CAPÍTULO 1 NÚMEROS REAIS

(1)

MAKRON

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NÚMEROS REAIS

Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses con-juntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais.

Neste 12 capítulo, vamos analisar o _{conjunto dos números reais.}Enunciaremos

os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades.

1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto

N = {1, 2, 3, ...}.

Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por

(2)

2 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

Os números da forma

mln, n

O, m,

n E Z,

são chamados de frações e formam o

conjunto dos

números racionais.

Denotamos:

Q= {x I x mln , m, n

e Z, n O}.

Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma

mln, n

O, m,

n

e

Z,

tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ...,

e =

2,71 ... . Estes números

formam o conjunto dos

números irracionais

que denotaremos por

Q'.

Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números

irracionais resulta o

conjunto dos números reais,

que denotamos por

1? = Qu Q'

A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao

conjunto dos números reais.

No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas

adi-ção

e

multiplicação

que satisfazem os axiomas abaixo:

1.1.1 Fechamento. Se a e b e

1?,

existe um e somente um número real denotado

por

a + b,

chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por

ab

(ou

a x b,

ou

a - b)

chamado produto.

1.1.2 Comutatividade.

Se

a, b e R

entãoa+b=b+a e

a-b=b-a.

1.1.3 Associatividade. Se

a, b e c e R

então

a + (b + c) = (a + b) + c

e

a (b - c) = (a•b) • c.

1.1.4 Distributividade. Se

a, b, c E 1?

então

a• (b + c) = ab + ac.

1.1.5 Existência de Elementos Neutros.

Existem O e 1 e R tais que

a

+ O =

a

e

a • 1= a,

para qualquer a E

R.

(3)

1.1.6 Existência de Simétricos.

Todo a E R tem um simétrico, denotado por —a,

tal que a + (—a) = O.

1.1.7 Existência de Inversos.

Todo a E IR, a O tem um inverso, denotado por 1/a, tal que a •

—

1

a = 1.

Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.

1.1.8 Subtração.

Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida

por a — b = a + (—b).

1.1.9 Divisão.

Se a,bEIReb O, o quociente de a e b é definido por —

a

= a

b•

1.2 DESIGUALDADES

Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, deve-mos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem.

1.2.1 Axioma de Ordem.

No conjunto dos números reais existe um subconjunto denominado de números positivos, tal que:

(i) se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo; — a é positivo;

(ii) a soma de dois números positivos é positiva;

(iii) o produto de dois números positivos é. positivo.

1.2.2 Definição. O

número real a é negativo se e somente se — a é positivo.

1.2.3

Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos:

(i) a < b <=> b — a é positivo; (ii) a > b .:;=> a — b é positivo.

(4)

1.2.4 Os símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos:

(i) a 5_ b <=> a < b ou a =-- b; (ii) a b<=>a>boua=b.

Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESI-GUALDADES. a<bea>b são desigualdades estritas enquanto a ^ bea b são desigualdades não estritas.

1.2.5 Propriedades.

Sejam a, b, c, d e N.

(i) Sea>b eb>c, então a > c. (ii) Se a>bec> O, então ac > bc. (iii) Se a>be c< O, então ac < bc.

(iv) Se a > b, então a+c>b+c para todo real c.

(v) Sea>bec> d, entãoa+c>b+ d.

(vi) Sea>b>Oec>d> O, então ac>bd.

As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as definições anteriores. Por exemplo:

Prova da Propriedade i). (Sea>beb> c, então a > c).

(def)

Se a > b (a — b) > O.

(def)

Se b > c (b — c) > O.

Usando 1.2.1 (ii), temos (a — b) + (b — c) > O

(def)

(5)

Prova da Propriedade ii).

(Se

a > b e c >

O, então

ac > bc). (def.)

Se

a > b (a — b) >

O. Usando 1.2.1 (iii) temos

(a — b) • c >

O ou

(ac — bc) >

O e finalmente, pela

definição,

ac > bc.

1.3 VALOR ABSOLUTO

1.3.1 Definição.

O valor absoluto de

a,

denotado por lal, é definido como

lal =

a,

se

a

O

lal = —

a,

se

a < O.

1.3.2 Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de a, também

chamado módulo de a, representa a distância entre

a

e O. Escreve-se então

lal =

.

1.3.3 Propriedades.

(i) lxl < a <=> —a < x < a,

onde

a

> O.

(ii) >a<=>x>aoux<—a,

onde

a

> O.

(iii)

Se

a, b

E

IR,

então la • bl = Ia! • Ibl.

(iv)

Se

a,bEReb

O, então

a

b

lal

Ibl •

(v) (Desigualdade triangular)

Se

a, b

e

IR,

então la +

bl

lal +

(vi)

Se

a, b E R,

então la — bl 5

lal

+ Ibl.

(6)

la 1

). lb 1

a

b 6 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

Vamos provar algumas das propriedades citadas.

Prova da Propriedade

i). (Ix1 < a <=> — a < x < a,

onde

a

> 0). Provaremos por partes:

Parte 1: — a < x < a, com a > O

Ixl < a.

Se

x

_

0, lx1 =

x.

Como, por hipótese,

x < a,

vem que Ixl <

a.

Se

x

< O, lxl = —

x.

Como —

a < x,

aplicando a propriedade 1.2.5 iii) concluí-mos que —

x < a.

Assim, lx1 = —

x

<

a

ou seja Ixl <

a.

Parte

2: lxl <

a

onde

a

> O

— a < x < a.

Se

x .

0, então Ixl =

x.

Como lx1 <

a,

concluímos que

x < a.

Como

a >

0, segue que —

a

< O e então —

a

< O

x

<

a

ou seja

—a<x<a.

Se

x

< O, lxl =

— x.

Como por hipótese Ixl <

a,

temos que

—x < a.

Como

x

< 0, segue que —

x >

0. Portanto, —

a <

0 <

— x < a

ou de forma equivalente —

a < x < a.

Prova da Propriedade

iii).

(Se

a, b E I?

então Ia • bl = lal . lbl).

Usando 1.3.2, vem

labl =

I(ab)

2 =

'Va

2 • b2 = .Va2 •

'NF

o

T lal • Ibl.

Prova da Propriedade

iv).

(Se

a, b E

R e b t O então Usando 1.3.2, vem

= "\I

=

—

*NW 1

—

a 1

b O.

b2 I

b

1

a

b

(7)

Prova da Propriedade

v). (Se a, b E I?, então la + bl 5_ lal + lb1).

Como a, b E R, de 1.2.1(i) vem que ab é positivo, negativo ou zero. Em qualquer caso vale,

ab labl = tal Ibl. (1)

Multiplicando (1) por 2, temos

2ab 2 lal IbI. (2)

Da igualdade (a + b)2 a2 + 2ab + b2 e de (2) vem que (a + b)2 a2 + 2 lal Ibl +b2

(a + b)2 la12 + 2 lal Ibl + Ib12

(a + b)2 5_ (Ial + 1b1)2. ₍₃₎

Tomamos a raiz quadrada de (3) e obtemos la + bl 5_ lal + Ibl.

