Disciplina de Matemática Aplicada I
Curso Técnico em Mecânica
Profª Valéria Espíndola Lessa
APOSTILA 1
Frações Decimais Potências Razão e Proporção Porcentagem Regra de Três Erechim, 20142
FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS
Frações
As frações ou números fracionários representam quantidades não inteiras, na qual o denominador indica em quantas partes as unidades (espaços entre os inteiros) foram divididas e o numerador indica em qual “posição” está a parte tomada.
Uma fração pode estar representada numa reta numérica ou em figuras geométricas.
Exemplo: Representar graficamente as frações seguintes
(i) 12 (ii) 52 (iii) 7 10 (iv) 12 5 Números Decimais
Os números decimais são outra forma de representar alguns tipos de frações. Eles possuem uma parte inteira e outra não inteira depois da vírgula. Quando dividimos o numerador pelo denominador de uma fração, podemos obter dois tipos de resultados:
Números com casas decimais finitas => número decimal;
Números com casas decimais infinitas => dízima periódica.
Exemplo: Transformar as frações em números decimais ou dízimas periódicas. (i) 3 5= (ii) 4 3= (iii) 7 10000=
(iv) 7000714 = (v) 120010 = (vi) 2009 =
Exemplo: Transformar os números decimais em frações
(i) 0,75 (ii) 4,23 (iii) 0,000014
(iv) 1,005 (v) 0,025 (vi) 12,7
Frações Equivalentes
São as que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são as frações que representam a mesma quantidade, o mesmo número decimal. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.
1/2 1/2 1/2 2/4 1/4 1/4 1/4 1/4 3/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 4/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8
8
4
2
1
6
3
2
1
4
2
2
1
4 4 3 3 2 2
xx xx x xSe dividirmos os dois termos da fração pelo mesmo número natural, obteremos frações equivalentes e mais simples. Este é o processo de simplificação de frações. Quando não conseguimos mais simplificar, obtemos a fração irredutível. Exemplos:
(i)
3
2
9
6
18
12
18
12
3 : 3 : 2 : 2 :
(ii)5
1
25
5
125
25
625
125
625
125
5 : 5 : 5 : 5 : 5 : 5 :
4 (iii)
63
72
(iv)
216
180
Número MistoNas frações que representam quantidades maiores do que 1 podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto. No exemplo de 7/4 temos o seguinte:
4
3
1
4
3
4
4
4
3
4
4
7
Exemplo: Transforme as frações em número misto.
(i)
5
3
2
5
3
5
10
5
3
10
5
13
(ii)7
4
3
7
4
7
21
7
4
21
7
25
(iii)
5
34
(iv)
3
46
Exemplo: Transforme os números mistos em frações
(i)
3
7
3
1
6
3
1
2
(ii)9
47
9
2
45
9
2
5
(iii)
4
3
7
(iv)
5
1
4
Adição e Subtração de Frações
Frações com Denominadores iguais: Basta somar/subtrair os numeradores e conservar o denominador. a)
7
9
7
2
7
4
b)4
3
12
3
2
3
10
c)
6
21
6
13
d)
12
8
12
9
Frações com Denominadores diferentes: É preciso obter frações equivalentes com denominadores iguais. Para isso, basta encontrar um número que seja múltiplo dos dois denominadores. Exemplo:
a)
2
5
5
4
Primeiro é necessário transformar as frações dadas em outras equivalentes de modo que os denominadores fiquem iguais para depois somar ou subtrair. Obtendo o MMC dos denominadores temos mmc (5,2) = 10. Este valor nos indica que as novas frações devem ter denominadores iguais a 10.
1/4 1/4 1/4 1/4
1/4 1/4 1/4 1/4
10
?
10
?
