AULA 2 – CONJUNTOS NUMÉRICOS
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
MATEMÁTICA I
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
Chama-se conjunto dos números NATURAIS – símboloℵ- o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... .
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
ℵ= {0, 1, 2, 3, ...}
Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
0
1
1
u
2Neste conjunto são definidas apenas a adição e a multiplicação que apresentam as seguintes propriedades:
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS NATURAIS
[A.1] ASSOCIATIVA DA ADIÇÃO: (a + b) + c = a + (b + c)
[A.2] COMUTATIVA DA ADIÇÃO: a + b = b + a
∀a,b,c ∈ ℵ
∀a,b ∈ ℵ
[A.3] ELEMENTO NEUTRO DA
ADIÇÃO: a + 0 = a ∀a ∈ ℵ
[M.1] ASSOCIATIVA DA
MULTIPLICAÇÃO: (a x b) x c = a x (b x c)
[M.2] COMUTATIVA DA
MULTIPLICAÇÃO: a x b = b x a
∀a,b,c ∈ ℵ
∀a,b ∈ ℵ
[M.3] ELEMENTO NEUTRO DA
MULTIPLICAÇÃO: a x 1 = a ∀a ∈ ℵ
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS NATURAIS
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
[D] DISTRIBUTIVA DA
MULTIPLICAÇÃO R. À ADIÇÃO: a x (b + c) = ab x ac ∀a,b,c ∈ ℵ
Os próximos conjuntos numéricos são ampliações de
ℵ
. Isto é,
possuem
propriedades
formais
além
da
soma
e
da
Chama-se conjunto dos números INTEIROS – símboloΖ- o conjunto formado pelos números ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... .
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Ζ= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
0
1
1
u
22
-1
-2
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
Neste conjunto é possível definir o conceito de simétrico ou oposto para a adição:
[A.4] SIMÉTRICO OU OPOSTO
PARA A ADIÇÃO: a – a = a + (-a) = 0 ∀a ∈ Ζ
A partir do conceito de simétrico ou oposto para a adição é possível definir em
Ζ a operação de subtração:
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
Um inteiro a é divisor de um inteiro b (a|b) quando ca = b.
a|b ⇔{ ∃c ∈ Ζ| ca = b } DIVISOR:
DIVISOR - EXEMPLOS
(i) 2 | 12, pois 6 x 2 = 12 (ii) 3 | -18, pois (-6) x 3 = -18 (iii) -5 | 20, pois (-4) x -5 = 20 (iv) 4 | 0, pois 0 x 4 = 0 (v) 0 | 0, pois 1 x 0 = 0
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
Quando a é divisor de um inteiro b, diz-se que b é divisível por a ou b é múltiplo de a.
DIVISÍVEL E MÚLTIPLO:
O conjunto dos divisores de um inteiro a qualquer é indicado pelo símbolo
D(a), eM(a)indicado o conjunto de seus múltiplos. DIVISORES E MÚLTIPLOS:
DIVISORES E MÚLTIPLOS - EXEMPLOS
(i) D(2) = {-2, -1, 1, 2} (ii) D(-3) = {-3, -1, 1, 3} (iii) D(0) =Ζ
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
Um número inteiro p é dito primo se p≠0, 1 e – 1, e D(p) = {1, -1, p, -p}. NÚMERO PRIMO:
NÚMEROS PRIMOS - EXEMPLOS
(i) D(2) = {-2, -1, 1, 2} , portanto 2 é primo. (ii) D(-3) = {-3, -1, 1, 3}, portanto 3 é primo. (iii) D(3) = {3, 1, -1, -3}, portanto 3 é primo. (iv) D(5) = {5, 1, -1, -5}, portanto 5 é primo. (v) D(-7) = {-7, -1, 1, 7}, portanto -7 é primo.
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
O máximo divisor comum de dois ou mais números, é o maior valor que divide dois ou mais números. Em símbolos usa-se MDC.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC):
MDC - EXEMPLOS
(i) mdc(6, 12) = 6, pois a decomposição em fatores primos nos fornece que: 6 = 2 x 3
12 = 2x 2x 3
Como o mdc é o produto dos fatores primos comuns, têm-se: 2 x 3 = 6.
(ii) mdc(12, 20) = 4, pois a decomposição em fatores primos nos fornece que: 20 = 2 x 2x 5
12 = 2 x 2x 3
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
(iii) mdc(35, 24) = 1, pois a decomposição em fatores primos nos fornece que:
35 = 1x 5 x 7 24 = 1x 2 x 2 x 2 x 3
Como o mdc é o produto dos fatores primos comuns, têm-se: 1. Neste caso, diz-se que 35 e 24 são primos entres si, embora não sejam números primos.
PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
O mínimo múltiplo comum de dois inteiros a e b, é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e de b. Em símbolos usa-se MMC. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC):
MMC - EXEMPLOS
(i) mmc(6, 12) = 12, pois a decomposição em fatores primos nos fornece que: 6 = 2x3 = 2 x3
12 = 2x2x3 = 22x3
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
(ii) mmc(3, 6, 30) = 30, pois 2 x 3 x 5 = 30
3, 6, 30 2
3, 3, 15 3
1, 1, 5 5
1, 1, 1
(iii) mmc(4, 15) = 60, pois 2 x 2 x 3 x 5 = 60
4, 15 2
2, 15 2
1, 15 3
1, 5 5
1, 3
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS RACIONAIS
Dado um número inteiro q≠1 e – 1, o inverso de q não existe emΖ, isto é,
Ζ:1/q∉ Ζ. Por isso, a operação de divisão não está definida emΖ: p/q. Essa limitação é resolvida com a introdução dos números racionais.
O conjunto dos números racionais, símbolo Q, é o conjunto dos pares ordenados (ou frações) a/b, onde a∈ Ζ e b∈ Ζ*.
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
(i)IGUALDADE: a/b = c/d ⇔ad = bc
(ii) ADIÇÃO: a/b + c/d = (ad + bc)/bd
(iii) MULTIPLICAÇÃO: a/b x c/d = (ac)/(bd)
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
Na fração a/b, a é o numerador e b o denominador. Se a e b são primos entre si, isto é, se mdc(a,b) = 1, dizemos que a/b é uma fração irredutível. Assim, 2/3, 3/7 e 7/15 são irredutíveis, mas 6/10 não o é.
FRAÇÃO IRREDUTÍVEL
Todo número racional a/b pode ser representado por um número decimal. Dois casos podem ocorrer:
REPRESENTAÇÃO NÚMERO RACIONAL
CASO 1: O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos. Exemplos: 3/1 = 3; ½ =0,5; 1/20 = 0,05.
FORMA DE FRAÇÃO IRREDUTÍVEL - EXEMPLOS
EXEMPLO 1: Para colocar o número 4,444... em forma de fração irredutível basta empregar que:
0,444... - x
4,444... - 10x
4,444... – 0,444... = 10x – x 4 = 9xx = 4/9 Mas, para obter 4,444..., usa-se 10x: 10*x = 10*4/9 = 40/9
EXEMPLO 2: Para colocar o número 1,333... em forma de fração irredutível basta empregar que:
0,333... - x
3,333... - 10x
3,333... – 0,333... = 10x – x 3 = 9xx = 1/3 Mas, para obter 1,333..., usa-se 1 + 0,333...: 1 + x = 1 + 1/3 = 4/3
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
Chama-se conjunto dos números REAIS – símbolo ℜ- aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, decimais exatas ou periódicas (números racionais) e as decimais exatas e não periódicas (números irracionais).
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Exemplos de irracionais: π= 3,1415926...; 21/2= 1,4142136...
Os números reais podem ser representados sobre uma reta orientada.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
0
1
2
-1
-2
1/2 -1/2 1,41 1,42 21/2Toda a Reta representa ℜ
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
Dados dois números reais a e b com a < b, define-se:
INTERVALOS
O intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto:
INTERVALO ABERTO
]a , b[ = {x ∈ ℜ| a < x < b}
O intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto:
INTERVALO FECHADO
[a, b] = {x ∈ ℜ| a ≤x ≤b}
O intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto:
INTERVALO FECHADO À ESQUERDA
[a, b[ = {x ∈ ℜ| a ≤x < b}
O intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto:
INTERVALO FECHADO À DIREITA
]a, b] = {x ∈ ℜ| a < x ≤b}
INTERVALOS - EXEMPLOS
(i) ]2, 5[ = {x∈ ℜ| 2 < x < 5} é intervalo aberto
(ii) [-1, 4] = {x∈ ℜ| -1≤x≤4} é intervalo fechado
(iii) [2/5, 7[ = {x∈ ℜ| 2/5≤x < 7} é intervalo fechado à esquerda
(iv) ]-1/3, 21/2] = {x∈ ℜ| -1/3 < x≤21/2} é intervalo fechado à direita
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
2
5
(i)
2/5
7
(iii)
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
INTERVALOS INFINITOS - EXEMPLOS
(i) ]-∞, a[ = {x∈ ℜ| x < a}
(ii) ]-∞, a] = {x∈ ℜ| x≤a}
(iii) ]a, +∞[ = {x∈ ℜ| x > a}
(iv) [a, +∞[ = {x∈ ℜ| x≥a}