Prova da Propriedade

vi). (Se a, b e 1?, então la — bl 5 lal + 1b1). Basta escrever a — b = a + (—b) e aplicar a propriedade v). Ia — bl = la + (—b)I lal + I —bl

lal + Ibl.

Prova da Propriedade

vii). (Se a, b E R, então lal — Ibl la — b1). Vamos fazer a — b = c. Aplicando a propriedade v, vem lal = Ic + bl Icl + 1bl

lal — Ibl Icl lal — Ibl la — bl .

(8)

1.4 INTERVALOS

Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue:

1.4.1 Intervalo Aberto.

{xl a < x < b}

denota-se

(a, b)

ou

]a, b[.

1.4.2 Intervalo Fechado.

fx1 a x b)

denota-se

[a, b].

1.4.3 Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda.

{xl a < x b}

de-nota

-

se

(a, b]

ou

]a, b].

1.4.4 Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda.

{xl a x < b}

de-nota

-

se [a,

b)

ou

[a, b[.

1.4.5 Intervalos Infinitos.

(i)

{x I

x > a}

denota-se

(a, + oo)

ou ]

a, + oo[;

(ii) {x 1 x a}

denota-se

[a, + o.) ou [a, + oo_[;

(iii) {x

1 x < b}

denota-se (-00,

b)

ou ]— ao,

b{;

(iv) {x 1 x b}

denota-se (— co,

b]

ou ]- .0,

b].

Podemos fazer uma representação gráfica dos intervalos como nos exemplos

que seguem:

ex. 1.4.1 — (2, 3)

ex. 1.4.2 — [O, 3]

ex. 1.4.3 — (1, 4]

ex. 1.4.4 — [O, 4)

O 1 2 3 4 E O

1

2 3 4 O 1 2 3 4 O 1 2 3 4

(9)

ex. 1.4.5

—

(i)

(O,

+ ao)

O

1 2 3 4

(ii)

[1, + O 1 2 3 4

(iii)

(-0., 3) 4 O 1 2 3 4

(iv)

(-00, 4] 4 3--0 1 2 3 4

1.5 EXEMPLOS

1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.

3+7x < 8x+9 3+7x-3 < 8x+9-3

7x < 8x +

6

7x-8x < 8x +

6 — 8x

—x

< 6 x

>

(propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5

iii)

Portanto,

{x I x >

—6} = (— 6, + 00) é a solução, e graficamente 6

(10)

7 < 5x+35.9

7-3 < 5x+3-3

^

9-3

4 < 5x<_6

4

6

<

x

5

5 (propriedade 1.2.5

iv)

(propriedade 1.2.5 ii)

Portanto,

{x 1

4/5 <

x

6/5} = (4/5, 6/5] é a solução,

e graficamente

4/5 6/5 (iii)

x + 7 < 5 ,

x

—7.

Vamos multiplicar ambos os membros da desigualdade por x + 7. Devemos.

então, considerar dois casos:

Caso].

Então,

x + 7 >

O ou

x>-7

(propriedade 1.2.5

iv) x <

5

(x + 7)

(propriedade 1.2.5

x

<

5x +

35

x —

5x < 5x + 35 — 5x

(propriedade 1.2.5

iv)

— 4

x

< 35

x > — 35/4

(propriedade 1.2.5

iii)

Portanto, {x I

x

> —7}

n {xl x >

—35/4} = (-7, + 00) é a solução do

4:354? 1. Caso 2.

Então,

x+7 < O ou x< —7. 5(x + 7) x > 5x +

35

x <

—35/4

(11)

A solução final é a união de (-7, + o.) e (— 00, —35/4) ou seja (— oo, —35/4) u (-7, + co) ou ainda x e [-35/4, —7].

Graficamente,

-35/4

(iv) (x + 5) (x — 3) > O.

A desigualdade será satisfeita quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal:

Caso 1. (x + 5) > O e (x — 3) > O ou x > —5 e x>3 ou x > Caso 2. x + 5 < Oex-3<0 ou x < —5 e x < 3 ou x < —5.

A solução final será a união entre (3, + e (— co, —5) ou seja todos os x [-5, 3]. Geometricamente,

4

-5

2. Resolva as equações:

(i) I5x — 31 = 7.

Esta equação é verdadeira quando 5x — 3 = 7 ou 5x — 3 = — 7, ou seja, x = 2 ou x = — 4/5.

(12)

Portanto, as duas soluções da equação dada são:

x

= 2 e

x

= - 4/5.

(ii) I7x - 11 = I2x + 51.

Esta equação será satisfeita se:

Caso 1. 7x-1 = 2x + 5 7x-2x = 5 +1 5x =

6 x

=

6/5.

Caso 2. 7x -1 = -(2x +5) 7x -1 -2x-5 7x +2x = -5 +1 9x -4 x

= - 4/9.

Portanto, a solução final é

x =

6/5 e

x = -

4/9.

(iii) 1 9x + 71 = -7.

Esta equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode

ser negativo.

3.

Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades:

(i) 17x-

21<4.

Aplicando a propriedade 1.3.3

(i),

-4 < 7x-2<4

-4+2 < 7x-2+2<4+2

(13)

-2 < 7x < 6 2 6 7 x < . Portanto, x E (-2/7, 6/7).

7 - 2x

4 + x s 2, x o - 4. Aplicando a propriedade 1.3.3 (iv),

17 - 2x1

14 + ^ 2. 17 - 2x1 s 214 + xl.

Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, vem 49-28x+4x2s4(16+8x:Fx2) 49-28x+ 4x2s64+32x+4x2 49 -28x + 4x2 - 64 -32x - 4x2 s 0 - 60x - 15 s O - 60x 5 15 60x -15 -15/60 x z -1/4 ou x E [-1/4, +

(iii)

3 - 2x s 4, x -2. 2 + x 1 3 - 2x1 s 4 12 + xl 9 - 12x + 4x2 s 16(4+ 4x+x2) 9 - 12x + 4x2 s 64 + 64x + 16x2 -12x2- 76x -55 s O

(14)

12x2+76x+55 O

12(x + 5/6) (x + 11/2) . O

(x + 5/6) (x + 11/2) O.

Procedendo como no exemplo 1 (iv) concluímos que a solução final será a união de (— 00, —11/2] e [-5/6, + o.), ou seja, x (-11/2, —5/6).

4.

Mostre que, se a,bERea<b, então

(i) (x — a) (x — b) > O x [a, b].

(ii) (x — a) (x — b) O x (a, b). (iii) (x — a) (x — b) <O x E (a, b). (iv) (x — a) (x — b) < O x E [a, b].

Prova de

(i). ((x — a) (x — b) > O x [a, b]).