2
5
5
4
b)
2
1
3
4
c)
5
6
10
7
d)
2
9
5
12
e)
3
1
5
3
2
1
f)
7
2
2
g)
1
3
1
9
4
Multiplicação de FraçõesMultiplica-se o numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto. a)
8
5
24
15
6
5
4
3
b)21
40
3
5
7
8
c)21
5
42
10
7
5
3
2
2
1
d)
5
2
14
3
3
7
e)
12
10
5
3
9
15
f)
3
2
24
21
7
16
Divisão de FraçõesDevemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.
a)
2
1
24
12
3
2
8
6
2
3
8
6
b)
3
8
15
c)
2
5
10
d)
3
1
2
1
5
8
6 d)
2
15
8
3
e)
3
1
2
1
1
Frações de QuantidadesEm muitas situações as frações aparecem indicando uma parte de uma certa quantidade.
Exemplo: O aluguel do apartamento de certa pessoa custa ¾ de seu salário. Sabendo que a pessoa ganha mensalmente R$ 1.200,00, quanto ela paga de aluguel?
900
1200
4
3
1200
4
3
de
Adição e Subtração de números decimais
Somar ou subtrair os números que pertencem a mesma "casa decimal". Como nos números inteiros somamos unidade com unidade, dezena com dezena e assim por diante, nos decimais funciona da mesma forma, somamos décimos com décimos, centésimos com centésimos, e assim por diante.
Números inteiros possuem casas decimais zeradas: 15 = 15,00000...
a) 2,45 + 0,2 = b) 2,45 + 0,02 =
c) 12 + 7,12 = d) 15 - 9,012 =
e) 23,6 - 4,72 = f) 0,045 + 0,007 – 0,03 =
Multiplicação de números decimais
Faz-se a multiplicação normal desconsiderando a vírgula, depois conta-se quantas casas decimais têm os dois números juntos, e coloca-se este número de casas na resposta da multiplicação.
a) 1,2 x 3 = 3,6 (1 casa nos fatores, 1 casa no produto).
b) 0,006 x 0,2 = 0,0012 (3+1 casas nos fatores, 4 casas no produto) c) 1,23 x 0,0003 = 0,000369 (2+4 casas nos fatores, 6 casas no produto)
d) 2,25 x 1,2 = e) 0,7 x 0,002 = f) 5 x 0,00012 = g) 1,234 x 6 =
Divisão de números decimais
1º) Igualar o número de casas decimais acrescentando zeros à direita da vírgula quando necessário.
2º) Cancelar a vírgula. Cuidado ao cancelar a vírgula, pois os zeros atrás do número são relevantes e os zeros que estão na frente do número podem ser descartados.
3º) Dividir normalmente.
Ex.: a) 12 : 0,2 = 12,0 : 0,2 = 120 : 2 = 60
b) 7 : 0,004 = 7,000 : 0,004 = 7000 : 4 = 1750 c) 1,25 : 5 = 1,25 : 5,00 = 125 : 500 = 0,25
d) 12,8 : 4 = 3,2 (em alguns casos é mais fácil fazer a divisão direta) e) 60,5 : 5 = 12,1 f) 0,36 : 0,6 = g) 0,0002 : 0,05 = h) 0,012 : 6 = i) 0,024 : 0,08 = j) 0,72 : 0,00009 =
REGRAS DE SINAIS NAS 4 OPERAÇÕES
Adição
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7) +3 + 4 = + 7 perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) - 3 – 4 = - 7 ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) + 8 – 5 = + 3 perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) - 8 + 5 = - 3
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Subtração
8 (+5) – (+2) = (+5) + (-2) = +5 – 2 = +3
(+5) – (-2) = (+5) + (+2) = +7 Multiplicação e Divisão
Positivo x Positivo = Positivo (+6) . (+4) = 6 . 4 = + 24
Positivo x Negativo = Negativo (+6) . (-4) = 6 . (-4) = – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 = – 24 Negativo x Positivo = Negativo (- 6) . (+4) = - (+6) . (+4) = - (+24) = – 24
