Caderno de Testes Mat 12º Ano

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CADERNO

DE TESTES

MATEMÁTICA A | 12.º ANO

Luzia Gomes

Daniela Raposo

Testes com estrutura idêntica à do exame

s

Consultor Científico

Filipe Carvalho

Consultor Pedagógico

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A m atemática nunca deixa completamente de ser um jogo, embora possa ser muitas outras coisas

Miguel de Guzmán Este Caderno de Testes pretende ser um instrumento de trabalho para os alunos do 12.º ano de escolaridade, num ano determinante das suas vidas. Além de ¿ nalizar todo um ciclo de estudos, é um ano que culmina num exame nacional, e essa, sendo uma preocupação dos alunos, dos professores e até dos encarregados de educação, também foi uma atenção constante ao longo de todo este caderno.

Mais do que um livro de exercícios, este caderno, simulando momentos de avaliação, con-tém 9 testes, onde os conteúdos a avaliar vão sempre surgindo de forma cumulativa, sendo os dois últimos testes globais. Todos os testes incluem itens de seleção (escolha múltipla) e itens de construção que envolvem resolução de problemas, desenvolvimento de raciocínios demonstrativos, uso obrigatório de calculadora grá¿ ca e composição, itens de presença comum em todos os Exames Nacionais dos últimos anos.

Cada teste contém: – matriz de conteúdos; – enunciado com cotações; – proposta de resolução;

– critérios especí¿ cos de classi¿ cação;

– exemplos de resposta e proposta de cotação.

É nossa convicção de que os alunos devem ter um papel ativo no seu processo de apren-dizagem. Assim, cada teste apresenta critérios especí¿ cos de classi¿ cação e exemplos de possíveis respostas e proposta de cotação, que pensamos ser uma mais-valia para a autoavaliação do aluno, já que permitem um feedback da sua evolução e que motivam os alunos para querer ir sempre mais além.

Bom trabalho! As autoras

(4)

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Teste n.º 1

Matriz ...5

Enunciado ...6

Proposta de resolução ...10

Critérios especí¿ cos de classi¿ cação ...13

Exemplos de resposta e proposta de cotação ...17

Teste n.º 2 Matriz ...19

Enunciado ...20

Enunciado ...34

Enunciado ...50

Enunciado ...68

Enunciado ...86

Enunciado ...100

Teste Global n.º 1 Matriz ...113

Enunciado ...114

Teste Global n.º 2 Matriz ...127

Enunciado ...128

Critérios Gerais de Classi¿ cação ...141

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Matriz

Duração: 90 minutos

Tipologia, número de itens e cotação:

Conteúdos

Tema I – Probabilidades e combinatória

> Conceitos probabilísticos

> Operações com acontecimentos

> De¿ nição frequencista de probabilidade > De¿ nição clássica de probabilidade

> De¿ nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência

> Distribuição de probabilidades

> Distribuição normal e curva de Gauss

> Análise combinatória

Tipologia de itens Número de itens Cotação por item (em pontos)

Itens de seleção Escolha múltipla 5 10

Itens de construção Resolução de problemas 8 15 a 20 Raciocínio demonstrativo 1 20 Resposta extensa (composição) 1 20

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Teste n.º 1

Matemática A

Duração do teste: 90 minutos

12.º Ano de Escolaridade

GRUPO I

1. Um código é constituído por seis algarismos. Quantos códigos diferentes existem em que o algarismo 5 aparece exatamente três vezes e os restantes algarismos são diferentes?

(A) 504 (B) 14 580 (C) 10 080 (D) 14 400

2. Num saco existem vinte bombons, indistinguíveis ao tato: oito de chocolate negro (sendo cinco com recheio de licor e três com recheio de morango) e doze de chocolate branco. O Pedro tirou, ao acaso, um bombom com recheio de licor e comeu-o. A seguir, a Maria pegou num bombom de chocolate negro.

Qual é a probabilidade de o bombom ser o seu favorito, que é com recheio de morango?

(A) 3 7 (B) 5 8 * 37 (C) 2 19 (D) 5 20* 3 19 A B C

3. No prisma hexagonal regular da ¿ gura estão representados três vértices A, B e C.

Considere todas as retas distintas que contêm as arestas do prisma.

Qual é a probabilidade de escolhendo ao acaso uma dessas retas esta ser estrita-mente paralela ao plano ABC?

(A) 0 (B) 4

9 (C) 29 (D) 5 9

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.

• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecio-nar para responder a esse item.

• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi¿ cada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

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4. O Rui pratica salto em comprimento. O seu treinador fez um estudo sobre os resultados obtidos por ele no último trimestre e veri¿ cou que o comprimento, medido em metros, é uma variável aleatória bem modelada por uma distribuição normal de valor médio 8.

Sabe-se que P(8 < X < 8,2) = 0,4. Para um certo valor de a, tem-se P(X < a) = 0,1. Qual é o valor de a?

(A) 8,1 (B) 7,9 (C) 7,6 (D) 7,8

5. Seja 1 o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam A, B e C três acon-tecimentos possíveis de 1tais que:

• A e B EC são acontecimentos equiprováveis e incompatíveis;

• P(B) = 0,45; • P(C) = 0,35; • P(B FC) = 0,6. Qual é o valor de P [A F (B EC)]? (A) 0,2 (B) 0,4 (C) 0,65 (D) 0,8 GRUPO II

• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justi¿ cações necessárias.

• Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

1. Seja 1o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois aconte-cimentos possíveis e não certos. Prove que P(A | B)* P(B)- P(A EB) + P(B) = P(A).

2. Numa turma cada aluno tem apenas uma calculadora grá¿ ca. Sabe-se que:

• apenas metade dos alunos trouxe a calculadora para a aula;

• sete em cada dez alunos que trouxeram a calculadora para a aula têm a marca Texas; • um em cada dez alunos que se esqueceram da calculadora têm a marca Texas. Escolhe-se, aleatoriamente, um aluno que se sabe ter uma calculadora da marca Texas. Qual é a probabilidade de ele não ter trazido a calculadora para a aula?

Apresente o resultado sob a forma de percentagem.

3. São retiradas simultaneamente duas cartas de um baralho de 40 cartas. Por cada Ás que ocorra há um prémio de 2 euros. Considere a variável aleatória X, que representa o ganho, em euros, numa jogada.

3.1. Construa uma tabela representativa da distribuição de probabilidades da variável aleatória X. Apresente os resultados na forma de fração irredutível.

Nota: Apresente todas as justi¿ cações e todos os cálculos que efetuar na determinação dos valores das proba-bilidades.

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3.2. Sendo + o valor médio e m o desvio-padrão da distribuição, determine P(X > + + m). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

(Se proceder a arredondamentos nos cálculos intermédios, utilize no mínimo duas casas decimais.)

NOTA: Caso não tenha conseguido resolver a alínea anterior, considere a seguinte distribuição de

probabilida-des para X: x_i ₀ ₁ ₂ P(X

=

xi) 101 130 28 130 1 130

4. Considere o seguinte problema:

Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. De um baralho completo extraem-se, sucessiva-mente e sem reposição, cinco cartas.

Qual é a probabilidade de haver apenas quatro cartas do naipe de espadas?

Apresentam-se, de seguida, duas respostas a este problema.