Os dois fatores (x — a) e (x — b) devem ter o mesmo sinal. Temos dois casos:

Caso 1. x — a > O e x — b > O

ou

x > a e x > b.

A solução deste caso será x > b ou (b, + 00).

Caso 2. x—a < O e x—b<0 ou

x < a e x < b.

A solução deste caso será x < a ou (— 0, a).

(15)

De maneira análoga pode-se provar as demais relações.

1.6 EXERCÍCIOS

1. Determinar todos os intervalos de números que representação gráfica.

a) 3 —x < 5 + 3x b) c) 2 > — 3 — 3x —7

satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a 1 3x — 2x 5— < — + + 1 x 3 4 3 5 3 x < —4 e) x2 _^ 9 1) x2-3x+2>0 g) 1— x — 2x2 O h) x + 1 x 2 — x 3 + x i) x3+1>x2+x (x2— 1) (x +4) 5_ O k) 2 x + 2 _{< 1}

₁₎

x4 > x2 x — 2 — x — 2 x <44 n) 1/2 x — rn) x — 3 4 + x > 1 o) _x3 <2 p) x3 — x2 — x —2>0 — 5 q) x3-3x+ 2 50 r) 1 3 x + 1 x — 2 s) 8x3 — 4x2 — 2x + 1 < O t) 12x3 — 20x2 _ — 11x + 2. 2. Resolver as equações em R. a) 15x — 3 I = 12 c) I 2x — 3 I = I 7x — 5 I b) I —4+12x1=7 d) x + 2 x — 2 =5

(16)

16 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 3x + 8 e) _{2x — 3} — 4 f) 13x+2I=5—x g) I9x1-11 = x h) 2x-7=Ix1+1. 3. Resolver as inequações em R. a) I x + 121<7 b) 13x-41.<2 c) 15-6x1 9 d) 12x-51>3 e) 16+2x1<14—xl

f)

lx+415.12x-61 • g) 13x1>15-2x1 h) 7 — 2x < 5 + 3x — 2 i) lx-11+1x+21>4 j) _1<lx+21<4 k) 2 +x 3 —x > 4

1)

2x— 15 1 x — 2 m) lx1+1<x n). 31x-11+1xl<1 o) 12x2+3x+3I^3 p) lx-11+1x-31<14x1 1 1 lx+ 111x — 31 — 5 r) x— 1/2 x + 1/2 <1 s) 3 — 2x 1 +x <4

(17)

4. Demonstrar:

a) Se aOeb O, então a2 = b2 se e somente se a = b.

1

b) Se x < y, então x < —

2 (x+ y)< y.

c) 1 xl > a se e somente se x > a ou x < — a, onde a> O. d) Se O < a < b, então "■,/, < a ± 12

(18)

CAPÍTULO 2

EDITORA

DA

MAKRON Books

FUNÇÕES

Neste capítulo introduziremos um dos mais fundamentais conceitos da mate-mática — o de função. O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro conjunto. Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de

R.

As funções neles definidas são chamadas funções reais de variável real.

2.1 DEFINIÇÃO

Sejam A e B subconjuntos de 1?. Uma função f: A B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de

B.

O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de valores de f. Escrevemos: f:. A —> B x —> f (x)

ou

f A —> B x — > y = f (x). 18

(19)

2.2 EXEMPLOS

Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.

(i) f: A —> B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B.

(ii) g: A --> B x --> x + 1

é uma função de A em B. Podemos representar g em diagrama.

2.3 CONTRA-EXEMPLOS

Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.

(i) f: A —> B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B, pois o elemento 4 E A tem dois correspondentes em B.

(20)

20 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração

(ii) g: A — B x --> x - 3

não é uma função de A em B, pois o elemento 3 E A não tem correspondente em B. Podemos ver isto facilmente representando g em diagrama.

2.4 DEFINIÇÃO

Seja f: A —> B.

i) Dado x E A, o elemento f (x) e B é chamado o valor da f-unçãof no ponto

x ou imagem de x por f.

ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado

(21)

2.5 EXEMPLO

Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = Z (conjunto dos inteiros) e f: A —> B definida pela regra que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro.

Então: — a regra que defmef é y = 2x;

—a imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 etc.; —o domínio de f, D(f) = A;

—a imagem de f, Im(f) = {2, 4, 6, 8, 10}.

2.6 EXEMPLO

Seja f. R —> R

x —> x2.

Então, D(f) = R, Im(f) = [0, + 00).

Quando trabalhamos com subconjuntos de R, é usual caracterizar a função apenas pela fórmula ou regra que a define. Neste caso, entende-se que o domínio de f

é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida.

2.7 EXEMPLOS

Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo:

(i) f (x) = 1/x.

Esta função só não é definida para x = 0. Logo, D(f) = R — { 0 }. Im(f) = 1? — {0}.

(22)

(ii) f (x)

=

Para

x <

O,

f (x)

não está definida. Então, D(f) = [o, + 00) e Im(f) = [O, + 00).

(iii) f (x) =

— 1.

f (x)

não está definida para

x <

1. D(f) = [1, 00) e Im(f) = (— 00, O].

(iv) f (x) = lxl.

D(f) =

R

e Im(f) = [O, + 00).

2.8 GRÁFICOS

2.8.1 Definição.

Seja

f

uma função. O gráfico de

f é

o conjunto de todos os pontos

(x,f (x))

de um plano coordenado, onde

x

pertence ao domínio de

f.

Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos,

fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe

outro meio de determinar o gráfico a não ser este método rudimentar. No Capítulo 5,

desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de gráficos.

2.8.2 Exemplos

(i)

O gráfico da função

f (x) = x2

consiste em todos os pares

(x, y) E R2

tais

que y = x

2

. Em outras palavras, é a coleção de todos os pares (x, x

2

) do plano

xy.

A

Figura 2.1 nos mostra o gráfico desta função, onde salientamos alguns pontos, de acordo

com a tabela.

(23)

Figura 2-1

= x2 —2 4 —1 1

o

1 1 2 4

(ii) Consideremos a função f (x) = x. Os pontos de seu gráfico são os pares (x, x) e E2. A Figura 2.2 mostra este gráfico.

Figura 2-2

(iii) Seja f: IR—> IR definida por -2, se x ^_ -2

f(x) = 2, se — 2 < x .^ 2 4, se x > 2.

(24)

Figura 2-3

(iv) Seja

f(x) = lxl.

Quando

x .

O, sabemos que

f(x) = x.

Quando x < O,

f (x) = —x.

O gráfico de lx1 pode ser visto na Figura 2.4.

Figura 2-4

(v) Seja f(x) =

1 Então, D(f) = IR

—

{ O } . A Figura 2.5 mostra o gráfico

de

f (x) = 1/x.

Podemos nos perguntar se, dada uma curva

c

no plano

xy,

ela sempre

repre-senta o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se

f é

uma função, um

ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva

c

só representa o

gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um

ponto.