Negativo x Negativo = Positivo (- 6) . (- 4) = - (+6) . (-4) = - ( - 24) = +24
Exercícios
LISTA 1
Frações e Números Decimais
1. Transforme as frações abaixo em números decimais primeiramente sem usar a calculadora, depois utilizá-la
para conferir as respostas. a) 4 3 b) 3 5 c) 8 11 d) 25 1 e) 125 3 f) 9 7
2. Transforme os números decimais abaixo em frações.
a) 0,125 b) 0,003 c) 2,3 d) 0,0004 e) 0,0012 f) 1,02 g) 23,4
3. Resolva as operações com frações abaixo.
a) 7 2 2 b) 10 9 3 2 15 4 c) 3 1 5 4 3 2 d) 12 1 4 5 8 1 16 5 e) 3 5 4 1 1 2 3 1 f) 3 1 9 1 14 3 1 2 g) 5 3 2 3 1 7 1
4. Uma pessoa recebeu o seu salário no valor de R$ 1.850,00. Ontem gastou 1/4 do dinheiro, e hoje, gastou 2/3
do que lhe restava. Com quantos reais a pessoa ficou?
5. Calcule o valor das expressões:
a) 1 – 0,25 . 0,15 b) 7,5 . 3,8 + 3,5 . 0,5 c) 5,75 . 2,05 – 3,01 . 2,04
d) 2 . (3,15 – 2,08) + 4 . (2,04 . 3,05)
6. Faça os cálculos abaixo mentalmente e depois, se quiser, utilize a calculadora para conferir os resultados:
a) 5,237 . 10 b) 4,169 . 100 c) 8,63 . 1 000 d) 0,287 . 100 e) 1 000 . 0,9 f) 10 . 0,3 g) 1 000 . 5,4 h) 100 . 0,037 i) 4,83 : 10 j) 674,9 : 100 k) 0,08 : 10 l) 7 814,9 : 1 000 m) 0,017 : 100 n) 6 312,4 : 1 000
7. Resolva as divisões primeiramente sem a calculadora, depois utilize-a para conferir as respostas:
a) 5 : 0,4 e) 7 : 0,35 i) 8 : 3,2 b) 9 : 0,06 f) 4 : 0,16 j) 1 : 2,5 c) 2,08 : 0,8 g) 1,2 : 0,24 k) 9,81 : 0,9 d) 7,44 : 0,6 h) 5,4 : 2,7 l) 0,063 : 0,09 Gabarito: 1. (a) 0,75; (b) 1,666...; (c) 1,375; (d) 0,04; (e) 0,024; (f) 0,777...;
2. (a) 1/8; (b) 3/1000; (c) 23/10; (d) 1/2500; (e) 3/2500; (f)51/50; (g)117/5 3. (a) 16/7; (b) -1/3; (c) 14/15; (d) 3/8; (e) -2/3; (f) 7/18; (g) 12 4. R$ 462.50 5. (a) 0,9625; (b) 30,25; (c) 5,6471; (d) 27,028 6. confira na calculadora 7. confira na calculadora
POTENCIAÇÃO E PROPRIEDADES
Definição
vezes n na
a
a
a
a
Ex:
0
,
04
0
,
04
0
,
04
0
,
04
0
,
04
0
,
00000256
8
1
2
1
2
1
2
1
2
1
81
3
.
3
.
3
.
3
3
4 3 4
Expoente par
2 2 2 2 2 2 2 64 64 2 2 2 2 2 2 2 6 6 *Sempre positivo Expoente ímpar
2 2 2 2 2 2 32 32 2 2 2 2 2 2 5 5 *Se a base for positiva o resultado será positivo *Se a base for negativa o resultado será negativo
Expoente Negativo 4 25 2 5 2 5 2 5 5 2 8 1 2 1 2 2 2 3 3 n n
a
a
1
10 Expoente Fracionário 3 3 2 3 2 25 5 5 => n n m m a a Propriedades
(I) Multiplicação de potências de mesma base conserva-se a base e soma-se os expoentes:
n m n m
a
a
a
Ex. a) 3
4
2
2
b) 7 2 5 x x x c) x 2x 2 1 2 1 d) 2 9 5 w w w(II) Divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.
