f (x, y)dx (3.18)

3.2.1 Integrais de linha no espa¸co

Os resultados obtidos s˜ao an´alogos. Para a integral no comprimento de arco, temos: ˆ C f (x, y, z)ds = ˆ b a f (x(t), y(t), z(t)) s dx dt 2 + dy dt 2 + dz dt 2 dt(3.19)

Se r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k, note-se que a ´ultima integral se resume a ˆ b

a f (r(t)) |r

(63)

e as integrais em x y e z ficam: ˆ C f (x, y, z)ds = ˆ b a f (x(t), y(t), z(t)) x′(t)dx (3.21) ˆ C f (x, y, z)ds = ˆ b a f (x(t), y(t), z(t)) y′(t)dy (3.22) ˆ C f (x, y, z)ds = ˆ b a f (x(t), y(t), z(t)) z′(t)dz (3.23) Exemplo: 4) Calcule ´

Cydx + zdy + xdz onde C consiste no segmento de reta C1,

de (2, 0, 0) a (3, 4, 5), seguido do segmento de reta C2, de (3, 4, 5) a (3, 4, 0).

3.2.2 Integral de um campo vetorial

Seja F = P~i + Q~j + R~k um campo de for¸ca cont´ınuo no R3_{. Queremos}

calcular o trabalho τ exercido para movimentar uma part´ıcula ao longo de uma curva lisa C.

Dividindo C em sub-arcos P_i−1Pi, de comprimento ∆si e escolhendo Pi∗

arbitrário em cada sub-arco, pode-se afirmar que o deslocamento da part´ıcula em um ∆si pequeno é aproximado em sua dire¸cão, pelo verso ~T (t∗i) do vetor

(64)

tangente a C em P∗ i: τi = ~Fi· ~di =h ~F (x∗i, yi∗, z∗i) i ·h∆siT (t~ ∗i) i (3.24) = h ~F (x∗ i, yi∗, z∗i) · ~T (t∗i) i ∆si (3.25) ⇒ τ ≈ n X i=1 h ~_{F (x}∗ i, yi∗, z∗i) · ~T (x∗i, yi∗, zi∗) i ∆si (3.26)

Tomando o limite com n → ∞: τ =

ˆ

C

~

F (x, y, z) · ~T (x, y, z)ds (3.27)

Se a curva C ´e dada por r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k, ent˜ao:

τ = ˆ b a [F (r(t))] · r′_(t) ||r′_(t)|| ||r′(t)||dt ⇒ τ = ˆ b a F (r(t))r′(t)dt (3.28) Exemplo: 5) Calcule ´

CF · d~r onde ~~ F (x, y, z) = (xy, yz, zx) e C ´e a c´ubica x = t,

y = t2_{, z = t}3_{, 0 ≤ t ≤ 1.}

Relacionando a integral de linha do campo vetorial coma do campo esca-lar:

(65)

Se ~F = P~i + Q~j + R~k, temos: ˆ C ~ F d~r = ˆ b a F (r(t))r′(t)dt (3.29) = ˆ b a P~i + Q~j + R~k_·x′(t)~i + y′(t)~j + z′(t)~kdt (3.30) = ˆ b a (P (x, y, z)x′(t) + Q(x, y, z)y′(t) + R(x, y, z)z′(t)) dt(3.31) ˆ C ~ F d~r = ˆ b a (P dx + Qdy + Rdz) (3.32) Exerc´ıcios

1) Calcule as integrais de linha: a) ´

Cxy

4_{ds onde C ´e a metade direita do c´ırculo x}2_{+ y}2 _{= 16.}

b) ´

C(xy + lnx)dx, onde C ´e o arco de par´abola y = x

2 _{de (1, 1) a (3, 9).}

c) ´

Cxydx + (x − y)dy, onde C consiste nos segmentos de reta de (0, 0) a

(2, 0) e de (2, 0) a (3, 2). d) ´

C(x + yz)dx + 2xdy + xyzdz, onde C consiste nos segmentos de reta de

(1, 0, 1) a (2, 3, 1) e de (2, 3, 1) a (2, 5, 2).