Resposta I: 30 * 13C4* 5! 52 A5 Resposta II: 39 A1* 13A₄ 52 A5

Apenas uma das respostas está correta. Elabore uma composição na qual: • identi¿ que a resposta correta;

• explique um raciocínio que conduza à resposta correta;

• proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná-la correta; • explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.

5. Sete automóveis diferentes estão estacionados num parque de estacionamento de dez lugares que tem o seguinte aspeto:

5.1. Quantas são as maneiras possíveis de estacionar?

5.2. O Nuno, um oitavo automobilista, pretende estacionar de modo a que o seu automóvel não tenha automóveis ao lado.

Quantas são as diferentes con¿ gurações que permitem satisfazer a vontade do Nuno?

6. Numa turma com vinte alunos, com mais raparigas do que rapazes, o número de comissões diferentes, para organizar um jantar de Natal, que é possível formar com dois alunos do mesmo sexo é 91. Determina o número de rapazes da turma.

(11)

Cotações

Grupo I ... 50

Cada resposta certa ... 10

Cada resposta errada ... 0

Cada questão não respondida ou anulada ... 0

Grupo II ... 150 1. ... 20 2. ... 20 3. ... 40 3.1. ... 25 3.2. ... 15 4. ... 20 5. ... 30 5.1. ... 15 5.2. ... 15 6. ... 20 TOTAL ... 200

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GRUPO I 1. 5 1 * 5 1 * 5 1 * 9 * 8 * 7 *6C3= 10 080 códigos diferentes Resposta(C)

2. Sabendo que o Pedro já comeu um bombom com recheio de licor, sabe-se que apenas res-tam sete bombons de chocolate negro, dos quais quatro são de licor e três são de recheio de morango. Como, após isso, a Maria reti-rou um bombom que era de chocolate negro, então a probabilidade de esse bombom ter recheio de morango é de 3

7.

Resposta(A)

3. As retas distintas que contêm as arestas do prisma são dezoito; dentro destas existem oito que são estritamente paralelas ao plano ABC.

A B

C

Assim, o valor da probabilidade pedida é 8 18 = 49. Resposta(B) 4. Esquematicamente, tem-se: Resposta(D) 5. Sabe-se que: P(B C)= P(B) + P(C) - P(BC) Logo: 0,6= 0,45 + 0,35 - P(BC) §P(B C)= 0,2

Como A e B EC são acontecimentos

equipro-váveis e incompatíveis vem que:

P A

[

(B C)

]

= P(A) + P(BC) = 0,2 + 0,2 = 0,4 Resposta(B) GRUPO II 1. P A | B

( )

* P(B) - P(A B) + P(B) = P A

(

B

)

P(B) * P(B) - P(A B) + P(B) = P A B

(

)

- P(A B) + P(B) = 1- P(A B) - P(A B) + P(B)

= 1- P(A) - P(B) + P(A B) - P(A B) + P(B) = 1- P(A)

= P A

( )

c.q.d.

2. Considere os acontecimentos:

A: “o aluno tem a calculadora na aula”

T: “o aluno tem uma calculadora da marca

Texas” Sabe-se que: • P( A)= 1 2 • P T | A

(

)

= 7 10 • P T | A

( )

= 1 10 0,1 0,1 0,4 0,4 7,8 8 8,2

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= 0,1* 0,5 §P T

(

A

)

= 0,05

Organizando os dados numa tabela, obtém-se:

T T Total A 0,35 0,5 A 0,05 0,5 Total 0,4 1 Cálculo auxiliar: P(T) = P(T EA) + P(T EA) = 0,35 + 0,05 = 0,4 Da tabela, vem que:

P A | T

( )

= P T

(

A

)

P(T ) =0,05 0,4 = 0,125 Assim, P A | T

( )

= 12,5%. 3.

3.1. São retiradas simultaneamente duas cartas de um baralho de 40 cartas. Por cada Ás que ocorra há um prémio de 2 euros. Sendo que a variável aleatória X representa o ganho,

em euros, numa jogada, então X pode assu-mir os valores 0, 2 e 4, que correspondem à saída de 0, 1 ou 2 ases respetivamente. Logo: P( X= 0) = 36 C2 40 C2 =630 780= 21 26 P( X= 2) = 4* 36 C₁ 40 C₂ = 144 780= 12 65 P( X= 4) = 4 C2 40 C2 = 6 780= 1 130

Assim, a tabela de distribuição de probabili-dades da variável aleatória X é:

x_i 0 2 4 P(X = x_i) 21 26 12 65 1 130 3.2. = 0 *21 26+ 2 * 12 65+ 4 * 1 130= 0,4 = 0 * 21 26- 0,4 2 + 2 * 12 65- 0,4 2 + + 4 * 1 130- 0,4 2 0,84

Assim, como se pretende o cálculo de

P(X > ++m), tem-se que: P X

(

> 0,4 + 0,84

)

= P X > 1,24

(

)

= P X = 2

(

)

+ P X = 4

(

)

=12 65+ 1 130 = 25 130 = 5 26 4. A resposta correta é a I.

Segundo a regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse

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acontecimento e o número de casos possí-veis, quando os acontecimentos elementares são equiprováveis.

Assim, a resposta I apresenta como casos possíveis 52A5, já que existem 52A5 maneiras

diferentes de se extrair, sucessivamente e sem reposição, cinco cartas de um baralho de cin-quenta e duas cartas.

Os casos favoráveis são 39 * 13C4 * 5!, pois

existem 39 maneiras diferentes de escolher uma carta que não seja do naipe de espadas, e por cada uma destas maneiras existem 13C4

maneiras de formar conjuntos de quatro cartas do naipe de espadas; por cada um destes con-juntos (cinco cartas sendo apenas quatro do naipe de espadas) existem 5! maneiras dife-rentes de as cartas se encontrarem ordenadas. A resposta II ¿ caria correta se o número de casos favoráveis alterasse para 39A1* 13A4 * 5,

pois existem 39A1 maneiras diferentes de

esco-lher uma carta que não seja do naipe de espa-das; por cada uma destas maneiras existem

13

A4 maneiras diferentes de se extrair,

suces-sivamente e sem reposição, quatro cartas, de entre as treze existentes do naipe de espadas, e por cada um destes casos existem cinco for-mas de posicionar a carta que não é do naipe de espadas.

5.

5.1. 10A₇= 604 800 maneiras

5.2. Existem dois tipos de casos diferentes: • ou o Nuno estaciona no primeiro ou no último

lugar e, assim, existem 2 * 8A7 maneiras de

o fazer; T X

• ou o Nuno estaciona em qualquer um dos oito lugares que não os dos extremos e, assim, existem 8 * 7! maneiras de o fazer.

T X T

Assim, existem 2 * 8A7 + 8 * 7! = 120 960

con¿ gurações que permitem satisfazer a von-tade do Nuno.

6. Seja n o número de rapazes da turma. Pre-tende-se determinar n tal que:

n_C 2+20-nC2= 91 § n! n- 2

(

)

!2!+ 20- n

(

(

)

(

19- n

)

(

18- n

)

! 18- n

(

Cada resposta certa ... 10 pontos

As respostas corretas são as seguintes:

Itens 1 2 3 4 5

Respostas C A B D B

GRUPO II

1. ... 20 pontos

A resolução desta questão envolve a utilização de: • de¿ nição de probabilidade condicionada;

• leis de De Morgan;

• relação da probabilidade de um acontecimento com a do seu contrário; • probabilidade da reunião de acontecimentos.

