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CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

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Academic year: 2019

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AULA 2 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

MATEMÁTICA I

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

Chama-se conjunto dos números NATURAIS – símbolo- o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... .

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

= {0, 1, 2, 3, ...}

Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

0

1

1

u

2

(2)

Neste conjunto são definidas apenas a adição e a multiplicação que apresentam as seguintes propriedades:

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS NATURAIS

[A.1] ASSOCIATIVA DA ADIÇÃO: (a + b) + c = a + (b + c)

[A.2] COMUTATIVA DA ADIÇÃO: a + b = b + a

a,b,c ∈ ℵ

a,b ∈ ℵ

[A.3] ELEMENTO NEUTRO DA

ADIÇÃO: a + 0 = aa ∈ ℵ

[M.1] ASSOCIATIVA DA

MULTIPLICAÇÃO: (a x b) x c = a x (b x c)

[M.2] COMUTATIVA DA

MULTIPLICAÇÃO: a x b = b x a

a,b,c ∈ ℵ

a,b ∈ ℵ

[M.3] ELEMENTO NEUTRO DA

MULTIPLICAÇÃO: a x 1 = aa ∈ ℵ

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS NATURAIS

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

[D] DISTRIBUTIVA DA

MULTIPLICAÇÃO R. À ADIÇÃO: a x (b + c) = ab x aca,b,c ∈ ℵ

Os próximos conjuntos numéricos são ampliações de

. Isto é,

possuem

propriedades

formais

além

da

soma

e

da

(3)

Chama-se conjunto dos números INTEIROS – símboloΖ- o conjunto formado pelos números ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... .

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Ζ= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

0

1

1

u

2

2

-1

-2

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS

Neste conjunto é possível definir o conceito de simétrico ou oposto para a adição:

[A.4] SIMÉTRICO OU OPOSTO

PARA A ADIÇÃO: a – a = a + (-a) = 0a ∈ Ζ

A partir do conceito de simétrico ou oposto para a adição é possível definir em

Ζ a operação de subtração:

(4)

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS

Um inteiro a é divisor de um inteiro b (a|b) quando ca = b.

a|b { c ∈ Ζ| ca = b } DIVISOR:

DIVISOR - EXEMPLOS

(i) 2 | 12, pois 6 x 2 = 12 (ii) 3 | -18, pois (-6) x 3 = -18 (iii) -5 | 20, pois (-4) x -5 = 20 (iv) 4 | 0, pois 0 x 4 = 0 (v) 0 | 0, pois 1 x 0 = 0

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS

Quando a é divisor de um inteiro b, diz-se que b é divisível por a ou b é múltiplo de a.

DIVISÍVEL E MÚLTIPLO:

O conjunto dos divisores de um inteiro a qualquer é indicado pelo símbolo

D(a), eM(a)indicado o conjunto de seus múltiplos. DIVISORES E MÚLTIPLOS:

DIVISORES E MÚLTIPLOS - EXEMPLOS

(i) D(2) = {-2, -1, 1, 2} (ii) D(-3) = {-3, -1, 1, 3} (iii) D(0) =Ζ

(5)

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS

Um número inteiro p é dito primo se p0, 1 e – 1, e D(p) = {1, -1, p, -p}. NÚMERO PRIMO:

NÚMEROS PRIMOS - EXEMPLOS

(i) D(2) = {-2, -1, 1, 2} , portanto 2 é primo. (ii) D(-3) = {-3, -1, 1, 3}, portanto 3 é primo. (iii) D(3) = {3, 1, -1, -3}, portanto 3 é primo. (iv) D(5) = {5, 1, -1, -5}, portanto 5 é primo. (v) D(-7) = {-7, -1, 1, 7}, portanto -7 é primo.

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS

O máximo divisor comum de dois ou mais números, é o maior valor que divide dois ou mais números. Em símbolos usa-se MDC.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC):

MDC - EXEMPLOS

(i) mdc(6, 12) = 6, pois a decomposição em fatores primos nos fornece que: 6 = 2 x 3

12 = 2x 2x 3

Como o mdc é o produto dos fatores primos comuns, têm-se: 2 x 3 = 6.

(ii) mdc(12, 20) = 4, pois a decomposição em fatores primos nos fornece que: 20 = 2 x 2x 5

12 = 2 x 2x 3

(6)

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS

(iii) mdc(35, 24) = 1, pois a decomposição em fatores primos nos fornece que:

35 = 1x 5 x 7 24 = 1x 2 x 2 x 2 x 3

Como o mdc é o produto dos fatores primos comuns, têm-se: 1. Neste caso, diz-se que 35 e 24 são primos entres si, embora não sejam números primos.

PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS

O mínimo múltiplo comum de dois inteiros a e b, é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e de b. Em símbolos usa-se MMC. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC):

MMC - EXEMPLOS

(i) mmc(6, 12) = 12, pois a decomposição em fatores primos nos fornece que: 6 = 2x3 = 2 x3

12 = 2x2x3 = 22x3

(7)

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS

(ii) mmc(3, 6, 30) = 30, pois 2 x 3 x 5 = 30

3, 6, 30 2

3, 3, 15 3

1, 1, 5 5

1, 1, 1

(iii) mmc(4, 15) = 60, pois 2 x 2 x 3 x 5 = 60

4, 15 2

2, 15 2

1, 15 3

1, 5 5

1, 3

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

(8)

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS RACIONAIS

Dado um número inteiro q1 e – 1, o inverso de q não existe emΖ, isto é,

Ζ:1/q∉ Ζ. Por isso, a operação de divisão não está definida emΖ: p/q. Essa limitação é resolvida com a introdução dos números racionais.

O conjunto dos números racionais, símbolo Q, é o conjunto dos pares ordenados (ou frações) a/b, onde a∈ Ζ e b∈ Ζ*.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

(i)IGUALDADE: a/b = c/d ad = bc

(ii) ADIÇÃO: a/b + c/d = (ad + bc)/bd

(iii) MULTIPLICAÇÃO: a/b x c/d = (ac)/(bd)

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

Na fração a/b, a é o numerador e b o denominador. Se a e b são primos entre si, isto é, se mdc(a,b) = 1, dizemos que a/b é uma fração irredutível. Assim, 2/3, 3/7 e 7/15 são irredutíveis, mas 6/10 não o é.

FRAÇÃO IRREDUTÍVEL

Todo número racional a/b pode ser representado por um número decimal. Dois casos podem ocorrer:

REPRESENTAÇÃO NÚMERO RACIONAL

CASO 1: O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos. Exemplos: 3/1 = 3; ½ =0,5; 1/20 = 0,05.

(9)

FORMA DE FRAÇÃO IRREDUTÍVEL - EXEMPLOS

EXEMPLO 1: Para colocar o número 4,444... em forma de fração irredutível basta empregar que:

0,444... - x

4,444... - 10x

4,444... – 0,444... = 10x – x 4 = 9x

x = 4/9 Mas, para obter 4,444..., usa-se 10x: 10*x = 10*4/9 = 40/9

EXEMPLO 2: Para colocar o número 1,333... em forma de fração irredutível basta empregar que:

0,333... - x

3,333... - 10x

3,333... – 0,333... = 10x – x 3 = 9x

x = 1/3 Mas, para obter 1,333..., usa-se 1 + 0,333...: 1 + x = 1 + 1/3 = 4/3

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

(10)

Chama-se conjunto dos números REAIS – símbolo- aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, decimais exatas ou periódicas (números racionais) e as decimais exatas e não periódicas (números irracionais).

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Exemplos de irracionais: π= 3,1415926...; 21/2= 1,4142136...

Os números reais podem ser representados sobre uma reta orientada.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

0

1

2

-1

-2

1/2 -1/2 1,41 1,42 21/2

Toda a Reta representa

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

Dados dois números reais a e b com a < b, define-se:

INTERVALOS

O intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto:

INTERVALO ABERTO

]a , b[ = {x ∈ ℜ| a < x < b}

O intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto:

INTERVALO FECHADO

[a, b] = {x ∈ ℜ| a x b}

O intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto:

INTERVALO FECHADO À ESQUERDA

[a, b[ = {x ∈ ℜ| a x < b}

O intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto:

INTERVALO FECHADO À DIREITA

]a, b] = {x ∈ ℜ| a < x b}

(11)

INTERVALOS - EXEMPLOS

(i) ]2, 5[ = {x∈ ℜ| 2 < x < 5} é intervalo aberto

(ii) [-1, 4] = {x∈ ℜ| -1x4} é intervalo fechado

(iii) [2/5, 7[ = {x∈ ℜ| 2/5x < 7} é intervalo fechado à esquerda

(iv) ]-1/3, 21/2] = {x∈ ℜ| -1/3 < x21/2} é intervalo fechado à direita

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

2

5

(i)

2/5

7

(iii)

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

INTERVALOS INFINITOS - EXEMPLOS

(i) ]-, a[ = {x∈ ℜ| x < a}

(ii) ]-, a] = {x∈ ℜ| xa}

(iii) ]a, +[ = {x∈ ℜ| x > a}

(iv) [a, +[ = {x∈ ℜ| xa}

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

a

(i)

(12)

EXERCÍCIOS

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

(13)

REFERÊNCIAS

Referências

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