2) Calcule a integral de linha´

CF ·d~r, onde C ´e dada pela fun¸c˜ao vetorial~

(66)

a) ~F (x, y) = x2_y3_{~i − y}√_x~j, _{r(t) = t}2_{~i − t}3_~j, _{0 ≤ t ≤ 1.}

b) ~F (x, y, z) = yz~i + xz~j + xy~k, r(t) = t~i + t2_{~j + t}3_{~k, 0 ≤ t ≤ 2.}

3) Um arame fino ´e entortado no formato de uma semicircunferˆencia, x2 _{+ y}2 _{= 4, x ≥ 0. Se a densidade linear for constante(K), determine a}

massa e o centro de massa do arame. Respostas: 1) a) 1638,4 b) 464 5 + ln3 c) 17 3 d) 97 3 2) a) −59 5 b) 6 5 − cos1 − sen1 3)2πK; ( 4 π, 0)

3.3 Teorema Fundamental para as Integrais

de Linha

TEOREMA:

Seja C uma curva lisa, definida pela fun¸cão vetorial r(t), a ≤ t ≤ b. Seja f uma fun¸cão diferenciável de duas ou mais variáveis, de vetor gradiente ∇f, cont´ınuo em C. Então:

ˆ

C∇f · d~r = f(r(b)) − f(r(a))

(67)

Dem: Caso n = 3. Sabe-se que´ CF ·d~r =~ ´b a F (r(t))· ~r~ ′(t)dt. Aplicando: ˆ C∇f · d~r = ˆ b a ∇f(r(t)) · ~ r′_(t)dt _(3.34) = ˆ b a ∂f ∂x~i + ∂f ∂y~j + ∂f ∂z~k · dx dt~i + dy dt~j + dz dt~k dt(3.35) = ˆ b a ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt + ∂f ∂z dz dt dt (3.36) = ˆ b a d dtf (r(t))dt (3.37) ˆ C∇f · d~r = f(r(b)) − f(r(a)) (3.38)

3.3.1 Independˆ

encia do caminho

Suponha que C1 e C2 s˜ao curvas lisas por trechos que tˆem o mesmo ponto

inicial A e o mesmo ponto final B. Então, dada uma fun¸cão f diferenciável, temos que: ˆ C1 ∇fd~r = ˆ C2 ∇fd~r (3.39)

Se f ´e o potencial de ~F , ou seja, ~_{F = ∇f, temos:} ˆ C1 ~ F d~r = ˆ C2 ~ F d~r (3.40)

ou seja, se ~F ´e conservativo, a integral de linha´

CF d~r independe do caminho~

(o que significa que depende apenas das extremidades). Al´em disso, se uma curva C for fechada e ~F for conservativo, ent˜ao, ´

CF d~r = 0.~

(68)

´

CF d~r ´e independente do caminho se, e somente se,~

´

CF d~r = 0 para todo~

caminho fechado C em D. Dem.:

(=⇒) Seja C uma curva fechada e ~F conservativo: ˆ C ~ F d~r = ˆ C1 ~ F d~r + ˆ C2 ~ F d~r = ˆ C1 ~ F d~r + ˆ −C1 ~ F d~r = 0 (3.41) (⇐=) Seja ´ CF = 0:~ ˆ C ~ F = 0 (3.42) ˆ C1 ~ F d~r − ˆ C2 ~ F d~r = 0 (3.43) ˆ C1 ~ F d~r = ˆ C2 ~ F d~r (3.44) TEOREMA:

Suponha que ~F seja um campo vetorial cont´ınuo sobre uma regi˜ao aberta D. Se´

CF d~r for independente do caminho em D, ent˜ao ~~ F ´e um campo vetorial

conservativo, ou seja, existe f tal que ~F = nablaF . Dem.:

Suponha A(a, b) um ponto fixo em D. Definimos:

f (x, y) = ˆ (x,y)

(a,b)

~

F d~r (3.45)

como a fun¸c˜ao potencial de ~F . Como ´

(69)