A classi¿ cação a atribuir deve estar de acordo com o seguinte critério:

O aluno prova corretamente o pretendido ...20 pontos O aluno utiliza corretamente os quatro itens mas não prova o pretendido ...14 pontos O aluno utiliza corretamente apenas três itens ...10 pontos O aluno utiliza corretamente apenas dois itens... 6 pontos O aluno utiliza corretamente apenas um item ... 2 pontos

2. ... 20 pontos

No que se segue, vamos designar por A o acontecimento “o aluno ter a calculadora na aula” e por T o acontecimento “o aluno ter uma calculadora da marca Texas”.

Escrever P(A)= 1

2 ... 2 pontos Interpretar P(T | A)= 7

(16)

Interpretar P(T | A) = 1

10 ... 2 pontos Calcular P(T EA) ... 4 pontos Calcular P(T EA) ... 4 pontos Calcular P(T ) ... 2 pontos Reconhecer o pedido: P(A | T) ... 2 pontos Calcular P(A | T ) apresentando o resultado na forma pedida ... 2 pontos Nota:

Se os valores obtidos forem apresentados numa tabela ou diagrama em árvore, as etapas deverão ser pontuadas segundo procedimentos análogos aos apresentados.

3.

3.1. ... 25 pontos

Indicar os valores que a variável aleatória X pode tomar ... 6 pontos Calcular a probabilidade de cada um dos valores da variável ... (6 + 6 + 6) (ver nota) ... 18 pontos Apresentar a tabela de distribuição de probabilidades ... 1 ponto Nota:

A classi¿ cação a atribuir a cada valor correto da probabilidade não apresentado na forma de fração irredu-tível deve ser desvalorizada em 1 ponto.

3.2. ... 15 pontos

Determinar o valor correto de + ... 4 pontos Determinar o valor correto de m ... 4 pontos Substituir os valores obtidos de + e m em P (X > + + m) ... 2 pontos Determinar o valor de P (X > + + m) na forma pedida ... 5 pontos

4. ... 20 pontos

A composição deve contemplar os pontos seguintes:

A) Identi¿ cação da resposta correta.

B) Explicação do raciocínio que conduz à resposta correta.

C) Proposta de alteração na expressão da resposta incorreta, de modo a torná-la correta.

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A composição contempla corretamente os quatro pontos (ver nota) ... 20 pontos A composição contempla corretamente apenas três pontos ... 15 pontos A composição contempla corretamente apenas dois pontos ...10 pontos A composição contempla corretamente apenas um ponto ... 5 pontos Nota:

Se o aluno apresentar corretamente os pontos B, C e D, considera-se que identi¿ cou a resposta correta e portanto o ponto A está contemplado.

5.

5.1. ...15 pontos

Escrever a expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ... 13 pontos Calcular o valor pedido (ver nota 2) ... 2 pontos Nota 1

Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, e a pontuação a atribuir em cada caso:

10

A7 (ou equivalente) ... 13 pontos

7! (ou equivalente) ... 7 pontos

10

C7 (ou equivalente)... 5 pontos

Outras situações... 0 pontos Nota 2

A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se o resultado estiver de acordo com a expressão escrita pelo aluno, e se essa expressão não tiver sido pontuada com zero pontos.

5.2. ...15 pontos

Escrever a expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ... 13 pontos Calcular o valor pedido (ver nota 2) ... 2 pontos Nota 1

Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, e a pontuação a atribuir em cada caso:

2 * 8A7 + 8 * 7! (ou equivalente) ... 13 pontos

2 * 8A7 (ou equivalente) ... 7 pontos

(18)

8

A7 (ou equivalente) ... 3 pontos

7! (ou equivalente) ... 3 pontos Outras situações ... 0 pontos Nota 2

A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se o resultado estiver de acordo com a expressão escrita pelo aluno, e se essa expressão não tiver sido pontuada com zero pontos.

6. ... 20 pontos

Equacionar o problema ... 6 pontos Resolver a equação... 10 pontos Desenvolver nC2 ... 2 pontos

Desenvolver 20 – nC2 ... 2 pontos

Obter n2- 20n + 99 = 0 ...4 pontos Obter n = 9 › n = 11 ...2 pontos Concluir no contexto do problema ... 4 pontos

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Exemplos de resposta e proposta de cotação

GRUPO II 1. P A | B

( )

* P B

( )

- P A B

(

(

)

+ P B

( )

= P A B

(

)

- P A B

( )

+ P A B

(

)

- P A B

(

)

+ P B

( )

= P A

( )

+ P A B

(

)

- P A B

(

)

Observa-se que o aluno utiliza erradamente a de¿ nição de probabilidade condicionada mas, de acordo com o erro, utiliza corretamente uma das leis de De Morgan, a relação da probabilidade de um acontecimento com a do seu contrário e a probabilidade da reunião de acontecimentos. O aluno utiliza corretamente apenas três itens. Cotação a atribuir ...10 pontos

3.

3.1. Só podem sair 0, 1 ou 2 ases numa extração

de duas cartas de um baralho de 40 cartas. Assim: P( X= 0) = 36 C₂ 40 C2 =630 780 P( X= 1) = 4* 36 C1 40 C₂ = 144 780 P( X= 2) = 4 C2 40 C2 = 6 780 Assim: x_i ₀ ₁ ₂ P(X = x_i) 630₇₈₀ 144₇₈₀ ₇₈₀6

O aluno não indica corretamente os valores que a variável aleatória X pode tomar mas cal-cula corretamente os valores das probabilida-des pretendidos, apesar de não os apresentar na forma de fração irredutível.

Cotação a atribuir ... 16 (0 + 15 + 1) pontos

4. A resposta correta é aquela onde aparece

como número de casos possíveis 52A₅, já que existem 52A₅ maneiras diferentes de se extrair, sucessivamente e sem reposição, cinco cartas de um baralho de cinquenta e duas cartas. Os casos favoráveis são 39 * 13C₄* 5!, pois existem 39 maneiras diferentes de escolher uma carta que não seja do naipe de espadas, e por cada uma destas maneiras existem 13C₄ maneiras de formar conjuntos de quatro car-tas do naipe de espadas; por cada um destes conjuntos (cinco cartas sendo apenas quatro do naipe de espadas) existem 5! maneiras diferentes de as cartas se encontrarem orde-nadas.

A outra resposta ¿ caria correta se o número de casos favoráveis alterasse para 39A₁*13A₄*5!,

pois existem 39A₁ maneiras diferentes de esco-lher uma carta que não seja do naipe de espa-das; por cada uma destas maneiras existem 13

A₄ maneiras diferentes de se extrair, suces-sivamente e sem reposição, quatro cartas de entre as treze existentes do naipe de espadas e por cada um destes casos existem 5! manei-ras de as cinco cartas permutarem entre si.

Nesta composição, o aluno explica correta-mente o raciocínio que conduz à resposta correta, apesar de não a identi¿ car explicita-mente, percebe-se pelo texto que considera como correta a resposta I.

(20)

Propõe uma alteração na expressão da res-posta incorreta, mas que não a torna correta, e portanto a razão da alteração proposta não é válida.

A composição contempla corretamente ape-nas dois pontos.

