Movimento
harmônico simples
(mhs)
PÊNDULO SIMPLES
Um pêndulo simples é um
sistema suspenso por um fio
inextensível e leve.
Quando afastado de sua posição
de equilíbrio e solto, o pêndulo
oscilará em um plano vertical
sob à ação da gravidade.
O movimento é periódico e,
chama-se
período
de
oscilação (T) ao tempo gasto
para uma oscilação completa
(ida e volta). ideal que consiste
de uma partícula
fio inextensível
e sem massa
massa
pendular
m
L
q
Elementos do
pêndulo
simples:
q amplitude
L comprimento
m massa pendular
m
L
q
Período de oscilação para
pequenas amplitudes :
q ≤ 10°
T = 2.p.
L
q ≤ 10°
T = 2.p.
L
g
Leis do pêndulo simples
1
O período de
oscilação é
diretamente
proporcional à raiz
quadrada do
comprimento.
Período de oscilação para
pequenas amplitudes :
q ≤ 10°
T = 2.p.
L
g
Leis do pêndulo simples
2
O período de
oscilação é
inversamente
proporcional à raiz
quadrada
aceleração da
gravidade.
Período de oscilação para
pequenas amplitudes :
Leis do pêndulo simples
3
O período de
oscilação não
depende da
amplitude (para
pequenas
amplitudes)
q ≤ 10°
T = 2.p.
L
g
Período de oscilação para
pequenas amplitudes :
q ≤
10
°
T = 2.p.
L
g
Leis do pêndulo simples
4
O período de
oscilação não
depende da massa
pendular.
Note que m não aparece na equação !
Período de oscilação para
pequenas amplitudes :
q ≤ 10°
T = 2.p.
L
g
Leis do pêndulo simples
5
O plano de
oscilação de um
pêndulo simples
permanece
constante.
Período de oscilação para
pequenas amplitudes :
Leis do pêndulo simples
6
O plano de
oscilação de um
pêndulo simples
permanece
constante.
O plano de oscilação do
pêndulo abaixo permanece
constante, mesmo que o
suporte sofra rotação.
Principais
aplicações
do
pêndulo simples :
Comprovação
do
movimento
de
rotação da Terra
Determinação
da
aceleração
da
gravidade
Comprovação
do
movimento
de
rotação da Terra
Em 1600, Giordano Bruno foi
condenado à fogueira pela
Inquisição porque acreditava
que a Terra se movia em
torno do seu eixo e em torno
do Sol. Trinta e três anos
depois, Galileu Galilei só não
teve o mesmo destino
porque renunciou à sua
convicção científica.
A dificuldade em confirmar
a rotação da Terra reside no
fato de que se trata de uma
rotação muito lenta (0,0007
Em 1851, o astrônomo francês
Foucault realizou uma bela e
simples experiência capaz de
demonstrar a rotação da
Terra.
Com uma corda de 67 metros,
fixa no teto do Panteon de
Paris, ele suspendeu uma
esfera de ferro de 28 kg e
imprimiu-lhe um movimento
pendular.
Comprovação
do
movimento
de
rotação da Terra
Na seqüência, o plano do
pêndulo passou a apresentar
uma lenta rotação no sentido
horário. Este movimento foi
facilmente explicado a partir
da suposição de que a Terra
gira em torno de seu eixo.
Comprovação
do
movimento
de
rotação da Terra
No Equador não se percebe
movimento de rotação
No Pólo Norte o pêndulo dá uma
volta
completa a cada 24 horas
Em Paris o pêndulo completa
uma volta
a cada 31 horas e 47 min
Comportamento do
pêndulo de Foucault
Comprovação
do
movimento
de
rotação da Terra
Jean Bernard
Leon Foucault
Jean Bernard
Leon Foucault
(1819-1868)
(1819-1868)
Em 1851, eu
demonstrei o
movimento de
rotação da
Terra.
Determinação da aceleração da
gravidade
Para se determinar a aceleração da
gravidade em um ponto qualquer da
Terra basta dispor de um pêndulo
simples, um cronômetro e uma régua
(ou trena).
Determinação da aceleração da
gravidade
Com a régua (ou trena) mede-se o
comprimento do pêndulo L
Com o cronômetro mede-se o período de
oscilação do pêndulo T
T = 2.p.
L
g
g = 4. p
2
L
T
2
isolando gDeterminação da aceleração da
gravidade
Exemplo
Determinaremos a aceleração da gravidade onde um pêndulo de 1 metro oscila com um período de 2 segundos.
2 = 2.p.
1
g
T = 2.p.
L
g
g = p
2
g = 3,14
2
g = 9,86 m/s
2
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Movimento Harmônico Simples (MHS)
É um movimento de oscilação repetitivo, ideal,
que não sofre amortecimento, ou seja, permanece
com a mesma amplitude ao longo do tempo.
MHS e (MCU) Movimento
Circular Uniforme
É um movimento periódico linear em
torno de uma posição de equilíbrio.
A 0 -A A, -A: amplitude do MHS 0 é a posição de equilíbrio.
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES (MHS)
SISTEMA MASSA-MOLA
24
•Elongação (x): número real que indica a posição do objeto oscilante; corresponde à abscissa do ponto P no eixo Ox.