(i) Seja C dividido em duas partes: C1 que liga A(a, b) a um ponto

qualquer (a, y) e C2 que liga (a, y) a (x, y):

f (x, y) = ˆ (x,y) (a,b) ~ F d~r = ˆ C1 ~ F d~r + ˆ C2 ~ F d~r (3.46) = ˆ (a,y) (a,b) ~ F d~r + ˆ C2 ~ F d~r (3.47) Como ´(a,y)

(a,b) F d~r n˜ao depende de x:~

∂ ∂xf (x, y) = 0 + ∂ ∂x ˆ C2 ~ F d~r (3.48) e se ~F = P~i + Q~j, temos´ C2 ~ F d~r =´

C2P dx + Qdy. Como y ´e constante em

C2, dy = 0. Usando t como parˆametro, com x1 ≤ t ≤ x:

∂ ∂xf (x, y) = 0 + ∂ ∂x ˆ C2 P dx + Qdy = ∂ ∂x ˆ x x1 P (t, y)dt = P (x, y) (3.49)

(ii) Fazendo C com uma das partes vertical, temos:

f (x, y) = ˆ (x,b) (a,b) ~ F d~r + ˆ (x,y) (x,b) ~ F d~r ∂ ∂yf (x, y) = 0 + ∂ ∂y ˆ (x,y) (x,b) ~ F d~r = Q(x, y)(3.50) E assim: ~ F = P~i + Q~j = ∂ ∂xf (x, y)~i + ∂ ∂yf (x, y)~j = ∇f (3.51)

ou seja, ~F ´e conservativo.

(70)

~

F ´e conservativo e ~F = P~i + Q~j (com P e Q de classe C1_{), existe f tal que}

∇f = ~F , ou seja: ∂

∂xf (x, y)~i; ∂

∂yf (x, y)~i = Q (3.52)

Pelo teorema de Clairaut: ∂P ∂y = ∂2 ∂x∂yf (x, y)~i = ∂2 ∂y∂xf (x, y) = ∂ ∂y ∂ ∂xf (x, y) = ∂Q ∂x (3.53) TEOREMA:

Se ~F = P~i + Q~j é conservativo, onde P e Q são de classe C1 _{em D, então,}

para qualquer ponto em D

∂P ∂y =

∂Q

∂x. (3.54)

A rec´ıproca do teorema s´o ocorre se D for simplesmente conexa.

Regi˜ao simplesmente conexa: toda curva simples fechada de extremos em D e contorna apenas pontos em D.

TEOREMA:

Se ~F = P~i + Q~j ´e conservativo sobre D aberta e simplesmente conexa, P e Q s˜ao de classe C1 _e

∂P ∂y =

∂Q

∂xpara todo(x, y) ∈ D (3.55)

(71)

Exemplos:

1) Determinar se o campo vetorial ´e conservativo: a) ~_{F = (2x − y)~i + (3x − 4y)~j.}

b) ~_{F = (5x − 4xy)~i + (2x}2_{− 5y}5_)~j.

2) Determine a fun¸c˜ao potencial do campo conservativo ~_{F = (2x − y)~i +} (3x − 4y)~j.

3) Para ~_{F = (2x − y)~i + (3x − 4y)~j., calcule} ´

CF d~r sendo C dado por~

r(t) = et_{sent~i + e}t_{cost~j; 0 ≤ t ≤ π.}

4) Determine, se existir, uma fun¸c˜ao potencial para ~F (x, y, z) = yz~i + xz~j + (xy + 2z)~k.