Cotação a atribuir ...10 pontos

6. Seja r o número de rapazes da turma e m o número de raparigas, onde r + m = 20.

r C2+ mC2= 91 §r(r1) 2 + m (m1) 2 = 91 §r 2 - r + m2 - m 2 = 91 §r2- r + m2- m -182 = 0

O aluno equaciona corretamente o problema e desenvolve as duas expressões que envolvem combinações corretamente, embora o desen-volvimento de mC2 em vez de 20 - nC2 tenha

diminuído o grau de di¿ culdade. Obtém, ainda, uma expressão do 2.º grau mas com duas incógnitas e, portanto, também se veri¿ ca uma diminuição do grau de di¿ culdade nesta etapa. Cotação a atribuir ... 11 (6 + 2 + 1 + 2) pontos

(21)

Conteúdos

> De¿ nição frequencista de probabilidade

> De¿ nição clássica de probabilidade > De¿ nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência

> Triângulo de Pascal

> Binómio de Newton

> Modelo binomial

Itens de construção Resolução de problemas 5 15 a 20 Raciocínio demonstrativo 2 20 Resposta extensa (composição) 1 20

Matriz

(22)

1. Uma determinada operadora de telemóveis realizou uma sondagem sobre o consumo mensal de minu-tos dos seus clientes. Admita que o número de minuminu-tos gasminu-tos é uma variável aleatória que é bem modelada por uma distribuição normal de valor médio igual a 150.

Em relação aos inquiridos, pode a¿ rmar-se que são equiprováveis os acontecimentos:

(A) “gastam mais de 120 minutos” e “gastam menos de 150 minutos”.

(B) “gastam mais de 120 minutos” e “gastam menos de 180 minutos”.

(C) “gastam mais de 150 minutos” e “gastam menos de 180 minutos”.

(D) “gastam mais de 150 minutos” e “gastam menos de 190 minutos”.

2. Escolhido aleatoriamente um elemento da linha n do triângulo de Pascal, a probabilidade de esse ele-mento ser igual a 1 é 1

10. O valor de n é:

(A) 10 (B) 19 (C) 20 (D) 9

Teste n.º 2

Matemática A

Duração do teste: 90 minutos

12.º Ano de Escolaridade

GRUPO I

(23)

3. Numa noite sete amigos decidiram ir ao cinema juntos. Cada um escolheu, ao acaso, um de entre os sete ¿ lmes em exibição. A probabilidade de quatro quaisquer amigos escolherem o mesmo ¿ lme e os restantes escolherem três ¿ lmes diferentes é:

(A) 600 75 (B)120 76 (C)150 74 (D) 600 76

4. Na ¿ gura estão representadas oito ¿ chas de um jogo, numeradas de 1 a 8.

1 2 3 ₄ ₅ 6 7 8

Escolhe-se, ao acaso, uma dessas ¿ chas e o número nela inscrito.

Considera os seguintes acontecimentos associados a esta experiência aleatória:

A: “o número da ¿ cha escolhida é um número primo” B: “a ¿ cha escolhida é um triângulo”

Qual é o valor da probabilidade condicionada P(A | B)?

(A) 1 8 (B) 3 4 (C) 2 3 (D) 1 2

5. A estatística revela que o futebolista Tó Pé Rápido falha 20% dos lances de grande penalidade que executa. Num treino, ele vai executar uma série de seis grandes penalidades.

Qual dos acontecimentos seguintes tem probabilidade igual a 1 - 0,86- 6C₅* 0,85* 0,2?

(A) O Tó Pé Rápido concretiza pelo menos quatro grandes penalidades.

(B) O Tó Pé Rápido concretiza pelo menos cinco grandes penalidades.

(C) O Tó Pé Rápido concretiza no máximo quatro grandes penalidades.

(D) O Tó Pé Rápido concretiza no máximo cinco grandes penalidades.

GRUPO II

1. A Clara apenas confeciona bolos com dois recheios: chocolate ou morango. A quantidade de bolos com recheio de chocolate que confeciona é o quádruplo da quantidade de bolos com recheio de morango. Da sua experiência, sabe-se que 10% dos bolos com recheio de chocolate e 15% dos bolos com recheio de morango apresentam peso signi¿ cativamente inferior ao estabelecido.

Suponha que encomendou à Clara um bolo e veri¿ cou em casa que pesava bastante menos do que o indicado. Qual é a probabilidade de ele ter recheio de morango?

(24)

2. Seja 1 o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois aconte-cimentos (A ƒ 1 e B ƒ 1), ambos com probabilidade diferente de zero.

Prove que:

P( A B)< P(A | B) * P(B)§P( A)< P(A | B)

3. Num saco estão dezasseis bolas numeradas, de duas cores diferentes, de igual tamanho e textura, indistinguíveis ao tato. Das dezasseis bolas do saco, dez bolas são azuis e seis bolas são vermelhas.

3.1. Suponha que se retiraram, sucessivamente, todas as bolas do saco, e se colocaram numa ¿ la. Determine a probabilidade de as bolas azuis ¿ carem juntas.

Apresente o resultado na forma de dízima, com 5 casas decimais.

3.2. Suponha agora que se retiram do saco, simultaneamente, apenas seis bolas. Sabendo que se retiram bolas das duas cores, determine a probabilidade de se retirar mais bolas azuis do que bolas vermelhas. Apresente o resultado na forma de dízima, aproximada às décimas.

4. Considere o seguinte problema:

Quantos números naturais ímpares inferiores a 1000 não têm dois algarismos iguais?

Uma resposta correta a este problema é 5 + 8 * 5 + 82* 5. Numa composição, explica porquê.

5. Na ¿ gura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma hexagonal regular [ABCDEFOPQRST].

Sabe-se que:

• a base inferior do prisma está contida no plano xOy; • o eixo Oy contém a aresta [OP];

• o eixo Oz contém a aresta [OA].

5.1. Escolhe-se, ao acaso, uma aresta do prisma perpendicular ao eixo Oz. Qual é a probabilidade de essa aresta ser estritamente paralela ao eixo Oy? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

5.2. Os pontos assinalados são os vértices do polígono. Considere agora que se assinalam outros n (n å b) pontos na face [ABPO] de maneira a que nunca haja três pontos colineares. Escolhem-se, ao acaso, três dos pontos dessa face.

Mostre que a probabilidade de ser construído um triângulo em que o ponto A não seja um dos vértices é igual a n + 1 n + 4. 6. No desenvolvimento de 2x_- 1 x2 10

, uma das parcelas é 2kx -5,sendo k uma constante. Determine o valor de k. z x y A B C D E F O P Q R S T

(25)

Cotações

Grupo I ... 50

Cada resposta certa ... 10 Cada resposta errada ... 0 Cada questão não respondida ou anulada ... 0

Grupo II ... 150 1. ... 20 2. ... 20 3. ... 35 3.1. ... 15 3.2. ... 20 4. ... 20 5. ... 35 5.1. ... 15 5.2. ... 20 6. ... 20 TOTAL ... 200

(26)

GRUPO I

1. X: “número de minutos gastos pelos clientes de

determinada operadora” X}N(150,) 120 150 120 150 180 180 150 190 150 P( X > 120) > P(X < 150) P( X> 120) = P(X < 180) P X

(

> 150

)

< P X < 180

(

)

P X

(

> 150

)

< P X < 190

(

)

Resposta(B)

2. Considere a linha n do triângulo de Pascal. Sabe--se que tem (n + 1) elementos, dos quais dois elementos são iguais a um. Assim, P("escolher o número um") = 2 n + 1 , ou seja: 2 n+1= 1 10§20= n + 1§n= 19 Resposta(B)

3. O número de casos possíveis é 77, pois cada um dos sete amigos tem sete possibilidades diferentes de escolha.

O número de casos favoráveis é 7C₄* 7 * 6 * 5

* 4, pois 7

C₄ é o número de maneiras distintas de escolher quem são os quatro amigos que escolhem o mesmo ¿ lme; por cada uma destas maneiras existem sete possibilidades distintas para o ¿ lme escolhido pelos quatro amigos; e por cada uma dessas maneiras existem, ainda, 6 * 5 * 4 maneiras distintas de os três restantes amigos escolherem ordenadamente três ¿ lmes distintos.