n m n m n m
a
a
a
a
a
Ex.: a) 3 4 2 : 2 b) 7 8 : x x c) 2y 5y 2 1 : 2 1 d)
7 2 0 89
9
9
9
9
(III) Potência de potência, conserva-se a base e multiplica-se os expoentes:
n m nma
a
Ex.: a)
4 5
b)
7 2
x
(IV) Potência de uma multiplicação ou divisão é o mesmo que a multiplicação ou divisão das potências:
n n m m n nb
a
b
a
b
a
b
a
Ex.: a)
3 3 2 b)
4 xy c) 7 b a d) 2 9 1 Expoente zero Aplicando a definição: 2525 32321 Aplicando a propriedade: 5 5 5 5 0 2 2 2 2 Então: 2011
0
a
Observações Importantes: 𝐴 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟ê𝑛𝑡𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠: 232 = 29= 512 e (23)2 = 26= 64 −42= −16 𝑒 (−4)2= +16Potências de Base Dez
Muitas vezes é conveniente escrever um número muito grande ou muito pequeno, que contenha muitos zeros, na forma de potência. Exemplos:
a) 7 7
10
10
10
10
10
10
10
10
000
.
000
.
0
1
zeros b) 7 7 7 710
10
1
000
.
000
.
0
1
1
0000001
,
0
zeros decimais casas12
Notação Científica
Com o uso das potências de dez, podemos transformar números grandes ou pequenos em notações que facilitem a visualização. Exemplos:
a)A distância da Terra ao sol é de 150.000.000 Km.
8 7 8 10 5 , 1 10 15 000 . 000 . 10 15 000 . 000 . 50 1 esquerda à casas b) A massa de um próton é 0,00000000000000000000000000167 kg 27 27 10 67 , 1 67 0000001 0000000000 0000000000 , 0 direita à casas
Podemos entender que para transformar um número muito grande ou muito pequeno em notação científica, basta “andar” com a vírgula.
Número muito grande terá potência de dez com expoente positivo Número muito pequeno terá potência de dez com expoente negativo
Transformar em notação científica: c) 15.000.000 =
d) 0,0000045 =
e) 0,000000000000234 =
f) 1.050.000.000 =
Da mesma forma para transformarmos uma notação em números grandes ou pequenos, fazemos: g)
1
,
3
10
1
,
300000
10
61300000
6 6
número oaumentarcasaspara
h)
1
,
3
10
000001
,
3
10
60
,
0000013
dim 6 6
número o inuirpara casas i)
8
10
34
,
2
j) 12 10 88 , 1Exercícios
LISTA 2
Potenciação e Notação Científica1. Calcule as potências: a) 4 2 3
2
1
2
= b) 9 16 4 3 2 c)
1 2
22
2
2. Aplicando as propriedades da potenciação, simplifique os cálculos deixando a uma só potência:
a) 18 22 27
2
2
2
b) 9 0 5 73
3
3
3
3
b) 3 6 3 27
.
7
343
49
7
d) 3 6 3 410
.
10
1000
100
10
3. Para medir a distância entre as estrelas, os astrônomos usam a medida chamada “ano-luz”, que é a distância que a
luz percorre em um ano. Essa distância é aproximadamente 9.500.000.000.000 km (nove trilhões e quinhentos bilhões de quilômetros). Escreva este número em notação científica.
4. Pesquisadores em Nova York, descobriram que um ônibus espacial ao ser lançado, libera 163 toneladas de ácido
clorídrico, causando sérios danos à camada de ozônio. Sabendo que 1 tonelada corresponde a 1000 kg, dê a notação científica dessa massa liberada em kg.
5. Cada mililitro de sangue humano contém, em média, 5 . 106 glóbulos vermelhos. Um ser humano adulto tem, em média, 5,5 litros de sangue. De acordo com esses dados, o número médio de glóbulos vermelhos de um adulto é:
a) 2,75 . 106 b) 2,75 . 107 c) 27,5 . 107 d) 27,5 .108 e) 2,75 . 1010
Um grupo de glóbulos vermelhos passando por uma arteríola (artéria finíssima), com colorido artificial (ampliação de 1740 vezes).