(72)

3.3.2 Conserva¸c˜

ao da energia

Seja um corpo que se move sobre uma curva lisa C, de equa¸c˜ao r(t) com a ≤ t ≤ b sob a a¸c˜ao de um campo de for¸ca ~F . Pela 2a _{Lei de Newton:}

~

F (r(t)) = m · ~r′′(t) (3.56)

O trabalho realizado no trajeto ´e:

τ = ˆ C ~ F d~r = ˆ b a ~ F (r(t)) · ~r′_{(t)dt =} ˆ b a m · ~r ′′_{(t) · ~r}′_(t) _(3.57) mas _dtd(r′_.r′_{) = 2r}′_.r′′_{, ent˜ao:} τ = m 2 ˆ C d dth~r′(t).~r′(t) i dt = m 2 ˆ C d dt||r(t)|| 2_dt _(3.58) = m 2||r(t)|| 2 |ba= m 2 |r ′_(b)|2 − |r′(a)|2 (3.59) τ = m 2 v(b) 2 − v(a)2 (3.60) τ = K(b) − K(a) (3.61)

onde v(b) e v(a) são velocidades escalares e K(a) e K(b) energias cinéticas. Por outro lado , a energia potencial é o potencial (negativo) da for¸ca, ou seja, ~_{F = −∇P . Então:} τ = ˆ C ~ F d~r = ˆ C−∇P d~r = −P (r(b) + P (r(a)) (3.62) τ = P (A) − P (B) (3.63)

(73)

Assim, P (A) + K(A) = P (B) + K(B), que ´e a lei de conserva¸c˜ao da energia.

Exerc´ıcios

1) Determine se ~F é conservativo ou não, e em caso afirmativo, determine a fun¸cão potencial f .

a) ~F = (6x + 5y)~i + (5x + 4y)~j.

b) ~_{F = (2xcosy − ycosx)~i + (x}2_{seny − senx)~j}

c) ~F = (yex_{+ seny)~i + (e}x_{+ xcosy)~j.}

2) Determine a fun¸c˜ao potencial f tal que ~_{F = ∇f e use-a para calcular} ´

CF d~r.~

a) ~F = (x3_y4_{)~i + (x}4_y3_)~j;

C : r(t) =√t~i + (1 + t3_{)~j; 0 ≤ t ≤ 1}

b) ~F = (y2_{cosz − ycosx)~i + (2xycosz)~j − xy}2_senz~k;

C : r(t) = t2_{~i + sent~j + t~k; 0 ≤ t ≤ π}

3) Mostre que a integral de linha ´

Ctgxdx + sec

2_{ydy onde C ´e qualquer}

caminho de (1, 0) a (2,π

4), e calcule-a

(74)

1) a) f (x, y) = 3x2_{+ 5xy + 2y}2_{+ k, k ∈ R} b) f (x, y) = x2_{cosy − ysenx + k, k ∈ R} c) f (x, y) = yex_{+ xseny + k, k ∈ R} 2) a) f (x, y) = 1₄x4_y4_{; 4} _{b) f (x, y) =} 1 4xy 2_{cosz; 0} 3) 2

3.4 Teorema de Green

Esse teorema relaciona uma integral de linha fechada em C a uma integral dupla sobre uma região D, limitada por C. Ao enunciar o teorema adotare-mos, por conven¸cão, que a orienta¸cão positiva será obtida ao percorrer C no sentido anti-horário.

TEOREMA: (de Green)

Seja C uma curva plana simples, fechada, cont´ınua, lisa por trechos e orien-tada no sentido positivo e seja D a região limiorien-tada por C. Se P e Q são C1, temos: ˛ C P dx + Qdy = ˆ ˆ D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA (3.64) Nota¸cão: ff CP dx + Qdy = ¸

CP dx + Qdy : integral fechada com orienta¸c˜ao positiva

´ ´ D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA =´

∂DP dx + Qdy : integral sobre a regi˜ao D

(75)

Devemos mostrar que: ¸ CP dx = ´ ´ D− ∂P ∂ydA e ¸ CQdy = ´ ´ D− ∂Q ∂xdA.