Assim, a probabilidade pedida é:

7 C4* 7 * 6 * 5 * 4 77 = 35* 7 * 6 * 5 * 4 77 =35* 6 * 5 * 4 76 = 7* 5 * 6 * 5 * 4 76 =5* 6 * 5 * 4 75 = 600 75 Resposta(A)

4. P(A | B) representa a probabilidade de o número da ¿ cha escolhida ser um número primo saben-do que a ¿ cha escolhida não é um triângulo. Ora, admitindo que a ¿ cha escolhida não é um triângulo existem 6 casos possíveis, e desses apenas 3 são números primos (2, 3 e 7).

Assim, P(A | B) = 3

6 = 1 2.

Resposta(D)

5. O Tó Pé Rápido falha 20% das grandes penali-dades que executa. Portanto, ao executar uma grande penalidade, a probabilidade de a con-cretizar é igual a 0,8.

(27)

Numa série de seis grandes penalidades, tem-se: • 0,86 é a probabilidade de o Tó Pé Rápido

concretizar as seis grandes penalidades. • 6C5* 0,85* 0,2 é a probabilidade de o Tó Pé

Rápido concretizar cinco grandes penalidades.

Assim, 0,86+ 6C5* 0,85* 0,2 é a probabilidade

de o Tó Pé Rápido concretizar pelo menos cinco grandes penalidades e 1 < (0,86+ 6C5* 0,85 * 0,2)

é a probabilidade do acontecimento contrário deste. Isto é, 1 - 0,86- 6C5* 0,85* 0,2 é a

pro-babilidade de o Tó Pé Rápido concretizar no máximo quatro grandes penalidades.

Resposta(C)

GRUPO II

1. Considere os acontecimentos:

C: “o bolo ter recheio de chocolate” M: “o bolo ter recheio de morango”

I: “o bolo ter peso inferior ao estabelecido”

Sabe-se que: • P(C)= 4P(M ) e P(C) + P(M) = 1, ou seja: 4P( M )+ P(M) = 1§5P( M )= 1 §P( M )= 0,2 P(C)= 4 * 0,2 = 0,8 •P(I | C)= 0,1§P(I C) P(C) = 0,1 §P(I C) 0,8 = 0,1§P(I C)= 0,1* 0,8 §P(I C)= 0,08 •P(I | M )= 0,15§P(I M ) P( M ) = 0,15 §P(I M ) 0,2 = 0,15§P(I M )= 0,15 * 0,2 §P(I M )= 0,03

C M Total I 0,08 0,03 0,11 I Total 0,8 0,2 1 Cálculo auxiliar: P(I) = P(I EC) + P(I EM) = 0,08 + 0,03 = 0,11 Pretende-se determinar: P( M | I )= P( M I ) P(I ) = 0,03 0,11) 0,27 Assim, P( M | I )) 27% . 2. A , B , P(B)0 0 P A

(

B

)

< P A | B

(

)

* P B

( )

§P( A)- P(A B) < P(A | B) * 1 P(B)

[

]

§P( A)- P(A B) < P(A | B) - P(A | B) * P(B)

§P( A)- P(A B) < P(A | B) -P( A B) P(B) * P(B)

§P( A)- P(A B) < P(A | B) - P(A B)

§P( A)< P(A | B) - P(A B) + P(A B)

§P( A)< P(A | B) c.q.d.

3.

3.1. O número de casos possíveis é 16!.

O número de casos favoráveis é 10! * 6! * 7, pois 10! é o número de maneiras de permu-tar as bolas azuis, 6! é o número de manei-ras de permutar as bolas vermelhas e 7 é o número de maneiras que o bloco das bolas azuis pode “percorrer” a ¿ la. Assim, a proba-bilidade pedida é, 10!* 6!* 7

16! ) 0,00087 .

3.2. Admitindo que se retiraram, simultaneamente, seis bolas do saco, das duas cores, o número de casos possíveis é 16C6 - 10C6 - 6C6.

O número de casos favoráveis é:

10

C5 *6C1

+ 10C4 *6C2 5 vermelhas e 1 azul ou 4 vermelhas e 2 azuis

10 C5 *6C1+10C4 *6C2 16 C6 -10C6-6C6 = 4662 7797) 0,6

4. Os números ímpares menores do que 1000, com os algarismos todos diferentes, podem ter um só algarismo, dois algarismos ou três algaris-mos, possibilidades estas que se excluem mu-tuamente. Assim, existem 5 números ímpares

(28)

menores do que 1000 só com um algarismo (1, 3, 5, 7 ou 9); 8 * 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 só com dois algarismos, pois para ser ímpar tem que termi-nar em número ímpar (1, 3, 5, 7 ou 9) – cinco hipóteses, e por cada uma dessas possibili-dades existem oito números para o algarismo das dezenas (não pode ser o algarismo esco-lhido para as unidades nem o zero); 82* 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 com três algarismos, pois para ser ímpar tem que terminar em número ímpar (1, 3, 5, 7 ou 9) – cinco hipóteses, e por cada uma des-sas possibilidades existem oito hipóteses para o algarismo das centenas (não podem ser o alga-rismo escolhido para as unidades nem o zero) e por cada uma dessas possibilidades existem também oito hipóteses para o algarismo das dezenas (não podem ser os algarismos escolhi-dos para as unidades nem para as centenas). Logo, 5 + 8 * 5 + 82* 5 é o número de números naturais ímpares inferiores a 1000 que não têm dois algarismos iguais.

5.

5.1. O número de casos possíveis é 12.

O número de casos favoráveis é 3. Assim, a probabilidade pedida é 3

12= 14.

5.2. Existem (n + 4) pontos assinalados na face

[ABPO] sem que haja três pontos colineares. O número de casos possíveis é:

n+ 4 C₃= (n+ 4)! 3! (n+ 4 - 3)!= (n+ 4)! 6(n+ 1)! =(n+ 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)! 6(n+ 1)! = (n+ 4)(n + 3)(n + 2) 6

O número de casos favoráveis é:

n+ 3 C3= (n+ 3)! 3! (n+ 3 - 3)!= (n+ 3)! 6(n)! =(n+ 3)(n + 2)(n +1)(n)! 6(n)! = (n+ 3)(n + 2)(n +1) 6

( n+ 3 )( n + 2)( n +1) 6 ( n+ 4 )( n + 3 )( n + 2) 6 = ( n+ 3 )( n + 2)( n +1) ( n+ 4 )( n + 3 )( n + 2) = n+1 n+ 4 c.q.d.

Outra maneira de resolver este exercício seria calculando a probabilidade p do ponto A ser um dos vértices do triângulo, calculando depois a probabilidade do acontecimento contrário 1 – p. Neste caso:

Número de casos possíveis: é o mesmo calcu-lado anteriormente.