(25)

Figura 2-5

Na Figura 2.6 a curva c1 representa o gráfico de uma função enquarito a curva

c2 não representa.

Figura 2-6

2.9 OPERAÇÕES

Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções através de operações. Estas operações são definidas como segue:

(26)

2.9.1 Definição.

Dadas as funções

f

e

g,

sua soma

f + g,

diferença

f — g.

produto

f • g

e quociente

flg,

são definidas por:

(i) (f + g) (x) = f (x) + g (x);

(ii) (f — g) (x) f (x) — g (x); (iii) (f g) (x) =.f (x) g (x);

(iv) (flg) (x) =

g(x).

O domínio das funçõesf +

g, f— g

e

f

•

g

é a intersecção dos domínios de

f

e

g.

O domínio de

flg é

a intersecção dos domínios de

f

e

g,

excluindo-se os pontos x

onde

g (x) =

O. 2.9.2 Exemplo.

Sejam

f (x) = — x

e

g (x) = —

3. Então,

(f + g) (x) = — x + —

3 ;

(f— g) (x) =AIS —x —

'x — 3 ;

g) (x) = — x —

3 e

.

\/5

— (fl g) (x) —

Como D(f) = (— 00, 5] e D(g) = [3, + 00), então o domíniof

g,f—g

e

f. g

é [3, 5].

O domínio de

flg é

(3, 5]. O ponto 3 foi excluído porque

g(x) =

O quando

x =

3. 2.9.3 Definição.

Se

f é

uma função e

k é

um número real, definimos a função

kf por (kf) (x) = kf (x)

O domínio de

kf

coincide com o domínio de

"Vx —

(27)

2.9.4 Exemplo.

Seja f (x) = I x2 — 4 e k = 3.

Então, (kf) (x) = 3 'Vx2 — 4 e D(kf) = (— .0, —2] u [2, + 00).

2.9.5 Definição.

Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada por g

0

f, é definida por

(g o f) (x) g (f (A)•

O domínio de g

o

f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que

f (x) está no domínio de g.

Simbolicamente,

D(g

o

f) = {x E D(f) / f (x) E _D(g)}. Em diagrama,

2.9.6 Exemplos

(i) Sejam f (x) = -Cyc e g (x) = x — 1. Encontrar g

o

f .

Temos,

(g

o

f) (x) = g (f(x)) = g Wc) = —1.

Como D(f) = [O, + .0) e Im(f) = [O, + o.) c D(g) = Do), então, D(g

o

f) = D(f) = [O, + co).

(28)

(ii)

Sejam

f (x) = 2x -

3 e

g (x) =

Encontrar: a)

g

0

f, b) f

0

g; c) f

0

f e d) g o

g-a) (g

o

(x) = g (f (x)) = g (2x

3) =

-

\12,x - 3.

O domínio de

f é

D(f) = (- Ge, + oe) e o domínio de

g é D(g) = [O, +

00). Assim, o

domínio de

g

o

féo

conjunto de todos os números reais x, tais que

f (x)

E [O, +

isto é, todos os números reais tais que 2x - 3 O. Logo, D(g

o f) = [3f2, +

ao).

b) (f

o

g) (x) = f(g(x)) =f(L) =

2

'\F-x--

- 3 e

D(f

o g) = {x E D(g)

[O, + ao) /

g (x) E

D(f)

ao)} = [O, +

c) (f

o

f) (x) = f (f (x)) =f -3)

= 2(2x - 3) - 3

= 4x - 9.

D(f 0

_.f) 00, 00)

_•

d) (g

o

g) (x) =- g (g (x)) = g (\rx-) ‘ .Nr -c =

D

o

g) =

[O, +

{O,

se

x

< O

(iii)

Sejam.fix) =

x

2

,

se O <

x < 1

O,

se x > 1

1, se x < O

e

g(x) = 2x,

se O <

x

< 1

1, se

x > 1 . Determinar f

o

g.

Sex<0

,

(f

o

g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1 2 =1 .

Se O

x

1,

(f

o

g) (x) =f (g (x))

_=f

(2x).

Para O

x -1

' temos O 2x 5. 1. Logo, neste caso,

(f

0

g) (x) = (242 =

4x

2

.

(29)

Para 2 < x 1 temos 2x > 1. Assim, para este caso, (f 0 g) (x) = O. Se x > 1, (f0 g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1. 1, se x < O Logo, To g) (x) = 4x_O,2, se_se O < x _{1/2 <}_{x 5. 1}1/2 1, se x > 1 O domínio de fo g é D(f o g) = (— + ..). O gráfico de f 0 g pode ser visto na Figura 2.7.

2.10 EXERCÍCIOS

—x 2 1. Se f (x) — _{— 1}4_' achar: (a) f (0) (c) f (11t) (e) f (1/2) (b) f (-2) (d) f (x — 2) (f) f (ê)

(30)

30 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 3x — 1 2. Se f (x) —x — 7 , determine: (a) 5fl— 1) — 2f(0) + 33f(5) 7 (c) f (3x — 2) (e) f(h) — f(0) h (b) [f(-1/2)12 (d) f (t) f (t) f Lf (5)1.

3. Dada a função f (x) xl — 2x, calcular f (-1), f (12) e f (-2/3). Mostrar que f (I al) = —1 ai. 4. Se f (x) — ax

d

+ b

e d = — a, mostre que f (f (x)) x. cx +

5. Se f (x) = + 2x, achar f(a + h) — f(a) , h # O e interpretar o resultado geometricamente. h

x — 1

6. Dada (x) = + , forme as expressões 4) (1/x) e 1/4) (x). 2x 7

7. Dada a função f (x) = x2 + 1, mostrar que, para a 0,f (1/a) =f (a)/a2.

8. Dada a função f (x) = 1/x, mostrar que f (1 + h) — f (1) — h / (1 + h). Calcular f (a + h) — f (a). 9. Seja f (n) a soma dos n termos de urna progressão aritmética. Demonstrar que

f (n + 3) — 3f (n + 2) + 3f (n + 1) — f (n) = O. 10. Exprimir como função de x:

a) A área de uma esfera de raio x. b) A área de um cubo de aresta x.

c) A área total de uma caixa de volume dado V, sabendo-se que a base é um quadrado de lado x.

11. Exprimir o comprimento 1 de uma corda de um círculo de raio 4 cm, como uma função de sua distância x cm ao centro do circulo.

(31)

b) y =114 — x2 d) y= -■ix — 2 f) y + x + 4'N/7 x a) y = x2 1 c) y — x — 4 e) y= I x2 — 4x + 3

a) Determine f (5), f (-1/2) e f (1/2). b) Qual o domínio da função f (x)?

c) Determine f (1— 2t) e indique o domínio.

d) Determine f (3)] e f (5)]. e) Trace o gráfico de f (x).