Vamos supor que D ´e do tipo I (para tipo II ´e similar):

D = {(x, y)|a ≤ x ≤ b; g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} (com g1 e g2 cont´ınuas):

ˆ ˆ D ∂P ∂ydA = ˆ b a ˆ g2(x) g1(x) ∂P ∂ydA = ˆ b a P (x, g2(x)) − P (x, g1(x))dx (3.65) Analisemos a figura: ˆ C1 P (x, y)dx = ˆ b a P (x, g1(x))dx (3.66) ˆ C2 P (x, y)dx = ˆ C4 P (x, y)dx = 0 (3.67) ˆ C3 P (x, y)dx = ˆ b a P (x, g2(x))dx (3.68) ∴ ˆ C P (x, y)dx = ˆ b a P (x, g1(x))dx − ˆ b a P (x, g2(x))dx (3.69)

(76)

Comparando (3.65) e (3.69): ˛ C P dx = ˆ ˆ D− ∂P ∂ydA (3.70)

De forma an´aloga , prova-se que ¸

CQdy =

´ ´

D− ∂Q

∂xdA, o que conclui a

prova do teorema de Green para este caso particular. Exemplos:

1) Calcule ´

Cx4dx + xydy onde C ´e o triˆangulo formado pelos segmentos

de reta orientados de (0, 0) a (1, 0) de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0).

Uma aplica¸cão reversa do teorema de Green é o cálculo de áreas através de integrais de linha. Se a área da região D é´ ´

D1dA, temos que determinar

P e Q de forma que ∂Q_∂x ₋ ∂P_∂y = 1. Ent˜ao:

A = ˛ C xdy = ˛ C ydx = 1 2 ˆ Cxdy − ydx (3.71) Exemplos:

2) Calcule a ´area interior a elipse de equa¸c˜ao x2 a2 +

y2

b2 = 1.

Podemos estender a prova de que o teorema de Green é válido para D simples para D sendo uma união finita de regiões simples:

(77)

˛ C1∪C3 P dx + Qdy = ˆ ˆ D1 ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA (3.72) ˛ C1∪(−C3) P dx + Qdy = ˆ ˆ D2 ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA (3.73) Somando: ˛ C1∪C2 P dx + Qdy = ˆ ˆ D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA (3.74) Exemplos: 3) Calcule ¸ Cy

2_{dx + 3xydy onde C ´e a fronteira da regi˜ao semicircular}

D contida no seminal superior entre x2_{+ y}2 _{= 1 e x}2_{+ y}2 _{= 4.}

Por um motivo semelhante, o teorema de Green pode ser usado em regi˜oes com furos:

(78)

4) Se

F (x, y) = (−y~i + x~j)

x2_{+ y}2 , (3.75)

mostre que ´

CF dr = 2π, para todo caminho fechado em torno da origem.

Exerc´ıcios:

1) Calcule as integrais de linha por dois m´etodos: (1) diretamente, (2) usando o teorema de Green.

a)¸

Cxy

2_{+ x}3_{dy onde C é o retângulo de vértices (0, 0), (2, 0), (2, 3) e (0, 3).}

b) ¸

Cxydx + x

2_y3_{dy onde C é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2).}

c) ¸

Cxdx + ydy onde C consiste nos segmentos de reta cd (0, 1) a (0, 0) e de

(0, 0) a (1, 0) e na par´abola y = 1 − x2 _{de (1, 0) a (0, 1)}

2) Dados ~F = (√x + y3_{)~i + x}2_{+ √y~j e C como sendo o arco de curva}

y = senx de (0, 0) a (π, 0) e do segmento de reta de (π, 0) a (0, 0), use o teorema de Green para calcular ´

CF · d~r. (Verifique a orienta¸c˜ao da curva~

(79)

Respostas 1) a) 6 b) 2₃ c) 2) 4₃ _{− 2π}

3.5 Rotacional e Divergˆ

encia

O operador “nabla” (∇) ´e um operador diferencial vetorial: ∇ = ~i_∂x∂ + ~j ∂

∂y + ~k ∂

∂z (3.76)

O gradiente é o resultado obtido pela aplica¸cão de ∇ sobre uma fun¸cão escalar (“multiplica¸cão” do operador ∇ pelo “escalar ” f):

∇f = ~i∂f_∂x + ~j∂f ∂y + ~k

∂f

∂z (3.77)

