PLANO DE AULA. 1. TEMA Equac o es Alge bricas

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Ministério da Educação

Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal Catarinense−Campus Avançado Sombrio

Curso de Licenciatura em Matem´atica

PLANO DE AULA Escola:Instituto Federal Catarinense− Campus Avanc¸ado Sombrio Munic´ıpio:Sombrio, SC

Disciplina: Matemática Ano: 3oEnsino Médio N´ıvel:Ensino Médio Tempo previsto:3horas

Professor:Rafael dos Reis Paulo

1. TEMA

Equações Algébricas 2. SUB-TEMAS

Definição e elementos; Ra´ızes de equações algébricas; Conjunto solução de equações algébricas; Teo-rema fundamental da álgebra; Decomposição em fatores de primeiro grau; Relação de Girard.

3. JUSTIFICATIVA

O estudo das equações algébricas representam uma finalização importante de todo um ciclo de aprendi-zagem matemática, iniciado no Ensino Fundamental com expressões algébricas, resolução de equações de primeiro e segundo graus e produtos notáveis, cujo grau e complexidade foi gradativamente aumen-tado no Ensino Médio, com os estudos das funções e polinômios, entre tantos temas em que a resolução de equações se faz necessária, até chegarmos ao ápice, que perpassa o universo do conjuntos reais e possibilita a solução de equações que anteriormente não teriam solução.

4. OBJETIVOS

• Conhecer os fatos históricos acerca do assunto; • Identificar e definir uma equação algébrica;

• Determinar o conjunto verdade de equações algébricas;

• Desenvolver estratégias para encontrar as ra´ızes das equações algébricas; • Demostrar alguns teoremas e a relação de Girard;

• Averiguar as ra´ızes de qualquer equação algébrica utilizando o GeoGebra; • Efetuar a resolução de exerc´ıcios e problemas que envolvam equações algébricas.

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5. CONTE ´UDOS ENVOLVIDOS

• Operações fundamentais: soma, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação; • Números complexos;

• Polinômios; • Funções;

• Equações algébricas. 6. RECURSOS T ÉCNICOS

• Recursos: Dispon´ıveis no laboratório de matemática, data show, quadro-branco, jogo “Rampa das Equações”, pincel e apagador.

• T´ecnicas: Aula expositivo dialogada, atividades utilizando o software Graph. 7. PROCEDIMENTOS

(a) Problematizac¸˜ao

O Sr. Adonias gostaria de confeccionar uma caixa de papelão sem tampa, para a fabricação Adonias comprou uma lâmina de face quadrada de papelão com área igual a 324 cm2. Por muito tempo, Adonias trabalhou fabricando caixas de sapato, ele sabe que é necessário recortar um qua-drado em cada canto da lâmina de papelão, para posterior-mente dobrar e transformar numa caixa (figura 1). Porém, Adonias gostaria que determinássemos qual a medida do lado (valor de x) do quadrado a ser recortado para que o volume da caixa seja igual a 400 cm3?

Figura 1:Lˆamina de papel˜ao

(b) Historicizac¸˜ao

Nesta aula trataremos das equações algébricas que são aquelas que podem ser representadas sob a forma de um polinômio igualado a zero. Um dos trabalhos pioneiros sobre essas equações é a obra Al-jarb wa’l muqãbalah, escrita no século IX pelo matemático árabe Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi, na qual são estudas as equações do 1oe 2ograu.

A obra de al-Khowarizmi inspirou tratados posteriores até o Renascimento, quando os matemáticos buscavam uma fórmula resolutiva para equações polinomiais de qualquer grau, o que já haviam conseguido até o 4ograu.

Os matemáticos Niels Henrik Abel e Évariste Galois encerraram essa busca, demonstrando que equações de grau superior a 4 não podem ser resolvidas por radicais e combinações de coeficientes, isto é, não existe fórmula geral que resolva equações polinomiais de grau maior que 4.

(c) Procedimentos

i. momento: Iniciar a aula resgatando algumas equações que já foram estudas anteriormente, identificando o conjunto solução das mesmas.