•Amplitude (A): a maior elongação apresentada pelo objeto oscilante; corresponde ao raio do M.C.U.
•Ângulo de Fase (): posição angular do ponto P no M.C.U.
Im ag em : S E E -P E , re d es en ha do a p ar tir d e ilu st ra çã o d e A u to r D es co nh ec id o.
ω é a velocidade angular
Θ
0é a fase inicial.
RELAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS NO
MHS
DEFORMAÇÃO
)
.
cos(
.
q
0
A
t
x
EQUAÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE
NO MHS
EQUAÇÃO HORÁRIA DA ACELERAÇÃO
NO MHS
)
.
(
.
q
0
Asen
t
V
)
.
cos(
.
0
2
q
A
t
a
Cinemática do Movimento Harmônico Simples (MHS)
Massa-Mola
Deslocamento em função do tempo X(t)
Amplitude Frequência agular Instante Fase inicial
)
.
cos(
.
)
(
t
A
t
x
T
f
T
f
p
p
2
.
.
2
1
K
m
T
m
K
p
2
Cinemática do MHS
Massa-Mola
Velocidade em função do tempo v(t)
Amplitude Frequência agular Instante Fase inicial
)
.
(
.
.
)
(
t
A
sen
t
v
T
f
T
f
p
p
2
.
.
2
1
K
m
T
m
K
p
2
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Massa-Mola
Aceleração em função do tempo a(t)
Amplitude Frequência angular Instante Fase inicial
Cinemática do MHS
)
(
.
)
.
cos(
.
.
)
(
t
2A
t
2x
t
a
T
f
T
f
p
p
2
.
.
2
1
K
m
T
m
K
p
2
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 1
O ponto material da figura tem massa m = 0,2 kg e está preso a mola de constante elástica k = 0,8 π² N/m. Por meio de uma ação externa distende-se a mola de 3 cm, abandonando-se o conjunto, que começa a oscilar, efetuando um MHS na ausência de forças dissipativas.
Determine:
A) o período do movimento; B) a amplitude de oscilação;
C) após quanto tempo, a contar do instante em que abandonamos o bloco em P, ele retornará a essa mesma posição?
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 2
Uma mola tem constante de 8 cm quando não solicitada. Coloca-se em sua extremidade um corpo de massa igual a 0,1 kg e o comprimento da mola passa a ser 12 cm. Por meio de uma ação externa puxa-se o corpo ate que o comprimento da mola atinja 14cm, abandonando-se em seguida o conjunto, que passa efetuar um MHS. Despreze as forças dissipativas e adote g=10 m/s².
Determine:
a) constante elástica da mola
b)período e a frequência do MHS c) a amplitude do MHS
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 4
Uma mola tem constante elástica igual a 4 N/m e comprimento 0,8 metros quando não solicitada coloca-se em sua extremidade um corpo de massa M igual 0,1 kg determine: A) a posição de Equilíbrio da mola medida em relação ao teto;
B) puxa-se o corpo 15 cm da posição de equilíbrio, abandonando-o a seguir, no instante t=0. após quanto tempo o corpo retorna a essa posição? Qual a amplitude de seu movimento? Qual o comprimento mínimo por que passa a mola, medindo a partir do teto? Adote g = 10 m/s² e despreze as forças dissipativas.
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 5
Um móvel executa um movimento harmônico simples segundo a seguinte equação: x = 4.cos(π.t + π) – S.I
Determine a amplitude do movimento, a pulsação, a fase inicial, o período e a frequência do movimento.
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 6
Um bloco é comprimido da sua posição de equilíbrio para outra posição e posteriormente é solto. Considere o sistema bloco-mola livre de forças dissipativas e que o bloco entra em m.h.s com período igual a 4s. Determine a frequência do movimento, a pulsação e a fase inicial.
GRÁFICOS CINEMÁTICOS DO
MHS
FASE INICIAL NAS FUNÇÕES
HORÁRIAS
Um ponto material de massa m = 0,04 kg oscila em torno da posição O de equilíbrio, com M.H.S.. A energia total mecânica do sistema é 32.10 −4 J. Sendo a constante
elástica da mola k = 0,16 N/m e desprezando-se ações dissipativas, determine:
a) O período de oscilação; b) A velocidade angular; c) A amplitude da oscilação;
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 7
d) A função horária da posição, velocidade e aceleração, adotando-se o eixo Ox orientado para a direita e instante inicial t=0 quando o móvel está na posição
extrema P indicada na figura.
e) O gráfico da posição x em função do tempo t, a partir de t = 0 até t = 2T,onde T é o período.
Um ponto material de massa m = 0,1 kg oscila em torno de uma
posição O de equilíbrio, em MHS. A constante da mola é k = 0,4 N/m.
a) determine a pulsação.
b) determine as funções horárias da posição, da velocidade e da aceleração. Adote t = 0 quando o móvel se encontra na posição R.
c) refaça o item anterior, adotando t = 0 quando o móvel se encontra na posição S, e no sentido do movimento de R a Z.
d) refaça o item b adotando t = 0 quando o móvel se encontra na posição Z.