DEFINI ¸C ˜AO: Rotacional

O rotacional do campo vetorial ~_{F ´e o produto vetorial de ∇ por ~}F :

rot ~_{F = ∇ × ~}F = ~i ~j ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q R (3.78) = ∂R ∂y − ∂Q ∂z ~i + ∂P ∂z − ∂R ∂x ~j + ∂Q ∂x − ∂P ∂y ~k (3.79) Exemplo: 1) F (x, y, z) = x2_{~i + xy~j − z~k.}

(80)

TEOREMA:

Se f é uma fun¸cão de três variáveis com derivadas parciais de 2a _ordem

cont´ınuas, ent˜ao: rot(∇f) = ∇ × (∇f) = 0 (3.80) Dem: ∇ × (∇f) = ~i ~j ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z = 0 (3.81)

Observe que se ~F ´e conservativo, existe f tal que ~_{F = ∇f e que ∇ ×} (∇f) = 0.

COROL ´_{ARIO: ∇ × ~}_{F = 0 ⇒ ~}F é conservativo. CUIDADO: A rec´ıproca não é verdadeira! Exemplo:

2) F (x, y, z) = xz~i + xyz~j − y3~k n˜ao ´e conservativo.

TEOREMA:

Se F ´e um campo definido sobre o R3 _{(Dom = R}3_{), suas componentes tˆem}

derivadas de segunda ordem cont´ınuas e ∇ × F = 0, ent˜ao F ´e conservativo. Exemplo:

(81)

3) Considere o campo ~F = y2_z3_{~i + 2xyz}3_{~j + 3xy}2_z2~k e responda:

a) ~F ´e conservativo?

b) Determine, se poss´ıvel, f tal que ∇f = ~F . Interpreta¸c˜ao f´ısica

O nome rotacional se deve ao fato que que o vetor rotacional está relacio-nado a rota¸cões. Considere um fluido cujo campo de velocidades é dado por

~

F . Part´ıculas próximas a P (x, y, z) tendem a “rodar ” em torno do eixo do vetor rotacional nesse ponto. O módulo de ∇ × ~F indica quão rápido essas part´ıculas se movimentarão. Se ∇ × ~F = 0, o campo é dito irrotacional, ou seja, não existe redemoinho ou sorvedouro.

DEFINI ¸C ÃO: (Divergência) A divergência do campo vetorial ~F é o produto escalar entre o operador ∇ e o campo ~F :

div ~_{F = ∇ · ~}F = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z (3.82) Exemplo: 4) ~F = xz~i + y2_{z~j + z}2_~k TEOREMA:

Se ~F P~i + Q~j + R~k ´e um campo sobre o R3_{, e P , Q e R tˆem derivadas de 2}a

ordem cont´ınuas, ent˜ao:

(82)

Dem.: ∇ × ~F = ~i ~j ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q R (3.84) = ∂R ∂y − ∂Q ∂z ~i + ∂P ∂z − ∂R ∂x ~j + ∂Q ∂x − ∂P ∂y ~k (3.85) ∇ · (∇ × ~F ) = ∂ ∂x ∂R ∂y − ∂Q ∂z + ∂ ∂y ∂P ∂z − ∂R ∂x + ∂ ∂z ∂Q ∂x − ∂P ∂y (3.86) Exemplo:

5) Mostre que o campo ~F (x, y, z) = xz~i + y2_{z~j + z}2~k n˜ao pode ser escrito

como rotacional de um campo ~_{G, ou seja, que ∇ × ~}_{F 6= ~}G

Interpreta¸c˜ao f´ısica:

Se ~_{F ´e o campo de velocidade em um fluido, ∇ · ~}F representa a taxa de varia¸c˜ao da massa no ponto (x, y, z) por unidade de volume. Se ∇ · ~F = 0,

~

F ´e dito incompreens´ıvel.