6. Simplificando a expressão
001 , 0 1000 001 , 0 00001 , 0 2, obtêm-se qual potência de 10?
7. Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano. Considerando que, aproximadamente, a velocidade da luz
é de trezentos milhões de metros por segundo e um ano tem 32 milhões de segundos, devemos multiplicar (trezentos milhões) por (32 milhões) para obter o valor do ano-luz em metros. Efetue esta conta em notação científica.
8. Escreva os seguintes números em notação científica:
a) 670.000.000 b) 3.000.000.000.000 c) 0,00000000065 d) 0,00000345 e) 45 x 104 f) 789000 x 108 g) 23000 x 10-4 h) 0,000005 x 103 i) 0,034 x 10-7 j) 0,5 x 10-6 Gabarito:
14 1. (a) 16; (b) 1; (c) 16/9; 2. (a) 223; (b) 3-12; (c) 72; (d) 1010 3. 9,5 . 1012 4. 1,63 . 105 kg 5. letra (e) 6. 10-5 7. 9,6 . 1015
8. (a) 6,7.108; (b) 3.1012; (c) 6,5.10-10; (d) 3,45.10-6; (e) 4,5.105; (f) 7,89.1013; (g) 2,3; (h) 5.10-3;(i)3,4.10-9; (j) 5.10-7
RAZÃO E PROPORÇÃO
Razão
A razão do número a e o número b (diferente de zero) é o quociente entre a e b.
b
a
ou
b
a
:
ProporçãoDados, em uma certa ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) for igual a razão entre os dois últimos (c e d). Logo, proporção é uma igualdade de razões.
d
c
b
a
Propriedade Fundamental das Proporções
Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que:
bc
ad
d
c
b
a
Exemplo 1: Verifique se os números 18, 6, 27 e 9, nesta ordem, formam uma proporção.
Exemplo 2: Verifique se os números 18, 3, 24 e 6, nesta ordem, formam uma proporção?
Exemplo 3: Verifique se são verdadeiras ou não as proporções abaixo:
a)
24
28
6
7
b)15
12
3
2
c)
32
35
8
7
d)5
,
7
5
3
2
Cálculo do Termo Desconhecido nas proporções
Aplicando a propriedade fundamental das proporções é sempre possível determinar o valor de um termo desconhecido de uma proporção quando são conhecidos os outros três.
Exemplo 4: Encontre o valor desconhecido nas proporções:
a)
x
60
20
15
b)2
3
5
6
7
x
c)5
2
3
x
x
d)3
11
2
1
5
x
e)
3
2
7
3
2
x
f)2
3
3
5
x
x
g)10
15
4
3
1
x
x
16
Porcentagem e Aplicações
O cálculo de porcentagem é uma operação muito antiga em termos de cálculos comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada por meio do sinal %, que significa divisão por 100.
Há três formas de representar uma porcentagem: usando o símbolo %; na forma de uma razão; ou de um número decimal.
23
,
0
100
23
%
23
0
,
007
100
7
,
0
%
7
,
0
A porcentagem representa uma quantidade tomada de 100, dessa forma também chamamos de taxa percentual. Já os valores 0,23 e 0,007 representam uma quantidade tomada de 1, portanto, chamamos de taxa unitária. Para os cálculos de Matemática Financeira, sempre se utiliza a taxa unitária.
É importante lembrar:
• As porcentagens indicam valores numéricos que estão relacionados a certas quantidades.
• Quando dizemos que o salário teve um aumento de 10%, não sabemos ao certo quantos Reais estes 10% significam. Será preciso saber o valor do salário.
• Se o salário for de R$1.000,00 estes 10% significam R$100,00. Mas se o salário for de R$ 5.000,00 estes 10% significam R$500,00.
Quando efetuamos os cálculos de porcentagem na verdade estamos efetuando um simples cálculo de proporção. Vejamos os exemplos:
Exemplo 5: Das 2.500 peças que uma máquina produz, 150 peças saem com defeito. Qual é a taxa percentual da produção de peças com defeito dessa máquina?