13. Determinar o domínio das seguintes funções:

h) y x + a g) 3'Nix + 7 — 5\ix + 8 x — a i) y=lx+21 + 4, —5 < x < 2 _i) _Y= x + 1 k) y = x — 1 _{Y —} 1 x 1 +

14. Construir o gráfico cias seguintes funções:

a) f (x) = x2 + 8x + 14 c) y = (x — 2)2 e) y = x3 g) f (x) = 1 xl, —3 5 x < 3 f (x) = — x2 + 4x — 1 y = — (x + 2)2 y = 4 — x3 h) f (x) — 1 x — 2

(32)

c) f (x) — 1

d) f (x)= "Nix + 1 x 1 + x2

O, se x < O f(x) = 1/2, 1, se se x = Ox > O i) f (x) —

_{x +}

₃ — k) f(x) = x'_x, — 2 5 x 5 O_{O < x < 2} 1) f(x) = x3, 1, se se x 5_ O O < x < 2 x2, se x > 2 m) f 2px .

15. Para cada uma das seguintes funções f (x) esboce primeiro o gráfico de y = f (x), depois o

x)

( I f (x)

gráfico de y = If (x)1 e fmalmente o gráfico de y = f 2 + 2

a) f (x) (x — 2) (x + 1); b) f (x) = x2; c) f (x) = —x2; d) f (x),-- 4 —x2. {x 2 — 9 ' x # — 3 16. Sejam g (x) = x — 3 e f (x) = x+ 3

Calcule k tal que f (x) = g (x) para todo x.

17. Para cada item, calcule f + g, f—g, f- g, fl g, f

o

g, g

o

f, Ic-f, onde k é uma constante. k, x = —3 . yk a) f (x) =- 2x b) f (x) 3x — 2 , g(x)=x2+1 g (x) I xl g (x)= 1/x g (x) x — 2

(33)

e) f (x) = 'lx — 2 g (x) = lx — 3

f(A= X3 g (x) = 1/

f--18. Seja h definida por h(x) = 2x — 7. Calcule h

o

h, h2 e h + h.

19. Sabendo que f = g

o

h, nos itens (a), (c) e (d) encontre a função h e no item (b) a função g. a) f (x) = x2 + 1 g(x)=x+1

b) f (x) = 'lx + 2 h(x) = x + 2. c) f (x) = a + bx g(x)=x+a.

d) f(x)=1x2-3x+51 , g(x)=Ixl.

20. Sendo f (x) = ax + b, para quais valores de a e b tem-se (f

o

f) (xj = 4x — 9?

21. Sejarnf (x) = 'lx — 4 e g (x) = 1/2x + 1, x 3. Calcule f o g . Dê o domínio e o conjunto imagem de f (x), g (x) e (f o g) (x).

22. Sejam f(x) =

5x, x O

—x, O < x 8 e g (x). x3. Calculef o g. -Cx , x > 8

23. A função g é definida por g (x) = x2. Defma uma funçãof tal que (f

0

g) (x) = x, para x O e

uma função h, tal que (h

o

g) (x) = x, para x O.

24. Se f (x) = x2, encontre duas funções g para as quais (f

o

g) (x) = 4x2 — 12x + 9.

(34)

34 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 26. Dadas as funçõesf (x) = x2 — 1 e g (x) = 2x — 1:

(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f (x). (b) Determine o domínio e o conjunto imagem de g (x). (c) Construa os gráficos de f (x) e g (x).

(d) Calcule f+ g, f— g, g• f, flg,f

o

g e g

o

f. (e) Determine o domínio das funções calculadas no item (d).

2.11 FUNÇÕES ESPECIAIS

A seguir vamos relacionar algumas funções que chamaremos de funções es-peciais.

2.11.1 Função Constante.

É toda função do tipo f (x) k, que associa a qualquer número real x um mesmo número real k.

A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo do x, passando por y = k.

O domínio da função f (x) = k é D(f) =

O conjunto imagem é o conjunto unitário Im(f) = {k}. Exemplos.

(i) f (x) = 2 [Figura 2.8.(a)]. (ii) f (x) = —3 [Figura 2.8 .(b)].

(35)

♦

Y

X

-3

(b) 2 X

(a)

Figura 2-8

2.11.2 Função Identidade. É a função

fl. 1? 1?

definida por

f (x) = x.

O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes

(Figura 2.9).

Figura 2-9

O domínio de

f (x)

=

x

é D(f) =

1?.

(36)

36 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

2.11.3 Função do 1

2

Grau.

Função do 12 grau é toda função que associa a cada

número real x, o número real ax + b, a # O. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e linear.

Quando a > O a função f (x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce,

f (x) também cresce. Quando a < O a função f (x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f (x) decresce.

O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coorde-nados.

O domínio de f (x) = ax + b é D(f) = O conjunto imagem é Im(f) = 1?.

Exemplos.

(i) f (x) = 2x + 3 é uma função do P grau crescente porque a > O (Figura

2.10).

Figura 2-10

(ii) A função f (x) = — 3x + 1 é uma função do 12 grau decrescente

(37)

Figura 2-11

(iii) No movimento retilíneo uniforme, o espaço percorrido é uma função do tempo, expresso pela fórmula s = s

o

+ vt, onde 3'0 e v são

constantes e v O. Esta função é do P grau.

2.11.4 Função Módulo.

A função definida por y = lx 1 chama-se função módulo. O seu domínio é o conjunto D(f) = R e o conjunto imagem é Im(f) = [O, + O gráfico desta função está ilustrado na Figura 2.12.

Figura 2-12

2.11.5 Função Quadrática.

A função f: IR —> R definida por f (x) = ax2 + bx + c, a  O é chamada função do

r

grau ou função quadrática. Seu domínio é D(f) = R.

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria • paralelo ao eixo dos y. Se o coeficiente de x2 for positivo (a > O), a parábola tem a

(38)

Figura 2-13

s s

A =

b

2

-4ac = O

a parábola inter-cepta o eixo dos

x em um único ponto. A =

11-4ac <O

a parábola não intercepta o eixo dos x. A =

tf-4ac> O

a parábola inter-cepta o eixo dos x

em dois pontos distintos.

concavidade voltada para cima. Se a< O, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice. A intersecção da parábola com o eixo dos x define os zeros da função. No quadro seguinte caracterizamos as diversas possibilidades (Figura 2.13).

2.11.6 Função Polinomial.

É a funça".0-3f: I? -->1? definida porflx) agn+ aix" 1 + ...+a_n1x+a_tzonde a_0'a1_,_{• •'}a,, a0 O, são números reais chamados

(39)

O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos Posteriormente faremos esboços de gráficos dessas funções com auxilio das derivadas.

O domínio é sempre o conjunto dos números reais.

Exemplos.

(i) A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero. (ii) A função f (x) = ax + b, a # O é uma função polinomial do 12 grau. (iii) A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, a # O é uma função

polinomial do

r

grau.