(a) x + 3 = 0 S ={−3} (b) x2− 9 = 0 S = {3, −3}

(c) x2+ 3x− 10 = 0 S = {−5, 2} (d) x2+ 1 = 0 S ={−i, i}

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anxn+ an₋₁xn−1+ ... + a2x2+ a1x + a0= 0 com an̸= 0

em que os ai(an, an₋₁, ..., a2, a1, a0) são elementos do conjunto dos números complexos, n∈ N∗ _{e n é o grau da equação.}

Obs: As equações do 1ograu e do 2ograu estudadas anteriormente são casos particulares de equações algébricas.

iii. momento: Enunciar o Teorema fundamental da Álgebra pensando nas seguintes questões: • Existe alguma equação polinomial do 1o_{grau que não possua raiz complexa?}

• Existe alguma equação polinomial do 2o_{grau que não possua raiz complexa?}

Para responder basta observar que toda equação polinomial do 1o grau pode ser representada sob a forma ax + b = 0 com a, b⊂ C e a ̸= 0. Logo, o número −b

a é raiz dessa equação para quaisquer valores complexos de a e b, com a ̸= 0. Conclu´ımos, então, que toda equação 1o grau tem raiz complexa.

Já a equação do 2ograu pode ser representada sob a forma ax2+ bx + c = 0, com a, b, c⊂ C e a̸= 0. Para qualquer valor do ∆ dessa equação, temos, −b + w1

2a e

−b − w2

2a , que são ra´ızes da equação do 2ograu.

Conclui-se, que toda equação do 2o grau possui raiz complexa. E, assim, o Teorema funda-mental da Álgebra diz:

Toda equac¸˜ao polinomial admite pelo menos uma raiz complexa

iv. momento: Apresentar o Teorema da decomposição, onde todo polinômio de grau n, com n≥ 1, P (x) ≡ anxn+ an₋₁xn−1+ ... + a1x + a0 pode ser fatorado sob a forma P (x)≡ an(x− r1)(x− r2)· ... · (x − rn) em que r1, r2, r3, ..., rnsão todas ra´ızes de P (x).

Resolvendo alguns exemplos:

A. P (x) = 4x2− x − 3 → P (x) = 4(x− 1)(x + 3 4)

| {z }

Quando a soma dos coeficientes resultar em 0 a equação terá 1 como raiz B. P (x) = x3− 8x2+ 12x→ P (x) = x(x− 2)(x − 6)

| {z }

Quando o termo independente da equação for nulo uma de suas ra´ızes será 0

C. P (x) = 3x3− 6x2+ 3x− 6, sabendo que P (2) = 0 → P (x) = 3(x− 2)(x − i)(x + i)

Pelo teorema da decomposic¸˜ao visto anteriormente, podemos definir que:

Qualquer equação polinomial de grau n, com n≥ 1, admite exatamente n ra´ızes complexas, não necessariamente distintas entre si.

Para verificar o teorema vamos utilizar o software Geogebra para encontrar as ra´ızes das se-guintes equac¸˜oes:

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A. x4− 3x3+ 3x2− 3x + 2 = 0

B. x4− x2 = 0

C.−x3+ x2+ x− 1 = 0

D. x5+ 5x4_{+ 6x}3_{− 2x}2_{− 7x − 3 = 0}

D. x4− 7x3+ 13x2+ 3x− 18 = 0

Em seguida, exercitar a fatoração e a determinação de ra´ızes pelo GeoGebra aplicando o jogo (Rampa das equações). Para isso, os estudantes devem sortear 4 equações e, em seguida efe-tuar a resolução no caderno e ao mesmo tempo conferindo as respostas no GeoGebra. Nesse momento, podemos evidenciar as estratégias utilizadas para a resolução das equações

v. momento: Apresentar a situação problema e sua resolução conforme abaixo. Nesse momento, será entregue aos estudantes duas folhas de papel A4 para a construção das poss´ıveis caixas, após encontrarem os valores da altura.

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(324− 72x + 4x2)· x = 400 4x3− 72x2+ 324x− 400 = 0 vamos dividir a equac¸˜ao polinomial por 4

x3− 18x2+ 81x− 100 = 0

Assim podemos determinar as poss´ıveis ra´ızes por meio do GeoGeobra, as quais são:(2, 1; 4; 11, 9) porém temos uma condição de que 18−2x > 0, ou seja, x < 9. Logo, podemos excluir o 11, 9 como uma poss´ıvel altura da caixa. Sendo assim, os valores para altura da caixa serão 2, 1 e 4. vi. momento: Apresentar aos alunos o Teorema das ra´ızes imaginárias que diz respeito as ra´ızes imaginárias de uma equação algébrica. Vale lembrar de que n úmero imaginário é todo número complexo não real, isto é, todo número da forma z = a + bi, com (a, b)⊂ R e b̸= 0. Assim sendo,

Se um número imaginário é raiz de uma equação polinomial com coeficientes reais, então seu conjugado também é raiz dessa equação.