Exemplo 6: Quanto é 10% de R$ 800,00?
Exemplo 7: Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter uma rentabilidade (lucro) de 6%?
Exemplo 8: Este ano, uma fábrica aumentou em 15% o número de funcionário que tinha. Com isso, passou a ter 690 funcionários. Quantos funcionários tinha antes?
Exercícios
LISTA 3
Proporções e Porcentagens1) Calcule o termo desconhecido nas proporções:
a)
4
3
2
1
x
x
b)3
4
3
2
x
x
c)3
2
6
6
x
x
d)x
2
1
3
1
4
3
(x = 5) (x = -6) (x = -30) ( x = 2/9)2) Dos 90 candidatos para o processo seletivo do IFRS, 55 foram aprovados. Qual a taxa percentual de aprovados? (Aprox. 61,11%)
3) Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? (R. 37%) 4) Calcule: a) 9% de R$ 1.297,00 (R. R$ 116,73) b) 2,5% de R$4.300,00 (R. R$107,50) c) 0,5% de R$ 1.346,50 (R. R$ 6,73) d) 14% de R$ 3.000,00 (R. R$ 420,00) e) 0,6% de R$ 300,00 (R. R$ 1,80)
2) Sabe-se que uma máquina está produzindo 35% a menos de peças do que deveria, devido a um defeito. Se hoje ela produziu 1.225 peças, quanto ela deveria produzir se estivesse funcionando corretamente? (R. 3500 peças)
3) Na compra de um aparelho de som obtive um desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$102,00 pelo aparelho, qual era o preço original? (R. R$ 120,00)
4) Por aquecimento, o comprimento de uma barra de ferro aumenta 7/2000 em relação ao valor inicial. Isso significa que o aumento do comprimento é de quantos por cento? (R. 0,35%)
5) Uma empresa concedeu aumento de 8% a seus funcionários. Após o aumento, um dos funcionários passou a receber R$ 1.360,80. Qual era o salário desse funcionário? (R. R$ 1.260,00)
6) Uma mercadoria que custava R$ 12,50 teve um aumento e passou a valer R$ 13,50. De quantos por cento foi o aumento sobre o preço antigo? (R. 8%)
7) A população de uma cidade, com 90.000 habitantes, cresce anualmente em 2,5%. Quantos habitantes terá ao final de 1 ano? E ao final de 2 anos? (R. 92.250 e 94.556 habitantes)
8) Uma pessoa, ao engordar, passou a ter 38% a mais em sua massa corporal. Sabendo que ele ficou com 110,4kg depois que engordou, calcule sua massa inicial. (R. 80kg)
9) Na compra de uma televisão, cujo preço era de R$ 2.890,00, foi concedido um desconto de 13%. Quanto custou a televisão com o desconto? (R. R$ 2.514,30)
10) Uma placa retangular de metal com 7200 cm² de área, será recortada para a montagem de uma peça. Sabendo 24% do material será desperdiçado, calcule a área, em cm², que será aproveitada. (R. 5.472cm²)
18
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três é uma organização dos dados de um problema na forma de uma tabela e depois na forma de uma proporção. Só é possível aplicar regra de três em dados que formam uma proporção. Assim, podemos dizer que os exemplos anteriores, envolvendo porcentagens, são resolvidos por regra de três.
As grandezas envolvidas nos problemas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Exemplo 1: Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?
Ao montar a tabela é necessário analisar o crescimento das grandezas. Se trabalhando 20 dias recebe R$ 836,00, trabalhando mais dias receberá mais. Como as duas grandezas aumentam, dizemos que são diretamente proporcionais. Daí a resolução você já conhece.
00 , 463 . 1 260 . 29 20 836 35 20 35 00 , 836 20 $ x x x x R dias
R.: Receberá R$ 1.463,00 por 35 dias de trabalho.