(iv) A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica.

(v) A função f (x) = 5x5 — 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.

2.11.7 Função Racional.

É a função definida como o quociente de duas funções

polinomiais, isto é4 f(x) = p(x), p(x) e q(x) são polinômios e q(x) # O. q(x)'

O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles x tais que q(x) = O.

Exemplos.

x — 1

(i) A funçãoftx) — é função racional de domínio D(f) = R — (-1 }

(Figura 2.14). x

(40)

D(f) = R — {-4, —3, 3} (Figura 2.15 ►.

-4 -3

Figura 2-15

2.12 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

Dizemos que uma função f (x) é par se, para todo

x

no domínio de f, f (—x) = f (x). Uma função f (x) é ímpar se, para todo x no domínio de f, f (—x) = — f (x). O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Exemplos.

(i) A função f (x) = x2 é par, já que f (—x) = (-42 = x2 = f (x).

(ii) A função f (x) = x5 + x3 é ímpar, já que f (—x) = (—x)5 + (—x)3 = — x5 — x3 = — (x5 + x3) = — f (x).

(iii) A função f (x) = x3 + 4 não é par nem ímpar. 40 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

(x

2

+ 3x — 4)(..x

=

— 9)

(ii)

A função

f(x)

—

(41)

2.13 FUNÇÕES PERIÓDICAS

Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe um número real T O tal que f (x + T) = f (x) para todo

x

E D(f).

O número T é chamado período da função f (x).

O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento ITI. Exemplos.

(i) Mais adiante, mostraremos que as funções trigonométricas f(x) = sen x e f (x) = cos x são periódicas de período T = 2n.

(ii) A função constante é periódica e tem como período qualquer número T O.

(iii)

A Figura 2.16 mostra gráficos de outras funções periódicas.

Figura 2-16

2.14 FUNÇÃO INVERSA

Seja y = f (x) uma função de A em

B

ou f: A —>

B.

Se, para cada y E

B,

existir

exatamente um valor x E A tal que y = f (x), então podemos definir uma função g: B —> A tal que x = g (y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f -1.

(42)

42 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração

Exemplos.

(i)

A função

f: R -' E

definida por y = 2x - 5 tem como função inversa

f -1: 1?-> R,

definida por

x =

(y + 5).

-(ii)

A função

f: -

{3} -'

3 -

1

-

{-1} definida por y -

admite

x

a função inversa

f -1: E - {-1} -' R -

{3} definida por

1 + 3y

x =

_{y + 1}

Graficamente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passando

uma reta paralela ao eixo dos

x,

esta deve cortar o gráfico em apenas um ponto. A Figura

2.17 ilustra a função

f: E-> E

dada por y = x

2

que não possui inversa. Fazendo uma

restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Por

exemplo, para

x z

O existe a inversa x

1

= .6 e para

x s

O existe a inversa x

2

= -

V.

Figura 2-17

Para fazermos o gráfico da função inversa basta traçarmos a reta y =

x

e

observarmos a simetria.

Exemplos.

(i)

A função

f:

[O, + 00) -> [O, +

00),

definida por

f (x) = x2

tem como inversa

(43)

(ii)

A função

f: I? ---> 11?

dada por y = x

3

admite a função inversa

g: R

dada por

g (x)= 3'\11x

(ver Figura 2.19).

Figura 2-18

Figura 2-19

2.15 ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES

2.15.1 Função Exponencial.

Chamamos de função exponencial de base

a,

a

fun-ção

f

de

IR

em

I?

que associa a cada

x

real o número real ax, sendo

a

um

número real, 0 <

a 1, ou, f: R — > R

x ---> y = ax.

O domínio da função exponencial é D(f) =

R.

A imagem é Im(f) = (0, o.).

Podemos também denotar Im(f) = (0, =

R+*.

Com relação ao gráfico da função

f (x) = ax

(Figura 2.20) podemos afirmar:

1)

a curva que o representa está toda acima do eixo das abcissas, pois

y =

ax

> O para todo

x

e

R;

2)

corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);

(44)

A y

Y = a

x

(0<a<1)

(0,1)

Figura 2-20

2.15.2 Função Logarítmica.

Dado um número real

a

(O <

a

1), chamamos função logarítmica de base

a

a função de R+* em

R

que associa a cada

x

o

número logo

x,

isto é,

f: R

±

* -*R

x —> y =

loga x.

As funções

f

de

R

+

4

, em R definida porf

(x) =

logo

x

e

g

de R em

R

4

,*

definida

por

g (x) = ax;

O < a 1, são inversas uma da outra. Temos D(f) =

R

±

*

e Im(f)

R.

Com relação ao gráfico da função

f (x) =

logax (O <

a

1) (Figura 2.21), podemos afirmar:

1) está todo à direita do eixo

y;

2) corta o eixo das abscissas no ponto (1, O);

3) f (x) = logax é crescente se

a >

1 e decrescente se O <

a < 1;

(45)

01= a

x Y (0<a<1) X Y= log x /' _(0<a<1)

Figura 2-21

2.15.3 Funções Trigonométricas

FUNÇÃO SENO

Seja x um número real. Marcamos um ângulo com medida x radianos, na circunferência unitária com centro na origem (ver Figura 2.22). Seja P o ponto de

intersecção do lado terminal do ângulo x, com essa circunferência.

Figura 2-22

Denominamos seno de x a ordenada OP1 do ponto P em relação ao sistema

(46)

46 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração

Definimos a função seno como a função f de 1? em 1? que a cada x e I? faz corresponder o número real y = sen x, isto é,

f: R -› R x ---> y = sen x.

O domínio da função seno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1]. A função y = sen x é periódica e seu período é 2n, já que sen (x + 27t) = sen x. Em alguns intervalos sen x é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo, nos intervalos [O, ic/2] e [31c/2, 2n] sen x é crescente. Já no intervalo [7c/2, 37t/2] ela é decrescente.

O gráfico da função f (x) = sen x, denominado senóide, pode ser visto na Figura 2.23.

Figura 2-23

FUNÇÃO COSSENO

Seja x um número real. Denominamos cosseno de x a abcissa OP2 do ponto P em relação ao sistema U O V (Figura 2.22). Definimos a função cosseno como a função

f de 1? em I? que a cada

x

E R faz corresponder o número real y = cos x, isto é,

f: I? -- I? x y = cos x.

O domínio da função cosseno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1]. t

(47)

-sen

x

tg x — cos x 1 sec x — cos

x

Para todo x E 1?, temos cos (x + 27c) = cos x. Portanto, a função cosseno é periódica e seu período é 27c.

Em alguns intervalos a função cosseno é crescente e em outros decrescente. Por exemplo, no intervalo [O, 7c] a função f(x) = cos x é decrescente. Já no intervalo [n, 27c] ela é crescente.

O gráfico da função f (x) = cos x, denominado cossenóide, pode ser visto na Figura 2.24.