Número de casos favoráveis: n +3C₂

P "A a ser um vértice"

(

)

= 3 n+ 4

1- p = 1- 3

n+ 4

= n+1

n+ 4 c.q.d.

6. Qualquer termo do desenvolvimento de 2x 1

x2 10 é do tipo: 10 C_p(2x)10- p* - 1 x2 p , com p 0,1,10

{

}

Simpli¿ cando a expressão acima obtém-se:

10 Cp(2x)10- p* -1 x2 p 10 C_p210- p * x10 p* (-1)p* x

( )

-2 p = (-1)p_*10 C_p *210- p* x10 p* x2 p = (-1)p_*10 C_p *210- p* x10 p 2 p = (-1)p_*10 C_p *210- p* x10 3 p

Procura-se o termo em x- 5, ou seja, tem de se descobrir o valor da constante p para o qual se obtém o termo em x– 5:

10- 3 p = -5§10+ 5 = 3 p§15= 3 p§p= 5

O termo em x-5 é (-1)5*10C₅* 25* x-5

= -252 * 32 * x-5= -8064x-5 Logo, 2k= - 8064§k= - 4032 .

(29)

Critérios especí¿ cos de classi¿ cação

GRUPO I

Cada resposta certa ... 10 pontos

As respostas corretas são as seguintes:

Itens 1 2 3 4 5

Respostas B B A D C

GRUPO II

1. ... 20 pontos

No que se segue, vamos designar por C o acontecimento “o bolo ter recheio de chocolate”, por M o aconte-cimento “o bolo ter recheio de morango” e por I o aconteaconte-cimento “o bolo ter peso inferior ao estabelecido”. Escrever P(C)= 4P(M) (ou equivalente) ... 2 pontos Calcular P(M) ... 2 pontos Obter P(C) ... 1 ponto Escrever P(I | C)= 0,1 ... 2 pontos Calcular P(I EC) ... 3 pontos Escrever P(I | M)= 0,15 ... 2 pontos Calcular P(I EM) ... 3 pontos Calcular P(I) ... 2 pontos Calcular P(M | I) ... 3 pontos 2. ... 20 pontos

A resolução deste item envolve a utilização das seguintes propriedades: • P(A EB) =P(A) - (A EB);

• P(B) =1- P(B);

• Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição; • P(A | B)= P(A EB)

(30)

Descritores do nível de desempenho no domínio especí¿ co da disciplina Pontuação

Níveis

5 O aluno aplica corretamente as quatro propriedades e conclui o pretendido. 20

4 O aluno aplica corretamente as quatro propriedades mas não conclui o

pretendido. 16

3 O aluno aplica corretamente apenas três propriedades. 12

2 O aluno aplica corretamente apenas duas propriedades. 8

1 O aluno aplica corretamente apenas uma propriedade. 4

3.

3.1. ...15 pontos

Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1)... 12 pontos Resultado na forma pedida (P ) 0,00087) (ver nota 2) ... 3 pontos Nota 1

Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva classi¿ cação a atribuir.

10! * 6! * 7

16! (ou equivalente) ... 12 pontos 10! * 6!

16! (ou equivalente) ... 8 pontos Outras frações próprias com denominador 16! ... 5 pontos Outras situações ... 0 pontos Nota 2

A classi¿ cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi¿ cada com zero pontos.

3.2. ... 20 pontos

Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ... 17 pontos Resultado na forma pedida (P ) 0,6) (ver nota 2) ... 3 pontos Nota 1

10

C₅*6C₁+10C₄*6C₂ 16

C6-10C6-6C6

(ou equivalente) ... 17 pontos

10

C5*6C1 +10C4*6C2 +10C6 16

C6-10C6-6C6

(31)

10

C₅*6C₁+10C₄*6C₂ 16

C6

(ou equivalente) ... 7 pontos Outras situações ... 0 pontos Nota 2

4. ... 20 pontos

A composição deverá contemplar os seguintes pontos:

• Explicação de 5: o aluno deverá referir que 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 só com um algarismo.

• Explicação de 8 * 5: o aluno deverá referir que é o número de números ímpares menores do que 1000 só com dois algarismos.

• Explicação de 82* 5: o aluno deverá referir que 82* 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 com três algarismos.

• Explicação de 5 + 8 * 5 + 82* 5: o aluno deverá referir que a soma representa o número de números ímpares menores do que 1000 com os algarismos todos diferentes.

Na tabela seguinte indica-se como deverá ser classi¿ cada a redação. Os níveis 1, 2 e 3 dizem respeito ao desempenho na comunicação em língua portuguesa, de acordo com o disposto nos critérios gerais.

Nível 1 Nível 2 Nível 3

A composição contempla corretamente os quatros pontos. 18 19 20 A composição contempla corretamente apenas três pontos. 12 13 14 A composição contempla corretamente apenas dois pontos. 8 9 10 A composição contempla corretamente apenas um ponto. 4 5 6

5.

5.1. ...15 pontos

Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ... 12 pontos Resultado na forma pedida P=1

4

 (ver nota 2) ... 3 pontos Nota 1

3

(32)

4

12 (ou equivalente) ... 8 pontos Outras frações próprias com denominador 12 ... 5 pontos Outras situações ... 0 pontos Nota 2

5.2. ... 20 pontos

A resolução deste item deve contemplar os seguintes pontos: • Expressão que dá o valor do número de casos favoráveis. • Expressão que dá o valor do número de casos possíveis. • Expressão que dá o valor da probabilidade pedida.

Na tabela seguinte, indica-se como a resposta a este item deve ser classi¿ cada, de acordo com o respetivo nível de desempenho no domínio especí¿ co da disciplina:

Descritores do nível de desempenho no domínio especí¿ co da disciplina Pontuação

Níveis

4 O aluno executa corretamente os três pontos e conclui o pretendido. 20

3 O aluno executa corretamente os três pontos mas não conclui o pretendido. 18

2 O aluno executa corretamente apenas dois pontos. 12

1 O aluno executa corretamente apenas um ponto. 6

6. ... 20 pontos Escrever a expressão 10C_p(2x)10- p* - 1 x2 p ... 6 pontos Obter a expressão (-1)p*10Cp* 210- p* x10 3 p ... 6 pontos

Equacionar o problema: 10- 3 p = -5 ... 4 pontos Determinar o termo em x-5 ... 2 pontos Obter o valor de k (-4032) ... 2 pontos

(33)

Exemplos de resposta e proposta de cotação

GRUPO II

1. Considere os acontecimentos:

C: “o bolo ter recheio de chocolate” M: “o bolo ter recheio de morango”

I: “o bolo ter peso inferior ao estabelecido”

Sabe-se que: • P(C)= 4P(M ) e P(C) + P(M) = 1, ou seja: 4P( M )+ P(M) = 1§5P( M )= 1 §P( M )= 0,2 P(C)= 4 * 0,2 = 0,8 • P(I EC)= 0,1 Errado! • P(I EM)= 0,15 Errado!