Exemplo 2: Uma máquina produz 600 peças em 4 horas. Em 10 horas produzirá quantas peças? (R. 1500)
Grandezas Inversamente Proporcionais
Exemplo 3: Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200km por dia?
Se percorrermos mais km por dia, significa que chegaremos antes ao destino, ou seja, em menos dias. Veja que a grandeza distância aumenta e a grandeza dia diminui.
9
800
.
1
200
200
150
12
200
150
12
inverter
x
x
x
x
km
dias
R.: Levará 9 dias percorrendo 200km por dia. Exemplo 4: Um trem a 60 km/h demora 2 horas para percorrer uma distância de 120 km.
b) A90 km/h quanto tempo será necessário para percorrer 120 km? (R.: 1,33h => 1h e 20 min)
5) Duas pessoas ganharam na loteria e cada uma receberá R$ 15 milhões. Se fossem 6 ganhadores, quanto cada um receberia? (R. 5 milhões)
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Problemas que envolvem mais do que duas grandezas, direta ou inversamente, proporcionais são resolvidos com procedimentos da Regra de Três Composta. Exemplos:
Exemplo 1: Dois operários, depois de 8 dias de serviço, receberam R$ 400,00. Quanto receberão 5 operários por 12 dias de trabalho?
Analise, isoladamente, a coluna com o valor desconhecido x com cada uma das outras, para identificar se aumenta ou diminui a grandeza x.
500
.
1
60
16
400
5
2
12
8
400
12
5
400
8
2
$
x
x
x
x
R
d
op
Resposta: Os 5 operários receberão R$ 1.500,00.
Exemplo 2: Se 21 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pintam um edifício em 6 dias. Nas mesmas condições, quantos dias serão necessários para que 9 pintores, trabalhando 7 horas por dia, pintem o mesmo edifício? (R.: 16 dias)
x
d
d
h
P
7
9
6
8
21
/
Exemplo 3: Se 10 máquinas, funcionando 6 horas por dia, durante 60 dias, produzem 90.000 peças, em quantos dias, 12 dessas mesmas máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzirão 192.000 peças? (R.: 80 dias)
20
Exemplo 4: Um carro com a velocidade média de 80km/h percorre, em 2 dias de viagem, 1800km. Se a velocidade for alterada para 60km/h, quanto tempo ele levará para percorrer 3.375km? (R.: 5 dias)
Exercícios
LISTA 4
Regra de Três
1) O investimento de R$10.000,00 na melhoria da logística de uma empresa gera uma economia de R$2.000,00.
a) Qual a economia se investirmos R$4.000,00? (R.: R$ 800,00)
b) Para termos uma economia de R$2.500,00 quanto devemos investir? (R.: R$ 12.500,00)
2) Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 m³ cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 m³, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? (R. 20 caminhões)
3) Com uma certa quantidade de arame pode-se fazer uma tela de 50m de comprimento por 1,20m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior? (R. 20m)
4) Em um treino de fórmula 1 um piloto fez o percurso em 18 segundos, com uma velocidade média de 200 km/h. Se a velocidade média fosse de 240 km/h, qual seria o tempo gasto no percurso? (R. 15 segundos) 5) Na extremidade de uma mola, é colocada uma peça de 10 kg, verificando-se, então, que o comprimento da mola é de 42 cm. Se colocarmos uma peça de 15 kg na extremidade dessa mola, qual passará a ser o comprimento dela? (R. 63 cm)
6) Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente produz uma sombra de 80 cm. Qual a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m? (R. 30m)
7) Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180m da rua. Supondo que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? (R. 14 dias)
8) Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consumem 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 l de combustível? (R. 50 dias)
9) Um automóvel com velocidade média de 60km/h, roda 8h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se sua velocidade fosse de 80km/h e se rodasse 9 h por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso? (R. 4 dias)
10) Numa fábrica, trabalham 16 operários por o horas de serviço diário, produzindo 240 unidades de certo produto. Quantos operários de mesma capacidade são necessários para produzir 600 unidades do mesmo produto por dia, com 10 horas de trabalho diário? (R. 32)