Figura 2-24

FUNÇÕES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE

Estas funções são definidas em termos de seno e cosseno.

As funções tangente e secante são, respectivamente, denotadas pelos símbolos tg e sec e definidas por:

(48)

cotgx =

cos x

sen x cosec x —

1

sen x 48 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração

As funções cotangente e cossecante são, respectivamente, denotadas por cotg 1

e cosec e definidas por: 1

para todos os números reais x tais que sen x # O.

O domínio das funções tg x e sec x é o conjunto de todos os números reais x —25

E 37c —2 ± 7c

para os quais cos x # O. Como cos x = O quando x for ± —2 ± , , ..., isto é, quando x = —

2 + mc, n E Z, temos D(tg) = D(sec) = {x E R lx# ic12 + nn, n E Z}. Analogamente, o domínio das funções cotangente e cossecante é o conjunto de todos os números reais x para os quais sen x # O. Como sen x = O para x =

n E Z, temos:

D(cotg) = D(cosec) = {x e 1?Ix nn,neZ}.

Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.25. Podemos observar que as funções tangente e cotangente são periódicas de período E e que as funções secante e cossecante são periódicas de período 27c.

2.15.4 Funções Trigonométricas Inversas.

COnforme definição da seção 2.14, sabemos que é impossível definir uma função inversa para a função y sen x, porque a cada valor de y corresponde uma infinidade de valores de x.

Portanto, para definirmos a função inversa de y = sen x necessitamos restringir o domínio.

(49)

y = sec x y = cosec x y = tg x ♦Y -3n./2 -n12

o

n/2 3n/2 Figura 2-25 X

FUNÇÃO ARCO SENO

Seja f: [-7t/2, n/2] —> [—I, 1] a função definida por f (x) = sen x. A função inversa da f (x), será chamada arco seno, e denotada por

[-1, 1] —> [—n/2, 7t/2], onde f-1(x) = arc sen x.

Simbolicamente, para —2

y —7t2'

escrevemos a equivalência:

y = arc sen x <=> sen y = x

(50)

Y

7c/2

-7c/2 Figura 2-26 50 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração

Observamos que na definição da função arco seno poderíamos ter restringido

o domínio de y = sen

x

a qualquer dos seguintes intervalos:

[7c/2, 37t/2] , [37c/2, Sic/2] , [57E/2, 7/r/2], ..., ou

[-37c/2, -7c/2] , [-57c/2, -37c/2] , [-77c/2, -57c/2],

.

FUNÇÃO ARCO COSSENO

Seja

f:

[O, it]

[-1, 1] a função definida por

f (x) = cos x.

A função

inversa de

f

será chamada arco cosseno, e denotada por

f -1: [-1, 1] —> [O,

n].

onde

f -1(x) =

arc cos

x.

Simbolicamente, para O

^

. y S

TC,

escrevemos:

y= arc cos x <=> x = cos y

O gráfico desta função nos mostra uma função decrescente (Figura 2.27).

Observação:

A função y = arc cos x pode ser definida também pela equação

arc cos

x =

(51)

Figura 2-27

De fato, utilizando o triângulo retângulo (Figura 2.28), temos:

Figura 2-28

Os ângulos a e 13 são complementares, ou o

7c

a +

p = —

2

x = sen a = cos 13.

Portanto,

a =

arc sen x e = arc cos x. Concluímos que

It

(52)

FUNÇÃO ARCO TANGENTE

A função inversa da tangente é definida para todo número real.

Seja f: it12) ----> /2 a função definida por f (x) = tg x. A função inversa de f, será chamada função arco tangente e denotada por f-1: 1? (-n/2, +n/2), onde

f-1(x) = arc tg x.

Simbolicamente, para -n/2 < y < n/2, escrevemos

y = arc tg x <=> x = tg y

O gráfico nos mostra que quando x se toma muito grande, arc tg x aproxima-se de n/2. Quando x se toma muito pequeno, arc tg x se aproxima de -n/2.

É uma função crescente (ver Figura 2-29).

Figura 2-29

OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Podemos definir a função inversa da cotangente como

y = arc cotg x = —

2 - arc tg x

(53)

X y

n/2

X

y = are cotg

x

-1

y = are

sec

x

Ay Tu/2 -1 1 --a/2

y =

arc cosec

x

Figura 2-30 X

As funções inversas da secante e da cossecante serão funções de

x

no domínio

1 xl z 1, desde que adotemos as definições:

y = arc sec

x

= arc cos (1/x)

y = arc cosec

x

= arc sen (1/x).

(54)

2.15.5 Funções Hiperbólicas

As expressões exponenciais

e ex +

2

ocorrem freqüentemente na Matemática Aplicada.

Estas expressões definem, respectivamente, as funções seno hiperbólico de x e cosseno hiperbólico de x.

O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as funções trigonométricas.

SENO HIPERBÓLICO E COSSENO HIPERBÓLICO

A função seno hiperbólico, denotada por senh, e a função cosseno hiperbólico, denotada por cosh, são definidas, respectivamente, por:

senhx -" - x 2 ' + e e cosh x= 2 O domínio e imagem das funções senh e cosh são: D (senh) (- +

°°),

D (cosh) = _(-00, °°),

Im (senh) = (- + .0) e Im (cosh) = [1, +

O gráfico da função senh é dado na Figura 2.31(a). Pode ser obtido pelo método chamado adição de ordenadas. Para usar essa técnica, esboçamos os gráficos

1 das funções

-2 e' e - e' (tracejados) e somamos as respectivas ordenadas.2

(55)

(a) (b)

Figura 2-31

A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura.

Na Figura 2.32 desenhamos um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola. No entanto, é possível mostrar que a equação correspondente é:

y = cosh (x/a), a E R.

Esta curva recebe a denominação catenária.

Figura 2-32

As quatro funções hiperbólicas restantes podem ser definidas em termos de senh e cosh.

(56)

56 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração I

TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE HIPERBÓLICAS

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas, denotadas respectivamente por tgh, cotgh, sech e cosech são definidas por:

— tgh x = senh x coshx ex + e-x coshx + cotghx — — senhx ex — e- x sechx = 1 = 2 coshx

ex +

e cosechx = 1 2 senhx eX

_

e-x

Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.33.

Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são válidas para as funções hiperbólicas. Por exemplo, pode-se verificar que

cosh2u — senh2u = 1.

Esta identidade é análoga à identidade trigonométrica cos eu + sen2u = 1 e pode

ser usada para justificar o adjetivo "hiperbólico" nas definições.

De fato, a identidade cosh2u — senh2u = 1 mostra que o ponto P de coordenadas

(cosh u, senh u) está sobre a hipérbole unitária x2 — y2 = 1.