Quando aplicamos o divergente no gradiente, obtemos:

∇ · (∇f) = ∂ 2_f ∂x2 + ∂2_f ∂y2 + ∂2_f ∂z2 = ∇ 2_f _(3.87) onde ∇2 ₌ ∂2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2

(83)

3.5.1 Formas vetoriais do teorema de Green

1) Seja ~F = P~i + Q~j e sejam D uma regi˜ao limitada por uma curva C. ˛ F dr = ˛ P dx + Qdy (3.88) ∇ × ~F = ~i ~j ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q R = ∂Q ∂x − ∂P ∂y ~k (3.89) ∴ ∂Q ∂x − ∂P ∂y = (∇ × ~F ) × ~k (3.90) Logo: ˛ ~ F d~r = ˆ ˆ D(∇ × ~F ) · ~kdA (3.91)

2) Se C ´e dado por r(t) = x(t)~i + y(t)~j com a ≤ t ≤ b o versor tangente a r ´e: ~ T (t) = x′(t) ||r′_(t)||~i + y′_(t) ||r′_(t)||~j (3.92)

e o versor normal ´e

~n(t) = y′(t) ||r′_(t)||~i −

x′_(t)

(84)

Logo: ˛ C ~ F · ~ndS = ˆ b a ~_{F · ~n(t)} · ||r′(t)||dt (3.94) = ˆ b a P (x(t), y(t)).y′_(t) ||r′_(t)|| − Q(x(t), y(t)).x′_(t) ||r′_(t)|| ||r′(t)||dt(3.95) = ˆ b a [P (x(t), y(t)).y′_{(t) − Q(x(t), y(t)).x}′(t)] dt (3.96) = ˆ b a P dy − Qdx = ˆ ˆ D ∂P ∂x − ∂Q ∂y (3.97)

mas ∂P_∂x ₋ ∂Q_∂y _{= ∇ · ~}F . Portanto:

˛ C ~ F · ~ndS = ˆ ˆ D∇ · ~ F (3.98) Exercicios

1) Determine o divergente e o rotacional: a) ~_{F (x, y, z) = xyz~i − x}2_y~k

b) ~F (x, y, z) = lnx~i + lnxy~k

2) Determine se ~F ´e conservativo. Em caso afirmativo, determine o po-tencial f .

a) ~_{F (x, y, z) = yz~i − xz~j + xy~k} b) ~F (x, y, z) = ye−x_{~i + e}−x_{~j + 2z~k}

(85)

3) Existe um campo vetorial G em R3 _{tal que rotG = yz~i + xyz~j + xy~k?}

Explique.

4) Mostre que qualquer campo na forma

~

F (x, y, z) = f (x)~i + g(y)~j + h(z)~k (3.99)

onde f , g e h são diferenciáveis, é irrotacional.

Respostas: 1) a) ∇ × ~F = −x2~i + 3xy~j − xz~k; ∇ · ~F = yz b) ∇ × ~F = 1 y~i − 1 x~j + 1 x~k; ∇ · ~F = 1 x + 1 y + 1 z

(86)

3.6 Superf´ıcies Param´

etricas e suas ´

areas

3.6.1 Superf´ıcie Param´

etrica

Podemos descrever uma superf´ıcie a partir de uma fun¸cão vetorial r(u, v) onde u e v são chamados de parâmetros:

r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k (3.100)

Exemplos:

1) Descrever r(u, v) = 2cosu~i + v~j + 2senu~k.

2) Determinas a fun¸c˜ao vetorial do plano que passa por r0 e cont´em os

vetores ~a e ~b.

3) Parametrize a equa¸c˜ao da esfera x2 _{+ y}2_{+ z}2 _{= a}2_.

4) Parametrize x2 _{+ y}2 _{= 4 com 0 ≤ z ≤ 1.}

(87)

Superf´ıcie de revolu¸c˜_{ao: No caso de y = f (x) com a ≤ x ≤ b,} rotacio-nada em torno do eixo x, podemos fazer:

   x = x y = f (x)cosθ z = f (x)senθ Exemplo:

6) Determine as equa¸cões paramétricas da rota¸cão de y = cosx com 0 ≤ x ≤ π em torno do eixo-x.

Planos tangentes: Seja uma superf´ıcie dada por:

r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k (3.101)