C M Total I 0,1 0,15 0,25 I Total 0,8 0,2 1 Cálculo auxiliar: P(I)= P(I EC) + P(I EM) = 0,1 + 0,15 = 0,25 Pretende-se determinar. P( M | I )= P( M I ) P(I ) = 0,15 0,25= 0,60 Assim, P( M | I )= 60%

Cotação a atribuir ...10 pontos Nesta resposta o aluno:

• escreve P(C)= 4P(M) (ou equivalente) 2 pontos • calcula P(M) ...2 pontos • obtém P(C) ...1 ponto • não escreve P(I | C)= 0,1 ...0 pontos

• não calcula P(I EC) ...0 pontos • não escreve P(I | M)= 0,15 ...0 pontos

• não calcula P(I EM) ...0 pontos • calcula P(I) de acordo com os cálculos ante-riores ...2 pontos • calcula P(M | I) de acordo com os cálculos anteriores ...3 pontos

2. P(A EB)< P(A | B)* P(B)

§ P(A)- P(A EB) <P(A | B) * 1 - P(B)

§ P(A)- P(A EB) <P(A | B) - P(B)

Cotação a atribuir ...8 pontos Esta resolução contempla apenas duas pro-priedades:

• P(A EB)= P(A)- P(A EB)

• P(B) = 1 - P(B)

Repara que um simples erro de esquecimento de colocação de parênteses comprometeu mais de metade da cotação desta questão.

4. Os números ímpares menores do que 1000, com os algarismos todos diferentes, podem ter só um algarismo, dois algarismos ou três alga-rismos.

Assim, existem cinco números ímpares meno-res do que 1000 só com um algarismo (1, 3, 5, 7 ou 9);

8 * 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 só com dois algarismos;

82* 5 é o número de números ímpares meno-res do que 1000 com três algarismos.

Logo, 5 + 8 * 5 + 82* 5 é o número de números naturais ímpares inferiores a 1000 que não têm dois algarismos iguais.

(34)

Esta resposta contempla corretamente apenas dois pontos numa composição bem estrutu-rada.

• Explicação de 5: o aluno deverá referir que 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 só com um algarismo;

• Explicação de 5 + 8 * 5 + 82* 5: o aluno deverá referir que a soma representa o número de números ímpares menores do que 1000 com os algarismos todos diferentes.

(35)

Matriz

Conteúdos

> De¿ nição clássica de probabilidade > De¿ nição axiomática de probabilidade > Probabilidade condicionada e independência

> Triângulo de Pascal

> Binómio de Newton

Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II

> Função exponencial de base superior a 1

> Função logarítmica de base superior a 1

> Limites

Itens de construção Resolução de problemas 8 15 a 20 Uso obrigatório de calculadora grá¿ ca 1 15 Raciocínio demonstrativo 1 15 Resposta extensa (composição) 1 15

(36)

• Não apresente cálculos, nem justi¿ cações.

Teste n.º 3

Matemática A

Duração do teste: 90 minutos

12.º Ano de Escolaridade

GRUPO I

1. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices diferentes de um octaedro.

Qual é a probabilidade de esses dois vértices serem extremos de uma aresta?

(A) ₆12 C₂ (B) 12 62 (C) 8 6 C2 (D) 8 6 A2

2. Sejam a e b dois números naturais tais que a=2012C20 e b=2012C21 .

Qual é o valor de a + 2b?

(A) 2013C20+2013C21 (B) 2013C20+2012C21 (C) 2013C21+2012C21 (D) 2013C21+2012C20

(37)

3. Na ¿ gura está desenhada parte da representação grá¿ ca de uma função h, cujo domínio é \

{ }

-1 . As retas de equações x = -1 e y = - x são assíntotas do grá¿ co de f. Seja (x_n) a sucessão tal que x_n= -1+ ln 11

n  , com n Db. (ln designa o logaritmo de base e)

Qual é o valor de lim h(x_n)?

(A) 0 (B)- ' (C)+ ' (D)-1

4. A expressão simpli¿ cada de log_a

( )

ln ea , com a \ 1

{ }

é:

(A) 1

2 (B) -1

2 (C) loga e (D) nenhuma das anteriores

5. Observe o grá¿ co. Sabe-se que:

• f (x)= -1 + 2ln x; • g(x) = e0,5x;

• O é a origem do referencial; • o ponto A pertence ao grá¿ co de g;

• os pontos B e C pertencem ao grá¿ co de f; • o ponto C tem a mesma ordenada que o ponto A. A área do trapézio [OACB] é igual a:

(A) e (B) e 2 2 (C) e+ e 2 * e (D) e+ e 2 GRUPO II

1. Considere as funções f e g de¿ nidas por:

f (x)= log2(x2- x) - log2(x) e g(x)= -e2x- ex+ 7

Recorrendo a processos exclusivamente analíticos resolva as seguintes alíneas.

1.1. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação f (x) ≥ 1.

Apresente o conjunto-solução na forma de um intervalo de números reais.

1.2. Determine os valores de x tais que g(x)= f (3).

O -1 y x h O y x g f A B C

(38)

2. Uma pequena barragem rural está contaminada por uma colónia de bactérias que cresce segundo a lei:

N (t)= 10 000 * 2

t

4_{, t}_{≥ 0 , com t em dias}

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as alíneas seguintes.

2.1. Quantos dias demora a colónia de bactérias a triplicar o seu número inicial? Apresente o resultado arredondado às unidades.

2.2. Veri¿ que que para qualquer valor de t, N(t + 1)

N(t) é constante.

Determine um valor aproximado dessa constante, arredondado às centésimas e interprete esse valor no contexto da situação descrita.

3. Considere as funções f e g, representadas no referencial da ¿ gura, e a função h de¿ nida por:

O y x g f 3 2 h(x)= 2 x 2 x1 se x> 1 4 se x= 1 x31 x1 se x< 1 Determine, caso existam:

3.1. lim

x 3 f (x) g(x);

3.2. lim

x1h(x) (utilizando métodos exclusivamente analíticos); 3.3. lim

x-h(x) (utilizando métodos exclusivamente analíticos).

4. No início de 1978 havia 800 corças num determinado parque natural. As medidas de proteção a corças ¿ zeram

com que o referido número aumentasse continuamente. Os recursos do parque permitem que esse número cresça até um valor muito próximo de dois milhares, mas não permitem que esse valor seja ultrapassado. Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode de¿ nir a função P, que dá o número aproximado de corças existentes no parque natural, t anos após o início de 1978.

(I) 2000 1+ e0,25t (II) 2000 1+1,5e-t (III) 1600 1+ e-t (IV) 2000 -1200 t

( )

3+1 et

(39)

Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explique as razões que o levam a rejeitar as outras três expressões (apresente três razões diferentes, uma por cada expressão rejeitada).

Nota: poder-lhe-á ser útil recorrer às capacidades grá¿ cas da sua calculadora. Se o ¿ zer apresente todos os elementos recolhidos na sua utilização, nomeadamente o(s) grá¿ co(s) obtido(s), bem como as coordenada(s) relevante(s) de algum (ou de alguns) ponto(s).

5. Num laboratório de pesquisa genética estuda-se a capacidade pulmonar de uma determinada cobaia (um macaco).

5.1. De um grupo constituído por três macacos pretos e por dois macacos brancos, dois vão ser selecio-nados, aleatoriamente, para uma determinada experiência.

Qual é a probabilidade de serem selecionados dois macacos de cores diferentes? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

5.2. Sabe-se que é utilizada apenas uma cobaia em determinada experiência e que por cada cinco cobaias sujeitas a essa experiência apenas duas sobrevivem.