Fazendo u variar no conjunto dos reais, o

ponto

P descreve o ramo direito

da hipérbole. Observamos que aqui a variável real u não representa um ângulo, como acontece nas funções trigonométricas. No entanto, pode-se estabelecer uma relação interessante, que fornece uma interpretação geométrica para o parâmetro

u.

Na Figura 2.34(a), representamos o círculo unitário, onde demarcamos um ponto P (cos t, sen t). A área Ac do setor circular QOP é dada por

1 A_C= ₂t (1)2 1 = — 2 t e portanto, t = 2Ac.

(57)

-1 y = tgh

x

y = cotgh

x

(a)

(b) X X -1 y = sech

x

(c)

Figura 2-33 y = cosech x (d) A Y

Uma relação análoga a esta, é válida para as funções hiperbólicas. De fato, é possível mostrar que a área Ah, do setor hiperbólico QOP da Figura 2.34(b), é dada

por

A =2

u

(58)

P

(cosh u, senh u)

(a)

(b)

Figura 2

-

34 Relacionamos abaixo, outras identidades que podem facilmente ser verificadas:

1

tgh u —

cotgh u

1 — tgh

2

u = sech

2

u e

1 — cotgh

2

u = —cosech

2

u.

2.15.6 Funções Hiperbólicas Inversas

Nesta seção estudaremos as funções hiperbólicas inversas. Para isso, devemos

nos lembrar das definições da seção 2.15.5 e observar os gráficos das Figuras 2.31(a)

e (b) e 2.33.

FUNÇÃO INVERSA DO SENO HIPERBÓLICO

Analisando o gráfico da função y = senh x [Figura 2.31

(a)], vemos que a cada

valor de y na imagem corresponde um único valor de

x no domínio. Assim, podemos

definir a sua função inversa.

A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico

e denotada por arg senh, é definida como segue:

(59)

Temos D(arg senh x) = Im (arg senh x) = R.

O gráfico da função arg senh pode ser visto na Figura 2.35. Ele é obtido fazendo uma reflexão do gráfico da função senh sobre a reta y x.

Figura 2-35

FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO

Para definirmos a inversa da função cosseno hiperbólico precisamos restringir o seu domínio, pois como podemos ver no seu gráfico, Figura 2.31(b), a cada valor de y na imagem, exceto y = 1, correspondem dois valores de x no domínio

Seja f: [O, + -4 [1, + a função dada por f (x) = cosh x. A sua função inversa é chamada argumento do cosseno hiperbólico e é denotada por arg cosh. Simbolicamente, para y O, escrevemos

y = arg cosh x <=> x = cosh y

Temos D(arg cosh x) = [1, + e Im(arg cosh x) = [O, + oo). O gráfico pode ser visto na Figura 2.36.

(60)

60 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração AY

X

Figura 2-36

INVERSAS DAS FUNÇÕES TANGENTE HIPERBÓLICA, COTANGENTE HIPERBÓLICA E COSSECANTE HIPERBÓLICA

Para definirmos as inversas destas funções não necessitamos restringir os seus domínios, pois a cada valor de y na imagem corresponde um único valor de x no domínio [ver Figura 2.33,(a), (b) e (d)].

As funções inversas da tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica e cosse-cante hiperbólica, denotadas respectivamente por arg tgh, arg cotgh e arg cosech, são definidas como segue:

y = arg tgh x <=> x = tgh y y = arg cotgh x <=> x = cotgh y y = arg cosech x <=> x = cosech y

(61)

y= arg cosech

x

y= arg cotgh

x

Jay

y= arg tgh

x

Figura 2-37 INVERSA DA FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA

Da mesma forma que ocorreu com a inversa do cosseno hiperbólico, para

definirmos a inversa da função secante hiperbólica devemos restringir seu domínio

Seja

f:

[O, + co) --> [O, 1] a função dada por

f (x) =

sech

x.

A sua função inversa

é denotada por arg sech. Para y O, temos

y = arg sech

x

<=>

x

= sech y

(62)

arg senti

x

= ln

(x

+ 11x

2

+ 1 ),

x

qualquer;

arg cosh x = ln

(x

+ 11x

2

— 1),

x

. 1;

arg tgh

x

= 2— ln

1 —

x

1

(1 +

x

— 1 <

x

< 1 ;

arg sech

x

= In

+

-‘11 -

X2

, O<X.

_{^ 1;}

Y

X

Figura 2-38

Podemos exprimir as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos

naturais. Isso decorre do fato das funções hiperbólicas serem definidas em termos da

função exponencial, que admite a função logaritmo natural como inversa.

A seguir apresentamos essas expressões, que aparecem freqüentemente na

integração.

arg cotgh

x

= 2— ln

x x

+

1

r

₁

,

lx I > 1 ;

1 [1

-1 + x

2

\

arg cosech

x

= ln

— x

+

1 lx1

₎

, x O.

(63)

EXEMPLO. Mostrar que arg senh x = ln (x + •NI x2 + 1 ), para todo valor de x.

Sejam xeRey= arg senh x.

Então, x = senh y — e portanto,

eY — e-Y 2

-

2x —

=

O.

Multiplicando ambos os membros da igualdade por

e,

temos e2Y — 2xeY — 1 = O.

Resolvendo esta equação para eY pela fórmula quadrática, obtemos

2x + •Ni 4x2 + 4

_

_ x ± x2+ 1 .

2

Como

e >

O para qualquer y, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto,

ey

= x + x2 + 1 .

Tomando o logaritmo natural, temos y = ln (x + x2 + 1 ) , ou seja,

arg senh x = ln (x + x2 + 1 ) .

2.16 EXERCÍCIOS

1. Construir os gráficos das funções de 19 grau. Dar o domínio e o conjunto imagem.

(a) y = kx ; se k = O, 1, 2, 1/2, — 1, —2 (b) y=x+b, se b=0,1,-1

(64)

2. Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = ax2, se a = 1, 1/2 e -2

(b) y = x2 + c, se c = O, 1, 1/2, -3 (c) y = yo + (x- 1)2, se yo = O, 1, -1

(d) y = ax2 + bx + c, se a = 1, b = -2 e c = 5.

3. Construir os gráficos das funções polinomiais. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = 2 + (x - 1)3 (b) y = x4 (c) y = 2x2 - 4.

4. Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.

. 1 x - 1

(a) y = - 2 (b) y = (c) y

-(x - 1)2 X X -I- 4

5. A função f (x) é do 12 grau. Escreva a função se

f(-1)= 2 e f (2) = 3.

6. Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares

(a) f (x) = 3x4 - 2x2 + 1 (b) f (x) = 5x3 - 2x (c) f (s) = s2 + 2s -I- 2 (d) f (t) = t6 - 4 3 f(y) - Y Y y2 +1 1 (h) .ft x) = (a' + a-₂ -x) (j) flx) = ln (x + 'N/ 1 + x2) . (e) f (x) =I xl x - 1 (g) f(x) = x + 1 (i) f(x) = ln 1 + x 1 - x