Consequˆencias desse teorema:

• Se um número imaginário z é raiz de uma equação algébrica, seu conjugado também será raiz dessa mesma equação, independentemente de sua multiplicidade;

• O número de ra´ızes imaginárias de uma equação é necessariamente par; • Se uma equação algébrica for de grau ´ımpar terá pelo menos uma raiz real;

vii. momento:Para finalizar os conteúdos desta aula, vamos estudar e analisar as relações de Girard para equações de 2◦e 3◦ grau.

Essa relação foi descoberta pelo fracês Albert Girard por volta do século XV, esse matemático encontrou uma relação entre os coeficientes e suas ra´ızes, vamos agora então estudar essa relação para as equações polinomiais de grau 2.

Em sua forma geral, temos

ax2+ bx + c = 0

Porém vimos que uma equação polinomial pode ser decomposta por suas ra´ızes, ax2+ bx + c = a(x− r1)(x− r2)

Vamos dividir ambos os lados por a, x2+bx a + c a = (x− r1)(x− r2) Equivalente a: x2+bx a + c a = x 2_{− (r1}_{+ r} 2)x + r1r2 Por identidade de polinˆomios temos,

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   −(r1+ r2) = b a r1· r2 = c a    (r1+ r2) =− b a r1· r2= c a

Vamos agora construir a Relação de Girard para as equações polinomiais de 3ograu. ax3+ bx2+ cx + d = a(x− r1)(x− r2)(x− r3)

Dividindo ambos lados por a, temos x3+bx 2 a + cx a + d a = (x− r1)(x− r2)(x− r3) x3+ bx 2 a + cx a + d a = x 3_{− (r1}_{+ r} 2+ r3)x2+ (r1r2+ r1r3+ r2r3)− r1r2r3 Por identidade de polinˆomios temos

           −(r1+ r2+ r3) = b a r1r2+ r1r3+ r2r3 = c a −r1r2r3 = d a            r1+ r2+ r3=−b a r1r2+ r1r3+ r2r3 = c a r1r2r3=−d a

Após a explicação na lousa, vamos propor a resolução do seguinte problema:

Resolva a equação 2x3+ x2− 13x + 6 = 0, sabendo que a soma de duas de suas ra´ızes é igual a−1

Resoluc¸˜ao:

Vamos utilizar as relações de Girard para equações de 3◦ grau,            r1+ r2+ r3 =− b a r1r2+ r1r3+ r2r3= c a r1r2r3 =− d a Assim temos, r1+ r_{| {z }}2+ r3 =−1 =−1 2 Logo, r1= 1 2 Outra relação de Girard é,

r1

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Assim temos,

r2r3 =−6

Agora vamos observar as relações entre as seguintes equações {

r2r3=−6 r2+ r3=−1

r3=−1 − r2 Substituindo na outra equac¸˜ao temos,

r2· (−1 − r2) =−6 Resultando numa equac¸˜ao de 2ograu

r2₂+ r2− 6 = 0 {

r2= 2 r2=−3

Para verificar o Teorema das ra´ızes complexas vamos propor que os alunos identifique onde está o erro na resolução do seguinte enunciado.

Resolva em complexos a equação 2x3+ 14x− 12i = 0, sabendo que uma de suas ra´ızes é o número imaginário i

Figura 1: Paiva, Manoel. Matem´atica. S˜ao Paulo, 2013

E, por fim, desenvolver a resolução por meio do dispositivo prático de Briot− Ruffini

(d) Conclus˜ao da aula

Por fim, esperamos que os estudantes tenham apreendido a parte teoria envolvendo as equações algébricas (teoremas e definições), além disso, que saibam determinar o conjunto verdade das equações algébricas. Almeja-se também que, por meio das atividades propostas (construção das caixas e o jogo “Rampa das Equações”) os estudantes possam assimilar os conceitos apreendidos. E, por fim, que utilizem os recursos digitais, como, o software GeoGebra para encontrar as ra´ızes de outras equações não estudadas nessa aula. dos estudantes.

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8. AVALIAC¸ ˜AO

• Critérios: Compreensão dos conteúdos abordados em sala de aula, interesse e participação nas atividades propostas, assiduidade, resolução da problematização.

• Instrumentos: Observação e registro do desempenho dos estudantes durante a realização das ati-vidades no diário de classe e aplicação de uma prova envolvendo os conteúdos estudados até o presente momento.

9. REFER ˆENCIAS

BARRETO, Benigno Filho; SILVA, Claudio Xavier. Matemática aula por aula, segunda e terceira Série. São Paulo: FTD, 2005.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática volume único. 1.ed. São Paulo: ´Atica, 2014.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2.ed. São Paulo: FTD, 2005.

PAIVA, Manoel. Matem´atica 2. S˜ao Paulo: Moderna, 2014.