Determine a probabilidade de, no ¿ nal de um dia em que são feitas 35 experiências, apenas 12 cobaias sobreviverem.

(40)

Grupo I ... 50

Cada resposta certa ... 10 Cada resposta errada ... 0 Cada questão não respondida ou anulada ... 0

Grupo II ... 150 1. ... 35 1.1. ... 20 1.2. ... 15 2. ... 30 2.1. ... 15 2.2. ... 15 3. ... 40 3.1. ... 15 3.2. ... 15 3.2. ... 10 4. ... 15 5. ... 30 5.1. ... 15 5.2. ... 15 TOTAL ... 200

(41)

GRUPO I

1. O número de casos possíveis é: 6C2

O número de casos favoráveis é o número de arestas do octaedro, isto é, 12.

Assim, a probabilidade pedida é 12

6 C₂ . Resposta(A) 2. a+ 2b =2012C₂₀+2012C 21 (1) + 2012 C₂₁ =2013 C21+2012C21 (1)2012C₂₀+2012C 21= 2013

C₂₁ é uma das pro-priedades do triângulo de Pascal:

n

Cp+nCp+ 1=n+ 1Cp+ 1

ou seja, adicionando dois números consecutivos de uma linha do triângulo de Pascal obtém-se o número colocado abaixo, na linha seguinte.

Resposta(C) 3. _-1 n 0 -1-1 n1 -ln 1-1 n 0 --1+ ln 1-1 n -1

-A sucessão de termo geral -1+ ln 1-1

n tende para -1, por valores inferiores a -1, pelo que

lim(x_n)= lim x-1 -h(x)= + . Resposta(C) 4. log_a

(

ln ea

)

= 1 2loga ln e a

( )

= 1 2loga ln e 1 a = 1 2loga 1 a = 1 2* (1) = -1 2 Resposta(B) 5. • A 0, g(0)

(

)

g(0)= e0,5* 0= e0= 1, logo A(0,1) • C(xc,1) f (x)= 1§-1+ 2lnx = 1 ‹ x > 0 §2lnx= 2 ‹ x > 0 §lnx= 1 ‹ x > 0 §x= e ‹ x > 0 ou seja, C(e,1). • B(x_B, 0) f (x)= 0§-1+ 2lnx = 0 ‹ x > 0 §2lnx= 1 ‹ x > 0 §lnx= 1 2 ‹ x > 0 §x= e ‹ x > 0 Assim, B

( )

e, 0 . Portanto, A_[_OACB_]=OB+ AC 2 * OA = e+e 2 *1 = e+e 2 Resposta(D)

Proposta de resolução

(42)

GRUPO II 1. 1.1. D_f = x : x

{

2- x > 0 ‹ x > 0

}

= x : x < 0 › x > 1

{

(

)

‹ x > 0

}

= 1, +

]

[

Cálculo auxiliar : x2- x = 0 §x(x-1) = 0 §x= 0 › x = 1 f (x)≥ 1 §log2

( )

x2- x - log2x≥ 1 ‹ x > 1

§log2

( )

x2- x ≥ log22+ log2x ‹ x > 1

§log2

( )

x2- x ≥ log2(2x) ‹ x > 1 §x2- x ≥ 2x ‹ x > 1 §x2- 3x ≥ 0 ‹ x > 1 §

(

x≤ 0 › x ≥ 3

)

‹ x > 1 Cálculo auxiliar : x2- 3x = 0 §x(x- 3) = 0 §x= 0 › x = 3 C.S.= 3,+ 1.2. f (3)= log2(9- 3) - log23 = log26- log23 = log2 6 3 = log22 = 1 g(x)= f (3) §- e2x- ex+ 7 = 1 §- e

( )

x 2- ex+ 6 = 0

Considerando a mudança de variável ex= y, vem que: -y2- y + 6 = 0 §y=1¿ 1- 4 * (-1* 6) -2 §y=1¿ 5 -2 §y= -3 › y = 2

Substituindo y por ex, tem-se que:

ex= -3 Equação impossível › ex= 2 §x= ln2 C.S.= ln2

{ }

2. N (t)= 10 000 * 2 t 4 2.1.N (0)= 10 000 * 2 0 4₌_{10 000}_{*1= 10 000} N (t)= 3N(0)§10 000* 2 t 4 _{= 30 000} §2 t 4 _{= 3} § t 4= log23 §t= 4 * log23 t) 6 dias

A colónia de bactérias triplica ao ¿ m de aproxi-madamente 6 dias. 2.2. N (t+1) N (t) = 10 000* 2 t+ 1 4 10 000* 2 t 4 = 2 t+ 1 4 -t 4 = 2 1 4 _,_At 0 + N (t+1) N (t) ) 1,19 N (t+1)) 1,19 * N(t) N (t+1)) N(t) + 0,19 * N(t)

Por cada dia que passa, o número de bactérias aumenta a uma taxa de aproximadamente 19%.

+ + -0 1 + + -0 3

(43)

A opção (I) está incorreta porque não está de acordo com o facto de existirem 800 corças no parque natural, no instante t = 0, corres-pondente ao início de 1978. Na realidade, nesta função, a imagem de 0 é 1000.

O facto de os recursos do parque permitirem que o número de corças cresça continuamente até um valor muito próximo dos dois milhares implica que se tenha lim

t+P(t)= 2000 .

Assim, a opção (III) também não está ade-quada à situação descrita, pois:

lim t+ 1600 1+ e-t = 1600 1+ 0 = 1600

A opção (IV) também é incorreta, como se pode con¿ rmar através do grá¿ co reprodu-zido abaixo. A função de¿ nida por

2000 1200 t

3₊

1

( )

et

não é monótona, o que contraria a a¿ rmação de que o número de cor-ças cresce continuamente.

P

2000 800

t O

Logo, a opção correta é a opção (II).

5.

5.1. O número de casos possíveis é 5C₂. O número de casos favoráveis é 3C1*2C1.

3 C1*2C1 5 C2 = 6 10= 3 5

5.2. X: “número de cobaias que sobreviveram nas 35 experiências”. X } 35,2 5 P X

(

= 12

)

=35C12* 2 5 12 * 3 5 23 ) 0,111 3. 3.1. lim x 3 f (x) g(x)= lim x 3f (x) lim x 3g x

( )

=2 0

Calculando os limites laterais, e por observa-ção dos grá¿ cos:

lim x 3+ f (x) g(x)= 2 0+ = + lim x 3 -f (x) g(x)= 2 0- = - ± lim x 3+ f (x) g(x)0 limx 3 -f (x) g(x) Logo, E lim x 3 f (x) g(x). 3.2. lim x1h(x)= ?

Uma vez que para x > 1 a expressão analítica de h é distinta da expressão analítica para

x < 1, tem que se calcular os limites laterais: lim x1+ h(x)= lim x1+ 2 x- 2 x-1 = limx1+ 2

(

x-1

)

x-1 = 0 0 = lim x1+ 2

(

x-1

)

= lim x1- x 2 + x +1

(

)

= 1+1+1= 3 Cálculo auxiliar: 1 0 0 -1 1 1 1 1 1 1 1 0 = r x3- 1 = (x - 1)(x2+ x + 1) lim x1+ h(x) 0 lim x1 h(x), logo E lim x1h(x). 3.3. lim x-h(x)= limx- x3-1 x-1 = ¿ ¿ lim x- x3 x = lim x-x 2_{= +}